Değişkenli ifadeler. Sayısal ve cebirsel ifadeler. İfadeleri Dönüştürme

Matematikte kabul edilen notasyonu kullanarak problemlerin koşullarını yazmak, basitçe ifade olarak adlandırılan matematiksel ifadelerin ortaya çıkmasına neden olur. Bu yazımızda detaylı olarak konuşacağız. sayısal, gerçek ifadeler ve değişkenli ifadeler: Her türün tanımlarını vereceğiz ve ifade örnekleri vereceğiz.

Sayfada gezinme.

Sayısal ifadeler - bunlar nedir?

Sayısal ifadelerle tanışma neredeyse ilk matematik derslerinden itibaren başlar. Ancak resmi olarak isimlerini - sayısal ifadeleri - biraz sonra alırlar. Örneğin, M.I. Moro'nun dersini takip ederseniz, bu 2. sınıf matematik ders kitabının sayfalarında gerçekleşir. Orada sayısal ifadelerin fikri şu şekilde verilmektedir: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, vb. - hepsi bu sayısal ifadeler ve eğer ifadede belirtilen eylemleri gerçekleştirirsek, şunu bulacağız: ifade değeri.

Matematik çalışmalarının bu aşamasında sayısal ifadelerin sayılar, parantez ve toplama-çıkarma işaretlerinden oluşan matematiksel anlam taşıyan kayıtlar olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir süre sonra çarpma ve bölmeye alıştıktan sonra sayısal ifadelerin kayıtları “·” ve “:” işaretlerini içermeye başlar. Birkaç örnek verelim: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, vb.

Lisede ise sayısal ifadelerin kayıtlarının çeşitliliği dağdan yuvarlanan bir kartopu gibi artıyor. Bunlar sıradan ve ondalık sayılar, karışık sayılar ve negatif sayılar, üsler, kökler, logaritmalar, sinüsler, kosinüsler vb.

Tüm bilgileri sayısal bir ifadenin tanımına göre özetleyelim:

Tanım.

Sayısal ifade - sayıların ve işaretlerin birleşimidir Aritmetik işlemler, kesirli çizgiler, kök işaretleri (radikaller), logaritmalar, trigonometrik, ters trigonometrik ve diğer fonksiyonlar için notasyonların yanı sıra parantezler ve diğer özel matematiksel semboller, matematikte kabul edilen kurallara uygun olarak derlenmiştir.

Belirtilen tanımın tüm bileşenlerini açıklayalım.

Sayısal ifadeler kesinlikle herhangi bir sayıyı içerebilir: doğaldan gerçeğe ve hatta karmaşıka. Yani sayısal ifadelerde bulunabilir

Aritmetik işlemlerin işaretleriyle her şey açıktır - bunlar sırasıyla "+", "-", "·" ve ":" biçimindeki toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işaretleridir. Sayısal ifadeler bu işaretlerden birini, bir kısmını veya tamamını aynı anda ve hatta birkaç kez içerebilir. Bunlarla ilgili sayısal ifade örnekleri şunlardır: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Parantezlere gelince, hem parantez içeren sayısal ifadeler hem de parantezsiz ifadeler vardır. Sayısal bir ifadede parantezler varsa, bunlar temel olarak

Ve bazen sayısal ifadelerdeki parantezlerin belirli, ayrı ayrı belirtilen özel bir amacı vardır. Örneğin, bir sayının tamsayı kısmını belirten köşeli parantezler bulabilirsiniz; dolayısıyla +2 sayısal ifadesi, 2 sayısının 1,75 sayısının tamsayı kısmına eklendiği anlamına gelir.

Sayısal bir ifadenin tanımından, ifadenin , , log , ln , lg , notasyonlar vb. içerebileceği de açıktır. İşte bunlarla ilgili sayısal ifadelerin örnekleri: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 ve .

Sayısal ifadelerde bölme ile gösterilebilir. Bu durumda kesirli sayısal ifadeler devreye girer. Bu tür ifadelerin örnekleri şunlardır: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 ve .

Sayısal ifadelerde bulunabilecek özel matematiksel semboller ve gösterimler olarak sunuyoruz. Örneğin, modül ile sayısal bir ifade gösterelim. .

Gerçek ifadeler nelerdir?

Harfli ifadeler kavramı, sayısal ifadelere aşina olduktan hemen sonra verilmektedir. Yaklaşık olarak bu şekilde girilir. Belirli bir sayısal ifadede, sayılardan biri yazılmaz, bunun yerine bir daire (veya kare veya benzeri bir şey) yerleştirilir ve dairenin yerine belirli bir sayının konulabileceği söylenir. Örneğin girişe bakalım. Örneğin kare yerine 2 sayısını koyarsanız 3+2 sayısal ifadesini elde edersiniz. Yani daireler, kareler vb. yerine. mektupları yazmayı kabul etti ve bu tür harfli ifadelere çağrıldı gerçek ifadeler. Örneğimize dönelim, bu girdide kare yerine a harfini koyarsak 3+a şeklinde birebir ifade elde ederiz.

Dolayısıyla, sayısal bir ifadede belirli sayıları ifade eden harflerin varlığına izin verirsek, o zaman gerçek ifade olarak adlandırılan ifadeyi elde ederiz. İlgili tanımı verelim.

Tanım.

Belirli sayıları temsil eden harflerin yer aldığı ifadeye ne ad verilir? gerçek ifade.

İtibaren bu tanım Gerçek bir ifadenin, harfleri içerebilmesi açısından sayısal bir ifadeden temel olarak farklı olduğu açıktır. Harf ifadelerinde genellikle Latin alfabesinin küçük harfleri (a, b, c, ...), açıları belirtirken ise Yunan alfabesinin küçük harfleri (α, β, γ, ...) kullanılır.

Yani, gerçek ifadeler sayılardan, harflerden oluşabilir ve her şeyi içerebilir. matematiksel semboller Parantez, kök işaretleri, logaritma, trigonometrik ve diğer fonksiyonlar gibi sayısal ifadelerde bulunabilenler. Bir harfli ifadenin en az bir harf içerdiğini ayrı ayrı vurguluyoruz. Ancak aynı veya farklı birkaç harf de içerebilir.

Şimdi gerçek ifadelere bazı örnekler verelim. Örneğin a+b, a ve b harflerini içeren gerçek bir ifadedir. İşte 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5 gerçek ifadesinin başka bir örneği. Ve gerçek bir ifadeye bir örnek verelim karmaşık tip: .

Değişkenli ifadeler

Eğer gerçek bir ifadede bir harf, belirli bir değer almayan ancak alabilen bir miktarı ifade ediyorsa Farklı anlamlar, o zaman bu mektuba denir değişken ve ifade denir değişkenli ifade.

Tanım.

Değişkenlerle ifade harflerin (tümü veya bir kısmı) farklı değerler alan miktarları ifade ettiği gerçek bir ifadedir.

Örneğin, x 2 −1 ifadesindeki x harfinin 0 ila 10 aralığında herhangi bir doğal değer almasına izin verin, o zaman x bir değişkendir ve x 2 −1 ifadesi de x değişkenini içeren bir ifadedir.

Bir ifadede birden fazla değişkenin bulunabileceğini belirtmekte fayda var. Örneğin, x ve y'nin değişken olduğunu düşünürsek, ifade iki değişken x ve y olan bir ifadedir.

Genel olarak, birebir ifade kavramından değişkenli bir ifadeye geçiş, cebir çalışmalarına başladıkları 7. sınıfta gerçekleşir. Bu noktaya kadar harf ifadeleri bazı spesifik görevleri modelliyordu. Cebirde ifadeye referans vermeden daha genel olarak bakmaya başlarlar. Özel görev, bu ifadenin çok sayıda soruna uyduğu anlayışıyla.

Bu noktayı bitirmek için bir noktaya daha dikkat edelim: dış görünüş Bir harfi harfine ifadeden, içindeki harflerin değişken olup olmadığını bilmek imkansızdır. Dolayısıyla bu harfleri değişken olarak değerlendirmemize hiçbir şey engel olmuyor. Bu durumda “gerçek ifade” ile “değişkenli ifade” terimleri arasındaki fark ortadan kalkmaktadır.

Kaynakça.

• Matematik. 2 sınıf Ders Kitabı genel eğitim için adj'lı kurumlar elektron başına taşıyıcı. 14:00 Bölüm 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, vb.] - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2012. - 96 s.: hasta. - (Rusya Okulu). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Girişler 2 A + 8, 3A + 5B, A 4 – bс değişkenli ifadelere denir. Harf yerine rakam koyarak sayısal ifadeler elde ederiz. Genel kavram değişkenli ifadeler sayısal ifade kavramıyla tamamen aynı şekilde tanımlanır, ancak değişkenli ifadeler sayıların yanı sıra harfler de içerebilir.

Değişkenli ifadeler için basitleştirmeler de kullanılır: yalnızca sayı veya harf içeren parantez koymayın, harfler arasına, sayılar ve harfler arasına çarpma işareti koymayın.

Bir, iki, üç vb. ifadeler vardır. değişkenler. Atamak A(X), İÇİNDE(x, y) vesaire.

Değişken içeren bir ifadeye ifade veya yüklem adı verilemez. Örneğin, ifade 2 hakkında A+5 Doğru mu yanlış mı olduğu söylenemez, dolayısıyla bir ifade değildir. Bir değişken yerine A sayıların yerine geçersek, yine ifade olmayan çeşitli sayısal ifadeler elde ederiz, dolayısıyla bu ifade de bir yüklem değildir.

Değişken içeren her ifade, bir dizi sayıya karşılık gelir ve bunların değiştirilmesi anlamlı bir sayısal ifade üretir. Bu kümeye ifadenin tanım kümesi denir.

Örnek. 8: (4 – X) - ihtisas R\(4), çünkü en X= 4 ifadesi 8: (4 – 4) anlamsızdır.

İfade birden fazla değişken içeriyorsa, örneğin, X Ve en, o zaman bu ifadenin tanım alanı bir dizi sayı çifti olarak anlaşılır ( A; B) öyle ki değiştirirken X Açık A Ve en Açık B sonuç, değeri olan sayısal bir ifadedir.

Örnek. tanım alanı çiftler kümesidir ( A; B) │A≥ B.

Tanım. Değişkenli iki ifadenin herhangi bir değer için aynı şekilde eşit olduğu söylenir. İfadelerin kapsamındaki değişkenlerin karşılık gelen değerleri eşittir.

O. iki ifade A(X), İÇİNDE(X) kümede özdeştir X, Eğer

1) takımlar kabul edilebilir değerler bu ifadelerdeki değişkenler aynıdır;

2) herkes için X 0 izin verilen değer kümeleri, ifadelerin anlamları X 0 çakışıyor, yani. A(X 0) = İÇİNDE(X 0) doğru bir sayısal eşitliktir.

Örnek. (2 X+ 5) 2 ve 4 X 2 + 20X+ 25 – tamamen eşit ifadeler.

Atamak A(X) º İÇİNDE(X). İki ifadenin bazı kümelerde aynı şekilde eşit olması durumunda e, o zaman herhangi bir alt kümede aynı şekilde eşittirler e 1 М E. Bir değişkenle iki ifadenin özdeşlik eşitliğine ilişkin ifadenin bir ifade olduğunu da belirtmek gerekir.

Belirli bir kümedeki özdeş iki ifadeyi eşittir işaretiyle bağlarsak, bu kümede özdeşlik adı verilen bir cümle elde ederiz.

Gerçek sayısal eşitlikler de kimlik olarak kabul edilir. Kimlikler, gerçek sayıların toplanması ve çarpımı kanunları, bir toplamdan bir sayıyı ve bir sayıdan bir toplamı çıkarma kuralları, bir toplamı bir sayıya bölme kuralları vb.'dir. Kimlikler aynı zamanda sıfır ve bir ile yapılan işlemlerin kurallarıdır.

Bir ifadeyi, bir kümede kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirmeye denir. özdeş dönüşüm bu ifadenin.

Örnek. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - özdeş dönüşüm, aynı dönüşüm değildir R.

§ 5. Değişkenli ifadelerin sınıflandırılması

1) Yalnızca toplama, çıkarma, çarpma ve üs alma işlemlerini kullanarak değişkenlerden ve sayılardan oluşan ifadeye tamsayı ifadesi veya polinom denir.

Örnek. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3en)

2) Rasyonel, toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanarak değişkenlerden ve sayılardan oluşturulan bir ifadedir. Rasyonel bir ifade, iki tam ifadenin oranı olarak temsil edilebilir; polinomlar. Tamsayı ifadelerinin rasyonel ifadelerin özel bir durumu olduğuna dikkat edin.

Örnek. .

3) İrrasyonel, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma işlemlerinin yanı sıra kök çıkarma işlemi kullanılarak değişkenlerden ve sayılardan oluşturulan bir ifadedir. P-inci derece.

Problemleri ve bazı ifadeleri çözmek her zaman salt sayısal yanıtlara yol açmaz. Önemsiz hesaplamalar durumunda bile değişkenli ifade adı verilen belirli bir yapıya ulaşabilirsiniz.

Örneğin iki pratik problemi ele alalım. İlk durumda günde 5 ton süt üreten bir fabrikamız var. Bitkinin p günde ne kadar süt ürettiğini bulmak gerekir.

İkinci durumda genişliği 5 cm, uzunluğu p cm olan bir dikdörtgen vardır. Şeklin alanını bulun.

Elbette, eğer tesis günde beş ton süt üretiyorsa, en basit matematiksel mantığa göre p günde 5p ton süt üretecektir. Öte yandan, bir dikdörtgenin alanı kenarlarının çarpımına eşittir - yani bu durumda 5 ruble. Başka bir deyişle, farklı koşullara sahip iki önemsiz problemde cevap bir tam ifadedir - 5p. Bu tür monomlara değişkenli ifadeler denir, çünkü sayısal kısma ek olarak bilinmeyen veya değişken adı verilen belirli bir harf içerirler. Böyle bir öğe, önemli olmasa da, Latin alfabesinin küçük harfleriyle, çoğunlukla x veya y ile gösterilir.

Bir değişkenin özelliği pratikte her değeri alabilmesidir. Değiştirme farklı sayılar, sorunlarımızın nihai çözümünü elde edeceğiz, örneğin ilki için:

p = 2 gün, tesis 5p = 10 ton süt üretiyor;

p = 4 gün, tesis 5p = 20 ton süt üretiyor;

Veya ikincisi için:

p = 10 cm, şeklin alanı 5p = 50 cm2

p = 20 cm, şeklin alanı 5p = 100 cm2

P'nin bazı bireysel değerlerden oluşan bir küme değil, problemin koşullarına matematiksel olarak karşılık gelecek tüm küme olduğunu anlamak önemlidir. Bir değişkenin ana rolü, bir koşuldaki eksik öğeyi değiştirmektir. Herhangi bir matematik probleminin bazı yapıları içermesi ve bu yapılar arasındaki ilişkiyi koşulda göstermesi gerekir. Bir nesnenin değeri eksikse onun yerine bir değişken eklenir. Üstelik bu, işlevsel bağlantıların değil, koşulun tam unsurunun (bir sayı veya ifadeyle temsil edilen bir şeyin miktarı) soyut bir ikamesidir.

5p biçimindeki bir ifadeyi nötr ve bağımsız bir nesne olarak düşünürsek, o zaman içindeki p'nin değeri herhangi bir değeri alabilir; aslında p burada tüm gerçek sayılar kümesine eşittir.

Ancak bizim problemlerimizde 5p şeklindeki cevap, koşullardan kaynaklanan bazı matematiksel kısıtlamalara tabidir. Örneğin, günler ve günler negatif olamaz, dolayısıyla her iki problemde de p her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Ayrıca günler kesirli olamaz - ilk problem için yalnızca pozitif tam sayılar olan p değerleri geçerlidir.

İlk problemde: p, tüm pozitif tam sayıların sonlu kümesine eşittir;

İkinci problemde: p, tüm pozitif sayıların sonlu kümesine eşittir.

İfadeler aynı anda iki değişkeni içerebilir, örneğin:

Bu durumda bir binom, her birinin bileşiminde bir değişken bulunan ve bu değişkenler farklı, yani birbirinden bağımsız olan iki monom ile temsil edilir. Bu ifadenin değeri ancak her iki değişkenin de değerleri mevcutsa tam olarak hesaplanabilir. Örneğin, eğer x = 2 ve y = 4 ise:

2x + 3y = 4 + 12 = 16 (x = 2, y = 4 ile)

Bu ifadede, değişkenin değerleri üzerinde herhangi bir matematiksel veya mantıksal kısıtlama bulunmadığını belirtmekte fayda var - hem x hem de y, tüm gerçek sayılar kümesine aittir.

İÇİNDE genel anlamda, tüm sayıların kümesi, bir değişken yerine değiştirildiğinde, ifade anlamını ve geçerliliğini korur, değişkenin tanım alanı (veya değeri) olarak adlandırılır.

Gerçek problemlerle ilgili olmayan soyut örneklerde, bir değişkenin tanım alanı çoğunlukla ya tüm gerçek sayılar kümesine eşittir ya da belirli yapılarla, örneğin bir kesirle sınırlıdır. Bildiğiniz gibi bölen sıfır olduğunda kesrin tamamı anlamsız hale gelir. Bu nedenle, formun ifadesindeki bir değişken:

beşe eşit olamaz çünkü o zaman:

7x/(x - 5) = 7x/0 (x = 5 için)

Ve kesir anlamını kaybedecek. Bu nedenle, bu ifade için x değişkeninin bir tanım alanı vardır - 5 dışındaki tüm sayıların kümesi.

Video eğitimimiz aynı zamanda değişkenlerin aynı dereceden bir sayıyı ifade ettikleri durumlarda kullanılmasına ilişkin özel bir durumu da vurgulamaktadır. Örneğin, 54, 30, 78 sayıları a değişkeni aracılığıyla veya ab yapısı aracılığıyla (üründen ayırt etmek için üstte yatay bir çubuk bulunur) belirtilebilir; burada b birimleri belirtir (4, 0, 8) , sırasıyla) ve - onlarca (sırasıyla, 5, 3, 7).

Okuldaki cebir derslerinde ifadelerle karşılaşıyoruz çeşitli türler. Yeni materyaller öğrendikçe ifadeleri kaydetmek daha çeşitli ve karmaşık hale gelir. Örneğin, kuvvetlerle tanıştık - ifadelerde görünen kuvvetler, kesirleri inceledik - kesirli ifadeler ortaya çıktı vb.

Malzemeyi tanımlamanın kolaylığı açısından, benzer unsurlardan oluşan ifadelere, onları tüm ifade çeşitliliğinden ayırmak amacıyla özel isimler verilmiştir. Bu yazıda onları tanıyacağız, yani okuldaki cebir derslerinde işlenen temel ifadelere genel bir bakış sunacağız.

Sayfada gezinme.

Monomiyaller ve polinomlar

Adı verilen ifadelerle başlayalım monomlar ve polinomlar. Bu makalenin yazıldığı sırada, tek terimli ve polinomlarla ilgili sohbet 7. sınıf cebir derslerinde başlıyor. Orada aşağıdaki tanımlar verilmiştir.

Tanım.

Monomiyaller sayılara, değişkenlere, bunların kuvvetlerine denir doğal gösterge ve onlardan derlenen eserler.

Tanım.

Polinomlar monomların toplamıdır.

Örneğin, 5 sayısı, x değişkeni, z kuvveti 7, 5 x ve 7 x x 2 7 z 7 çarpımlarının hepsi tek terimlidir. Tek terimlilerin toplamını alırsak, örneğin 5+x veya z 7 +7+7·x·2·7·z 7, o zaman bir polinom elde ederiz.

Tek terimli ve polinomlarla çalışmak çoğu zaman onlarla bir şeyler yapmayı gerektirir. Böylece, tek terimlilerin kümesinde, tek terimlilerin çarpımı ve bir tek terimlinin bir kuvvete yükseltilmesi, bunların uygulanmasının bir sonucu olarak bir tek terimlinin elde edilmesi anlamında tanımlanır.

Toplama, çıkarma, çarpma ve üs alma polinomlar kümesinde tanımlanır. Bu eylemlerin nasıl belirlendiğini ve hangi kurallara göre gerçekleştirildiğini Polinomlarla Eylemler makalesinde konuşacağız.

Tek değişkenli polinomlardan bahsedersek, onlarla çalışırken bir polinomu bir polinoma bölmenin önemli pratik önemi vardır ve çoğu zaman bu tür polinomların bir çarpım olarak temsil edilmesi gerekir; bu işleme polinomun çarpanlara ayrılması denir;

Rasyonel (cebirsel) kesirler

8. sınıfta değişkenli bir ifadeyle bölmeyi içeren ifadelerin çalışmasına başlanır. Ve bu türden ilk ifadeler rasyonel kesirler bazı yazarların dediği gibi cebirsel kesirler.

Tanım.

Rasyonel (cebirsel) kesir payı ve paydası polinomlar, özellikle tek terimli sayılar ve sayılar olan bir kesirdir.

Rasyonel kesirlere bazı örnekler: ve . Bu arada, herhangi bir sıradan kesir rasyonel (cebirsel) bir kesirdir.

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemleri çeşitli cebirsel kesirlerde tanıtılmaktadır. Bunun nasıl yapılacağı Cebirsel kesirlerle eylemler makalesinde açıklanmaktadır.

Cebirsel kesirlerin dönüşümlerini gerçekleştirmek sıklıkla gereklidir; bunlardan en yaygın olanı, yeni bir paydaya indirgeme ve azaltmadır.

Rasyonel ifadeler

Tanım.

Güç içeren ifadeler (güç ifadeleri) notasyonlarında derece içeren ifadelerdir.

Burada kuvvetleri olan ifadelerin bazı örnekleri verilmiştir. Değişkenler içeremezler, örneğin 2 3 , . Değişkenlerle kuvvet ifadeleri de yer alır: ve benzeri.

Bunun nasıl yapıldığını öğrenmekten zarar gelmez. İfadeleri güçlerle dönüştürme.

İrrasyonel ifadeler, kökleri olan ifadeler

Tanım.

Logaritma içeren ifadelere denir logaritmik ifadeler.

Logaritmik ifadelere örnek olarak log 3 9+lne, log 2 (4 a b), .

Çoğu zaman ifadeler hem kuvvetleri hem de logaritmaları içerir; bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü logaritma tanımı gereği bir üsdür. Sonuç olarak şuna benzer ifadeler doğal görünür: .

Konuya devam etmek için malzemeye bakın logaritmik ifadeleri dönüştürme.

Kesirler

Bu bölümde ifadelere bakacağız. özel Tip- kesirler.

Kesir kavramı genişletir. Kesirler ayrıca yatay kesir çizgisinin üstünde ve altında (eğimli kesir çizgisinin solunda ve sağında) bulunan bir pay ve paydaya sahiptir. Sadece farklı sıradan kesirler, pay ve payda yalnızca şunları içeremez: tamsayılar, aynı zamanda diğer sayıların yanı sıra herhangi bir ifadeyi de içerir.

O halde bir kesir tanımlayalım.

Tanım.

Kesir bazı sayısal veya alfabetik ifadeleri veya sayıları temsil eden, kesirli bir çizgiyle ayrılmış bir pay ve paydadan oluşan bir ifadedir.

Bu tanım kesirlere örnek vermenizi sağlar.

Payı ve paydası sayı olan kesir örnekleriyle başlayalım: 1/4, , (−15)/(−2) . Bir kesrin payı ve paydası hem sayısal hem de alfabetik ifadeler içerebilir. Bu tür kesirlere örnekler: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Ancak 2/5−3/7 ifadeleri, notasyonlarında kesir içermesine rağmen kesir değildir.

Genel İfadeler

Lisede, özellikle artan zorluktaki problemlerde ve matematikte Birleşik Devlet Sınavında C grubu problemlerinde, notasyonlarında aynı anda kökler, kuvvetler, logaritmalar ve logaritmalar içeren karmaşık bir formun ifadeleriyle karşılaşacaksınız. trigonometrik fonksiyonlar, ve benzeri. Örneğin, veya . Yukarıda listelenen çeşitli ifade türlerine uyuyor gibi görünüyorlar. Ancak genellikle bunlardan biri olarak sınıflandırılmazlar. Hepsi göz önüne alındı ifade Genel görünüm ve tanımlarken ek açıklamalar eklemeden sadece bir ifade söylerler.

Makaleyi bitirirken şunu söylemek isterim ki, eğer belirli bir ifade hantalsa ve hangi türe ait olduğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman ona basit bir ifade demek, öyle olmayan bir ifade demekten daha iyidir. .

Kaynakça.

• Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

CEBİR
7. sınıf dersleri

Ders #14

Ders. Değişkenli ifadeler

Amaç: Öğrencilerin değişken içeren ifadelerle çalışma yeteneğini geliştirmek (ifadelerin değerlerini hesaplamak, değişkenli ifadelerin ODZ'sini bulmak).

Ders türü: becerilerin uygulanması.

Dersler sırasında

I. Doğrulama Ev ödevi

@ 2 numaralı (değişkenlerle bir ifade oluşturmak için) ve 3 numaralı (ifadedeki bir değişkenin ODZ'sini bulmak için) görevin tamamlandığını özellikle dikkatli bir şekilde kontrol etmelisiniz.

Hayır. 2. İfade şuna benzer: 6n - 50m. Eğer m = 2, n = 30 ise, o zaman

6 30 - 2 50 = 180 - 100 = 80 (k).

Cevap. 80 kopek için.

@ Hayır. 3. Öğrenciler için ifadenin anlamlı olmadığı durumdan (bölen veya payda sıfıra eşittir) ifadenin anlamlı olduğu koşullara (yani herhangi bir sayı kümesinde, ifadenin anlamlı olmadığı değişkenin değerlerini hariç tutuyoruz):

1) 2x - 5 herhangi bir x değeri için anlamlıdır çünkü bu bir tamsayı ifadesidir;

2) 0 dışındaki tüm x'ler için anlamlıdır;

3) x = -3 hariç tüm x'ler için anlamlıdır; x = -3 x + 3 = 0 için;

4) x'in herhangi bir değeri için anlamlıdır çünkü bu bir tam ifadedir.

II. Referans bilgilerinin güncellenmesi

@ Rutin (ve pek etkili olmayan) önden sorgulama yerine, böyle bir görevle çalışmayı çiftler (veya gruplar) halinde organize edebilirsiniz.

Verilen ifadeler şunlardır: ; 25: (3,5 + a); (3,5 + a): 25.

Bunları karşılaştırın ve mümkün olduğunca çok fark bulun. Çalışmanın sonuçlarının sunumu sırasında öğrenciler konunun ana kavramlarının içeriğini yeniden üretirler:

1. Sayısal ifadeler ve değişkenli ifadeler.

2. Sayısal ifadelerin ve değişkenli ifadelerin anlamları.

3. Mantıklı olmayan ifadeler

III. Becerileri geliştirmek

@ Bu derste öğrencilerin becerilerini geliştirmeye devam ediyoruz:

a) değişkenli ifadelerin değerlerini hesaplamak;

b) ifadenin anlamlı olduğu değişkenlerin değerlerini bulun;

c) belirli koşulları içeren ifadeler oluşturur.

Daha yüksek düzeyde görevler seçiyoruz.

Yazma alıştırmaları yapmak

1. Aşağıdaki durumda ifadenin değerini bulun:

1) x = 4; = 1,5'te;

2) x = -1; y = ;

3) x = 1,4; y = 0;

4) x = 1,3; y = -2,6.

2. a - b = 6 olduğu bilinmektedir; c = 5. İfadenin değerini bulun:
1) a - b + 3c;

3.2) c(b - a);

4. 3) ;

5. 4) .

6. Değişkenin hangi değerlerinde ifade anlamlıdır:
1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ?

@ Öğrenciler henüz polinomları çarpanlara ayırarak denklem çözme, kesirli denklemleri, denklem sistemlerini çözme becerisine sahip olmadıklarından, problemleri yaklaşık olarak aşağıdaki içeriğe sahip akıl yürütme kullanarak çözüyoruz: değişken ifadenin paydasında olduğundan (ifade kesirlidir) ), o zaman ifadenin anlamlı olması için paydanın 0'a eşit olmaması gerekir. Ancak x2 negatif bir sayı olamayacağından, x'in herhangi bir değeri için x2 + 1'in toplamı 0'a eşit olamaz, dolayısıyla x2 + X'in herhangi bir değeri için 1, 0'a eşit değildir.

Bu nedenle ifade herhangi bir x (vb.) için anlamlıdır.

7. Sorunu çözecek bir ifade yazın.

a) Dikdörtgenin çevresi 16 cm, bir kenarı m cm'dir. Dikdörtgenin alanı nedir?

b) Aralarında S km olan iki şehirden iki araba birbirine doğru ilerledi. Bunlardan birinin hızı v 1 km/saat, ikincisinin hızı ise v 2 km/saattir. Kaç saat sonra buluşacaklar?

8. Bir ifade olarak yazın:

1) a ve b sayıları ile c sayısının çarpımının toplamı;

2) c sayısı ile a ve b sayılarının oranı arasındaki fark;

3) x ve y sayıları ile bunların toplamları arasındaki farkın çarpımı;

4) a ve b toplamının payı ve farkları.

IV. Asimilasyonun teşhisi

Bağımsız çalışma (çok seviyeli)

1. İfadenin anlamını bulun:

A. 3 x - 5 eğer x = -1 ise. (2 puan)

B., eğer a = 3,5 ise. (3 6.)

B. , eğer m + n = 8 ise r = 3. (4 6.)

2. Koşula karşılık gelen bir ifade oluşturun:

A. 5 ve 7b sayılarının farkı. (2 puan)

B. -0,2 ve a sayıları ile 0,8 sayısının çarpımının analizi. (B'ye göre.)

B. Bir teknenin durgun sudaki hızı v km/saattir. Nehrin km/saat cinsinden akış hızı. Teknenin nehir boyunca S km gitmesi ne kadar sürer? (4 puan)

3. Değişken kütlenin hangi değerlerinde ifadenin anlamlı olduğunu bulun:

A.2a + 5.(2b.)

B. . (3 puan)

İÇİNDE. . (4 puan)

@ Çalışmayı yaparken öğrenciler önerilen üç görevden yalnızca birini (A, B, C) seçmelidir. Buna göre değerlendiriyoruz: A - 2 puan, B - 3 puan; B-4 puan. (Öğrencinin farklı seviyelerdeki görevleri seçme hakkı vardır, örneğin No. 1 - A, No. 2 - B, No. 3 - B.)

V. Refleks

Görevlerin doğru şekilde tamamlanıp tamamlanmadığını kontrol ediyoruz. (Öğrencilere çözüm ve cevapların bulunduğu bir tablo verilir ve çalışmalarını kontrol ederler.)

Görev No.		Durum (ifade)	Değişken değer	Sayısal ifade	İfade değeri	Puan sayısı
					= -16
			m + n = 8
		5a - 7b
		(-0,2 ve -0,8)