Bu yazımda bunlardan bahsedeceğim ortalama nasıl bulunur standart sapma . Bu materyal matematiğin tam olarak anlaşılması için son derece önemlidir, bu nedenle bir matematik öğretmeninin ayrı bir ders, hatta birkaç dersi bu konuyu incelemeye ayırması gerekir. Bu yazıda standart sapmanın ne olduğunu ve nasıl bulunacağını açıklayan detaylı ve anlaşılır bir video eğitiminin bağlantısını bulacaksınız.
Standart sapma Belirli bir parametrenin ölçülmesi sonucunda elde edilen değerlerin yayılımının değerlendirilmesini mümkün kılar. Sembolle gösterilir (Yunanca "sigma" harfi).
Hesaplama formülü oldukça basittir. Standart sapmayı bulmak için varyansın karekökünü almanız gerekir. Şimdi şunu sormalısınız: "Farklılık nedir?"
Varyans nedir
Varyansın tanımı şu şekildedir. Dağılım, değerlerin ortalamadan sapmalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır.
Varyansı bulmak için aşağıdaki hesaplamaları sırayla gerçekleştirin:
- Ortalamayı belirleyin (bir dizi değerin basit aritmetik ortalaması).
- Daha sonra ortalamayı her bir değerden çıkarın ve ortaya çıkan farkın karesini alın (sonucu elde edersiniz) kare farkı).
- Bir sonraki adım, ortaya çıkan kareler farklarının aritmetik ortalamasını hesaplamaktır (Karelerin tam olarak neden olduğunu aşağıda bulabilirsiniz).
Bir örneğe bakalım. Diyelim ki siz ve arkadaşlarınız köpeklerinizin boyunu (milimetre cinsinden) ölçmeye karar verdiniz. Ölçümler sonucunda aşağıdaki yükseklik ölçümlerini aldınız (omuzlarda): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm ve 300 mm.
Ortalamayı, varyansı ve standart sapmayı hesaplayalım.
İlk önce ortalama değeri bulalım. Bildiğiniz gibi, bunu yapmak için ölçülen tüm değerleri toplamanız ve ölçüm sayısına bölmeniz gerekir. Hesaplama ilerlemesi:
Ortalama mm.
Yani ortalama (aritmetik ortalama) 394 mm'dir.
Şimdi belirlememiz gerekiyor her köpeğin boyunun ortalamadan sapması:
Nihayet, varyansı hesaplamak, ortaya çıkan farkların her birinin karesini alırız ve ardından elde edilen sonuçların aritmetik ortalamasını buluruz:
Dağılım mm2 .
Böylece dağılım 21704 mm2 olur.
Standart sapma nasıl bulunur?
Peki varyansı bilerek standart sapmayı şimdi nasıl hesaplayabiliriz? Hatırladığımız gibi bunun karekökünü alalım. Yani standart sapma şuna eşittir:
Mm (mm cinsinden en yakın tam sayıya yuvarlanır).
Bu yöntemi kullanarak bazı köpeklerin (örneğin Rottweiler) çok büyük köpekler. Ama aynı zamanda çok küçük köpekler de var (örneğin daksundlar, ama bunu onlara söylememelisin).
En ilginç şey, standart sapmanın da beraberinde gelmesidir kullanışlı bilgi. Artık ortalamadan standart sapmayı (her iki tarafa) çizersek, elde edilen yükseklik ölçüm sonuçlarından hangisinin elde ettiğimiz aralıkta olduğunu gösterebiliriz.
Yani standart sapmayı kullanarak, hangi değerlerin normal (istatistiksel olarak ortalama) olduğunu ve hangisinin olağanüstü derecede büyük veya tam tersi küçük olduğunu bulmamızı sağlayan bir "standart" yöntem elde ederiz.
Standart sapma nedir
Ama... analiz edersek her şey biraz farklı olacak örnek veri. Örneğimizde düşündük Genel popülasyon. Yani 5 köpeğimiz dünyada ilgimizi çeken tek köpeklerdi.
Ancak veriler bir örnekse (büyük bir popülasyondan seçilen değerler), o zaman hesaplamaların farklı yapılması gerekir.
Değerler varsa, o zaman:
Ortalamanın belirlenmesi de dahil olmak üzere diğer tüm hesaplamalar benzer şekilde yapılır.
Örneğin, beş köpeğimiz köpek popülasyonunun (gezegendeki tüm köpekler) yalnızca bir örneğiyse, şuna bölmeliyiz: 5 değil 4 yani:
Örneklem varyansı = 
mm2.
Bu durumda numunenin standart sapması şuna eşittir: 
mm (en yakın tam sayıya yuvarlanır).
Değerlerimizin sadece küçük bir örnek olması durumunda bir miktar “düzeltme” yaptığımızı söyleyebiliriz.
Not. Neden tam olarak kare farklar?
Peki varyansı hesaplarken neden tam olarak farkların karelerini alıyoruz? Diyelim ki bazı parametreleri ölçerken aşağıdaki değer kümesini aldınız: 4; 4; -4; -4. Ortalamadan mutlak sapmaları (farklılıkları) kendi aralarında toplarsak... negatif değerler olumlu olanlarla karşılıklı olarak birbirini iptal edecek:
.
Bu seçeneğin işe yaramaz olduğu ortaya çıktı. O zaman belki sapmaların mutlak değerlerini (yani bu değerlerin modüllerini) denemeye değer mi?
İlk bakışta iyi görünüyor (bu arada ortaya çıkan değere ortalama mutlak sapma denir), ancak her durumda değil. Başka bir örnek deneyelim. Ölçüm sonucunun aşağıdaki değer kümesiyle sonuçlanmasını sağlayın: 7; 1; -6; -2. O halde ortalama mutlak sapma:
Vay! Farklar çok daha büyük bir dağılıma sahip olmasına rağmen yine 4 sonucunu aldık.
Şimdi farkların karesini alırsak (ve sonra toplamlarının karekökünü alırsak) ne olacağını görelim.
İlk örnek için şöyle olacaktır:
.
İkinci örnek için şöyle olacaktır:
Şimdi tamamen farklı bir konu! Farklılıklar ne kadar geniş olursa, standart sapma da o kadar büyük olur... Bizim hedeflediğimiz de buydu.
Aslında Bu method Noktalar arasındaki mesafe hesaplanırken de aynı fikir kullanılır, ancak farklı bir şekilde uygulanır.
Matematiksel açıdan bakıldığında karelerin kullanımı ve Karekök Sapmaların mutlak değerlerinden elde edebileceğimizden daha fazla fayda sağlayarak standart sapmayı diğer matematik problemlerine uygulanabilir hale getirir.
Sergey Valerievich size standart sapmayı nasıl bulacağınızı anlattı
Standart sapma(eş anlamlı: standart sapma, standart sapma, kare sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) - olasılık teorisi ve istatistikte, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre dağılımının en yaygın göstergesi. Sınırlı değer örnekleri dizileri için matematiksel beklentiörnek popülasyonun aritmetik ortalaması kullanılır.
Ansiklopedik YouTube
-
1 / 5
Standart sapma bizzat ölçü birimleriyle ölçülür rastgele değişken ve aritmetik ortalamanın standart hatasını hesaplarken, güven aralıkları oluştururken, hipotezleri istatistiksel olarak test ederken, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçerken kullanılır. Bir rastgele değişkenin varyansının karekökü olarak tanımlanır.
Standart sapma:
s = n n - 1 σ 2 = 1 n - 1 ∑ ben = 1 n (x ben - x¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)- Not: Çoğu zaman MSD (Kök Ortalama Kare Sapma) ve STD (Standart Sapma) adlarında formülleriyle arasında farklılıklar vardır. Örneğin Python programlama dilinin numPy modülünde std() fonksiyonu "standart sapma" olarak tanımlanırken formül standart sapmayı (örnekliğin köküne bölünmesi) yansıtır. Excel'de STANDARDDEVAL() işlevi farklıdır (n-1'in köküne göre bölme).
Standart sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini X varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre) s (\displaystyle s):
σ = 1 n ∑ ben = 1 n (x ben - x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right) ^(2))))Nerede σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))- dağılım; x ben (\displaystyle x_(i)) - Ben seçimin inci unsuru; n (\displaystyle n)- örnek boyut;
- numunenin aritmetik ortalaması:x ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n))).)
Her iki tahminin de taraflı olduğunu belirtmek gerekir. Genel durumda tarafsız bir tahmin yapmak mümkün değildir. Ancak tarafsız varyans tahminine dayalı tahmin tutarlıdır.
GOST R 8.736-2011 uyarınca standart sapma bu bölümün ikinci formülü kullanılarak hesaplanır. Lütfen sonuçları kontrol edin.
GOST R 8.736-2011 uyarınca standart sapma bu bölümün ikinci formülü kullanılarak hesaplanır. Lütfen sonuçları kontrol edin. (Üç sigma kuralı 3 σ (\displaystyle 3\sigma ) ) - normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin neredeyse tüm değerleri aralıkta yer alır(x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)) . Daha kesin olarak - yaklaşık 0,9973 olasılıkla, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri belirtilen aralıkta yer alır (değerin x¯ (\displaystyle (\bar (x)))
doğrudur ve numune işleme sonucunda elde edilmemiştir). . Daha kesin olarak - yaklaşık 0,9973 olasılıkla, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri belirtilen aralıkta yer alır (değerin Gerçek değer ise bilinmiyorsa kullanmamalısınızσ (\displaystyle \sigma) , A S . Böylece,üç kuralı , A .
sigma üç kuralına dönüştürülür
Standart sapma değerinin yorumlanması
Daha büyük bir standart sapma değeri, sunulan setteki değerlerin, setin ortalama değeri ile daha büyük bir yayılımını gösterir; buna göre daha küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir. Mesela elimizde üç tane var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç kümenin de ortalama değerleri 7'ye ve standart sapmaları sırasıyla 7, 5 ve 1'e eşittir. Son kümenin küçük bir standart sapması vardır, çünkü kümedeki değerler ortalama değer etrafında gruplandırılmıştır; ilk set en fazlasına sahip büyük önem standart sapma - küme içindeki değerler ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.
Genel anlamda standart sapma bir belirsizlik ölçüsü olarak düşünülebilir. Örneğin fizikte standart sapma, bir niceliğin ardışık ölçümlerinin hatasını belirlemek için kullanılır. Bu değer, teorinin öngördüğü değerle karşılaştırıldığında incelenen olgunun makullüğünü belirlemek için çok önemlidir: ölçümlerin ortalama değeri teorinin öngördüğü değerlerden büyük ölçüde farklıysa (büyük standart sapma), daha sonra elde edilen değerler veya bunları elde etme yöntemi yeniden kontrol edilmelidir. Portföy riski ile tanımlanır.
İklim
Diyelim ki aynı ortalama maksimum günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri sahilde, diğeri ise ovada bulunuyor. Kıyıda yer alan şehirlerin birçok farklı maksimum gündüz sıcaklığına sahip olduğu ve iç kesimlerde bulunan şehirlerden daha düşük olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, bu değerin ortalama değeri aynı olmasına rağmen, bir kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, ikinci şehre göre daha az olacaktır; bu, pratikte maksimum hava sıcaklığının aynı bölgede olma ihtimali anlamına gelir. yılın herhangi bir gününde ortalama değerden farklı olarak iç kesimlerde bulunan bir şehir için daha yüksek olacaktır.
Spor
Atılan ve yenen gol sayısı, gol şansı vb. gibi bazı parametrelere göre derecelendirilen birkaç futbol takımının olduğunu varsayalım. Bu gruptaki en iyi takımın daha iyi değerlere sahip olması muhtemeldir. daha fazla parametre üzerinde. Sunulan parametrelerin her biri için takımın standart sapması ne kadar küçük olursa, bu tür takımların sonucu o kadar öngörülebilir olur; Öte yandan takımla büyük bir değer Standart sapmanın sonucu tahmin etmek zordur ve bu da dengesizlikle açıklanır, örneğin: güçlü savunma, ancak zayıf bir saldırıyla.
Takım parametrelerinin standart sapmasını kullanmak, iki takım arasındaki bir maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeyi, güçlü yönleri değerlendirmeyi ve zayıf taraflar emirler ve dolayısıyla seçilen mücadele yöntemleri.
Basit geometrik ortalamayı hesaplamak için formül kullanılır:
Geometrik ağırlıklı
Ağırlıklı geometrik ortalamayı belirlemek için aşağıdaki formül kullanılır:
Tekerleklerin, boruların ortalama çapları ve karelerin ortalama kenarları, ortalama kare kullanılarak belirlenir.
Kök-ortalama-kare değerleri, örneğin üretim ritmini karakterize eden varyasyon katsayısı gibi bazı göstergeleri hesaplamak için kullanılır. Burada belirli bir süre için planlanan üretim çıktısından standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak belirlenir:
Bu değerler, ortalama değerinde alınan baz değerlerine kıyasla ekonomik göstergelerdeki değişimi doğru bir şekilde karakterize eder.
İkinci dereceden basit
Kök ortalama kare şu formül kullanılarak hesaplanır:
İkinci dereceden ağırlıklı
Ağırlıklı ortalama kare şuna eşittir:
22. Mutlak değişkenlik göstergeleri şunları içerir:
çeşitlilik aralığı
ortalama doğrusal sapma
dağılım
standart sapma
Değişim aralığı (r)
Varyasyon aralığı- özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farktır
İncelenen popülasyonda bir özelliğin değerinin değiştiği sınırları gösterir.
Beş başvuranın önceki işlerindeki iş tecrübeleri: 2,3,4,7 ve 9 yıldır. Çözüm: Değişim aralığı = 9 - 2 = 7 yıl.
Nitelik değerlerindeki farklılıkların genelleştirilmiş bir açıklaması için, ortalama değişim göstergeleri, aritmetik ortalamadan sapmalar dikkate alınarak hesaplanır. Fark ortalamadan sapma olarak alınır.
Aynı zamanda, nitelik değişkenlerinin ortalamadan sapmalarının toplamının sıfıra dönmesini önlemek için ( boş özellik ortalama) ya sapma işaretlerini göz ardı etmelisiniz, yani bu toplam modulo'yu alın ya da sapma değerlerinin karesini alın
Ortalama doğrusal ve kare sapma
Ortalama doğrusal sapma bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan mutlak sapmalarının aritmetik ortalamasıdır.
Ortalama doğrusal sapma basittir:
Beş başvuranın önceki işlerindeki iş tecrübeleri: 2,3,4,7 ve 9 yıldır.
Örneğimizde: yıllar;
Cevap: 2,4 yıl.
Ortalama doğrusal sapma ağırlıklı gruplandırılmış veriler için geçerlidir:
Konvansiyonu nedeniyle, ortalama doğrusal sapma pratikte nispeten nadiren kullanılır (özellikle, teslimatın tekdüzeliğine ilişkin sözleşme yükümlülüklerinin yerine getirilmesini karakterize etmek için; üretimin teknolojik özellikleri dikkate alınarak ürün kalitesinin analizinde).
Standart sapma
Değişimin en mükemmel özelliği, standart (veya standart sapma) olarak adlandırılan ortalama kare sapmadır. Standart sapma() aritmetik ortalama özelliğinin bireysel değerlerinin ortalama kare sapmasının kareköküne eşittir:
Standart sapma basittir:
Gruplandırılmış verilere ağırlıklı standart sapma uygulanır:
Normal dağılım koşullarında ortalama karekök ile ortalama doğrusal sapmalar arasında şu oran ortaya çıkar: ~ 1.25.
Değişimin ana mutlak ölçüsü olan standart sapma, normal dağılım eğrisinin ordinat değerlerinin belirlenmesinde, numune gözleminin organizasyonu ile ilgili hesaplamalarda ve numune özelliklerinin doğruluğunun belirlenmesinde ve ayrıca numune özelliklerinin değerlendirilmesinde kullanılır. Homojen bir popülasyonda bir özelliğin varyasyonunun sınırları.
Bilge matematikçiler ve istatistikçiler, biraz farklı bir amaç için olsa da, daha güvenilir bir gösterge ortaya çıkardılar: ortalama doğrusal sapma. Bu gösterge, bir veri kümesinin değerlerinin ortalama değerleri etrafındaki dağılım ölçüsünü karakterize eder.
Veri dağılımının ölçüsünü göstermek için öncelikle bu dağılımın neyle hesaplanacağına karar vermelisiniz; genellikle bu ortalama değerdir. Daha sonra analiz edilen veri setinin değerlerinin ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu hesaplamanız gerekir. Her değerin belirli bir sapma değerine karşılık geldiği açıktır ancak biz tüm popülasyonu kapsayan genel değerlendirmeyle ilgileniyoruz. Bu nedenle ortalama sapma, olağan aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır. Ancak! Ancak sapmaların ortalamasını hesaplamak için önce bunların eklenmesi gerekir. Ve eğer pozitif ve negatif sayıları toplarsak, bunlar birbirini götürecek ve toplamları sıfıra yaklaşacaktır. Bunu önlemek için tüm sapmalar modülo olarak alınır, yani tüm negatif sayılar pozitif olur. Artık ortalama sapma, değerlerin yayılmasının genelleştirilmiş bir ölçüsünü gösterecektir. Sonuç olarak, ortalama doğrusal sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanacaktır:
A– ortalama doğrusal sapma,
X- analiz edilen gösterge, üstünde tire işaretiyle birlikte - göstergenin ortalama değeri,
N– analiz edilen veri setindeki değerlerin sayısı,
Umarım toplama operatörü kimseyi korkutmaz.
Belirtilen formül kullanılarak hesaplanan ortalama doğrusal sapma, ortalama mutlak sapmayı yansıtır. ortalama boyut bu agrega için.
Resimde kırmızı çizgi ortalama değerdir. Her gözlemin ortalamadan sapmaları küçük oklarla gösterilmiştir. Modülo olarak alınırlar ve toplanırlar. Daha sonra her şey değerlerin sayısına bölünür.
Resmi tamamlamak için bir örnek vermemiz gerekiyor. Diyelim ki kürek kesimleri üreten bir firma var. Her kesim 1,5 metre uzunluğunda olmalı ama daha da önemlisi hepsi aynı veya en az artı eksi 5 cm olmalıdır. dikkatsiz işçiler bazen 1,2 m, bazen 1,8 m kesiyorlar. Yazlılar mutsuz oluyor. Şirketin müdürü kesimlerin uzunluğunun istatistiksel bir analizini yapmaya karar verdi. 10 parça seçip uzunluklarını ölçtüm, ortalamasını buldum ve ortalama doğrusal sapmayı hesapladım. Ortalamanın tam olarak ihtiyaç duyulan şey olduğu ortaya çıktı - 1,5 m, ancak ortalama doğrusal sapma 0,16 m idi, yani her kesimin ortalama 16 cm daha uzun veya daha kısa olduğu ortaya çıktı. işçiler. Aslında bu göstergenin gerçek bir kullanımını görmedim, bu yüzden kendim bir örnek buldum. Ancak istatistiklerde böyle bir gösterge var.
Dağılım
Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.
Varyansı hesaplama formülü şuna benzer:
(Varyasyon serileri için (ağırlıklandırılmış varyans))
(gruplanmamış veriler için (basit varyans))Burada: σ 2 – dağılım, Şi– kare göstergesini (karakteristiğin değeri) analiz ediyoruz, – göstergenin ortalama değeri, f i – analiz edilen veri setindeki değerlerin sayısı.
Dağılım sapmaların ortalama karesidir.
İlk önce ortalama değer hesaplanır, daha sonra her bir orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, karşılık gelen nitelik değerinin frekansıyla çarpılır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür.
Ancak, saf formu Aritmetik ortalama veya indeks gibi varyans kullanılmaz. Bu daha ziyade diğer türler için kullanılan bir yardımcı ve ara göstergedir. istatistiksel analiz.
Varyansı hesaplamanın basitleştirilmiş bir yolu
Standart sapma
Varyansı veri analizinde kullanmak için varyansın karekökü alınır. Sözde olduğu ortaya çıktı standart sapma.
Bu arada, standart sapmaya aynı zamanda onu ifade eden Yunanca harften sigma da denir.
Standart sapma elbette veri dağılımının ölçüsünü de karakterize eder, ancak artık (varyanstan farklı olarak) orijinal verilerle karşılaştırılabilir. Kural olarak istatistiklerdeki kök ortalama kare ölçümleri doğrusal ölçümlerden daha doğru sonuçlar verir. Bu nedenle standart sapma, verilerin dağılımının doğrusal ortalama sapmadan daha doğru bir ölçüsüdür.
İstatistiksel analizin ana araçlarından biri standart sapmanın hesaplanmasıdır. Bu gösterge, bir numunenin veya popülasyonun standart sapmasını tahmin etmenize olanak tanır. Excel'de standart sapma formülünün nasıl kullanılacağını öğrenelim.
Ne olduğunu hemen tanımlayalım standart sapma ve formülünün neye benzediğini. Bu değer ortalamanın kareköküdür. aritmetik sayı serinin tüm değerleri ile aritmetik ortalamaları arasındaki farkın kareleri. Bu göstergenin aynı adı vardır - standart sapma. Her iki isim de tamamen eşdeğerdir.
Ancak doğal olarak Excel'de kullanıcının bunu hesaplamasına gerek yoktur, çünkü program onun için her şeyi yapar. Excel'de standart sapmanın nasıl hesaplanacağını öğrenelim.
Excel'de hesaplama
Belirtilen değeri Excel'de iki kullanarak hesaplayabilirsiniz. özel fonksiyonlar STDSAPMA.V(İle örnek popülasyon) Ve STDEV.G(genel nüfusa göre). Çalışma prensibi kesinlikle aynıdır, ancak aşağıda tartışacağımız üç şekilde çağrılabilirler.
Yöntem 1: İşlev Sihirbazı
Yöntem 2: Formüller Sekmesi
Yöntem 3: Formülü el ile girme
Ayrıca argümanlar penceresini çağırmaktan kaçınmanın bir yolu da var. Bunu yapmak için formülü manuel olarak girmeniz gerekir.
Gördüğünüz gibi Excel'de standart sapmayı hesaplama mekanizması çok basittir. Kullanıcının yalnızca popülasyondaki sayıları veya bunları içeren hücrelere yapılan referansları girmesi gerekir. Tüm hesaplamalar programın kendisi tarafından gerçekleştirilir. Hesaplanan göstergenin ne olduğunu ve hesaplama sonuçlarının pratikte nasıl uygulanabileceğini anlamak çok daha zordur. Ancak bunu anlamak zaten yazılımla çalışmayı öğrenmekten çok istatistik alanıyla ilgilidir.
