Bilgisayar bilimlerinde mantıksal denklemleri çevrimiçi çözün. Mantık. Mantık fonksiyonları. Denklemleri çözme

Noskin Andrey Nikolayeviç,
BT öğretmeni
en yüksek yeterlilik kategorisi,
Askeri Bilimler Adayı, Doçent
GBOU Lisesi No. 1575, Moskova

Bilgisayar bilimi ve BİT alanında KIM Birleşik Devlet Sınavından 23. problemi çözmek için optimize edilmiş haritalama yöntemi

Birleşik Devlet Sınavı KIM'deki en zor görevlerden biri, belirtilen koşulu karşılayan mantıksal değişkenlerin farklı değer kümelerinin sayısını bulmanız gereken problem 23'tür.
Bu görev belki de en zor görev Bilişim ve BİT alanında KIM Birleşik Devlet Sınavı. Kural olarak, sınava girenlerin %5'inden fazlası bununla baş edemiyor (1).
Bu görevi tamamlayan öğrencilerin bu kadar küçük bir yüzdesi şu şekilde açıklanmaktadır:
- öğrenciler mantıksal işlemlerin işaretlerini karıştırabilir (unutabilir);
- hesaplamaların yapılması sürecindeki matematiksel hatalar;
- bir çözüm ararken akıl yürütmede hatalar;
- mantıksal ifadeleri basitleştirme sürecindeki hatalar;
- öğretmenler, tüm işi tamamladıktan sonra bu sorunu çözmeyi tavsiye ediyor, çünkü
hatalar çok büyüktür ve görevin “ağırlığı” yalnızca bir temel noktadır.
Ayrıca bazı öğretmenlerin kendileri de bu tür problemleri çözmekte zorluk çekmekte ve bu nedenle çocuklarla daha basit problemleri çözmeye çalışmaktadırlar.
Ayrıca durumu karmaşıklaştıran şey, bu blokta çok sayıdaçeşitli görevler ve bir şablon çözümü seçmek imkansızdır.
Bu durumu düzeltmek için pedagojik topluluk, sorunları çözmek için ana iki yöntemi sonlandırıyor bu türden: bit zincirlerini (2) ve eşleme yöntemini (3) kullanan çözüm.
Bu yöntemleri iyileştirme (optimize etme) ihtiyacı, görevlerin hem yapı hem de değişken sayısı açısından sürekli değişmesinden kaynaklanmaktadır (yalnızca bir tür X değişkeni, iki tür X ve Y değişkeni, üç tür: X, Y , Z).
Sorunları çözmek için bu yöntemlere hakim olmanın zorluğu, K.Yu. Polyakov'un bu tür problemlere ilişkin 38 analizi bulunmaktadır (4). Bazı analizler bir soruna birden fazla türde çözüm sağlar.
Son zamanlarda Bilgisayar bilimlerinde KIM Birleşik Devlet Sınavında X ve Y değişkenleriyle ilgili iki tür sorun vardır.
Görüntüleme yöntemini optimize ettim ve öğrencilerimi geliştirilmiş yöntemi kullanmaya teşvik ettim.
Bu sonuç verir. Bu görevi başaran öğrencilerimin yüzdesi geçenlere göre %43'e kadar çıkıyor. Kural olarak, her yıl 11. sınıfların tamamından 25 ila 33 kişi bilgisayar bilimlerinde Birleşik Devlet Sınavına girer.
İki tür değişkenli problemler ortaya çıkmadan önce öğrenciler haritalama yöntemini çok başarılı bir şekilde kullanıyorlardı ancak mantıksal ifadede Y'nin ortaya çıkmasından sonra çocukların cevaplarının artık testlerle örtüşmediğini fark etmeye başladım. Yeni bir değişken türüyle eşleme tablosunun nasıl oluşturulacağı konusunda tam olarak net olmadıkları ortaya çıktı. Sonra kolaylık sağlamak için tüm ifadenin çocuklar için uygun olduğu gibi tek bir değişken türüne indirgenmesi gerektiği düşüncesi aklıma geldi.
Bu tekniği daha ayrıntılı olarak anlatacağım. Kolaylık sağlamak için, (4)'te verilen mantıksal ifadeler sistemi örneğini kullanarak bunu ele alacağım.
Kaç tane çeşitli çözümler mantıksal denklemler sistemi vardır

(x 1 ^ ve 1)=(¬x 2 V ¬ sen 2 )
(x 2 ^ ve 2)= (¬ X 3 V ¬ sen 3 )
...
(x 5 ^ y 5) = (¬ X 6 V ¬ sen 6 )

NeredeX 1 , …, X 6 , sen 1 , …, sen 6 , - mantıksal değişkenler? Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu tüm farklı değişken değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.
Çözüm:
1. Mantıksal denklem sisteminin analizinden 6 değişkenin olduğunu görüyoruz. X ve 6 değişken sen. Bu değişkenlerden herhangi biri yalnızca iki değer (0 ve 1) alabildiğinden, bu değişkenleri aynı türden 12 değişkenle (örneğin Z) değiştiriyoruz.
2. Şimdi sistemi aynı türden yeni değişkenlerle yeniden yazalım. Görevin zorluğu değişkenleri değiştirirken dikkatli notlar almak olacaktır.

(z1 ^ z2)= (¬z 3V¬ z 4 )
(z3 ^ z4)= (¬ z 5 V¬ z 6 )
...
(z9 ^ z10) = (¬ z 11 V¬ z 12)

3. Tüm seçenekleri gözden geçireceğimiz bir tablo oluşturalım z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , ilk mantıksal denklemde dört değişken olduğundan tablonun 16 satırı olacaktır (16=2 4); bu tür değerleri tablodan kaldır z 4 , ilk denklemin çözümü yoktur (üstü çizili sayılar).


0	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1
1	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1

4. Tabloyu analiz ederek değişken çiftlerini görüntülemek için bir kural oluşturuyoruz (örneğin, bir çift) Z 1 Z 2 =00 karşılık gelirçift Z 3 Z 4 = 11) .

5. Sistemin çözümü olan değişken çiftlerinin sayısını hesaplayarak tabloyu doldurun.

6. Tüm sonuçları toplayın: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. Cevap: 54.
Birleşik Devlet Sınavı KIM'deki 23. problemi çözmek için yukarıda optimize edilen metodoloji, öğrencilerin güvenlerini yeniden kazanmalarına ve bu tür problemleri başarıyla çözmelerine olanak tanıdı.

Edebiyat:

1.FIPI. Yönergeleröğretmenler için, BİLGİSAYAR BİLİMİ ve BİT alanında 2015 Birleşik Devlet Sınavı katılımcılarının yaptığı tipik hataların analizine dayanarak hazırlanmıştır. Erişim modu: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf

2.K.Yu. Polyakov, M.A. Roitberg.Mantıksal denklem sistemleri: bit dizileri kullanılarak çözüm. Bilişim Dergisi, Sayı: 12, 2014, s. 4-12. Yayınevi "1 Eylül", Moskova.
3. E.A. Mironçik, Görüntüleme yöntemi. Dergi Bilişim, Sayı 10, 2013, s. 18-26. Yayınevi "1 Eylül", Moskova.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, burada J, K, L, M, N mantıksal değişkenlerdir?

Açıklama.

(N ∨ ¬N) ifadesi herhangi bir N için doğrudur, dolayısıyla

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Mantıksal denklemin her iki tarafına da olumsuzlama uygulayalım ve De Morgan yasasını kullanalım ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1 elde ederiz.

Mantıksal toplam, onu oluşturan ifadelerden en az biri 1'e eşitse 1'e eşittir. Bu nedenle, ortaya çıkan denklem, denklemde yer alan tüm niceliklerin 0'a eşit olduğu durum dışında, mantıksal değişkenlerin herhangi bir kombinasyonu tarafından sağlanır. 4 değişken 1 veya 0'a eşit olabilir, dolayısıyla tüm olası kombinasyonlar 2·2·2·2 = 16'dır. Dolayısıyla denklemin 16 −1 = 15 çözümü vardır.

Bulunan 15 çözümün iki çözümden herhangi birine karşılık geldiğini belirtmekte fayda var. olası değerler Mantıksal değişken N'nin değerleri, dolayısıyla orijinal denklemin 30 çözümü vardır.

Cevap: 30

Denklemin kaç farklı çözümü var?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

J, K, L, M, N mantıksal değişkenler nerede?

Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu J, K, L, M ve N'nin tüm farklı değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Açıklama.

A → B = ¬A ∨ B ve ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B formüllerini kullanırız

İlk alt formülü ele alalım:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

İkinci alt formülü ele alalım

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Üçüncü alt formülü ele alalım

1) M → J = 1 dolayısıyla,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Birleştirelim:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 dolayısıyla 4 çözüm.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Birleştirelim:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L dolayısıyla 4 çözüm.

c) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Cevap: 4 + 4 = 8.

Cevap: 8

Denklemin kaç farklı çözümü var?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

K, L, M, N mantıksal değişkenler nerede? Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu K, L, M ve N'nin tüm farklı değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekir.

Açıklama.

İşlemler için daha basit gösterim kullanarak denklemi yeniden yazalım:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) "içerim" işleminin doğruluk tablosundan (ilk soruna bakınız), bu eşitliğin ancak ve ancak aynı anda doğru olduğu sonucu çıkar

K + L = 1 ve L M N = 0

2) birinci denklemden, değişkenlerden en az birinin (K veya L) 1'e (veya her ikisinin birlikte) eşit olduğu sonucu çıkar; o halde üç durumu ele alalım

3) eğer K = 1 ve L = 0 ise, herhangi bir M ve N için ikinci eşitlik sağlanır; İki Boole değişkeninin (00, 01, 10 ve 11) 4 kombinasyonu olduğundan 4 farklı çözümümüz var

4) eğer K = 1 ve L = 1 ise ikinci eşitlik M · N = 0 için geçerlidir; böyle 3 kombinasyon var (00, 01 ve 10), 3 çözümümüz daha var

5) eğer K = 0 ise L = 1 (ilk denklemden); bu durumda ikinci eşitlik M · N = 0 olduğunda sağlanır; böyle 3 kombinasyon var (00, 01 ve 10), 3 çözümümüz daha var

6) Toplamda 4 + 3 + 3 = 10 çözüm elde ederiz.

Cevap: 10

Denklemin kaç farklı çözümü var?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Açıklama.

İfade, (K ∧ L) ve (M ∧ N)'nin sırasıyla 01, 11, 10'a eşit olduğu üç durumda doğrudur.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N 1'e eşittir ve K ve L aynı anda 1 dışında herhangi bir şeydir. Bu nedenle 3 çözüm vardır.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 çözüm.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 çözüm.

Cevap: 7.

Cevap: 7

Denklemin kaç farklı çözümü var?

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

X, Y, Z, P mantıksal değişkenler nerede? Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu tüm farklı değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak sadece bu tür setlerin sayısını belirtmeniz yeterlidir.

Açıklama.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Mantıksal VEYA yalnızca bir durumda yanlıştır: her iki ifade de yanlış olduğunda.

Buradan,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Bu nedenle denklemin tek çözümü vardır.

Cevap 1

Denklemin kaç farklı çözümü var?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

K, L, M, N mantıksal değişkenler nerede? Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu K, L, M ve N'nin tüm farklı değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak sadece bu tür setlerin sayısını belirtmeniz yeterlidir.

Açıklama.

Mantıksal Ve yalnızca tek bir durumda doğrudur: tüm ifadeler doğru olduğunda.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Denklemlerin her biri 3 çözüm verir.

A ∧ B = 1 denklemini düşünün, eğer hem A hem de B üç durumda doğru değerleri alıyorsa, o zaman denklemin toplamda 9 çözümü vardır.

Bu nedenle cevap 9'dur.

Cevap: 9

Denklemin kaç farklı çözümü var?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

A, B, C, D mantıksal değişkenler nerede?

Cevabın, bu eşitliğin geçerli olduğu tüm farklı A, B, C, D değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Açıklama.

İfadelerden en az biri doğru olduğunda mantıksal "VEYA" doğrudur.

(D ∧ ¬D)= 0 herhangi bir D için.

Buradan,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, bu bize her D için 3 olası çözüm sunar.

Herhangi bir D için (D ∧ ¬ D)= 0, bu da bize iki çözüm verir (D = 1 için, D = 0).

Bu nedenle: toplam çözümler 2*3 = 6.

Toplam 6 çözüm.

Cevap: 6

Denklemin kaç farklı çözümü var?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

Açıklama.

Denklemin her iki tarafına da olumsuzluk uygulayalım:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Mantıksal VEYA üç durumda doğrudur.

Seçenek 1.

K ∧ L ∧ M = 1, o zaman K, L, M = 1 ve ¬L ∧ M ∧ N = 0. N keyfidir, yani 2 çözümdür.

Seçenek 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, o zaman N, M = 1; L = 0, K herhangi biri, yani 2 çözüm.

Bu nedenle cevap 4'tür.

Cevap: 4

A, B ve C ifadenin doğru olduğu tam sayılardır

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

A = 45 ve C = 43 ise B neye eşittir?

Açıklama.

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) bu basit ifadeler ∧ (VE, bağlaç) işlemiyle bağlantılıdır, yani aynı anda yürütülmeleri gerekir;

3) ¬(A = B)=1'den hemen A B çıkar;

4) A > B olduğunu varsayarsak ikinci koşuldan 1→(B > C)=1 elde ederiz; bu ifade ancak ve ancak B > C = 1 ise doğru olabilir;

5) dolayısıyla A > B > C var, yalnızca 44 sayısı bu duruma karşılık geliyor;

6) Her ihtimale karşı A seçeneğini de kontrol edelim 0 →(B > C)=1;

bu ifade herhangi bir B için doğrudur; Şimdi üçüncü koşula bakıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

bu ifade ancak ve ancak C > B ise doğru olabilir ve burada bir çelişkiyle karşı karşıyayız çünkü C > B > A olacak bir B sayısı yoktur.

Cevap: 44.

Cevap: 44

Mantıksal bir fonksiyon için doğruluk tablosu oluşturun

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

A argümanının değerler sütunu 27 sayısının ikili gösterimi, B argümanının değerler sütunu 77 sayısı, C argümanının değerler sütunu 120 sayısıdır. Sayı sütunda yukarıdan aşağıya doğru en önemliden en az anlamlıya (sıfır seti dahil) doğru yazılır. X fonksiyonunun değerlerinin ortaya çıkan ikili gösterimini ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Açıklama.

İşlemler için daha basit gösterim kullanarak denklemi yazalım:

1) bu üç değişkenli bir ifadedir, dolayısıyla doğruluk tablosunda çizgiler olacaktır; bu nedenle A, B ve C tablo sütunlarını oluşturmak için kullanılan sayıların ikili gösterimi 8 basamaktan oluşmalıdır

2) 27, 77 ve 120 sayılarını ikili sisteme dönüştürün ve sayıların başına hemen 8 basamağa kadar sıfır ekleyin

3) her kombinasyon için X fonksiyonunun değerlerini hemen yazabilmeniz pek mümkün değildir, bu nedenle ara sonuçları hesaplamak için tabloya ek sütunlar eklemek uygundur (aşağıdaki tabloya bakın)

A	İÇİNDE	İLE
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) tablo sütunlarını doldurun:

A	İÇİNDE	İLE					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

değer yalnızca A = B olan satırlarda 1'dir

B veya C = 1 olan satırlarda değer 1'dir

değer yalnızca A = 1 ve B + C = 0 olan satırlarda 0'dır

değer önceki sütunun tersidir (0, 1 ile değiştirilir ve 1, 0 ile değiştirilir)

X'in (son sütun) sonucu iki sütunun mantıksal toplamıdır ve

5) Cevabı almak için X sütunundaki bitleri yukarıdan aşağıya yazın:

6) bu sayıyı ondalık sisteme dönüştürün:

Cevap: 171

(10 (X+1)·(X+2)) ifadesinin doğru olduğu en büyük X tam sayısı nedir?

Açıklama.

Bir denklem, iki ilişki arasındaki bir çıkarım işlemidir:

1) Elbette burada örnek 2208'deki yöntemin aynısını uygulayabilirsiniz ancak çözmeniz gerekecek ikinci dereceden denklemler(İstemiyorum…);

2) Koşullu olarak yalnızca tamsayılarla ilgilendiğimizi unutmayın, bu nedenle orijinal ifadeyi bir şekilde dönüştürmeye çalışarak eşdeğer bir ifade elde edebiliriz (köklerin kesin değerleriyle hiç ilgilenmiyoruz!);

3) Eşitsizliği göz önünde bulundurun: Açıkçası, bu ya pozitif ya da negatif bir sayı olabilir;

4) Etki alanında ifadenin tüm tamsayılar için ve etki alanında tüm tamsayılar için doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (kafanın karışmaması için katı olmayan eşitsizliklerin kullanılması daha uygundur ve bunun yerine Ve );

5) Bu nedenle tamsayılar için eşdeğer bir ifadeyle değiştirilebilir

6) bir ifadenin doğruluk alanı iki sonsuz aralığın birleşimidir;

7) Şimdi ikinci eşitsizliği düşünün: bunun aynı zamanda pozitif ya da negatif bir sayı olabileceği açıktır;

8) Bölgede ifade tüm tamsayılar için doğrudur ve bölgede tüm tamsayılar için doğrudur, bu nedenle tamsayılar için eşdeğer bir ifadeyle değiştirilebilir

9) ifadenin doğruluk alanı kapalı bir aralıktır;

10) Verilen ifade ve ;

11) Lütfen değerin artık uygun olmadığını unutmayın, çünkü orada ve , yani ima 0 verir;

12) Koşulu karşılayan 2, (10 (2+1) · (2+2)) veya 0 → 0'ı yerine koyarken.

Yani cevap 2'dir.

Cevap: 2

İfadenin doğru olduğu en büyük X tam sayısı nedir

(50 (X+1)·(X+1))?

Açıklama.

Anlam dönüşümünü uygulayalım ve ifadeyi dönüştürelim:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Mantıksal VEYA, en az bir mantıksal ifade doğru olduğunda doğrudur. Her iki eşitsizliği de çözdükten sonra, bunlardan en az birinin sağlandığı en büyük tam sayının 7 olduğunu görüyoruz (şekilde ikinci eşitsizliğin pozitif çözümü sarı, birincisi mavi ile gösterilmiştir).

Cevap: 7

Mantıksal ifadenin bulunduğu K, L, M, N değişkenlerinin değerlerini belirtin

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

YANLIŞ. Cevabı 4 karakterlik bir dize olarak yazın: K, L, M ve N değişkenlerinin değerleri (bu sırayla). Yani örneğin 1101 satırı K=1, L=1, M=0, N=1 gerçeğine karşılık gelir.

Açıklama.

Görev 3584'ü çoğaltır.

Cevap: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Açıklama.

Anlam dönüşümünü uygulayalım:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Denklemin her iki tarafına da olumsuzluk uygulayalım:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Haydi dönüştürelim:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Bu nedenle, M = 0, N = 0, şimdi düşünün (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

M = 0, N = 0 olmasından M ∧ L = 0, sonra ¬K ∧ L = 1, yani K = 0, L = 1 sonucu çıkar.

Cevap: 0100

Mantıksal ifadenin geçerli olduğu K, L, M, N değişkenlerinin değerlerini belirtin

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

YANLIŞ. Cevabınızı dört karakterden oluşan bir dize olarak yazın: K, L, M ve N değişkenlerinin değerleri (bu sırayla). Yani örneğin 1101 satırı K=1, L=1, M=0, N=1 gerçeğine karşılık gelir.

Açıklama.

Denklemi daha basit işlem gösterimini kullanarak yazalım (“ifadenin yanlış olması” koşulu, mantıksal sıfıra eşit olduğu anlamına gelir):

1) koşulun formülasyonundan, ifadenin yalnızca bir değişken kümesi için yanlış olması gerektiği sonucu çıkar

2) "İçerim" işleminin doğruluk tablosundan, bu ifadenin ancak ve ancak aynı zamanda yanlış olduğu sonucu çıkar

3) ilk eşitlik (mantıksal çarpım 1'e eşittir) ancak ve ancak ve olması durumunda sağlanır; bundan şu sonuç çıkar (mantıksal toplam sıfıra eşittir), bu ancak şu durumlarda gerçekleşebilir; Böylece, zaten üç değişken tanımladık

4) ikinci koşuldan , for ve elde ederiz.

Görevi çoğaltır

Cevap: 1000

Mantıksal ifadenin geçerli olduğu P, Q, S, T mantıksal değişkenlerinin değerlerini belirtin.

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) yanlıştır.

Cevabı dört karakterden oluşan bir dize olarak yazın: P, Q, S, T değişkenlerinin değerleri (bu sırayla).

Açıklama.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Anlam dönüşümünü uygulayalım:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Cevap: 0100

Mantıksal ifadenin geçerli olduğu K, L, M, N değişkenlerinin değerlerini belirtin

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

Açıklama.

Mantıksal VEYA yalnızca her iki ifadenin de yanlış olması durumunda yanlıştır.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

İlk ifadeye çıkarım dönüşümünü uygulayalım:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

İkinci ifadeyi düşünün:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (ilk ifadenin sonucuna bakın) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Cevap: 1001.

Cevap: 1001

Mantıksal ifadenin geçerli olduğu K, L, M, N değişkenlerinin değerlerini belirtin

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

doğru. Cevabınızı dört karakterden oluşan bir dize olarak yazın: K, L, M ve N değişkenlerinin değerleri (bu sırayla). Yani örneğin 1101 satırı K=1, L=1, M=0, N=1 gerçeğine karşılık gelir.

Açıklama.

Mantıksal "VE" ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur.

1) (K → M) = 1 Çıkarım dönüşümünü uygulayın: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Çıkarım dönüşümünü uygulayın: ¬K ∨ ¬M = 1

Buradan K = 0 çıkar.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Çıkarım dönüşümünü uygulayın: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1, K = 0 olmasından şunu elde ederiz:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

Cevap: 0011

X, Y ve Z tam sayıları için aşağıdaki ifadenin doğru olduğu bilinmektedir:

(Z X=25 ve Y=48 ise Z neye eşittir?

Açıklama.

Sayıları değiştirdikten sonra Z = 47 elde ederiz.

Lütfen bu karmaşık ifadenin üç basit ifadeden oluştuğunu unutmayın.

1) (Z 2) bu basit ifadeler ∧ (VE, bağlaç) işlemiyle bağlantılıdır, yani aynı anda yürütülmeleri gerekir.

3) ¬(Z+1 24 ve ¬(Z+1 47) itibaren.

4) (ZZ Cevap: 47)'den.

Cevap: 47

A, B ve C aşağıdaki ifadenin doğru olduğu tam sayılardır:

(C A=45 ve B=18 ise C’nin değeri nedir?

Açıklama.

Mantıksal "VE" ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur.

Sayıları ifadede yerine koyalım:

1) (C(C2) ¬(C+1, C ≥ 44.

3) ¬(C+1, C ≥ 17.

2) ve 1)'den şu sonuç çıkıyor: C

Cevap: 44

¬(A = B) ∧ ((B A)) ∧ ((A 2C))

C = 8 ve B = 18 ise A'nın değeri nedir?

Açıklama.

Mantıksal "VE" ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur.

1) ¬(A = B) = 1, yani A ≠ 18 = 1.

2) ((B A)) Çıkarım dönüşümünü uygulayın: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1

3) (A 2C) Anlam dönüşümünü uygulayın: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1

2) ve 3)'ten (18 > A) ve (A > 16) sonucu çıkar, aksi takdirde bir çelişki ortaya çıkar: A = 17.

Cevap: 17

A, B ve C ifadenin doğru olduğu tam sayılardır

¬(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))

A = 45 ve C = 18 ise B'nin değeri nedir?

Açıklama.

Mantıksal "VE" yalnızca tüm ifadelerin doğru olması durumunda doğrudur.

seçebilirsiniz çeşitli yollar Mantıksal denklem sistemlerini çözme. Bu, tek bir denkleme indirgeme, doğruluk tablosu oluşturma ve ayrıştırmadır.

Görev: Bir mantıksal denklem sistemini çözün:

Hadi düşünelim bir denkleme indirgeme yöntemi . Bu yöntem, mantıksal denklemlerin, sağ tarafları doğruluk değerine (yani 1) eşit olacak şekilde dönüştürülmesini içerir. Bunu yapmak için mantıksal olumsuzlama işlemini kullanın. Daha sonra, denklemler karmaşık mantıksal işlemler içeriyorsa, bunları temel olanlarla değiştiririz: "VE", "VEYA", "DEĞİL". Bir sonraki adım, “VE” mantıksal işlemini kullanarak denklemleri sisteme eşdeğer bir şekilde birleştirmektir. Bundan sonra ortaya çıkan denklemi mantıksal cebir yasalarına göre dönüştürüp elde etmelisiniz. özel çözüm sistemler.

Çözüm 1:İlk denklemin her iki tarafına ters çevirme uygulayın:

“VEYA” ve “DEĞİL” temel işlemleri aracılığıyla bunun ne anlama geldiğini hayal edelim:

Denklemlerin sol tarafları 1'e eşit olduğundan, bunları "VE" işlemini kullanarak orijinal sisteme eşdeğer bir denklemde birleştirebiliriz:

İlk parantezi De Morgan yasasına göre açıyoruz ve elde edilen sonucu dönüştürüyoruz:

Ortaya çıkan denklemin tek bir çözümü vardır: A =0, B=0 ve C=1.

Bir sonraki yöntem doğruluk tabloları oluşturma . Mantıksal niceliklerin yalnızca iki değeri olduğundan, tüm seçenekleri gözden geçirebilir ve aralarında belirli bir denklem sisteminin karşılandığı seçenekleri bulabilirsiniz. Yani bir tane inşa ediyoruz genel tablo Sistemin tüm denklemleri için doğruluk ve gerekli değerleri içeren doğruyu bulun.

Çözüm 2: Sistem için bir doğruluk tablosu oluşturalım:








0	0	1	1	0	1

Görev koşullarının karşılandığı satır kalın harflerle vurgulanmıştır. Yani A=0, B=0 ve C=1.

Yol ayrışma . Buradaki fikir, değişkenlerden birinin değerini sabitlemek (bunu 0 veya 1'e eşitlemek) ve böylece denklemleri basitleştirmektir. Daha sonra ikinci değişkenin değerini düzeltebilirsiniz, vb.

Çözüm 3: A = 0 olsun, o zaman:

İlk denklemden B = 0 ve ikinciden - C = 1 elde ederiz. Sistemin çözümü: A = 0, B = 0 ve C = 1.

Bilgisayar bilimlerindeki Birleşik Devlet Sınavında, çoğu zaman bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını, çözümleri kendileri bulmadan belirlemek gerekir; bunun için de belirli yöntemler vardır. Bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını bulmanın ana yoludeğişkenleri değiştirmek. Öncelikle denklemlerin her birini mantıksal cebir yasalarına göre mümkün olduğunca basitleştirmeniz, ardından denklemlerin karmaşık kısımlarını yeni değişkenlerle değiştirip çözüm sayısını belirlemeniz gerekir. yeni sistem. Daha sonra değiştirme işlemine geri dönün ve bunun için çözüm sayısını belirleyin.

Görev:(A →B) + (C →D) = 1 denkleminin kaç çözümü var? A, B, C, D mantıksal değişkenlerdir.

Çözüm: Yeni değişkenleri tanıtalım: X = A →B ve Y = C →D. Yenilik dikkate alındığında değişken denklem X + Y = 1 şeklinde yazılacaktır.

Ayrışma üç durumda doğrudur: (0;1), (1;0) ve (1;1), X ve Y çıkarımlardır, yani üç durumda doğru ve birinde yanlıştır. Bu nedenle (0;1) durumu üç olası parametre kombinasyonuna karşılık gelecektir. Durum (1;1) – orijinal denklemin dokuz olası parametre kombinasyonuna karşılık gelecektir. Yani toplam Muhtemel çözümler bu denklemin 3+9=15.

Bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını belirlemenin bir sonraki yolu şudur: ikili ağaç. Hadi düşünelim Bu methodÖrneğin.

Görev: Mantıksal denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır:

Verilen denklem sistemi aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

(X 1 → X 2 )*(X 2 → X 3 )*…*(xm -1 → xm) = 1.

Öyleymiş gibi yapalım X 1 – doğruysa, ilk denklemden bunu elde ederiz X 2 ikincisinden itibaren de doğru - X 3 =1 ve bu şekilde devam edene kadar xm= 1. Bu, m birimlik (1; 1; …; 1) kümesinin sistemin bir çözümü olduğu anlamına gelir. Şimdi izin ver X 1 =0 ise elimizdeki ilk denklemden X 2 =0 veya X 2 =1.

Ne zaman X 2 doğruysa, geri kalan değişkenlerin de doğru olduğunu, yani (0; 1; ...; 1) kümesinin sistemin bir çözümü olduğunu elde ederiz. Şu tarihte: X 2 =0 bunu anladık X 3 =0 veya X 3 = vb. Son değişkene devam edersek, denklemin çözümlerinin aşağıdaki değişken kümeleri olduğunu görüyoruz (m +1 çözüm, her çözüm değişkenlerin m değerini içerir):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Bu yaklaşım, bir ikili ağaç oluşturularak iyi bir şekilde gösterilmiştir. Olası çözümlerin sayısı, oluşturulan ağacın farklı dallarının sayısıdır. m+1'e eşit olduğunu görmek kolaydır.

	Ağaç	Çözüm sayısı
x 1
x 2
x 3
		…

Muhakemede zorluk yaşanması durumunda araştırma ve inşaatbir çözüm arayabileceğiniz çözümlerin sayısı kullanarak doğruluk tabloları, bir veya iki denklem için.

Denklem sistemini şu şekilde yeniden yazalım:

Ve bir denklem için ayrı ayrı doğruluk tablosu oluşturalım:

x 1	x 2	(x1 →x2)

İki denklem için doğruluk tablosu oluşturalım:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Mantıksal denklem sistemlerini çözme yöntemleri

Kırgizova E.V., Nemkova A.E.

Lesosibirsk Pedagoji Enstitüsü –

Sibirya Federal Üniversitesi Şubesi, Rusya

Tutarlı düşünme, ikna edici akıl yürütme, hipotezler kurma ve olumsuz sonuçları çürütme yeteneği kendi başına gelmez; bu beceri mantık bilimi tarafından geliştirilmiştir. Mantık, bazı ifadelerin doğruluğunu veya yanlışlığını, diğer ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı temelinde tespit etmeye yönelik yöntemleri inceleyen bir bilimdir.

Mantıksal problemleri çözmeden bu bilimin temellerine hakim olmak imkansızdır. Kişinin bilgisini yeni bir durumda uygulamaya yönelik becerilerin gelişiminin test edilmesi, geçerek gerçekleştirilir. Özellikle bu karar verme yeteneğidir. mantık problemleri. Birleşik Devlet Sınavındaki B15 Görevleri, mantıksal denklem sistemleri içerdikleri için artan karmaşıklığa sahip görevlerdir. Mantıksal denklem sistemlerini çözmenin çeşitli yolları vardır. Bu, bir denkleme indirgeme, doğruluk tablosu oluşturma, ayrıştırma, denklemlerin sıralı çözümü vb.'dir.

Görev:Bir mantıksal denklem sistemini çözün:

Çözüm 1:İlk denklemin her iki tarafına ters çevirme uygulayın:

“VEYA” ve “DEĞİL” temel işlemleri aracılığıyla bunun ne anlama geldiğini hayal edelim:

Denklemlerin sol tarafları 1'e eşit olduğundan, bunları "VE" işlemini kullanarak orijinal sisteme eşdeğer bir denklemde birleştirebiliriz:

İlk parantezi De Morgan yasasına göre açıyoruz ve elde edilen sonucu dönüştürüyoruz:

Ortaya çıkan denklemin bir çözümü vardır: bir= 0, B =0 ve C =1.

Bir sonraki yöntem doğruluk tabloları oluşturma . Mantıksal niceliklerin yalnızca iki değeri olduğundan, tüm seçenekleri gözden geçirebilir ve aralarında belirli bir denklem sisteminin karşılandığı seçenekleri bulabilirsiniz. Yani sistemin tüm denklemleri için ortak bir doğruluk tablosu oluşturuyoruz ve gerekli değerleri içeren bir doğru buluyoruz.

Çözüm 2:Sistem için bir doğruluk tablosu oluşturalım:








0	0	1	1	0	1

Görev koşullarının karşılandığı satır kalın harflerle vurgulanmıştır. Yani A =0, B =0 ve C =1.

Çözüm 3:İzin vermek A = 0 ise:

Elde ettiğimiz ilk denklemden B =0 ve ikinciden itibaren – C=1. Sistemin çözümü: A = 0, B = 0 ve C = 1.

Yöntemi de kullanabilirsiniz Denklemlerin sıralı çözümü , her adımda, söz konusu kümeye bir değişken eklenir. Bunu yapmak için denklemleri, değişkenler alfabetik sıraya göre girilecek şekilde dönüştürmek gerekir. Daha sonra değişkenleri sırayla ekleyerek bir karar ağacı oluşturuyoruz.

Sistemin ilk denklemi yalnızca A ve B'ye, ikinci denklemi ise A ve C'ye bağlıdır. A değişkeni 0 ve 1 olmak üzere 2 değer alabilir:

İlk denklemden şu sonuç çıkıyor , Öyleyse ne zaman A = 0 ve B = 0 elde ederiz ve A = 1 için B = 1 elde ederiz. Dolayısıyla ilk denklemin A ve B değişkenlerine göre iki çözümü vardır.

Her seçenek için C değerlerini belirlediğimiz ikinci denklemi tasvir edelim. A =1 olduğunda sonuç yanlış olamaz, yani ağacın ikinci dalının çözümü yoktur. Şu tarihte: bir= 0 tek çözümü buluyoruz C= 1 :

Böylece sistemin çözümünü elde ettik: A = 0, B = 0 ve C = 1.

Bilgisayar bilimlerindeki Birleşik Devlet Sınavında, çoğu zaman bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını, çözümleri kendileri bulmadan belirlemek gerekir; bunun için de belirli yöntemler vardır. Bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını bulmanın ana yolu değişkenleri değiştirmek. Öncelikle denklemlerin her birini mantıksal cebir yasalarına göre mümkün olduğunca basitleştirmeniz, ardından denklemlerin karmaşık kısımlarını yeni değişkenlerle değiştirip yeni sistemin çözüm sayısını belirlemeniz gerekiyor. Daha sonra değiştirme işlemine geri dönün ve bunun için çözüm sayısını belirleyin.

Görev:Denklemin kaç çözümü var ( bir → B ) + (C → D ) = 1? A, B, C, D mantıksal değişkenlerdir.

Çözüm:Yeni değişkenleri tanıtalım: X = A → B ve Y = C → D . Yeni değişkenler dikkate alınarak denklem şu şekilde yazılacaktır: X + Y = 1.

Ayrışma üç durumda doğrudur: (0;1), (1;0) ve (1;1) X ve Y bir imadır, yani üç durumda doğru, birinde yanlıştır. Bu nedenle (0;1) durumu üç olası parametre kombinasyonuna karşılık gelecektir. Durum (1;1) – orijinal denklemin dokuz olası parametre kombinasyonuna karşılık gelecektir. Bu, bu denklemin toplam olası çözümlerinin 3+9=15 olduğu anlamına gelir.

Bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını belirlemenin bir sonraki yolu şudur: ikili ağaç. Bir örnek kullanarak bu yönteme bakalım.

Görev:Mantıksal denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır:

Verilen denklem sistemi aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

( X 1 → X 2 )*( X 2 → X 3 )*…*( xm -1 → xm) = 1.

Öyleymiş gibi yapalımX 1 – doğruysa, ilk denklemden bunu elde ederizX 2 ikincisinden itibaren de doğru -X 3 =1 ve bu şekilde devam edene kadar xm= 1. Yani (1; 1; …; 1) kümesi M birimler sistemin çözümüdür. Şimdi izin verX 1 =0 ise elimizdeki ilk denklemdenX 2 =0 veya X 2 =1.

Ne zaman X 2 doğruysa, geri kalan değişkenlerin de doğru olduğunu, yani (0; 1; ...; 1) kümesinin sistemin bir çözümü olduğunu elde ederiz. Şu tarihte:X 2 =0 bunu anladık X 3 =0 veya X 3 = vb. Son değişkene devam edersek, denklemin çözümlerinin aşağıdaki değişken kümeleri olduğunu görüyoruz ( M +1 çözüm, her çözümde M değişken değerleri):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Bu yaklaşım, bir ikili ağaç oluşturularak iyi bir şekilde gösterilmiştir. Olası çözümlerin sayısı, oluşturulan ağacın farklı dallarının sayısıdır. Eşit olduğunu görmek kolaydır m +1.

Değişkenler	Ağaç	Çözüm sayısı
x 1
x 2
x 3

Akıl yürütmede ve karar ağacı oluşturmada zorluklar olması durumunda, kullanarak bir çözüm arayabilirsiniz. doğruluk tabloları, bir veya iki denklem için.

Denklem sistemini şu şekilde yeniden yazalım:

Ve bir denklem için ayrı ayrı doğruluk tablosu oluşturalım:

x 1	x 2	(x1 →x2)

İki denklem için doğruluk tablosu oluşturalım:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Daha sonra, aşağıdaki üç durumda bir denklemin doğru olduğunu görebilirsiniz: (0; 0), (0; 1), (1; 1). İki denklemden oluşan bir sistem dört durumda doğrudur (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Bu durumda sadece sıfır ve daha fazlasından oluşan bir çözümün olduğu hemen anlaşılır. M Son konumdan başlayarak mümkün olan tüm yerler dolduruluncaya kadar her seferinde bir birimin eklendiği çözümler. Genel çözümün aynı formda olacağı varsayılabilir ancak böyle bir yaklaşımın çözüm olabilmesi için varsayımın doğru olduğunun kanıtlanması gerekir.

Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, tartışılan yöntemlerin hepsinin evrensel olmadığı gerçeğine dikkatinizi çekmek isterim. Her mantıksal denklem sistemini çözerken, çözüm yönteminin seçilmesi gereken özellikleri dikkate alınmalıdır.

Edebiyat:

1. Mantıksal problemler / O.B. Bogomolov – 2. baskı. – M.: BİNOM. Bilgi Laboratuvarı, 2006. – 271 s.: hasta.

2. Polyakov K.Yu. Mantıksal denklem sistemleri / Bilgisayar bilimleri öğretmenleri için eğitimsel ve metodolojik gazete: Bilişim No. 14, 2011.

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Matematikte önermeler mantığıyla ilgili bazı problemler vardır. Bu tür bir denklemi çözmek için belirli miktarda bilgiye sahip olmanız gerekir: önerme mantığı yasaları bilgisi, 1 veya 2 değişkenli mantıksal fonksiyonların doğruluk tabloları bilgisi, mantıksal ifadeleri dönüştürme yöntemleri. Ayrıca mantıksal işlemlerin şu özelliklerini de bilmeniz gerekir: bağlaç, ayırma, ters çevirme, ima ve eşdeğerlik.

\değişkenler - \'nin herhangi bir mantıksal işlevi bir doğruluk tablosuyla belirtilebilir.

Birkaç mantıksal denklemi çözelim:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Çözüme \[X1\] ile başlayalım ve bu değişkenin hangi değerleri alabileceğini belirleyelim: 0 ve 1. Daha sonra yukarıdaki değerlerin her birini dikkate alıp \[X2.\]'nin ne olabileceğini göreceğiz.

Tablodan da görüleceği üzere bizim mantıksal denklem 11 çözümü var.

Bir mantık denklemini çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Özgür çevrimiçi çözücü Herhangi bir karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.