Bazı problemleri çözmek için, fonksiyon dönüşümlerini gerçekleştirmeyi çok daha kolaylaştıracak bir trigonometrik kimlikler tablosu faydalı olacaktır:

En basit trigonometrik özdeşlikler

Alfa açısının sinüsünün aynı açının kosinüsüne bölümü bu açının tanjantına eşittir (Formül 1). En basit trigonometrik kimliklerin dönüşümünün doğruluğunun kanıtına da bakın.
Alfa açısının kosinüsünün aynı açının sinüsüne bölümü, aynı açının kotanjantına eşittir (Formül 2)
Bir açının sekant değeri, bir bölü aynı açının kosinüsüne eşittir (Formül 3)
Aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı bire eşittir (Formül 4). kosinüs ve sinüsün karelerinin toplamının ispatına da bakınız.
Açının birimi ve tanjantının toplamı, birimin bu açının kosinüsünün karesine oranına eşittir (Formül 5)
Birim artı açının kotanjantı, birimin bu açının sinüs karesine bölümünün bölümüne eşittir (Formül 6)
Aynı açının teğet ve kotanjantının çarpımı bire eşittir (Formül 7).

Trigonometrik fonksiyonların negatif açılarını dönüştürme (çift ve tek)

Sinüs, kosinüs veya tanjantı hesaplarken açının derece ölçüsünün negatif değerinden kurtulmak için, çift veya tek trigonometrik fonksiyonların ilkelerine dayanan aşağıdaki trigonometrik dönüşümleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz.

Görüldüğü gibi, kosinüs ve sekant eşit fonksiyon, sinüs, teğet ve kotanjant tek fonksiyonlardır.

Negatif bir açının sinüsü, aynı pozitif açının sinüsünün negatif değerine eşittir (eksi alfa sinüsü).
Kosinüs "eksi alfa", alfa açısının kosinüsüyle aynı değeri verecektir.
Teğet eksi alfa eşittir eksi teğet alfa.

Çift açı indirgeme formülleri (çift açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı)

Açıyı ikiye bölmeniz veya tam tersi, çift açıdan tek bir açıya geçmeniz gerekiyorsa, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:

Çift Açı Dönüşümü (çift ​​açılı sinüs, çift açılı kosinüs ve çift açılı tanjant) tek bir hale aşağıdaki kurallara göre oluşur:

çift ​​açının sinüsü tek bir açının sinüsü ile kosinüsünün çarpımının iki katına eşittir

çift ​​açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesi ile bu açının sinüsünün karesi arasındaki farka eşittir

çift ​​açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesinin iki katı eksi bire eşittir

çift ​​açının kosinüsü bir eksi tek bir açının çift sinüs karesine eşittir

çift ​​açılı teğet payı bir tek açının tanjantının iki katı olan ve paydası bir eksi tek bir açının karesinin tanjantına eşit olan bir kesre eşittir.

Çift açılı kotanjant payı tek bir açının kotanjantının karesi eksi bir olan ve paydası tek bir açının kotanjantının iki katına eşit olan bir kesre eşittir

Evrensel Trigonometrik Yer Değiştirme Formülleri

Aşağıdaki dönüştürme formülleri, trigonometrik fonksiyonun (sin α, cos α, tg α) argümanını ikiye bölmeniz ve ifadeyi açının yarısı değerine getirmeniz gerektiğinde faydalı olabilir. α değerinden α/2 elde ederiz.

Bu formüller denir evrensel trigonometrik ikame formülleri. Değerleri, trigonometrik ifadenin, başlangıçta ifadede hangi trigonometrik fonksiyonların (sin cos tg ctg) olduğuna bakılmaksızın, onların yardımıyla yarım açının tanjantının ifadesine indirgenmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bundan sonra, yarım açının tanjantına sahip denklemi çözmek çok daha kolaydır.

Trigonometrik yarım açı dönüşüm kimlikleri

Aşağıda, bir açının değerinin yarısının tamsayı değerine trigonometrik dönüşümü için formüller bulunmaktadır.
α/2 trigonometrik fonksiyonunun bağımsız değişkeninin değeri, α trigonometrik işlevinin bağımsız değişkeninin değerine indirgenir.

Açıları eklemek için trigonometrik formüller

çünkü (α - β) = çünkü α çünkü β + sin α sin β

günah (α + β) = günah α çünkü β + günah β çünkü α

günah (α - β) = günah α çünkü β - günah β çünkü α
çünkü (α + β) = çünkü α çünkü β - günah α günah β

Açıların toplamının teğeti ve kotanjantı alfa ve beta, trigonometrik fonksiyonları dönüştürmek için aşağıdaki kurallara göre dönüştürülebilir:

açıların toplamının teğeti pay, birinci açının tanjantının ve ikinci açının tanjantının toplamı olan ve payda bir eksi birinci açının tanjantının ve ikinci açının tanjantının çarpımı olan bir kesre eşittir.

açı farkı teğet payı, indirgenmiş açının teğeti ile çıkarılacak açının teğeti arasındaki farka eşit olan ve paydası bir artı bu açıların teğetlerinin çarpımı olan bir kesre eşittir.

açıların toplamının kotanjantı payı bu açıların kotanjantlarının çarpımı artı bire eşit olan ve paydası ikinci açının kotanjantı ile birinci açının kotanjantı arasındaki farka eşit olan bir kesre eşittir.

açı farkının kotanjantı payı bu açıların kotanjantlarının çarpımı eksi bir olan ve paydası bu açıların kotanjantlarının toplamına eşit olan bir kesre eşittir.

Bu trigonometrik özdeşlikler, örneğin 105 derecenin tanjantını (tg 105) hesaplamanız gerektiğinde kullanışlıdır. tg (45 + 60) olarak temsil edilirse, o zaman açıların toplamının teğetinin verilen özdeş dönüşümlerini kullanabilirsiniz, bundan sonra teğet 45 ve teğetin tablo değerlerini değiştirirsiniz. 60 derece.

Trigonometrik fonksiyonların toplamını veya farkını dönüştürmek için formüller

sin α + sin β formunun toplamını temsil eden ifadeler, aşağıdaki formüller kullanılarak dönüştürülebilir:

Üçlü açı formülleri - sin3α cos3α tg3α'yı sinα cosα tgα'ya dönüştürün

Bazen açının üçlü değerini dönüştürmek gerekir, böylece α açısı 3α yerine trigonometrik fonksiyonun argümanı olur.
Bu durumda, üçlü açının dönüşümü için formülleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz:

Trigonometrik fonksiyonların çarpımını dönüştürmek için formüller

Farklı açılardaki kosinüslerin sinüslerinin çarpımını, hatta sinüs ve kosinüslerin çarpımını dönüştürmek gerekirse, aşağıdaki trigonometrik kimlikleri kullanabilirsiniz:


Bu durumda sinüs, kosinüs veya farklı açıların teğet fonksiyonlarının çarpımı bir toplama veya farka dönüştürülecektir.

Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller

Cast tablosunu aşağıdaki gibi kullanmanız gerekmektedir. Satırda, bizi ilgilendiren işlevi seçin. Sütun bir açıdır. Örneğin birinci satır ile birinci sütunun kesiştiği açının sinüsü (α+90), sin (α+90) = cos α olduğunu buluruz.

Sinüs nasıl bulunur?

Geometri çalışması düşünmeyi geliştirmeye yardımcı olur. Bu konu müfredatta yer almaktadır. Hayatta, bu konudaki bilgi yararlı olabilir - örneğin, bir daire planlarken.

Tarihten

Geometri dersinin bir parçası olarak, trigonometrik fonksiyonları araştıran trigonometri de incelenir. Trigonometride, bir açının sinüslerini, kosinüslerini, teğetlerini ve kotanjantlarını inceleriz.

Ama şimdilik en basitinden başlayalım - sinüs. Geometride bir açının sinüsü olan ilk konsepte daha yakından bakalım. Sinüs nedir ve nasıl bulunur?

"Açının sinüsü" kavramı ve sinüzoidler

Bir açının sinüsü, karşı bacağın değerlerinin bir dik üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Bu doğrudan bir trigonometrik fonksiyondur ve yazılı olarak "sin (x)" olarak yazılır, burada (x) üçgenin açısıdır.

Grafikte, bir açının sinüsü, kendi özelliklerine sahip bir sinüzoit ile gösterilir. Sinüzoid, koordinat düzleminde belirli sınırlar içinde kalan sürekli dalgalı bir çizgiye benzer. İşlev tektir, bu nedenle koordinat düzleminde 0'a göre simetriktir (koordinatların orijinini terk eder).

Bu fonksiyonun etki alanı, Kartezyen koordinat sisteminde -1 ile +1 arasında yer alır. Sinüs açı fonksiyonunun periyodu 2 Pi'dir. Bu, her 2 Pi'de bir modelin tekrarlandığı ve sinüs dalgasının tam bir döngüden geçtiği anlamına gelir.

sinüzoidal denklem

• günah x = bir / c
• burada a, üçgenin açısının karşısındaki bacaktır
• c - dik üçgenin hipotenüsü

Bir açının sinüsünün özellikleri

1. sin(x) = - sin(x). Bu özellik, fonksiyonun simetrik olduğunu gösterir ve x ve (-x) değerleri her iki yönde koordinat sisteminde bir kenara bırakılırsa bu noktaların ordinatları zıt olacaktır. Birbirlerine eşit mesafede olacaklar.
2. Bu fonksiyonun bir diğer özelliği de fonksiyonun grafiğinin [- P / 2 + 2 Pn] segmentinde artmasıdır; [P/2 + 2Pn], burada n herhangi bir tamsayıdır. Şu segmentte açının sinüsünün grafiğinde bir azalma gözlemlenecektir: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. x (2Pn, P + 2Pn) aralığında olduğunda sin (x) > 0
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Açının sinüs değerleri özel tablolarla belirlenir. Bu tür tablolar, karmaşık formülleri ve denklemleri hesaplama sürecini kolaylaştırmak için oluşturulmuştur. Kullanımı kolaydır ve sadece sin(x) fonksiyonunun değil diğer fonksiyonların değerlerini de içinde barındırır.

Ayrıca bu fonksiyonların standart değerleri tablosu çarpım tablosu gibi zorunlu hafıza çalışmasında yer almaktadır. Bu, özellikle fiziksel ve matematiksel önyargılı sınıflar için geçerlidir. Tabloda trigonometride kullanılan ana açıların değerlerini görebilirsiniz: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 ve 360 ​​derece.

Standart olmayan açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini tanımlayan bir tablo da bulunmaktadır. Farklı tabloları kullanarak bazı açıların sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını kolayca hesaplayabilirsiniz.

Denklemler trigonometrik fonksiyonlarla yapılır. Sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) ve diğerleri gibi basit trigonometrik kimlikleri ve fonksiyonların indirgenmelerini biliyorsanız, bu denklemleri çözmek kolaydır. Bu tür dökümler için ayrı bir tablo da derlenmiştir.

Bir açının sinüsü nasıl bulunur

Görev bir açının sinüsünü bulmak olduğunda ve koşula göre açının yalnızca kosinüs, teğet veya kotanjantına sahipsek, trigonometrik özdeşlikleri kullanarak neye ihtiyacımız olduğunu kolayca hesaplayabiliriz.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Bu denklemden, hangi değerin bilinmediğine bağlı olarak hem sinüs hem de kosinüs bulabiliriz. Bir bilinmeyenli trigonometrik denklem elde ederiz:

• günah 2 x = 1 - çünkü 2 x
• günah x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / günah 2 x

Bu denklemden, açının kotanjantının değerini bilerek sinüsün değerini bulabilirsiniz. Basitleştirmek için sin 2 x = y'yi değiştirin ve basit bir denklem elde edin. Örneğin, kotanjantın değeri 1'dir, o zaman:

• 1 + 1 = 1/yıl
• 2 = 1 / yıl
• 2y = 1
• y = 1/2

Şimdi oynatıcının tersini değiştiriyoruz:

• sin 2 x = ½
• günah x = 1 / √2

Standart açı (45 0) için kotanjant değerini aldığımız için, elde edilen değerler tabloya göre kontrol edilebilir.

Bir teğet değeriniz varsa, ancak sinüsü bulmanız gerekiyorsa, başka bir trigonometrik özdeşlik yardımcı olacaktır:

• tg x * ctg x = 1

Bunu takip eder:

• ctg x = 1 / tg x

Standart olmayan bir açının sinüsünü bulmak için, örneğin 240 0, açı azaltma formüllerini kullanmanız gerekir. π'nin bizim için 180 0'a karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece standart açıları kullanarak eşitliğimizi açılım yaparak ifade edeceğiz.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Şunu bulmamız gerekiyor: sin (180 0 + 60 0). Trigonometride, bu durumda faydalı olan indirgeme formülleri vardır. Bu formül:

• günah (π + x) = - günah (x)

Böylece, 240 derecelik bir açının sinüsü:

• günah (180 0 + 60 0) = - günah (60 0) = - √3/2

Bizim durumumuzda x = 60 ve P sırasıyla 180 derecedir. (-√3/2) değerini standart açıların fonksiyonlarının değer tablosundan bulduk.

Bu şekilde standart olmayan açılar ayrıştırılabilir, örneğin: 210 = 180 + 30.

Trigonometrinin temel formülleri, temel trigonometrik fonksiyonlar arasında ilişkiler kuran formüllerdir. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant birçok ilişkiyle birbirine bağlıdır. Aşağıda ana trigonometrik formülleri veriyoruz ve kolaylık olması için bunları amaçlarına göre gruplandırıyoruz. Bu formülleri kullanarak, standart trigonometri kursundaki hemen hemen her sorunu çözebilirsiniz. Aşağıda, ayrı makalelerin ayrılacağı türetilmelerinin değil, yalnızca formüllerin kendilerinin verildiğini hemen not ediyoruz.

Trigonometrinin temel kimlikleri

Trigonometrik özdeşlikler, bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant arasında bir ilişki vererek, bir fonksiyonun diğeri cinsinden ifade edilmesini sağlar.

trigonometrik kimlikler

günah 2 a + çünkü 2 a = 1 t g α = günah α çünkü α , c t g α = çünkü α günah α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 çünkü 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Bu özdeşlikler doğrudan birim çember, sinüs (sin), kosinüs (cos), tanjant (tg) ve kotanjant (ctg) tanımlarından gelir.

Döküm formülleri

Döküm formülleri, keyfi ve keyfi olarak büyük açılarla çalışmaktan 0 ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçmenizi sağlar.

Döküm formülleri

günah α + 2 π z = günah α , çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α günah - α + 2 π z = - sin α , çünkü - α + 2 π z = çünkü α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α günah π 2 + α + 2 π z = çünkü α , çünkü π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = günah α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - çünkü α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , çünkü π - α + 2 π z = - çünkü α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α günah 3 π 2 + α + 2 π z = - çünkü α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = günah α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - çünkü α , çünkü 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

İndirgeme formülleri, trigonometrik fonksiyonların periyodikliğinin bir sonucudur.

Trigonometrik toplama formülleri

Trigonometrideki toplama formülleri, açıların toplamının veya farkının trigonometrik fonksiyonunu bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade etmenizi sağlar.

Trigonometrik toplama formülleri

günah α ± β = günah α çünkü β ± çünkü α günah β çünkü α + β = çünkü α çünkü β - günah α günah β çünkü α - β = çünkü α çünkü β + günah α günah β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Toplama formüllerine dayanarak, çoklu açı için trigonometrik formüller türetilir.

Çoklu açı formülleri: ikili, üçlü vb.

Çift ve üçlü açı formülleri

günah 2 α \u003d 2 günah α çünkü α çünkü 2 α \u003d çünkü 2 α - günah 2 α, çünkü 2 α \u003d 1 - 2 günah 2 α, çünkü 2 α \u003d 2 çünkü 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α, t g 2 α ile \u003d t g 2 α - 1 2 ile t g α günah 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 günah 3 α çünkü 3 α = çünkü 3 α - 3 günah 2 α çünkü α , çünkü 3 α = - 3 çünkü α + 4 çünkü 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Yarım Açı Formülleri

Trigonometrideki yarım açı formülleri, çift açı formüllerinin bir sonucudur ve yarım açının temel fonksiyonları ile tüm açının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eder.

Yarım Açı Formülleri

günah 2 α 2 = 1 - çünkü α 2 çünkü 2 α 2 = 1 + çünkü α 2 t g 2 α 2 = 1 - çünkü α 1 + çünkü α c t g 2 α 2 = 1 + çünkü α 1 - çünkü α

İndirgeme formülleri

İndirgeme formülleri

günah 2 α = 1 - çünkü 2 α 2 çünkü 2 α = 1 + çünkü 2 α 2 günah 3 α = 3 günah α - günah 3 α 4 çünkü 3 α = 3 çünkü α + çünkü 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 çünkü 2 α + çünkü 4 α 8 çünkü 4 α = 3 + 4 çünkü 2 α + çünkü 4 α 8

Çoğu zaman, hesaplamalarda, hantal güçlerle çalışmak elverişsizdir. Derece azaltma formülleri, bir trigonometrik fonksiyonun derecesini keyfi olarak büyükten birinciye düşürmenize olanak tanır. İşte onların genel görüşü:

İndirgeme formüllerinin genel biçimi

çift ​​n için

günah n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

tek n için

günah n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n günah ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı

Trigonometrik fonksiyonların farkı ve toplamı bir ürün olarak gösterilebilir. Sinüs ve kosinüs farklarını çarpanlara ayırmak, trigonometrik denklemleri çözerken ve ifadeleri basitleştirirken kullanmak için çok uygundur.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı

günah α + günah β = 2 günah α + β 2 çünkü α - β 2 günah α - günah β = 2 günah α - β 2 çünkü α + β 2 çünkü α + çünkü β = 2 çünkü α + β 2 çünkü α - β 2 çünkü α - çünkü β \u003d - 2 günah α + β 2 günah α - β 2, çünkü α - çünkü β \u003d 2 günah α + β 2 günah β - α 2

Trigonometrik fonksiyonların çarpımı

Fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller onların ürününe gitmenize izin veriyorsa, trigonometrik fonksiyonların çarpımı için formüller, çarpımdan toplama doğru ters geçişi gerçekleştirir. Sinüs, kosinüs ve sinüsün kosinüs çarpımı için formüller dikkate alınır.

Trigonometrik fonksiyonların çarpımı için formüller

günah α günah β = 1 2 (çünkü (α - β) - çünkü (α + β)) çünkü α çünkü β = 1 2 (çünkü (α - β) + çünkü (α + β)) sin α çünkü β = 1 2 (günah (α - β) + günah (α + β))

Evrensel trigonometrik ikame

Tüm temel trigonometrik fonksiyonlar - sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant - yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilebilir.

Evrensel trigonometrik ikame

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Trigonometrik fonksiyonların değer tablosu

Not. Trigonometrik fonksiyonlar için bu değerler tablosu, karekökü belirtmek için √ işaretini kullanır. Bir kesri belirtmek için - "/" sembolü.

Ayrıca bakınız yararlı malzemeler:

İçin trigonometrik bir fonksiyonun değerini belirleme, trigonometrik işlevi gösteren çizginin kesişme noktasında bulun. Örneğin, 30 derecelik bir sinüs - sin (sinüs) başlıklı bir sütun arıyoruz ve tablonun bu sütununun "30 derece" satırıyla kesişimini buluyoruz, kesişme noktalarında sonucu okuyoruz - bir ikinci. Benzer şekilde, buluruz kosinüs 60 derece, sinüs 60 derece (yine sin (sine) sütunu ile 60 derece satırının kesiştiği noktada sin 60 = √3/2 değerini buluyoruz), vb. Aynı şekilde diğer "popüler" açıların sinüs, kosinüs ve teğet değerleri bulunur.

Pi'nin sinüsü, pi'nin kosinüsü, pi'nin tanjantı ve radyan cinsinden diğer açılar

Aşağıdaki kosinüs, sinüs ve teğet tablosu, argümanı şu olan trigonometrik fonksiyonların değerini bulmak için de uygundur: radyan cinsinden verilir. Bunu yapmak için açı değerlerinin ikinci sütununu kullanın. Bu sayede popüler açıların değerini dereceden radyana dönüştürebilirsiniz. Örneğin ilk satırdaki 60 derecelik açıyı bulup altındaki radyan cinsinden değerini okuyalım. 60 derece π/3 radyan'a eşittir.

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin açının derece ölçüsüne bağımlılığını benzersiz bir şekilde ifade eder. Yani pi radyan 180 dereceye eşittir.

Pi (radyan) cinsinden ifade edilen herhangi bir sayı, pi (π) sayısını 180 ile değiştirerek kolayca dereceye dönüştürülebilir..

örnekler:
1. sinüs pi.
günah π = günah 180 = 0
dolayısıyla pi'nin sinüsü, 180 derecenin sinüsü ile aynıdır ve sıfıra eşittir.

2. kosinüs pi.
çünkü π = çünkü 180 = -1
bu nedenle, pi'nin kosinüsü 180 derecenin kosinüsü ile aynıdır ve eksi bire eşittir.

3. teğet pi
tg π = tg 180 = 0
dolayısıyla pi'nin tanjantı 180 derecenin tanjantına eşittir ve sıfıra eşittir.

0 - 360 derece açılar için sinüs, kosinüs, teğet değerleri tablosu (sık değerler)

a açısı (derece)	a açısı radyan olarak (pi aracılığıyla)	günah (sinüs)	çünkü (kosinüs)	tg (teğet)	ctg (kotanjant)	saniye (sekant)	neden (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda, fonksiyonun değeri yerine bir kısa çizgi belirtilirse (teğet (tg) 90 derece, kotanjant (ctg) 180 derece), o zaman belirli bir derece ölçüsü değeri için açı, fonksiyonun belirli bir değeri yoktur. Tire yoksa, hücre boştur, bu nedenle henüz istenen değeri girmemişizdir. En yaygın açı değerlerinin kosinüs, sinüs ve teğet değerlerine ilişkin mevcut verilerin çoğunu çözmek için yeterli olmasına rağmen, kullanıcıların bize hangi taleplerle geldikleri ve tabloyu yeni değerlerle tamamladıkları ile ilgileniyoruz. problemler.

En popüler açılar için sin, cos, tg trigonometrik fonksiyonların değer tablosu
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 derece
("Bradis tablolarına göre sayısal değerler")

açı değeri α (derece)	α açısının radyan cinsinden değeri	günah (sinüs)	çünkü (kosinüs)	tg (teğet)	ctg (kotanjant)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant kavramları, matematiğin bir dalı olan trigonometrinin ana kategorileridir ve ayrılmaz bir şekilde bir açının tanımıyla bağlantılıdır. Bu matematik bilimine sahip olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasının yanı sıra gelişmiş uzamsal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.

trigonometride kavramlar

Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için önce bir dik üçgenin ve bir çemberdeki açının ne olduğuna ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğuna karar vermelisiniz. Açılarından biri 90 derece olan üçgen dik üçgendir. Tarihsel olarak, bu figür mimarlık, denizcilik, sanat, astronomi alanındaki insanlar tarafından sıklıkla kullanılmıştır. Buna göre, bu rakamın özelliklerini inceleyen ve analiz eden insanlar, parametrelerinin karşılık gelen oranlarını hesaplamaya geldi.

Dik üçgenlerle ilişkilendirilen ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs, bir üçgenin dik açının karşısındaki kenarıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, trigonometrinin okulda incelenmeyen bir bölümüdür, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamları tarafından kullanılır. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, her zaman 180 dereceden büyük açılara sahip olmasıdır.

bir üçgenin açıları

Bir dik üçgende, bir açının sinüsü, istenen açının karşısındaki bacağın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik bacak ile hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğu için bu değerlerin her ikisi de her zaman birden küçük bir değere sahiptir.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı bacağının komşu bacağa oranına veya sinüsün kosinüs değerine eşit bir değerdir. Kotanjant ise, istenen açının bitişik bacağının karşı kaktete oranıdır. Bir açının kotanjantı, birimi teğetin değerine bölerek de elde edilebilir.

birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan çemberdir. Böyle bir daire Kartezyen koordinat sisteminde oluşturulur, dairenin merkezi başlangıç ​​noktasıyla çakışır ve yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumu X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü tarafından belirlenir. Dairenin her noktasının iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinatın koordinatları. XX düzleminde daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip buradan apsis eksenine dikmeyi bırakarak, seçilen noktaya bir yarıçaptan oluşan bir dik üçgen elde ederiz (bunu C harfi ile gösterelim), dik çizilen X ekseni (kesişim noktası G harfi ile gösterilir) ve orijin (nokta A harfi ile gösterilir) ile kesişme noktası G arasında apsis ekseninin bir parçası. Ortaya çıkan ACG üçgeni, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs olduğu ve AC ve GC'nin bacaklar olduğu bir daire. AC dairesinin yarıçapı ile apsis ekseninin AG işaretli bölümü arasındaki açıyı α (alfa) olarak tanımlarız. Yani, cos α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu göz önüne alındığında, cos α=AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde sin α=CG.

Ek olarak, bu verileri bilerek, daire üzerindeki C noktasının koordinatını belirlemek mümkündür, çünkü cos α=AG ve sin α=CG, yani C noktası verilen koordinatlara sahiptir (cos α; sin α). Teğetin sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek, tg α \u003d y / x ve ctg α \u003d x / y olduğunu belirleyebiliriz. Negatif bir koordinat sistemindeki açılar dikkate alındığında, bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceği hesaplanabilir.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyonların değerleri

Birim çember aracılığıyla trigonometrik fonksiyonların özünü ele alarak, bu fonksiyonların bazı açılar için değerlerini türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik özdeşlikler

Trigonometrik fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değer bulunan denklemlere trigonometrik denir. sin x = α değerine sahip kimlikler, k herhangi bir tamsayıdır:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2. günah x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. günah x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arksin α + πk.

cos x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tamsayıdır:

1. çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

tg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tamsayıdır:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arktg α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tamsayıdır:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Döküm formülleri

Bu sabit formüller kategorisi, formun trigonometrik fonksiyonlarından argümanın fonksiyonlarına geçebileceğiniz, yani sinüs, kosinüs, teğet ve herhangi bir değerdeki açının kotanjantını açının karşılık gelen göstergelerine dönüştürebileceğiniz yöntemleri belirtir. daha fazla hesaplama kolaylığı için 0 ila 90 derece aralığı.

Bir açının sinüsü için fonksiyonları azaltma formülleri şöyle görünür:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = günah α.

Bir açının kosinüsü için:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + a) = -sin a;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - a) = -sin a;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala tabi olarak mümkündür. İlk olarak, açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak gösterilebilirse, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• cos'tan günah'a;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak temsil edilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkincisi, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Aynısı negatif fonksiyonlar için de geçerlidir.

Toplama Formülleri

Bu formüller trigonometrik fonksiyonları açısından iki dönüş açısının toplamının ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Açılar genellikle α ve β olarak gösterilir.

Formüller şöyle görünür:

1. günah(α ± β) = günah α * çünkü β ± çünkü α * günah.
2. çünkü(α ± β) = çünkü α * çünkü β ∓ günah α * günah.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

İkili ve üçlü açının trigonometrik formülleri, sırasıyla 2a ve 3a açılarının fonksiyonlarını α açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden elde edilen:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu dikkate alarak, bu formülü sadeleştirerek sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Çarpımdan toplama geçiş

Bu formüller, toplamın ürüne geçişine yönelik kimliklerden çıkar:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

İndirgeme formülleri

Bu kimliklerde, sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, bir çoklu açının birinci kuvvetinin sinüs ve kosinüs cinsinden ifade edilebilir:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Evrensel ikame

Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn iken;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), burada x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn iken.

Özel durumlar

En basit trigonometrik denklemlerin özel durumları aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için özel:

günah x değeri	x değeri
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk veya 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk veya -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk veya 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk veya -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk veya 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk veya -2π/3 + 2πk

Kosinüs bölümleri:

çünkü x değeri	x değeri
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Teğet için özel:

tg x değeri	x değeri
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotanjant bölümleri:

ctg x değeri	x değeri
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

teoremler

sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır - basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda sırasıyla a, b, c üçgenin kenarları ve α, β, γ karşılıklı açılardır.

Keyfi bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapını gösterir.

kosinüs teoremi

Kimlik şu şekilde görüntülenir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarları, α ise a kenarının karşısındaki açıdır.

teğet teoremi

Formül, iki açının teğetleri ile bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ şeklindedir. Teğet teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

kotanjant teoremi

Üçgenin içine çizilen dairenin yarıçapını kenarlarının uzunluğuyla ilişkilendirir. a, b, c bir üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C karşılıklı açıları ise, r çevrelenmiş dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarım çevresi ise, aşağıdaki özdeşlikler tutmak:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Uygulamalar

Trigonometri, yalnızca matematiksel formüllerle ilişkili teorik bir bilim değildir. Özellikleri, teoremleri ve kuralları, astronomi, hava ve deniz seyrüsefer, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimarlık, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm çalışmaları, bilgisayar grafikleri gibi insan faaliyetinin çeşitli dalları tarafından pratikte kullanılmaktadır. haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant, bir üçgende açılar ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade edebileceğiniz, özdeşlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla istediğiniz nicelikleri bulabileceğiniz trigonometrinin temel kavramlarıdır.