y = f(x) fonksiyonu X aralığında tanımlı olsun. Türev xo noktasındaki y = f(x) fonksiyonuna limit denir
=
.
Eğer bu sınır sonlu, o zaman f(x) fonksiyonu çağrılır türevlenebilir noktada X Ö; Üstelik bu noktada zorunlu olarak sürekli olduğu ortaya çıkıyor.
Söz konusu limit (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla X Ö sürekli olduğundan, f(x) fonksiyonunun şu noktada olduğunu söyleyeceğiz: X Ö sonsuz türev.
Türev sembollerle gösterilir
y , f (xo), , .
Türevini bulmaya denir farklılaşma işlevler. Türevin geometrik anlamı türev şu ki eğim belirli bir noktada y=f(x) eğrisine teğet X Ö ; fiziksel anlamı yolun zamana göre türevinin, hareket eden noktanın anlık hızı olmasıdır. düz hareket s = s(t) to anında.
Eğer İle - sabit sayı ve u = u(x), v = v(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlardır, o zaman kurallara uymak farklılaşma:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" = u"v+v"u;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;
5) eğer y = f(u), u = (x), yani. y = f((x)) - karmaşık fonksiyon veya süperpozisyon, diferansiyellenebilir fonksiyonlardan oluşan ve f , o zaman , veya
6) y = f(x) fonksiyonu için ters türevlenebilir bir x = g(y) fonksiyonu ve 0 varsa, o zaman .
Türevin tanımına ve türev alma kurallarına dayanarak, ana temel fonksiyonların tablo halindeki türevlerinin bir listesini derlemek mümkündür.
1. (u )" = u 1 u" ( R).
2. (a u)" = a u lna u".
3. (e u)" = e sen sen".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u u".
7. (cos u)" = - sin u u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (yay u)" = u"/(1 + u 2).
13. (yay u)" = - u"/(1 + u 2).
y=u v , (u>0) üstel ifadesinin türevini hesaplayalım; burada sen Ve v fonksiyonun özü X belirli bir noktada türevleri olan sen",v".
y=u v eşitliğinin logaritmasını alarak ln y = v ln u elde ederiz.
Türevlerin aşağıdakilere göre eşitlenmesi X Kural 3, 5'i ve logaritmik bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak elde edilen eşitliğin her iki tarafından da şunu elde ederiz:
y"/y = vu"/u +v" ln u, dolayısıyla y" = y (vu"/u +v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.
Örneğin, eğer y = x sin x ise, o zaman y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).
Eğer y = f(x) fonksiyonu bu noktada türevlenebilirse X yani bu noktada sonlu bir türevi var sen", bu durumda = y"+, burada х 0'da 0; dolayısıyla y = y" х + x.
Fonksiyon artışının x'e göre doğrusal olan ana kısmına denir. diferansiyel işlevler ve dy ile gösterilir: dy = y" х. Bu formülde y=x koyarsak dx = x"х = 1х =х elde ederiz, dolayısıyla dy=y"dx yani sembolü elde edilir. Türev gösterimi bir kesir olarak düşünülebilir.
Fonksiyon artışı sen eğrinin ordinatındaki artış ve diferansiyel d sen tanjantın ordinat artışıdır.
y=f(x) fonksiyonunun türevini y = f (x) bulalım. Bu türevin türevine denir ikinci dereceden türev f(x) fonksiyonları veya ikinci türev, ve belirlenmiş 
.
Aşağıdakiler aynı şekilde tanımlanmış ve belirlenmiştir:
üçüncü dereceden türev
-
,
dördüncü dereceden türev -
ve genel olarak konuşursak n'inci dereceden türev
-
.
Örnek 3.15. y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.
Çözüm. Kural 3'e göre, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x) +1)çünkü x.
Örnek 3.16 . y" değerini bulun, y = tan x + .
Çözüm. Toplamı ve bölümü ayırt etmeye yönelik kuralları kullanarak şunu elde ederiz: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + 
=
.
Örnek 3.17. y= , u=x 4 +1 karmaşık fonksiyonunun türevini bulun.
Çözüm. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre şunu elde ederiz: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. u=x 4 +1 olduğundan, o zaman (2x4 + 2+ 
.
Tarih: 20.11.2014
Türev nedir?
Türev tablosu.
Türev ana kavramlardan biridir yüksek Matematik. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan birbirimizi tanıyalım.
Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:
Türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlayın;
Bu sorunları başarıyla çözmek zor görevler;
Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.
İlk olarak - hoş bir sürpriz.)
Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!
Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için şunu bilmek yeterlidir: sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Bu kadar. Bu beni mutlu ediyor.
Hadi tanışmaya başlayalım mı?)
Terimler ve tanımlar.
İlköğretim matematikte birçok farklı matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklerseniz temel matematik daha da yükselir. Bu yeni operasyon isminde farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.
Burada farklılaşmanın bir fonksiyon üzerinde basit bir matematiksel işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alırız ve buna göre belirli kurallar, dönüştürün. Sonuç olacak yeni özellik. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.
Farklılaşma- bir fonksiyon üzerinde eylem.
Türev- bu eylemin sonucu.
Tıpkı örneğin, toplam- toplamanın sonucu. Veya özel- bölmenin sonucu.
Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla ve benzeri. Hepsi bu Aynı. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.
Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.
Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, yani anlıyor musun...)
Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" vesaire. Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.
Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.
Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. İşte bu üç sütun:
1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).
3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.
Türev tablosu.
Dünyada sonsuz sayıda fonksiyon vardır. Bu çeşitlilik arasında en önemli işlevler vardır. pratik uygulama. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.
Fonksiyonların "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)
İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Solda temel bir fonksiyon, sağda ise onun türevi var.
| İşlev sen |
y fonksiyonunun türevi sen" |
|
| 1 | C (sabit değer) | C" = 0 |
| 2 | X | x" = 1 |
| 3 | x n (n - herhangi bir sayı) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | günah x | (sin x)" = cosx |
| çünkü x | (çünkü x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctgx |  |
|
| 5 | ark sin x |  |
| arkcos x |  |
|
| arktan x |  |
|
| arkctg x |  |
|
| 4 | A X |  |
| e X | ||
| 5 | kayıt A X |  |
| lx ( a = e) |
Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Bir kuvvet fonksiyonunun türevi en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biridir! İpucunu anladınız mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmeniz tavsiye edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Daha fazla örnek çözmeye çalışın, tablonun kendisi hatırlanacaktır!)
Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değildir. Bu nedenle, bu tür görevlerde sıklıkla ek çipler bulunur. Ya görevin ifadesinde ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevinde...
Birkaç örneğe bakalım:
1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3
Tabloda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak güç fonksiyonunun bir türevi var Genel görünüm(üçüncü grup). Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üç koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:
(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Bu kadar.
Cevap: y" = 3x 2
2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.
Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir x = 0 bu aynı türevin içine. Tam olarak bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal fonksiyonun yerine hemen sıfır koyarlar... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız isteniyor. onun türevi. Türev, hatırlatmama izin verin, yeni bir fonksiyondur.
Tableti kullanarak sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:
y" = (sin x)" = cosx
Sıfırı türevin yerine koyarız:
y"(0) = çünkü 0 = 1
Cevap bu olacak.
3. Fonksiyonu farklılaştırın:
Ne, ilham veriyor mu?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok.
Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmaktan ibaret olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız fonksiyonumuzun türevini aramak oldukça zahmetlidir. Tablonun hiçbir faydası yok...
Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek çift açılı kosinüs, o zaman her şey hemen daha iyi olur!
Evet evet! Orijinal işlevi dönüştürmenin farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve bu hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak:
Onlar. bizim zorlu fonksiyonumuz bundan başka bir şey değil y = cosx. Ve bu bir tablo fonksiyonudur. Hemen şunu elde ederiz:
Cevap: y" = - sin x.
İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:
4. Fonksiyonun türevini bulun:
Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yoktur. Ama temel matematiği, kuvvetlerle yapılan işlemleri hatırlarsanız... O zaman bu fonksiyonu basitleştirmek oldukça mümkün. Bunun gibi:
Ve x üssü onda bir zaten bir tablo fonksiyonudur! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazıyoruz:
Bu kadar. Cevap bu olacak.
Umarım türev almanın ilk ayağı olan türev tablosuyla ilgili her şey açıktır. Geriye kalan iki balinayla ilgilenmeye devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev almanın kurallarını öğreneceğiz.
Üstel (e üzeri x kuvveti) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x kuvveti) türevi için formüllerin kanıtı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceli türevler için formüller.
Bir üssün türevi üssün kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi e üzeri x'e eşittir):
(1)
(e x )' = e x.
Tabanı a olan üstel bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisiyle çarpımına eşittir doğal logaritma birinden:
(2)
.
Üstel sayının türevinin formülünün türetilmesi, e üzeri x üssü
Üs üstel fonksiyon tabanı e sayısına eşit olan ve aşağıdaki limit olan:
.
Burada ya doğal sayı ya da gerçek sayı olabilir. Daha sonra üstel sayının türevi için formül (1)'i türetiyoruz.
Üstel türev formülünün türetilmesi
e üzeri x'in üstel kuvvetini düşünün:
y = ex.
Bu fonksiyon herkes için tanımlanmıştır. x değişkenine göre türevini bulalım. Tanım gereği türev aşağıdaki limittir:
(3)
.
Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
A)Üs özelliği:
(4)
;
B) Logaritmanın özelliği:
(5)
;
İÇİNDE) Logaritmanın sürekliliği ve sürekli bir fonksiyon için limitlerin özelliği:
(6)
.
Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
G)İkinci dikkat çekici sınırın anlamı:
(7)
.
Bu gerçekleri limitimize (3) uygulayalım. Özelliği (4) kullanıyoruz:
;
.
Bir değişiklik yapalım. Daha sonra ; .
Üstel sayının sürekliliği nedeniyle,
.
Bu nedenle, ne zaman , . Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Bir değişiklik yapalım. Daha sonra . , tarihinde. Ve elimizde:
.
Logaritma özelliğini (5) uygulayalım:
. Daha sonra
.
(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan:
.
Burada da dikkat çeken ikinci limiti (7) kullandık. Daha sonra
.
Böylece üstelin türevi için formül (1)'i elde ettik.
Üstel bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi
Şimdi a dereceli üstel fonksiyonun türevi için formül (2)'yi türetiyoruz. Buna inanıyoruz ve. Daha sonra üstel fonksiyon
(8)
Herkes için tanımlanmış.
Formül (8)'i dönüştürelim. Bunun için kullanacağız üstel fonksiyonun özellikleri ve logaritma.
;
.
Böylece formül (8)'i aşağıdaki forma dönüştürdük:
.
e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri
Şimdi daha yüksek mertebeden türevleri bulalım. Önce üsse bakalım:
(14)
.
(1)
.
Fonksiyon (14)'ün türevinin fonksiyon (14)'ün kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'in farklılığını alarak ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
;
.
Bu, n'inci dereceden türevin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
.
Üstel fonksiyonun yüksek dereceli türevleri
Şimdi derece tabanı a olan üstel bir fonksiyonu düşünün:
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15)
.
(15)'in farklılığını alarak ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
;
.
Her farklılaşmanın orijinal fonksiyonun çarpımına yol açtığını görüyoruz. Bu nedenle, n'inci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir:
.
Bir oran oluşturun ve limiti hesaplayın.
Nereden geldi? türev tablosu ve türev alma kuralları? Tek sınır sayesinde. Sihir gibi görünüyor ama gerçekte el çabukluğudur ve sahtekarlık değildir. Derste Türev nedir? bakmaya başladım spesifik örnekler burada tanımı kullanarak doğrusal ve türevlerini buldum ikinci dereceden fonksiyon. Bilişsel ısınma amacıyla rahatsız etmeye devam edeceğiz türev tablosu algoritmayı geliştirmek ve teknikçözümler:
örnek 1
Temel olarak, genellikle aşağıdaki tabloda görünen bir güç fonksiyonunun türevinin özel bir durumunu kanıtlamanız gerekir: .
Çözüm teknik olarak iki şekilde resmileştirilmiştir. Zaten tanıdık olan ilk yaklaşımla başlayalım: merdiven bir tahtayla başlar ve türev fonksiyonu bir noktadaki türevle başlar.
Hadi düşünelim bazı ait (belirli) nokta tanım alanı türevi olan fonksiyon. Bu noktada artışı ayarlayalım (elbette kapsam dahilindeaçık/kapalı
-BEN) ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturun:
Limiti hesaplayalım:
0:0 belirsizliği, M.Ö. 1. yüzyıldan kalma standart bir teknikle ortadan kaldırılıyor. Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpın 
:
Böyle bir limiti çözme tekniği giriş dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. fonksiyonların sınırları hakkında.
Kalite olarak aralığın HERHANGİ bir noktasını seçebildiğiniz için, değiştirmeyi yaptıktan sonra şunu elde ederiz:
Cevap
Logaritmalara bir kez daha sevinelim:
Örnek 2
Türev tanımını kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm: Aynı görevi teşvik etmek için farklı bir yaklaşım düşünelim. Tamamen aynı ama tasarım açısından daha rasyonel. Buradaki fikir, çözümün başındaki alt simgeden kurtulmak ve harf yerine harfi kullanmaktır.
Hadi düşünelim keyfi ait olduğu nokta tanım alanı fonksiyon (aralık) ve içindeki artışı ayarlayın. Ancak bu arada, çoğu durumda olduğu gibi burada da herhangi bir çekince olmadan yapabilirsiniz, çünkü logaritmik fonksiyon tanım alanının herhangi bir noktasında türevlenebilir.
Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:
Türevini bulalım:
Tasarımın sadeliği, yeni başlayanlar için (sadece değil) ortaya çıkabilecek kafa karışıklığı ile dengeleniyor. Sonuçta limitte “X” harfinin değişmesine alışkınız! Ancak burada her şey farklı: - antika bir heykel ve - müzenin koridorunda hızlı adımlarla yürüyen yaşayan bir ziyaretçi. Yani “x” “sabit gibidir”.
Belirsizliğin adım adım ortadan kaldırılması konusunda yorum yapacağım:
(1) Logaritmanın özelliğini kullanıyoruz.
(2) Parantez içinde payı paydaya, terime ve terime bölün.
(3) Paydada, şu avantajlardan yararlanmak için yapay olarak "x" ile çarpıp bölüyoruz dikkate değer sınır 
, iken sonsuz küçüköne çıkıyor.
Cevap: türevin tanımı gereği:
Veya kısaca:
Kendiniz iki tablo formülü daha oluşturmayı öneriyorum:
Örnek 3
İÇİNDE bu durumda derlenmiş artışı hemen ortak bir paydaya düşürmek uygundur. Yaklaşık örnek Dersin sonunda ödevi tamamlamak (ilk yöntem).
Örnek 3:Çözüm
: bir noktayı düşünün
, fonksiyonun tanım alanına ait
. Bu noktada artışı ayarlayalım
ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturun:
noktasındaki türevi bulalım.
:
O zamandan beri
herhangi bir noktayı seçebilirsiniz
fonksiyon alanı
, O
Ve
Cevap
:
türevin tanımı gereği
Örnek 4
Tanıma göre türevi bulun
Ve burada her şeyin azaltılması gerekiyor harika sınır. Çözüm ikinci şekilde resmileştirilmiştir.
Bir dizi başka tablosal türevler. Tam liste bir okul ders kitabında veya örneğin Fichtenholtz'un 1. cildinde bulunabilir. Farklılaşma kurallarının kanıtlarını kitaplardan kopyalamanın pek bir anlamı görmüyorum - bunlar da formül tarafından üretiliyor.
Örnek 4:Çözüm
, ait
ve içindeki artışı ayarlayın
Türevini bulalım:
Harika bir limit kullanmak
Cevap
:
bir-tarikat
Örnek 5
Türev tanımını kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm: Birinci tasarım stilini kullanıyoruz. 'a ait bir noktayı ele alalım ve bu noktadaki argümanın artışını belirtelim. Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:
Belki bazı okuyucular, artışların yapılması gereken prensibi henüz tam olarak anlamamışlardır. Bir nokta (sayı) alın ve içindeki fonksiyonun değerini bulun: 
yani fonksiyona yerine"X" değiştirilmelidir. Şimdi ayrıca çok özel bir sayı alıyoruz ve onu fonksiyonda değiştiriyoruz. yerine"iksa": . Farkı yazıyoruz ve gerekli tamamen parantez içine alın.
Derlenmiş işlev artışı Hemen basitleştirmek faydalı olabilir. Ne için? Çözümü kolaylaştırın ve daha da kısaltın.
Formüller kullanıyoruz, parantezleri açıyoruz ve azaltılabilecek her şeyi azaltıyoruz: 
Hindinin içi çıkarılmış, kızartmada sorun yok:
Herhangi bir reel sayıyı değer olarak seçebildiğimiz için yerine koyma işlemini yapıp elde ederiz. 
.
Cevap: a-tarikat.
Doğrulama amacıyla türevi kullanarak bulalım. farklılaşma kuralları ve tabloları:
Doğru cevabı önceden bilmek her zaman yararlı ve keyiflidir, bu nedenle önerilen işlevi çözümün en başında zihinsel olarak veya taslak halinde "hızlı" bir şekilde farklılaştırmak daha iyidir.
Örnek 6
Türev tanımına göre bir fonksiyonun türevini bulun
Bu bir örnektir bağımsız karar. Sonuç açıktır:
Örnek 6:Çözüm
: bir noktayı düşünün
, ait
ve içindeki argümanın artışını ayarlayın
. Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:
Türevini hesaplayalım:
Böylece: 
Çünkü çünkü
herhangi bir gerçek sayıyı seçebilirsiniz, o zaman
Ve
Cevap
:
a-tarikat.
2. stile geri dönelim:
Örnek 7
Ne olması gerektiğini hemen öğrenelim. İle karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralı:
Çözüm: öğesine ait rastgele bir noktayı düşünün, argümanın artışını bu noktaya ayarlayın ve fonksiyonun artışını oluşturun:
Türevini bulalım: 
(1) Kullanım trigonometrik formül
.
(2) Sinüs altında parantezleri açıyoruz, kosinüs altında da benzer terimleri sunuyoruz.
(3) Sinüs altında terimleri azaltıyoruz, kosinüs altında payı paydaya terime bölüyoruz.
(4) Sinüs tuhaflığından dolayı “eksi”yi çıkarıyoruz. Kosinüsün altında terimin olduğunu belirtiyoruz.
(5) Paydayı kullanabilmek için yapay çarpma işlemi yapıyoruz. ilk harika sınır. Böylece belirsizlik ortadan kalktı, sonucu düzeltelim.
Cevap: bir-tarikat
Gördüğünüz gibi, ele alınan sorunun ana zorluğu, sınırın karmaşıklığına + ambalajın hafif benzersizliğine dayanmaktadır. Pratikte her iki tasarım yöntemi de ortaya çıkıyor, bu yüzden her iki yaklaşımı da mümkün olduğunca ayrıntılı olarak açıklıyorum. Bunlar eşdeğerdir, ancak yine de benim öznel izlenimime göre, aptalların "X-sıfır" ile 1. seçeneğe bağlı kalması daha tavsiye edilir.
Örnek 8
Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun
Örnek 8:Çözüm
: keyfi bir noktayı düşünün
, ait
, içindeki artışı ayarlayalım
ve fonksiyonun artışını oluşturun:
Türevini bulalım:
Trigonometrik formülü kullanıyoruz
ve ilk dikkate değer sınır:
Cevap
:
bir-tarikat
Sorunun daha nadir bir versiyonuna bakalım:
Örnek 9
Türev tanımını kullanarak fonksiyonun noktadaki türevini bulun.
Öncelikle sonuç ne olmalı? Sayı
Cevabı standart şekilde hesaplayalım: 
Çözüm: Açıklık açısından bakıldığında bu görev çok daha basittir, çünkü formül bunun yerine belirli bir değeri dikkate alır.
Noktadaki artışı ayarlayalım ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturalım:
Bir noktada türevi hesaplayalım:
Çok nadir bir teğet fark formülü kullanıyoruz 
ve bir kez daha çözümü azaltıyoruz ilk harika sınır:
Cevap: Bir noktadaki türevin tanımı gereği.
Sorunu "genel olarak" çözmek o kadar da zor değil - tasarım yöntemini değiştirmek veya ona bağlı olmak yeterlidir. Bu durumda sonucun bir sayı değil, türetilmiş bir fonksiyon olacağı açıktır.
Örnek 10
Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun 
bahsettiğim bir noktada (bunlardan biri sonsuz olabilir) Genel taslak zaten söylendi türev hakkında teorik ders.
Parçalı olarak verilen bazı fonksiyonlar grafiğin "birleşim" noktalarında da türevlenebilir; örneğin, kediköpeğin ortak bir türevi ve ortak bir teğeti (x-ekseni) vardır. Eğri, ancak ! ile türevlenebilir İlgilenenler az önce çözülen örneği kullanarak bunu kendileri doğrulayabilirler.
©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2017-06-11
Belirli bir fonksiyonun türevini bulma problemi matematik dersindeki ana problemlerden biridir. lise ve daha yüksekte Eğitim Kurumları. Türevini almadan bir fonksiyonu tam olarak keşfetmek ve grafiğini oluşturmak imkansızdır. Bir fonksiyonun türevi, türev almanın temel kurallarını ve temel fonksiyonların türev tablosunu biliyorsanız kolayca bulunabilir. Bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım.
Bir fonksiyonun türevi, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitidir.
Bu tanımı anlamak oldukça zordur çünkü limit kavramı sonuna kadar okulda okumadı. Ancak türevleri bulmak için çeşitli işlevler, tanımını anlamanıza gerek yok, işi matematikçilere bırakalım ve doğrudan türevi bulmaya geçelim.
Türevi bulma işlemine farklılaşma denir. Bir fonksiyonun türevini aldığımızda yeni bir fonksiyon elde ederiz.
Bunları belirtmek için kullanacağız edebiyat f, g, vb.
Türevler için birçok farklı gösterim vardır. Bir vuruş kullanacağız. Örneğin g" yazmak, g fonksiyonunun türevini bulacağımız anlamına gelir.
Türev tablosu
Türevin nasıl bulunacağı sorusuna cevap verebilmek için ana fonksiyonların türevlerinin bir tablosunu vermek gerekir. Temel fonksiyonların türevlerini hesaplamak için karmaşık hesaplamalar yapmak gerekli değildir. Türev tablosundaki değerine bakmak yeterlidir.
- (sin x)"=çünkü x
- (çünkü x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (yay x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Örnek 1. y=500 fonksiyonunun türevini bulun.
Bunun bir sabit olduğunu görüyoruz. Türev tablosundan bir sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu bilinmektedir (formül 1).
Örnek 2. y=x 100 fonksiyonunun türevini bulun.
Bu güç fonksiyonuÜssü 100 olan bir fonksiyonun türevini bulmak için fonksiyonu üsle çarpmanız ve 1'e düşürmeniz gerekir (formül 3).
(x 100)"=100 x 99
Örnek 3. y=5 x fonksiyonunun türevini bulun
Bu üstel bir fonksiyondur, türevini formül 4'ü kullanarak hesaplayalım.
Örnek 4. y= log 4 x fonksiyonunun türevini bulun
Logaritmanın türevini formül 7'yi kullanarak buluyoruz.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Farklılaşma kuralları
Şimdi bir fonksiyonun türevini tabloda yoksa nasıl bulacağımızı bulalım. İncelenen fonksiyonların çoğu temel değildir, ancak basit işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir sayıyla çarpma) kullanan temel fonksiyonların kombinasyonlarıdır. Türevlerini bulmak için türev alma kurallarını bilmeniz gerekir. Aşağıda f ve g harfleri fonksiyonları temsil etmektedir ve C bir sabittir.
1. Sabit katsayı türevin işaretinden çıkarılabilir
Örnek 5. y= 6*x 8 fonksiyonunun türevini bulun
6'nın sabit bir faktörünü çıkarırız ve yalnızca x 4'ün türevini alırız. Bu, türevi, türevler tablosunun formül 3'ü kullanılarak bulunan bir güç fonksiyonudur.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Bir toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir
(f + g)"=f" + g"
Örnek 6. y= x 100 +sin x fonksiyonunun türevini bulun
Bir fonksiyon, türevlerini tablodan bulabileceğimiz iki fonksiyonun toplamıdır. (x 100)"=100 x 99 ve (sin x)"=cos x olduğundan. Toplamın türevi bu türevlerin toplamına eşit olacaktır:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +çünkü x
3. Farkın türevi, türevlerin farkına eşittir
(f – g)"=f" – g"
Örnek 7. y= x 100 – cos x fonksiyonunun türevini bulun
Bu fonksiyon, türevlerini de tabloda bulabileceğimiz iki fonksiyonun farkıdır. O zaman farkın türevi, türevlerin farkına eşittir ve işaretini değiştirmeyi unutmayın, çünkü (cos x)"= – sin x.
(x 100 – çünkü x)"= 100 x 99 + sin x
Örnek 8. y=e x +tg x– x 2 fonksiyonunun türevini bulun.
Bu fonksiyonun hem toplamı hem de farkı var; her terimin türevlerini bulalım:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Bu durumda orijinal fonksiyonun türevi şuna eşittir:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Ürünün türevi
(f * g)"=f" * g + f * g"
Örnek 9. y= cos x *e x fonksiyonunun türevini bulun
Bunu yapmak için önce her faktörün (cos x)"=–sin x ve (e x)"=e x türevini buluyoruz. Şimdi her şeyi çarpım formülünde yerine koyalım. Birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpıyoruz ve birinci fonksiyonun çarpımını ikincinin türeviyle ekliyoruz.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Bölümün türevi
(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Örnek 10. y= x 50 /sin x fonksiyonunun türevini bulun
Bir bölümün türevini bulmak için önce pay ve paydanın türevini ayrı ayrı buluruz: (x 50)"=50 x 49 ve (sin x)"= cos x. Bölümün türevini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Karmaşık bir fonksiyonun türevi
Karmaşık bir fonksiyon, çeşitli fonksiyonların birleşimiyle temsil edilen bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmanın da bir kuralı vardır:
(u (v))"=u"(v)*v"
Böyle bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım. y= u(v(x)) olsun - karmaşık fonksiyon. Fonksiyona u harici ve v - dahili adını verelim.
Örneğin:
y=sin (x 3) karmaşık bir fonksiyondur.
O halde y=sin(t) harici bir fonksiyondur
t=x 3 - dahili.
Bu fonksiyonun türevini hesaplamaya çalışalım. Formüle göre iç ve dış fonksiyonların türevlerini çarpmanız gerekiyor.
(sin t)"=cos (t) - harici fonksiyonun türevi (burada t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - iç fonksiyonun türevi
O halde (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 karmaşık bir fonksiyonun türevidir.
