Tek tip bir yerçekimi alanında, uzayamayan ağırlıksız bir ipe (kütlesi bir cismin ağırlığına kıyasla ihmal edilebilir) asılı bir malzeme noktasından (gövde) oluşan mekanik bir sisteme matematiksel sarkaç denir (başka bir isim bir osilatördür). Bu cihazın başka türleri de var. İplik yerine ağırlıksız bir çubuk kullanılabilir. Matematiksel sarkaç, birçok şeyin özünü açıkça ortaya çıkarabilir. ilginç fenomenler... Küçük bir salınım genliği ile hareketine harmonik denir.
Mekanik sistem hakkında genel bilgiler
Bu sarkacın salınım periyodu için formül Hollandalı bilim adamı Huygens (1629-1695) tarafından türetilmiştir. I. Newton'un bu çağdaşı, bu mekanik sisteme çok düşkündü. 1656'da ilk sarkaçlı saati yarattı. Zamanı, o zamanlar için olağanüstü bir doğrulukla ölçtüler. Bu buluş, fiziksel deneylerin ve pratik faaliyetlerin geliştirilmesinde en önemli aşama haline geldi.
Sarkaç dengede ise (dikey asılı), iplik tansiyon kuvveti ile dengelenecektir. Uzatılamaz bir iplik üzerindeki bir düzlem sarkaç, bir kısıtlama ile iki serbestlik derecesine sahip bir sistemdir. Sadece bir bileşeni değiştirdiğinizde, tüm parçalarının özellikleri değişir. Dolayısıyla, iplik bir çubukla değiştirilirse, bu mekanik sistem sadece 1 serbestlik derecesine sahip olacaktır. Matematiksel sarkaç hangi özelliklere sahiptir? Bunda en basit sistem kaos, periyodik rahatsızlıkların etkisi altında ortaya çıkar. Askı noktasının hareket etmediği, ancak salındığı durumda, sarkaçta yeni bir denge konumu belirir. Hızlı yukarı ve aşağı titreşimlerle bu mekanik sistem sabit bir baş aşağı pozisyon alır. Ayrıca kendi adı var. Kapitsa sarkaç denir.
sarkaç özellikleri
Matematiksel sarkaç çok ilginç özelliklere sahiptir. Hepsi iyi bilinen fiziksel yasalarla doğrulanır. Diğer sarkacın salınım periyodu, gövdenin boyutu ve şekli, süspansiyon noktası ile ağırlık merkezi arasındaki mesafe ve belirli bir noktaya göre kütle dağılımı gibi çeşitli koşullara bağlıdır. Bu nedenle, asılı bir cismin periyodunu belirlemek oldukça zor bir iştir. Aşağıda formülü verilecek olan bir matematiksel sarkacın periyodunu hesaplamak çok daha kolaydır. Bu tür mekanik sistemlerin gözlemlerinin bir sonucu olarak, aşağıdaki kalıpları oluşturmak mümkündür:
Sarkaçın aynı uzunluğunu koruyarak, farklı ağırlıkları askıya alırsak, kütleleri büyük ölçüde farklı olsa da salınımlarının periyodu aynı olacaktır. Sonuç olarak, böyle bir sarkacın periyodu, yükün kütlesine bağlı değildir.
Sistemi başlatırken, sarkaç çok büyük değil, farklı açılarla saparsa, aynı periyotla, ancak farklı genliklerde salınır. Denge merkezinden sapmalar çok büyük olmadığı sürece, formlarındaki salınımlar harmonik olanlara yeterince yakın olacaktır. Böyle bir sarkacın periyodu, salınım genliğine hiçbir şekilde bağlı değildir. Bu mekanik sistemin bu özelliğine izokronizm denir (Yunanca "chronos" - zaman, "isos" - eşittir).
Matematiksel sarkacın periyodu
Bu gösterge, doğal salınımların dönemini temsil eder. Karmaşık ifadelere rağmen, sürecin kendisi çok basittir. Matematiksel sarkacın ipliğinin uzunluğu L ise ve ivme serbest düşüş g, o zaman bu değer şuna eşittir:
Küçüklerin periyodu hiçbir şekilde sarkacın kütlesine ve salınımların genliğine bağlı değildir. Bu durumda sarkaç, uzunluğu azaltılmış matematiksel bir sarkaç gibi hareket eder.
Matematiksel bir sarkacın salınımları
Basit bir diferansiyel denklemle tanımlanabilen matematiksel bir sarkaç salınır:
x + ω2 günah x = 0,
burada x (t) bilinmeyen bir fonksiyondur (bu, t zamanında alt denge konumundan sapma açısıdır, radyan cinsinden ifade edilir); ω, sarkacın parametrelerinden belirlenen pozitif bir sabittir (ω = √g / L, burada g, yerçekimi ivmesidir ve L, matematiksel sarkacın (süspansiyon) uzunluğudur).
Denge konumuna yakın küçük titreşimlerin denklemi (harmonik denklem) şöyle görünür:
x + ω2 günah x = 0
Sarkaçın salınım hareketleri
Küçük salınımlar yapan matematiksel bir sarkaç, bir sinüzoid boyunca hareket eder. diferansiyel denklem ikinci düzen, böyle bir hareketin tüm gereksinimlerini ve parametrelerini karşılar. Yörüngeyi belirlemek için, daha sonra bağımsız sabitlerin belirlendiği hızı ve koordinatı ayarlamak gerekir:
x = Bir günah (θ 0 + ωt),
burada θ 0 başlangıç fazı, A titreşim genliği, ω hareket denkleminden belirlenen döngüsel frekanstır.
Matematiksel sarkaç (büyük genlikler için formüller)
Önemli bir genlikle salınan bu mekanik sistem, daha karmaşık hareket yasalarına uyar. Böyle bir sarkaç için aşağıdaki formülle hesaplanırlar:
günah x / 2 = u * sn (ωt / u),
sn, sizin için Jacobi sinüsü nerede< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
burada ε = E / mL2 (mL2 sarkacın enerjisidir).
Doğrusal olmayan bir sarkacın salınım periyodunun belirlenmesi aşağıdaki formüle göre yapılır:
burada Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K eliptik bir integraldir, π - 3,14.
Separatrix boyunca sarkaç hareketi
Yörüngeye separatris denir. dinamik sistem, iki boyutlu bir faz uzayına sahiptir. Matematiksel sarkaç, periyodik olmayan bir şekilde onun boyunca hareket eder. Sonsuz uzak bir zamanda, en üst konumdan yana sıfır hızla düşer, sonra yavaş yavaş onu alır. Sonunda, orijinal konumuna geri dönerek durur.
Sarkaç salınımlarının genliği sayıya yaklaşırsa π , bu, faz düzlemindeki hareketin ayırıcıya yaklaştığını gösterir. Bu durumda, küçük bir zorlayıcı periyodik kuvvetin etkisi altında, mekanik sistem kaotik davranış sergiler.
Matematiksel sarkaç belirli bir φ açısı ile denge konumundan saptığında, teğet yerçekimi kuvveti Fτ = -mg sin φ ortaya çıkar. Eksi işareti, bu teğet bileşeninin sarkacın sapmasına zıt yönde yönlendirildiği anlamına gelir. x, bir sarkacın yarıçapı L olan bir dairenin yayı boyunca yer değiştirmesini gösterdiğinde, açısal yer değiştirmesi φ = x / L'dir. Çıkıntılar ve kuvvetler için ikinci yasa istenen değeri verecektir:
mg τ = Fτ = -mg günah x / L
Bu orana dayanarak, bu sarkacın doğrusal olmayan bir sistem olduğu görülebilir, çünkü onu denge konumuna döndürme eğiliminde olan kuvvet her zaman x yer değiştirmesi ile değil, sin x / L ile orantılıdır.
Sadece matematiksel sarkaç küçük salınımlar yaptığında harmonik bir osilatördür. Yani harmonik titreşimler yapabilen mekanik bir sistem haline gelir. Bu yaklaşım, 15-20° açılar için pratik olarak geçerlidir. Büyük genlikli bir sarkacın salınımları harmonik değildir.
Bir Sarkacın Küçük Salınımları İçin Newton Yasası
Belirli bir mekanik sistem küçük titreşimler gerçekleştirirse, Newton'un 2. yasası şöyle görünecektir:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Buna dayanarak, matematiksel sarkacın eksi işaretiyle yer değiştirmesiyle orantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Bu, sistemin harmonik osilatör haline gelmesinden kaynaklanan durumdur. Yer değiştirme ve hızlanma arasındaki en boy oranının modülü, açısal frekansın karesine eşittir:
ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.
Bu formül, bu tür sarkacın küçük salınımlarının doğal frekansını yansıtır. Buna dayanarak,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Enerjinin korunumu yasasına dayalı hesaplamalar
Bir sarkacın özellikleri, enerjinin korunumu yasası kullanılarak da tanımlanabilir. Yerçekimi alanındaki sarkacın şuna eşit olduğu akılda tutulmalıdır:
E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
Dolu, kinetik veya maksimum potansiyele eşittir: Epmax = Ekmsx = E
Enerjinin korunumu yasası yazıldıktan sonra, denklemin sağ ve sol taraflarının türevi alınır:
Sabitlerin türevi 0'a eşit olduğundan, (Ep + Ek) "= 0. Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir:
Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,
buradan:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.
Son formüle dayanarak şunu buluruz: α = - g / L * x.
Matematiksel sarkacın pratik uygulaması
Hızlanma, yoğunluk olarak enlem ile değişir kabuk gezegen genelinde aynı değildir. Daha yüksek yoğunluklu kayaların meydana geldiği yerlerde, biraz daha yüksek olacaktır. Matematiksel sarkacın ivmesi genellikle jeolojik keşif için kullanılır. İçinde çeşitli mineraller aranır. Sadece sarkacın salınım sayısını sayarak, Dünya'nın bağırsaklarında kömür veya cevher bulabilirsiniz. Bunun nedeni, bu tür fosillerin, altlarındaki gevşek kayalardan daha büyük bir yoğunluğa ve kütleye sahip olmalarıdır.
Matematiksel sarkaç, Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Arşimet gibi seçkin bilim adamları tarafından kullanıldı. Birçoğu bu mekanik sistemin bir kişinin kaderini ve yaşamını etkileyebileceğine inanıyordu. Arşimet, hesaplamalarında matematiksel bir sarkaç kullandı. Zamanımızda, birçok okültist ve medyum, kehanetlerini yerine getirmek veya kayıp insanları aramak için bu mekanik sistemi kullanır.
Ünlü Fransız astronom ve doğa bilimci K. Flammarion da araştırmasında matematiksel bir sarkaç kullanmıştır. Yardımı ile yeni bir gezegenin keşfini, görünüşünü tahmin edebildiğini iddia etti. Tunguska göktaşı ve diğer önemli olaylar. Dünya Savaşı sırasında, Almanya'da (Berlin) uzmanlaşmış bir Sarkaç Enstitüsü çalıştı. Günümüzde, Münih Parapsikoloji Enstitüsü benzer araştırmalarla uğraşmaktadır. Bu kurumun çalışanları sarkaçlı çalışmalarını "radyoestezi" olarak adlandırır.
Fiziksel sarkacın salınım periyodu birçok duruma bağlıdır: vücudun boyutuna ve şekline, ağırlık merkezi ile süspansiyon noktası arasındaki mesafeye ve bu noktaya göre vücut kütlesinin dağılımına; bu nedenle, asılı cismin periyodunu hesaplamak oldukça zor görev... Matematiksel bir sarkaç için durum daha basittir. Bu tür sarkaçların gözlemlerinden aşağıdaki basit yasalar oluşturulabilir.
1. Sarkaçın uzunluğunu (askı noktasından yükün ağırlık merkezine olan mesafe) koruyarak, farklı ağırlıkları askıya alırsanız, ağırlıkların kütleleri büyük ölçüde farklı olmasına rağmen salınım periyodu aynı olacaktır. . Matematiksel sarkacın periyodu, yükün kütlesine bağlı değildir.
2. Sarkacı başlatırken, onu farklı (ancak çok büyük olmayan) açılarda saptırırsak, farklı genliklerde de olsa aynı periyotla salınacaktır. Genlikler çok büyük olmadığı sürece salınımlar form olarak harmoniğe yeterince yakındır (§ 5) ve matematiksel sarkacın periyodu salınımların genliğine bağlı değildir. Bu özelliğe izokronizm denir (Yunanca "isos" - eşit, "chronos" - zaman kelimelerinden).
Bu gerçek ilk olarak 1655'te Galileo tarafından iddiaya göre aşağıdaki koşullar altında tespit edildi. Galileo, Pisa Katedrali'nde, tutuşturulduğunda itilen uzun bir zincir üzerinde bir avizenin salınımını gözlemledi. İlahi hizmet sırasında, salıncağın salınımı yavaş yavaş azaldı (§ 11), yani salınımın genliği azaldı, ancak süre aynı kaldı. Galileo, zamanın bir göstergesi olarak kendi nabzını kullandı.
Şimdi bir matematiksel sarkacın salınım periyodu için bir formül türetelim.
Pirinç. 16. Sarkaçın düzlemdeki salınımları (a) ve koni boyunca hareket (b)
Sarkaç sallandığında, yük, hareket sırasında değişen bir geri yükleme kuvvetinin etkisi altında bir yay (Şekil 16, a) boyunca hızlanarak hareket eder. Sabit olmayan bir kuvvetin etkisi altında vücut hareketinin hesaplanması oldukça karmaşıktır. Bu nedenle, basitlik uğruna aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz.
Sarkacı tek bir düzlemde salınım yapmaya değil, koniyi, yükün bir daire içinde hareket etmesini sağlayacak şekilde tanımlamaya zorlayalım (Şekil 16, b). Bu hareket, iki bağımsız titreşimin eklenmesiyle elde edilebilir: biri - hala çizim düzleminde ve diğeri - dikey düzlemde. Açıktır ki, bu düzlem salınımlarının her ikisinin de periyotları aynıdır, çünkü herhangi bir salınım düzlemi diğerinden farklı değildir. Sonuç olarak, karmaşık hareket periyodu - sarkacın bir koni boyunca dönüşü - su düzleminin sallanma periyodu ile aynı olacaktır. Bu sonuç, iki özdeş sarkaç alarak ve bunlardan birine bir düzlemde sallanma ve diğerine bir koni boyunca dönme kazandıran doğrudan deneyle kolayca gösterilebilir.
Ancak "konik" sarkacın dönüş periyodu, yük tarafından tanımlanan dairenin uzunluğuna bölünerek hıza eşittir:
Düşeyden sapma açısı küçükse (küçük genlikler), o zaman geri yükleme kuvvetinin dairenin yarıçapı boyunca yönlendirildiğini, yani merkezcil kuvvete eşit olduğunu varsayabiliriz:
Öte yandan, üçgenlerin benzerliğinden şu sonucu çıkar. O zamandan beri buradan
Her iki ifadeyi de birbirine eşitleyerek, dolaşım hızını elde ederiz.
Son olarak, bunu dönem ifadesinde yerine koyarsak, buluruz.
Bu nedenle, bir matematiksel sarkacın periyodu yalnızca yerçekimi ivmesine ve sarkacın uzunluğuna, yani süspansiyon noktasından yükün ağırlık merkezine olan mesafeye bağlıdır. Elde edilen formülden, sarkacın periyodunun kütlesine ve genliğine (yeterince küçük olması şartıyla) bağlı olmadığı sonucu çıkar. Başka bir deyişle, daha önce kurulan temel yasaları gözlemlerden hesaplayarak elde ettik.
Ancak teorik sonucumuz bize daha fazlasını verir: sarkacın periyodu, uzunluğu ve yerçekimi ivmesi arasında nicel bir ilişki kurmamıza izin verir. Matematiksel sarkacın periyodu, sarkacın uzunluğunun yerçekimi ivmesine oranının karekökü ile orantılıdır. En boy oranı şöyledir.
Bu ivmeyi belirlemenin çok doğru bir yolu, sarkacın periyodunun yerçekimi ivmesine bağımlılığına dayanır. Sarkaçın uzunluğunu ölçtükten ve belirledikten sonra Büyük bir sayı salınım süresi, ortaya çıkan formülü kullanarak hesaplayabiliriz. Bu yöntem pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır.
Yerçekimi ivmesinin aşağıdakilere bağlı olduğu bilinmektedir (bkz. Cilt I, §53). coğrafi enlem yerler (kutupta ve ekvatorda). Belirli bir referans sarkacın salınım periyodunun gözlemleri, enlemde yerçekimine bağlı ivmenin dağılımını incelemeyi mümkün kılar. Bu yöntem o kadar doğrudur ki, yardımı ile üzerindeki anlamlarda daha ince farklılıkları tespit etmek mümkündür. dünyanın yüzeyi... Aynı paralelde bile, dünya yüzeyindeki farklı noktalarda değerlerin farklı olduğu ortaya çıktı. Yerçekimi ivmesinin dağılımındaki bu anormallikler, yer kabuğunun eşit olmayan yoğunluğu ile ilişkilidir. Özellikle yoğunluk dağılımını incelemek, yerkabuğunun kalınlığındaki herhangi bir mineralin oluşumunu tespit etmek için kullanılırlar. Yoğun kütlelerin oluşumunu yargılamayı mümkün kılan kapsamlı gravimetrik değişiklikler, Sovyet fizikçisinin rehberliğinde Kursk manyetik anomalisi (bkz. Cilt II, § 130) alanında SSCB'de gerçekleştirildi. Pyotr Petrovich Lazarev. Dünyanın anomalisi hakkındaki verilerle birlikte manyetik alan bu gravimetrik veriler, Kursk manyetik ve yerçekimi anomalilerini belirleyen demir kütlelerinin oluşum dağılımını belirlemeyi mümkün kıldı.
matematiksel sarkaç Dünyanın yerçekimi alanında yer alan ağırlıksız ve uzamaz bir iplik üzerinde asılı duran maddi bir noktadır. Matematiksel bir sarkaç, gerçek bir sarkacı yalnızca belirli koşullar altında doğru bir şekilde tanımlayan idealleştirilmiş bir modeldir. Gerçek bir sarkaç, ipliğin uzunluğu, üzerinde asılı duran gövdenin boyutlarından çok daha büyükse, ipliğin ağırlığı vücudun kütlesine kıyasla ihmal edilebilirse ve ipliğin deformasyonları çok küçükse matematiksel olarak kabul edilebilir. tamamen ihmal edilebilirler.
salınım sistemi bu durum bir iplik, ona bağlı gövde ve Dünya, onsuz bu sistemin bir sarkaç olarak hizmet edemediği bir iplik oluşturur.
nerede a NS – hızlanma, G - yerçekimi ivmesi, NS- telafi etmek, ben Sarkaç ipliğinin uzunluğudur.
Bu denklem denir matematiksel sarkacın serbest salınımlarının denklemi. Yalnızca aşağıdaki varsayımlar yerine getirildiğinde, dikkate alınan dalgalanmaları doğru bir şekilde tanımlar:
2) sadece küçük salınım açısına sahip bir sarkacın küçük salınımları dikkate alınır.
Her durumda herhangi bir sistemin serbest titreşimleri benzer denklemlerle tanımlanır.
Matematiksel sarkacın serbest salınımlarının nedenleri:
1. Gerilme kuvveti ve yerçekimi kuvvetinin sarkacın denge konumundan yer değiştirmesini önleyen ve onu tekrar aşağı inmeye zorlayan etkisi.
2. Sarkacın hızını korurken, denge konumunda durmadığı, ancak içinden geçtiği sarkacın ataleti.
Matematiksel sarkacın serbest salınım periyodu
Matematiksel sarkacın serbest salınım periyodu kütlesine bağlı değildir, sadece ipliğin uzunluğu ve sarkacın bulunduğu yerdeki yerçekimi ivmesi ile belirlenir.
Enerjinin harmonik titreşimlerle dönüştürülmesi
Yay sarkacının harmonik salınımları ile elastik olarak deforme olmuş cismin potansiyel enerjisi, kinetik enerji, nerede k – elastikiyet katsayısı, NS - sarkacın denge konumundan yer değiştirme modülü, m sarkacın kütlesi, v- hızı. Harmonik titreşim denklemine göre:
,
.
Yay sarkacının toplam enerjisi:
.
Matematiksel bir sarkaç için toplam enerji:
Matematiksel bir sarkaç durumunda
Bir yaylı sarkacın salınımları sırasındaki enerji dönüşümleri, mekanik enerjinin korunumu yasasına göre gerçekleşir ( 
). Sarkaç denge konumundan aşağı veya yukarı hareket ettiğinde potansiyel enerjisi artarken kinetik enerjisi azalır. Sarkaç denge konumunu geçtiğinde ( NS= 0), potansiyel enerjisi sıfırdır ve sarkacın kinetik enerjisi toplam enerjisine eşit en büyük değere sahiptir.
Böylece sarkacın serbest salınımları sürecinde, potansiyel enerjisi kinetik, kinetik potansiyel, potansiyel sonra tekrar kinetik, vb.'ye dönüştürülür. Ancak toplam mekanik enerji değişmeden kalır.
Zorlanmış titreşimler. Rezonans.
Periyodik bir dış kuvvetin etkisi altında meydana gelen salınımlara denir. zorla tereddüt... Zorlama adı verilen harici bir periyodik kuvvet, sürtünmeden kaynaklanan enerji kayıplarını yenilemek için kullanılan salınım sistemine ek enerji verir. Sinüs veya kosinüs yasasına göre itici güç zamanla değişirse, zorlanmış salınımlar harmonik ve sönümsüz olacaktır.
Serbest salınımlardan farklı olarak, sistem yalnızca bir kez enerji aldığında (sistem dengeden çıkarıldığında), zorlanmış salınımlar durumunda, sistem bu enerjiyi sürekli olarak harici bir periyodik kuvvet kaynağından emer. Bu enerji, sürtünmenin üstesinden gelmek için harcanan kayıpları telafi eder ve bu nedenle salınım sisteminin toplam enerjisi değişmeden kalır.
Zorlanmış titreşimlerin frekansı, itici kuvvetin frekansına eşittir.... İtici gücün frekansının olduğu durumda υ salınım sisteminin doğal frekansı ile çakışır υ 0 , zorunlu salınımların genliğinde keskin bir artış var - rezonans. Rezonans, ne zaman olduğu gerçeği nedeniyle ortaya çıkar. υ = υ 0 serbest salınımlarla zaman içinde hareket eden dış kuvvet, her zaman salınan cismin hızıyla birlikte yönlendirilir ve pozitif iş yapar: salınan cismin enerjisi artar ve salınımlarının genliği büyür. Zorlanmış titreşimlerin genliğinin bağımlılığının grafiği A T itici gücün frekansında υ şekilde gösterilen bu grafiğe rezonans eğrisi denir:
Rezonans olgusu, bir dizi doğal, bilimsel ve endüstriyel süreçte önemli bir rol oynar. Örneğin, köprüler, binalar ve yük altında titreşim yaşayan diğer yapılar tasarlanırken rezonans olgusunu dikkate almak gerekir, aksi takdirde belirli koşullar altında bu yapılar tahrip olabilir.
(lat. genlik- değer), salınan cismin denge konumundan en büyük sapmasıdır.
Bir sarkaç için bu, topun denge konumundan hareket ettiği maksimum mesafedir (aşağıdaki şekil). Küçük genlikli salınımlar için, 01 veya 02 yayının uzunluğu ve bu bölümlerin uzunlukları gibi bir mesafe alınabilir.
Salınımların genliği uzunluk birimleriyle ölçülür - metre, santimetre vb. Salınım grafiğinde genlik, sinüzoidal bir eğrinin maksimum (modulo) koordinatı olarak tanımlanır (aşağıdaki şekle bakın).
Tereddüt dönemi.
salınım periyodu- bu, salınımlar gerçekleştiren sistemin tekrar keyfi olarak seçilen ilk zaman anında olduğu duruma geri döndüğü en küçük zaman aralığıdır.
Başka bir deyişle, salınım periyodu ( T) Tam bir salınımın tamamlandığı süredir. Örneğin, aşağıdaki şekilde, sarkacın ağırlığının aşırı uçtan hareket ettiği zamandır. doğru nokta denge noktasından Ö en soldaki noktaya ve noktadan geriye doğru Ö en sağa dön.
Böylece, tam bir salınım periyodu boyunca, vücut dört genliğe eşit bir yol kat eder. Salınım periyodu zaman birimleriyle ölçülür - saniye, dakika vb. Salınım periyodu iyi bilinen salınım grafiğinden belirlenebilir (aşağıdaki şekle bakın).
Kesin olarak söylemek gerekirse, "salınım periyodu" kavramı, yalnızca salınım miktarının değerleri belirli bir süre sonra, yani harmonik salınımlar için tam olarak tekrarlandığında geçerlidir. Bununla birlikte, bu kavram, örneğin, yaklaşık olarak tekrarlanan miktarlar için de geçerlidir. sönümlü salınımlar.
Salınım frekansı.
salınım frekansı Birim zamandaki titreşim sayısı, örneğin 1 s.
SI frekans birimi denir hertz(Hz.) Alman fizikçi G. Hertz (1857-1894) onuruna. Titreşim frekansı ise ( v) eşittir 1 Hz., o zaman bu, her saniye için bir salınımın gerçekleştirildiği anlamına gelir. Salınımların sıklığı ve periyodu ilişkilerle ilişkilidir:
Titreşim teorisinde de şu kavramı kullanırlar: döngüsel, veya dairesel frekans ω ... Her zamanki frekansla ilgilidir. v ve salınım periyodu T oranlar:
.
döngüsel frekans sırasında yapılan salınımların sayısı 2π saniye.
Matematiksel bir sarkaç süspansiyona bağlı ve yerçekimi (veya başka bir kuvvet) alanında bulunan ağırlıksız ve uzamaz bir iplik üzerinde asılı duran bir malzeme noktası olarak adlandırılır.
Bir matematiksel sarkacın salınımlarını, askı noktasının durağan olduğu veya düz bir çizgide düzgün hareket ettiği bir atalet referans çerçevesinde inceleyelim. Hava direncinin kuvvetini (ideal matematiksel sarkaç) ihmal edeceğiz. Başlangıçta sarkaç denge pozisyonu C'de durmaktadır. Bu durumda, ipliğin yerçekimi kuvveti \ (\ vec F \) ve elastikiyet kuvveti \ (\ vec F_ (ynp) \) karşılıklı olarak dengelenir.
Sarkacı denge konumundan çıkaralım (örneğin, A konumuna saptırarak) ve başlangıç hızı olmadan serbest bırakalım (Şekil 13.11). Bu durumda \ (\ vec F \) ve \ (\ vec F_ (ynp) \) kuvvetleri birbirini dengelemez. Sarkaç üzerinde hareket eden yerçekiminin teğet bileşeni \ (\ vec F_ \ tau \), onu bilgilendirir teğetsel ivme\ (\ vec a_ \ tau \) (matematiksel sarkacın yörüngesine teğet boyunca yönlendirilen toplam ivmenin bileşeni) ve sarkaç mutlak değerde artan bir hızla denge konumuna doğru hareket etmeye başlar. Yerçekiminin \ (\ vec F_ \ tau \) teğetsel bileşeni bu nedenle bir geri getirme kuvvetidir. Yerçekiminin normal bileşeni \ (\ vec F_n \) iplik boyunca elastik kuvvete \ (\ vec F_ (ynp) \) karşı yönlendirilir. \ (\ vec F_n \) ve \ (\ vec F_ (ynp) \) kuvvetlerinin sonucu, sarkaca hız vektörünün yönünü değiştiren normal bir ivme \ (~ a_n \) verir ve sarkaç birlikte hareket eder bir yay ABCD.
Sarkaç denge konumu C'ye ne kadar yakınsa, teğetsel bileşenin \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \) değeri o kadar küçük olur. Denge konumunda sıfırdır ve hız maksimum değer, ve sarkaç ataletle daha da hareket eder, bir yayda yükselir. Bu durumda \ (\ vec F_ \ tau \) bileşeni hıza karşı yönlendirilir. Sapma açısı a'daki bir artışla, kuvvet modülü \ (\ vec F_ \ tau \) artar ve hız modülü azalır ve D noktasında sarkacın hızı sıfır olur. Sarkaç bir an için durur ve sonra denge konumuna zıt yönde hareket etmeye başlar. Atalet tarafından tekrar geçtikten sonra, hareketini yavaşlatan sarkaç A noktasına ulaşacaktır (sürtünme yoktur), yani. tam bir tereddüt edecek. Bundan sonra sarkacın hareketi daha önce tarif edilen sırayla tekrarlanacaktır.
Matematiksel sarkacın serbest salınımlarını tanımlayan bir denklem elde edelim.
Sarkacın belirli bir zamanda B noktasında olmasına izin verin. Bu andaki denge konumundan S yer değiştirmesi yayın SV uzunluğuna eşittir (yani S = | SV |). Süspansiyon ipliğinin uzunluğunu belirtelim ben ve sarkacın kütlesi m.
Şekil 13.11, \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \), burada \ (\ alpha = \ frac (S) (l). \) Küçük açılar için \ (~ (\ alpha \) olduğunu gösterir.<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\ (F_ \ tau = -F \ frak (S) (l) = -mg \ frak (S) (l). \)
Bu formüldeki eksi işareti, yerçekimi kuvvetinin teğet bileşeni denge konumuna doğru yönlendirildiği ve yer değiştirmenin denge konumundan sayıldığı için ayarlanır.
Newton'un ikinci yasasına göre \ (m \ vec a = m \ vec g + F_ (ynp). \) Bu denklemin vektör miktarlarını matematiksel sarkacın yörüngesine teğet yönüne yansıtalım.
\ (~ F_ \ tau = ma_ \ tau. \)
Bu denklemlerden elde ettiğimiz
\ (a_ \ tau = - \ frac (g) (l) S \) - matematiksel bir sarkacın dinamik hareket denklemi. Matematiksel sarkacın teğetsel ivmesi, yer değiştirmesiyle orantılıdır ve denge konumuna doğru yönlendirilir. Bu denklem \ olarak yazılabilir. Bunu harmonik salınımlar \ (~ a_x + \ omega ^ 2x = 0 \) denklemiyle karşılaştırarak (bkz. § 13.3), matematiksel sarkacın harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucuna varabiliriz. Ve sarkacın düşünülen salınımları yalnızca iç kuvvetlerin etkisi altında gerçekleştiğinden, bunlar sarkacın serbest salınımlarıydı. Buradan, küçük sapmalara sahip bir matematiksel sarkacın serbest salınımları harmoniktir.
\ (\ frac (g) (l) = \ omega ^ 2. \) Nerden \ (\ omega = \ sqrt \ frac (g) (l) \) sarkacın döngüsel frekansıdır.
Sarkaçın salınım periyodu \ (T = \ frac (2 \ pi) (\ omega). \) Bu nedenle,
\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g)) \)
Bu ifade denir Huygens formülü ile. Matematiksel sarkacın serbest salınımlarının periyodunu belirler. Formülden, denge konumundan küçük sapma açılarında, matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun: 1) kütlesine ve salınımların genliğine bağlı olmadığı; 2) sarkacın uzunluğunun kareköküyle orantılı ve yerçekimi ivmesinin kareköküyle ters orantılıdır. Bu, G. Galileo tarafından keşfedilen matematiksel sarkacın küçük salınımlarının deneysel yasalarıyla tutarlıdır.
Bu formülün iki koşulun aynı anda sağlandığı süreyi hesaplamak için kullanılabileceğini vurgulayalım: 1) sarkacın salınımları küçük olmalıdır; 2) sarkacın asma noktası, içinde bulunduğu eylemsiz referans çerçevesine göre hareketsiz olmalı veya düzgün doğrusal hareket etmelidir.
Matematiksel sarkacın asma noktası ivme \ (\ vec a \) ile hareket ederse, ipliğin gerilim kuvveti değişir, bu da geri yükleme kuvvetinde ve dolayısıyla salınımların sıklığı ve periyodunda bir değişikliğe yol açar. Hesaplamalar, bu durumda sarkacın salınım süresinin formülle hesaplanabileceğini göstermektedir.
\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g ")) \)
burada \ (~ g "\), ataletsiz bir referans çerçevesinde sarkacın" etkin "ivmesidir. Yerçekimi ivmesinin \ (\ vec g \) ve karşısındaki vektörün geometrik toplamına eşittir. vektörü \ (\ vec a \), yani formülle hesaplanabilir
\ (\ vec g "= \ vec g + (- \ vec a). \)
Edebiyat
Aksenovich L.A. Lisede Fizik: Teori. Görevler. Testler: Ders kitabı. obs alınmasını sağlayan kurumlar için ödenek. çevreler, eğitim / L.A. Aksenovich, N.N. Rakina, K.S. Farino; Ed. K.S. Farino. - Minsk: Adukatsya i vyhavanne, 2004 .-- S. 374-376.
