Predtým, ako prejdeme k Vietovej vete, zavedieme definíciu. Kvadratická rovnica tvaru X² + px + q= 0 sa nazýva redukovaný. V tejto rovnici sa vodiaci koeficient rovná jednej. Napríklad rovnica X² - 3 X- 4 = 0 sa zníži. Ľubovoľná kvadratická rovnica tvaru sekera² + b X + c= 0 možno znížiť vydelením oboch strán rovnice A≠ 0. Napríklad rovnica 4 X² + 4 X— 3 = 0 delením 4 sa zredukuje na tvar: X² + X— 3/4 = 0. Odvoďme vzorec pre korene daného kvadratická rovnica, na to použijeme vzorec pre korene všeobecnej kvadratickej rovnice: sekera² + bx + c = 0
Redukovaná rovnica X² + px + q= 0 sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej A = 1, b = p, c = q. Preto má vzorec pre danú kvadratickú rovnicu tvar: 
posledný výraz sa nazýva vzorec pre korene redukovanej kvadratickej rovnice; tento vzorec je obzvlášť vhodné použiť, keď R — párne číslo. Napríklad vyriešme rovnicu X² – 14 X — 15 = 0
Ako odpoveď napíšeme, že rovnica má dva korene.
Pre redukovanú kvadratickú rovnicu s kladnou hodnotou platí nasledujúca veta.
Vietov teorém
Ak X 1 a X 2 - korene rovnice X² + px + q= 0, potom sú vzorce platné:
X 1 + X 2 = — R
x 1 * x 2 = q, to znamená, že súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.
Na základe vzorca pre korene vyššie uvedenej kvadratickej rovnice máme:
Pridaním týchto rovností dostaneme: X 1 + X 2 = —R.
Vynásobením týchto rovníc pomocou vzorca rozdielu štvorcov dostaneme:
Všimnite si, že Vietov teorém platí aj vtedy, keď sa diskriminant rovná nule, ak predpokladáme, že v tomto prípade má kvadratická rovnica dva rovnaké korene: X 1 = X 2 = — R/2.
Bez riešenia rovníc X² – 13 X+ 30 = 0 nájdite súčet a súčin jeho koreňov X 1 a X 2. túto rovnicu D= 169 – 120 = 49 > 0, takže možno použiť Vietovu vetu: X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov. Jeden z koreňov rovnice X² — px- 12 = 0 sa rovná X 1 = 4. Nájdite koeficient R a druhý koreň X 2 tejto rovnice. Podľa Vietovej vety x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — R. Pretože X 1 = 4, potom 4 X 2 = - 12, odkiaľ X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) = - (4 - 3) = - 1. V odpovedi zapíšeme druhý koreň X 2 = - 3, koeficient p = — 1.
Bez riešenia rovníc X² + 2 X- 4 = 0 nájdime súčet druhých mocnín jeho koreňov. Nechaj X 1 a X 2 - korene rovnice. Podľa Vietovej vety X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Pretože X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2 potom X 1²+ X 2² = (- 2)² -2 (- 4) = 12.
Nájdite súčet a súčin koreňov rovnice 3 X² + 4 X- 5 = 0. Táto rovnica má dva rôzne korene, keďže diskriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Na vyriešenie rovnice použijeme Vietovu vetu. Táto veta bola dokázaná pre danú kvadratickú rovnicu. Rozdeľme teda túto rovnicu 3.
Preto sa súčet koreňov rovná -4/3 a ich súčin sa rovná -5/3.
Vo všeobecnosti korene rovnice sekera² + b X + c= 0 súvisí s nasledujúcimi rovnosťami: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Na získanie týchto vzorcov stačí vydeliť obe strany tejto kvadratickej rovnice A ≠ 0 a aplikujte Vietovu vetu na výslednú redukovanú kvadratickú rovnicu. Zoberme si príklad: musíte vytvoriť redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorej korene X 1 = 3, X 2 = 4. Pretože X 1 = 3, X 2 = 4 - korene kvadratickej rovnice X² + px + q= 0, potom podľa Vietovej vety R = — (X 1 + X 2) = — 7, q = X 1 X 2 = 12. Odpoveď zapíšeme ako X² – 7 X+ 12 = 0. Pri riešení niektorých úloh sa používa nasledujúca veta.
Veta sa obracia na Vietovu vetu
Ak čísla R, q, X 1 , X 2 sú také, že X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 = q, To x 1 A x 2- korene rovnice X² + px + q= 0. Striedajte na ľavej strane X² + px + q namiesto R výraz - ( X 1 + X 2) a namiesto toho q- práca x 1 * x 2. Dostaneme: X² + px + q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Ak teda čísla R, q, X 1 a X 2 sú spojené týmito vzťahmi, teda pre všetkých X platí rovnosť X² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), z čoho vyplýva, že X 1 a X 2 - korene rovnice X² + px + q= 0. Pomocou inverznej vety k Vietovej vete môžete niekedy výberom nájsť korene kvadratickej rovnice. Pozrime sa na príklad, X² – 5 X+ 6 = 0. Tu R = — 5, q= 6. Vyberme dve čísla X 1 a X 2 tak, že X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Keď si všimneme, že 6 = 2 * 3 a 2 + 3 = 5 inverznou vetou k Vietovej vete, dostaneme, že X 1 = 2, X 2 = 3 - korene rovnice X² – 5 X + 6 = 0.
Formulácia a dôkaz Vietovej vety pre kvadratické rovnice. Vietova konverzná veta. Vietova veta pre kubické rovnice a rovnice ľubovoľného poriadku.
ObsahPozri tiež: Korene kvadratickej rovnice
Kvadratické rovnice
Vietov teorém
Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1)
.
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu , branému s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.
Poznámka o viacerých koreňoch
Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.
Dôkaz jeden
Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.
Nájdite súčet koreňov:
.
Ak chcete nájsť produkt, použite vzorec:
.
Potom
.
Veta je dokázaná.
Dôkaz dva
Ak sú čísla koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otváranie zátvoriek.
.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.
Veta je dokázaná.
Vietova konverzná veta
Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
Kde
(2)
;
(3)
.
Dôkaz Vietovej konverznej vety
Zvážte kvadratickú rovnicu
(1)
.
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).
Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme pojmy na ľavej strane rovnice:
;
;
(4)
.
Nahradíme v (4):
;
.
Nahradíme v (4):
;
.
Rovnica platí. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).
Veta je dokázaná.
Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu
Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5)
,
kde , a sú nejaké čísla. Navyše.
Rozdeľme rovnicu (5) takto:
.
To znamená, že sme dostali danú rovnicu
,
Kde ; .
Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.
Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.
Vietova veta pre kubickú rovnicu
Podobným spôsobom môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6)
,
kde , , , sú nejaké čísla. Navyše.
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7)
,
Kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom
.
Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.
Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa
Rovnakým spôsobom môžete nájsť spojenia medzi koreňmi , , ... , , for n-té rovnice stupňa
.
Vietova veta pre rovnicu n-tý stupeň má nasledujúci tvar:
;
;
;
.
Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu takto:
.
Potom srovnáme koeficienty pre , , , ... a porovnáme voľný člen.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vzdelávacie inštitúcie, Moskva, Vzdelávanie, 2006.
Pri štúdiu metód riešenia rovníc druhého rádu v kurze školskej algebry sa berú do úvahy vlastnosti výsledných koreňov. V súčasnosti sú známe ako Vietov teorém. Príklady jeho použitia sú uvedené v tomto článku.
Kvadratická rovnica
Rovnica druhého rádu je rovnosť zobrazená na fotografii nižšie.
Symboly a, b, c sú tu niektoré čísla nazývané koeficienty uvažovanej rovnice. Ak chcete vyriešiť rovnosť, musíte nájsť hodnoty x, ktoré ju robia pravdivou.
Všimnite si, že od maximálna hodnota mocnina, na ktorú sa x zvýši, sa rovná dvom, potom sa počet koreňov vo všeobecnom prípade tiež rovná dvom.
Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť tento typ rovnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať jedným z nich, ktorý zahŕňa použitie takzvanej Vietovej vety.
Formulácia Vietovej vety
Koncom 16. storočia si slávny matematik Francois Viète (Francúz) pri analýze vlastností koreňov rôznych kvadratických rovníc všimol, že určité ich kombinácie spĺňajú špecifické vzťahy. Tieto kombinácie sú najmä ich súčinom a súčtom.
Vietova veta stanovuje nasledovné: korene kvadratickej rovnice, keď sú sčítané, dávajú pomer lineárnych ku kvadratickým koeficientom s opačným znamienkom, a keď sú vynásobené, vedú k pomeru voľného člena ku kvadratickému koeficientu .
Ak všeobecná forma rovnica je napísaná tak, ako je znázornené na fotografii v predchádzajúcej časti článku, potom matematicky môže byť táto veta napísaná vo forme dvoch rovníc:
- r2 + r1 = -b/a;
- r1 x r2 = c/a.
Kde r 1, r 2 je hodnota koreňov príslušnej rovnice.
Vyššie uvedené dve rovnosti možno použiť na riešenie množstva rôznych matematických problémov. Použitie Vietovej vety v príkladoch s riešeniami je uvedené v nasledujúcich častiach článku.
Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice sú okrem koreňových vzorcov aj ďalšie užitočné vzťahy, ktoré sú uvedené Vietov teorém. V tomto článku uvedieme formuláciu a dôkaz Vietovej vety pre kvadratickú rovnicu. Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najtypickejších príkladov. Nakoniec si zapíšeme vzorce Vieta, ktoré definujú vzťah medzi skutočnými koreňmi algebraická rovnica stupeň n a jeho koeficienty.
Navigácia na stránke.
Vietova veta, formulácia, dôkaz
Zo vzorcov koreňov kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 tvaru, kde D=b 2 −4·a·c vyplývajú vzťahy: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 x 2 = c/a. Tieto výsledky sú potvrdené Vietov teorém:
Veta.
Ak x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0, potom sa súčet koreňov rovná pomeru koeficientov b a a, braných s opačným znamienkom, a súčinu korene sa rovnajú pomeru koeficientov c a a, teda .
Dôkaz.
Dôkaz Vietovej vety vykonáme podľa nasledujúcej schémy: poskladáme súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice pomocou známych koreňových vzorcov, potom výsledné výrazy transformujeme a uistíme sa, že sú rovné −b/ a a c/a.
Začnime súčtom koreňov a vymyslime si to. Teraz privedieme zlomky k spoločnému menovateľovi, máme . V čitateli výsledného zlomku, po ktorom:. Nakoniec, po 2, dostaneme . To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému.
Súčin koreňov kvadratickej rovnice poskladáme: . Podľa pravidla násobenia zlomkov možno posledný súčin zapísať ako . Teraz vynásobíme zátvorku zátvorkou v čitateli, ale rýchlejšie je tento produkt zbaliť vzorec štvorcového rozdielu, Takže . Potom, pamätajúc, vykonáme ďalší prechod. A keďže diskriminant kvadratickej rovnice zodpovedá vzorcu D=b 2 −4·a·c, tak namiesto D v poslednom zlomku môžeme dosadiť b 2 −4·a·c, dostaneme. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných výrazov sa dostaneme k zlomku a jeho zmenšenie o 4·a dáva . To dokazuje druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.
Ak vynecháme vysvetlenia, dôkaz Vietovej vety bude mať lakonickú formu:
,
.
Zostáva len poznamenať, že ak je diskriminant rovný nule, kvadratická rovnica má jeden koreň. Ak však predpokladáme, že rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene, potom platia aj rovnosti z Vietovej vety. V skutočnosti, keď D=0, koreň kvadratickej rovnice sa rovná , potom a , a keďže D=0, to znamená b 2 −4·a·c=0, odkiaľ b 2 = 4·a·c, potom .
V praxi sa Vietov teorém najčastejšie používa vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici (s vodiacim koeficientom a rovným 1) tvaru x 2 +p·x+q=0. Niekedy sa formuluje pre kvadratické rovnice práve tohto typu, čo však neobmedzuje všeobecnosť, pretože akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou vydelením oboch strán nenulovým číslom a. Uveďme zodpovedajúcu formuláciu Vietovej vety:
Veta.
Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 sa rovná koeficientu x s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu, teda x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q.
Veta sa obracia na Vietovu vetu
Druhá formulácia Vietovej vety uvedená v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0, potom vzťahy x 1 +x 2 =−p x 1 x 2 = q. Na druhej strane zo zapísaných vzťahov x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q vyplýva, že x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0. Inými slovami, opak Vietovej vety je pravdivý. Sformulujme to vo forme vety a dokážme to.
Veta.
Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 + x 2 =−p a x 1 · x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p · x+q =0.
Dôkaz.
Po nahradení koeficientov p a q v rovnici x 2 +p·x+q=0 ich vyjadreniami cez x 1 a x 2 sa transformuje na ekvivalentnú rovnicu.
Dosadíme do výslednej rovnice číslo x 1 namiesto x a máme rovnosť x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, čo pre ľubovoľné x 1 a x 2 predstavuje správnu číselnú rovnosť 0=0, keďže x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Preto je x 1 koreňom rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, čo znamená, že x 1 je koreň ekvivalentnej rovnice x 2 +p·x+q=0.
Ak v rovnici x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 namiesto x dosadíme číslo x 2, dostaneme rovnosť x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Toto je skutočná rovnosť, pretože x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Preto je x 2 tiež koreňom rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a preto rovnice x 2 +p·x+q=0.
Tým je dôkaz teorému konverzný k Vietovmu teorému.
Príklady použitia Vietovej vety
Je čas porozprávať sa o praktickej aplikácii Vietovej vety a jej opačnej vety. V tejto časti analyzujeme riešenia niekoľkých najtypickejších príkladov.
Začnime aplikáciou vety konverzovať na Vietovu vetu. Je vhodné použiť na kontrolu, či dané dve čísla sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. V tomto prípade sa vypočíta ich súčet a rozdiel, potom sa skontroluje platnosť vzťahov. Ak sú splnené obidva tieto vzťahy, potom na základe vety, ktorá sa obracia na Vietovu vetu, sa usúdi, že tieto čísla sú koreňmi rovnice. Ak aspoň jeden zo vzťahov nie je splnený, potom tieto čísla nie sú koreňmi kvadratickej rovnice. Tento prístup možno použiť pri riešení kvadratických rovníc na kontrolu nájdených koreňov.
Príklad.
Ktorý z párov čísel 1) x 1 =−5, x 2 =3 alebo 2) alebo 3) je párom koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0?
Riešenie.
Koeficienty danej kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0 sú a=4, b=−16, c=9. Podľa Vietovej vety by sa súčet koreňov kvadratickej rovnice mal rovnať −b/a, teda 16/4=4, a súčin koreňov by sa mal rovnať c/a, teda 9. /4.
Teraz vypočítajme súčet a súčin čísel v každom z troch daných párov a porovnajme ich s hodnotami, ktoré sme práve získali.
V prvom prípade máme x 1 + x 2 =−5+3=−2. Výsledná hodnota je iná ako 4, takže už nie je možné vykonať žiadnu ďalšiu kontrolu, ale pomocou vety inverznej k Vietovej vete možno okamžite usúdiť, že prvý pár čísel nie je párom koreňov danej kvadratickej rovnice.
Prejdime k druhému prípadu. Tu je prvá podmienka splnená. Kontrolujeme druhú podmienku: výsledná hodnota je iná ako 9/4. V dôsledku toho druhý pár čísel nie je párom koreňov kvadratickej rovnice.
Zostáva posledný prípad. Tu a . Obe podmienky sú splnené, preto tieto čísla x 1 a x 2 sú koreňmi danej kvadratickej rovnice.
odpoveď:
Prevrátenie Vietovej vety sa dá v praxi použiť na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Zvyčajne sa vyberajú celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi, pretože v iných prípadoch je to dosť ťažké. V tomto prípade využívajú skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice so znamienkom mínus a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom tieto čísla sú korene tejto kvadratickej rovnice. Pochopme to na príklade.
Zoberme si kvadratickú rovnicu x 2 −5 x+6=0. Aby čísla x 1 a x 2 boli koreňmi tejto rovnice, musia byť splnené dve rovnosti: x 1 + x 2 =5 a x 1 · x 2 =6. Zostáva len vybrať takéto čísla. IN v tomto prípade je to celkom jednoduché: také čísla sú 2 a 3, pretože 2+3=5 a 2·3=6. 2 a 3 sú teda koreňmi tejto kvadratickej rovnice.
Inverzná veta k Vietovej vete je obzvlášť vhodná na nájdenie druhého koreňa danej kvadratickej rovnice, keď je jeden z koreňov už známy alebo zrejmý. V tomto prípade možno druhý koreň nájsť z ktoréhokoľvek zo vzťahov.
Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 512 x 2 −509 x −3=0. Tu je ľahké vidieť, že jednota je koreňom rovnice, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je rovný nule. Takže x 1 = 1. Druhý koreň x 2 nájdeme napríklad zo vzťahu x 1 ·x 2 =c/a. Máme 1 x 2 =−3/512, z čoho x 2 =−3/512. Takto sme určili oba korene kvadratickej rovnice: 1 a −3/512.
Je jasné, že výber koreňov sa odporúča iba v najjednoduchších prípadoch. V iných prípadoch môžete na nájdenie koreňov použiť vzorce pre korene kvadratickej rovnice prostredníctvom diskriminantu.
Ďalší praktické využitie Veta, opačne k Vietovej vete, spočíva v zostavovaní kvadratických rovníc s koreňmi x 1 a x 2. Na to stačí vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient x s opačným znamienkom danej kvadratickej rovnice, a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.
Príklad.
Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú −11 a 23.
Riešenie.
Označme x 1 =−11 a x 2 =23. Vypočítame súčet a súčin týchto čísel: x 1 +x 2 =12 a x 1 ·x 2 =−253. Uvedené čísla sú preto koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom −12 a voľným členom −253. To znamená, že x 2 −12·x−253=0 je požadovaná rovnica.
odpoveď:
x 2 −12·x−253=0 .
Vietova veta sa veľmi často používa pri riešení úloh súvisiacich so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Ako súvisí Vietova veta so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p·x+q=0? Tu sú dve relevantné vyhlásenia:
- Ak je priesečník q kladné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, potom sú obe kladné alebo záporné.
- Ak je voľný člen q záporné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, ich znamienka sú rôzne, inými slovami, jeden koreň je kladný a druhý záporný.
Tieto tvrdenia vyplývajú zo vzorca x 1 · x 2 =q, ako aj z pravidiel násobenia kladných, záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami. Pozrime sa na príklady ich aplikácie.
Príklad.
R je pozitívny. Pomocou diskriminačného vzorca nájdeme D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, hodnotu výrazu r 2 +8 je kladné pre akékoľvek reálne r, teda D>0 pre akékoľvek reálne r. V dôsledku toho má pôvodná kvadratická rovnica dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.
Teraz poďme zistiť, kedy majú korene rôzne znamenia. Ak sú znamienka koreňov odlišné, ich súčin je záporný a podľa Vietovej vety sa súčin koreňov redukovanej kvadratickej rovnice rovná voľnému členu. Preto nás zaujímajú tie hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r−1 záporný. Aby sme teda našli hodnoty r, ktoré nás zaujímajú, potrebujeme rozhodnúť lineárna nerovnosť r-1<0 , откуда находим r<1 .
odpoveď:
na r<1 .
Vieta vzorce
Vyššie sme hovorili o Vietovej vete pre kvadratickú rovnicu a analyzovali sme vzťahy, ktoré presadzuje. Existujú však vzorce, ktoré spájajú skutočné korene a koeficienty nielen kvadratických rovníc, ale aj kubických rovníc, rovníc štvrtého stupňa a všeobecne, algebraické rovnice stupeň n. Nazývajú sa Vietove vzorce.
Napíšme Vietov vzorec pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru a budeme predpokladať, že má n reálnych koreňov x 1, x 2, ..., x n (medzi nimi môžu byť aj zhodné): 
Vzorce Vieta sa dajú získať veta o rozklade polynómu na lineárne faktory, ako aj definíciu rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov. Takže polynóm a jeho expanzia na lineárne faktory tvaru sú rovnaké. Otvorením zátvoriek v poslednom produkte a porovnaním zodpovedajúcich koeficientov získame Vietov vzorce.
Najmä pre n=2 máme už známe Vietove vzorce pre kvadratickú rovnicu.
Pre kubickú rovnicu majú Vietove vzorce tvar 
Zostáva len poznamenať, že na ľavej strane vzorcov Viety sú takzvané elementárne symetrické polynómy.
Bibliografia.
- Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.- 368 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-022771-1.
