Matematikte, sayıların aritmetik ortalaması (veya sadece ortalama), belirli bir kümedeki tüm sayıların sayılarına bölünmesiyle elde edilen sayıların toplamıdır. Bu, en genelleştirilmiş ve yaygın ortalama kavramıdır. Zaten anladığınız gibi, ortalama değeri bulmak için size verilen tüm sayıları toplamanız ve sonucu terimlerin sayısına bölmeniz gerekir.
Aritmetik anlamı nedir?
Bir örnek alalım.
örnek 1... Verilen sayılar: 6, 7, 11. Ortalama değerlerini bulmamız gerekiyor.
Karar.
Önce tüm bu sayıların toplamını bulalım.
Şimdi elde edilen toplamı terim sayısına böleceğiz. Sırasıyla üç terimimiz olduğu için üçe böleceğiz.
Dolayısıyla 6, 7 ve 11 sayılarının ortalaması 8'dir. Neden tam olarak 8? Çünkü 6, 7 ve 11'in toplamı üç sekizle aynı olacaktır. Bu, resimde açıkça görülmektedir.
Ortalama, bir dizi sayının "hizalanmasına" biraz benzer. Gördüğünüz gibi, kalem yığınları bir seviye haline geldi.
Kazanılan bilgiyi pekiştirmek için başka bir örnek ele alalım.
Örnek 2. Verilen sayılar: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Aritmetik ortalamalarını bulmalısın.
Karar.
Miktarı buluyoruz.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Terim sayısına bölün (bu durumda - 15).
Bu nedenle, bu sayı dizisinin ortalaması 22'dir.
Şimdi negatif sayılara bakalım. Bunları nasıl özetleyeceğimizi hatırlayalım. Örneğin, 1 ve -4 olmak üzere iki numaranız var. Onların toplamını bulalım.
1 + (-4) = 1 – 4 = -3
Bunu aklınızda tutarak başka bir örnek düşünün.
Örnek 3. Bir dizi sayının ortalama değerini bulun: 3, -7, 5, 13, -2.
Karar.
Sayıların toplamını bulun.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
5 terim olduğundan, elde edilen toplamı 5'e böleriz.
Dolayısıyla 3, -7, 5, 13, -2 sayılarının aritmetik ortalaması 2.4'tür.
Teknolojik ilerleme çağımızda, ortalama değeri bulmak için bilgisayar programlarını kullanmak çok daha uygundur. Microsoft Office Excel bunlardan biridir. Excel'de ortalamayı bulmak hızlı ve kolaydır. Ayrıca, bu program Microsoft Office yazılım paketine dahildir. Bu programı kullanarak aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağına dair kısa bir talimata bakalım.
Bir dizi sayının ortalama değerini hesaplamak için ORTALAMA işlevini kullanmalısınız. Bu işlevin sözdizimi şöyledir:
\u003d Ortalama (bağımsız değişken1, bağımsız değişken2, ... bağımsız değişken255)
burada argument1, argument2, ... argument255 sayılar veya hücre başvurularıdır (hücreler, aralıkları ve dizileri ifade eder).
Daha net hale getirmek için, kazanılan bilgiyi deneyelim.
- C1 - C6 hücrelerine 11, 12, 13, 14, 15, 16 sayılarını girin.
- Üzerine tıklayarak C7 hücresini seçin. Bu hücrede ortalama değeri göstereceğiz.
- Formüller sekmesine tıklayın.
- Açılır listeyi açmak için Daha Fazla İşlev\u003e İstatistik'i seçin.
- ORTALAMA'yı seçin. Bundan sonra bir iletişim kutusu açılmalıdır.
- İletişim kutusundaki aralığı ayarlamak için C1 - C6 hücrelerini seçin ve oraya sürükleyin.
- İşlemlerinizi "Tamam" tuşuyla onaylayın.
- Her şeyi doğru yaptıysanız, C7 hücresinde bir cevabınız olmalıdır - 13.7. C7 hücresine tıkladığınızda, formül çubuğunda (\u003d Ortalama (C1: C6)) işlevi görüntülenecektir.
Bu işlevi muhasebe, faturalama için veya çok uzun bir sayı dizisinin ortalamasını bulmanız gerektiğinde kullanmak çok uygundur. Bu nedenle genellikle ofislerde ve büyük şirketlerde kullanılmaktadır. Bu, kayıtları sırayla tutmanıza ve bir şeyi (örneğin, aylık ortalama gelir) hızlı bir şekilde hesaplamanıza olanak tanır. Ayrıca, Excel'i kullanarak işlevin ortalama değerini bulabilirsiniz.
Ortalama
Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Anlam.Ortalama (matematik ve istatistikte) bir dizi sayı, tüm sayıların toplamının sayılarına bölünmesidir. Merkezi eğilimin en yaygın ölçülerinden biridir.
Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalama ile birlikte) önerildi.
Aritmetik ortalamanın özel durumları, ortalama (genel popülasyonun) ve örnek ortalamadır (örnekler).
Giriş
Veri kümesini gösterelim X = (x 1 , x 2 , …, x n), daha sonra örnek ortalama genellikle "(x ¯ (\\ displaystyle (\\ bar (x))))" x bir satır ile ").
Yunanca μ harfi, tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değerinin belirlendiği rastgele bir değişken için μ, olasılıklı ortalama veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Eğer set X olasılıklı ortalama μ olan rastgele sayılardan oluşan bir koleksiyondur, bu durumda herhangi bir örnek için x ben bu koleksiyondan μ \u003d E ( x ben ) bu örneğin matematiksel beklentisidir.
Pratikte, μ ve x ¯ (\\ displaystyle (\\ bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır, çünkü tüm popülasyon yerine örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, örnek rastgele sunulursa (olasılık teorisi açısından), x ¯ (\\ displaystyle (\\ bar (x))) (ancak μ değil) örnek üzerinde olasılık dağılımına sahip rastgele bir değişken olarak ele alınabilir ( ortalamanın olasılık dağılımı).
Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:
X ¯ \u003d 1 n ∑ ben \u003d 1 n x ben \u003d 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\\ Displaystyle (\\ çubuğu (x)) \u003d (\\ frac (1) (n)) \\ toplamı _ (i \u003d 1) ^ (n) x_ (i) \u003d (\\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \\ cdots + x_ (n)).)
Eğer bir X rastgele bir değişkendir, ardından matematiksel beklenti X bir miktarın tekrarlanan ölçümlerindeki değerlerin aritmetik ortalaması olarak düşünülebilir X... Bu, büyük sayılar yasasının bir tezahürüdür. Bu nedenle, örneklem ortalaması, bilinmeyen matematiksel beklentiyi tahmin etmek için kullanılır.
Temel cebirde, ortalamanın n Ortalamanın üzerinde + 1 sayı n sayılar ancak ve ancak yeni sayı eski ortalamadan büyükse, yalnızca ve ancak yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca ve ancak yeni sayı ortalamaya eşitse değişmez. Daha fazla nyeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçükse.
Güç ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı ortalamalar (örneğin, ağırlıklı aritmetik ortalama, ağırlıklı geometrik ortalama, harmonik ağırlıklı ortalama) dahil olmak üzere birkaç başka "ortalama" değerin olduğunu unutmayın.
Örnekleri
- Üç sayı için onları toplayın ve 3'e bölün:
- Dört sayı için onları toplayın ve 4'e bölün:
Ya da daha basitçe 5 + 5 \u003d 10, 10: 2. Çünkü 2 sayı eklediğimiz için, yani kaç sayı eklediğimiz anlamına gelir, çok fazla böleriz.
Sürekli rastgele değişken
Sürekli dağıtılmış bir f (x) (\\ displaystyle f (x)) miktarı için, [a; b] (\\ displaystyle) belirli integral kullanılarak tanımlanır:
F (x) ¯ [bir; b] \u003d 1 b - bir ∫ abf (x) dx (\\ displaystyle (\\ üst çizgi (f (x))) _ () \u003d (\\ frac (1) (ba)) \\ int _ (bir) ^ (b) f (x) dx)
Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları
Sağlamlık eksikliği
Ana makale: İstatistiklerde sağlamlıkAritmetik ortalama genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, sağlam bir istatistik değildir, yani aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için aritmetik ortalamanın "ortalama" kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden alınan ortalama değerlerin (örneğin, medyan) merkezi eğilimi daha iyi tanımlayabileceği dikkate değerdir.
Klasik bir örnek, ortalama geliri hesaplamaktır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir, bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip daha fazla insan olduğu sonucuna varılmasına yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın gelirinin bu rakama yakın olduğu anlamına gelecek şekilde yorumlanır. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı güçlü bir şekilde çarpık hale getirir (tersine, medyan gelir "direnir") böyle önyargı). Ancak, bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın insan sayısı hakkında hiçbir şey söylemiyor (ve modal gelire yakın insan sayısı hakkında hiçbir şey söylemiyor). Yine de, "ortalama" ve "insanların çoğunluğu" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğuna dair yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Washington, Medina'da tüm sakinlerin yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelire ilişkin bir rapor, Bill Gates yüzünden şaşırtıcı derecede büyük bir rakam verecektir. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3.17'dir, ancak altı değerden beşi bu ortalamanın altındadır.
Bileşik faiz
Ana makale: Yatırım getirisiNumaralar çarpmak, Ama değil kataritmetik ortalamayı değil, geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman, bu olay, finansa yatırım getirisini hesaplarken ortaya çıkar.
Örneğin, hisse senetleri ilk yılda% 10 düşüp ikinci yılda% 30 arttıysa, aritmetik ortalama olarak bu iki yıldaki "ortalama" artışı hesaplamak yanlış olur (-% 10 +% 30) / 2 \u003d% 10; bu durumda doğru ortalama, yıllık büyümenin sadece yaklaşık% 8,16653826392 ≈% 8,2 olduğu kümülatif yıllık büyüme oranı ile verilmektedir.
Bunun nedeni, yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç \u200b\u200bnoktasına sahip olmasıdır:% 30,% 30'dur ilk yılın başındaki fiyattan daha düşük bir sayıdan: hisse senedi başlangıçta 30 dolarda iken ve% 10 düşerse, ikinci yılın başında 27 dolardır. Hisse senedi% 30 artarsa, ikinci yılın sonunda 35,1 dolar değerindedir. Bu büyümenin aritmetik ortalaması% 10'dur, ancak hisse senedi 2 yılda sadece 5,1 $ olduğu için, ortalama% 8,2'lik bir artış, 35,1 $ nihai sonucunu verir:
[30 ABD doları (1 - 0,1) (1 + 0,3) \u003d 30 ABD doları (1 + 0,082) (1 + 0,082) \u003d 35,1 ABD doları]. % 10'luk aritmetik ortalamayı aynı şekilde kullanırsak, gerçek değeri alamayız: [30 $ (1 + 0.1) (1 + 0.1) \u003d 36.3 $].
2. Yıl sonunda Bileşik:% 90 *% 130 \u003d% 117, toplam% 17 artış ve ortalama bileşik faiz% 117 ≈% 108,2 (\\ displaystyle (\\ sqrt (117 \\%)) \\ yaklaşık 108,2 \\%), yani yıllık ortalama% 8,2 büyüme.
Talimatlar
Ana makale: Hedef istatistikleriDöngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin aritmetik ortalamasını hesaplarken (örneğin, faz veya açı), özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1 ° ve 359 ° 'nin ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 \u003d (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ circ) +359 ^ (\\ circ)) (2)) \u003d) 180 ° olacaktır. Bu numara iki nedenden dolayı yanlıştır.
- İlk olarak, açısal standartlar yalnızca 0 ° ila 360 ° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Böylece, aynı sayı çifti (1 ° ve −1 °) veya (1 ° ve 719 °) olarak yazılabilir. Her bir çiftin ortalaması farklı olacaktır: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 \u003d 0 ∘ (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ circ) + (- 1 ^ (\\ circ))) (2)) \u003d 0 ^ (\\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 \u003d 360 ∘ (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ circ) +719 ^ (\\ circ)) (2)) \u003d 360 ^ (\\ circ)) .
- İkincisi, bu durumda, 0 ° (360 ° 'ye eşdeğer) geometrik olarak daha iyi ortalama olacaktır, çünkü sayılar diğer herhangi bir değerden 0 °' den daha az sapma gösterir (0 ° en az varyansa sahiptir). Karşılaştırmak:
- 1 ° sayısı 0 ° 'den yalnızca 1 ° sapma gösterir;
- 1 ° sayısı, 180 ° olarak hesaplanan ortalamadan 179 ° sapar.
Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel değişken için ortalama değer yapay olarak gerçek ortalamadan sayısal aralığın ortasına kaydırılacaktır. Bu nedenle, ortalama farklı bir şekilde hesaplanır, yani en az varyansa (merkez nokta) sahip sayı, ortalama olarak seçilir. Ayrıca, çıkarmak yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1 ° ile 359 ° arasındaki modüler mesafe 358 ° değil 2 ° 'dir (359 ° ile 360 \u200b\u200b° arasındaki bir dairede \u003d\u003d 0 ° - bir derece, 0 ° ile 1 ° arasında - ayrıca 1 °, toplamda - 2 °).
Ağırlıklı ortalama - nedir ve nasıl hesaplanır?
Matematik çalışma sürecinde, öğrenciler aritmetik ortalama kavramı ile tanışırlar. Daha sonra istatistik ve diğer bazı bilim dallarında öğrenciler, diğer ortalama değerlerin hesaplanmasıyla karşı karşıya kalmaktadır. Ne olabilirler ve birbirlerinden nasıl farklıdırlar?
Ortalama değerler: anlam ve farklılıklar
Her zaman doğru olmayan göstergeler durumun anlaşılmasını sağlar. Belirli bir durumu değerlendirmek için bazen çok sayıda rakamı analiz etmek gerekir. Ve sonra ortalamalar kurtarmaya gelir. Durumu bir bütün olarak değerlendirmeyi mümkün kılarlar.
Okul günlerinden beri birçok yetişkin aritmetik ortalamanın varlığını hatırlar. Hesaplaması çok kolaydır - n üyeli bir dizinin toplamı n'ye bölünebilir. Yani, aritmetik ortalamayı 27, 22, 34 ve 37 değerleri dizisinde hesaplamanız gerekiyorsa, 4 değerden beri (27 + 22 + 34 + 37) / 4 ifadesini çözmeniz gerekir. hesaplamalarda kullanılır. Bu durumda gerekli değer 30 olacaktır.
Genellikle, okul kursu çerçevesinde geometrik ortalama da incelenir. Bu değerin hesaplanması, n terimli çarpımın n'inci kökünün çıkarılmasına dayanmaktadır. Aynı sayıları alırsak: 27, 22, 34 ve 37, o zaman hesaplamaların sonucu 29.4 olacaktır.
Genel eğitim okulundaki harmonik ortalama genellikle bir çalışma konusu değildir. Yine de oldukça sık kullanılır. Bu değer, aritmetik ortalamanın tersidir ve n'nin bir bölümü olarak hesaplanır - değerlerin sayısı ve toplam 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Hesaplama için yine aynı sayı serisini alırsak, harmonik 29.6 olacaktır.
Ağırlıklı ortalama: özellikler
Ancak, yukarıdaki değerlerin tümü her yerde kullanılmayabilir. Örneğin, istatistikte, bazı ortalamalar hesaplanırken, hesaplamalarda kullanılan her sayının "ağırlığı" önemli bir rol oynar. Sonuçlar daha belirleyici ve doğrudur çünkü daha fazla bilgiyi hesaba katarlar. Bu değerler grubuna toplu olarak "ağırlıklı ortalama" denir. Okulda geçmiyorlar, bu yüzden onlar üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.
Her şeyden önce, şu veya bu değerin "ağırlığı" ile ne kastedildiğini anlatmaya değer. Bunu açıklamanın en kolay yolu, belirli bir örnek vermektir. Hastanede her hastanın vücut ısısı günde iki kez ölçülür. Hastanenin farklı bölümlerindeki 100 hastadan 44'ü normal bir sıcaklığa sahip olacak - 36.6 derece. Diğer 30, daha yüksek bir değere sahip olacak - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 ve kalan iki - 40. Ve aritmetik ortalamayı alırsak, genel olarak bu değer hastane için 38'den fazla olacaktır. derece! Ancak hastaların neredeyse yarısı tamamen normal bir sıcaklığa sahiptir. Ve burada ağırlıklı ortalama değeri kullanmak daha doğru olacak ve her bir değerin "ağırlığı" kişi sayısı olacaktır. Bu durumda hesaplama sonucu 37,25 derece olacaktır. Aradaki fark ortada.
Ağırlıklı ortalama hesaplamaları durumunda, "ağırlık", gönderi sayısı, belirli bir günde çalışan kişi sayısı, genel olarak ölçülebilen ve nihai sonucu etkileyen herhangi bir şey olarak alınabilir.
Çeşitler
Ağırlıklı ortalama, makalenin başında tartışılan aritmetik ortalamaya karşılık gelir. Bununla birlikte, daha önce de belirtildiği gibi, ilk değer, hesaplamalarda kullanılan her sayının ağırlığını da hesaba katar. Ayrıca geometrik ve harmonik ağırlıklı ortalama değerler de vardır.
Sayı dizisinde kullanılan bir başka ilginç varyasyon daha var. Bu ağırlıklı hareketli ortalamadır. Trendlerin hesaplanması esas alınmıştır. Değerlerin kendilerine ve ağırlıklarına ek olarak, burada periyodiklik de kullanılır. Ve bir zamandaki ortalama değeri hesaplarken, önceki zaman aralıklarının değerleri de dikkate alınır.
Tüm bu değerlerin hesaplanması o kadar da zor değildir, ancak pratikte genellikle yalnızca normal ağırlıklı ortalama kullanılır.
Hesaplama yöntemleri
Devasa bir bilgi işlem çağında, ağırlıklı ortalamayı manuel olarak hesaplamaya gerek yoktur. Bununla birlikte, elde edilen sonuçları kontrol edebilmeniz ve gerekirse düzeltebilmeniz için hesaplama formülünü bilmek faydalı olacaktır.
Hesaplamayı düşünmenin en kolay yolu belirli bir örnek vermektir.
Bu veya bu kazancı alan işçi sayısını hesaba katarak bu işletmede ortalama ücretin ne olduğunu bulmak gerekir.
Dolayısıyla, ağırlıklı ortalamanın hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak yapılır:
x \u003d (bir 1 * w 1 + bir 2 * w 2 + ... + bir n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)
Örneğin, hesaplama şu şekilde olacaktır:
x \u003d (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) \u003d (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 \u003d 33,48
Açıktır ki, ağırlıklı ortalamanın manuel olarak hesaplanmasında özel bir zorluk yoktur. Formüllerle en popüler uygulamalardan birinde bu değeri hesaplama formülü - Excel - SUMPRODUCT (sayı serisi; ağırlık serisi) / SUM (ağırlık serisi) işlevine benzer.
Excel'de ortalamayı nasıl bulurum?
excel'de aritmetik ortalama nasıl bulunur?
Vladimir09854
Basit. Excel'de ortalamayı bulmak için sadece 3 hücre yeterlidir. İlkinde, ikinciye bir sayı yazacağız - başka. Ve üçüncü hücrede, bize birinci ve ikinci hücrelerden bu iki sayı arasındaki ortalama değeri verecek bir formül oluşturacağız. 1 numaralı hücreye A1, 2 numaralı hücreye B1 denir, o zaman formülü olan hücrede aşağıdaki gibi yazmanız gerekir:
Bu formül, iki sayının aritmetik ortalamasını hesaplar.
Hesaplamalarımızın güzelliği için, levha şeklinde çizgili hücreler seçebilirsiniz.
Excel'in kendisinde ortalama değeri belirlemek için bir işlev de var, ancak eski moda yöntemi kullanıyorum ve ihtiyacım olan formülü giriyorum. Bu nedenle, Excel'in tam olarak ihtiyacım olduğu gibi hesaplayacağından ve bir tür yuvarlama yapmayacağından eminim.
M3sergey
Veriler hücrelere zaten girilmişse çok kolaydır. Sadece bir sayı ile ilgileniyorsanız, istenen aralığı / aralıkları seçmeniz yeterlidir ve bu sayıların toplamının değeri, aritmetik ortalaması ve sayıları durum çubuğunun sağ alt kısmında görünecektir.
Boş bir hücre seçebilir, üçgene (açılır liste) "Otomatik Toplam" tıklayabilir ve orada "Ortalama" öğesini seçebilir ve ardından hesaplama için önerilen aralıkta anlaşabilir veya kendi seçiminizi yapabilirsiniz.
Son olarak, formülleri doğrudan kullanabilirsiniz - formül çubuğunun ve hücre adresinin yanındaki "İşlev Ekle" yi tıklayın. ORTALAMA işlevi "İstatistik" kategorisinde bulunur ve hem sayıları hem de hücre referanslarını, vb. Argüman olarak kabul eder. Ayrıca burada daha karmaşık seçenekler de seçebilirsiniz, örneğin AVERAGEIF - koşula göre ortalamayı hesaplama.
Excel'de ortalamayı bulun oldukça basit bir iştir. Burada, bu ortalama değeri bazı formüllerde kullanmak isteyip istemediğinizi anlamanız gerekir.
Yalnızca değeri almanız gerekiyorsa, gerekli sayı aralığını seçmeniz yeterlidir, bundan sonra excel otomatik olarak ortalama değeri hesaplayacaktır - durum çubuğunda "Ortalama" başlığında görüntülenecektir.
Elde edilen sonucu formüllerde kullanmak istediğinizde, bunu yapabilirsiniz:
1) TOPLA işlevini kullanarak hücreleri toplayın ve hepsini sayı sayısına bölün.
2) Daha doğru bir seçenek, ORTALAMA adlı özel bir işlev kullanmaktır. Bu işlevin argümanları, sırayla belirtilen sayılar veya bir sayı aralığı olabilir.
Vladimir tikhonov
hesaplamaya katılacak değerleri daire içine alın, "Formüller" sekmesine tıklayın, solda "Otomatik Toplam" ve yanında aşağıyı gösteren bir üçgen göreceksiniz. bu üçgene tıklayın ve "Ortalama" yı seçin. Voila, bitti) çubuğun altında ortalamayı göreceksiniz :)
Ekaterina Mutalapova
Baştan ve sırayla başlayalım. Ne anlama geliyor?
Ortalama, aritmetik ortalama olan bir değerdir, yani bir dizi sayı ekleyerek ve ardından sayıların toplamını sayılarına bölerek hesaplanır. Örneğin, 2, 3, 6, 7, 2 sayıları için 4 olacaktır (20 sayılarının toplamı, sayıları 5'e bölünür)
Kişisel olarak benim için bir Excel elektronik tablosunda, en kolay yol \u003d ORTALAMA formülünü kullanmaktı. Ortalama değeri hesaplamak için, tabloya veri girmeniz, veri sütununun altına \u003d ORTALAMA () işlevini yazmanız ve parantez içinde veriler sütununu vurgulayarak hücrelerdeki sayı aralığını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra, ENTER tuşuna basın veya herhangi bir hücreye sol tıklayın. Sonuç, sütunun altındaki hücrede görüntülenecektir. Anlaşılmaz görünüyor, ama aslında birkaç dakika meselesi.
Maceracı 2000
Ecxel'in programı çeşitlidir, bu nedenle ortalamayı bulmanızı sağlayacak birkaç seçenek vardır:
İlk seçenek. Siz sadece tüm hücreleri toplarsınız ve sayılarına göre bölersiniz;
İkinci seçenek. Özel bir komut kullanın, gerekli hücreye "\u003d ORTALAMA (ve sonra hücre aralığını belirtin)" formülünü yazın;
Üçüncü seçenek. Gerekli aralığı seçerseniz, aşağıdaki sayfada bu hücrelerdeki ortalama değerin de görüntülendiğini unutmayın.
Bu nedenle, ortalama değeri bulmanın birçok yolu vardır, sadece sizin için en iyisini seçmeniz ve onu sürekli kullanmanız gerekir.
Excel'de ORTALAMA işlevini kullanarak aritmetik asal ortalamayı hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için bir dizi değer sürmeniz gerekir. Eşittir tuşuna basın ve İstatistik Kategorisinde seçim yapın, bunların arasından ORTALAMA işlevini seçin
Ayrıca, istatistiksel formülleri kullanarak, daha doğru kabul edilen aritmetik ağırlıklı ortalamayı hesaplayabilirsiniz. Hesaplamak için gösterge değerlerine ve frekansa ihtiyacımız var.
Excel'de ortalama nasıl bulunur?
Durum aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki tablo var:
Kırmızı ile gölgelendirilmiş çubuklar, dersler için notların sayısal değerlerini içerir. "Ortalama puan" sütununda, bunların ortalamasını hesaplamak istiyorsunuz.
Sorun şu: Toplamda 60-70 madde var ve bazıları başka bir sayfada.
Başka bir belgeye baktım, ortalama zaten hesaplanmıştı ve hücrede şöyle bir formül var
\u003d "sayfa adı"! | E12
ama kovulan bir programcı tarafından yapıldı.
Lütfen bunu kimin anladığını söyle.
Hector
Örneğin, sunulan işlevlerden "ORTALAMA" işlevlerinden eklediğiniz işlevler satırına ve bunların nerede hesaplanacağını (B6: N6) Ivanov için seçin. Komşu sayfalar hakkında tam olarak bilgim yok, ancak kesinlikle standart Windows yardımında yer alıyor
Bir Word'deki ortalama değeri nasıl hesaplayacağımı söyle
Lütfen bana Word'deki ortalama değeri nasıl hesaplayacağımı söyle. Yani, derecelendirmeleri alan kişi sayısı değil, derecelendirmelerin ortalaması. 
Julia Pavlova
Word, makrolarla çok şey yapabilir. ALT + F11 tuşlarına basın ve bir makro programı yazın ..
Ek olarak, Ekle-Nesne ... bir Word belgesinin içinde bir tablo içeren bir sayfa oluşturmak için Excel dahil diğer programları kullanmanıza izin verir.
Ancak bu durumda, sayılarınızı tablo sütununa yazmanız ve ortalamayı aynı sütunun alt hücresine girmeniz gerekir, değil mi?
Bunu yapmak için, alttaki hücreye bir alan ekleyin.
Ekle-Alan ... -Formül
Alan içeriği
[\u003d ORTALAMA (YUKARIDA)]
yukarıda yatan hücrelerin toplamının ortalamasını verir.
Alan seçilir ve farenin sağ tuşuna basılırsa, numaralar değiştiyse Yenilenebilir,
alanın kodunu veya değerini görüntüleyin, kodu doğrudan alanda değiştirin.
Bir şeyler ters giderse, hücredeki tüm alanı silin ve yeniden oluşturun.
ORTALAMA ortalama anlamına gelir, YUKARIDA, yani, yatanın üstündeki bir sıra hücre anlamına gelir.
Bütün bunları kendim bilmiyordum ama HELP'de kolayca keşfettim, elbette biraz düşünerek.
Hatırlamak!
İçin aritmetik ortalamayı bul, tüm sayıları eklemeniz ve toplamlarını sayılarına bölmeniz gerekir.
2, 3 ve 4'ün aritmetik ortalamasını bulun.
Aritmetik ortalamayı "m" harfi ile gösterelim. Yukarıdaki tanıma göre, tüm sayıların toplamını buluyoruz.
Elde edilen miktarı, alınan sayıların sayısına bölün. Koşullara göre üç numaramız var.
Sonuç olarak, alırız aritmetik ortalama formülü:
Aritmetik ortalama nedir?
Sürekli olarak sınıfta bulunmasının önerildiği gerçeğinin yanı sıra aritmetik ortalamanın bulunması yaşamda çok yararlıdır.
Örneğin, futbol topu satmaya karar verdiğinizi varsayalım. Ancak bu işte yeni olduğunuz için, size topların hangi fiyata satılacağı tamamen anlaşılmaz.
Ardından, rakiplerin bölgenizde hangi fiyattan futbol topu sattığını öğrenmeye karar verirsiniz. Mağazalardaki fiyatları bulalım ve bir masa çizelim.
Mağazalardaki topların fiyatları tamamen farklıydı. Bir futbol topu satmak için hangi fiyatı seçmeliyiz?
En düşük olanı (290 ruble) seçerseniz, malları zararla satacağız. En yüksek olanı (360 ruble) seçerseniz, alıcılar bizden futbol topu satın almayacaklar.
Ortalama bir fiyata ihtiyacımız var. İşte kurtarmaya geliyor ortalama.
Futbol topu fiyatlarının aritmetik ortalamasını hesaplayalım:
ortalama fiyat =
=
290 + 360 + 310
3
= 320
ovmak.960
3
Böylece, bir futbol topunu çok ucuza ve çok pahalı olmayan bir şekilde satabileceğimiz ortalama bir fiyat (320 ruble) elde ettik.
Ortalama seyahat hızı
Aritmetik ortalama ile yakından ilişkili kavramdır ortalama sürat.
Şehirdeki ulaşım hareketini gözlemleyerek, arabaların hızlandığını ve yüksek hızda gittiğini, ardından yavaşladığını ve düşük hızda gittiğini fark edebilirsiniz.
Araçların güzergahı boyunca bu tür birçok bölüm var. Bu nedenle, hesaplamaların rahatlığı için, ortalama hareket hızı kavramı kullanılır.
Hatırlamak!
Ortalama hareket hızı, kat edilen tüm mesafenin tüm hareket süresine bölümüdür.
Orta hızda bir problem düşünün.
"Vilenkin 5. Sınıf" ders kitabındaki 1503 numaralı problem
Araba otoyolda 90 km / s hızla 3,2 saat, ardından 45 km / s hızla toprak yolda 1,5 saat ve son olarak da 30 km / s hızla taşra yolunda 0,3 saat hareket etti. h. Yol boyunca arabanın ortalama hızını bulun.
Ortalama hızı hesaplamak için, arabanın kat ettiği tüm mesafeyi ve arabanın hareket ettiği her zamanı bilmeniz gerekir.
S 1 \u003d V 1 t 1S 1 \u003d 90 3,2 \u003d 288 (km)
- karayolu.S 2 \u003d V 2 t 2
S 2 \u003d 45 1.5 \u003d 67.5 (km) - toprak yol.
Ç 3 \u003d V 3 t 3
S 3 \u003d 30 0.3 \u003d 9 (km) - köy yolu.
S \u003d S 1 + S 2 + S 3
S \u003d 288 + 67,5 + 9 \u003d 364,5 (km) - tüm yol araba tarafından kapsanır.
T \u003d t 1 + t 2 + t 3
T \u003d 3,2 + 1,5 + 0,3 \u003d 5 (h) - her zaman.
V cf \u003d S: t
V av \u003d 364,5: 5 \u003d 72,9 (km / s) - aracın ortalama hızı.
Cevap: V avg \u003d 72.9 (km / s) - aracın ortalama hızı.
Excel'de ortalama değeri bulmak için (sayısal, metin, yüzde veya diğer değerlerin önemi yoktur) birçok işlev vardır. Ve her birinin kendine özgü özellikleri ve avantajları vardır. Aslında, bu görevde belirli koşullar belirlenebilir.
Örneğin, Excel'deki bir dizi sayının ortalama değerleri istatistiksel işlevler kullanılarak hesaplanır. Ayrıca kendi formülünüzü manuel olarak da girebilirsiniz. Çeşitli seçenekleri ele alalım.
Sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?
Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplayın ve toplamı sayıya bölün. Örneğin, bir öğrencinin bilgisayar bilimindeki notları: 3, 4, 3, 5, 5. Bir çeyreğin ötesine gidenler: 4. Aritmetik ortalamayı şu formülle bulduk: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Excel işlevleriyle hızlı bir şekilde nasıl yapılır? Örneğin, bir dizedeki bir dizi rastgele sayıyı ele alalım:
Veya: hücreyi etkinleştirelim ve formülü manuel olarak girelim: \u003d ORTALAMA (A1: A8).
Şimdi ORTALAMA işlevinin başka neler yapabileceğini görelim.
İlk iki ve son üç sayının aritmetik ortalamasını bulun. Formül: \u003d ORTALAMA (A1: B1; F1: H1). Sonuç:
Koşula göre ortalama
Aritmetik ortalamayı bulma koşulu, sayısal bir kriter veya metin olabilir. \u003d AVERAGEIF () işlevini kullanacağız.
10'dan büyük veya 10'a eşit sayıların aritmetik ortalamasını bulun.
İşlev: \u003d AVERAGEIF (A1: A8, "\u003e \u003d 10")
AVERAGEIF işlevini "\u003e \u003d 10" koşulu ile kullanmanın sonucu: Üçüncü bağımsız değişken - "Ortalama aralık" atlanmıştır. Birincisi, gerekli değildir. İkinci olarak, program tarafından analiz edilen aralık YALNIZCA sayısal değerler içerir. İlk bağımsız değişkende belirtilen hücreler, ikinci bağımsız değişkende belirtilen koşula göre aranacaktır.
Dikkat! Hücrede arama kriterleri belirtilebilir. Ve formülde ona bir bağlantı yapın.
Sayıların ortalama değerini metin ölçütüne göre bulalım. Örneğin, "tablo" ürününün ortalama satışları.
İşlev şöyle görünecektir: \u003d AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Aralık - ürün adlarının bulunduğu bir sütun. Arama kriteri, "tablolar" kelimesini içeren bir hücreye bağlantıdır (A7 bağlantısı yerine "tablolar" kelimesinin kendisini ekleyebilirsiniz). Ortalama aralık - ortalamayı hesaplamak için verilerin alınacağı hücreler.
Fonksiyonun hesaplanması sonucunda aşağıdaki değeri elde ederiz:
Dikkat! Metin kriteri (koşul) için ortalama alma aralığı belirtilmelidir.
Excel'de ağırlıklı ortalama fiyat nasıl hesaplanır?
Ağırlıklı ortalama fiyatı nasıl bildik?
Formül: \u003d SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).
SUMPRODUCT formülünü kullanarak, tüm mal miktarının satışından sonraki toplam geliri buluruz. Ve TOPLA işlevi - malların miktarını toplar. Ürün satışından elde edilen toplam geliri, ürünün toplam birim sayısına bölerek, ağırlıklı ortalama fiyatı bulduk. Bu gösterge, her fiyatın "ağırlığını" hesaba katar. Toplam değer kütlesindeki payı.
Standart sapma: Excel'deki formül
Genel popülasyon ve örneklem için standart sapma arasında ayrım yapın. İlk durumda, genel varyansın köküdür. İkincisi, örnek varyanstan.
Bu istatistiği hesaplamak için bir varyans formülü derlenmiştir. Kök ondan çıkarılır. Ancak Excel, standart sapmayı bulmak için hazır bir işleve sahiptir.
Standart sapma, orijinal verilerin ölçeğine bağlıdır. Bu, analiz edilen aralığın varyasyonunun figüratif bir temsili için yeterli değildir. Veri varyansının göreceli seviyesini elde etmek için varyasyon katsayısı hesaplanır:
standart sapma / aritmetik ortalama
Excel'deki formül şuna benzer:
STDEVP (değer aralığı) / ORTALAMA (değer aralığı).
Değişim katsayısı yüzde olarak hesaplanır. Bu nedenle, hücrede yüzde biçimini belirliyoruz.
Ortalama maaş ... Ortalama yaşam beklentisi ... Neredeyse her gün bu ifadelerin tek bir sayı kümesini tanımlamak için kullanıldığını duyuyoruz. Ancak garip bir şekilde, "ortalama değer" oldukça sinsi bir kavramdır ve genellikle matematiksel istatistik konusunda deneyimsiz sıradan bir kişiyi yanıltmaktadır.
Sorun nedir?
Ortalama değer, çoğunlukla, izole edilmiş gerçeklerin veya olayların etkisi altında büyük ölçüde değişen aritmetik ortalama anlamına gelir. Ve üzerinde çalıştığınız değerlerin tam olarak nasıl dağıtıldığına dair gerçek bir fikir edinmeyeceksiniz.
Ortalama bir maaşla klasik bir örnek alalım.
Bazı soyut şirketlerin on çalışanı vardır. Bunlardan dokuzu yaklaşık 50.000 ruble maaş alıyor ve bunlardan biri 1.500.000 ruble (garip bir tesadüf eseri, aynı zamanda bu şirketin genel müdürü).
Bu durumda ortalama değer 195.150 ruble olacaktır, bu da yanlıştır.
Ortalamayı hesaplamanın hangi yöntemleri var?
İlk yol, daha önce bahsedilenleri hesaplamaktır. aritmetik ortalama, sayılarına bölünen tüm değerlerin toplamıdır.
- x - aritmetik ortalama;
- x n - özel anlam;
- n - değer sayısı.
- Normal bir örnek değer dağılımı ile iyi çalışır;
- Hesaplaması kolay;
- Sezgisel olarak anlaşılabilir.
- Değerlerin dağılımı hakkında gerçek bir fikir vermez;
- Emisyonlardan kolayca etkilenebilen kararsız bir miktar (CEO'da olduğu gibi).
İkinci yol hesaplamaktır modayani en yaygın değer.
- M 0 - moda;
- x 0 - modayı içeren aralığın alt sınırı;
- n, aralığın boyutudur;
- f m - frekans (bir satırda bir değerin kaç kez oluştuğu);
- f m-1 - modaldan önceki aralığın frekansı;
- f m + 1 - modaldan sonraki aralığın frekansı.
- Kamuoyu hakkında fikir edinmek için harika;
- Sayısal olmayan veriler için uygundur (sezon renkleri, en çok satanlar, derecelendirmeler);
- Anlaması kolay.
- Moda basitçe olmayabilir (tekrar yok);
- Birkaç mod olabilir (çok modlu dağıtım).
Üçüncü yol hesaplamaktır medyanlaryani, sıralanan numuneyi ikiye bölen ve bunların arasında olan değer. Ve böyle bir değer yoksa, numunenin yarılarının sınırları arasındaki aritmetik ortalama medyan olarak alınır.
- M e - medyan;
- x 0 - medyanı içeren aralığın alt sınırı;
- h, aralığın boyutudur;
- f i - sıklık (arka arkaya kaç kez bu veya bu değer oluşur);
- S m-1 - medyandan önceki aralıkların frekanslarının toplamı;
- f m, medyan aralıktaki (frekansı) değerlerin sayısıdır.
- En gerçekçi ve temsili değerlendirmeyi sağlar;
- Emisyonlara dayanıklıdır.
- Numunenin hesaplamadan önce sipariş edilmesi gerektiğinden hesaplaması daha zordur.
Ortalamayı bulmanın ana yöntemlerini ele aldık. merkezi eğilim ölçüleri(aslında, daha fazlası var, ancak bunlar en popüler olanları).
Şimdi örneğimize geri dönelim ve özel Excel işlevlerini kullanarak ortalamanın üç varyantını da hesaplayalım:
- ORTALAMA (sayı1; [sayı2];…) - aritmetik ortalamayı belirlemek için bir işlev;
- FASHION.ONE (sayı1; [sayı2]; ...) - moda işlevi (Excel'in eski sürümlerinde MODA (sayı1; [sayı2]; ...));
- ORTANCA (sayı1; [sayı2]; ...) - medyanı bulmak için bir işlev.
Ve işte sahip olduğumuz değerler:
Bu durumda, moda ve medyan, bir şirketteki ortalama maaşı çok daha iyi karakterize eder.
Ama örnek, örnekteki gibi 10 değer değil, milyonlar içerdiğinde ne yapmalı? Excel'de hesaplamak imkansızdır, ancak verilerinizin depolandığı veritabanında sorun yoktur.
SQL'de aritmetik ortalamanın hesaplanması
SQL özel bir AVG toplama işlevi sağladığından, burada her şey oldukça basittir.
Ve kullanmak için aşağıdaki sorguyu yazmanız yeterlidir:
SQL modasını hesaplama
SQL'de modu bulmak için ayrı bir işlev yoktur, ancak kendi başınıza kolayca ve hızlı bir şekilde yazılabilir. Bunu yapmak için, maaşlardan hangisinin en çok tekrarlandığını bulmalı ve en popüler olanı seçmeliyiz.
Bir istek yazalım:
/ * Küme çok modluysa, yani sette birden fazla mod varsa, TOP () 'a BAĞLANTILAR eklenmelidir * / ÇALIŞANLARDAN "Maaş modu" OLARAK TIES'İN ÜSTÜNÜ (1) SEÇİN ÇALIŞANLARDAN maaş SIRASINA GÖRE COUNT (* ) DESC
Medyanı SQL'de hesaplama
Modda olduğu gibi, SQL'in medyanı hesaplamak için yerleşik bir işlevi yoktur, ancak PERCENTILE_CONT yüzdeliklerini hesaplamak için evrensel bir işlev vardır.
Hepsi şöyle görünüyor:
/ * Bu durumda, yüzdelik dilim 0,5'tir ve ortanca olacaktır * / ÜST (1) YÜZDE_KONUT (0,5) GRUP İÇİNDE (maaşa göre SİPARİŞ) ÜSTÜ () çalışanlardan "Ortalama maaş" olarak
Microsoft ve Google BigQuery yardımında PERCENTILE_CONT işlevinin nasıl çalıştığı hakkında daha fazla bilgi edinmek daha iyidir.
Hangi yolu kullanmalı?
Yukarıdakilerden, ortalamayı hesaplamanın en iyi yolu medyanın olduğu sonucu çıkar.
Ancak durum her zaman böyle değildir. Bir ortalama ile çalışıyorsanız, çok modlu dağıtıma dikkat edin:
Grafik, iki tepe noktası olan iki modlu bir dağılımı göstermektedir. Bu durum, örneğin seçimlerde oy verirken ortaya çıkabilir.
Bu durumda, aritmetik ortalama ve medyan, aralarında bir yerde bulunan değerlerdir ve gerçekte ne olduğu hakkında hiçbir şey söylemeyeceklerdir ve iki modu bildirerek iki modlu bir dağılımla uğraştığınızı hemen fark etmek daha iyidir.
Daha da iyisi, numuneyi iki gruba ayırın ve her biri için istatistik toplayın.
Çıktı:
Ortalamayı bulmak için bir yöntem seçerken, örneklemdeki değerlerin normal dağılımının yanı sıra aykırı değerlerin varlığını da hesaba katmak gerekir.
Merkezi eğilimin ölçüsünün nihai seçimi her zaman analiste aittir.
Çoğu durumda, veriler bir merkezi nokta etrafında yoğunlaşır. Bu nedenle herhangi bir veri setini açıklamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan üç sayısal özelliği sırayla ele alalım: aritmetik ortalama, medyan ve mod.
Ortalama
Aritmetik ortalama (genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlemlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesinin sonucudur. Sayıların bir örneği için X 1, X 2, ..., X n, örnek ortalamadır (sembol ile gösterilir ) eşittir \u003d (X 1 + X 2 + ... + X n) / n, veya
örneklemin anlamı nerede, n - örnek boyut, X ben - numunenin i-inci öğesi.
Formatlı bir notu veya formattaki örnekleri indirin
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirisinin aritmetik ortalamasını hesaplamayı düşünün (Şekil 1).
Şekil: 1. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi
Örnek ortalama şu şekilde hesaplanır:
Bu, özellikle banka veya kredi birliği mevduat sahiplerinin aynı dönemde elde ettikleri gelirin% 3-4'üne kıyasla iyi bir getiri. İadeleri sipariş ederseniz, sekiz fonun daha yüksek getirisi olduğunu ve yedi fonun ortalamanın altında olduğunu görmek kolaydır. Aritmetik ortalama bir denge noktası görevi görür, böylece düşük gelirli fonlar yüksek gelirli fonları dengeler. Ortalamanın hesaplanmasında numunenin tüm unsurları yer alır. Dağılımın ortalamasına ilişkin diğer tahminlerin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.
Aritmetik ortalama ne zaman hesaplanır?Aritmetik ortalama örnekteki tüm öğelere bağlı olduğundan, aşırı değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu tür durumlarda, aritmetik ortalama sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle, uç değerler içeren bir veri setini açıklarken, medyan veya aritmetik ortalama ve medyanı belirtmek gerekir. Örneğin, RS Yükselen Büyüme fon getirisini örnekten çıkarırsanız, 14 fonun örnek ortalama getirisi neredeyse% 1 ila% 5,19 oranında azalacaktır.
Medyan
Medyan, sıralı bir sayı dizisinin medyanıdır. Dizi yinelenen sayılar içermiyorsa, öğelerinin yarısı medyandan daha az ve yarısı daha fazla olacaktır. Örnek uç değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalamadan ziyade medyanı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce onu sipariş etmeniz gerekir.
Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır. n:
- Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n + 1) / 2inci öğe.
- Numune çift sayıda eleman içeriyorsa, medyan, numunenin iki ortalama elemanı arasında yer alır ve bu iki eleman üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonu örnekleminin medyanını hesaplamak için önce verileri sıralamanız gerekir (Şekil 2). O zaman medyan, numunenin orta elemanının sayısının tersi olacaktır; Örneğimizde # 8. Excel'in sırasız dizilerle de çalışan özel bir işlevi vardır \u003d MEDIAN ().
Şekil: 2. Medyan 15 fon
Yani medyan 6,5'tir. Bu, risk seviyesi çok yüksek olan fonların yarısının karlılığının 6,5'i, diğer yarısının karlılığının ise onu geçmediği anlamına geliyor. 6.5 medyanının 6.08 ortalamasından çok daha yüksek olmadığını unutmayın.
RS Yükselen Büyüme fonunun getirisini örnekten çıkarırsak, kalan 14 fonun medyanı% 6,2'ye düşecektir, yani aritmetik ortalama kadar önemli değildir (Şekil 3).
Şekil: 3. Medyan 14 fon
Moda
Bu terim ilk olarak 1894 yılında Pearson tarafından icat edildi. Moda, örnekte en sık görülen sayıdır (en moda olanı). Moda, örneğin, sürücülerin sürüşü durdurmak için bir trafik sinyaline verdikleri tipik tepkiyi iyi açıklar. Moda kullanımının klasik bir örneği, üretilen ayakkabı partisinin boyutunu veya duvar kağıdının rengini seçmektir. Bir dağıtımın birkaç modu varsa, çok modlu veya çok modlu olduğu söylenir (iki veya daha fazla "zirveye" sahiptir). Dağılımın çok modlu olması, incelenen değişkenin doğası hakkında önemli bilgiler sağlar. Örneğin, sosyolojik araştırmalarda, bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çoklu modalite, kesinlikle farklı birkaç görüş olduğu anlamına gelebilir. Multimodalite aynı zamanda örneğin homojen olmadığının bir göstergesi olarak hizmet eder ve gözlemler iki veya daha fazla “örtüşen” dağılımla üretilebilir. Aritmetik ortalamanın aksine, aykırı değerler modayı etkilemez. Sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için, örneğin, yatırım fonlarının ortalama yıllık getirilerinin göstergeleri için, moda bazen hiç mevcut değildir (veya mantıklı değildir). Bu göstergeler çok çeşitli değerler alabildiğinden, tekrarlanan değerler son derece nadirdir.
Çeyrekler
Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini açıklarken verilerin dağılımını tahmin etmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan sıralı bir diziyi ikiye bölerken (dizi öğelerinin% 50'si medyandan daha az ve% 50 daha fazladır), dörtte birlik kısımlar sıralı veri kümesini dört bölüme ayırır. Q 1, medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. persentillerdir. Birinci çeyrek, Q 1, örneği iki kısma ayıran sayıdır: Maddelerin% 25'i daha az ve% 75'i ilk çeyrekten daha fazladır.
Üçüncü çeyrek, Q 3, numuneyi iki bölüme ayıran sayıdır: elementlerin% 75'i daha azdır ve% 25'i üçüncü çeyrekten fazladır.
2007'den önceki Excel sürümlerinde çeyrekler hesaplamak için \u003d DÖRTTEBİRLİK (dizi; bölüm) işlevi kullanıldı. Excel2010 sürümünden itibaren iki işlev geçerlidir:
- \u003d DÖRTTEBİRLİK.DHL (dizi; bölüm)
- \u003d DÖRTTEBİRLİK.HRC (dizi, bölüm)
Bu iki işlev biraz farklı değerler verir (Şekil 4). Örneğin, 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun yıllık ortalama getirisine ilişkin verileri içeren bir örneğin çeyreklerini hesaplarken, DÖRTTEBİRLİK.DHL ve DÖRTTEBİRLİK.HRCL için sırasıyla Q 1 \u003d 1.8 veya –0.7. Bu arada, daha önce kullanılan DÖRTTEBİRLİK işlevi, modern DÖRTTEBİRLİK işlevine karşılık gelir. Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanmasına gerek yoktur.
Şekil: 4. Excel'de çeyreklerin hesaplanması
Tekrar vurgulayalım. Excel, tek boyutlu çeyrekleri hesaplayabilir ayrık serilerrastgele bir değişkenin değerlerini içeren. Frekans bazlı tahsis için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.
Geometrik ortalama
Aritmetik ortalamanın aksine, geometrik ortalama, bir değişkendeki zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenize olanak sağlar. Geometrik ortalama köktür nişten derece n değerler (Excel'de \u003d SRGEOM işlevi kullanılır):
G \u003d (X 1 * X 2 *… * X n) 1 / n
Benzer bir parametre - getiri oranının geometrik ortalaması - aşağıdaki formülle belirlenir:
G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1,
nerede Ri - getiri oranı benzaman dilimi.
Örneğin, ilk yatırımın 100.000 $ olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000 $ 'a düştüğünü ve ikinci yılın sonunda orijinal 100.000 $' a geri döndüğünü varsayalım. Bu yatırımın getiri oranı iki yıllık bir süre boyunca 0'a eşittir, çünkü ilk ve son fonlar birbirine eşittir. Bununla birlikte, yıllık getiri oranlarının aritmetik ortalaması \u003d (–0,5 + 1) / 2 \u003d 0,25 veya% 25'dir, çünkü ilk yıldaki getiri oranı R 1 \u003d (50,000 - 100,000) / 100,000 \u003d –0,5, ve ikinci R 2 \u003d (100.000 - 50.000) / 50.000 \u003d 1. Aynı zamanda, iki yıllık kâr oranının geometrik ortalaması: G \u003d [(1–0,5) * (1 + 1)] 1 / 2 - 1 \u003d ½ - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0. Bu nedenle, geometrik ortalama, aritmetik ortalamadan iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha doğrusu değişiklik olmaması) daha doğru bir şekilde yansıtır.
İlginç gerçekler.İlk olarak, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından daha küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durumlar hariç. İkincisi, dik açılı bir üçgenin özelliklerini göz önünde bulundurarak, ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığını anlayabilirsiniz. Hipotenüse indirilen dik açılı bir üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse olan izdüşümleri arasındaki orantılı ortalamadır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki parçanın (uzunluk) geometrik ortalamasını oluşturmanın geometrik bir yolunu verir: çapta olduğu gibi bu iki parçanın toplamı üzerine bir daire oluşturmanız gerekir, ardından kesişme noktasından geri yüklenen yüksekliği. daire ile istenen değeri verecektir:
Şekil: 5. Geometrik ortalamanın geometrik yapısı (Wikipedia'dan çizim)
Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği, varyasyonveri varyansının derecesini karakterize etmek. İki farklı örnek, hem ortalama değerler hem de varyasyonlarda farklılık gösterebilir. Bununla birlikte, Şekil 1'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'ye bakıldığında, iki numune aynı varyasyona ancak farklı araçlara veya aynı araçlara ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 1'deki çokgen B'ye karşılık gelen veriler. 7, çokgen A'nın üzerindeki verilerden çok daha az değişir.
Şekil: 6. Aynı yayılıma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Şekil: 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı dağılımlara sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Veri varyasyonunun beş tahmini vardır:
- dürbün,
- çeyrekler arası aralık,
- dağılım,
- standart sapma,
- varyasyon katsayısı.
Salıncak
Aralık, örnekteki en büyük ve en küçük öğeler arasındaki farktır:
Kaydırma \u003d X Maks - X Min
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örneklem aralığı, sıralı bir dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık \u003d 18.5 - (–6.1) \u003d 24.6. Bu, çok yüksek risk seviyesine sahip fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirisi arasındaki farkın% 24,6 olduğu anlamına gelir.
Span, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek boyutu, verilerin genel yayılımının çok basit bir tahmini olsa da, zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında nasıl dağıtıldığını hesaba katmamasıdır. Bu etki açıkça Şekil 2'de görülmektedir. Aynı açıklığa sahip örnekleri gösteren 8. Ölçek B, eğer örnek en az bir uç değer içeriyorsa, örnek yayılımının veri yayılımının çok yanlış bir tahmini olduğunu gösterir.
Şekil: 8. Aynı aralıktaki üç numunenin karşılaştırılması; üçgen terazinin desteğini sembolize eder ve konumu, numunenin ortalamasına karşılık gelir
Çeyrekler arası aralık
Çeyrekler arası veya ortalama aralık, örneğin üçüncü ve ilk çeyrekleri arasındaki farktır:
Çeyrekler arası aralık \u003d Q 3 - Q 1
Bu değer, elementlerin% 50'sinin yayılmasını tahmin etmeyi ve aşırı unsurların etkisini görmezden gelmeyi mümkün kılar. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerinin bir örneği için çeyrekler arası aralık, Şekil 2'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, DÖRTTEBİRLİK.HRC işlevi için): Çeyrekler arası aralık \u003d 9,8 - (–0,7) \u003d 10,5. 9,8 ve –0,7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.
Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya daha fazla olacak herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q 3'ten daha. Aykırı değerlerden etkilenmeyen medyan, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi nicel özelliklerin toplamına sağlam ölçümler denir.
Aralık ve çeyrekler arası aralık, sırasıyla örneklemin genel ve ortalama yayılmasının bir tahminini sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin nasıl dağıtıldığını hesaba katmaz. Dağılım ve standart sapmabu dezavantajdan yoksundur. Bu göstergeler, ortalama civarındaki verilerin dalgalanma derecesini değerlendirmenize olanak tanır. Örnek varyans her bir numune elementi ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n numunesi için, örnek varyansı (S2 sembolüyle gösterilen aşağıdaki formülle verilmiştir:
Genel olarak, örneklem varyansı, örneklemin öğeleri ile örnek ortalamasının arasındaki farkların karelerinin toplamının örnek boyutu eksi bir değere bölünmesiyle elde edilir:
nerede - aritmetik ortalama, n - örnek boyut, X ben - beninci örnek eleman X... 2007'den önceki Excel'de, örnek varyansını hesaplamak için \u003d VARP () işlevi; 2010'dan beri \u003d VARV () işlevi kullanılmaktadır.
Verinin yayılmasının en pratik ve en yaygın kabul gören tahmini standart numune sapması... Bu gösterge, S sembolü ile gösterilir ve örnek varyansın kareköküne eşittir:
2007'den önceki Excel'de, standart örnek sapmayı hesaplamak için \u003d STDSAPMA () işlevi kullanıldı; 2010'dan beri \u003d STDSAPMA.V () işlevi kullanılmaktadır. Bu fonksiyonların hesaplanması için veri dizisi düzensiz olabilir.
Ne numune varyansı ne de standart numune sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, numunenin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Oldukça olası olmayan bu durumda, aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.
Sayısal veriler doğası gereği uçucudur. Herhangi bir değişken birçok farklı değer alabilir. Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve zarar oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliğinden dolayı, yalnızca doğası gereği kümülatif olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin yayılmasını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.
Varyans ve standart sapma, verilerin ortalamanın etrafındaki dağılımını tahmin etmenize, başka bir deyişle, kaç örnek öğenin ortalamadan daha az ve kaç tane daha fazla olduğunu belirlemenize olanak tanır. Dağılımın bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Bununla birlikte, değeri ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, doğal varyans ölçüsü, ortak ölçü birimleriyle ifade edilen standart sapmadır - gelir yüzdesi, dolar veya inç.
Standart sapma, örnek elemanların ortalama etrafındaki dalgalanma miktarını tahmin etmenize olanak tanır. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığında bulunur. Bu nedenle, örnek öğelerin aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, verilerin büyük kısmının ait olduğu aralığı belirleyebilirsiniz.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirisinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden% 6,6'dan fazla farklı olmadığı anlamına gelir (yani, şu aralıkta dalgalanır: - S \u003d 6,2 - 6,6 \u003d -0,4 ile + S \u003d 12.8). Aslında, bu aralıkta, fonların beş yıllık ortalama% 53,3'lük (15'in 8'i) yıllık getirisi yatıyor.
Şekil: 9. Standart numune sapması
Farkların karesi eklendikçe, ortalamadan uzaktaki numunenin, yakın numuneden daha fazla ağırlık kazandığına dikkat edin. Bu özellik, aritmetik ortalamanın en sık bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için kullanılmasının ana nedenidir.
Varyasyon katsayısı
Önceki spread tahminlerinden farklı olarak, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Ham veri olarak değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV ile gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalamaya göre dağılımını ölçer. Varyasyon katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesine eşittir ve% 100 ile çarpılır:
nerede S - standart numune sapması, - örnek ortalama.
Varyasyon katsayısı, öğeleri farklı ölçü birimlerinde ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım müdürü kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken göz önünde bulundurulması gereken iki tür kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (lb cinsinden) ve hacmi (fit küp cinsinden). 200 poşetlik bir numune için, ortalama ağırlığın 26.0 pound, standart ağırlık sapmasının 3.9 pound, ortalama torba hacminin 8.8 fit küp ve standart sapmanın 2.2 fit küp olduğunu varsayalım. Torbaların ağırlık ve hacim dağılımını nasıl karşılaştırırsınız?
Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yönetici bu değerlerin göreli dağılımını karşılaştırmalıdır. Ağırlık değişim katsayısı CV W \u003d 3,9 / 26,0 *% 100 \u003d% 15 ve hacim değişim katsayısı CV V \u003d 2,2 / 8,8 *% 100 \u003d% 25'dir. Dolayısıyla, paket hacmindeki göreceli yayılma, ağırlıklarındaki göreceli yayılmadan çok daha büyüktür.
Dağıtım formu
Numunenin üçüncü önemli özelliği, dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. Bu iki gösterge çakışırsa, değişken simetrik olarak dağılmış kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri medyandan büyükse, dağılımı pozitif bir çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse, değişkenin dağılımı negatif olarak çarpıktır. Ortalama, alışılmadık derecede yüksek değerlere yükseldiğinde pozitif çarpıklık oluşur. Negatif çarpıklık, ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde ortaya çıkar. Bir değişken, her iki yönde de aşırı değerler almazsa simetrik olarak dağıtılır, böylece değişkenin yüksek ve düşük değerleri birbirini dengeler.
Şekil: 10. Üç tür dağıtım
A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıklığa sahiptir. Bu şekil, uzun bir kuyruğu ve alışılmadık derecede düşük değerlerin neden olduğu sola doğru bir eğriliği göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalamayı sola kaydırır ve medyandan daha az olur. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılmıştır. Dağılımın sol ve sağ yarısı ayna görüntüleridir. Büyük ve küçük değerler birbirini götürür ve ortalama ve medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif olarak çarpıktır. Bu şekil uzun bir kuyruğu ve alışılmadık derecede yüksek değerlerin neden olduğu sağa doğru bir eğriliği göstermektedir. Bu çok yüksek değerler ortalamayı sağa kaydırır ve medyandan daha büyük hale gelir.
Excel'de, eklenti kullanılarak açıklayıcı istatistikler elde edilebilir Analiz paketi... Menüden geç Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam mı... Pencerede Tanımlayıcı istatistikler belirttiğinizden emin olun Giriş aralığı(şek. 11). Orijinal verilerle aynı sayfada açıklayıcı istatistikleri görmek istiyorsanız, radyo düğmesini seçin Çıkış aralığı ve çıktı istatistiklerinin sol üst köşesinin yerleştirilmesi gereken hücreyi belirtin (örneğimizde, $ C $ 1). Verileri yeni bir sayfaya veya yeni bir çalışma kitabına göndermek istiyorsanız, uygun radyo düğmesini seçmeniz yeterlidir. Yanındaki kutuyu işaretleyin Özet istatistikler... İsteğe bağlı olarak şunları da seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,kth en küçük vekinci en büyük.
Depozito varsa Veri alanında Analiz görüntülenen bir simgeniz yok Veri analiziönce eklentiyi yüklemelisiniz Analiz paketi (örneğin bakınız).
Şekil: 11. Eklenti kullanılarak hesaplanan, çok yüksek risk seviyelerine sahip beş yıllık ortalama yıllık fon getirisinin tanımlayıcı istatistikleri Veri analiziexcel programları
Excel, yukarıda tartışılan çeşitli istatistikleri hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( aralık), minimum, maksimum ve örneklem büyüklüğü ( puan). Ek olarak, Excel bizim için yeni olan bazı istatistikleri hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hata standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir. Asimetri Dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örnek öğeler ile ortalama arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, ortalama ve dağılımın kuyrukları etrafındaki göreceli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek ile dördüncü kuvvete yükseltilen ortalama arasındaki farklara bağlıdır.
Bir popülasyon için tanımlayıcı istatistikleri hesaplama
Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, dağılımı ve şekli, numuneden belirlenen özelliklerdir. Bununla birlikte, veri kümesi popülasyonun tamamı için sayısal boyutlar içeriyorsa, parametrelerini hesaplayabilirsiniz. Bu parametreler, genel popülasyonun matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını içerir.
Beklenen değer genel nüfusun tüm değerlerinin toplamının genel nüfusun büyüklüğüne bölünmesine eşittir:
nerede µ - beklenen değer, X ben- ben-bir değişkenin gözlemlenmesi X, N - genel nüfusun hacmi. Excel, matematiksel beklentiyi hesaplamak için aritmetik ortalamayla aynı işlevi kullanır: \u003d ORTALAMA ().
Nüfus değişimi genel popülasyon ve mat unsurları arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin genel nüfusun büyüklüğüne bölümü:
nerede σ 2 - genel popülasyonun varyansı. 2007'den önceki Excel'de \u003d VARP () işlevi, popülasyonun varyansını hesaplamak için kullanılır, çünkü 2010 \u003d VAR.G ().
Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:
2007'den önceki Excel'de, \u003d STDSAPMA () işlevi, 2010 \u003d STDSAPMA.Y () olduğundan popülasyon standart sapmasını hesaplamak için kullanılır. Popülasyon varyansı ve standart sapma formüllerinin, örnek varyans ve standart sapma formüllerinden farklı olduğunu unutmayın. Örnek istatistikleri hesaplarken Ç 2 ve S kesrin paydası n - 1ve parametreleri hesaplarken σ 2 ve σ - genel nüfusun hacmi N.
Başparmak kuralı
Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan etrafında yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklığa sahip veri kümelerinde, bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani altında) bulunur ve negatif çarpıklığa sahip veri kümelerinde bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani yukarısında) bulunur. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalama etrafında yoğunlaşarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılımın belirgin bir çarpıklığı yoksa ve veriler belirli bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşıyorsa, değişkenliği tahmin etmek için bir pratik kural uygulanabilir: Verinin çan şeklinde bir dağılımı varsa, o zaman yaklaşık 68 Gözlemlerin% 'si matematiksel beklentiden birden fazla standart sapmadır.Gözlemlerin yaklaşık% 95'i matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla değildir ve gözlemlerin% 99.7'si matematiksel beklentiden üçten fazla standart sapmadır.
Bu nedenle, ortalama etrafındaki ortalama varyasyonun bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel bir kuraldan, çan şeklindeki dağılımlar için, yirmide bir değerin matematiksel beklentiden ikiden fazla standart sapma kadar farklı olduğu sonucuna varılır. Bu nedenle, aralığın dışındaki değerler µ ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Dahası, 1000 gözlemden sadece üçü matematiksel beklentiden üçten fazla standart sapma ile farklılık gösterir. Bu nedenle, aralığın dışındaki değerler µ ± 3σ neredeyse her zaman aykırıdır. Oldukça çarpık veya çan şeklinde olmayan dağıtımlar için Biename-Chebyshev ampirik kuralı uygulanabilir.
Yüz yıldan daha uzun bir süre önce, matematikçiler Biename ve Chebyshev bağımsız olarak standart sapmanın yararlı özelliğini keşfettiler. Dağılımın şekline bakılmaksızın herhangi bir veri kümesi için, en fazla olmayan bir mesafede bulunan gözlemlerin yüzdesini bulmuşlardır. k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ k 2) *% 100.
Örneğin, eğer k \u003d 2, Biename-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 - (1/2) 2) x% 100 \u003d% 75'inin aralıkta olması gerektiğini belirtir µ ± 2σ... Bu kural herkes için geçerlidir kbirden büyük. Biename-Chebyshev kuralı çok geneldir ve her tür dağıtım için geçerlidir. Matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığı minimum gözlem sayısını gösterir. Bununla birlikte, dağılım çan şeklindeyse, beklenen değer etrafındaki verilerin konsantrasyonunu tahmin etmede temel kural daha doğrudur.
Frekans tabanlı dağıtım için tanımlayıcı istatistikleri hesaplama
Orijinal veriler mevcut değilse, frekans dağılımı tek bilgi kaynağı olur. Bu tür durumlarda aritmetik ortalama, standart sapma, çeyrekler gibi kantitatif dağılım göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplayabilirsiniz.
Örnek veriler bir frekans dağılımı şeklinde sunulursa, her bir sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın yaklaşık bir değeri hesaplanabilir:
nerede - örnek ortalama, n - gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, ile - frekans dağılımındaki sınıf sayısı, m j - orta nokta j-go sınıfı, f j karşılık gelen frekans j-inci sınıf.
Frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı da varsayılır.
Serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rusya nüfusunun ortalama kişi başına para gelirine göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyrek hesaplamasını ele alalım (Şekil 12).
Şekil: 12. Rusya nüfusunun aylık ortalama kişi başı para geliri ile payı, ruble
Bir aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
q1 birinci çeyreğin değeridir, хQ1 birinci çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, kümülatif sıklığa göre belirlenir, ilki% 25'i aşar); i aralığın boyutudur; Σf, tüm numunenin frekanslarının toplamıdır; muhtemelen her zaman% 100'e eşittir; SQ1-1, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansıdır; fQ1, alt çeyreği içeren aralığın sıklığıdır. Üçüncü çeyrek için formül, her yerde Q1 yerine Q3 kullanılması gerektiği ve for yerine ¼ yerine uted kullanılması gerektiğinden farklıdır.
Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek, kümülatif frekansı% 26,4 olan 7000,1 - 10.000 aralığındadır. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansı% 13,4, alt çeyreği içeren aralığın sıklığı% 13,0'dır. Böylece: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 ruble.
Tanımlayıcı istatistiklerle ilgili tuzaklar
Bu yazıda, bir veri setinin ortalamasını, dağılımını ve dağılımını tahmin eden çeşitli istatistikleri kullanarak nasıl tanımlanacağına baktık. Bir sonraki adım, veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar, verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi onların öznel yorumlarına dönüyoruz. Araştırmacıyı iki hata beklemektedir: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun performans analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen nesnel sonuçlara yol açtı: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri var, fon getirilerinin dağılımı –6.1 ile 18.5 arasında değişiyor ve ortalama getiri 6.08. Veri analizinin objektifliği, toplam nicel dağılım göstergelerinin doğru seçimi ile sağlanır. Verilerin ortalamasını ve yayılımını tahmin etmenin birkaç yöntemi dikkate alındı, bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Verilerinizin dağılımı biraz çarpıksa aritmetik ortalamaya göre medyanı seçmeli misiniz? Hangi gösterge verilerin yayılmasını daha doğru bir şekilde karakterize eder: standart sapma mı yoksa aralık mı? Pozitif bir dağılım eğrisine işaret etmeli misiniz?
Öte yandan, veri yorumlama öznel bir süreçtir. Farklı insanlar aynı sonuçları yorumladıklarında farklı sonuçlara varırlar. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi, çok yüksek risk seviyesine sahip 15 fonun ortalama yıllık getirisinin toplam göstergelerinin iyi olduğunu ve alınan gelirden oldukça memnun olduğunu düşünüyor. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle, öznellik dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.
Etik konular
Veri analizi, ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyo, televizyon ve internet tarafından yayılan bilgiler eleştirilmelidir. Zamanla, sadece sonuçlar hakkında değil, aynı zamanda araştırmanın hedefleri, konusu ve objektifliği hakkında da şüpheci olmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz siyasetçi Benjamin Disraeli en iyisi: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, apaçık yalanlar ve istatistikler."
Notta belirtildiği gibi, raporlanacak sonuçların seçiminde etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca bir rapor veya yazılı bir rapor hazırlanırken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunum arasında ayrım yapın. Bunu yapmak için, konuşmacının niyetinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri göz ardı eder, bazen de bilinçli olarak (örneğin, istenen sonucu elde etmek için açıkça asimetrik verilerin ortalama değerini tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Ayrıca araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların üzerinde durmak da haksızlıktır.
Yöneticiler için Levin kitabının ve diğer İstatistiklerin kullanılmış materyalleri. - M .: Williams, 2004. - s. 178-209
DÖRTTEBİRLİK işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk için korunur
