Silchenkov İlya
ders materyalleri, animasyonlu sunum
İndirmek:
Ön izleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren ve bu kenarın yarısına eşit olan bir segmenttir. Ayrıca teoreme göre bir üçgenin orta çizgisi, kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.
Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir
Üçgenin dikkat çekici noktaları
Harika noktalarüçgen Medyanların kesişme noktası (üçgen ağırlık merkezi) ; Açıortayların kesişme noktası, yazılı dairenin merkezi; Dik açıortayların kesişme noktası; Yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez); Euler'in düz çizgisi ve dokuz noktalı çemberi; Gergonne ve Nagel noktaları; Point Fermat-Torricelli;
Medyan kesişme noktası
Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasını karşı tarafın ortasıyla birleştiren bir segmenttir.
I. Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her kenarortay, tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında bölünür.
Kanıt:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. ABC üçgeninin iki ortancası AA 1 ve B B1'in kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu üçgenin orta çizgisi A 1 B 1'i çizelim. 2. A 1 B 1 segmenti AB kenarına paraleldir ve 1/2 AB = A 1 B 1 yani AB = 2A1B1 (üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre), dolayısıyla 1 = 4 ve 3 = 2 (çünkü bunlar AB ve A 1 B 1 paralel çizgileri ve 1, 4 için BB 1 ve 3, 2 3 için AA 1 ile iç çapraz açılardır. Sonuç olarak, AOB ve A 1 OB 1 üçgenleri iki açıda benzerdir ve bu nedenle bunların taraflar orantılıdır, yani AO ve A 1 O, BO ve B 1 O, AB ve A 1 B 1 kenarlarının oranları eşittir, ancak AB = 2A 1 B 1, dolayısıyla AO = 2A 1 O ve BO = 2B 1 O. Böylece, BB 1 ve AA 1 medyanlarının kesişimindeki O noktası, tepe noktasından itibaren her birini 2:1 oranında böler.Teorem kanıtlanmıştır.Benzer şekilde, diğer iki medyan hakkında da ispat yapabilirsiniz.
Kütle merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu yüzden medyanların kesişme noktasının üçgenin ağırlık merkezi olduğunu söylüyorlar. Homojen üçgen plakanın kütle merkezi aynı noktada bulunmaktadır. Böyle bir plaka, pimin ucu üçgenin ağırlık merkezine tam olarak çarpacak şekilde bir pim üzerine yerleştirilirse, o zaman plaka dengede olacaktır. Ayrıca medyanların kesişme noktası, medyan üçgeninin yazılı dairesinin merkezidir. Medyanların kesişme noktasının ilginç bir özelliği, kütle merkezinin fiziksel kavramıyla ilişkilidir. Bir üçgenin köşelerine eşit kütleler yerleştirirseniz merkezlerinin tam olarak bu noktaya düşeceği ortaya çıktı.
Açıortay kesişme noktası
Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açılarından birinin tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan açıortayın bir bölümüdür.
Bir üçgenin açıortayları kenarlarından eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.
Kanıt:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. 3. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktasının kenarlarından eşit uzaklıkta olması ve bunun tersinin de geçerli olmasından yararlanalım: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde yer alır. Daha sonra OK=OL ve OK=OM. Bu, OM=OL anlamına gelir, yani O noktası ABC üçgeninin kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle C açısının CC1 açıortayında yer alır. 4. Sonuç olarak ABC üçgeninin üç açıortayı da O noktasında kesişir. K L M Teorem kanıtlanmıştır. 2.Bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizin.
Dik açıortayların kesişme noktası
Dik açıortay, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.
Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.
Kanıt:
B C A m n 1. ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına m ve n orta dikmelerinin kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. O 2. Bir parçaya dik açıortaydaki her noktanın bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu teoremini kullanarak: parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır ve şunu elde ederiz: OB = OA ve OB = OC. 3. Bu nedenle OA = OC, yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır. 4. Sonuç olarak, ABC üçgeninin kenarlarına ait m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir. Teorem kanıtlanmıştır. R
Yüksekliklerin (veya uzantılarının) kesişme noktası
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen dikmedir.
Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları, üçgenin içinde veya dışında olabilen bir noktada kesişir.
Kanıt:
AA 1, BB 1 ve CC 1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ABC üçgeninin her bir köşesinden karşı kenara paralel bir düz çizgi çizin. A 2 B 2 C 2 üçgenini elde ediyoruz. 2. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında AB=A 2 C ve AB=CB 2, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A 2 C=CB 2. Benzer şekilde C 2 A=AB 2 ve C 2 B=BA 2. Ek olarak, yapıdan da anlaşılacağı üzere CC 1, A 2 B 2'ye diktir, AA 1, B 2 C 2'ye diktir ve BB 1, A 2 C 2'ye diktir (paralel doğrular ve kesantlar teoreminin sonucundan) ). Dolayısıyla, AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri, A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Bu nedenle bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.
İlk önce bir açının ortayıyla ilgili teoremi kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
1) BAC açısının açıortayı üzerinde rastgele bir M noktası alın, AB ve AC düz çizgilerine MK ve ML dik çizgileri çizin ve MK = ML olduğunu kanıtlayın (Şekil 224). AM K ve AML dik üçgenlerini düşünün. Hipotenüs ve dar açı bakımından eşittirler (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak ∠1 = ∠2). Bu nedenle MK = ML'dir.
2) M noktasının BAC açısının içinde olmasına ve AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta olmasına izin verin. AM ışınının BAC açısının açıortayı olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 224). AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgilerini çizelim. AMK ve AML dik üçgenleri hipotenüs ve kenar bakımından eşittir (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak MK = ML). Bu nedenle ∠1 = ∠2. Ancak bu, AM ışınının BAC açısının açıortayı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Pirinç. 224
Sonuç 1
Sonuç 2
Aslında, ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizelim. (Şek. 225). Kanıtlanmış teoreme göre OK = OM ve OK = OL. Bu nedenle OM = OL, yani O noktası ACB açısının kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle bu açının CC1 açıortayında yer alır. Sonuç olarak ABC üçgeninin üç açıortayı da O noktasında kesişiyor ve bunun kanıtlanması gerekiyor.
Pirinç. 225
Bir segmente dik açıortayın özellikleri
Bir parçaya dik bir açıortay, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.
Pirinç. 226
Bir doğru parçasına dik açıortay hakkındaki teoremi kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
Düz çizgi m, AB doğru parçasına dik açıortay olsun, O noktası bu parçanın orta noktası olsun (Şekil 227, a).
Pirinç. 227
1) m düz çizgisi üzerinde keyfi bir M noktası düşünün ve AM = BM olduğunu kanıtlayın. M noktası O noktasıyla çakışıyorsa bu eşitlik doğrudur, çünkü O AB doğru parçasının orta noktasıdır. M ve O olsun çeşitli noktalar. OAM ve OBM dik üçgenleri iki ayak üzerinde eşittir (OA = OB, OM ortak bacaktır), dolayısıyla AM = VM.
2) AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta keyfi bir N noktası düşünün ve N noktasının m doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın. Eğer N, AB doğrusu üzerinde bir nokta ise, AB doğru parçasının O orta noktası ile çakışır ve dolayısıyla m doğrusu üzerinde yer alır. N noktası AB çizgisi üzerinde değilse, AN = BN olduğundan ANB üçgeni ikizkenardır (Şekil 227, b). NO segmenti bu üçgenin medyanı ve dolayısıyla yüksekliğidir. Dolayısıyla NO ⊥ AB, dolayısıyla ON ve m çizgileri çakışır, yani N, m doğrusunda bir noktadır. Teorem kanıtlandı.
Sonuç 1
Sonuç 2
Bu ifadeyi kanıtlamak için ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına dik olan m ve n'yi düşünün (Şekil 228). Bu çizgiler bir O noktasında kesişiyor. Aslında bunun tersini varsayarsak, yani m || n, o zaman m düz çizgisine dik olan BA düz çizgisi aynı zamanda n düz çizgisine de dik ve ona paralel olacaktır ve daha sonra iki BA ve BC düz çizgisi n düz çizgisine dik olarak B noktasından geçecektir ki bu imkansızdır. .
Pirinç. 228
Kanıtlanmış teoreme göre OB = OA ve OB = OS. Bu nedenle OA = OC, yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle bu parçaya dik açıortay p üzerinde yer alır. Sonuç olarak, ABC üçgeninin kenarlarına ait m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir.
Üçgen Yükseklik Kesişim Teoremi
Üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini, üçgenin kenarlarına dik açıortayların da bir noktada kesiştiğini kanıtladık. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiği daha önce kanıtlanmıştı (bölüm 64). Görünüşe göre, benzer mülküçgenin yükseklikleri vardır.
Teorem
Kanıt
Rasgele bir ABC üçgeni düşünelim ve yüksekliklerini içeren AA 1 BB 1 ve CC 1 çizgilerinin bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım (Şekil 229).
Pirinç. 229
ABC üçgeninin her bir köşesinden karşı tarafa paralel düz bir çizgi çizelim. A 2 B 2 C 2 üçgenini elde ediyoruz. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarları olarak AB = A 2 C ve AB = CB 2, dolayısıyla A 2 C = CB 2. Benzer şekilde C 2 A = AB 2 ve C 2 B = BA 2. Ayrıca yapıdan aşağıdaki gibi CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 ve BB 1 ⊥ A 2 C 2. Dolayısıyla AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Sonuç olarak bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.
Dolayısıyla, her üçgenle dört nokta ilişkilendirilir: kenarortayların kesişme noktası, ortaortayların kesişme noktası, kenarlara dik açıortayların kesişme noktası ve rakımların (veya bunların uzantılarının) kesişme noktası. Bu dört noktaya denir Üçgenin dikkat çekici noktaları.
Görevler
674. Gelişmemiş bir O açısının açıortayının M noktasından, bu açının kenarlarına MA ve MB dikleri çizilir. AB ⊥ OM olduğunu kanıtlayın.
675. O açısının kenarları, A noktasında ortak teğetleri olan iki dairenin her birine değiyor. Bu dairelerin merkezlerinin O A düz çizgisi üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.
676. A açısının kenarları O merkezi ve r yarıçaplı bir daireye dokunuyor. Bul: a) OA, eğer r = 5 cm ise, ∠A = 60°; b) d, eğer OA = 14 dm ise, ∠A = 90°.
677. ABC üçgeninin B ve C köşelerindeki dış açılarının açıortayları O noktasında kesişir. O noktasının AB, BC, AC doğrularına teğet bir dairenin merkezi olduğunu kanıtlayın.
678. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortayları M noktasında kesişir. Aşağıdaki durumda ACM ve ВСМ açılarını bulun: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.
679. ABC üçgeninin BC kenarına dik açıortayı AC kenarını D noktasında keser. Bul: a) AD ve CD, eğer BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm ise; b) AC, BD = 11,4 cm ise AD = 3,2 cm.
680. ABC üçgeninin AB ve AC kenarlarına dik açıortayları BC kenarının D noktasında kesişiyor. Şunu kanıtlayın: a) D noktası BC kenarının orta noktasıdır; b) ∠A - ∠B + ∠C.
681. ABC ikizkenar üçgeninin AB kenarına dik açıortayı BC kenarını E noktasında kesiyor. AEC üçgeninin çevresi 27 cm ve AB = 18 cm ise AC tabanını bulun.
682. ABC ve ABD ikizkenar üçgenlerinin AB tabanı ortaktır. CD çizgisinin AB doğru parçasının ortasından geçtiğini kanıtlayın.
683. Eğer ABC üçgeninde AB ve AC kenarları eşit değilse, üçgenin AM ortancasının bir yükseklik olmadığını kanıtlayın.
684. ABC ikizkenar üçgeninin AB tabanındaki açıların açıortayları M noktasında kesişiyor. CM çizgisinin AB çizgisine dik olduğunu kanıtlayın.
685. ABC ikizkenar üçgeninin yan kenarlara çizilen AA 1 ve BB 1 yükseklikleri M noktasında kesişir. MC düz çizgisinin AB doğru parçasına dik açıortay olduğunu kanıtlayın.
686. Bu parçaya dik açıortay oluşturun.
Çözüm
Verilen doğru parçası AB olsun. AB yarıçaplı A ve B noktalarında merkezleri olan iki daire oluşturalım (Şekil 230). Bu daireler M 1 ve M 2 noktasında kesişiyor. AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 doğru parçaları bu dairelerin yarıçapları olarak birbirine eşittir.
Pirinç. 230
M 1 M 2 düz bir çizgi çizelim. AB segmentine istenen dik açıortaydır. Aslında, M1 ve M2 noktaları AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde uzanırlar. Bu, M 1 M 2 düz çizgisinin AB segmentine dik açıortay olduğu anlamına gelir.
687. Bir a doğrusu ve bu doğrunun bir yanında yer alan iki A ve B noktası veriliyor. A düz çizgisi üzerinde, A noktasından B noktasına eşit uzaklıkta olan M noktasını oluşturun.
688. Bir açı ve bir doğru parçası verilmiştir. Belirli bir açının içinde, kenarlarından eşit uzaklıkta ve belirli bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta bir nokta oluşturun.
Sorunlara cevaplar
674. Talimat. Öncelikle AOB üçgeninin ikizkenar olduğunu kanıtlayın.
676.a) 10 cm; b) 7√2 dm.
678. a) 46° ve 46°; b) 21° ve 21°.
679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.
683. Talimat. Çelişki yoluyla ispat yöntemini kullanın.
687. Talimat. Teorem 75'i kullanın.
688. Talimat. İstenilen noktanın, verilen açının açıortayında bulunduğunu dikkate alın.
1 Yani açının kenarlarını içeren doğrulara eşit uzaklıktadır.
İçerik
Giriş…………………………………………………………………………………3
Bölüm 1.
1.1 Üçgen………………………………………………………………………………..4
1.2. Bir üçgenin medyanları
1.4. Bir üçgende yükseklikler
Çözüm
Kullanılmış literatür listesi
Kitapçık
giriiş
Geometri, çeşitli şekiller ve bunların özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur; ama bu sadece bir sembol değil, üçgen geometrinin bir atomudur.
Çalışmamda bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin kesişme noktalarının özelliklerini ele alıp, bunların dikkat çekici özelliklerinden ve üçgenin çizgilerinden bahsedeceğim.
Bir okul geometri dersinde incelenen bu tür noktalar şunları içerir:
a) açıortayların kesişme noktası (yazılı dairenin merkezi);
b) açıortay diklerinin kesişme noktası (sınırlandırılmış dairenin merkezi);
c) yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez);
d) medyanların kesişme noktası (merkez).
Uygunluk: üçgen hakkındaki bilginizi genişletin,onun özellikleriharika noktalar.
Hedef: üçgenin dikkat çekici noktalarına kadar araştırılması,onları incelemekSınıflandırmalar ve özellikler.
Görevler:
1. Keşfedin gerekli literatür
2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin
3. Dikkat çekici üçgen noktalar oluşturabilecektir.
4. Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetleyin.
Proje hipotezi:
Herhangi bir üçgende dikkat çekici noktalar bulma yeteneği, geometrik inşaat problemlerini çözmenize olanak sağlar.
Bölüm 1. Üçgenin dikkat çekici noktaları hakkında tarihi bilgiler
Elementler'in dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire çizmek." Çözümden, üçgenin iç açılarının üç açıortayının bir noktada - yazılı dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. Başka bir Öklid probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada, çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği sonucu çıkar. Elementler, üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez (Yunanca "orthos" kelimesi "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu.
Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı. Yukarıdaki dört noktaya değinildi Özel dikkat 18. yüzyıldan beri üçgenin “dikkat çekici” veya “özel” noktaları olarak adlandırılıyorlar.
Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. 1765 yılında Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevre merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını, daha sonra "Euler düz çizgisi" olarak adlandırıldığını kanıtladı.
Üçgen
Üçgen - geometrik şekil Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan. Puanlar -zirveler üçgen, bölümler -taraflar üçgen.
İÇİNDE A, B, C - köşeler
AB, BC, SA - taraflar
AC
Her üçgenin kendisiyle ilişkili dört noktası vardır:
Medyanların kesişme noktası;
Açıortayların kesişme noktası;
Yüksekliklerin kesişme noktası.
Dik açıortayların kesişme noktası;
1.2. Bir üçgenin medyanları
Bir üçgenin Medine'si - , köşeyi bağlayan karşı tarafın ortasından (Şekil 1). Medyanın üçgenin kenarını kestiği noktaya medyanın tabanı denir.
Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları
Üçgenin kenarlarının orta noktalarını oluşturalım ve her bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçaları çizelim. Bu tür bölümlere medyan denir.
Ve yine bu parçaların bir noktada kesiştiğini görüyoruz. Ortaya çıkan medyan bölümlerinin uzunluklarını ölçersek, bir özelliği daha kontrol edebiliriz: Medyanların kesişme noktası, köşe noktalarından itibaren sayılarak tüm medyanları 2:1 oranında böler. Ancak yine de kenarortayların kesiştiği noktada iğnenin ucunda duran üçgen dengededir! Bu özelliğe sahip bir noktaya ağırlık merkezi (barycenter) adı verilir. Eşit kütlenin merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu nedenle, bir üçgenin kenarortaylarının özellikleri şu şekilde formüle edilebilir: Bir üçgenin kenarortayları ağırlık merkezinde kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.
1.3. Bir üçgenin açıortayları
Açıortay isminde açının tepe noktasından karşı kenarla kesiştiği noktaya kadar çizilen açının açıortayı. Bir üçgenin üç köşesine karşılık gelen üç açıortayı vardır (Şekil 2).
Şekil 2. Üçgen ortay
Herhangi bir ABC üçgeninde açılarının ortaylarını çiziyoruz. Ve yine, kesin bir yapıyla, üç açıortay da bir D noktasında kesişecektir. D noktası da alışılmadık bir durumdur: üçgenin üç kenarına da eşit mesafededir. Bu, DA 1, DB 1 ve DC1 dik açılarının üçgenin kenarlarına indirilmesiyle doğrulanabilir. Hepsi birbirine eşittir: DA1=DB1=DC1.
Merkezi D noktasında ve yarıçapı DA 1 olan bir daire çizerseniz, üçgenin üç kenarına da dokunacaktır (yani her biriyle yalnızca bir ortak noktaya sahip olacaktır). Böyle bir daireye üçgen içine yazılı denir. Yani bir üçgenin açılarının açıortayları yazılı dairenin merkezinde kesişir.
1.4. Bir üçgende yükseklikler
Üçgenin yüksekliği - , üstten düştü karşı tarafa veya karşı tarafa denk gelen düz bir çizgiye. Üçgenin türüne bağlı olarak yükseklik üçgenin içinde kalabilir (örneğin üçgen), kenarıyla çakışır (olur) üçgen) veya geniş bir üçgende üçgenin dışından geçin (Şekil 3).
Şekil 3. Üçgenlerde yükseklikler
Bir üçgende üç yükseklik oluşturursanız, bunların hepsi bir H noktasında kesişecektir. Bu noktaya diklik merkezi denir. (Şekil 4).
Yapıları kullanarak üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkezin farklı konumlandırıldığını kontrol edebilirsiniz:
dar bir üçgen için - içeride;
dikdörtgen olan için - hipotenüs üzerinde;
geniş bir açı için dışarıdadır.
Şekil 4. Üçgenin ortomerkezi
Böylece üçgenin dikkat çekici bir noktasıyla daha tanıştık ve şunu söyleyebiliriz: Üçgenin yükseklikleri diklik merkezinde kesişir.
1.5. Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar
Bir doğru parçasının dik açıortayı, verilen parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.
Rastgele bir ABC üçgeni çizelim ve kenarlarına dik açıortaylar çizelim. İnşaat doğru yapılırsa, tüm dikler bir noktada kesişecektir - O noktası. Bu nokta, üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır. Yani merkezi O noktasında olan ve üçgenin köşelerinden birinden geçen bir daire çizerseniz, bu daire diğer iki köşesinden de geçecektir.
Bir üçgenin tüm köşelerinden geçen daireye çevresi çevrelenmiş daire denir. Bu nedenle, bir üçgenin belirlenmiş özelliği şu şekilde formüle edilebilir: Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, çevrelenen dairenin merkezinde kesişir (Şekil 5).
Şekil 5. Bir daire içine yazılan üçgen
Bölüm 2. Üçgenin dikkat çekici noktalarının incelenmesi.
Üçgenlerde yükseklik çalışması
Bir üçgenin her üç yüksekliği de bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
Dar bir üçgenin yükseklikleri kesinlikle üçgenin içinde bulunur.
Buna göre yüksekliklerin kesişme noktası da üçgenin içinde yer alır.
Bir dik üçgende iki yükseklik kenarlarla çakışır. (Bunlar dar açıların köşelerinden bacaklara çizilen yüksekliklerdir).
Hipotenüse çizilen yükseklik üçgenin içindedir.
AC, C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliktir.
AB, B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliktir.
AK, A dik açısının tepe noktasından BC hipotenüsüne kadar çizilen yüksekliktir.
Bir dik üçgenin yükseklikleri dik açının tepe noktasında kesişir (A diklik merkezidir).
Geniş bir üçgende, üçgenin içinde yalnızca bir yükseklik vardır; geniş açının tepe noktasından çizilen yükseklik.
Diğer iki yükseklik üçgenin dışında yer alır ve üçgenin kenarlarının devamına kadar alçalır.
AK, BC kenarına çizilen yüksekliktir.
BF - AC tarafının devamına kadar çizilen yükseklik.
CD, AB kenarının devamına çizilen yüksekliktir.
Geniş açılı bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası da üçgenin dışındadır:
H, ABC üçgeninin diklik merkezidir.
Bir üçgende açıortayların incelenmesi
Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açısının (ışın) açıortayının üçgenin içindeki kısmıdır.
Bir üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.
Dar, geniş ve dik üçgenlerde açıortayların kesişme noktası üçgendeki yazılı dairenin merkezidir ve iç kısımda yer alır.
Bir üçgende medyanların incelenmesi
Üçgenin üç köşesi ve üç kenarı olduğundan, köşeyi karşı kenarın ortasıyla birleştiren üç doğru parçası da vardır.
Bu üçgenleri inceledikten sonra herhangi bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini fark ettim. Bu noktaya denir üçgenin ağırlık merkezi.
Bir üçgenin bir kenarına dik açıortayların incelenmesi
Dik açıortay Bir üçgenin bir tarafının ortasına çizilen dikmedir.
Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir ve çevrel çemberin merkezidir.
Dar bir üçgende dik açıortayların kesişme noktası üçgenin içinde yer alır; geniş bir açıyla - üçgenin dışında; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında.
Çözüm
Yapılan çalışma sırasında aşağıdaki sonuçlara varıyoruz:
Hedefe ulaşıldı:üçgeni araştırdı ve dikkat çekici noktalarını buldu.
Atanan görevler çözüldü:
1). Gerekli literatürü inceledik;
2). Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceledik;
3). Harika üçgen noktalarının nasıl oluşturulacağını öğrendik;
4). Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetledik.
Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını bulma yeteneğinin inşaat problemlerinin çözümüne yardımcı olduğu hipotezi doğrulandı.
Çalışma, bir üçgenin dikkat çekici noktalarının oluşturulmasına yönelik tekniklerin ana hatlarını tutarlı bir şekilde özetlemektedir. tarihi bilgi Geometrik yapılar hakkında.
Bu çalışmadan elde edilen bilgiler 7. sınıf geometri derslerinde faydalı olabilir. Kitapçık, sunulan konuyla ilgili geometri konusunda bir referans kitabı haline gelebilir.
Kaynakça
Ders Kitabı. L.S. Atanasyan “Geometri 7-9. SınıflarMnemosyne, 2015.
Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Portal Scarlet Yelkenleri
Lider eğitim portalı Rusya http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
Eğitim ve Bilim Bakanlığı Rusya Federasyonu Federal eyalet bütçesi Eğitim kurumu daha yüksek mesleki Eğitim
"Magnitogorsk Devlet Üniversitesi»
Fizik ve Matematik Fakültesi
Cebir ve Geometri Bölümü
Ders çalışması
Üçgenin dikkat çekici noktaları
Tamamlayan: 41. grup öğrencisi
Vakhrameeva A.M.
Bilimsel yönetmen
Velikih A.S.
Magnitogorsk 2014
giriiş
Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen adeta geometrinin sembolü olmuştur; ama o sadece bir sembol değil, geometrinin bir atomudur.
Bir üçgen neden geometrinin bir atomu olarak düşünülebilir? Çünkü önceki kavramlar - nokta, düz çizgi ve açı - bir dizi ilişkili teorem ve problemle birlikte belirsiz ve soyut soyutlamalardır. Bu nedenle, bugün okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir.
Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.
Bu, üçgenin geometrisi derinlemesine incelenmeden okul geometrisi çalışmasının gerçekleştirilemeyeceği anlamına gelir; Bir çalışma nesnesi olarak üçgenin çeşitliliği ve dolayısıyla onu incelemek için çeşitli yöntemlerin kaynağı olduğu göz önüne alındığında, üçgenin dikkat çekici noktalarının geometrisini incelemek için malzeme seçmek ve geliştirmek gereklidir. Üstelik bu materyali seçerken kendinizi sadece yukarıda belirtilen dikkat çekici noktalarla sınırlamamalısınız. Okul müfredatı Durum eğitim standardı, iç çemberin merkezi (ortayların kesişme noktası), çevrel çemberin merkezi (ortayların kesişme noktası), kenarortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası gibi. Ancak üçgenin doğasına derinlemesine nüfuz etmek ve onun tükenmezliğini anlamak için mümkün olduğu kadar çok fikre sahip olmak gerekir. DahaÜçgenin dikkat çekici noktaları. Geometrik bir nesne olarak üçgenin tükenmezliğine ek olarak, bir çalışma nesnesi olarak üçgenin en şaşırtıcı özelliğine dikkat etmek gerekir: Bir üçgenin geometrisinin incelenmesi, özelliklerinden herhangi birinin incelenmesiyle başlayabilir, bunu esas alarak; daha sonra üçgeni inceleme metodolojisi, üçgenin diğer tüm özelliklerinin bu temele dayanabileceği şekilde oluşturulabilir. Başka bir deyişle, üçgeni incelemeye nereden başlarsanız başlayın, bu muhteşem figürün istediğiniz derinliğine her zaman ulaşabilirsiniz. Ancak daha sonra - bir seçenek olarak - üçgenin dikkat çekici noktalarını inceleyerek çalışmaya başlayabilirsiniz.
Hedef ders çalışması Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının incelenmesinden oluşur. Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri çözmek gerekir:
· Açıortay, ortanca, yükseklik, dik açıortay kavramlarını ve özelliklerini inceleyin.
· Okulda çalışılmayan Gergonne noktasını, Euler çemberini ve Euler çizgisini düşünün.
1. BÖLÜM Üçgenin ortaortayı, üçgenin yazılı çemberinin merkezi. Bir üçgenin açıortayının özellikleri. Gergonna noktası
1 Bir üçgenin yazılı dairesinin merkezi
Bir üçgenin dikkat çekici noktaları, konumu üçgen tarafından benzersiz bir şekilde belirlenen ve üçgenin kenarlarının ve köşelerinin alınma sırasına bağlı olmayan noktalardır.
Bir üçgenin açıortayı, bir üçgenin köşesini karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir açının açıortay kısmıdır.
Teorem. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası, kenarlarından eşit uzaklıkta (yani üçgenin kenarlarını içeren çizgilerden eşit uzaklıkta). Tersine: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur.
Kanıt. 1) BAC açısının açıortayı üzerinde rastgele bir M noktası alın, AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgileri çizin ve MK = ML olduğunu kanıtlayın. Dik üçgenleri düşünün ?AMK ve ?AML. Hipotenüs ve dar açı bakımından eşittirler (AM - ortak hipotenüs, geleneksel olarak 1 = 2). Bu nedenle MK=ML olur.
) M noktasının içinizde olmasına izin verin ve AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta olsun. AM ışınının BAC açıortay olduğunu kanıtlayalım. AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgilerini çizelim. AKM ve ALM dik üçgenleri hipotenüs ve kenar açısından eşittir (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak MK = ML). Dolayısıyla 1 = 2. Ancak bu, AM ışınının BAC'ın açıortayı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Sonuçlar. Bir üçgenin açıortayları bir noktada kesişir (çemberin merkezi ve merkez).
ABC üçgeninin AA1 ve BB1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizelim. Teoremine göre (Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersine: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıktaki her nokta açıortay üzerinde bulunur) OK = OM ve OK = deriz. OL. Bu nedenle OM = OL, yani O noktası ACB kenarlarından eşit uzaklıktadır ve dolayısıyla bu açının CC1 açıortayında yer alır. Bu nedenle üç açıortay da ?ABC O noktasında kesişiyor ve bunun kanıtlanması gerekiyor.
daire açıortay üçgen çizgisi
1.2 Bir üçgenin açıortayının özellikleri
Herhangi bir açının açıortay BD'si (Şekil 1.1) ?ABC, karşı kenarı üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılı AD ve CD parçalarına böler.
ABD = DBC ise AD: DC = AB: BC olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
CE'yi gerçekleştirelim || BD, AB kenarının devamı ile E noktasındaki kesişim noktasına kadar. Daha sonra, birkaç paralel çizgiyle kesişen çizgiler üzerinde oluşan bölümlerin orantılılığı teoremine göre şu oranı elde edeceğiz: AD: DC = AB: BE. Bu orandan kanıtlanması gereken orana geçmek için BE = BC denklemini bulmak yeterlidir. ?TÜM ikizkenarlar. Bu üçgende E = ABD (paralel çizgilerle karşılık gelen açılar olarak) ve ALL = DBC (aynı paralel çizgilerle çapraz açılar olarak).
Ancak koşula göre ABD = DBC; bu E = ALL anlamına gelir ve bu nedenle eşit açıların karşısında bulunan BE ve BC kenarları eşittir.
Şimdi yukarıda yazılan orandaki BE'yi BC ile değiştirerek ispatlanması gereken oranı elde ediyoruz.
20 Bir üçgenin iç ve komşu açılarının orta açıları birbirine diktir.
Kanıt. BD, ABC'nin açıortayı olsun (Şekil 1.2) ve BE, belirtilen iç açıya bitişik dış CBF'nin açıortayı olsun, ?ABC. O halde ABD = DBC ='yi belirtirsek ?, CBE = EBF = ?, sonra 2 ? + 2?= 1800 ve dolayısıyla ?+ ?= 900. Bu da BD anlamına mı geliyor? OLMAK.
30 Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarı böler dışarıdan bitişik kenarlarla orantılı parçalara bölünür.
(Şek.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.
40 Bir üçgenin herhangi bir açısının açıortayı, karşı kenarı üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılı parçalara böler.
Kanıt. Hadi düşünelim ?ABC. Kesinlik sağlamak için CAB açıortayının BC kenarını D noktasında kesmesine izin verin (Şekil 1.4). BD: DC = AB: AC olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, C noktasından AB çizgisine paralel bir çizgi çizin ve bu AD çizgisinin kesişme noktasını E ile belirtin. O halde DAB=DEC, ABD=ECD ve dolayısıyla ?DAB ~ ?DEC, üçgenlerin benzerliğinin ilk kriterine dayanmaktadır. Ayrıca, AD ışını bir açıortay CAD olduğundan CAE = EAB = AEC olur ve bu nedenle, ?ECA ikizkenarları. Dolayısıyla AC=CE olur. Ancak bu durumda benzerlikten ?DAB ve ?DEC, BD: DC=AB: CE =AB: AC sonucunu takip eder ve kanıtlanması gereken de budur.
Bir üçgenin dış açısının açıortayı, bu açının tepe noktasının karşısındaki tarafın uzantısıyla kesişirse, ortaya çıkan kesişme noktasından karşı tarafın uçlarına kadar olan bölümler, üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılıdır.
Kanıt. Hadi düşünelim ?ABC. F, CA kenarının uzantısı üzerinde bir nokta olsun; D, BAF dış üçgeninin açıortayının CB kenarının uzantısı ile kesişme noktası olsun (Şekil 1.5). DC:DB=AC:AB olduğunu gösterelim. Aslında, C noktasından AB doğrusuna paralel bir doğru çizelim ve bu doğrunun DA doğrusu ile kesişme noktasını E ile gösterelim. Daha sonra ADB üçgeni ~ ?EDC ve dolayısıyla DC:DB=EC:AB. Dan beri ?EAC= ?KÖTÜ= ?CEA, daha sonra ikizkenar olarak ?CEA tarafı AC=EC ve dolayısıyla DC:DB=AC:AB, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
3 Açıortayın özelliklerini kullanarak problem çözme
Problem 1. O, şeklinde yazılı bir dairenin merkezi olsun. ?ABC, CAB = ?. COB = 900 + olduğunu kanıtlayın? /2.
Çözüm. O yazılı olanın merkezi olduğundan ?Bir dairenin ABC'si (Şekil 1.6), BO ve CO ışınları sırasıyla ABC ve BCA'nın ortaortaylarıdır. Ve sonra COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, kanıtlanması gereken şey buydu.
Problem 2. O'nun anlatılanların merkezi olmasına izin verin. ?Bir çemberin ABC'si, H, BC kenarına çizilen yüksekliğin tabanıdır. CAB açıortayının aynı zamanda açıortay olduğunu kanıtlayın? Ah.
AD, CAB'nin açıortayı olsun, AE çevrelenenin çapı olsun ?Bir dairenin ABC'si (Şekil 1.7, 1.8). Eğer ?ABC akuttur (Şekil 1.7) ve dolayısıyla ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ AC yayları ve ?BHA ve ?ECA dikdörtgen (BHA =ECA = 900), o zaman ?ah~ ?ECA ve dolayısıyla CAO = CAE =HAB. Ayrıca, BAD ve CAD koşula göre eşittir, yani HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Şimdi ABC = 900 olsun. Bu durumda AH yüksekliği AB kenarına denk geliyorsa O noktası AC hipotenüsüne ait olacaktır ve dolayısıyla problem ifadesinin geçerliliği açıktır.
ABC > 900 olduğu durumu ele alalım (Şekil 1.8). Burada ABCE dörtgeni bir daire içine yazılmıştır ve dolayısıyla AEC = 1800 - ABC'dir. Öte yandan ABH = 1800 - ABC, yani. AEC = ABH. Dan beri ?BHA ve ?ECA dikdörtgendir ve dolayısıyla HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, bu durumda HAD = HAB +BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. BAC ve ACB'nin geniş olduğu durumlar benzer şekilde ele alınır. ?
4 Noktalı Gergonna
Gergonne noktası, üçgenin köşelerini bu köşelerin karşısındaki kenarların teğet noktalarına ve üçgenin yazılı dairesine bağlayan bölümlerin kesişme noktasıdır.
ABC üçgeninin iç çemberinin merkezi O noktası olsun. İç çemberin BC, AC ve AB üçgeninin kenarlarına değmesine izin verin. D,E noktaları ve F sırasıyla. Gergonne noktası AD, BE ve CF doğru parçalarının kesişme noktasıdır. O noktası yazılı dairenin merkezi olsun ?ABC. İç çemberin BC, AC ve AB üçgeninin kenarlarına sırasıyla D, E ve F noktalarında değmesine izin verin. Gergonne noktası AD, BE ve CF doğru parçalarının kesişme noktasıdır.
Bu üç doğru parçasının aslında bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Çemberin merkezinin açıortayların kesişme noktası olduğuna dikkat edin. ?ABC ve iç çemberin yarıçapları OD, OE ve OF'dir ?üçgenin kenarları. Böylece, üç çift eşit üçgenimiz var (AFO ve AEO, BFO ve BDO, CDO ve CEO).
AF?BD çalışıyor mu? CE ve AE? OLMAK? CF eşittir, çünkü BF = BD, CD = CE, AE = AF, dolayısıyla bu çarpımların oranı eşittir ve Ceva teoremine göre (A1, B1, C1 noktaları BC, AC ve AB taraflarında olsun? Sırasıyla ABC. AA1 , BB1 ve CC1 doğru parçalarının bir noktada kesişmesine izin verin.
(üçgenin etrafında saat yönünde dönüyoruz)), segmentler bir noktada kesişiyor.
Yazılı dairenin özellikleri:
Bir dairenin tüm kenarlarına değmesi durumunda üçgenin içine yazıldığı söylenir.
Herhangi bir üçgenin içine bir daire yazılabilir.
Verilenler: ABC - bu üçgen, O - ortaortayların kesişme noktası, M, L ve K - dairenin üçgenin kenarlarına teğet noktaları (Şekil 1.11).
Kanıt: O, ABC'de yazılı bir dairenin merkezidir.
Kanıt. O noktasından sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarına OK, OL ve OM dikmelerini çizelim (Şekil 1.11). O noktası ABC üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan OK = OL = OM olur. Bu nedenle, OK yarıçaplı O merkezli bir daire K, L, M noktalarından geçer. ABC üçgeninin kenarları, OK, OL ve OM yarıçaplarına dik oldukları için bu daireye K, L, M noktalarında dokunur. Bu, ABC üçgeninde OK yarıçaplı O merkezli bir çemberin yazılı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, açıortaylarının kesişme noktasıdır.
ABC verilsin, O, içine yazılan dairenin merkezi olsun, D, E ve F, dairenin kenarlarla temas noktaları olsun (Şekil 1.12). ? AEO = ? Hipotenüs ve kenardaki AOD (EO = OD - yarıçap olarak, AO - toplam). Üçgenlerin eşitliğinden ne çıkar? OAD = ? O.A.E. Yani AO, EAD açısının açıortayıdır. Aynı şekilde O noktasının üçgenin diğer iki açıortayında olduğu kanıtlanır.
Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.
Kanıt. Çevreleyen (O; R) belirli bir daire olsun (Şekil 1.13), düz bir a çizgisi ona P noktasında değiyor. OP yarıçapının a'ya dik olmamasına izin verin. O noktasından teğete dik bir OD çizelim. Teğetin tanımı gereği, P noktası ve özellikle D noktası dışındaki tüm noktalar çemberin dışında yer alır. Bu nedenle dik OD'nin uzunluğu, eğik OP'nin R uzunluğundan daha büyüktür. Bu, eğik özelliğe aykırıdır ve sonuçta ortaya çıkan çelişki, ifadeyi kanıtlar.
BÖLÜM 2. Üçgenin dikkat çekici 3 noktası, Euler çemberi, Euler düz çizgisi.
1 Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi
Bir segmente dik bir açıortay, segmentin ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.
Teorem. Bir parçanın dik açıortayının her noktası, o parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik olan ortaorta üzerinde yer alır.
Kanıt. Düz çizgi m, AB doğru parçasına dik açıortay olsun ve O noktası da parçanın orta noktası olsun.
m düz çizgisi üzerinde keyfi bir M noktası düşünelim ve AM=BM olduğunu kanıtlayalım. M noktası O noktasıyla çakışıyorsa bu eşitlik doğrudur, çünkü O AB doğru parçasının orta noktasıdır. M ve O farklı noktalar olsun. Dikdörtgen ?OAM ve ?OBM iki ayak üzerinde eşittir (OA = OB, OM ortak ayaktır), dolayısıyla AM = BM.
) AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta keyfi bir N noktası düşünün ve N noktasının m doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın. Eğer N, AB doğrusu üzerinde bir nokta ise, AB doğru parçasının O orta noktası ile çakışır ve dolayısıyla m doğrusu üzerinde yer alır. Eğer N noktası AB doğrusu üzerinde değilse, o zaman şunu düşünün: ?AN=BN olduğundan ikizkenar olan ANB. NO segmenti bu üçgenin medyanı ve dolayısıyla yüksekliğidir. Dolayısıyla NO AB'ye diktir, bu nedenle ON ve m çizgileri çakışır ve bu nedenle N, m çizgisinin bir noktasıdır. Teorem kanıtlandı.
Sonuçlar. Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar bir noktada (çevrel dairenin merkezi) kesişir.
AB ve BC kenarlarına m ve n dikmelerinin kesişme noktası olan O'yu gösterelim. ?ABC. Teoremine göre (bir doğru parçasına dik olan açıortayın her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersine: parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır.) OB = OA olduğu sonucuna varırız ve OB = OC dolayısıyla: OA = OC, Yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır ve dolayısıyla bu parçaya dik olan p ortay üzerinde yer alır. Bu nedenle, her üç açıortay m, n ve p yanlara doğru ?ABC O noktasında kesişiyor.
Dar bir üçgen için bu nokta üçgenin içinde, geniş bir üçgen için üçgenin dışında, dik bir üçgen için hipotenüsün ortasında yer alır.
Bir üçgenin dik açıortayının özelliği:
Üçgenin iç ve dış açılarının açıortaylarının bir tepe noktasından çıktığı çizgiler, üçgenin çevrelediği dairenin taban tabana zıt noktalarından karşı tarafa dik orta yol ile kesişir.
Kanıt. Örneğin, ABC açıortayının yukarıda açıklananla kesişmesine izin verin. ?D noktasındaki ABC çemberi (Şekil 2.1). O halde, yazılı ABD ve DBC eşit olduğundan, AD = yay DC olur. Ancak AC kenarına dik açıortay aynı zamanda AC yayını da ikiye böler, dolayısıyla D noktası da bu dik açıortaya ait olacaktır. Ayrıca, paragraf 1.3'teki özellik 30 uyarınca, ABC'ye bitişik BD ABC açıortayı olduğundan, ABC, yazılı bir dik açı her zaman çapa dayandığından, daireyi D noktasına taban tabana zıt bir noktada kesecektir.
2 Bir üçgenin çemberinin ortosantırı
Yükseklik, bir üçgenin köşesinden karşı kenarı içeren bir düz çizgiye çizilen dikmedir.
Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada (ortomerkez) kesişir.
Kanıt. Keyfi düşünün ?ABC'yi bulun ve yüksekliklerini içeren AA1, BB1, CC1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. Her köşeden geçelim ?ABC karşı kenara paralel bir düz çizgidir. Aldık ?A2B2C2. A, B ve C noktaları bu üçgenin orta noktalarıdır. Aslında AB=A2C ve AB=CB2, ABA2C ve ABCB2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A2C=CB2. Benzer şekilde C2A=AB2 ve C2B=BA2. Ayrıca yapıdan da anlaşılacağı üzere CC1 A2B2'ye dik, AA1 B2C2'ye dik ve BB1 A2C2'ye diktir. Böylece, AA1, BB1 ve CC1 doğruları kenarlara dik açıortaylardır. ?A2B2C2. Bu nedenle bir noktada kesişirler.
Üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkez, dar açılarda üçgenin içinde, dışında - geniş açılarda veya tepe noktasıyla çakışabilir, dikdörtgen olanlarda ise tepe noktasıyla dik açıyla çakışır.
Bir üçgenin yüksekliğinin özellikleri:
Dar bir üçgenin iki yüksekliğinin tabanlarını birleştiren bir bölüm, ortak açının kosinüsüne eşit bir benzerlik katsayısı ile verilene benzer bir üçgeni ondan keser.
Kanıt. AA1, BB1, CC1 ABC dar üçgeninin yükseklikleri olsun ve ABC = ?(Şekil 2.2). BA1A ve CC1B dik üçgenlerinin ortak noktası ?, yani benzerler, yani BA1/BA = BC1/BC = cos ?. Bundan BA1/BC1=BA/BC = cos çıkar. ?yani V ?C1BA1 ve ?Ortak alana bitişik ABC kenarları ??C1BA1~ ?ABC, benzerlik katsayısı cos'a eşit ?. Benzer şekilde kanıtlanmıştır ki ?A1CB1~ ?Benzerlik katsayısı cos BCA olan ABC ve ?B1AC1~ ?Benzerlik katsayılı ABC çünkü CAB.
Bir dik üçgenin hipotenüsüne düşen yükseklik, onu birbirine benzer ve orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.
Kanıt. Dikdörtgen düşünün ?ABC, sahip olduğu ?BCA = 900 ve CD yüksekliğidir (Şekil 2.3).
Daha sonra benzerlik ?ADC ve ?BDC, örneğin, AD/CD = CD/DB olduğundan, dik üçgenlerin iki bacağın orantılılığıyla benzerlik işaretinden çıkar. ADC ve BDC dik üçgenlerinin her biri, en azından iki açıdaki benzerliğe dayalı olarak orijinal dik üçgene benzer.
Yükseklik özelliklerinin kullanımını içeren problemlerin çözümü
Problem 1. Köşelerinden biri verilen geniş üçgenin köşesi, diğer iki köşesi geniş açılı üçgenin diğer iki köşesi hariç tutulan yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgenin aşağıdakine benzer olduğunu kanıtlayın: benzerlik katsayısı birinci tepe noktasındaki açının kosinüsü modülüne eşit olan üçgen.
Çözüm. Geniş bir düşünün ?Aptal CAB ile ABC. Yükseklikleri AA1, BB1, CC1 olsun (Şekil 2.4, 2.5, 2.6) ve CAB = olsun ?, ABC = ? , BCA = ?.
Bunun kanıtı ?C1BA1~ ?Benzerlik katsayısı k = cos olan ABC (Şekil 2.4) ?, mülkiyet kanıtı 1, paragraf 2.2'de yürütülen gerekçeyi tamamen tekrarlamaktadır.
Hadi bunu kanıtlayalım ?A1CB~ ?Benzerlik katsayısı k1= cos olan ABC (Şekil 2.5) ?, A ?B1AC1~ ?ABC (Şekil 2.6) benzerlik katsayısı k2 = |cos? |.
Aslında CA1A ve CB1B dik üçgenlerinin ortak bir açısı vardır. ?ve dolayısıyla benzer. Buradan B1C/ BC = A1C / AC= cos çıkar. ?ve dolayısıyla B1C/ A1C = BC / AC = cos ?yani A1CB1 ve ABC üçgenlerinde ortak bir kenar oluşturan kenarlar ??, orantılıdır. Ve sonra, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre ?A1CB~ ?ABC, benzerlik katsayısı k1= cos ile ?. Son duruma gelince (Şekil 2.6), dik üçgenlerin dikkate alınmasından ?BB1A ve ?CC1A eşittir dikey açılar BAB1 ve C1AC'nin benzer olduğu sonucu çıkar ve bu nedenle B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |çünkü ?|, beri ??- köreltmek. Dolayısıyla B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| ve böylece üçgenlerde ?B1AC1 ve ?ABC kenarları oluşuyor eşit açılar, orantılıdır. Ve bu şu anlama geliyor ?B1AC1~ ?Benzerlik katsayılı ABC k2 = |cos? |.
Problem 2. Eğer O noktası bir ABC dar üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası ise ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800 olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Problem cümlesinde verilen formüllerden ilkinin geçerliliğini kanıtlayalım. Geriye kalan iki formülün geçerliliği de benzer şekilde kanıtlanmıştır. O halde ABC = olsun ?, AOC = ?. A1, B1 ve C1, sırasıyla A, B ve C köşelerinden çizilen üçgenin yüksekliklerinin tabanlarıdır (Şekil 2.7). Daha sonra BC1C dik üçgeninden BCC1 = 900 - çıkar. ?ve dolayısıyla OA1C dik üçgeninde COA1 açısı eşittir ?. Ancak AOC + COA1 açılarının toplamı = ? + ?düz bir açı verir ve bu nedenle AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, bunun da kanıtlanması gerekiyordu.
Problem 3. Dar bir üçgenin yüksekliklerinin, köşeleri yüksekliklerin tabanları olan bir üçgenin açılarının ortaortayları olduğunu kanıtlayın verilen üçgen.
is.2.8
Çözüm. AA1, BB1, CC1 ABC dar üçgeninin yükseklikleri olsun ve CAB = olsun ?(Şekil 2.8). Örneğin AA1 yüksekliğinin C1A1B1 açısının açıortayı olduğunu kanıtlayalım. Aslında, C1BA1 ve ABC üçgenleri benzer olduğundan (özellik 1), bu durumda BA1C1 = ?ve dolayısıyla C1A1A = 900 - ?. A1CB1 ve ABC üçgenlerinin benzerliğinden AA1B1 = 900 - sonucu çıkar. ?ve dolayısıyla C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Ancak bu, AA1'in C1A1B1 açısının açıortayı olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin diğer iki yüksekliğinin, A1B1C1 üçgeninin karşılık gelen diğer iki açısının ortaortayları olduğu kanıtlanmıştır.
3 Üçgen çemberinin ağırlık merkezi
Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir köşesini karşı kenarın orta noktasına bağlayan bir segmenttir.
Teorem. Üçgenin kenarortayları bir noktada (ağırlık merkezi) kesişir.
Kanıt. Keyfi olarak mı düşünelim? ABC.
AA1 ve BB1 kenarortaylarının kesişim noktasını O harfi ile gösterelim ve bu üçgenin A1B1 orta çizgisini çizelim. A1B1 doğru parçası AB kenarına paralel olduğundan 1 = 2 ve 3 = 4 olur. Bu nedenle, ?AOB ve ?A1OB1 iki açıda benzerdir ve dolayısıyla kenarları orantılıdır: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Ama AB=2A1B1, yani AO=2A1O ve BO=2B1O. Böylece, AA1 ve BB1 kenarortaylarının kesişimindeki O noktası, köşeden sayılarak her birini 2:1 oranında böler.
Benzer şekilde, BB1 ve CC1 medyanlarının kesişme noktasının her birini tepe noktasından sayarak 2:1 oranında böldüğü ve bu nedenle O noktasıyla çakıştığı ve ona 2:1 oranında bölündüğü kanıtlanmıştır. tepe noktasından sayma.
Bir üçgenin medyanının özellikleri:
10 Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.
Verilen: ?ABC, AA1, BB1 - medyanlar.
Kanıt: AO:OA1=VO:OB1=2:1
Kanıt. Orta çizgi A1B1||AB'nin özelliğine göre A1B1=1/2 AB orta çizgisini çizelim (Şekil 2.10). A1B1'den bu yana || AB, bu durumda 1 = 2, AB ve A1B1 paralel çizgileri ve AA1 sekantıyla çapraz olarak uzanır. 3 = 4, A1B1 ve AB paralel çizgileri ve BB1 sekantıyla çapraz olarak uzanıyor.
Buradan, ?AOB ~ ?A1OB1 iki açının eşitliği ile belirlenir, bu da kenarların orantılı olduğu anlamına gelir: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.
Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.
Kanıt. BD - medyan ?ABC (Şekil 2.11), BE - yüksekliği. Daha sonra ?ABD ve ?DBC'nin boyutları eşittir çünkü sırasıyla AD ve DC tabanları ve BE ortak yüksekliğine sahiptirler.
Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.
Üçgenin ortancasının devamında, üçgenin kenarının ortasından ortancaya eşit uzunlukta bir parça çıkarılırsa, bu parçanın bitiş noktası ve üçgenin köşeleri köşelerdir. paralelkenar.
Kanıt. BC kenarının orta noktası D olsun ?ABC (Şekil 2.12), E, AD doğrusu üzerinde DE=AD olacak şekilde bir noktadır. Bu durumda, ABEC dörtgeninin D noktasındaki AE ve BC köşegenleri ikiye bölündüğü için, özellik 13.4'ten ABEC dörtgeninin bir paralelkenar olduğu sonucu çıkar.
Ortancaların özelliklerini kullanarak problemleri çözme:
Problem 1. O'nun medyanların kesişme noktası olduğunu kanıtlayın ?ABC o zaman ?A.O.B. ?BOC ve ?AOC'nin boyutu eşittir.
Çözüm. AA1 ve BB1 medyan olsun ?ABC(Şekil 2.13). Hadi düşünelim ?AOB ve ?BOC. Açıkça görülüyor ki S ?AOB = S ?AB1B-S ?AB1O,S ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. Ama özellik 2'ye göre elimizde S var ?AB1B=S ?BB1C, S ?AOB = S ?OB1C, yani S ?AOB = S ?BOC. Eşitlik S ?AOB = S ?AOC.
Problem 2. O noktasının içeride olduğunu kanıtlayın ?ABC ve ?A.O.B. ?BOC ve ?AOC'nin alanı eşitse, O medyanların kesişme noktası mıdır? ABC.
Çözüm. Hadi düşünelim ?ABC (2.14) ve O noktasının BB1 medyanı üzerinde olmadığını varsayalım. O zaman OB1 medyan olduğundan ?AOC sonra S ?AOB1 = S ?B1OC ve S koşuluna göre ?AOB = S ?BOC, sonra S ?AB1OB = S ?BOB1C. Ama bu olamaz çünkü S ?ABB1 = S ?B1BC. Ortaya çıkan çelişki, O noktasının BB1 medyanı üzerinde olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde O noktasının diğer iki medyana ait olduğu kanıtlanmıştır. ?ABC. Buradan O noktasının gerçekten üç medyanın kesişme noktası olduğu sonucu çıkıyor? ABC.
Problem 3. Aşağıdakileri kanıtlayın: ?ABC kenarları AB ve BC eşit değilse, bu durumda onun ortayağı BD BM ortancası ile BH yüksekliği arasında yer alır.
Kanıt. hakkında anlatalım ?ABC bir dairedir ve açıortay BD'yi daireyi K noktasında kesinceye kadar uzatır. AC doğru parçasına dik olan orta nokta, medyan ile ortak bir M noktasına sahip olan K noktasından (paragraf 2.1'deki özellik 1) geçecektir. BH ve MK parçaları paraleldir ve B ve K noktaları birlikte uzanır farklı taraflar AC doğrusundan itibaren BK ve AC doğru parçalarının kesişme noktası HM doğru parçasına aittir ve bu gerekliliği kanıtlar.
Problem 4.B ?ABC ortanca BM, AB kenarının yarısı kadardır ve onunla 400 derecelik bir açı oluşturur. ABC'yi bulun.
Çözüm. Medyan BM'yi uzunluğu kadar M noktasının ötesine uzatalım ve D noktasını elde edelim (Şekil 2.15). AB = 2BM olduğuna göre AB = BD yani ABD üçgeni ikizkenardır. Dolayısıyla KÖTÜ = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. ABCD dörtgeni bir paralelkenardır çünkü köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Bu, CBD = ADB = 700 anlamına gelir. O halde ABC = ABD + CBD =1100. Cevap 1100'dür.
Problem 5. ABC kenarları a, b, c'ye eşittir. c kenarına çizilen medyan mc'yi hesaplayın (Şekil 2.16).
Çözüm. ACBP paralelkenarına ?ABC derleyerek medyanı ikiye katlayalım ve bu paralelkenara Teorem 8'i uygulayalım: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, yani. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, buradan şunu buluyoruz:
2.4 Euler çemberi. Euler çizgisi
Teorem. Medyanların tabanları, rastgele bir üçgenin yükseklikleri ve üçgenin köşelerini diklik merkezi ile birleştiren bölümlerin orta noktaları, yarıçapı, etrafında çevrelenen dairenin yarıçapının yarısına eşit olan aynı daire üzerinde yer alır. üçgen. Bu daireye dokuz noktalı daire veya Euler dairesi denir.
Kanıt. Ortadaki?MNL'yi alalım (Şekil 2.17) ve onun etrafında bir W çemberi tanımlayalım.LQ segmenti dikdörtgensel?AQB'deki ortancadır, dolayısıyla LQ=1/2AB. MN=1/2AB segmenti, çünkü MN - orta çizgi? ABC. Buradan yamuk QLMN'nin ikizkenar olduğu sonucu çıkar. W çemberi bir ikizkenar yamuk L, M, N'nin 3 köşesinden geçtiği için dördüncü Q köşe noktasından da geçecektir. Benzer şekilde P'nin W'ye, R'nin W'ye ait olduğu kanıtlanmıştır.
X, Y, Z noktalarına geçelim. XL doğru parçası BH'ye orta çizgi olan AHB'ye diktir. BH segmenti AC'ye diktir ve AC, LM'ye paralel olduğundan BH, LM'ye diktir. Bu nedenle XLM=P/2. Aynı şekilde XNM= P/2.
LXNM dörtgeninde, iki zıt açı dik açıdır, dolayısıyla onun etrafında bir daire tanımlanabilir. Bu W çemberi olacak. Yani X W'ye ait, aynı şekilde Y de W'ye ait, Z de W'ye ait.
Ortadaki?LMN,?ABC'ye benzer. Benzerlik katsayısı 2'dir. Dolayısıyla dokuz noktalı dairenin yarıçapı R/2'dir.
Euler çemberinin özellikleri:
Dokuz noktalı dairenin yarıçapı, ?ABC etrafında çevrelenen dairenin yarıçapının yarısına eşittir.
Dokuz noktalı daire, ABC katsayısı ile çevrelenen daireye homotetiktir. ½ ve H noktasındaki homotetik merkez.
Teorem. Ortomerkez, ağırlık merkezi, çevrel merkez ve dokuz noktalı daire merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Euler'in düz çizgisi.
Kanıt. H diklik merkezi olsun, ABC (Şekil 2.18) ve O çevrelenen dairenin merkezi olsun. Yapı itibariyle, dik ortaortay-ABC ortanca-MNL'nin yüksekliklerini içerir, yani O aynı anda ortomerkez-LMN'dir. ?LMN ~ ?ABC, benzerlik katsayıları 2, yani BH=2ON.
H ve O noktalarından geçen düz bir çizgi çizelim. İki benzer üçgen elde ediyoruz:NOG ve?BHG. BH=2ON olduğundan BG=2GN olur. İkincisi, G noktasının ABC'nin ağırlık merkezi olduğu anlamına gelir. G noktası için HG:GO=2:1 oranı sağlanır.
Ayrıca TF dik açıortay olsun, MNL ve F bu dikmenin HO çizgisiyle kesişme noktası olsun. Benzer ?TGF ve ?STK'yı ele alalım. G noktası ?MNL'nin ağırlık merkezidir, dolayısıyla ?TGF ve ?NGO'nun benzerlik katsayısı 2'ye eşittir. Dolayısıyla OG=2GF ve HG=2GO olduğundan HF=FO ve F, HO segmentinin ortasıdır.
Aynı mantığı karşı taraf?MNL'ye dik açıortay için de yaparsak, bu durumda HO doğru parçasının da ortasından geçmesi gerekir. Ancak bu, F noktasının dik açıortayların (MNL) noktası olduğu anlamına gelir. Bu nokta Euler çemberinin merkezidir. Teorem kanıtlandı.
ÇÖZÜM
Bu çalışmada, okulda incelenen üçgenin 4 harika noktasına ve bu noktaların birçok problemi çözebileceğimiz özelliklerine baktık. Gergonne noktası, Euler çemberi ve Euler düz çizgisi de dikkate alındı.
KULLANILAN KAYNAKLARIN LİSTESİ
1.Geometri 7-9. Ortaokullar için ders kitabı // Atanasyan L.S., Butuzov V.F. ve diğerleri - M.: Eğitim, 1994.
2.Amelkin V.V. Düzlemde geometri: Teori, problemler, çözümler: Proc. Matematik üzerine bir el kitabı // V.V. Amelkin, V.L. Rabtsevich, V.L. Timokhovich - Mn .: “Asar”, 2003.
.VS. Bolodurin, O.A. Vakhmyanina, T.S. Izmailova // Temel geometri kılavuzu. Orenburg, OGPI, 1991.
.Prasolov V.G. Planimetride sorunlar. - 4. baskı, eklenmiş - M .: Moskova Sürekli Matematik Eğitimi Merkezi yayınevi, 2001.
Baranova Elena
Bu çalışma, üçgenin dikkat çekici noktalarını, bunların özelliklerini ve dokuz noktalı daire ve Euler düz çizgisi gibi desenlerini inceliyor. Verilen tarihsel referans Euler'in düz çizgisinin ve dokuz noktalı dairenin keşfi. Projemin pratik uygulama yönü önerildi.
İndirmek:
Ön izleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
"ÜÇGENİN HARİKA NOKTALARI." (Uygulamalı ve temel matematik soruları) Elena Baranova 8. sınıf, MKOU “Ortaokul No. 20” Poz. Novoizobilny, Tatyana Vasilievna Dukhanina, MKOU "Ortaokul No. 20" Novoizobilny köyü 2013'ün matematik öğretmeni. Belediye yönetimi Eğitim kurumu"20 Nolu Ortaokul"
Amaç: Üçgeni dikkat çekici noktaları açısından inceleyin, sınıflandırmalarını ve özelliklerini inceleyin. Hedefler: 1. Gerekli literatürü inceleyin 2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin 3.. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının özelliklerini öğrenin 4. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını oluşturabilme. 5. Dikkat çekici noktaların kapsamını keşfedin. Çalışmanın amacı - matematik bölümü - geometri Çalışmanın konusu - üçgen Uygunluk: üçgen ve dikkat çekici noktalarının özellikleri hakkındaki bilginizi genişletin. Hipotez: üçgen ve doğa arasındaki bağlantı
Dik açıortayların kesişme noktası.Üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olup çevrel dairenin merkezidir. Köşeleri üçgenin kenarlarının orta noktaları olan ve üçgenin köşeleri dik açıortayların kesişme noktasıyla çakışan bir noktada kesişen üçgenler etrafında çevrelenen daireler.
Açıortayların kesişme noktası Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası üçgenin kenarlarından eşit uzaklıktadır. OM=OA=OB
Yüksekliklerin kesişme noktası Köşeleri yüksekliklerin tabanları olan bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıyla çakışır.
Kenarortayların kesişme noktası Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu, her kenarortayı tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında böler. Kenarortayların kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgen eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Medyanların kesişme noktasının önemli bir özelliği, başlangıcı medyanların kesişme noktası ve uçları üçgenlerin köşeleri olan vektörlerin toplamının sıfıra eşit olmasıdır M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3
Torricelli noktası Not: Üçgenin tüm açıları 120°'den küçükse Torricelli noktası vardır.
Dokuz noktadan oluşan daire B1, A1, C1 – yükseklik tabanları; A2, B2, C2 – ilgili tarafların orta noktaları; A3, B3, C3, AN, VN ve CH segmentlerinin orta noktalarıdır.
Euler düz çizgisi Medyanların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası, dokuz noktadan oluşan bir dairenin merkezi tek bir düz çizgi üzerinde yer alır ve buna, bu modeli belirleyen matematikçinin onuruna Euler düz çizgisi adı verilir.
Dikkat çekici noktaların keşfinin tarihinden biraz kesit 1765 yılında Euler, bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ile yükseklik tabanlarının aynı daire üzerinde bulunduğunu keşfetti. En çok muhteşem mülkÜçgenin dikkat çeken noktaları bazılarının birbirine belirli bir oranla bağlı olmasıdır. Medyanların (M) kesişme noktası, H yüksekliklerinin kesişme noktası ve çevrelenen daire O'nun merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası, OH parçasını OM: OH = 1 ilişkisi olacak şekilde böler. : 2 geçerlidir Bu teorem 1765 yılında Leonhard Euler tarafından kanıtlanmıştır.
Geometri ve doğa arasındaki bağlantı. Bu konumda potansiyel enerji en küçük değer ve MA+MB+MC bölümlerinin toplamı en küçük olacak ve Torricelli noktasından başlayan bu bölümler üzerinde yer alan vektörlerin toplamı sıfıra eşit olacaktır.
Sonuçlar Yüksekliklerin, kenarortayların, ortaortayların ve dik açıortayların bildiğim harika kesişim noktalarına ek olarak bir üçgenin harika noktaları ve çizgilerinin de olduğunu öğrendim. Bu konuyla ilgili edindiğim bilgileri işimde kullanabilirim. Eğitim faaliyetleri, teoremleri belirli problemlere bağımsız olarak uygular, öğrenilen teoremleri gerçek bir durumda uygular. Matematik öğrenmede üçgenin harika nokta ve çizgilerini kullanmanın etkili olduğuna inanıyorum. Bunları bilmek birçok görevin çözümünü önemli ölçüde hızlandırır. Önerilen materyal hem matematik derslerinde hem de 5-9. sınıflardaki öğrenciler için ders dışı etkinliklerde kullanılabilir.
Ön izleme:
Önizlemeyi kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve oturum açın:
