Układ mechaniczny, który składa się z punktu materialnego (ciała) zawieszonego na nierozciągliwej nieważkości nici (jego masa jest znikoma w porównaniu z ciężarem ciała) w jednorodnym polu grawitacyjnym, nazywa się wahadłem matematycznym (inna nazwa to oscylator) . Istnieją inne typy tego urządzenia. Zamiast nici można użyć nieważkiego pręta. Wahadło matematyczne może jasno ujawnić istotę wielu ciekawe zjawiska... Przy niewielkiej amplitudzie oscylacji jego ruch nazywa się harmonicznym.
Ogólne informacje o systemie mechanicznym
Wzór na okres oscylacji tego wahadła został wyprowadzony przez holenderskiego naukowca Huygensa (1629-1695). Ten współczesny I. Newtonowi bardzo lubił ten mechaniczny system. W 1656 stworzył pierwszy zegar z wahadłem. Mierzyli czas z wyjątkową jak na tamte czasy dokładnością. Wynalazek ten stał się najważniejszym etapem rozwoju eksperymentów fizycznych i działań praktycznych.
Jeśli wahadło jest w równowadze (wiszą pionowo), zostanie ono zrównoważone siłą naciągu nici. Wahadło płaskie na nierozciągliwym gwincie to układ o dwóch stopniach swobody z wiązaniem. Zmiana tylko jednego komponentu powoduje zmianę właściwości wszystkich jego części. Tak więc, jeśli nić zostanie zastąpiona prętem, to ten układ mechaniczny będzie miał tylko 1 stopień swobody. Jakie właściwości ma wahadło matematyczne? W tym najprostszy system chaos powstaje pod wpływem okresowych zakłóceń. W przypadku, gdy punkt zawieszenia nie porusza się, ale oscyluje, na wahadle pojawia się nowe położenie równowagi. Dzięki szybkim wibracjom w górę iw dół ten mechaniczny system przyjmuje stabilną pozycję do góry nogami. Ma też swoją własną nazwę. Nazywa się wahadełkiem Kapitsa.
Właściwości wahadła
Wahadło matematyczne ma bardzo ciekawe właściwości. Wszystkie są potwierdzone znanymi prawami fizycznymi. Okres oscylacji każdego innego wahadła zależy od różnych okoliczności, takich jak wielkość i kształt ciała, odległość między punktem zawieszenia a środkiem ciężkości oraz rozkład masy względem danego punktu. Dlatego określenie okresu wiszącego ciała jest dość trudnym zadaniem. O wiele łatwiej jest obliczyć okres wahadła matematycznego, którego wzór zostanie podany poniżej. W wyniku obserwacji takich układów mechanicznych można ustalić następujące wzorce:
Jeżeli zachowując tę samą długość wahadła zawiesimy różne ciężary, to okres ich drgań okaże się taki sam, chociaż ich masy będą się znacznie różnić. W konsekwencji okres takiego wahadła nie zależy od masy ładunku.
Jeśli podczas uruchamiania układu wahadło odchyla się o niezbyt duże, ale różne kąty, to będzie oscylować z tym samym okresem, ale z różnymi amplitudami. Dopóki odchylenia od środka równowagi nie będą zbyt duże, oscylacje ich postaci będą wystarczająco zbliżone do harmonicznych. Okres takiego wahadła nie zależy w żaden sposób od amplitudy drgań. Ta właściwość tego mechanicznego systemu nazywana jest izochronizmem (przetłumaczona z greckiego „chronos” - czas, „isos” - równy).
Okres wahadła matematycznego
Wskaźnik ten reprezentuje okres naturalnych oscylacji. Mimo skomplikowanego sformułowania sam proces jest bardzo prosty. Jeśli długość nici wahadła matematycznego wynosi L, a przyspieszenie swobodny spadek g, to ta wartość jest równa:
Okres małych nie zależy w żaden sposób od masy wahadła i amplitudy drgań. W tym przypadku wahadło porusza się jak matematyczne o zmniejszonej długości.
Drgania wahadła matematycznego
Wahadło matematyczne oscyluje, co można opisać prostym równaniem różniczkowym:
x + ω2 sin x = 0,
gdzie x (t) jest funkcją nieznaną (jest to kąt odchylenia od dolnego położenia równowagi w czasie t, wyrażony w radianach); ω jest stałą dodatnią, która jest wyznaczana z parametrów wahadła (ω = √g / L, gdzie g to przyspieszenie ziemskie, a L to długość wahadła matematycznego (zawieszenia).
Równanie małych drgań w pobliżu położenia równowagi (równanie harmoniczne) wygląda tak:
x + ω2 sin x = 0
Ruchy oscylacyjne wahadła
Wahadło matematyczne, które powoduje niewielkie oscylacje, porusza się wzdłuż sinusoidy. Równanie różniczkowe drugie zamówienie spełnia wszystkie wymagania i parametry takiego ruchu. Do wyznaczenia trajektorii konieczne jest ustawienie prędkości i współrzędnej, z której następnie wyznaczane są stałe niezależne:
x = grzech (θ 0 + ωt),
gdzie θ 0 to faza początkowa, A to amplituda drgań, ω to częstotliwość cykliczna określona z równania ruchu.
Wahadło matematyczne (wzory na duże amplitudy)
Ten mechaniczny system, który oscyluje ze znaczną amplitudą, podlega bardziej złożonym prawom ruchu. Dla takiego wahadła oblicza się je według wzoru:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
gdzie sn jest sinusem Jacobiego, który dla u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
gdzie ε = E / mL2 (mL2 to energia wahadła).
Wyznaczenie okresu drgań wahadła nieliniowego odbywa się według wzoru:
gdzie Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K jest całką eliptyczną, π - 3,14.
Ruch wahadłowy wzdłuż rozdzielacza
Trajektoria nazywana jest separatką. dynamiczny system, który ma dwuwymiarową przestrzeń fazową. Wahadło matematyczne porusza się po nim nieokresowo. W nieskończenie odległym momencie spada ze skrajnej górnej pozycji na bok z zerową prędkością, a następnie stopniowo ją podnosi. Ostatecznie zatrzymuje się, wracając do swojej pierwotnej pozycji.
Jeśli amplituda drgań wahadła zbliża się do liczby π , sugeruje to, że ruch na płaszczyźnie fazowej zbliża się do separatrycy. W tym przypadku układ mechaniczny pod wpływem niewielkiej siły okresowej wymuszającej zachowuje się chaotycznie.
Gdy wahadło matematyczne odchyla się od położenia równowagi o pewien kąt φ, powstaje siła styczna Fτ = -mg sin φ. Znak minus oznacza, że ta składowa styczna jest skierowana w kierunku przeciwnym do odchylenia wahadła. Gdy x oznacza przemieszczenie wahadła po łuku koła o promieniu L, jego przemieszczenie kątowe wynosi φ = x / L. Druga zasada rzutów i sił da pożądaną wartość:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Na podstawie tego stosunku można zauważyć, że to wahadło jest układem nieliniowym, ponieważ siła, która dąży do powrotu go do położenia równowagi, jest zawsze proporcjonalna nie do przemieszczenia x, ale do sin x / L.
Tylko wtedy, gdy wahadło matematyczne wykonuje małe drgania, jest oscylatorem harmonicznym. Innymi słowy, staje się systemem mechanicznym zdolnym do wykonywania wibracji harmonicznych. To przybliżenie jest praktycznie ważne dla kątów 15-20 °. Drgania wahadła o dużych amplitudach nie są harmoniczne.
Prawo Newtona dla małych oscylacji wahadła
Jeśli dany układ mechaniczny wykonuje małe drgania, II zasada Newtona będzie wyglądać tak:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Na tej podstawie możemy stwierdzić, że wahadło matematyczne jest proporcjonalne do jego przemieszczenia ze znakiem minus. Jest to warunek, dzięki któremu układ staje się oscylatorem harmonicznym. Moduł współczynnika proporcjonalności między przemieszczeniem a przyspieszeniem jest równy kwadratowi częstotliwości kątowej:
ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.
Wzór ten odzwierciedla naturalną częstotliwość niewielkich drgań tego typu wahadła. Oparte na tym,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Obliczenia na podstawie prawa zachowania energii
Właściwości wahadła można również opisać za pomocą prawa zachowania energii. Należy pamiętać, że wahadło w polu grawitacyjnym jest równe:
E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
Full jest równy potencjałowi kinetycznemu lub maksymalnemu: Epmax = Ekmsx = E
Po zapisaniu prawa zachowania energii, pochodna prawej i lewej strony równania jest wyznaczana:
Ponieważ pochodna stałych wynosi 0, to (Ep + Ek) "= 0. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
Ep „= (mg / L * x2 / 2)” = mg / 2L * 2x * x „= mg / L * v + Ek” = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) „= m / 2 * 2v * v "= mv * α,
W związku z tym:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.
Na podstawie ostatniego wzoru znajdujemy: α = - g / L * x.
Praktyczne zastosowanie wahadła matematycznego
Przyspieszenie zmienia się wraz z szerokością geograficzną jako gęstość Skorupa na całej planecie nie jest taki sam. Tam, gdzie występują skały o większej gęstości, będzie ona nieco wyższa. Przyspieszenie wahadła matematycznego jest często wykorzystywane do badań geologicznych. Poszukuje się w nim różnych minerałów. Po prostu licząc liczbę drgań wahadła można znaleźć węgiel lub rudę we wnętrzu Ziemi. Wynika to z faktu, że takie skamieliny mają gęstość i masę większą niż leżące pod nimi luźne skały.
Z wahadła matematycznego korzystali tak wybitni naukowcy jak Sokrates, Arystoteles, Platon, Plutarch, Archimedes. Wielu z nich wierzyło, że ten mechaniczny system może wpływać na losy i życie człowieka. Archimedes używał w swoich obliczeniach wahadła matematycznego. W naszych czasach wielu okultystów i wróżbitów używa tego mechanicznego systemu do wypełniania swoich proroctw lub poszukiwania zaginionych ludzi.
Słynny francuski astronom i przyrodnik K. Flammarion również używał do swoich badań wahadła matematycznego. Twierdził, że z jego pomocą był w stanie przewidzieć odkrycie nowej planety, jej wygląd Meteoryt tunguski i inne ważne wydarzenia. W czasie II wojny światowej w Niemczech (Berlin) działał specjalistyczny Instytut Wahadła. Obecnie podobnymi badaniami zajmuje się Monachijski Instytut Parapsychologii. Pracownicy tej placówki swoją pracę z wahadłem nazywają "radioestezją".
Okres drgań wahadła fizycznego zależy od wielu okoliczności: od wielkości i kształtu ciała, od odległości środka ciężkości od punktu zawieszenia oraz od rozkładu ciężaru ciała względem tego punktu; dlatego obliczanie okresu zawieszonego ciała jest ładne trudne zadanie... Sytuacja jest prostsza w przypadku wahadła matematycznego. Z obserwacji takich wahadeł można ustalić następujące proste prawa.
1. Jeżeli zachowując tę samą długość wahadła (odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku), zawiesić różne ciężarki, to okres drgań będzie taki sam, chociaż masy ciężarków znacznie się różnią . Okres wahadła matematycznego nie zależy od masy ładunku.
2. Jeżeli przy uruchamianiu wahadła odchylimy je pod różnymi (ale nie za dużymi) kątami, to będzie ono oscylować z tym samym okresem, choć z różnymi amplitudami. Dopóki amplitudy nie są zbyt duże, oscylacje są wystarczająco zbliżone formą do harmonicznej (§ 5), a okres wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy oscylacji. Ta właściwość nazywa się izochronizmem (od greckich słów „isos” - równy, „chronos” - czas).
Fakt ten został po raz pierwszy ustalony w 1655 r. przez Galileusza, rzekomo w następujących okolicznościach. Galileusz obserwował w katedrze w Pizie kołysanie się żyrandola na długim łańcuchu, który popychał się po zapaleniu. Podczas nabożeństwa huśtawka huśtawki stopniowo zanikała (§ 11), to znaczy amplituda huśtawki malała, ale okres pozostał taki sam. Galileo używał własnego pulsu jako wskaźnika czasu.
Wyprowadźmy teraz wzór na okres drgań wahadła matematycznego.
Ryż. 16. Drgania wahadła w płaszczyźnie (a) i ruch po stożku (b)
Gdy wahadło się kołysze, ładunek porusza się przyspieszony po łuku (ryc. 16, a) pod działaniem siły przywracającej, która zmienia się podczas ruchu. Obliczenie ruchu ciała pod wpływem niestałej siły jest dość skomplikowane. Dlatego dla uproszczenia postąpimy w następujący sposób.
Zmuśmy wahadło do wykonywania nie oscylacji w jednej płaszczyźnie, ale do opisania stożka, aby ładunek poruszał się po okręgu (ryc. 16, b). Ruch ten można uzyskać w wyniku dodania dwóch niezależnych drgań: jednej – jeszcze w płaszczyźnie rysunku i drugiej – w płaszczyźnie prostopadłej. Oczywiście okresy obu tych oscylacji płaszczyzny są takie same, ponieważ żadna płaszczyzna oscylacji nie różni się od innych. W konsekwencji okres ruchu złożonego - obrotu wahadła wzdłuż stożka - będzie taki sam, jak okres kołysania się wodnicy. Wniosek ten można łatwo zilustrować bezpośrednim eksperymentem, biorąc dwa identyczne wahadła i nadając jednemu z nich kołysanie w płaszczyźnie, a drugiemu obracanie się po stożku.
Ale okres obrotu wahadła „stożkowego” jest równy długości okręgu opisanego przez obciążenie, podzielonej przez prędkość:
Jeśli kąt odchylenia od pionu jest mały (małe amplitudy), to możemy założyć, że siła przywracająca jest skierowana wzdłuż promienia koła, czyli równa sile dośrodkowej:
Z drugiej strony z podobieństwa trójkątów wynika, że. Od tego czasu stąd
Przyrównując oba wyrażenia do siebie, otrzymujemy prędkość cyrkulacji
Wreszcie, podstawiając to do wyrażenia na kropkę, stwierdzamy:
Tak więc okres wahadła matematycznego zależy tylko od przyspieszenia ziemskiego i długości wahadła, czyli odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku. Z otrzymanego wzoru wynika, że okres wahadła nie zależy od jego masy i amplitudy (o ile jest wystarczająco mały). Innymi słowy, uzyskaliśmy, obliczając te podstawowe prawa, które zostały ustalone wcześniej na podstawie obserwacji.
Ale nasz wniosek teoretyczny daje nam więcej: pozwala ustalić ilościowy związek między okresem wahadła, jego długością i przyspieszeniem grawitacji. Okres wahadła matematycznego jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego ze stosunku długości wahadła do przyspieszenia ziemskiego. Współczynnik proporcji to.
Bardzo dokładny sposób wyznaczenia tego przyspieszenia opiera się na zależności okresu wahadła od przyspieszenia ziemskiego. Po zmierzeniu długości wahadła i określeniu z duża liczba okres oscylacji możemy obliczyć korzystając z otrzymanego wzoru. Ta metoda jest szeroko stosowana w praktyce.
Wiadomo (patrz Tom I, §53), że przyspieszenie ziemskie zależy od szerokość geograficzna miejsca (na biegunie i na równiku). Obserwacje okresu wahań pewnego wahadła odniesienia umożliwiają badanie rozkładu przyspieszenia ziemskiego na szerokości geograficznej. Metoda ta jest na tyle dokładna, że z jej pomocą można wykryć subtelniejsze różnice w znaczeniu na powierzchnia Ziemi... Okazuje się, że nawet na tym samym równoleżniku wartości są różne w różnych punktach powierzchni ziemi. Te anomalie w rozkładzie przyspieszenia grawitacyjnego są związane z nierównomierną gęstością skorupy ziemskiej. Służą do badania rozkładu gęstości, w szczególności do wykrywania występowania jakichkolwiek minerałów w grubości skorupy ziemskiej. Szeroko zakrojone zmiany grawimetryczne, które umożliwiły ocenę występowania gęstych mas, zostały przeprowadzone w ZSRR w rejonie tak zwanej kurskiej anomalii magnetycznej (patrz Tom II, § 130) pod kierunkiem sowieckiego fizyka Piotr Pietrowicz Łazariew. W połączeniu z danymi dotyczącymi anomalii Ziemi pole magnetyczne Te dane grawimetryczne umożliwiły ustalenie rozkładu występowania mas żelaza, które określają anomalie magnetyczne i grawitacyjne Kurska.
Wahadło matematyczne to materialny punkt zawieszony na nieważkości i nierozciągliwej nici znajdującej się w polu grawitacyjnym Ziemi. Wahadło matematyczne to wyidealizowany model, który poprawnie opisuje rzeczywiste wahadło tylko w określonych warunkach. Rzeczywiste wahadło można uznać za matematyczne, jeśli długość nici jest znacznie większa niż wymiary zawieszonego na nim ciała, ciężar nici jest znikomy w porównaniu z masą ciała, a odkształcenia nici są tak małe że można je całkowicie zaniedbać.
System oscylacyjny w ta sprawa tworzą nić, przymocowane do niej ciało i Ziemię, bez której ten system nie mógłby służyć jako wahadło.
gdzie a NS – przyśpieszenie, g - przyśpieszenie grawitacyjne, NS- zrównoważyć, ja Jest długością nici wahadła.
To równanie nazywa się równanie swobodnych drgań wahadła matematycznego. Prawidłowo opisuje rozważane wahania tylko wtedy, gdy spełnione są następujące założenia:
2) brane są pod uwagę tylko małe drgania wahadła o małym kącie wychylenia.
Drgania swobodne dowolnych układów we wszystkich przypadkach są opisane podobnymi równaniami.
Przyczynami swobodnych oscylacji wahadła matematycznego są:
1. Oddziaływanie na wahadło siły napięcia i siły grawitacji, które zapobiega jego przemieszczeniu z położenia równowagi i zmusza go do ponownego opadania.
2. Bezwładność wahadła, dzięki której, utrzymując prędkość, nie zatrzymuje się w pozycji równowagi, ale dalej przez nią przechodzi.
Okres swobodnych drgań wahadła matematycznego
Okres swobodnych oscylacji wahadła matematycznego nie zależy od jego masy, lecz jest determinowany jedynie długością nici i przyspieszeniem ziemskim w miejscu, w którym znajduje się wahadło.
Konwersja energii z drganiami harmonicznymi
Wraz z drganiami harmonicznymi wahadła sprężynowego energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście przekształca się w jego energia kinetyczna, gdzie k – współczynnik elastyczności, NS - moduł przemieszczenia wahadła z położenia równowagi, m to masa wahadła, v- jego prędkość. Zgodnie z równaniem drgań harmonicznych:
,
.
Całkowita energia wahadła sprężynowego:
.
Całkowita energia wahadła matematycznego:
W przypadku wahadła matematycznego
Przemiany energii podczas drgań wahadła sprężynowego zachodzą zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej ( 
). Kiedy wahadło porusza się w dół lub w górę od położenia równowagi, jego energia potencjalna wzrasta, a energia kinetyczna maleje. Kiedy wahadło przejdzie do pozycji równowagi ( NS= 0), jego energia potencjalna wynosi zero, a energia kinetyczna wahadła ma największą wartość, równą jego energii całkowitej.
Stąd w procesie swobodnych oscylacji wahadła, jego energia potencjalna zamieniana jest na kinetyczną, kinetyczną na potencjalną, potencjalną potem znowu na kinetyczną, itd. Jednak całkowita energia mechaniczna pozostaje niezmieniona.
Wibracje wymuszone. Rezonans.
Nazywa się oscylacje zachodzące pod działaniem zewnętrznej siły okresowej wymuszone wahanie... Zewnętrzna siła okresowa, zwana wymuszaniem, przekazuje dodatkową energię do układu oscylacyjnego, która jest wykorzystywana do uzupełniania strat energii spowodowanych tarciem. Jeżeli siła napędowa zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusoidalnym lub cosinusoidalnym, wówczas wymuszone oscylacje będą harmoniczne i nietłumione.
W przeciwieństwie do oscylacji swobodnych, gdy układ otrzymuje energię tylko raz (gdy układ jest wyprowadzony ze stanu równowagi), w przypadku oscylacji wymuszonych układ w sposób ciągły pobiera tę energię ze źródła zewnętrznej siły okresowej. Energia ta rekompensuje straty poniesione na pokonanie tarcia, a zatem całkowita energia układu oscylacyjnego no pozostaje niezmieniona.
Częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości siły napędowej... W przypadku, gdy częstotliwość siły napędowej υ pokrywa się z częstotliwością własną układu oscylacyjnego υ 0 , następuje gwałtowny wzrost amplitudy wymuszonych oscylacji - rezonans. Rezonans powstaje, ponieważ kiedy υ = υ 0 siła zewnętrzna, działając w czasie ze swobodnymi oscylacjami, jest cały czas współkierowana z prędkością ciała oscylującego i wykonuje pracę dodatnią: energia ciała oscylującego wzrasta, a amplituda jego oscylacji staje się duża. Wykres zależności amplitudy drgań wymuszonych A T na częstotliwości siły napędowej υ pokazany na rysunku, wykres ten nazywa się krzywą rezonansową:
Zjawisko rezonansu odgrywa ważną rolę w wielu procesach przyrodniczych, naukowych i przemysłowych. Na przykład, przy projektowaniu mostów, budynków i innych konstrukcji, które pod obciążeniem doświadczają wibracji, konieczne jest uwzględnienie zjawiska rezonansu, w przeciwnym razie w określonych warunkach konstrukcje te mogą ulec zniszczeniu.
(łac. amplituda- wartość) jest największym odchyleniem ciała oscylującego od położenia równowagi.
W przypadku wahadła jest to maksymalna odległość, na jaką kula przemieszcza się od swojego położenia równowagi (rysunek poniżej). W przypadku oscylacji o małych amplitudach odległość taką można przyjąć jako długość łuku 01 lub 02 oraz długości tych odcinków.
Amplituda oscylacji jest mierzona w jednostkach długości – metrach, centymetrach itp. Na wykresie oscylacji amplitudę definiuje się jako maksymalną (modulo) rzędną krzywej sinusoidalnej (patrz rysunek poniżej).
Okres wahania.
Okres oscylacji- jest to najmniejszy przedział czasu, po którym układ wykonując oscylacje powraca ponownie do tego samego stanu, w jakim był w arbitralnie wybranym momencie początkowym.
Innymi słowy, okres oscylacji ( T) To czas, w którym kończy się jedna pełna oscylacja. Na przykład na poniższym rysunku jest to czas, w którym ciężar wahadła przesuwa się z ekstremum właściwy punkt przez punkt równowagi O do skrajnego lewego punktu i z powrotem przez punkt O z powrotem na prawo.
W ten sposób przez cały okres oscylacji ciało porusza się po ścieżce równej czterem amplitudom. Okres oscylacji jest mierzony w jednostkach czasu - sekundach, minutach itp. Okres oscylacji można określić na podstawie dobrze znanego wykresu oscylacji (patrz rysunek poniżej).
Pojęcie „okresu oscylacji”, ściśle mówiąc, jest ważne tylko wtedy, gdy wartości wielkości oscylacyjnej są dokładnie powtarzane po pewnym czasie, to znaczy dla oscylacji harmonicznych. Jednak koncepcja ta dotyczy również przypadków w przybliżeniu powtarzających się ilości, na przykład dla drgania tłumione.
Częstotliwość drgań.
Częstotliwość oscylacji To liczba drgań na jednostkę czasu, na przykład 1 s.
Jednostka częstotliwości SI nazywa się herc(Hz) na cześć niemieckiego fizyka G. Hertza (1857-1894). Jeśli częstotliwość wibracji ( v) jest równe 1 Hz, oznacza to, że na każdą sekundę wykonywana jest jedna oscylacja. Częstotliwość i okres oscylacji są powiązane zależnościami:
W teorii drgań posługują się również pojęciem cykliczny, lub częstotliwość kołowa ω ... Jest to związane ze zwykłą częstotliwością v i okres oscylacji T proporcje:
.
Częstotliwość cykliczna Czy liczba oscylacji wykonanych podczas 2π sekundy.
Wahadło matematyczne nazywa się punktem materialnym zawieszonym na nieważkości i nierozciągliwej nici przymocowanej do zawieszenia i znajdującej się w polu grawitacji (lub innej siły).
Zbadajmy drgania wahadła matematycznego w inercjalnym układzie odniesienia, względem którego punkt jego zawieszenia znajduje się w spoczynku lub porusza się jednostajnie w linii prostej. Pominiemy siłę oporu powietrza (idealne wahadło matematyczne). Początkowo wahadło znajduje się w pozycji równowagi C. W tym przypadku siła grawitacji \ (\ vec F \) i siła sprężystości \ (\ vec F_ (ynp) \) są wzajemnie kompensowane.
Wyjmijmy wahadło z położenia równowagi (odchylając je np. do położenia A) i wypuśćmy bez prędkości początkowej (rys. 13.11). W takim przypadku siły \ (\ vec F \) i \ (\ vec F_ (ynp) \) nie równoważą się. Mówi o tym styczna składowa grawitacji \ (\ vec F_ \ tau \), działająca na wahadło przyspieszenie styczne\ (\ vec a_ \ tau \) (składowa całkowitego przyspieszenia skierowana wzdłuż stycznej do trajektorii wahadła matematycznego), a wahadło zaczyna poruszać się w kierunku położenia równowagi z rosnącą prędkością w wartości bezwzględnej. Styczna składowa grawitacji \ (\ vec F_ \ tau \) jest więc siłą przywracającą. Składowa normalna \ (\ vec F_n \) grawitacji jest skierowana wzdłuż nici przeciw sile sprężystości \ (\ vec F_ (ynp) \). Wypadkowa sił \ (\ vec F_n \) i \ (\ vec F_ (ynp) \) daje wahadłu normalne przyspieszenie \ (~ a_n \), które zmienia kierunek wektora prędkości, a wahadło porusza się wzdłuż łuk ABCD.
Im bliżej wahadło zbliża się do położenia równowagi C, tym mniejsza jest wartość składowej stycznej \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alfa \). W pozycji równowagi wynosi zero, a prędkość osiąga maksymalna wartość, a wahadło porusza się dalej przez bezwładność, wznosząc się po łuku. W tym przypadku składnik \ (\ vec F_ \ tau \) jest skierowany przeciw prędkości. Wraz ze wzrostem kąta ugięcia a moduł siły \ (\ vec F_ \ tau \) wzrasta, a moduł prędkości maleje, aw punkcie D prędkość wahadła staje się zero. Wahadło zatrzymuje się na chwilę, a następnie zaczyna poruszać się w kierunku przeciwnym do położenia równowagi. Po ponownym minięciu go przez bezwładność wahadło, spowalniając swój ruch, dotrze do punktu A (nie ma tarcia), tj. całkowicie się zawaha. Następnie ruch wahadła zostanie powtórzony w opisanej już kolejności.
Uzyskajmy równanie opisujące swobodne drgania wahadła matematycznego.
Niech wahadło w danym momencie znajdzie się w punkcie B. Jego przemieszczenie S od położenia równowagi w tym momencie jest równe długości łuku SV (tj. S = | SV |). Oznaczmy długość nitki zawieszenia ja, a masa wahadła wynosi m.
Rysunek 13.11 pokazuje, że \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \), gdzie \ (\ alpha = \ frac (S) (l). \) Dla małych kątów \ (~ (\ alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\ (F_ \ tau = -F \ frac (S) (l) = -mg \ frac (S) (l). \)
Znak minus w tym wzorze jest ustawiony, ponieważ składowa styczna siły grawitacji skierowana jest w stronę położenia równowagi, a przemieszczenie liczone jest od położenia równowagi.
Zgodnie z drugim prawem Newtona \ (m \ vec a = m \ vec g + F_ (ynp). \) Rzutujmy wielkości wektorowe tego równania na kierunek stycznej do trajektorii wahadła matematycznego
\ (~ F_ \ tau = ma_ \ tau. \)
Z tych równań otrzymujemy
\ (a_ \ tau = - \ frac (g) (l) S \) - dynamiczne równanie ruchu wahadła matematycznego. Przyspieszenie styczne wahadła matematycznego jest proporcjonalne do jego przemieszczenia i jest skierowane w stronę położenia równowagi. To równanie można zapisać jako \. Porównując to z równaniem oscylacji harmonicznych \ (~ a_x + \ omega ^ 2x = 0 \) (patrz § 13.3), możemy stwierdzić, że wahadło matematyczne wykonuje oscylacje harmoniczne. A ponieważ rozważane drgania wahadła zachodziły pod działaniem tylko sił wewnętrznych, były to drgania swobodne wahadła. Stąd, swobodne drgania wahadła matematycznego z małymi odchyleniami są harmoniczne.
Oznaczamy \ (\ frac (g) (l) = \ omega ^ 2. \) Gdzie \ (\ omega = \ sqrt \ frac (g) (l) \) to częstotliwość cykliczna wahadła.
Okres oscylacji wahadła \ (T = \ frac (2 \ pi) (\ omega). \) Dlatego
\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g)) \)
To wyrażenie nazywa się według formuły Huygensa. Określa okres swobodnych drgań wahadła matematycznego. Ze wzoru wynika, że przy małych kątach odchylenia od położenia równowagi okres drgań wahadła matematycznego: 1) nie zależy od jego masy i amplitudy drgań; 2) jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z długości wahadła i odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego przyspieszenia ziemskiego. Jest to zgodne z eksperymentalnymi prawami małych drgań wahadła matematycznego, odkrytymi przez G. Galileo.
Podkreślamy, że za pomocą tego wzoru można obliczyć okres, w którym jednocześnie spełnione są dwa warunki: 1) oscylacje wahadła muszą być małe; 2) punkt zawieszenia wahadła musi znajdować się w spoczynku lub poruszać się równomiernie prostoliniowo względem bezwładnościowego układu odniesienia, w którym się znajduje.
Jeżeli punkt zawieszenia wahadła matematycznego porusza się z przyspieszeniem \ (\ vec a \), wówczas zmienia się siła naciągu nici, co prowadzi do zmiany siły przywracającej, a w konsekwencji częstotliwości i okresu oscylacji. Z obliczeń wynika, że okres drgań wahadła w tym przypadku można obliczyć ze wzoru
\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g ")) \)
gdzie \ (~ g "\) jest" efektywnym "przyspieszeniem wahadła w nieinercjalnym układzie odniesienia. Jest równy geometrycznej sumie przyspieszenia ziemskiego \ (\ vec g \) i wektorowi przeciwnemu do wektor \ (\ vec a \), czyli można go obliczyć ze wzoru
\ (\ vec g "= \ vec g + (- \ vec a). \)
Literatura
Aksenovich L.A. Fizyka w liceum: Teoria. Zadania. Testy: Podręcznik. dodatek dla instytucji zapewniających odbiór obs. środowiska, edukacja / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Wyd. K.S. Farino. - Mińsk: Adukatsya i vyhavanne, 2004 .-- S. 374-376.
