Systémy lineárnych rovníc pre figuríny. Gaussova metóda riešenia matíc. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Systémové riešenie lineárne rovnice Gaussova metóda. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie pre systém z n lineárne rovnice s n neznáme premenné
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného odstraňovania neznámych premenných: najskôr eliminácie x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, je ďalej vylúčená x 2 zo všetkých rovníc, počnúc treťou a tak ďalej, až kým v poslednej rovnici nezostane len neznáma premenná x n. Tento proces transformácie systémových rovníc na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení doprednej progresie Gaussovej metódy z poslednej rovnice nájdeme x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice, ktorú vypočítame xn-1, a tak ďalej, z prvej rovnice, ktorú nájdeme x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc sústavy, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď. n-tý do rovnice pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a .

Dospeli by sme k rovnakému výsledku, keby sme sa vyjadrili x 1 cez iné neznáme premenné v prvej rovnici systému a výsledný výraz bol dosadený do všetkých ostatných rovníc. Takže premenná x 1 vylúčené zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, násobenú , atď. n-tý do rovnice pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a . Takže premenná x 2 vylúčené zo všetkých rovníc počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k odstraňovaniu neznámeho x 3, v tomto prípade postupujeme podobne s časťou systému označenou na obrázku

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene k Gaussovej metóde: počítame x n z poslednej rovnice as pomocou získanej hodnoty x n nájdeme xn-1 z predposlednej rovnice a tak ďalej nájdeme x 1 z prvej rovnice.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Jednou z univerzálnych a efektívnych metód riešenia lineárnych algebraických systémov je Gaussova metóda , spočívajúcej v postupnej eliminácii neznámych.

Pripomeňme, že tieto dva systémy sa nazývajú ekvivalent (ekvivalent), ak sa množiny ich riešení zhodujú. Inými slovami, systémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého a naopak. Ekvivalentné systémy sa získajú, keď elementárne transformácie rovnice systému:

vynásobenie oboch strán rovnice číslom iným ako nula;

pridanie do nejakej rovnice zodpovedajúcich častí inej rovnice, vynásobené číslom iným ako nula;

preusporiadanie dvoch rovníc.

Nech je daný systém rovníc

Proces riešenia tohto systému pomocou Gaussovej metódy pozostáva z dvoch etáp. V prvej fáze (priamy pohyb) sa systém pomocou elementárnych transformácií redukuje na postupne , alebo trojuholníkový forme a v druhom stupni (reverznom) nastáva postupné, začínajúce od posledného premenného čísla, určovanie neznámych z výsledného stupňovitého systému.

Predpokladajme, že koeficient tohto systému
, inak v systéme je možné prehodiť prvý riadok s ktorýmkoľvek iným tak, že koeficient pri bol iný ako nula.

Poďme transformovať systém odstránením neznámeho vo všetkých rovniciach okrem prvej. Ak to chcete urobiť, vynásobte obe strany prvej rovnice a pridajte člen po člene s druhou rovnicou systému. Potom vynásobte obe strany prvej rovnice a pridajte ho do tretej rovnice sústavy. Pokračujúc v tomto procese získame ekvivalentný systém

Tu
– nové hodnoty koeficientov a voľných členov, ktoré sa získajú po prvom kroku.

Podobne, ak vezmeme do úvahy hlavný prvok
, vylúčiť neznáme zo všetkých rovníc sústavy okrem prvej a druhej. Pokračujme v tomto procese tak dlho, ako je to možné, a výsledkom bude postupný systém

,

Kde ,
,…,– hlavné prvky systému
.

Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitý tvar objavia rovnice, t. j. rovnosť tvaru
, sú vyradené, pretože sú splnené ľubovoľnou množinou čísel
. Ak pri
objaví sa rovnica tvaru, ktorý nemá žiadne riešenia, potom to naznačuje nekompatibilitu systému.

Pri spätnom zdvihu je prvá neznáma vyjadrená z poslednej rovnice transformovaného stupňovitého systému cez všetky ostatné neznáme
ktoré sa nazývajú zadarmo . Potom premenný výraz z poslednej rovnice sústavy sa dosadí do predposlednej rovnice a z nej sa vyjadrí premenná
. Premenné sú definované postupne podobným spôsobom
. Premenné
, vyjadrené prostredníctvom voľných premenných, sa nazývajú základné (závislý). Výsledkom je všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Nájsť súkromné ​​riešenie systémov, voľný neznámy
vo všeobecnom riešení sa priradia ľubovoľné hodnoty a vypočítajú sa hodnoty premenných
.

Technicky je vhodnejšie podrobiť elementárnym transformáciám nie samotné systémové rovnice, ale rozšírenú maticu systému

.

Gaussova metóda je univerzálna metóda, ktorá umožňuje riešiť nielen štvorcové, ale aj pravouhlé sústavy, v ktorých je počet neznámych
nerovná počtu rovníc
.

Výhodou tejto metódy je aj to, že v procese riešenia súčasne skúmame kompatibilitu systému, keďže vzhľadom na rozšírenú maticu
do stupňovitej formy je ľahké určiť poradie matice a rozšírená matica
a aplikovať Kronecker-Capelliho veta .

Príklad 2.1 Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy

Riešenie. Počet rovníc
a počet neznámych
.

Vytvorme rozšírenú maticu systému priradením koeficientov napravo od matice stĺpec voľných členov .

Predstavme si maticu na trojuholníkový pohľad; Aby sme to dosiahli, získame „0“ pod prvkami umiestnenými na hlavnej diagonále pomocou elementárnych transformácií.

Ak chcete získať "0" na druhej pozícii prvého stĺpca, vynásobte prvý riadok (-1) a pridajte ho do druhého riadku.

Túto transformáciu zapíšeme ako číslo (-1) oproti prvému riadku a označíme ho šípkou idúcou z prvého riadku do druhého.

Ak chcete získať "0" na tretej pozícii prvého stĺpca, vynásobte prvý riadok (-3) a pridajte k tretiemu riadku; Ukážme túto akciu pomocou šípky idúcej od prvého riadku k tretiemu.

.

Vo výslednej matici, zapísanej ako druhá v reťazci matíc, dostaneme „0“ v druhom stĺpci na tretej pozícii. Aby sme to urobili, vynásobili sme druhý riadok (-4) a pridali ho k tretiemu. Vo výslednej matici vynásobte druhý riadok (-1) a vydeľte tretí (-8). Všetky prvky tejto matice ležiace pod diagonálnymi prvkami sú nuly.

Pretože , systém je kolaboratívny a definovaný.

Systém rovníc zodpovedajúci poslednej matici má trojuholníkový tvar:

Z poslednej (tretej) rovnice
. Dosaďte do druhej rovnice a získajte
.

Poďme nahradiť
A
do prvej rovnice nájdeme


.

Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávny nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss počas svojho života získal uznanie ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývku „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, peniaze nedostávajú len hlupáci, ale aj géniovia – Gaussov portrét bol na 10-tich nemeckých markách (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA 5. ROČNÍKA. Musíte vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou učitelia často uvažujú o metóde postupného vyraďovania neznámych v školských výberových predmetoch z matematiky. Je to paradox, ale pre študentov je najťažšia Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o technike a ja sa o to pokúsim prístupná forma hovoriť o algoritme metódy.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie.
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbové).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! Zapnuté túto lekciu Gaussovu metódu opäť zvážime pre prípad č.1 (jediné riešenie systému), článok je venovaný situáciám bodov č.2-3. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchší systém z triedy Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?
a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému:
. Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz :Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená len z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica sústavy: . Rozšírená systémová matica je rovnaká matica systému plus stĺpec voľných výrazov, v v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak v matici existujú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, mali by ste vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok –3 a druhý vynásobiť 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Pozrime sa na našu maticu z praktického príkladu: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne:

Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

„Teraz druhý stĺpec. V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc!

Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“ v opačnom smere - tento proces sa nazýva zdola nahor inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Uvažujme o prvej rovnici systému a už do nej dosaďte známa hodnota"Y":

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia:

A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo:

Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zapisovanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:


A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, druhý riadok vydelíme –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, lebo čo menšie číslo, tie jednoduchšie riešenie:

Zapnuté záverečná fáza elementárne transformácie musíte získať ďalšiu nulu tu:

Pre to k tretiemu riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:


Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo niekoľkokrát spomenuté, pri akomkoľvek systéme rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie, vzorová úprava a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto:
(1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Obrátený zdvih, Pripomínam, funguje to zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je to o niečo zložitejšie. Nevadí, ak je niekto zmätený. Kompletné riešenie a vzorový dizajn na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu.
Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad:

Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných:

Mimochodom, to je pekné ľahký príklad, pretože v prvom stĺpci je už jedna nula a je potrebné vykonať menej základných konverzií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný konvenčný príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - majú veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, musíte sa v nej dobre zorientovať a vyriešiť aspoň 5-10 systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre všetkých, ktorí chcú viac komplexný príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 5

Riešte sústavu štyroch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, rozoberáme v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so všeobecným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.


Vykonané elementárne transformácie:
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, dôrazne odporúčam neodčítať ho - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť!
(2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka, že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď: .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:
(1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“.
(2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje , „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.
(4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému 4. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku vynásobenému –1.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku.
(5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –5.

Obrátené:

Dnes pochopíme Gaussovu metódu na riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice. O tom, aké sú tieto systémy, si môžete prečítať v predchádzajúcom článku venovanom riešeniu rovnakých SLAE pomocou Cramerovej metódy. Gaussova metóda nevyžaduje žiadne špecifické znalosti, potrebujete len pozornosť a dôslednosť. Napriek tomu, že z matematického hľadiska postačuje na jej uplatnenie školská príprava, študenti si túto metódu často osvojujú len ťažko. V tomto článku sa ich pokúsime zredukovať na nič!

Gaussova metóda

M Gaussova metóda– najuniverzálnejšia metóda riešenia SLAE (s výnimkou veľmi veľkých systémov). Na rozdiel od toho, čo bolo diskutované vyššie, je vhodný nielen pre systémy, ktoré majú jediné riešenie, ale aj pre systémy, ktoré majú nekonečný počet riešení. Tu sú tri možné možnosti.

1. Systém má jedinečné riešenie (determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule);
2. Systém má nekonečné množstvo riešení;
3. Neexistujú žiadne riešenia, systém je nekompatibilný.

Máme teda systém (nech má jedno riešenie) a ideme ho riešiť pomocou Gaussovej metódy. Ako to funguje?

Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp – doprednej a inverznej.

Priamy ťah Gaussovej metódy

Najprv si zapíšme rozšírenú maticu systému. Ak to chcete urobiť, pridajte stĺpec voľných členov do hlavnej matice.

Celá podstata Gaussovej metódy je priviesť túto maticu do stupňovitého (alebo, ako sa tiež hovorí, trojuholníkového) tvaru pomocou elementárnych transformácií. V tejto forme by pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou matice mali byť iba nuly.

Čo môžeš urobiť:

1. Môžete zmeniť usporiadanie riadkov matice;
2. Ak sú v matici rovnaké (alebo proporcionálne) riadky, môžete odstrániť všetky okrem jedného;
3. Reťazec môžete násobiť alebo deliť ľubovoľným číslom (okrem nuly);
4. Nulové riadky sú odstránené;
5. K reťazcu môžete pripojiť reťazec vynásobený číslom iným ako nula.

Reverzná Gaussova metóda

Potom, čo takto transformujeme systém, jedna neznáma Xn sa stane známym a všetky zostávajúce neznáme môžete nájsť v opačnom poradí, dosadením už známych x do rovníc systému až po prvé.

Keď je internet vždy po ruke, môžete vyriešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy online. Koeficienty stačí zadať do online kalkulačky. Ale musíte uznať, že je oveľa príjemnejšie uvedomiť si, že príklad nie je vyriešený počítačový program, ale s vlastným mozgom.

Príklad riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy

A teraz - príklad, aby bolo všetko jasné a zrozumiteľné. Nech je daný systém lineárnych rovníc a musíte ho vyriešiť pomocou Gaussovej metódy:

Najprv napíšeme rozšírenú maticu:

Teraz urobme premeny. Pamätáme si, že potrebujeme dosiahnuť trojuholníkový vzhľad matrice. Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajte 2. riadok k 1. a získajte:

Potom vynásobte 3. riadok (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobme 1. riadok (6). Vynásobme 2. riadok (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

Voila - systém je uvedený do vhodnej formy. Zostáva nájsť neznáme:

Systém v tomto príklade má jedinečné riešenie. Riešením systémov s nekonečným počtom riešení sa budeme venovať v samostatnom článku. Možno zo začiatku nebudete vedieť, kde začať s transformáciou matrixu, ale po vhodnom precvičení to pochopíte a SLAE rozlúsknete Gaussovou metódou ako orechy. A ak zrazu narazíte na SLA, ktorá sa ukáže ako príliš tvrdý oriešok, kontaktujte našich autorov! môžete zanechať žiadosť v korešpondenčnom úrade. Spolu vyriešime akýkoľvek problém!

The online kalkulačka nájde riešenie sústavy lineárnych rovníc (SLE) pomocou Gaussovej metódy. Uvádza sa podrobné riešenie. Ak chcete vypočítať, vyberte počet premenných a počet rovníc. Potom zadajte údaje do buniek a kliknite na tlačidlo "Vypočítať".

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Zastúpenie čísel:

Celé čísla a/alebo Bežné zlomky
Celé čísla a/alebo desatinné čísla

Počet miest za oddeľovačom desatinných miest

×

POZOR

Vymazať všetky bunky?

Zavrieť Vymazať

Pokyny na zadávanie údajov.Čísla sa zadávajú ako celé čísla (príklady: 487, 5, -7623 atď.), desatinné miesta (napr. 67., 102,54 atď.) alebo zlomky. Zlomok je potrebné zadať v tvare a/b, kde a a b (b>0) sú celé čísla alebo desatinné čísla. Príklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atď.

Gaussova metóda

Gaussova metóda je metóda prechodu z pôvodného systému lineárnych rovníc (pomocou ekvivalentných transformácií) k systému, ktorý je ľahšie riešiteľný ako pôvodný systém.

Ekvivalentné transformácie sústavy lineárnych rovníc sú:

• výmena dvoch rovníc v systéme,
• vynásobením akejkoľvek rovnice v systéme nenulovým reálnym číslom,
• pridanie do jednej rovnice ďalšej rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom.

Zvážte systém lineárnych rovníc:

(1)

Napíšme systém (1) v maticovom tvare:

Ax=b

(2)

(3)

A- nazývaná matica koeficientov systému, b- pravá strana obmedzení, X− vektor premenných, ktoré sa majú nájsť. Nechajte hodnosť ( A)=p.

Ekvivalentné transformácie nemenia hodnosť matice koeficientov a hodnosť rozšírenej matice systému. Množina riešení systému sa tiež nemení pri ekvivalentných transformáciách. Podstatou Gaussovej metódy je redukcia matice koeficientov A na diagonálne alebo stupňovité.

Zostavme rozšírenú maticu systému:

V ďalšej fáze resetujeme všetky prvky stĺpca 2 pod prvkom. Ak je tento prvok nula, potom sa tento riadok prehodí s riadkom ležiacim pod týmto riadkom, ktorý má v druhom stĺpci nenulový prvok. Potom resetujte všetky prvky stĺpca 2 pod vedúcim prvkom a 22. Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 3, ... m s reťazcom 2 vynásobeným − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, resp. Pokračovaním postupu získame maticu diagonálneho alebo stupňovitého tvaru. Nech má výsledná rozšírená matica tvar:

(7)

Pretože rangA=rang(A|b), potom množina riešení (7) je ( n−p)− rozmanitosť. Preto n−p neznáme môžu byť zvolené ľubovoľne. Zostávajúce neznáme zo systému (7) sa vypočítajú nasledovne. Z poslednej rovnice vyjadríme X p cez zostávajúce premenné a vložte do predchádzajúcich výrazov. Ďalej z predposlednej rovnice vyjadríme X p−1 cez zostávajúce premenné a vložiť do predchádzajúcich výrazov atď. Pozrime sa na Gaussovu metódu na konkrétnych príkladoch.

Príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Označme podľa a ij prvky i-tý riadok a j stĺpec.

a jedenásť . Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2,3 k riadku 1, vynásobte -2/3,-1/2, v tomto poradí:

Typ maticového záznamu: Ax=b, Kde

Označme podľa a ij prvky i-tý riadok a j stĺpec.

Vylúčme prvky 1. stĺpca matice pod prvkom a jedenásť . Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2,3 k riadku 1, vynásobte -1/5,-6/5, v tomto poradí:

Každý riadok matice vydelíme zodpovedajúcim vodiacim prvkom (ak vodiaci prvok existuje):

Kde X 3 , X

Nahradením horných výrazov nižšími dostaneme riešenie.

Potom môže byť vektorové riešenie reprezentované takto:

Kde X 3 , X 4 sú ľubovoľné reálne čísla.