İlgili ve dikey açılar. Dik düz çizgiler. Hangi açılardan bitişik olarak adlandırılır? İki bitişik açının toplamı nedir

Soru 1.Hangi açılardan bitişik olarak adlandırılır?
Cevap.Ortak bir tarafı varsa ve bu açıların diğer tarafları ilave yarım daire olduğunda bitişik olarak adlandırılır.
Şekil 31'de, açılar (A 1 b) ve (a 2 b) bitişik. Genel olarak B tarafı var ve partiler 1 ve a 2 ek yarım dairedir.

Soru 2.Bitişik açıların toplamının 180 ° olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.1.Bitişik açıların toplamı 180 ° 'dir.
Kanıt. Bir açı (A 1 B) ve bir açı (A 2 B) - bu bitişik açılara izin verin (bkz. Şekil 31). Beam B, bir 1 ve konuşlandırılmış köşenin bir 2'nin yanları arasında geçer. Bu nedenle, açıların (A 1 b) ve (a 2 b) toplamı, dağıtılan köşeye eşittir, yani 180 °. Q.e.d.

Soru 3.İki açının eşit olması durumunda, bitişik açılar da eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap.

Teorem'den 2.1 İki açının eşit olması durumunda, bitişik açılar eşittir.
Açıların (A 1 B) ve (Cı D) eşit olduğunu varsayalım. Açıların (2 B) ve (C2H) aynı zamanda eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Bitişik açıların toplamı 180 ° 'dir. Bundan bir 1 b + a 2 b \u003d 180 ° ve c1 d + c2 d \u003d 180 ° 'lik. Bu nedenle, bir 2 b \u003d 180 ° - A 1 B ve C2 D \u003d 180 ° - C 1 D. Açılar (A 1 B) ve (Cı D) eşit olduğundan, 2 b \u003d 180 ° 'lik bir 1 B \u003d C2 D. Eşitlik işaretinin geçiş özelliğine göre, bir 2 b \u003d C 2 D'yi izler. Q.e.d.

Soru 4.Hangi açıyla doğrudan (keskin, aptal) denir?
Cevap. 90 ° 'ye eşit bir açı doğrudan açı olarak adlandırılır.
90 ° 'den daha az bir açı keskin bir açı denir.
90 ° 'den büyük açı ve 180 °' lik 180 ° Aptalca denir.

Soru 5. Doğrudan bitişiğin açının düz bir açı olduğunu kanıtlamaktadır.
Cevap.Teoremden bitişik açıların toplamı üzerine, doğrudan açıya bitişik açının doğrudan bir açıdır: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

Soru 6.Hangi açılardan dikey denir?
Cevap.Aynı açının yanları diğerlerinin ek yarı sadece tarafları ise dikey denir.

Soru 7.Dikey açıların eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.2. Dikey açılar eşittir.
Kanıt.(A 1 B1) ve (A 2 B2) - bu dikey açılar (Şek. 34) olsun. Açı (A 1 B2), bir açılı (A 1 B1) ve bir açıyla (2 B2) bitişiktir. Dolayısıyla bitişik açıların toplamı üzerindeki teorem, açıların her birinin (bir 1 b 1) ve (a 2 B2) açısını (1 B2) 180 °, yani) tamamladığını sonlandırıyoruz. Açılar (A 1 B 1) ve (A 2 B2) eşittir. Q.e.d.

Soru 8.Eğer çizginin köşelerinden biri olan iki düz çizgilerin kesiştiği durumdaysa, geri kalan üç açı da düzdür.
Cevap.Direct AB ve CD'nin O noktasında birbirlerini geçtiğini varsayalım. AOD açısının 90 ° olduğunu varsayalım. Bitişik açıların toplamı 180 ° olduğundan, AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° 90 ° \u003d 90 °'dir. COB Açı Dikey AOD Açı, böylece onlar eşittir. Yani, açı koçanı \u003d 90 °. COA Açı Dikey Köşe Bod, bu yüzden onlar eşittir. Yani, açı gövdesi \u003d 90 °. Böylece, tüm açılar 90 ° cinsindendir, yani hepsi doğrudan. Q.e.d.

Soru 9.Doğrudan dik olarak adlandırılır? Doğrudanın dikliğine atıfta bulunmak için hangi işaret kullanılır?
Cevap.Dik açılarda kesişirse iki düz çizgi dik olarak adlandırılır.
Doğrudanın dikliği, \\ (\\ perp \\) işaretiyle gösterilir. Kayıt \\ (a \\ perp b \\) okur: "Doğrudan B'ye dik olarak doğrudan B".

Soru 10.Herhangi bir noktadan doğrudan, kendisine dik olan kişi tarafından gerçekleştirilebileceğini kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.3.Her doğrudan doğrudan doğrudan yapılabilir ve sadece bir tane yapılabilir.
Kanıt.Bu doğrudan ve A - bu nokta olalım. Başlangıç \u200b\u200bnoktası A (Şekil 38) ile yarı iletken doğrudan A'dan biri tarafından belirtir. Yarım daire A 1 açısından (A 1 B 1), 90 ° 'ye eşit erteleyeceğiz. Ardından, B 1 ışını içeren doğrudan A'ya dik olacaktır.

Bir başka düz çizgi olduğunun, ayrıca A noktasından geçerken ve düz çizgi a'ya dik bir şekilde. C1 ile, bu düz çizginin yarı eksenini, ışın B 1 ile bir yarım düzlemde yatar.
Her 90 ° 'ye eşit olan açılar (A 1 B1) ve (A 1 Cı), yarı basitleştirilebilir A 1'den bir yarı düzlemde ertelenir. Ancak bu yarı düzlemde Semiconduma A 1'den, sadece bir açı 90 ° 'ye eşit olarak ertelenebilir. Bu nedenle, A noktasından ve dikey doğrudan A'dan doğrudan geçen başka bir şey olmamak. Teoremi kanıtlandı.

Soru 11.Düz çizgiye dik olan nedir?
Cevap. Bu doğrudan bu doğrudan, buna dik, kesişme noktalarından birine sahip olan düz bir çizgi denir. Segmentin bu sonu denir üs Dik.

Soru 12.Kötü kanıtı açıklayın.
Cevap. Theorem 2.3'te başvurduğumuz kanıt yöntemi, rakibin kanıtı denir. Bu kanıt yöntemi, başlangıçta teorem tarafından onaylananların tam tersi olan bir varsayım yapmamızdır. Daha sonra, aksiyomlara güvenerek ve kanıtlanmış teoremlere dayanarak, teoremin durumuna veya aksiyomlardan birinin veya daha önce kanıtlanmış bir teoremden birinin aksine sonucuna varın. Bu temelde, varsayımımızın yanlış olduğu sonucuna vardık ve bu nedenle teoremin ifadesi doğrudur.

Soru 13.Bisector açısı denir?
Cevap.Açının bisektörü, köşenin üstünden gelen bir kiriş denir, tarafları arasında geçer ve açıyı ikiye böler.

"Açı" konseptinin geometrisinin seyrini inceleme sürecinde "dikey açılar", "bitişik açılar" oldukça yaygındır. Terimlerin her birini anlamak, görevi anlamak ve doğru şekilde çözmek için yardımcı olacaktır. Bitişik açılar ve bunların nasıl belirleneceği nedir?

İlgili Açılar - Kavramın Tanımı

"Bitişik açılar" terimi, paylaşılan bir kiriş tarafından oluşturulan iki açıyı ve bir düz çizgi üzerinde yatan iki ek yarım daire ile karakterize eder. Her üç ışının da bir noktadan çıktı. Toplam yarım yaş aynı anda hem birinin hem de ikinci açının tarafıdır.

İlgili Açılar - Temel Özellikler

1. Bitişik açıların formülasyonuna dayanarak, bu tür açıların toplamının her zaman 180 ° cinsinden ayrıntılı bir açı oluşturduğunu fark etmek zor değildir:

• Μ ve η bitişik açılar ise, μ + η \u003d 180 °.
• Bitişik açılardan birini bilmek (örneğin, μ), η \u003d 180 ° - μ ekspresyonunu kullanarak ikinci açı (η) derecesini hesaplamak kolaydır.

2. Köşelerin bu özelliği, aşağıdaki sonucu çizmenize izin verir: bitişik bir düz köşe olan bir açı da doğrudan olacaktır.

3. Bitişik açıların ve η formüllerine dayanarak, trigonometrik işlevi (günah, COS, TG, CTG) göz önüne alındığında, aşağıdakiler geçerlidir:

• sinη \u003d Sin (180 ° - μ) \u003d Sinμ,
• cosη \u003d cos (180 ° - μ) \u003d -cosμ,
• tgη \u003d tg (180 ° - μ) \u003d -TGμ,
• cTGη \u003d CTG (180 ° - μ) \u003d -CTGΜ.

İlgili Açılar - Örnekler

Örnek 1.

Vertices M, P, Q, ΔMPQ'lu bir üçgen ayarlanmıştır. Köşeleri, bitişik açıları ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM bulun.

• Üçgenin her iki tarafını düz uzatacağız.
• Bitişik açıların birbirlerini genişletilmiş açıya tamamladığını bilerek, şunları öğrenin:

açıya bitişik ∠QMP ∠LMP olacaktır.

açıya bitişik ∠MPQ ∠SPQ olacaktır,

açı ile ilgili ∠PQM ∠HQP olacaktır.

Örnek 2.

Bir bitişik açının değeri 35 °. İkinci bitişik açının derecesi nedir?

• Miktarın 180 ° cinsinden iki bitişik açı.
• ∠μ \u003d 35 °, daha sonra bitişik ∠η \u003d 180 ° - 35 ° \u003d 145 °.

Örnek 3.

Bitişik açıların değerlerini belirleyin, eğer alttan birinin üç katı diğer açının derecesinin derecesi olduğu biliniyorsa.

• Bir (daha küçük) açının değerini - ∠μ \u003d λ ile belirtir.
• Ardından, sorunun durumuna göre, ikinci açının değeri ∠η \u003d 3λ'ya eşit olacaktır.
• Bitişik açıların temel özelliklerine dayanarak, μ + η \u003d 180 ° takip eder

λ + 3λ \u003d μ + η \u003d 180 °,

λ \u003d 180 ° / 4 \u003d 45 °.

Bu nedenle, birinci bir açı ∠μ \u003d λ \u003d 45 ° ve ikinci açı ∠η \u003d 3λ \u003d 135 °.

Terminolojinin temyiz edilmesinin yanı sıra bitişik açıların temel özelliklerinin bilgisi, birçok geometrik görevin çözeltisiyle başa çıkmaya yardımcı olacaktır.

G L A V A I.

Temel konseptler.

§Televen. İlgili ve dikey açılar.

1. İlgili açılar.

Üstün için bir köşenin tarafına devam edersek, iki açı alacağız (lanet 72): / Ve güneş I. / Twds, genel olarak uçakların bir tarafına sahip olan ve diğer iki AVI CD'si düz bir çizgi oluşturur.

Bir tarafın genel olduğu ve diğer ikisi düz bir çizgi oluşturan iki açı, bitişik açılar denir.

İlgili açılar elde edilebilir ve böylece: bir noktadan bir ışın varsa (bu satırda yatma), sonra bitişik açılar elde ederiz.
Örneğin, / ADF I. / FDV - bitişik açılar (lanet 73).

İlgili açıların çeşitli pozisyonları olabilir (özellikler. 74).

Toplamda bitişik açılar, genişletilmiş bir açı oluşturur, bitişik açıların UMMA eşittir2d.

Buradan, düz bir açı, bitişik köşesine eşit bir açı olarak tanımlanabilir.

Bitişik açılardan birinin büyüklüğünü bilmek, bununla kirlenmiş başka bir köşenin boyutunu bulabiliriz.

Örneğin, bitişik açılardan biri 3/5 ise d.Sonra ikinci açı eşit olacaktır:

2d.- 3 / 5 d. \u003d L 2/5 d..

2. Dikey açılar.

Köşenin tarafını üstü için devam edersek, dikey açılar alacağız. Çizimde 75 EOF açıları ve AOS dikey; Köşeler OO ve CO - ayrıca dikeydir.

Aynı açının yanları diğer açının yanlarının devamı ise iki açı dikeydir.

İzin vermek / 1 = 7 / 8 d. (Lanet 76). Ona bitişik / 2 2'ye eşit olacak d.- 7 / 8 d., yani 1 1/8 d..

Aynı şekilde, eşit olanı hesaplayabilirsiniz. / 3 I. / 4.
/ 3 = 2d. - 1 1 / 8 d. = 7 / 8 d.; / 4 = 2d. - 7 / 8 d. = 1 1 / 8 d. (Lanet 77).

Bunu görüyoruz / 1 = / 3 I. / 2 = / 4.

Biraz daha aynı görevleri çözebilirsiniz ve aynı sonuç elde edileceğinde, dikey açılar birbirine eşittir.

Bununla birlikte, dikey açıların her zaman birbirine eşit olduğundan emin olmak için, ayrı sayısal örnekleri göz önünde bulundurmak yeterli değildir, çünkü özel örnekler temelinde yapılan sonuçlar bazen hatalı olabilir.

Dikey açıların özelliklerinin adaletinin, kanıtlarla muhakeme ile gerekli olduğundan emin olun.

Kanıt aşağıdaki gibi yapılabilir (lanet 78):

/ a +./ c. = 2d.;
/ b +./ c. = 2d.;

(bitişik açıların toplamı 2'ye eşit olduğundan d.).

/ a +./ c. = / b +./ c.

(Bu eşitliğin sol tarafı 2 olduğundan d.ve sağ kısmı da 2'ye eşittir. d.).

Bu eşitlik aynı açıyı içerir. dan.

Eşit eşit değerlere eşit olsaydık, eşit olarak kalacaktır. Sonuç olarak ortaya çıkacak: / a. = / b., yani dikey açılar birbirine eşittir.

Dikey açıların sorunu göz önüne alındığında, önce hangi köşelerin dikey olarak adlandırıldığını açıkladık, yani Dali. tanım dikey açılar.

Sonra, dikey açıların eşitliği hakkındaki karar verdik (onay) ve bu kararın adaletinde kanıtlarla ikna edildi. Bu yargılar, adaletin ispatlanması gereken kanıtlar teoremler.. Böylece, bu paragrafta, dikey açıların tanımını verdik ve ayrıca teoremlerini mülkleri hakkında ifade etti ve kanıtladı.

Gelecekte, geometri okurken, teoremlerin tanımları ve kanıtı ile sürekli olarak görüşmemiz gerekecektir.

3. Toplam bir köşe olan açıların toplamı.

Çizimde 79. / 1, / 2, / 3 I. / 4 Bir tarafta düz bir yerde bulunur ve bu düz bir köşeye sahip. Bu açıların miktarında genişletilmiş bir açı oluşturur, yani.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d..

Çizimde 80. / 1, / 2, / 3, / 4 I. / 5 Toplam bir tepe var. Bu açıların miktarında tam bir açı oluşturur, yani. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d..

Egzersizler.

1. bitişik açılardan biri 0,72 d. Bu bitişik açıların bisektörleri tarafından derlenen açıyı hesaplayın.

2. İki bitişik açının bisektörünün düz bir açı oluşturduğunu kanıtlayın.

3. İki açının eşit olduğunda, bitişik açıların eşit olduğunu kanıtlayın.

4. Çizimde kaç bitişik açı 81?

5. Bir çift bitişik açı iki keskin köşeden oluşabilir mi? İki aptal açıdan mı? Düz ve aptal bir köşeden? Düz ve akut açıdan?

6. Bitişik açılardan biri düzse, bitişik açının büyüklüğü hakkında ne söylenebilir?

7. İki düz çizginin kesiştiği durumdaysa, bir köşe doğrudan ise, diğer üç köşenin büyüklüğü hakkında ne söylenebilir?

Bitişik bir açı nasıl bulabilirsiniz?

Matematik - mutlaka okullarda, kolejlerde, enstitülerde ve üniversitelerde öğrenen eski doğru bilim. Bununla birlikte, temel bilgi her zaman okula yerleştirilir. Bazen, çocuk oldukça karmaşık görevler istedi ve ebeveynler yardım edemiyorlar, çünkü sadece matematikten bazı şeyleri unuttukları için. Örneğin, ana açı vb. Bitişik bir açı bulmak için nasıl. Görev basittir, ancak hangi açıların ilgisini alacağınız ve nasıl bulacağınızın cehalet nedeniyle çözülmesinde zorluklara neden olabilir.

Bitişik açıların tanımını ve özelliklerini daha ayrıntılı olarak düşünün ve bunları görevdeki verilere göre nasıl hesaplanır.

Bitişik açıların tanımı ve özellikleri

Bir noktadan kaynaklanan iki kiriş, "düz açı" olarak adlandırılan bir rakamdır. Bu noktada, bu nokta açının zirvesi olarak adlandırılır ve ışınları partileridir. Başlangıç \u200b\u200bnoktasındaki ışınlardan birine düz bir çizgide devam ederseniz, bitişik olarak adlandırılan başka bir açı oluşturulur. Her köşede, bu durumda, açının yanı eşdeğer olduğu için iki bitişik açı vardır. Yani, her zaman 180 derecelik bitişik bir açı vardır.

Bitişik açıların ana özellikleri

• Bitişik açıların toplam bir köşe ve bir tarafı vardır;
• Bitişik açıların toplamı, hesaplama radyanlarda gerçekleştirilirse, her zaman 180 derece veya PI sayısıdır;
• Bitişik açıların sinüsleri her zaman eşittir;
• Cosines ve bitişik açıların teğetleri eşittir, ancak zıt işaretlere sahiptir.

Bitişik açılar nasıl bulabilirsiniz

Bitişik açıların büyüklüğünü bulmak için üç çeşit görev verilmektedir.

• Ana açının büyüklüğü verilmiştir;
• Ana ve bitişik açının oranı verilmiştir;
• Dana dikey açı.

Görevin her sürümünün kendi çözümü vardır. Onları düşünün.

Ana açının büyüklüğü

Ana açı görevde belirtilirse, bitişik açı çok basittir. Bunu yapmak için, ana açının büyüklüğünü çıkarmak için 180 derece yeterlidir ve bitişik açıyı alacaksınız. Bu çözüm bitişik açının özelliklerinden gelir - bitişik açıların toplamı her zaman 180 derecedir.

Ana açının büyüklüğü radyan cinsinden verilirse ve görevde, radyanlarda bitişik bir açı bulmak gerekirse, 180 toplam genişletilmiş açının büyüklüğünün büyüklüğünden bu yana ana açıdan çıkarılması gerekir. Dereceler, PI sayısına eşittir.

Ana ve bitişik açının oranı

Sorun, ana ve bitişik açının, ana açının büyüklüğünün büyüklüğünün ve radyan yerine oranı verilebilir. Bu durumda, çözüm, eşitlik denklemine benzeyecektir:

1. Ana açının oranı "Y" değişkeni olarak gösteririz.
2. Bitişik açıyla ilgili pay, "X" değişkeni olarak adlandırılır.
3. Her oranda meydana gelen derecelerin sayısı, örneğin "A" anlamına gelir.
4. Genel formül bunun gibi görünecek - a * x + a * y \u003d 180 veya a * (x + y) \u003d 180.
5. "A" denkleminin genel faktörü A \u003d 180 / (X + Y) formülüne göre buluruz.
6. Daha sonra, "A" genel faktörünün elde edilen değeri, belirlenmesi gereken bir açıyla çarpılır.

Böylece, bitişik açının boyutunu derecelerde bulabiliriz. Ancak, radyan cinsinden miktarı bulmak gerekirse, daha sonra dereceleri radyanlara çevirmeniz gerekir. Bunu yapmak için, derecelerde bir açıyı PI numarasına çarpın ve 180 derece de bölün. Elde edilen değer radyanda olacak.

Dikey açı değeri

Sorun ana açının değeri verilmezse, ancak dikey açının değeri verilirse, bitişik açı, ana açının verildiği ilk paragrafın aynı formüle göre hesaplanabilir.

Dikey açı, ana olanla aynı noktadan gelen bir açıdır, ancak kesinlikle ters yönde yönlendirilir. Böylece bir ayna yansıması ortaya çıkar. Bu, dikey açının ana olana eşit olduğu anlamına gelir. Buna karşılık, dikey açının bitişik açısı, ana açının bitişik açısına eşittir. Bundan dolayı, ana açının bitişik açısını hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için, sadece 180 dereceden çıkarın, dikey değerin değerini çıkarın ve ana açının bitişik açısının değerini derecelerde elde edin.

Değer radyan cinsinden verilirse, dikey açının değerinin sayısından çıkarılması gerekir, çünkü toplam genişletilmiş 180 derecelik açının büyüklüğü PI sayısına eşittir.

Ayrıca yararlı makalelerimizi de okuyabilirsiniz.

açı Dağıtımdan önce, yani 180 ° 'ye eşittir, bu nedenle bunları bulmak, bunlardan düşen, ana açının bilinen değeri a₁ \u003d α₂ \u003d 180 °-a.

Bundan var. İki açı aynı anda ve bitişik ve eşitse, o zaman düzdürler. Bitişik açılardan biri doğrudan ise, yani 90 derecedir, sonra başka bir açı da düzdür. Bitişik açılardan biri keskin ise, diğeri künt olacaktır. Benzer şekilde, eğer açılardan biri aptalsa, ikincisi sırasıyla keskin olacaktır.

Keskin bir açı, bir dereceye kadar 90 dereceden az, ancak 0'dan fazla, aptal bir açı, 90 dereceden fazla bir dereceye sahiptir, ancak 180'den az.

Bitişik açıların bir başka özelliği aşağıdaki gibi formüle edilir: eğer iki köşe eşitse, onlara bitişik açılar da eşittir. İki açı varsa, örtüşen (örneğin, 50 derecedir) ve aynı zamanda bitişik bir açı vardır, bu bitişik açıların değerleri ayrıca (örneğinde) derece ölçüsü 130 derece olacaktır).

Kaynaklar:

• Büyük ansiklopedik Sözlük - İlgili Köşeler
• açı 180 derece

"" Kelimesi çeşitli yorumlar var. Geometri açısında, bir noktadan gelen iki ışınla sınırlandırılmış bir düzlemin bir parçasıdır - köşeleri. Doğrudan, keskin, konuşlandırılmış açılar söz konusu olduğunda, geometrik açılar kastedilmektedir.

Geometrideki herhangi bir rakam gibi, açılar karşılaştırılabilir. Açıların eşitliği hareketle belirlenir. Açının iki eşit parçaya bölünmesi kolaydır. Üç parçaya bölmek biraz daha karmaşık, ancak yine de bu bir cetvel ve dolaşım kullanılarak yapılabilir. Bu arada, bu görev oldukça zor görünüyordu. Bir açının, geometrik olarak kolay, diğerlerinden daha büyük veya daha az olduğunu açıklayın.

Açıların ölçülmesi birimi olarak, geçti - 1/180