Tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel kökleri. Bir polinomun rasyonel köklerine ilişkin teorem

Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, derecesi üç veya daha yüksek olan bir polinomu çarpanlara ayırmak genellikle gereklidir. Bu yazımızda bunu yapmanın en kolay yoluna bakacağız.

Her zamanki gibi yardım için teoriye dönelim.

Bezout'un teoremi Bir polinomun bir binoma bölünmesinden kalanın olduğunu belirtir.

Fakat bizim için önemli olan teoremin kendisi değil, bundan çıkan sonuç:

Sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinom binom tarafından kalansız bölünebilir.

Bir şekilde polinomun en az bir kökünü bulma, ardından polinomu polinomun kökü olan 'ye bölme göreviyle karşı karşıyayız. Sonuç olarak, derecesi orijinalin derecesinden bir eksik olan bir polinom elde ederiz. Daha sonra gerekirse işlemi tekrarlayabilirsiniz.

Bu görev ikiye ayrılır: bir polinomun kökü nasıl bulunur ve bir polinom bir binoma nasıl bölünür.

Bu noktalara daha yakından bakalım.

1. Bir polinomun kökü nasıl bulunur?

Öncelikle 1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olup olmadığını kontrol ediyoruz.

Aşağıdaki gerçekler burada bize yardımcı olacaktır:

Bir polinomun katsayılarının toplamı sıfır ise sayı polinomun köküdür.

Örneğin bir polinomda katsayıların toplamı sıfırdır: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Bir polinomun çift kuvvetlerdeki katsayılarının toplamı, tek kuvvetlerdeki katsayıların toplamına eşitse, o zaman sayı polinomun köküdür. a çift sayı olduğundan serbest terim çift derece için bir katsayı olarak kabul edilir.

Örneğin, bir polinomda çift kuvvetler için katsayıların toplamı: ve tek kuvvetler için katsayıların toplamı: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Polinomun kökleri ne 1 ne de -1 değilse devam ederiz.

İndirgenmiş bir derece polinomu için (yani, baş katsayı - katsayı - birliğe eşit olan bir polinom), Vieta formülü geçerlidir:

Polinomun kökleri nerede?

Polinomun kalan katsayılarıyla ilgili Vieta formülleri de var ama biz bununla ilgileniyoruz.

Bu Vieta formülünden şu sonuç çıkıyor: eğer bir polinomun kökleri tam sayıysa, o zaman bunlar yine bir tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.

Buna dayanarak, polinomun serbest terimini faktörlere ayırmamız ve en küçükten en büyüğe doğru sırayla polinomun kökü olan faktörlerden hangisinin olduğunu kontrol etmemiz gerekir.

Örneğin polinomu düşünün

Serbest terimin bölenleri: ; ; ;

Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı eşittir, dolayısıyla 1 sayısı polinomun kökü değildir.

Çift güçler için katsayıların toplamı:

Tek güçler için katsayıların toplamı:

Dolayısıyla -1 sayısı da polinomun kökü değildir.

2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim: dolayısıyla 2 sayısı polinomun köküdür. Bu, Bezout teoremine göre polinomun kalansız bir binomla bölünebileceği anlamına gelir.

2. Bir polinomun binoma nasıl bölüneceği.

Bir polinom bir sütunla binoma bölünebilir.

Bir sütun kullanarak polinomu bir binoma bölün:

Bir polinomu binomla bölmenin başka bir yolu daha vardır: Horner şeması.

Anlamak için bu videoyu izleyin Bir polinomun sütunlu bir binomla nasıl bölüneceği ve Horner diyagramının kullanılması.

Bir sütuna bölerken, orijinal polinomda bilinmeyenin bir derecesi eksikse, onun yerine 0 yazacağımızı unutmayın - tıpkı Horner'ın şeması için bir tablo derlerken olduğu gibi.

Dolayısıyla, bir polinomu bir binoma bölmemiz gerekiyorsa ve bölme sonucunda bir polinom elde edersek, Horner şemasını kullanarak polinomun katsayılarını bulabiliriz:

Biz de kullanabiliriz Horner şeması olup olmadığını kontrol etmek için verilen numara bir polinomun kökü: eğer bir sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinomu bölerken kalan kısım sıfıra eşittir, yani Horner şemasının ikinci satırının son sütununda 0 elde ederiz.

Horner'ın şemasını kullanarak "bir taşla iki kuş vuruyoruz": aynı anda sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol ediyoruz ve bu polinomu bir binoma bölüyoruz.

Örnek. Denklemi çözün:

1. Serbest terimin bölenlerini yazalım ve serbest terimin bölenleri arasında polinomun köklerini arayalım.

24'ün bölenleri:

2. 1 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim.

Bir polinomun katsayılarının toplamı dolayısıyla 1 sayısı polinomun köküdür.

3. Orijinal polinomu Horner şemasını kullanarak bir binoma bölün.

A) Orijinal polinomun katsayılarını tablonun ilk satırına yazalım.

İçeren terim eksik olduğundan katsayının yazılması gereken tablonun sütununa 0 yazıyoruz. Sol tarafa bulunan kökü yazıyoruz: 1 sayısı.

B) Tablonun ilk satırını doldurun.

Son sütunda beklendiği gibi sıfır elde ettik; orijinal polinomu kalansız bir binoma böldük. Bölme sonucu elde edilen polinomun katsayıları tablonun ikinci satırında mavi renkle gösterilmiştir:

1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olmadığını kontrol etmek kolaydır

B) Tabloya devam edelim. 2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim:

Yani bire bölme sonucu elde edilen polinomun derecesi orijinal polinomun derecesinden küçüktür, dolayısıyla katsayı sayısı ve sütun sayısı bir eksiktir.

Son sütunda -40 - sıfıra eşit olmayan bir sayı elde ettik, bu nedenle polinom, kalanlı bir binom ile bölünebilir ve 2 sayısı polinomun kökü değildir.

C) -2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim. Önceki deneme başarısız olduğundan, katsayılarla ilgili karışıklığı önlemek için bu girişime karşılık gelen satırı sileceğim:

Harika! Kalan olarak sıfır elde ettik, dolayısıyla polinom kalansız bir binoma bölündü, dolayısıyla -2 sayısı polinomun köküdür. Bir polinomun bir binoma bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayıları tabloda yeşil renkle gösterilmiştir.

Bölünme sonucunda elde ettiğimiz ikinci dereceden üç terimli kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabilen:

Dolayısıyla orijinal denklemin kökleri şöyledir:

{}

Cevap: ( }

Bir polinom ise

Kanıt

Polinomun tüm katsayıları tam sayı olsun ve a tam sayısı bu polinomun kökü olsun. Çünkü bu durumda katsayı a'ya bölünür.

Yorum. Bu teorem aslında, bu polinomların katsayılarının tamsayı olması ve kökün rasyonel bir sayı olması durumunda, daha yüksek dereceli polinomların köklerini bulmanızı sağlar. Teorem şu şekilde yeniden ifade edilebilir: Eğer bir polinomun katsayılarının tamsayı olduğunu ve köklerinin rasyonel olduğunu biliyorsak, o zaman bu rasyonel kökler yalnızca p'nin sayının bir böleni (serbest terim) olduğu formda olabilir, ve q sayısı, sayının bölenidir (baş katsayı).

Tamsayı kökler teoremi, kapsamak

α tamsayısı, tamsayı katsayılı bir polinomun kökü ise, o zaman α, serbest teriminin böleni olur.

Kanıt. İzin vermek:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

tamsayı katsayılı bir polinom ve bir α tamsayısının köküdür.

O zaman kökün tanımı gereği eşitlik P(α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Ortak faktör olan α'yı parantezlerden çıkararak eşitliği elde ederiz:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , Neresi

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

a 0 , a 1 ,…a n-1 , an ve α sayıları tam sayı olduğundan, parantez içinde bir tam sayı vardır ve dolayısıyla a n, α'ya bölünebilir ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Kanıtlanmış teorem şu şekilde de formüle edilebilir: tamsayı katsayılı bir polinomun her tamsayı kökü, serbest teriminin bir böleni olur.
Teorem, tamsayı katsayılı bir polinomun tamsayı köklerini aramak için bir algoritmaya dayanmaktadır: serbest terimin tüm bölenlerini yazın ve bu sayıların polinomlarının değerlerini birer birer yazın.

2.Tamsayı köklerine ilişkin ek teorem

Eğer bir α tamsayısı, tamsayı katsayılı bir P(x) polinomunun kökü ise, o zaman α-1, P(1) sayısının bir böleni olur; α+1, P(-1) sayısının bir böleni olur.

Kanıt. Kimlikten

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

bundan b ve c tam sayıları için bⁿ-cⁿ sayısının b∙c'ye bölünebildiği sonucu çıkar. Ancak herhangi bir P polinomu için fark

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

ve bu nedenle, tamsayı katsayıları ve b ve c tam sayıları olan bir P polinomu için, P(b)-P(c) farkı b-c'ye bölünür.

O halde: b = α, c = 1 için, P (α)-P (1) = -P(1), bu da P(1)'in α-1'e bölünmesi anlamına gelir. İkinci durum da benzer şekilde ele alınır.

Horner şeması

Teorem:İndirgenemez kesir p/q denklemin kökü olsun a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 tam sayı katsayılarıyla, ardından sayı Q a0 baş katsayısının bir böleni ve sayı R serbest terim a n'nin bölenidir.

Not 1. Tamsayı katsayılı bir denklemin herhangi bir tamsayı kökü, serbest teriminin bir böleni olur.

Not 2 Katsayıları tam sayı olan bir denklemin baş katsayısı 1'e eşitse, varsa tüm rasyonel kökler tam sayıdır.

Bir polinomun kökü. Bir polinomun kökü f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n dır-dir x = c , öyle ki F (c)=0 .

Not 3. Eğer x = c bir polinomun kökü ise polinom şu şekilde yazılabilir: f(x)=(x−c)q(x) , Nerede bir polinomun bölümüdür f(x) tek terimli x - c

Bir polinomun bir tek terime bölünmesi Horner şeması kullanılarak yapılabilir:

Eğer f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , sonra bölerken F (X) Açık G (X) özel q(x) benziyor q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Nerede b 0 = a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Kalan R formülle bulunur r=c b n − 1 +a n

Çözüm: En yüksek derecenin katsayısı 1'dir, dolayısıyla denklemin tamsayı kökleri serbest terimin bölenleri arasında aranmalıdır: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Horner şemasını kullanarak denklemin tamsayı köklerini buluyoruz:

Horner'ın şemasına göre bir kök seçilirse. o zaman bu şekilde karar verebilirsin x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Bir polinomun rasyonel köklerini bulma sorusu F(X)Q[X] (rasyonel katsayılarla) polinomların rasyonel köklerini bulma sorununu azaltır k ∙ F(X)Z[X] (tam sayı katsayılarıyla). İşte numara k belirli bir polinomun katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıdır.

Tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel köklerinin varlığı için gerekli ancak yeterli olmayan koşullar aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem 6.1 (tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel kökleri hakkında). Eğer – bir polinomun rasyonel köküF(X) = A N  X N + + …+ A 1  X + A 0 İle tüm katsayılar ve(P, Q) = 1, ardından kesrin payıPserbest terimin böleni a'dır 0 ve paydaQbaş katsayı a'nın bölenidir 0 .

Teorem 6.2.Eğer Q ( Nerede (P, Q) = 1) polinomun rasyonel köküdür F(X) tamsayı katsayıları ile, o zaman
–bütün sayılar.

Örnek. Polinomun tüm rasyonel köklerini bulun

F(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Teorem 6.1'e göre: eğer – bir polinomun rasyonel kökü F(X), ( Nerede( P, Q) = 1), O A 0 = 1 P, A N = 6 Q. Bu yüzden P { 1}, Q (1, 2, 3, 6), yani

.

2. (Sonuç 5.3) sayısının şu şekilde olduğu bilinmektedir: A polinomun köküdür F(X) ancak ve ancak F(X) bölü ( x – a).

Bu nedenle 1 ve –1 sayılarının bir polinomun kökleri olup olmadığını kontrol etmek için F(X) Horner'ın şemasını kullanabilirsiniz:

F(1) = 60,F(–1) = 120, yani 1 ve –1 polinomun kökleri değil F(X).

3. Kalan sayıların bazılarını ayıklamak için
Teorem 6.2'yi kullanalım. If ifadeleri veya
karşılık gelen pay değerleri için tam sayı değerlerini kabul eder P ve payda Q, daha sonra tablonun ilgili hücrelerine (aşağıya bakınız) “ts” harfini yazacağız, aksi takdirde - “dr”.

=
=

4. Horner'ın şemasını kullanarak, eleme sonrasında kalan sayıların şu şekilde olup olmayacağını kontrol ediyoruz:
kökler F(X). Önce bölelim F(X) Açık ( X – ).

Sonuç olarak elimizde: F(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) ve – kök F(X). Özel Q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2'ye böl ( X + ).

Çünkü Q (–) = 30 ise (-) polinomun kökü değildir Q(X) ve dolayısıyla polinom F(X).

Son olarak polinomu bölüyoruz Q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 açık ( X – ).

Var: Q () = 0, yani – kök Q(X) ve bu nedenle kök F (X). Yani polinom F (X) iki rasyonel kökü vardır: ve.

Bir kesrin paydasındaki cebirsel irrasyonellikten kurtuluş

Okul dersinde, bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmak için belirli türdeki problemleri çözerken, kesrin payını ve paydasını, paydaya eşlenik sayı ile çarpmak yeterlidir.

Örnekler. 1.T =
.

Burada kısaltılmış çarpma formülü (kareler farkı) paydada çalışır ve bu da paydadaki mantıksızlıktan kurtulmanıza olanak tanır.

2. Kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın

T =
. İfade – sayıların farkının eksik karesi A=
Ve B= 1. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanma A 3 – B 3 = (bir +B) · ( A 2 – ab + B 2 ), çarpanı belirleyebiliriz M = (bir +B) =
+1, kesrin pay ve paydasının çarpılması gerekir T kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmak için T. Böylece,

Kısaltılmış çarpma formüllerinin işe yaramadığı durumlarda diğer teknikler kullanılabilir. Aşağıda, özellikle daha karmaşık durumlarda bir kesirin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmak için bir algoritma bulmamızı sağlayan bir teorem formüle edeceğiz.

Tanım 6.1. Sayı z isminde cisim üzerinde cebirsel F eğer bir polinom varsa F(X) F[X], kökü olan z, aksi takdirde sayı z isminde alan üzerinde aşkınF.

Tanım 6.2.Alan üzerinde cebir derecesi F sayılar z bir alan üzerinde indirgenemezliğin derecesi denir F polinom P(X)F[X], kökü sayı olan z.

Örnek. z sayısının = olduğunu gösterelim.
alan üzerinde cebirseldir Q ve derecesini bulun.

Haydi cisim üzerinde indirgenemez bir sayı bulalım Q polinom P(X), kökü olan X =
. Eşitliğin her iki tarafını da yükseltelim X =
dördüncü kuvvete göre şunu elde ederiz X 4 = 2 veya X 4 – 2 = 0. Yani, P(X) = X 4 – 2 ve sayının kuvveti z eşittir derece P(X) = 4.

Teorem 6.3 (bir kesrin paydasındaki cebirsel irrasyonellikten kurtuluş üzerine).İzin vermekz– bir alan üzerindeki cebirsel sayıFdereceN. Formun ifadesiT = ,Nerede F(X), (X)F[X], (z) 0

yalnızca şu biçimde temsil edilebilir:

T = İle N -1 z N -1 + C N -2 z N -2 + … + C 1 z + C 0 , C Ben F.

Belirli bir örnek kullanarak bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulma algoritmasını göstereceğiz.

Örnek. Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:

T =

1. Kesrin paydası polinomun değeridir (X) = X 2 – X+1 ne zaman X =
. Önceki örnek şunu gösteriyor
– bir alan üzerindeki cebirsel sayı Q derece 4, indirgenemez bir sayının kökü olduğundan Q polinom P(X) = X 4 – 2.

2. GCD'nin doğrusal açılımını bulalım ( (X), P(X)) Öklid algoritmasını kullanarak.

_X 4 – 2 | X 2 -X + 1

X 4 -X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 -X 2 – 2

X 3 -X 2 +x

X 2 -X + 1 | – X –2 = R 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = Q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = R 2

– X –2 -X - =Q 3 (X)

Yani, GCD ( (X), P(X)) = R 2 = 7. Doğrusal genişlemesini bulalım.

Polinom gösterimini kullanarak Öklid dizisini yazalım.

P(X) = (X) · Q 1 (X) + R 1 (X)
R 1 (X) =P(X) – (X) · Q 1 (X)

Daha önce de belirttiğimiz gibi polinom teorisindeki en önemli problemlerden biri onların köklerini bulma problemidir. Bu sorunu çözmek için seçim yöntemini kullanabilirsiniz; Rastgele bir sayı alın ve bunun belirli bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol edin.

Bu durumda, köke hızlı bir şekilde "çarpabilirsiniz" veya onu asla bulamayabilirsiniz. Sonuçta, sonsuz sayıda olduğu için tüm sayıları kontrol etmek imkansızdır.

Arama alanını daraltabilseydik, örneğin aradığımız köklerin, örneğin belirtilen otuz sayı arasında olduğunu bilseydik, bu başka bir konu olurdu. Ve otuz sayı için kontrol yapabilirsiniz. Yukarıda söylenenlerle bağlantılı olarak bu açıklama önemli ve ilginç görünüyor.

İndirgenemez kesir l/m (l,m tamsayılardır), tamsayı katsayılı bir f(x) polinomunun kökü ise, bu polinomun baş katsayısı m'ye bölünür ve serbest terim 1'e bölünür.

Aslında, eğer f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, burada an, an-1,...,a1, a0 tam sayılardır, bu durumda f (l/ m) =0, yani an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Bu eşitliğin her iki tarafını da mn ile çarpalım. Anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0 elde ederiz.

Bu şu anlama gelir:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Ann tamsayısının m'ye bölünebildiğini görüyoruz. Ancak l/m indirgenemez bir kesirdir, yani. l ve m sayıları aralarında asaldır ve tamsayıların bölünebilirliği teorisinden bilindiği gibi ln ve m sayıları da aralarında asaldır. Yani anln m'ye bölünebilir ve m de ln'e eş asaldır, bu da an'ın m'ye bölünebileceği anlamına gelir.

Kanıtlanmış konu, tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel kökleri için arama alanını önemli ölçüde daraltmamızı sağlar. Bunu spesifik bir örnekle gösterelim. f(x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 polinomunun rasyonel köklerini bulalım. Teoreme göre bu polinomun rasyonel kökleri l/m formunun indirgenemez kesirleri arasındadır; burada l, a0=8 serbest teriminin böleni, m ise baş katsayı a4=6'nın böleni olur. Ayrıca l/m kesri negatif ise paya “-” işareti atanacaktır. Örneğin - (1/3) = (-1) /3. Yani l'nin 8 sayısının böleni, m'nin ise 6 sayısının pozitif böleni olduğunu söyleyebiliriz.

8 sayısının bölenleri ±1, ±2, ±4, ±8, 6 sayısının pozitif bölenleri ise 1, 2, 3, 6 olduğuna göre söz konusu polinomun rasyonel kökleri sayılar arasındadır. ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Sadece indirgenemez kesirleri yazdığımızı hatırlayalım.

Böylece yirmi sayımız var - kökler için “adaylar”. Geriye kalan tek şey, her birini kontrol etmek ve gerçekten kök olanları seçmek. Ancak yine de oldukça fazla kontrol yapmanız gerekecek. Ancak aşağıdaki teorem bu işi basitleştirir.

İndirgenemez kesir l/m, tamsayı katsayılı bir f(x) polinomunun kökü ise, o zaman f(k), l-km?0 olması koşuluyla herhangi bir k tamsayısı için l-km'ye bölünebilir.

Bu teoremi kanıtlamak için f(x)'i x-k'ye ve kalana bölün. F alıyoruz (X) = (x-k) S (X) +f (k). f(x) katsayıları tamsayı olan bir polinom olduğundan, s(x) polinomu da öyledir ve f(k) bir tamsayıdır. s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0 olsun. O halde f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Bu eşitliğe x=l/m koyalım. f (l/m) =0 olduğunu düşünürsek, şunu elde ederiz:

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Son eşitliğin her iki tarafını da mn ile çarpalım:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Buradan mnf (k) tam sayısının l-km'ye bölünebildiği sonucu çıkar. Ancak l ve m aralarında asal olduğundan, mn ve l-km de aralarında asaldır, bu da f(k)'nin l-km'ye bölünebileceği anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Şimdi örneğimize dönelim ve kanıtlanmış teoremi kullanarak rasyonel köklerin aranma çemberini daha da daraltalım. Bu teoremi k=1 ve k=-1 için uygulayalım; indirgenemez kesir l/m f(x) polinomunun kökü ise, o zaman f(1) / (l-m) ve f (-1) / (l+m) olur. Bizim durumumuzda f(1) = -5 ve f(-1) = -15 olduğunu kolaylıkla buluruz. Aynı zamanda ±1'i değerlendirme dışı bıraktığımızı unutmayın.

O halde polinomumuzun rasyonel kökleri ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 sayıları arasında aranmalıdır. /3.

l/m=1/2'yi düşünün. Daha sonra l-m=-1 ve f(1)=-5 bu sayıya bölünür. Ayrıca l+m=3 ve f(1)=-15 de 3'e bölünebilir. Bu, 1/2 kesrinin kök "adayları" arasında kaldığı anlamına gelir.

Şimdi lm=- (1/2) = (-1) /2 olsun. Bu durumda l-m=-3 ve f(1) =-5, -3'e bölünemez. Bu, -1/2 kesirinin bu polinomun kökü olamayacağı anlamına gelir ve bunu daha fazla değerlendirmenin dışında tutuyoruz. Yukarıda yazılan kesirlerin her birini kontrol edelim ve gerekli köklerin 1/2, ±2/3, 2, - 4 sayıları arasında olduğunu bulalım.

Böylece oldukça basit numara Söz konusu polinomun rasyonel kökleri için arama alanını önemli ölçüde daralttık. Kalan sayıları kontrol etmek için Horner'ın şemasını kullanacağız:

Tablo 10

g(x)'i x-2/3'e böldüğümüzde kalanın - 80/9'a eşit olduğunu, yani 2/3'ün g(x) polinomunun kökü olmadığını ve dolayısıyla f(x)'in de olmadığını bulduk.

Daha sonra, - 2/3'ün g (x) polinomunun kökü olduğunu ve g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) olduğunu kolaylıkla buluruz. O halde f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). x2+2x-4 polinomu için daha fazla doğrulama yapılabilir; bu elbette g(x)'e göre daha basittir, hatta f(x)'e göre daha da basittir. Sonuç olarak 2 ve -4 sayılarının kök olmadığını görüyoruz.

Yani f(x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 polinomunun iki rasyonel kökü vardır: 1/2 ve - 2/3.

Yukarıda açıklanan yöntemin, tamsayı katsayılı bir polinomun yalnızca rasyonel köklerini bulmayı mümkün kıldığını hatırlayın. Bu arada bir polinomun irrasyonel kökleri de olabilir. Yani örneğin örnekte ele alınan polinomun iki kökü daha vardır: - 1±v5 (bunlar x2+2x-4 polinomunun kökleridir). Ve genel olarak konuşursak, bir polinomun hiçbir şekilde rasyonel kökleri olmayabilir.

Şimdi birkaç ipucu verelim.

Yukarıda kanıtlanmış teoremlerden ikincisini kullanarak f(x) polinomunun kökleri için "adayları" test ederken, ikincisi genellikle k=±1 durumları için kullanılır. Başka bir deyişle, eğer l/m bir "aday" kök ise, f(1) ve f(-1)'in sırasıyla l-m ve l+m'ye bölünebilir olup olmadığını kontrol edin. Ancak örneğin f(1) = 0 olabilir, yani 1 bir kök olabilir ve bu durumda f(1) herhangi bir sayıya bölünebilir ve kontrolümüz anlamsız hale gelebilir. Bu durumda f(x)'i x-1'e bölmelisiniz, yani. f(x) = (x-1)s(x)'i elde edin ve s(x) polinomunu test edin. Aynı zamanda f(x) - x1=1 polinomunun bir kökünü zaten bulduğumuzu da unutmamalıyız. Rasyonel kökler üzerine ikinci teoremi kullandıktan sonra kalan kökler için "adayları" kontrol ederken, Horner şemasını kullanarak örneğin l/m'nin bir kök olduğunu bulursak, o zaman onun çokluğunun bulunması gerekir. Eğer k'ye eşitse, o zaman f (x) = (x-l/m) ks (x) olur ve s (x) için daha fazla test yapılabilir, bu da hesaplamaları azaltır.

Böylece tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel köklerini bulmayı öğrendik. Bunu yaparak, rasyonel katsayılara sahip bir polinomun irrasyonel köklerini bulmayı öğrendiğimiz ortaya çıktı. Aslında, örneğin f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2 polinomumuz varsa, katsayıları ortak bir paydaya getirip parantezlerin dışına koyarsak, f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) olsun. f(x) polinomunun köklerinin parantez içindeki polinomun kökleriyle çakıştığı ve katsayılarının tamsayı olduğu açıktır. Örneğin sin100'ün irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlayalım. İyi bilinen sin3?=3sin?-4sin3? formülünü kullanalım. Dolayısıyla sin300=3sin100-4sin3100. sin300=0,5 olduğunu düşünürsek ve basit dönüşümler yaparsak 8sin3100-6sin100+1=0 elde ederiz. Dolayısıyla sin100 f(x) =8x3-6x+1 polinomunun köküdür. Bu polinomun rasyonel köklerini ararsak, hiçbirinin olmadığına ikna olacağız. Bu, sin100 kökünün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir; sin100 irrasyonel bir sayıdır.

Vesaire. genel eğitim niteliğindedir ve büyük önem TAMAMEN yüksek matematik dersini incelemek. Bugün "okul" denklemlerini tekrarlayacağız, ancak yalnızca "okul" denklemlerini değil, çeşitli vyshmat problemlerinde her yerde bulunan denklemleri tekrarlayacağız. Her zamanki gibi hikaye uygulamalı bir şekilde anlatılacak. Tanımlara ve sınıflandırmalara odaklanmayacağım, tam olarak sizlerle paylaşacağım. kişisel deneyimçözümler. Bilgiler öncelikle yeni başlayanlar için hazırlanmıştır, ancak daha ileri düzey okuyucular da kendileri için birçok ilginç nokta bulacaktır. Ve elbette olacak yeni materyal, ötesine geçmek lise.

Yani denklem… Birçoğu bu kelimeyi ürpererek hatırlıyor. Kökleri değerli olan "karmaşık" denklemler nelerdir... ...unut onları! Çünkü o zaman bu türün en zararsız "temsilcileriyle" tanışacaksınız. Veya onlarca çözüm yöntemiyle sıkıcı trigonometrik denklemler. Dürüst olmak gerekirse ben de onları pek sevmedim... Panik yapma! – o zaman çoğunlukla “karahindiba” 1-2 adımda bariz bir çözümle sizi bekliyor. Her ne kadar "dulavratotu" kesinlikle yapışsa da, burada objektif olmanız gerekiyor.

Garip bir şekilde, yüksek matematikte aşağıdaki gibi çok ilkel denklemlerle uğraşmak çok daha yaygındır: doğrusal denklemler

Bu denklemi çözmek ne anlama geliyor? Bu, “x”in (kök) onu gerçek eşitliğe dönüştürecek BÖYLE değerini bulmak anlamına gelir. İşaret değişikliği ile “üç”ü sağa atalım:

ve “iki”yi sağ tarafa bırakın (veya aynı şey - her iki tarafı da çarpın) :

Kontrol etmek için kazanılan kupayı orijinal denklemde yerine koyalım:

Doğru eşitlik elde edilir, yani bulunan değer aslında bu denklemin köküdür. Veya onların da söylediği gibi bu denklemi karşılıyor.

Lütfen kökün şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın. ondalık:
Ve bu kötü üsluba bağlı kalmamaya çalışın! Sebebini özellikle ilk derste defalarca tekrarladım. yüksek cebir.

Bu arada denklem “Arapça” olarak da çözülebilir:

Ve en ilginci bu kaydın tamamen yasal olması! Ancak öğretmen değilseniz, bunu yapmamak daha iyidir çünkü burada özgünlük cezalandırılır =)

Ve şimdi biraz hakkında

grafiksel çözüm yöntemi

Denklem şu şekildedir ve kökü "X" koordinatı kesişme noktaları doğrusal fonksiyon grafiği programlı doğrusal fonksiyon (x ekseni):

Örnek o kadar basit görünüyor ki burada analiz edilecek başka bir şey yok, ancak beklenmedik bir nüans daha "sıkıştırılabilir": aynı denklemi formda sunalım ve fonksiyonların grafiklerini oluşturalım:

burada, lütfen iki kavramı karıştırmayın: bir denklem bir denklemdir ve işlev– bu bir fonksiyondur! Fonksiyonlar sadece yardım Denklemin köklerini bulun. Bunlardan iki, üç, dört ve hatta sonsuz sayıda olabilir. Bu anlamda en yakın örnek, tanınmış ikinci dereceden denklem ayrı bir paragraf alınan çözüm algoritması "sıcak" okul formülleri. Ve bu tesadüf değil! Eğer ikinci dereceden bir denklemi çözebilir ve biliyorsan Pisagor teoremi o zaman “yüksek matematiğin yarısı zaten cebinizde” diyebiliriz =) Elbette abartılı ama gerçeklerden o kadar da uzak değil!

Bu nedenle tembel olmayalım ve ikinci dereceden denklemleri kullanarak çözelim. standart algoritma:

bu da denklemin iki farklı olduğu anlamına gelir geçerli kök:

Bulunan her iki değerin de bu denklemi gerçekten karşıladığını doğrulamak kolaydır:

Aniden çözüm algoritmasını unutursanız ve elinizde hiçbir araç/yardım eli yoksa ne yapmalısınız? Bu durum örneğin bir test veya sınav sırasında ortaya çıkabilir. Grafik yöntemini kullanıyoruz! Ve iki yol var: yapabilirsin noktadan noktaya inşa etmek parabol böylece eksenin nerede kesiştiğini buluruz (eğer hiç geçerse). Ancak daha kurnazca bir şey yapmak daha iyidir: denklemi formda hayal edin, daha basit fonksiyonların grafiklerini çizin - ve "X" koordinatları kesişme noktaları açıkça görülüyor!


Düz çizginin parabole değdiği ortaya çıkarsa, denklemin iki eşleşen (çoklu) kökü vardır. Düz çizginin parabolle kesişmediği ortaya çıkarsa, o zaman gerçek kökler yoktur.

Bunu yapmak için elbette inşa edebilmeniz gerekir. temel fonksiyonların grafikleri ama öte yandan bir okul çocuğu bile bu becerileri yapabilir.

Ve yine - bir denklem bir denklemdir ve işlevler, sadece yardımcı oldu denklemi çözün!

Bu arada bir şeyi daha hatırlamakta fayda var: Bir denklemin tüm katsayıları sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsa kökleri değişmez.

Yani, örneğin, denklem aynı köklere sahiptir. Basit bir “kanıt” olarak sabitleri parantezlerden çıkaracağım:
ve onu acısız bir şekilde çıkaracağım (Her iki parçayı da “eksi ikiye” böleceğim):

ANCAK! Fonksiyonu dikkate alırsak , o zaman buradaki sabitten kurtulamazsınız! Çarpanın yalnızca parantezlerden çıkarılmasına izin verilir: .

Pek çok kişi grafiksel çözüm yöntemini "onursuz" bir şey olarak değerlendirerek hafife alıyor ve hatta bazıları bu olasılığı tamamen unutuyor. Ve bu temelde yanlıştır, çünkü grafik çizmek bazen sadece durumu kurtarır!

Başka bir örnek: En basit trigonometrik denklemin köklerini hatırlamadığınızı varsayalım: . Genel formül okul ders kitaplarında, ilköğretim matematikle ilgili tüm referans kitaplarında vardır, ancak bunlara erişemezsiniz. Ancak denklemi çözmek kritik öneme sahiptir (“iki”). Bir çıkış var! – fonksiyonların grafiklerini oluşturun:


daha sonra kesişme noktalarının “X” koordinatlarını sakin bir şekilde yazıyoruz:

Sonsuz sayıda kök vardır ve cebirde bunların özet gösterimi kabul edilir:
, Nerede ( – tamsayılar kümesi) .

Ve "uzaklaşmadan", tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin grafiksel yöntemi hakkında birkaç söz. Prensip aynıdır. Yani örneğin eşitsizliğin çözümü herhangi bir "x"tir, çünkü Sinüzoid neredeyse tamamen düz çizginin altında yer alır. Eşitsizliğin çözümü sinüzoidin parçalarının düz çizginin tam üzerinde olduğu aralıklar kümesidir. (x ekseni):

veya kısaca:

Ancak eşitsizliğin birçok çözümü şunlardır: boşÇünkü sinüzoidin hiçbir noktası düz çizginin üzerinde değildir.

Anlamadığınız bir şey var mı? Acilen dersleri inceleyin setleri Ve fonksiyon grafikleri!

Haydi! ısınalım:

1. Egzersiz

Aşağıdaki trigonometrik denklemleri grafiksel olarak çözün:

Cevaplar dersin sonunda

Gördüğünüz gibi, kesin bilimleri incelemek için formülleri ve referans kitaplarını tıkamak hiç de gerekli değil! Üstelik bu, temelde hatalı bir yaklaşımdır.

Dersin başında size güvence verdiğim gibi, standart yüksek matematik dersindeki karmaşık trigonometrik denklemlerin çok nadiren çözülmesi gerekir. Kural olarak tüm karmaşıklık, çözümü en basit denklemlerden kaynaklanan iki grup kök olan denklemlerle sona erer ve . İkincisini çözme konusunda fazla endişelenmeyin; bir kitaba bakın veya internette bulun =)

Grafiksel çözüm yöntemi daha az önemsiz durumlarda da yardımcı olabilir. Örneğin aşağıdaki "paçavra" denklemini düşünün:

Çözüme dair beklentiler... hiçbir şeye benzemiyor, ancak denklemi şu şekilde hayal etmeniz yeterli: fonksiyon grafikleri ve her şey inanılmaz derecede basit olacak. Makalenin ortasında bununla ilgili bir çizim var. sonsuz küçük fonksiyonlar (sonraki sekmede açılacaktır).

Aynı grafiksel yöntemi kullanarak, denklemin zaten iki kökü olduğunu ve bunlardan birinin sıfıra eşit olduğunu, diğerinin ise görünüşe göre, mantıksız ve segmentine aittir. Bu kök yaklaşık olarak hesaplanabilir, örneğin: teğet yöntem. Bu arada, bazı problemlerde kökleri bulmanız gerekmiyor, ancak bulmanız gerekiyor gerçekten varlar mı?. Ve burada da çizim yardımcı olabilir - grafikler kesişmiyorsa kök yoktur.

Tamsayı katsayılı polinomların rasyonel kökleri.
Horner şeması

Şimdi sizleri bakışlarınızı Orta Çağ'a çevirmeye ve klasik cebirin eşsiz atmosferini hissetmeye davet ediyorum. Materyali daha iyi anlamak için en azından biraz okumanızı tavsiye ederim Karışık sayılar.

Onlar en iyisi. Polinomlar.

İlgilendiğimiz konu formun en yaygın polinomları olacaktır. tüm katsayılar Doğal sayı isminde polinom derecesi, sayı – en yüksek derecenin katsayısı (veya sadece en yüksek katsayı) ve katsayısı Ücretsiz Üye.

Bu polinomu kısaca ile belirteceğim.

Bir polinomun kökleri denklemin köklerini çağır

Demir mantığını seviyorum =)

Örnekler için makalenin en başına gidin:

1. ve 2. derece polinomların köklerini bulmada herhangi bir sorun yoktur ancak arttıkça bu iş daha da zorlaşır. Öte yandan her şey daha ilginç! Ve dersin ikinci bölümünün tam olarak buna ayrılacağı şey bu.

İlk olarak, kelimenin tam anlamıyla teori ekranının yarısı:

1) Sonuç olarak cebirin temel teoremi, derece polinomu tam olarak karmaşık kökler. Bazı kökler (hatta tümü) özellikle geçerli. Ayrıca gerçek kökler arasında aynı (birden fazla) kök bulunabilir. (minimum iki, maksimum adet).

Eğer bir karmaşık sayı bir polinomun kökü ise, o zaman birleşik sayısı da zorunlu olarak bu polinomun köküdür (eşlenik kompleks kökler şu şekildedir).

En basit örnek ilk olarak 8'de ortaya çıkan ikinci dereceden bir denklemdir (beğenmek) sınıf ve sonunda konuyu "bitirdik" Karışık sayılar. Size şunu hatırlatmama izin verin: İkinci dereceden bir denklemin ya iki farklı gerçek kökü vardır, ya birden fazla kökü vardır ya da eşlenik karmaşık kökleri vardır.

2) Gönderen Bezout'un teoremi eğer bir sayı bir denklemin kökü ise, o zaman karşılık gelen polinom çarpanlara ayrılabilir:
derece polinomu nerede .

Ve yine eski örneğimize bakalım: denklemin kökü olduğundan, o zaman . Bundan sonra ünlü “okul” genişlemesini elde etmek zor değil.

Bezout teoreminin sonucunun büyük bir pratik değeri vardır: 3. dereceden bir denklemin kökünü biliyorsak, onu şu şekilde temsil edebiliriz: ve itibaren ikinci dereceden denklem kalan kökleri tanımak kolaydır. Eğer 4. dereceden bir denklemin kökünü biliyorsak, o zaman sol tarafı bir çarpıma vs. genişletmek mümkündür.

Ve burada iki soru var:

Birinci soru. Bu kökü nasıl bulabilirim? Her şeyden önce, doğasını tanımlayalım: yüksek matematiğin birçok probleminde şunu bulmak gerekir: akılcı, özellikle tüm polinomların kökleri ve bu bağlamda esas olarak onlarla ilgileneceğiz.... ...o kadar güzeller ki, o kadar yumuşaklar ki, onları bulmak istiyorsunuz! =)

İlk akla gelen seçim yöntemidir. Örneğin denklemi düşünün. Buradaki yakalama serbest terimdedir - eğer sıfıra eşit olsaydı, o zaman her şey yoluna girerdi - "x" i parantezlerden çıkarırız ve köklerin kendileri yüzeye "düşer":

Ancak serbest terimimiz “üç”e eşit olduğundan “kök” olduğunu iddia eden denklemin yerine çeşitli sayıları koymaya başlıyoruz. Her şeyden önce tekil değerlerin ikamesi kendini göstermektedir. yerine koyalım:

Kabul edilmiş yanlış eşitlik dolayısıyla birim “uymadı.” Tamam, yerine koyalım:

Kabul edilmiş doğru eşitlik! Yani değer bu denklemin köküdür.

3. dereceden bir polinomun köklerini bulmak için analitik bir yöntem vardır. (sözde Cardano formülleri) ama şimdi biraz farklı bir görevle ilgileniyoruz.

Polinomumuzun kökü - olduğundan, polinom şu şekilde temsil edilebilir ve ortaya çıkabilir: İkinci soru: “küçük erkek kardeş” nasıl bulunur?

En basit cebirsel düşünceler, bunu yapmak için 'ye bölmemiz gerektiğini önerir. Bir polinom bir polinoma nasıl bölünür? Paylaştıkları aynı okul yöntemi sıradan sayılar- “bir sütunda”! Bu method Dersin ilk örneklerinde detaylı olarak anlattım. Karmaşık Limitler ve şimdi adı verilen başka bir yönteme bakacağız. Horner şeması.

İlk önce “en yüksek” polinomu yazıyoruz Herkesle sıfır katsayılar dahil:
, ardından bu katsayıları (kesinlikle sırayla) tablonun üst satırına giriyoruz:

Kökü sola yazıyoruz:

Horner'ın planının "kırmızı" sayı olması durumunda da işe yarayacağına dair hemen rezervasyon yaptıracağım Olumsuz polinomun köküdür. Ancak işleri aceleye getirmeyelim.

Baş katsayıyı yukarıdan kaldırıyoruz:

Alt hücreleri doldurma işlemi bir şekilde nakışı andırıyor; burada "eksi bir", sonraki adımlara nüfuz eden bir tür "iğne" dir. "Aşağıya taşınan" sayıyı (-1) ile çarpıyoruz ve üst hücredeki sayıyı çarpıma ekliyoruz:

Bulunan değeri “kırmızı iğne” ile çarpıyoruz ve aşağıdaki denklem katsayısını ürüne ekliyoruz:

Ve son olarak ortaya çıkan değer yine “iğne” ve üst katsayı ile “işlenir”:

Son hücredeki sıfır bize polinomun bölündüğünü söyler iz bırakmadan (olması gerektiği gibi) genişleme katsayıları doğrudan tablonun alt satırından "kaldırılır":

Böylece denklemden eşdeğer bir denkleme geçtik ve kalan iki kökle her şey açık (V bu durumda eşlenik karmaşık kökler elde ederiz).

Bu arada denklem grafiksel olarak da çözülebilir: arsa "yıldırım" ve grafiğin x eksenini kestiğini görün () noktada . Veya aynı "kurnaz" numara - denklemi formda yeniden yazıyoruz, temel grafikler çiziyoruz ve kesişme noktalarının "X" koordinatını tespit ediyoruz.

Bu arada, 3. dereceden herhangi bir fonksiyon polinomunun grafiği eksenle en az bir kez kesişir, bu da karşılık gelen denklemin olduğu anlamına gelir. en azından bir geçerli kök. Bu gerçek tek dereceli herhangi bir polinom fonksiyonu için geçerlidir.

Ve burada ayrıca üzerinde durmak istiyorum önemli nokta terminolojiyle ilgili olan: polinom Ve Polinom fonksiyonu – bu aynı şey değil! Ancak pratikte sıklıkla örneğin "bir polinomun grafiği" hakkında konuşurlar ki bu elbette ihmaldir.

Ancak Horner'ın planına dönelim. Geçenlerde bahsettiğim gibi bu şema diğer numaralar için de çalışıyor ancak eğer numara Olumsuz denklemin kökü ise formülümüzde sıfır olmayan bir ekleme (kalan) görünür:

Horner'ın şemasına göre "başarısız" değerini "çalıştıralım". Bu durumda, aynı tabloyu kullanmak uygundur - sola yeni bir "iğne" yazın, önde gelen katsayıyı yukarıdan hareket ettirin (sol yeşil ok), ve yola çıkıyoruz:

Kontrol etmek için parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:
, TAMAM.

Kalanın (“altı”) tam olarak polinomun değeri olduğunu görmek kolaydır. Ve aslında - nasıl bir şey:
, ve daha da güzeli - şöyle:

Yukarıdaki hesaplamalardan, Horner'ın planının yalnızca polinomu çarpanlara ayırmaya değil, aynı zamanda kökün "uygar" bir seçimini gerçekleştirmeye de izin verdiğini anlamak kolaydır. Hesaplama algoritmasını küçük bir görevle kendi başınıza birleştirmenizi öneririm:

Görev 2

Horner şemasını kullanarak denklemin tam sayı kökünü bulun ve karşılık gelen polinomu çarpanlara ayırın

Başka bir deyişle, burada son sütunda sıfır kalan "çizilene" kadar 1, –1, 2, –2, ... – sayılarını sırayla kontrol etmeniz gerekir. Bu, bu doğrunun "iğnesinin" polinomun kökü olduğu anlamına gelecektir.

Hesaplamaların tek bir tabloda düzenlenmesi uygundur. Detaylı çözüm ve cevap ders sonunda.

Kök seçme yöntemi nispeten basit durumlar için iyidir, ancak polinomun katsayıları ve/veya derecesi büyükse süreç uzun zaman alabilir. Ya da belki aynı listeden 1, –1, 2, –2 gibi bazı değerler vardır ve dikkate almanın bir anlamı yoktur? Ayrıca köklerin kesirli olduğu ortaya çıkabilir ve bu da tamamen bilimsel olmayan bir dürtüye yol açacaktır.

Neyse ki rasyonel kökler için "aday" değerlerin aranmasını önemli ölçüde azaltabilecek iki güçlü teorem vardır:

Teorem 1 Hadi düşünelim indirgenemez kesir, nerede. Sayı denklemin kökü ise, serbest terim bölünür ve baş katsayı bölünür.

Özellikle, eğer baş katsayı ise, bu rasyonel kök bir tamsayıdır:

Ve teoremden şu lezzetli ayrıntıyla yararlanmaya başlıyoruz:

Denkleme dönelim. Baş katsayısı olduğundan, varsayımsal rasyonel kökler yalnızca tamsayı olabilir ve serbest terimin mutlaka bu köklere kalan olmadan bölünmesi gerekir. Ve “üç” yalnızca 1, –1, 3 ve –3'e bölünebilir. Yani elimizde sadece 4 “kök aday” var. Ve göre Teorem 1İLKEDE diğer rasyonel sayılar bu denklemin kökleri olamaz.

Denklemde biraz daha “rakipler” var: serbest terim 1, –1, 2, – 2, 4 ve –4'e bölünmüştür.

Lütfen 1, –1 rakamlarının olası kökler listesinin “düzenli sayıları” olduğunu unutmayın. (teoremin bariz bir sonucu) ve en En iyi seçimöncelik kontrolü için.

Daha anlamlı örneklere geçelim:

Sorun 3

Çözüm: baş katsayı olduğundan, varsayımsal rasyonel kökler yalnızca tamsayı olabilir ve bunlar mutlaka serbest terimin bölenleri olmalıdır. “Eksi kırk” aşağıdaki sayı çiftlerine bölünmüştür:
– toplam 16 “aday”.

Ve burada hemen cazip bir düşünce ortaya çıkıyor: tüm olumsuz veya tüm olumlu kökleri ayıklamak mümkün mü? Bazı durumlarda bu mümkün! İki işaret formüle edeceğim:

1) Eğer Tüm Polinomun katsayıları negatif değilse pozitif köklere sahip olamaz. Ne yazık ki, bizim durumumuz bu değil (Şimdi, eğer bize bir denklem verilmişse - o zaman evet, polinomun herhangi bir değerini değiştirirken, polinomun değeri kesinlikle pozitiftir, bu da tüm pozitif sayıların olduğu anlamına gelir. (ve mantıksız olanlar da) denklemin kökleri olamaz.

2) Tek kuvvetler için katsayılar negatif değilse ve tüm çift kuvvetler için katsayılar (ücretsiz üye dahil) negatif ise polinomun negatif kökleri olamaz. Bu bizim durumumuz! Biraz daha yakından baktığınızda, denklemde herhangi bir negatif "X"i yerine koyduğunuzda sol tarafın kesinlikle negatif olacağını görebilirsiniz, bu da negatif köklerin ortadan kalktığı anlamına gelir

Böylece araştırma için 8 sayı kaldı:

Horner'ın planına göre onları sırayla "yükliyoruz". Umarım zihinsel hesaplamalarda zaten ustalaşmışsınızdır:

“İkiyi” test ederken şans bizi bekliyordu. Dolayısıyla, söz konusu denklemin kökü ve

Denklemi incelemeye devam ediyor . Bunu diskriminant aracılığıyla yapmak kolaydır, ancak aynı şemayı kullanarak gösterge niteliğinde bir test yapacağım. Öncelikle serbest terimin 20'ye eşit olduğunu belirtelim. Teorem 1 8 ve 40 sayıları olası kökler listesinden çıkar ve değerleri araştırmaya bırakılır (Horner'ın planına göre biri elendi).

Üç terimlinin katsayılarını yeni tablonun en üst satırına yazıyoruz ve Aynı “iki” ile kontrol etmeye başlıyoruz. Neden? Kökler birden fazla olabileceği için lütfen: - bu denklemin 10 özdeş kökü var. Ama dikkatimizi dağıtmayalım:

Ve burada elbette biraz yalan söylüyordum, köklerin rasyonel olduğunu biliyordum. Sonuçta, eğer bunlar irrasyonel veya karmaşık olsaydı, geri kalan tüm sayıların başarısız bir şekilde kontrol edilmesiyle karşı karşıya kalırdım. Bu nedenle pratikte ayrımcıya rehberlik etmek gerekir.

Cevap: rasyonel kökler: 2, 4, 5

Analiz ettiğimiz problemde şanslıydık çünkü: a) hemen düştüler negatif değerler ve b) kökü çok hızlı bir şekilde bulduk (ve teorik olarak listenin tamamını kontrol edebiliriz).

Ancak gerçekte durum çok daha kötü. Sizi “Son Kahraman” adlı heyecan verici bir oyunu izlemeye davet ediyorum:

Sorun 4

Denklemin rasyonel köklerini bulun

Çözüm: İle Teorem 1 varsayımsal rasyonel köklerin payları koşulu karşılamalıdır (“on iki el'e bölünür” diye okuyoruz) ve paydalar koşula karşılık gelir. Buna dayanarak iki liste elde ederiz:

"listele":
ve "um'u listele": (neyse ki buradaki sayılar doğaldır).

Şimdi mümkün olan tüm köklerin bir listesini yapalım. İlk olarak “el listesini” sayısına bölüyoruz. Aynı rakamların elde edileceği kesinlikle açıktır. Kolaylık sağlamak için bunları bir tabloya koyalım:

Pek çok kesir azaltılarak zaten "kahraman listesinde" olan değerler ortaya çıktı. Yalnızca “yeni başlayanlar” ekliyoruz:

Benzer şekilde, aynı "listeyi" şu şekilde bölüyoruz:

ve nihayet

Böylece oyunumuza katılanların ekibi tamamlandı:


Maalesef bu problemdeki polinom "pozitif" veya "negatif" kriterini karşılamıyor ve bu nedenle üst veya alt satırı göz ardı edemiyoruz. Tüm sayılarla çalışmanız gerekecek.

Nasıl hissediyorsun? Haydi, kafanızı kaldırın - mecazi anlamda "katil teoremi" olarak adlandırılabilecek başka bir teorem daha var…. ...“adaylar” elbette =)

Ancak önce en az bir tanesi için Horner diyagramını kaydırmanız gerekir. bütün sayılar. Geleneksel olarak bir tane alalım. En üst satıra polinomun katsayılarını yazıyoruz ve her şey her zamanki gibi:

Dört açıkça sıfır olmadığı için değer söz konusu polinomun kökü değildir. Ama bize çok yardımcı olacak.

Teorem 2 Bazıları için ise Genel olarak polinomun değeri sıfırdan farklıysa: rasyonel kökleri (Eğer öylelerse) koşulu karşılamak

Bizim durumumuzda ve dolayısıyla tüm olası köklerin bu koşulu karşılaması gerekir. (buna Koşul No. 1 diyelim). Bu dörtlü pek çok “adayın” “katil”i olacak. Bir gösteri olarak birkaç kontrole bakacağım:

"Aday"ı kontrol edelim. Bunu yapmak için, onu yapay olarak kesir şeklinde temsil edelim ki buradan açıkça görülmektedir. Test farkını hesaplayalım: . Dört "eksi ikiye" bölünür: Bu, olası kökün testi geçtiği anlamına gelir.

Değeri kontrol edelim. İşte test farkı: . Elbette ve dolayısıyla ikinci “konu” da listede kalıyor.