Predbežná informácia
Obvod každého plochého geometrického útvaru v rovine je definovaný ako súčet dĺžok všetkých jeho strán. Trojuholník nie je výnimkou. Najprv uvádzame koncept trojuholníka, ako aj typy trojuholníkov v závislosti od strán.
Definícia 1
Trojuholník je geometrický útvar, ktorý sa skladá z troch bodov spojených úsečkami (obr. 1).
Definícia 2
Body v rámci Definície 1 sa budú nazývať vrcholy trojuholníka.
Definícia 3
Segmenty v rámci definície 1 sa budú nazývať strany trojuholníka.
Je zrejmé, že každý trojuholník bude mať 3 vrcholy a tri strany.
V závislosti od pomeru strán k sebe sa trojuholníky delia na mnohostranné, rovnoramenné a rovnostranné.
Definícia 4
Trojuholník sa bude nazývať všestranný, ak žiadna z jeho strán nie je rovnaká ako žiadna iná.
Definícia 5
Trojuholník sa bude nazývať rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké, ale nie sú rovné tretej strane.
Definícia 6
Trojuholník sa nazýva rovnostranný, ak sú všetky jeho strany rovnaké.
Všetky typy týchto trojuholníkov môžete vidieť na obrázku 2.
Ako nájsť obvod viacstranného trojuholníka?
Dostaneme všestranný trojuholník, ktorého dĺžky strán sa budú rovnať $ α $, $ β $ a $ γ $.
záver: Ak chcete nájsť obvod všestranného trojuholníka, pridajte všetky dĺžky jeho strán.
Príklad 1
Nájdite obvod všestranného trojuholníka rovný $ 34 $ cm, $ 12 $ cm a $ 11 $ cm.
$ P = 34 + 12 + 11 = 57 $ cm
Odpoveď: $ 57 $ pozri.
Príklad 2
Nájdite obvod pravouhlého trojuholníka s nohami rovnými $ 6 $ a $ 8 $ cm.
Najprv zistíme dĺžku prepony tohto trojuholníka pomocou Pytagorovej vety. Označme ho teda $ α $
$ α = 10 $ Pravidlom na výpočet obvodu mnohostranného trojuholníka dostaneme
$ P = 10 + 8 + 6 = 24 $ cm
Odpoveď: $ 24 $ pozri.
Ako nájsť obvod rovnoramenného trojuholníka?
Dostaneme rovnoramenný trojuholník, v ktorom sa dĺžky strán rovnajú $ α $ a dĺžka základne $ β $.
Definíciou obvodu plochého geometrického útvaru dostaneme to
$ P = α + α + β = 2α + β $
záver: Ak chcete zistiť obvod rovnoramenného trojuholníka, pridajte zdvojnásobenú dĺžku jeho strán k dĺžke jeho základne.
Príklad 3
Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho strany sú $ 12 $ cm a základňa $ 11 $ cm.
Podľa vyššie uvedeného príkladu to vidíme
$ P = 2 \ cdot 12 + 11 = 35 $ cm
Odpoveď: $ 35 $ pozri.
Príklad 4
Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho výška pritiahnutá k základni je $ 8 $ cm a základňa $ 12 $ cm.
Zvážte obrázok podľa stavu problému:
Keďže trojuholník je rovnoramenný, potom $ BD $ je tiež medián, preto $ AD = 6 $ cm.
Podľa Pytagorovej vety z trojuholníka $ ADB $ nájdeme stranu. Označme ho teda $ α $
Podľa pravidla pre výpočet obvodu rovnoramenného trojuholníka dostaneme
$ P = 2 \ cdot 10 + 12 = 32 $ cm
Odpoveď: $ 32 $ pozri.
Ako zistiť obvod rovnostranného trojuholníka?
Dostaneme rovnostranný trojuholník, v ktorom budú dĺžky všetkých strán rovné $ α $.
Definíciou obvodu plochého geometrického útvaru dostaneme to
$ P = α + α + α = 3α $
záver: Ak chcete zistiť obvod rovnostranného trojuholníka, vynásobte dĺžku strany trojuholníka $ 3 $.
Príklad 5
Nájdite obvod rovnostranného trojuholníka, ak jeho strana je $ 12 $ cm.
Podľa vyššie uvedeného príkladu to vidíme
$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ cm
P = a + b + c Ako zistiť obvod trojuholníka: Každý vie, že zistenie obvodu je také jednoduché ako lúskanie hrušiek – stačí pridať všetky tri strany trojuholníka. Existuje však niekoľko ďalších spôsobov, ako môžete nájsť súčet dĺžok strán trojuholníka. Krok 1 So známym polomerom vpísanej kružnice a jej plochy nájdite obvod podľa vzorca P = 2S / r. 
Krok 2 Ak poznáte dva uhly, napríklad α a β, susediace so stranou a dĺžku tejto strany, potom na nájdenie obvodu použite vzorec a + sinα ∙ a / (sin (180 ° -α-β )) + sinβ∙a/ (sin (180° -α-β)). 
Krok 3 Ak podmienka určuje susedné strany a uhol β medzi nimi, pri hľadaní obvodu berte do úvahy kosínusovú vetu. Potom P = a + b + √ (a ^ 2 + b ^ 2-2 ∙ a ∙ b ∙ cosβ), kde a ^ 2 a b ^ 2 sú druhé mocniny dĺžok susedných strán. Výraz pod koreňom je dĺžka tretej neznámej strany vyjadrená pomocou kosínusovej vety. 
4krok Pre rovnoramenný trojuholník má obvodový vzorec tvar P = 2a + b, kde a sú strany a b jeho základňa. Krok 5 Vypočítajte obvod pravidelného trojuholníka pomocou vzorca P = 3a. Krok 6 Nájdite obvod pomocou polomerov vpísaných do trojuholníka alebo okolo neho. Takže pre rovnostranný trojuholník si zapamätajte a použite vzorec P = 6r√3 = 3R√3, kde r je polomer opísanej kružnice a R je polomer kružnice opísanej. Krok 7 Pre rovnoramenný trojuholník použite vzorec P = 2R (2sinα + sinβ), v ktorom α je uhol v základni a β je uhol oproti základni.
Obvod trojuholníka, ako každý iný údaj, je súčtom dĺžok všetkých strán. Pomerne často táto hodnota pomáha nájsť oblasť alebo sa používa na výpočet iných parametrov obrázku.
Vzorec pre obvod trojuholníka vyzerá takto:
Príklad výpočtu obvodu trojuholníka. Nech je daný trojuholník so stranami a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Údaje dosadíme do vzorca: cm
Vzorec výpočtu obvodu rovnoramenný trojuholník bude vyzerať takto:
Vzorec výpočtu obvodu rovnostranný trojuholník:
Príklad výpočtu obvodu rovnostranného trojuholníka. Keď sú všetky strany obrázku rovnaké, možno ich jednoducho vynásobiť tromi. Povedzme, že ste dostali trojuholník Ozette so stranou 5 cm v tomto prípade: cm
Vo všeobecnosti, keď sú dané všetky strany, nájdenie obvodu je celkom jednoduché. V iných situáciách je potrebné nájsť veľkosť chýbajúcej strany. V pravouhlom trojuholníku nájdete tretiu stranu pozdĺž Pytagorova veta... Napríklad, ak sú známe dĺžky nôh, potom môžete nájsť preponu podľa vzorca: 
Uvažujme o príklade výpočtu obvodu rovnoramenného trojuholníka za predpokladu, že poznáme dĺžku nôh v pravouhlom rovnoramennom trojuholníku.
Daný trojuholník s nohami a = b = 5 cm Nájdite jeho obvod. Najprv nájdime chýbajúcu stranu s. cm
Teraz vypočítajme obvod: cm
Obvod pravouhlého rovnoramenného trojuholníka bude 17 cm.
V prípade, že je známa prepona a dĺžka jednej nohy, chýbajúcu preponu nájdete pomocou vzorca: 
Ak je prepona a jeden z ostrých uhlov známy v pravouhlom trojuholníku, potom sa chýbajúca strana nájde podľa vzorca.
Ako zistím obvod trojuholníka? Túto otázku si položil každý z nás, študujúci na škole. Pokúsme sa zapamätať si všetko, čo vieme o tejto úžasnej postave, ako aj odpovedať na položenú otázku.
Odpoveď na otázku, ako zistiť obvod trojuholníka, je zvyčajne pomerne jednoduchá - stačí vykonať postup na sčítanie dĺžok všetkých jeho strán. Existuje však niekoľko jednoduchších metód pre požadovanú hodnotu.
Poradenstvo
V prípade, že je známy polomer (r) kružnice vpísanej do trojuholníka a jeho obsah (S), potom je odpoveď na otázku, ako zistiť obvod trojuholníka, pomerne jednoduchá. Ak to chcete urobiť, musíte použiť obvyklý vzorec:
Ak sú známe dva uhly, napríklad α a β, ktoré susedia so stranou, a dĺžka samotnej strany, potom možno obvod nájsť pomocou veľmi, veľmi populárneho vzorca, ktorý má tvar:
sinβ ∙ a / (sin (180 ° - β - α)) + sinα ∙ a / (sin (180 ° - β - α)) + a
Ak poznáte dĺžky susedných strán a uhol β medzi nimi, potom na nájdenie obvodu musíte použiť kosínusovú vetu. Obvod sa vypočíta podľa vzorca:
P = b + a + √ (b2 + a2 - 2 ∙ b ∙ a ∙ cosβ),
kde b2 a a2 sú druhé mocniny dĺžok susedných strán. Radikálny výraz je dĺžka tretej strany, ktorá nie je známa, vyjadrená pomocou kosínusovej vety.
Ak neviete, ako nájsť obvod rovnoramenného trojuholníka, potom tu v skutočnosti nie je nič ťažké. Vypočítajte to pomocou vzorca:
kde b je základňa trojuholníka a sú jeho strany.
Ak chcete nájsť obvod pravidelného trojuholníka, použite najjednoduchší vzorec:
kde a je dĺžka strany.
Ako nájsť obvod trojuholníka, ak sú známe iba polomery kružníc, ktoré sú okolo neho popísané alebo sú do neho vpísané? Ak je trojuholník rovnostranný, mal by sa použiť vzorec:
P = 3R√3 = 6r√3,
kde R a r sú polomery kružnice opísanej a kružnice v uvedenom poradí.
Ak je trojuholník rovnoramenný, platí preň vzorec:
P = 2R (sinβ + 2sinα),
kde α je uhol, ktorý leží pri základni a β je uhol, ktorý je oproti základni.
Riešenie matematických problémov si často vyžaduje hĺbkovú analýzu a špecifickú schopnosť nájsť a odvodiť požadované vzorce, a to, ako mnohí vedia, je dosť náročná práca. Aj keď niektoré problémy možno vyriešiť iba jedným jediným vzorcom.
Pozrime sa na vzorce, ktoré sú základné pre odpoveď na otázku, ako nájsť obvod trojuholníka vo vzťahu k najrozmanitejším typom trojuholníkov.
Samozrejme, hlavným pravidlom na nájdenie obvodu trojuholníka je toto tvrdenie: ak chcete nájsť obvod trojuholníka, musíte pridať dĺžky všetkých jeho strán podľa príslušného vzorca:
kde b, a a c sú dĺžky strán trojuholníka a P je obvod trojuholníka.
Existuje niekoľko špeciálnych prípadov tohto vzorca. Povedzme, že váš problém je formulovaný takto: "ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka?" V tomto prípade by ste mali použiť nasledujúci vzorec:
P = b + a + √ (b2 + a2)
V tomto vzorci sú b a a bezprostredné dĺžky ramien pravouhlého trojuholníka. Je ľahké uhádnuť, že namiesto strany c (hypotenúza) sa používa výraz získaný podľa vety veľkého vedca staroveku - Pytagoras.
Ak chcete vyriešiť problém, kde sú trojuholníky podobné, potom by bolo logické použiť toto tvrdenie: pomer obvodov zodpovedá koeficientu podobnosti. Povedzme, že máte dva podobné trojuholníky – ΔABC a ΔA1B1C1. Potom, aby sme našli koeficient podobnosti, je potrebné rozdeliť obvod ΔABC obvodom ΔA1B1C1.
Na záver možno poznamenať, že obvod trojuholníka možno nájsť pomocou rôznych techník v závislosti od počiatočných údajov, ktoré máte. Treba dodať, že existuje niekoľko špeciálnych prípadov pre pravouhlé trojuholníky.
Obsah:
Obvod je celková dĺžka hraníc 2D tvaru. Ak chcete nájsť obvod trojuholníka, musíte pridať dĺžky všetkých jeho strán; ak nepoznáte dĺžku aspoň jednej strany trojuholníka, musíte ju nájsť. Tento článok vám povie (a) ako nájsť obvod trojuholníka pozdĺž troch známych strán; (b) ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka, keď sú známe len dve strany; (c) ako nájsť obvod ľubovoľného trojuholníka, keď sú dané dve strany a uhol medzi nimi (pomocou kosínusovej vety).
Kroky
1 Na troch daných stranách
- 1 Ak chcete zistiť obvod, použite vzorec: P = a + b + c, kde a, b, c sú dĺžky troch strán, P je obvod.
- 2
Nájdite dĺžky všetkých troch strán. V našom príklade: a = 5, b = 5, c = 5.
- Je to rovnostranný trojuholník, pretože všetky tri strany majú rovnakú dĺžku. Ale vyššie uvedený vzorec platí pre akýkoľvek trojuholník.
- 3
Pridajte dĺžky všetkých troch strán, aby ste našli obvod. V našom príklade: 5 + 5 + 5 = 15, teda P = 15.
- Ďalší príklad: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť mernú jednotku. V našom príklade sú strany merané v centimetroch, takže vaša konečná odpoveď by mala obsahovať aj centimetre (alebo merné jednotky uvedené v probléme).
- V našom príklade má každá strana 5 cm, takže konečná odpoveď je P = 15 cm.
2 Pozdĺž dvoch daných strán pravouhlého trojuholníka
- 1 Pamätajte na Pytagorovu vetu. Táto veta popisuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka a je jednou z najznámejších a najpoužívanejších teorémov v matematike. Veta hovorí, že v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sú strany spojené nasledujúcim pomerom: a 2 + b 2 = c 2, kde a, b sú nohy, c je prepona.
- 2 Nakreslite trojuholník a označte strany ako a, b, c. Najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka je prepona. Leží oproti pravému uhlu. Označte preponu ako "c". Označte nohy (strany susediace s pravým uhlom) ako „a“ a „b“.
- 3
Dosaďte hodnoty známych strán do Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2). Namiesto písmen nahraďte čísla uvedené v probléme.
- Napríklad a = 3 a b = 4. Dosaďte tieto hodnoty do Pytagorovej vety: 3 2 + 4 2 = c 2.
- Ďalší príklad: a = 6 a c = 10. Potom: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite neznámu stranu. Aby ste to dosiahli, najprv odmocnite známe dĺžky strán (stačí vynásobiť číslo, ktoré vám bolo pridelené). Ak hľadáte preponu, pridajte druhé mocniny dvoch strán a z tohto súčtu vyberte druhú odmocninu. Ak hľadáte nohu, odčítajte druhú mocninu známej nohy od druhej mocniny prepony a z výsledného kvocientu vytiahnite druhú odmocninu.
- V prvom príklade: 3 2 + 4 2 = c 2; 9 + 16 = c2; 25 = c2; √25 = c. Takže c = 25.
- V druhom príklade: 6 2 + b 2 = 10 2; 36 + b 2 = 100. Presuňte 36 na pravú stranu rovnice a získajte: b 2 = 64; b = √64. Takže b = 8.
- 5
- V našom prvom príklade: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- V našom druhom príklade: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Pozdĺž týchto dvoch strán a uhol medzi nimi
- 1 Akákoľvek strana trojuholníka sa dá nájsť pomocou kosínusovej vety, ak dostanete dve strany a uhol medzi nimi. Táto veta platí pre akýkoľvek trojuholník a je to veľmi užitočný vzorec. Kosínusová veta: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos (C), kde a, b, c sú strany trojuholníka, A, B, C sú uhly oproti príslušným stranám trojuholníka.
- 2 Nakreslite trojuholník a označte strany ako a, b, c; označte uhly protiľahlé k príslušným stranám ako A, B, C (to znamená uhol oproti strane "a", označte ako "A" atď.).
- Napríklad trojuholník so stranami 10 a 12 a uhlom medzi nimi 97 °, to znamená a = 10, b = 12, C = 97 °.
- 3
Vložte dané hodnoty do vzorca a nájdite neznámu stranu „c“. Najprv utvorte štvorec dĺžok známych strán a pridajte výsledné hodnoty. Potom nájdite kosínus uhla C (pomocou kalkulačky alebo online kalkulačky). Vynásobte dĺžky známych strán kosínusom daného uhla a 2 (2abcos (C)). Odčítajte výslednú hodnotu od súčtu štvorcov dvoch strán (a 2 + b 2) a dostanete c 2. Z tejto hodnoty extrahujte druhú odmocninu a nájdite dĺžku neznámej strany "c". V našom príklade:
- c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 = 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 = 244 - (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Pridajte dĺžky troch strán, aby ste našli obvod. Pripomeňme, že obvod sa vypočíta podľa vzorca: P = a + b + c.
- V našom príklade: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
