ön bilgi
Bir düzlem üzerindeki herhangi bir düz geometrik şeklin çevresi, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak tanımlanır. Üçgen bunun bir istisnası değildir. Öncelikle üçgen kavramını ve kenarlarına göre üçgen çeşitlerini veriyoruz.
tanım 1
Üçgen, parçalarla birbirine bağlanan üç noktadan oluşan geometrik bir şekildir (Şekil 1).
tanım 2
Tanım 1 çerçevesindeki noktalar üçgenin köşeleri olarak adlandırılacaktır.
tanım 3
Tanım 1 çerçevesindeki parçalar üçgenin kenarları olarak adlandırılacaktır.
Açıkçası, herhangi bir üçgenin 3 köşesi ve üç kenarı olacaktır.
Kenarların birbirine oranına bağlı olarak üçgenler çok yönlü, ikizkenar ve eşkenar olarak ayrılır.
tanım 4
Kenarlarından hiçbiri diğerine eşit değilse, bir üçgen çok yönlü olarak adlandırılır.
tanım 5
İki kenarı birbirine eşit, ancak üçüncü kenara eşit olmayan bir üçgene ikizkenar denir.
tanım 6
Bütün kenarları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.
Bu üçgenlerin tüm çeşitlerini Şekil 2'de görebilirsiniz.
Çok kenarlı bir üçgenin çevresi nasıl bulunur?
Kenar uzunlukları $ α $, $ β $ ve $ γ $ 'a eşit olacak çok yönlü bir üçgen verelim.
Çözüm:Çok yönlü bir üçgenin çevresini bulmak için tüm kenar uzunluklarını toplayın.
örnek 1
34 $ cm, 12 $ cm ve 11 $ cm'ye eşit çok yönlü bir üçgenin çevresini bulun.
$P = 34 + 12 + 11 = 57 $cm
Cevap: 57$$ bkz.
Örnek 2
Bacakları 6 $ ve 8 $ cm olan dik açılı bir üçgenin çevresini bulun.
İlk olarak, Pisagor teoremi ile bu üçgenin hipotenüslerinin uzunluğunu buluyoruz. $ α $ ile gösteririz, o zaman
$ α = 10 $ Çok yönlü bir üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre,
$P = 10 + 8 + 6 = 24 $cm
Cevap: $ 24 $ bkz.
Bir ikizkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?
Kenar uzunluklarının $α $'a ve tabanın uzunluğunun $β $'a eşit olduğu bir ikizkenar üçgen verelim.
Düz bir geometrik şeklin çevresinin tanımıyla şunu elde ederiz:
$ P = α + α + β = 2α + β $
Çözüm: Bir ikizkenar üçgenin çevresini bulmak için, kenarlarının iki katına çıkan uzunluğunu tabanının uzunluğuna ekleyin.
Örnek 3
Kenarları 12 $ cm ve tabanı 11 $ cm ise bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.
Yukarıda ele alınan örneğe göre, görüyoruz ki
$ P = 2 \ cdot 12 + 11 = 35 $ cm
Cevap: 35$$ bkz.
Örnek 4
Tabana çizilen yüksekliği 8 $ cm ve tabanı 12 $ cm ise bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.
Sorunun durumuna göre bir rakam düşünün:
Üçgen ikizkenar olduğundan, o zaman $ BD $ aynı zamanda medyandır, bu nedenle $ AD = 6 $ cm'dir.
Pisagor teoremine göre, $ADB $ üçgeninden tarafı buluyoruz. $ α $ ile gösteririz, o zaman
Bir ikizkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre, şunu elde ederiz:
$ P = 2 \ cdot 10 + 12 = 32 $ cm
Cevap: 32 $ bkz.
Eşkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?
Bize tüm kenarlarının uzunluklarının $α $'a eşit olacağı bir eşkenar üçgen verilsin.
Düz bir geometrik şeklin çevresinin tanımıyla şunu elde ederiz:
$ P = α + α + α = 3α $
Çözüm: Bir eşkenar üçgenin çevresini bulmak için üçgenin kenar uzunluğunu 3 $ ile çarpın.
Örnek 5
Kenarı 12 $ cm ise bir eşkenar üçgenin çevresini bulun.
Yukarıda ele alınan örneğe göre, görüyoruz ki
$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ cm
P = a + b + c Bir üçgenin çevresi nasıl bulunur: Çevreyi bulmanın armutları patlatmak kadar kolay olduğunu herkes bilir - sadece üçgenin üç kenarını da toplamanız gerekir. Ancak, bir üçgenin kenar uzunluklarının toplamını bulmanın başka yolları da vardır. Adım 1 Yazılı dairenin bilinen yarıçapı ve alanı ile çevreyi P = 2S / r formülüyle bulun. 
Adım 2 Bir kenara komşu olan α ve β gibi iki açıyı ve bu kenarın uzunluğunu biliyorsanız, çevreyi bulmak için a + sinα ∙ a / (sin (180 ° -α-β) formülünü kullanın. )) + sinβ ∙ a / (günah (180 ° -α-β))). 
Adım 3 Koşul, bitişik kenarları ve aralarındaki β açısını belirtiyorsa, çevreyi bulurken kosinüs teoremini dikkate alın. O zaman P = a + b + √ (a ^ 2 + b ^ 2-2 ∙ a ∙ b ∙ cosβ), burada a ^ 2 ve b ^ 2 komşu kenarların uzunluklarının kareleridir. Kökün altındaki ifade, kosinüs teoremi ile ifade edilen üçüncü bilinmeyen tarafın uzunluğudur. 
4adım Bir ikizkenar üçgen için, çevre formülü, a'nın kenarları ve b'nin tabanı olduğu P = 2a + b biçimini alır. Adım 5 P = 3a formülünü kullanarak düzgün bir üçgenin çevresini hesaplayın. Adım 6 Üçgenin içinde veya çevresinde yazılı yarıçapları kullanarak çevreyi bulun. Bu nedenle, bir eşkenar üçgen için, P = 6r√3 = 3R√3 formülünü hatırlayın ve kullanın; burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır. Adım 7 Bir ikizkenar üçgen için, α'nın tabandaki açı ve β'nın tabanın karşısındaki açı olduğu P = 2R (2sinα + sinβ) formülünü uygulayın.
Bir üçgenin çevresi, diğer herhangi bir şekil gibi, tüm kenarların uzunluklarının toplamıdır. Oldukça sık, bu değer alanı bulmaya yardımcı olur veya şeklin diğer parametrelerini hesaplamak için kullanılır.
Bir üçgenin çevre formülü şuna benzer:
Bir üçgenin çevresini hesaplamaya bir örnek. Kenarları a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm olan bir üçgen verilsin. Verileri aşağıdaki formülde yerine koyuyoruz: cm
Çevre hesaplama formülü ikizkenar üçgenşöyle görünecek:
Çevre hesaplama formülü eşkenar üçgen:
Bir eşkenar üçgenin çevresini hesaplama örneği. Şeklin tüm kenarları eşit olduğunda, basitçe üç ile çarpılabilirler. Diyelim ki size bir kenarı 5 cm olan bir Ozette üçgeni verildi bu durumda: cm
Genel olarak, tüm kenarlar verildiğinde, çevreyi bulmak oldukça kolaydır. Diğer durumlarda, eksik tarafın boyutunun bulunması gerekir. Dik açılı bir üçgende, üçüncü kenarı birlikte bulabilirsiniz. Pisagor teoremi... Örneğin, bacakların uzunlukları biliniyorsa, hipotenüsü aşağıdaki formülle bulabilirsiniz: 
Dik açılı bir ikizkenar üçgende bacakların uzunluğunu bilmemiz koşuluyla, bir ikizkenar üçgenin çevresini hesaplamanın bir örneğini düşünün.
Bacakları a = b = 5 cm olan bir üçgen verilmiş, çevresini bulunuz. İlk olarak, ile eksik tarafı bulalım. santimetre
Şimdi çevreyi hesaplayalım: cm
Dik açılı bir ikizkenar üçgenin çevresi 17 cm olacaktır.
Hipotenüs ve bir bacağın uzunluğunun bilinmesi durumunda, aşağıdaki formülü kullanarak eksik olanı bulabilirsiniz: 
Bir dik üçgende hipotenüs ve dar açılardan biri biliniyorsa, eksik taraf formülle bulunur.
Bir üçgenin çevresini nasıl bulabilirim? Bu soru okulda okuyan her birimiz tarafından soruldu. Bu muhteşem figür hakkında bildiğimiz her şeyi hatırlamaya çalışalım ve sorulan soruyu cevaplayalım.
Bir üçgenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunun cevabı genellikle oldukça basittir - sadece tüm kenarlarının uzunluklarını ekleme prosedürünü uygulamanız gerekir. Ancak istenilen değer için birkaç basit yöntem daha vardır.
Tavsiye
Üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı (r) ve alanı (S) biliniyorsa, üçgenin çevresi nasıl bulunur sorusunun cevabı oldukça basittir. Bunu yapmak için normal formülü kullanmanız gerekir:
Örneğin, kenara bitişik olan α ve β gibi iki açı ve kenarın kendisinin uzunluğu biliniyorsa, çevre, şu şekle sahip çok, çok popüler bir formül kullanılarak bulunabilir:
sinβ ∙ a / (günah (180 ° - β - α)) + sinα ∙ a / (günah (180 ° - β - α)) + bir
Bitişik kenarların uzunluklarını ve aralarındaki β açısını biliyorsanız, çevreyi bulmak için kosinüs teoremini kullanmanız gerekir. Çevre, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
P = b + a + √ (b2 + a2 - 2 ∙ b ∙ bir ∙ cosβ),
burada b2 ve a2, bitişik kenarların uzunluklarının kareleridir. Radikal ifade, kosinüs teoremi aracılığıyla ifade edilen, bilinmeyen üçüncü kenarın uzunluğudur.
Bir ikizkenar üçgenin çevresini nasıl bulacağınızı bilmiyorsanız, aslında burada zor bir şey yoktur. Formülü kullanarak hesaplayın:
burada b üçgenin tabanı ve kenarlarıdır.
Normal bir üçgenin çevresini bulmak için en basit formülü kullanın:
burada a kenar uzunluğudur.
Bir üçgenin çevresi, yalnızca çevresinde açıklanan veya içinde yazılı olan dairelerin yarıçapları biliniyorsa nasıl bulunur? Üçgen eşkenar ise, formül uygulanmalıdır:
P = 3R√3 = 6r√3,
burada R ve r sırasıyla çemberin ve çemberin yarıçaplarıdır.
Üçgen ikizkenar ise, formül ona uygulanır:
P = 2R (sinβ + 2sinα),
Burada α tabandaki açıdır ve β tabanın karşısındaki açıdır.
Çoğu zaman, matematik problemlerini çözmek, derin bir analiz ve gerekli formülleri bulma ve sonuç çıkarma konusunda özel bir yetenek gerektirir ve birçok kişinin bildiği gibi, bu oldukça zor bir iştir. Her ne kadar bazı problemler tek bir formülle çözülebilse de.
En çeşitli üçgen türlerine göre bir üçgenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunu yanıtlamak için temel olan formüllere bakalım.
Tabii ki, bir üçgenin çevresini bulmanın ana kuralı şu ifadedir: Bir üçgenin çevresini bulmak için, uygun formüle göre tüm kenarlarının uzunluklarını toplamanız gerekir:
burada b, a ve c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır ve P üçgenin çevresidir.
Bu formülün birkaç özel durumu vardır. Diyelim ki probleminiz şu şekilde formüle edildi: "dik açılı bir üçgenin çevresi nasıl bulunur?" Bu durumda aşağıdaki formülü kullanmalısınız:
P = b + a + √ (b2 + a2)
Bu formülde b ve a, dik açılı bir üçgenin bacaklarının doğrudan uzunluklarıdır. Yan c (hipotenüs) yerine, antik çağın büyük bilim adamı Pisagor'un teoremi ile elde edilen bir ifadenin kullanıldığını tahmin etmek kolaydır.
Üçgenlerin benzer olduğu bir sorunu çözmek istiyorsanız, bu ifadeyi kullanmak mantıklı olacaktır: çevrelerin oranı benzerlik katsayısına karşılık gelir. Diyelim ki iki benzer üçgeniniz var - ΔABC ve ΔA1B1C1. Daha sonra benzerlik katsayısını bulmak için ΔABC çevresini ΔA1B1C1 çevresine bölmek gerekir.
Sonuç olarak, bir üçgenin çevresinin, sahip olduğunuz ilk verilere bağlı olarak çeşitli teknikler kullanılarak bulunabileceği not edilebilir. Dik açılı üçgenler için bazı özel durumlar olduğunu da eklemek gerekir.
İçerik:
Çevre, 2B şeklin sınırlarının toplam uzunluğudur. Bir üçgenin çevresini bulmak istiyorsanız, tüm kenarlarının uzunluklarını toplamanız gerekir; Üçgenin en az bir kenarının uzunluğunu bilmiyorsanız, onu bulmanız gerekir. Bu makale size (a) bilinen üç kenar boyunca bir üçgenin çevresini nasıl bulacağınızı; (b) sadece iki kenarı biliniyorsa bir dik üçgenin çevresi nasıl bulunur; (c) iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde herhangi bir üçgenin çevresi nasıl bulunur (kosinüs teoremini kullanarak).
adımlar
1 Verilen üç tarafta
- 1 Çevreyi bulmak için formülü kullanın: P = a + b + c, burada a, b, c üç kenarın uzunluklarıdır, P çevredir.
- 2
Üç kenarın da uzunluklarını bulun.Örneğimizde: a = 5, b = 5, c = 5.
- Üç kenarı da aynı uzunlukta olduğu için eşkenar üçgendir. Ancak yukarıdaki formül herhangi bir üçgen için geçerlidir.
- 3
Çevreyi bulmak için üç kenarın uzunluklarını toplayın.Örneğimizde: 5 + 5 + 5 = 15, yani P = 15.
- Başka bir örnek: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Cevabınızda ölçü birimini belirtmeyi unutmayınız.Örneğimizde, kenarlar santimetre olarak ölçülmüştür, bu nedenle son cevabınız santimetreyi (veya problem ifadesinde belirtilen ölçü birimlerini) de içermelidir.
- Örneğimizde her bir kenar 5 cm olduğundan son cevap P = 15 cm'dir.
2 Dik açılı bir üçgenin verilen iki kenarı boyunca
- 1 Pisagor teoremini hatırlayın. Bu teorem, dik açılı bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlar ve matematikte en ünlü ve kullanılan teoremlerden biridir. Teorem, herhangi bir dik açılı üçgende kenarların aşağıdaki oranla bağlandığını söyler: a 2 + b 2 = c 2, burada a, b bacaklardır, c hipotenüstür.
- 2 Bir üçgen çizin ve kenarları a, b, c olarak etiketleyin. Bir dik üçgenin en uzun kenarı hipotenüstür. Bir dik açının karşısında yer alır. Hipotenüsü "c" olarak etiketleyin. Bacakları (dik açıya bitişik taraflar) "a" ve "b" olarak etiketleyin.
- 3
Bilinen tarafların değerlerini Pisagor teoremine koyun (a 2 + b 2 = c 2). Harfler yerine problem cümlesinde verilen sayıları yazınız.
- Örneğin, a = 3 ve b = 4. Bu değerleri Pisagor teoremi ile değiştirin: 3 2 + 4 2 = c 2.
- Başka bir örnek: a = 6 ve c = 10. Sonra: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Bilinmeyen tarafı bulmak için elde edilen denklemi çözün. Bunun için önce bilinen kenar uzunluklarının karesini alın (size verilen sayıyı kendisiyle çarpmanız yeterli). Hipotenüsü arıyorsanız, iki tarafın karelerini toplayın ve bu toplamdan karekökü çıkarın. Bir bacak arıyorsanız, hipotenüsün karesinden bilinen bacağın karesini çıkarın ve elde edilen bölümden karekökünü çıkarın.
- İlk örnekte: 3 2 + 4 2 = c 2; 9 + 16 = c2; 25 = c2; √25 = c. Yani c = 25.
- İkinci örnekte: 6 2 + b 2 = 10 2; 36 + b 2 = 100. 36'yı denklemin sağ tarafına getirin ve şunu elde edin: b 2 = 64; b = √64. Yani b = 8.
- 5
- İlk örneğimizde: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- İkinci örneğimizde: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Bu iki kenar boyunca ve aralarındaki açı
- 1 Bir üçgenin herhangi bir tarafı, size iki kenar ve aralarındaki açı verilirse, kosinüs teoremi tarafından bulunabilir. Bu teorem herhangi bir üçgen için geçerlidir ve çok kullanışlı bir formüldür. Kosinüs teoremi: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos (C), burada a, b, c üçgenin kenarları, A, B, C üçgenin karşılık gelen kenarlarının karşısındaki açılardır.
- 2 Bir üçgen çizin ve kenarları a, b, c olarak etiketleyin; karşılık gelen kenarların karşısındaki açıları A, B, C olarak belirtin (yani, "a" kenarının karşısındaki açıyı "A" olarak belirtin vb.).
- Örneğin, kenarları 10 ve 12 olan ve aralarındaki açı 97 ° olan bir üçgen, yani a = 10, b = 12, C = 97 °.
- 3
Verilen değerleri formüle takıp bilinmeyen "c" tarafını bulun.İlk olarak, bilinen kenarların uzunluklarını kareleyin ve elde edilen değerleri ekleyin. Sonra C açısının kosinüsünü bulun (hesap makinenizi veya çevrimiçi hesap makinenizi kullanarak). Bilinen kenarların uzunluklarını verilen açının kosinüsü ve 2 (2abcos (C)) ile çarpın. Elde edilen değeri iki tarafın karelerinin toplamından (a 2 + b 2) çıkarın ve c 2'yi elde edin. Bu değerden, "c" bilinmeyen kenarının uzunluğunu bulmak için karekökünü çıkarın. Örneğimizde:
- c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 = 100 + 144 - (240 × -0.12187)
- c 2 = 244 - (-29.25)
- c2 = 244 + 29.25
- c2 = 273,25
- c = 16.53
- 4
Çevreyi bulmak için üç kenarın uzunluklarını toplayın.Çevrenin şu formül kullanılarak hesaplandığını hatırlayın: P = a + b + c.
- Örneğimizde: P = 10 + 12 + 16.53 = 38.53.
