Sčítajte a odčítajte sily

Je zrejmé, že možno pridať čísla s mocninami, podobne ako iné veličiny ich pridaním jeden po druhom s ich znakmi.

Súčet 3 a b 2 je teda 3 + b 2.
Súčet 3 - b n a h 5-d 4 je 3 - b n + h 5 - d 4.

Kurzy rovnaké stupne identických premenných možno pridať alebo odčítať.

Súčet 2a 2 a 3a 2 je teda 5a 2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmete dva štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné a v rôznej miere identické premenné, je potrebné doplniť ich doplnením ich znakmi.

Súčet 2 a 3 je teda súčtom 2 + a 3.

Je zrejmé, že štvorec a a kocka a sa nerovnajú dvojnásobku štvorca a, ale dvojnásobku kocky a.

Súčet 3 b n a 3a 5 b 6 je 3 b n + 3a 5 b 6.

Odčítanie stupňov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie, až na to, že znaky odčítaných údajov sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

Alebo:
2a4 - (-6a4) \u003d 8a4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6

Násobenie stupňov

Čísla s mocninami sa dajú, podobne ako iné veličiny, vynásobiť tak, že ich napíšete jeden po druhom, s medzikusom alebo bez neho.

Výsledkom vynásobenia čísla 3 číslom b 2 je teda 3 b 2 alebo aaabb.

Alebo:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r

Výsledok v poslednom príklade je možné zoradiť pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať formu: a 5 b 5 y 3.

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocnosťami vidíme, že ak sa ktorékoľvek z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s výkonom rovným súčet stupne pojmov.

Takže 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Tu 5 je sila výsledku násobenia, ktorá sa rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m \u003d a m + n.

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát je sila n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát je sila m;

Preto stupne s rovnakými stonkami možno vynásobiť pridaním exponentov.

Takže a. A 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. A x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Alebo:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Násobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponentmi sú - negatívny.

1. Takže, -2 .a -3 \u003d a -5. Toto je možné zapísať ako (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m \u003d y -n-m.

3.a -n .a m \u003d a m-n.

Ak sa a + b vynásobí a - b, výsledkom je 2 - b 2: to znamená

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich štvorcov.

Ak je súčet a rozdiel dvoch čísel zvýšený na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.

Delenie stupňov

Mocné čísla je možné rozdeliť, podobne ako iné čísla, odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.

Takže 3 b 2 delené b 2 sa rovná 3.

5 vydelené 3 vyzerá ako $ \\ frac $. Ale to sa rovná 2. V rade čísel
a +4, a +3, +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ľubovoľné číslo je možné vydeliť iným a exponent sa bude rovnať rozdiel exponenty deliteľných čísel.

Pri delení stupňov s rovnakou základňou sa ich ukazovatele odčítajú..

Takže y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. To znamená $ \\ frac \u003d y $.

A a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. To znamená $ \\ frac \u003d a ^ n $.

Alebo:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívny hodnoty stupňov.
Výsledok vydelenia -5 číslom -3 je -2.
Tiež $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.

h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 alebo $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ 3 $

Je potrebné veľmi dobre zvládnuť násobenie a rozdelenie právomocí, pretože takéto operácie sa v algebre veľmi často používajú.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $ \\ frac $ Odpoveď: $ \\ frac $.

2. Znížte exponenty v $ \\ frac $. Odpoveď: $ \\ frac $ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a -3 / a -4 a priveďte ich k spoločnému menovateľovi.
a 2-4 je -2 prvý čitateľ.
a 3. a -3 je 0 \u003d 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je -1, spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: -2 / a -1 a 1 / a -1.

4. Znížte exponenty 2a 4 / 5a 3 a 2 / a 4 a priveďte ich k spoločnému menovateľovi.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5 / 5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b) / b 4 číslom (a - b) / 3.

6. Vynásobte (a 5 + 1) / x 2 s (b 2 - 1) / (x + a).

7. Vynásobte b 4 / a -2 o h -3 / xa n / y -3.

8. Vydeľte 4 / y 3 a 3 / y 2. Odpoveď: a / r.

Vlastnosti stupňa

Pripomíname, že tejto lekcii rozumieme silové vlastnosti s prírodnými ukazovateľmi a nulou. Stupne s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnosti sa budú diskutovať na hodinách pre 8. ročník.

Prirodzený exponent má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré uľahčujú jeho výpočet v príkladoch exponenta.

Číslo nehnuteľnosti 1
Súčet stupňov

Pri vynásobení stupňov rovnakými základňami základňa zostane nezmenená a pridajú sa exponenty.

a m · a n \u003d a m + n, kde „a“ je akékoľvek číslo a „m“, „n“ sú akékoľvek prirodzené čísla.

Táto vlastnosť stupňov ovplyvňuje aj súčin troch a viacerých stupňov.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
• Prezentovať ako titul.
  6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17
• Prezentovať ako titul.
  (0,8) 3 (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Upozorňujeme, že v zadanej vlastnosti išlo iba o znásobenie právomocí s rovnakými základmi. ... Na ich doplnenie sa nevzťahuje.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. Je to pochopiteľné, ak
počet (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 a 3 5 \u003d 243

Nehnuteľnosť číslo 2
Súkromné \u200b\u200btituly

Pri delení stupňov rovnakými bázami zostáva báza nezmenená a exponent deliteľa sa odčíta od exponenta dividendy.

• Kvocient zapíšte ako titul
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5-3 \u003d (2b) 2
• Vypočítať.

11 3 - 2 4 2 - 1 \u003d 11 4 \u003d 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame vlastníctvo súkromných titulov.
3 8: t \u003d 3 4

Odpoveď: t \u003d 3 4 \u003d 81

Pomocou vlastností # 1 a # 2 môžete ľahko zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 \u003d 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 \u003d 4 6 m + 8 - 4 m - 3 \u003d 4 2 m + 5

Príklad. Vyhľadajte hodnotu výrazu pomocou vlastností stupňa.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Všimnite si, že vlastnosť 2 bola iba o delení stupňov s rovnakými základňami.

Rozdiel (4 3 −4 2) nie je možné nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak vypočítame (4 3 −4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48 a 4 1 \u003d 4

Nehnuteľnosť číslo 3
Umocnenie

Pri zvyšovaní stupňa na mocnosť zostáva jeho základná úroveň nezmenená a exponenty sa znásobia.

(a n) m \u003d a n · m, kde „a“ je akékoľvek číslo a „m“, „n“ sú akékoľvek prirodzené čísla.

Pripomíname, že kvocient je možné vyjadriť ako zlomok. Preto sa téme zvýšenia zlomku na mocnosť venujeme podrobnejšie na nasledujúcej stránke.

Ako vynásobiť stupne

Ako znásobiť stupne? Ktoré stupne sa dajú znásobiť a ktoré nie? Ako vynásobiť číslo stupňom?

V algebre možno produkt stupňov nájsť v dvoch prípadoch:

1) ak majú stupne rovnaké základy;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri vynásobení stupňov rovnakou základňou musí byť základňa rovnaká a musia sa pridať ukazovatele:

Pri vynásobení stupňov rovnakými indikátormi je možné z zátvoriek vyňať celkový indikátor:

Uvažujme, ako násobiť stupne pomocou konkrétnych príkladov.

Jednotka v exponente nie je napísaná, ale pri vynásobení stupňov berie do úvahy:

Po vynásobení môže byť počet stupňov ľubovoľný. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemusíte napísať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najskôr vykoná umocnenie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo silou, musíte najskôr vykonať umocnenie a až potom násobenie:

Násobenie právomocí na rovnakých základoch

Tento videonávod je k dispozícii na základe predplatného

Máte už predplatné? Vstúpiť

V tejto lekcii budeme študovať násobenie stupňov na rovnakých základoch. Najskôr si pripomenieme definíciu stupňa a sformulujeme vetu o platnosti rovnosti ... Potom uvedieme príklady jeho použitia na konkrétnych číslach a preukážeme to. Aplikujeme vetu aj na riešenie rôznych problémov.

Téma: Titul s prírodným indikátorom a jeho vlastnosťami

Lekcia: Násobenie stupňov rovnakou základňou (vzorec)

1. Základné definície

Základné definície:

n - exponent,

— n-stá sila čísla.

2. Veta 1

Veta 1. Pre akékoľvek číslo a a akýkoľvek prírodný n a k rovnosť je pravdivá:

Inak: ak a - ľubovoľné číslo; n a k prirodzené čísla, potom:

Preto pravidlo 1:

3. Vysvetľujúce úlohy

Výkon: konkrétne prípady potvrdili správnosť vety č. Dokazujeme to vo všeobecnom prípade, teda pre akékoľvek a a akýkoľvek prírodný n a k.

4. Dôkaz vety 1

Dané číslo a - akýkoľvek; čísla n a k - prirodzené. Dokázať:

Dôkaz je založený na vymedzení stupňa.

5. Riešenie príkladov pomocou vety 1

Príklad 1: Prezentovať ako titul.

Na vyriešenie nasledujúcich príkladov používame vetu 1.

g)

6. Zovšeobecnenie vety 1

Tu sa používa zovšeobecnenie:

7. Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenia vety 1

8. Riešenie rôznych problémov pomocou vety 1

Príklad 2: Vypočítajte (môžete použiť tabuľku základných stupňov).

a) (podľa tabuľky)

b)

Príklad 3: Zapíš to ako mocninu so základňou 2.

a)

Príklad 4: Určte znamienko čísla:

a záporné, pretože exponent pri -13 je nepárny.

Príklad 5: Nahraďte () silou radixu r:

Máme, to je.

9. Zhrnutie

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a ďalšie.Algebra 7. 6. vydanie. M.: Vzdelávanie. 2010

1. Asistent školy (zdroj).

1. Predložiť ako diplom:

a B C d e)

3. Zapíš si to ako mocninu so základňou 2:

4. Určte znamienko čísla:

a)

5. Nahraďte (·) mocninou základného čísla r:

a) r4. (·) \u003d r15; b) () r 5 \u003d r 6

Násobenie a delenie stupňov rovnakými exponentmi

V tejto lekcii sa naučíme násobiť stupne rovnakým exponentom. Najprv si pripomenieme základné definície a vety o znásobení a rozdelení právomocí na rovnakých základoch a zvýšení sily na mocnosť. Potom formulujeme a dokazujeme vety o násobení a delení stupňov s rovnakými exponentmi. A potom s ich pomocou vyriešime množstvo typických problémov.

Pripomenutie základných definícií a viet

Tu a - základ stupňa,

— n-stá sila čísla.

Veta 1. Pre akékoľvek číslo a a akýkoľvek prírodný n a k rovnosť je pravdivá:

Pri vynásobení stupňov rovnakou základňou sa pridajú ukazovatele, základňa sa nezmení.

Veta 2. Pre akékoľvek číslo a a akýkoľvek prírodný n a k, také, že n > k rovnosť je pravdivá:

Pri delení stupňov s rovnakými základňami sa indikátory odčítajú a základňa sa nezmení.

Veta 3. Pre akékoľvek číslo a a akýkoľvek prírodný n a k rovnosť je pravdivá:

Všetky uvedené vety boli o stupňoch s rovnakými dôvody, táto hodina bude brať do úvahy tituly s rovnakými ukazovatele.

Príklady násobenia stupňov rovnakými ukazovateľmi

Zvážte nasledujúce príklady:

Napíšme si výrazy na určenie stupňa.

Výkon: z príkladov to vidíš , ale treba to ešte dokázať. Sformulujme vetu a dokážme ju vo všeobecnom prípade, teda pre každú a a b a akýkoľvek prírodný n.

Formulácia a dôkaz vety 4

Pre akékoľvek čísla a a b a akýkoľvek prírodný n rovnosť je pravdivá:

Dôkazy Veta 4 .

Podľa definície stupňa:

To sme teda dokázali .

Na násobenie stupňov rovnakými ukazovateľmi stačí vynásobiť bázy a exponent ponechať nezmenený.

Formulácia a dôkaz vety 5

Vytvorme vetu na delenie stupňov s rovnakými exponentmi.

Pre akékoľvek číslo a a b () a akýkoľvek prírodný n rovnosť je pravdivá:

Dôkazy Veta 5 .

Napíšme a podľa definície stupňa:

Slovné formulovanie viet

To sme teda dokázali.

Ak chcete navzájom rozdeliť stupne s rovnakými indikátormi, postačí rozdeliť jednu základňu na druhú a exponent ponechať nezmenený.

Riešenie typických problémov pomocou vety 4

Príklad 1: Prezentované ako produkt stupňov.

Na vyriešenie nasledujúcich príkladov používame vetu 4.

Na vyriešenie nasledujúceho príkladu si pripomenieme vzorce:

Zovšeobecnenie vety 4

Zovšeobecnenie vety 4:

Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenej vety 4

Pokračovanie v riešení typických úloh

Príklad 2: Zapíšte si to ako stupeň práce.

Príklad 3: Zapíš to ako mocninu s exponentom 2.

Príklady výpočtu

Príklad 4: Vypočítajte najracionálnejším spôsobom.

2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebra 7.M .: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.Ye. a ďalšie Algebra 7. M.: Vzdelávanie. 2006 rok

2. Asistent školy (zdroj).

1. Prezentované ako produkt stupňov:

a); b); v); d);

2. Napíšte vo forme stupňa práce:

3. Zapíš to ako mocninu s exponentom 2:

4. Vypočítajte najracionálnejším spôsobom.

Hodina matematiky na tému „Násobenie a delenie stupňov“

Sekcie: Matematika

Pedagogický účel:

študent sa naučí rozlišovať medzi vlastnosťami násobenia a delením stupňov s prirodzeným exponentom; uplatniť tieto vlastnosti v prípade rovnakých dôvodov;

študent dostane príležitosť byť schopný vykonávať transformácie stupňov na rôznych základoch a byť schopný vykonávať transformácie v kombinovaných úlohách.

Úlohy:

organizovať prácu študentov opakovaním predtým študovaného materiálu;

zabezpečiť úroveň reprodukcie vykonávaním cvičení rôznych typov;

organizovať sebahodnotenie študentov prostredníctvom testovania.

Činnosť vyučovacích jednotiek: určenie stupňa prírodným indikátorom; komponenty stupňa; definícia súkromného; kombinovaný zákon násobenia.

I. Organizácia demonštrácie zvládnutia existujúcich vedomostí študentmi. (krok 1)

a) Aktualizácia vedomostí:

2) Definíciu stupňa sformulujte pomocou prirodzeného ukazovateľa.

a n \u003d a a a a ... a (n krát)

b k \u003d b b b b a ... b (k krát) Odôvodnite odpoveď.

II. Organizácia sebahodnotenia študentov podľa stupňa zvládnutia skutočných skúseností. (Krok 2)

Test samokontroly: (samostatná práca v dvoch verziách.)

A1) Prezentujte produkt 7 7 7 7 x x x ako silu:

A2) Prezentujte ako produkt stupeň (-3) 3 x 2

A3) Vypočítajte: -2 3 2 + 4 5 3

Počet úloh v teste vyberiem v súlade s prípravou na triednu úroveň.

Dávam kľúč na samočinný test. Kritériá: skúška - nie skúška.

III. Vzdelávacia a praktická úloha (krok 3) + krok 4. (vlastnosti si sami formulujú študenti)

vypočítať: 2 2 2 3 \u003d? 3 3 3 2 3 \u003d?

Zjednodušte: a 2 a 20 \u003d? b 30 b 10 b 15 \u003d?

V priebehu riešenia úloh 1) a 2) študenti navrhujú riešenie a ja ako učiteľ organizujem triedu tak, aby hľadala spôsob, ako zjednodušiť stupne pri násobení rovnakými základmi.

Učiteľ: Vymysli spôsob, ako zjednodušiť stupne, keď sa množia rovnaké základy.

Na klastri sa zobrazí záznam:

Téma hodiny je formulovaná. Násobenie stupňov.

Učiteľ: prísť s pravidlom pre delenie stupňov na rovnakých základoch.

Zdôvodnenie: akou akciou sa kontroluje rozdelenie? a 5: a 3 \u003d? že a 2 a 3 \u003d a 5

Vrátim sa k diagramu - zhluku a doplním záznam - .. pri delení odčítame a pridáme tému hodiny. ... a rozdelenie stupňov.

IV. Sprostredkovanie limitov vedomostí študentom (minimálne a maximálne).

Učiteľ: Úlohou minima pre dnešnú hodinu je naučiť sa, ako aplikovať vlastnosti násobenia a delenia stupňov na rovnakých základoch, a maximum: spoločné násobenie a delenie.

Napíš na tabuľu : a m a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n

V. Organizácia štúdia nových materiálov. (krok 5)

a) Podľa učebnice: č. 403 (a, c, e) úlohy s rôznym znením

404 (a, d, f) samostatná práca, potom zorganizujem vzájomnú kontrolu, odovzdám kľúče.

b) Pre akú hodnotu m platí rovnosť? a 16 a m \u003d a 32; x v x 14 \u003d x 28; x 8 (*) \u003d x 14

Zadanie: vymyslite podobné príklady rozdelenia.

c) č. 417 (a), č. 418 (a) Pasce pre študentov: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 \u003d 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.

Vi. Zovšeobecnenie získaných poznatkov, vykonávanie diagnostickej práce (ktorá povzbudzuje študentov, a nie učiteľa, študovať túto tému) (krok 6)

Diagnostická práca.

Test (kľúče umiestnite na zadnú stranu testu).

Možnosti zadania: kvocient uvádzajte ako stupeň x 15: x 3; predstavuje produkt ako mocniny (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; pri ktorých m platí rovnosť a 16 a m \u003d a 32; nájdite hodnotu výrazu h 0: h 2 pri h \u003d 0,2; vypočítajte hodnotu výrazu (5 2 5 0): 5 2.

Zhrnutie lekcie. Odraz. Triedu rozdelím na dve skupiny.

Nájdite argumenty, ktoré zoskupujem: v prospech poznania vlastností stupňa a skupina II - argumenty, ktoré povedia, že sa zaobídete bez vlastností. Vypočujeme si všetky odpovede, vyvodíme závery. Na nasledujúcich hodinách môžete ponúknuť štatistické údaje a nazvať nadpis „Moja hlava sa nezmestí!“

Priemerný človek počas svojho života zje 32 x 10 2 kg uhoriek.

Vosa je schopná vykonať nepretržitý let 3,2 10 2 km.

Pri prasknutí skla sa trhlina šíri rýchlosťou asi 5 10 3 km / h.

Žaba za svoj život zožerie viac ako 3 tony komárov. Pomocou stupňa si to zapíšte do kg.

Najplodnejšia je oceánska ryba - mesiac (Mola mola), ktorá na jedno trenie kladie až 300 000 000 vajec s priemerom asi 1,3 mm. Toto číslo si zapíšte pomocou mocniny.

VII. Domáca úloha.

Historický odkaz. Aké čísla sa nazývajú Fermatove čísla.

A.19. Č. 403, č. 408, č. 417

Použité knihy:

Učebnica "Algebra-7", autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a ďalší.

Didaktický materiál pre 7. ročník, L.V. Kuznecovová, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyklopédia matematiky.

Časopis Kvant.

Vlastnosti diplomu, formulácie, dôkazy, príklady.

Po určení stupňa počtu je logické hovoriť o stupeň vlastností... V tomto článku uvedieme základné vlastnosti stupňa čísla a dotkneme sa všetkých možných exponentov. Tu poskytneme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňa a ukážeme tiež, ako sa tieto vlastnosti uplatňujú pri riešení príkladov.

Navigácia po stránke.

Vlastnosti prírodných exponentov

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom je stupeň a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Na základe tejto definície, a tiež pomocou vlastnosti skutočného násobenia, je možné získať a odôvodniť nasledujúce vlastnosti prírodného stupňa:

hlavná vlastnosť stupňa a m · a n \u003d a m + n, jeho zovšeobecnenie a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k;

vlastnosť súkromných stupňov s rovnakými základňami a m: a n \u003d a m - n;

vlastnosť stupňa súčinu (a · b) n \u003d a n · b n, jeho rozšírenie (a 1 · a 2 ·… · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n;

vlastnosť kvocientu v prirodzenom stupni (a: b) n \u003d a n: b n;

zvýšenie sily na mocnosť (a m) n \u003d a m · n, jej zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 ·… · n k;

porovnanie sily s nulou:

• ak a\u003e 0, potom a n\u003e 0 pre ľubovoľné prirodzené n;
• ak a \u003d 0, potom n \u003d 0;
• ak 2 m\u003e 0, ak 2 m - 1 n;
• ak m a n sú prirodzené čísla také, že m\u003e n, potom pre 0m n a pre a\u003e 0 platí nerovnosť a m\u003e a n.

Hneď si všimnite, že všetky zapísané rovnosti sú identické za stanovených podmienok a ich pravú a ľavú časť je možné vymeniť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m a n \u003d a m + n pre zjednodušujúce výrazy často sa používa ako m + n \u003d a m a n.

Teraz zvážime každú z nich podrobne.

Začnime s vlastnosťou súčinu dvoch stupňov s rovnakými bázami, ktorá sa nazýva hlavná vlastnosť titulu: pre každé reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m · a n \u003d a m + n.

Poďme dokázať hlavnú vlastnosť titulu. Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom sa dá súčin stupňov s rovnakými základmi formy a m a n zapísať ako súčin ... Kvôli vlastnostiam násobenia je možné výsledný výraz zapísať ako , a tento súčin je silou čísla a s prirodzeným exponentom m + n, to znamená a + m. Týmto sa dokončuje dôkaz.

Uveďme príklad potvrdzujúci hlavnú vlastnosť titulu. Berieme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými stupňami 2 a 3, podľa základnej vlastnosti stupňa môžeme napísať rovnosť 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Skontrolujme jeho platnosť, pre ktorú vypočítame hodnoty výrazov 2 2 · 2 3 a 2 5. Umocnenie, máme 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 a 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, pretože dostaneme rovnaké hodnoty, potom je rovnosť 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 pravdivá a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

Hlavnú vlastnosť stupňa založenú na vlastnostiach násobenia možno zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých stupňov s rovnakými základmi a prírodnými exponentmi. Takže pre každé číslo k prirodzených čísel n 1, n 2,…, n k platí rovnosť a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k.

Napríklad (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 \u003d (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 \u003d (2.1) 17.

Môžete prejsť na ďalšiu vlastnosť stupňov s prirodzeným exponentom - majetok súkromných stupňov s rovnakými základmi: pre akékoľvek nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n vyhovujúce podmienke m\u003e n platí rovnosť a m: a n \u003d a m - n.

Pred predložením dôkazu o tejto vlastnosti si prediskutujte význam ďalších podmienok vo formulácii. Podmienka a ≠ 0 je nevyhnutná, aby sa zabránilo deleniu nulou, pretože 0 n \u003d 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že sa nedá deliť nulou. Podmienka m\u003e n je zavedená tak, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. Pre m\u003e n je exponent am - n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo sa stane pre m - n), alebo záporné číslo (čo sa stane, keď mm - n an \u003d a (m - n) + n \u003d am Zo získanej rovnosti am - n · an \u003d am a zo spojenia medzi násobením a delením vyplýva, že am - n je kvocient stupňov am a an. To dokazuje vlastnosť kvocientu stupňov s rovnakými bázami.

Uveďme príklad. Vezmite dva stupne s rovnakými bázami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, uvažovaná vlastnosť stupňa zodpovedá rovnosti π 5: π 2 \u003d π 5−3 \u003d π 3.

Teraz zvážte vlastnosť stupňa produktu: prirodzený stupeň n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu mocnin a n a b n, to znamená (a b) n \u003d a n b n.

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom skutočne máme ... Na základe vlastností násobenia je možné posledný produkt prepísať na , ktorá sa rovná a · b.

Uveďme príklad: .

Táto vlastnosť sa vzťahuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa píše ako (a 1 · a 2 ·… · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n.

Pre zrozumiteľnosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov a sily 7 máme.

Ďalšia nehnuteľnosť je vecný súkromný majetok: kvocient reálnych čísel a a b, b ≠ 0 v prirodzenej moci n sa rovná kvocientu mocností a n a b n, to znamená, (a: b) n \u003d a n: b n.

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej nehnuteľnosti. Takže (a: b) n bn \u003d ((a: b) b) n \u003d an a z rovnosti (a: b) n bn \u003d an vyplýva, že (a: b) n je kvocient na bn.

Napíšme túto vlastnosť ako príklad pomocou konkrétnych čísel: .

Teraz poďme hlasom vlastnosť umocňovania: pre akékoľvek reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa stupeň a m k mocnine n rovná mocnine čísla a s exponentom m n, teda (a m) n \u003d a m n.

Napríklad (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6.

Dôkazom vlastníctva stupňa k titulu je nasledujúci reťazec rovností: .

Uvažovanú vlastnosť je možné rozšíriť na stupeň na stupeň atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s rovnosť ... Pre názornosť uvádzame príklad s konkrétnymi číslami: ((((5.2) 3) 2) 5 \u003d (5.2) 3 + 2 + 5 \u003d (5.2) 10)

Zostáva sa zaoberať vlastnosťami porovnávania stupňov s prírodnými exponentmi.

Začnime dokázaním vlastnosti porovnania nuly a stupňa s prirodzeným exponentom.

Najskôr dokážme, že n\u003e 0 pre ľubovoľné a\u003e 0.

Súčin dvoch pozitívnych čísel je kladné číslo, ktoré vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia nám umožňujú tvrdiť, že výsledkom vynásobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A stupeň čísla a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre každú kladnú základňu a je stupeň a n kladné číslo. Na základe preukázaného majetku 3 5\u003e 0, (0,00201) 2\u003e 0 a .

Je celkom zrejmé, že pre každé prirodzené n pre a \u003d 0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n \u003d 0 · 0 · ... · 0 \u003d 0. Napríklad 0 3 \u003d 0 a 0 762 \u003d 0.

Prejdeme k negatívnym základom stupňa.

Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2 · m, kde m je prirodzené číslo. Potom ... Podľa pravidla znásobenia záporných čísel sa každý z súčinov tvaru a · a rovná súčinu absolútnych hodnôt čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto produkt a stupeň a 2 m. Uveďme príklady: (−6) 4\u003e 0, (−2,2) 12\u003e 0 a.

Nakoniec, keď je základ exponenta a záporný a exponent nepárne číslo 2 m - 1, potom ... Všetky produkty a · a sú kladné čísla, súčin týchto pozitívnych čísel je tiež kladný a vynásobením zostávajúcim záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) je 3 17 n n súčinom ľavej a pravej strany n skutočných nerovností a vlastnosti nerovností, platí aj preukázaná nerovnosť tvaru a n n. Napríklad kvôli tejto vlastnosti sú nerovnosti 3 7 7 a .

Ostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností stupňov prírodnými exponentmi. Poďme to formulovať. Z dvoch stupňov s prírodnými ukazovateľmi a rovnakými pozitívnymi bázami, menej ako jeden, je väčší stupeň, ktorého ukazovateľ je menší; a dvoch stupňov s prírodnými indikátormi a rovnakými bázami, väčší ako jeden, tým väčší je stupeň, ktorého indikátor je väčší. Prejdeme k dôkazu o tejto vlastnosti.

Dokážme, že pre m\u003e n a 0m n. Za týmto účelom si zapíšte rozdiel a m - a n a porovnajte ho s nulou. Zaznamenaný rozdiel po umiestnení n mimo zátvorky má formu a n · (a m - n −1). Výsledný produkt je negatívny ako produkt kladného čísla a a záporného čísla am - n −1 (an je pozitívny ako prirodzená sila kladného čísla a rozdiel am - n −1 je negatívny, pretože m - n\u003e 0 v dôsledku počiatočnej podmienky m\u003e n, odkiaľ z toho vyplýva, že pri 0 m - n je menej ako jednota). V dôsledku toho, m - a n m n, podľa potreby. Ako príklad uvedieme správnu nerovnosť.

Ostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m\u003e n a a\u003e 1 platí a m\u003e a n. Rozdiel a m - a n po umiestnení a mimo zátvorky má tvar a n · (a m - n −1). Tento produkt je pozitívny, pretože pre a\u003e 1 je stupeň a kladné číslo a rozdiel am - n −1 je kladné číslo, pretože m - n\u003e 0 kvôli počiatočnej podmienke a pre a\u003e 1 je stupeň am - n väčší ako jeden ... V dôsledku toho a m - a n\u003e 0 a a m\u003e a n, podľa potreby. Túto vlastnosť ilustruje nerovnosť 3 7\u003e 3 2.

Vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi

Pretože kladné celé čísla sú prirodzené čísla, všetky vlastnosti stupňov s kladnými celočíselnými exponentmi sa presne zhodujú s vlastnosťami stupňov s prirodzenými exponentmi uvedenými a preukázanými v predchádzajúcej časti.

Stupeň s celočíselným záporným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom, sme určili tak, aby všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi vyjadrené rovnosťou zostali pravdivé. Preto sú všetky tieto vlastnosti platné pre nulové aj pre záporné exponenty, zatiaľ čo základy exponentov sú samozrejme nenulové.

Pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre celé čísla m a n platí toto vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n \u003d a m - n;
• (a b) n \u003d a n b n;
• (a: b) n \u003d a n: b n;
• (a m) n \u003d a m n;
• ak n je kladné celé číslo, a a b sú kladné čísla a a nn a a - n\u003e b - n;
• ak m a n sú celé čísla a m\u003e n, potom pre 0m n a pre a\u003e 1 platí nerovnosť a m\u003e a n.

Pre a \u003d 0 majú stupne a m a n zmysel iba vtedy, keď obidve m a n sú kladné celé čísla, to znamená prirodzené čísla. Takto napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a \u003d 0, a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Nie je ťažké dokázať každú z týchto vlastností, pretože na to stačí použiť definície stupňa s prirodzenými a celými exponentmi, ako aj vlastnosti akcií so skutočnými číslami. Ako príklad uveďme, že vlastnosť stupňa k stupňu platí pre kladné celé čísla aj pre kladné celé čísla. Aby sme to dosiahli, musíme ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (ap) q \u003d ap q, (a - p) q \u003d a (−p) q, (ap ) −q \u003d ap (−q) a (a −p) −q \u003d a (−p) (−q). Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcej časti dokázaná rovnosť (a p) q \u003d a p q. Ak p \u003d 0, potom máme (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 a 0 q \u003d a 0 \u003d 1, odkiaľ (a 0) q \u003d a 0 q. Podobne, ak q \u003d 0, potom (a p) 0 \u003d 1 a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1, odkiaľ (a p) 0 \u003d a p · 0. Ak obidve p \u003d 0 a q \u003d 0, potom (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 a a 0 0 \u003d a 0 \u003d 1, odkiaľ (a 0) 0 \u003d a 0 0.

Teraz dokážme, že (a - p) q \u003d a (- p) q. Podľa definície stupňa potom ... Vlastnosťou kvocientu pri moci máme ... Pretože 1 p \u003d 1,1 ·… · 1 \u003d 1 a potom. Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a - (p q), ktorú je možné z dôvodu pravidiel násobenia zapísať ako a (−p) q.

Podobne .

A .

Na rovnakom princípe možno preukázať všetky ostatné vlastnosti stupňa celočíselným exponentom, zapísané vo forme rovnosti.

V predposlednej z napísaných vlastností stojí za to venovať sa dôkazu nerovnosti a - n\u003e b - n, ktorá platí pre každé záporné celé číslo −n a pre každé kladné a a b, pre ktoré je podmienka a ... Napíšme a transformujme rozdiel medzi ľavou a pravou stranou tejto nerovnosti: ... Keďže podmienkou a n n, teda b n - a n\u003e 0. Produkt a n · b n je tiež pozitívny ako produkt kladných čísel a n a b n. Potom je výsledná frakcia pozitívna ako podiel kladných čísel b n - a n a a n · b n. Preto odkiaľ a - n\u003e b - n, podľa potreby.

Posledná vlastnosť stupňov s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnakým spôsobom ako analogická vlastnosť stupňov s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti stupňov s racionálnymi exponentmi

Určili sme stupeň s zlomkovým exponentom tak, že sme na neho rozšírili vlastnosti stupňa s celým exponentom. Inými slovami, zlomkové exponenty majú rovnaké vlastnosti ako celočíselné exponenty. Menovite:

1. vlastnosť súčinu stupňov s rovnakými základmi pre a\u003e 0, a ak u, potom pre a≥0;
2. majetok súkromných stupňov s rovnakými základmi pre a\u003e 0;
3. vlastnosť zlomkového produktu pre a\u003e 0 a b\u003e 0, a ak a, potom pre a\u003e 0 a (alebo) b\u003e 0;
4. zlomkový majetok pre a\u003e 0 a b\u003e 0, a ak, potom pre a\u003e 0 a b\u003e 0;
5. stupeň majetku do stupňa pre a\u003e 0, a ak u, potom pre a≥0;
6. vlastnosť porovnávania stupňov s rovnakými racionálnymi exponentmi: pre akékoľvek kladné čísla a a b, a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p\u003e b p;
7. vlastnosť porovnávania stupňov s racionálnymi exponentmi a rovnakými bázami: pre racionálne čísla p a q, p\u003e q pre 0p q a pre a\u003e 0 nerovnosť a p\u003e a q.

Dôkaz vlastností stupňov s zlomkovými exponentmi je založený na definícii stupňa s zlomkovým exponentom, na vlastnostiach aritmetického koreňa n-tého stupňa a na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Tu sú dôkazy.

Podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom a potom ... Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú písať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom získame, teda definíciou stupňa s zlomkovým exponentom máme , a exponent získaného stupňa je možné transformovať nasledovne :. Týmto sa dokončuje dôkaz.

Druhá vlastnosť stupňov s zlomkovými exponentmi sa dokazuje úplne rovnakým spôsobom:


Zvyšná rovnosť sa dokazuje podobnými zásadami:


Prechádzame k dokladu o nasledujúcej vlastnosti. Dokážme, že pre každé pozitívum a a b, a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p\u003e b p. Racionálne číslo píšeme ako m / n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p 0 budú v tomto prípade ekvivalentné podmienkam m 0. Pre m\u003e 0 a som m. Z tejto nerovnosti, vlastnosťou koreňov, máme, a keďže a a b sú kladné čísla, potom na základe definície stupňa s zlomkovým exponentom možno výslednú nerovnosť prepísať na, to znamená p.

Podobne pre m m\u003e b m, odkiaľ teda, a a p\u003e b p.

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q, p\u003e q pre 0p q a pre a\u003e 0 nerovnosť a p\u003e a q. Racionálne čísla p a q môžeme vždy dostať do spoločného menovateľa, nech v tom dostaneme obyčajné zlomky a kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené. V takom prípade bude podmienka p\u003e q zodpovedať podmienke m 1\u003e m 2, ktorá vyplýva z pravidla pre porovnanie bežných zlomkov s rovnakými menovateľmi. Potom pomocou vlastnosti porovnania stupňov s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pre 0m 1 m 2 a pre a\u003e 1 nerovnosť a m 1\u003e a m 2. Tieto nerovnosti vo vlastnostiach koreňov možno príslušne prepísať na a ... A definícia stupňa s racionálnym exponentom vám umožňuje ísť na nerovnosti a podľa toho. Odtiaľto urobíme konečný záver: pre p\u003e q a 0p q a pre\u003e 0 - nerovnosť a p\u003e a q.

Vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi

Z toho, ako je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme vyvodiť záver, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre ľubovoľné a\u003e 0, b\u003e 0 a iracionálne čísla p a q nasledujúce vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi:

1. a p a q \u003d a p + q;
2. a p: a q \u003d a p - q;
3. (a b) p \u003d a p b p;
4. (a: b) p \u003d a p: b p;
5. (a p) q \u003d a p q;
6. pre akékoľvek kladné čísla a a b, a 0 je nerovnosť a p p pravdivá a pre p p\u003e b p;
7. pre iracionálne čísla p a q, p\u003e q pre 0p q a pre a\u003e 0 nerovnosť a p\u003e a q.

Preto môžeme dospieť k záveru, že stupne s ľubovoľnými skutočnými exponentmi p a q pre a\u003e 0 majú rovnaké vlastnosti.

• Algebra - 10. ročník. Trigonometrické rovnice Lekcia a prezentácia na tému: „Riešenie najjednoduchších trigonometrických rovníc“ Dodatočné materiály Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, želania! Všetky materiály […]
• Je otvorená súťaž na pozíciu „PREDAVAČ - KONZULTANT“: Zodpovednosti: predaj mobilných telefónov a príslušenstva pre mobilnú komunikáciu; údržba predplatiteľov spoločností Beeline, Tele2, MTS; pripojenie tarifných plánov a služieb spoločností Beeline a Tele2, MTS consulting [...]
• Krabica vzorca Krabica je mnohostena so 6 stranami, z ktorých každá je rovnobežník. Obdĺžnikový rovnobežnosten je rovnobežnosten, pričom každá tvár je obdĺžnik. Pre ľubovoľné rovnobežnosteny je charakteristické 3 [...]
• Hláskovanie N a NN V RÔZNYCH ČASTICH REČU SG ZELINSKAYA DIDAKTICKÝ MATERIÁL Teoretické účtovanie 1. Kedy je nn napísané v prídavných menách? 2. Aké sú výnimky z týchto pravidiel? 3. Ako rozlíšiť slovné prídavné meno s príponou -н- od príčastia s [...]
• KONTROLA GOSTEKHNADZORA BRYANSKÉHO KRAJA Príjem platby štátnej dane (Download-12,2 kb) Žiadosti o registráciu pre fyzické osoby (Download-12 kb) Žiadosti o registráciu pre právnické osoby (Download-11,4 kb) 1. Pri registrácii nového automobilu : 1. žiadosť 2. pas […]
• Spoločnosť na ochranu práv spotrebiteľov Astana Za účelom získania kódu PIN pre prístup k tomuto dokumentu na našej webovej stránke pošlite SMS s textom zan na počet operátorov GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) zaslaním SMS na číslo, […]
• Prijať zákon o rodinných usadlostiach Prijať federálny zákon o bezodplatnom pridelení pozemku každému občanovi Ruskej federácie alebo rodine občanov, aby sa na ňom mohla rodinná usadlosť vybaviť za týchto podmienok: 1. Pozemok je pridelený pre [...]
• Pivoev V.M. Filozofia a metodológia vedy: učebnica pre študentov magisterského a magisterského štúdia Petrozavodsk: Vydavateľstvo PetrSU, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Učebnica je určená pre starších študentov, magisterských a postgraduálnych študentov sociálnych a […]

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde budú pre vás užitočné? Prečo si musíte venovať čas ich štúdiu?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje vedomosti v každodennom živote, prečítajte si tento článok.

A samozrejme, znalosť diplomov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo USE ak vstupu na vysnívanú univerzitu.

Poďme ... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak namiesto vzorcov uvidíte gýč, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Exponentiácia je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím v ľudskej reči na veľmi jednoduchých príkladoch. Dávaj pozor. Príklady sú základné, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime sčítaním.

Nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každá má dve fľaše coly. Kolko je tam coly? Máte pravdu - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Ten istý príklad coly sa dá napísať rôzne :. Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najskôr si všimnú nejaké vzory a potom vymyslia spôsob, ako ich rýchlo „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí mal rovnaký počet kolových fliaš a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Ak chcete počítať rýchlejšie, ľahšie a bez chýb, musíte si to len pamätať násobilka... Všetko samozrejme môžete robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jedna, krajšia:

S akými ďalšími zložitými trikmi počítania prišli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocnosť.

Zvyšovanie čísla na mocnosť

Ak potrebujete päťkrát samostatne vynásobiť číslo, potom matematici tvrdia, že je potrebné toto číslo zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dva až piaty stupeň je. A také problémy si riešia v hlave - rýchlejšie, ľahšie a bez chýb.

Musíte len urobiť zapamätajte si, čo je zvýraznené v tabuľke mocnin čísel... Verte mi, že vám to výrazne uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestie čísla a tretí - kocka? Čo to znamená? To je veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Životný príklad č

Začnime štvorcom alebo druhou mocninou čísla.

Predstavte si bazén štvorcový meter po metri. Bazén je vo vašom vidieckom dome. Je horúco a strašne sa mi chce plávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna musíte zakryť dlaždicami. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.

Môžete jednoducho spočítaním prsta spočítať, že dno bazéna je tvorené kockami meter po metri. Ak máte dlaždicu meter po metri, budete potrebovať kúsky. Je to ľahké ... Ale kde ste už videli také dlaždice? Dlaždica bude skôr cm x cm a potom vás bude mučiť „počtom prstov“. Potom sa musíte množiť. Na jednu stranu dna bazéna teda osadíme dlaždice (kusy) a na druhú tiež dlaždice. Po vynásobení získate dlaždice ().

Všimli ste si, že sme sami vynásobili rovnaký počet, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Po vynásobení rovnakého čísla môžeme použiť techniku \u200b\u200b„umocňovania“. (Samozrejme, keď máte iba dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo zvýšiť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je zvýšenie na mocninu oveľa jednoduchšie a pri výpočtoch je tiež menej chýb. To je pre POUŽITIE veľmi dôležité).
Takže tridsať na druhom stupni bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcov bude. Inými slovami, druhú mocninu čísla možno vždy predstaviť ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina čísla. Štvorec je obraz druhej mocniny čísla.

Príklad č. 2 zo skutočného života

Tu je pre vás úloha, spočítajte, koľko štvorcov je na šachovnici, pomocou štvorca s číslom ... Na jednej strane buniek a na druhej tiež. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem osem alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec s bočnou stranou, môžete štvorček osem. Dostanete bunky. () Takže?

Príklad z reálneho života č

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Rovnaký bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody musíte do tohto bazéna nalievať. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Prekvapivo, že?) Nakreslite bazén: dno má meter a hĺbku a skúste si spočítať, koľko metrov kubických meter po metri vstúpi do vášho bazéna.

Ukážte prstom a počítajte! Jeden, dva, tri, štyri ... dvadsať dva, dvadsať tri ... Koľko to dopadlo? Nestratený? Je ťažké počítať prstom? Tak teda! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, takže si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazénu bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí sú leniví a mazaní matematici, ak to tiež zjednodušili. Všetko zredukovali na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že rovnaký počet sa vynásobí sám ... Čo to znamená? To znamená, že môžete použiť titul. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sú rovnaké. Píše sa to takto :.

Iba zvyšky zapamätaj si tabuľku stupňov... Pokiaľ samozrejme nie ste rovnako leniví a mazaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete počítať ďalej prstom.

Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly vymysleli idlers a prefíkaní, aby vyriešili svoje životné problémy a aby vám nerobili problémy, uvádzam ešte niekoľko príkladov zo života.

Príklad z reálneho života č

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte ďalší milión z každého milióna. To znamená, že každý váš milión na začiatku každého roka sa zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a .. hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou dáte odpoveď za pár sekúnd, pretože ste múdri! Takže v prvom roku - dvakrát dva ... v druhom roku - čo sa stalo, boli ďalšie dva, v treťom roku ... Prestaň! Všimli ste si, že počet sa raz vynásobí. Takže dva až piaty výkon je milión! Teraz si predstavte, že máte konkurenciu a tie milióny dostane ten, kto počíta rýchlejšie ... Stojí za to spomenúť si na stupne čísel, čo si myslíte?

Príklad z reálneho života č

Máte milión. Na začiatku každého roka zarobíte ďalšie dva na každom milióne. Super, nie? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Poďme počítať. Prvý rok - vynásobte, potom výsledok iným ... Je to už nudné, pretože ste už všetkému rozumeli: trikrát sa znásobí sám. Štvrtá sila sa teda rovná miliónu. Musíte si len uvedomiť, že tri až štvrtá sila je alebo.

Teraz viete, že zvýšením čísla na mocnosť si výrazne uľahčíte život. Pozrime sa podrobnejšie, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby nedošlo k zámene

Najprv si teda definujeme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché - toto je číslo, ktoré je „na vrchole“ sily čísla. Nie vedecké, ale zrozumiteľné a ľahko zapamätateľné ...

No zároveň taký stupeň základu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, pri základni.

Tu je výkres pre istotu.

Všeobecne povedané, s cieľom zovšeobecniť a lepšie si zapamätať ... Stupeň so základom „“ a indikátorom „“ sa číta ako „v stupni“ a je napísaný takto:

Stupeň čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní objektov na zoznam: jeden, dva, tri ... Keď počítame objekty, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Tiež nehovoríme: „jedna tretina“ alebo „nulový bod, päť desatín“. Nie sú to prirodzené čísla. Čo myslíte, aké sú čísla?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ odkazujú na celé čísla. Celé čísla vo všeobecnosti zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla oproti prirodzeným číslam (to znamená, že sa berú so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - vtedy nie je nič. Čo znamenajú záporné („mínus“) čísla? Ale boli vyvinuté predovšetkým na označenie dlhov: ak máte v telefóne ruble, znamená to, že dlžíte operátorovi ruble.

Akékoľvek zlomky sú racionálne čísla. Ako si myslíte, že vznikli? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že im chýbajú prirodzené čísla na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli racionálne čísla... zaujímavé, že?

Existujú aj iracionálne čísla. Čo sú to za čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, získate iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme pojem stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (tj celé číslo a kladné číslo).

1. Akékoľvek číslo v prvej mocnine sa rovná sebe:
2. Ak chcete číslo umocniť na druhú, znamená to, že ho vynásobíte:
3. Kockovať číslo znamená trikrát ho vynásobiť:

Definícia. Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu znamená násobenie samotného čísla krát:
.

Silové vlastnosti

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz ti to ukážem.

Pozrime sa: čo je a ?

A-priorstvo:

Koľko je tam celkovo faktorov?

Je to veľmi jednoduché: k multiplikátorom sme pridali multiplikátory a celková suma je multiplikátory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, to znamená podľa potreby.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Rozhodnutie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Rozhodnutie: Je dôležité si uvedomiť, že v našom pravidle nevyhnutne musí mať rovnaké základy!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

len pre súčin stupňov!

To v žiadnom prípade nemôžete napísať.

2. to je -stá sila čísla

Rovnako ako v prípade predchádzajúcej vlastnosti, obráťme sa na definíciu stupňa:

Ukázalo sa, že výraz sa násobí sám raz, to znamená, že podľa definície ide o tú mocnosť čísla:

V zásade to možno nazvať „bracketing indikátora“. Nikdy by ste to však nemali robiť celkovo:

Pamätajme na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to koniec koncov nie je pravda.

Stupeň so záporným základom

Až do tohto bodu sme iba diskutovali, aký by mal byť exponent.

Aký by však mal byť základ?

V stupňoch s prírodný indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo... V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť ľubovoľné čísla, či už kladné, záporné alebo rovnomerné.

Zamyslime sa, ktoré znamienka („“ alebo „“) budú mať mocninu kladného a záporného čísla?

Bude napríklad číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale negatívny je trochu zaujímavejší. Nakoniec si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. To znamená, alebo. Ale ak sa vynásobíme, funguje to.

Sami sa rozhodnite, ktorý znak budú mať tieto výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste?

Tu sú odpovede: Dúfajme, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Iba sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, aká je základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

No pokiaľ nie je základ nula. Nadácia nie je rovnaká, však? Je zrejmé, že nie, pretože (pretože).

Príklad 6) už nie je také ľahké!

6 príkladov na trénovanie

Analýza problému 6 príkladov

Čo tu okrem ôsmeho stupňa vidíme? Pripomíname program 7. ročníka. Takže, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, konkrétne rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to dosť ako jeden z multiplikátorov v čitateľovi, ale čo sa deje? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa mali obrátiť, mohlo by sa pravidlo uplatniť.

Ale ako na to? Ukazuje sa to veľmi ľahké: tu nám pomáha rovnomerný stupeň menovateľa.

Výrazy sú magicky obrátené. Tento „jav“ je možné v rovnomernej miere použiť na akýkoľvek výraz: v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť znamienka.

Je však dôležité pamätať na: všetky znamenia sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Celý voláme prirodzené čísla, ktoré sú proti nim (to znamená „“), a číslo.

kladné celé číslo, ale nelíši sa to od prirodzeného, \u200b\u200bpotom všetko vyzerá presne tak, ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na niekoľko nových prípadov. Začnime indikátorom rovným.

Akékoľvek číslo na nultý stupeň sa rovná jednej:

Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?

Zvážte titul so základňou. Vezmite napríklad a vynásobte:

Takže sme vynásobili číslo a dostali sme to isté, čo bolo -. A aké číslo by ste mali vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Správne, ďalej. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným počtom:

Zopakujme pravidlo:

Akékoľvek číslo v nultom stupni sa rovná jednej.

Z mnohých pravidiel však existujú výnimky. A tu je aj tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane by sa to malo rovnať ľubovoľnému stupňu - bez ohľadu na to, koľko si sami vynásobíte, stále dostanete nulu, je to jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo do nulového stupňa, musí sa rovnať. Čo z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezapojiť a odmietli zvýšiť nulu na nulu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulu, ale aj ju zvýšiť na nulovú moc.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel patria medzi celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakým záporným stupňom:

Od tejto chvíle je už ľahké povedať, čo hľadáte:

Teraz výsledné pravidlo rozširujeme na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo v zápornej sile je inverzné k rovnakému číslu v kladnej sile. Ale v rovnakom čase základňa nemôže byť nulová: (pretože nemôžete deliť).

Zhrňme si to:

I. Výraz nie je v prípade špecifikovaný. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo na nultý stupeň sa rovná jednému :.

III. Číslo, ktoré nie je nulové, je v zápornej sile inverznej k rovnakému číslu v kladnej sile :.

Úlohy nezávislého riešenia:

Ako obvykle, príklady nezávislého riešenia:

Analýza úloh pre nezávislé riešenie:

Viem, viem, čísla sú hrozné, ale na skúške sa musíš pripraviť na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenie, ak ste ich nedokázali vyriešiť, a na skúške sa naučíte, ako sa s nimi ľahko vyrovnať!

Pokračujme v rozširovaní kruhu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo možno reprezentovať ako zlomok, kde a sú navyše celé čísla.

Aby sme pochopili, čo to je Frakčný stupeň, zvážte zlomok:

Pozdvihnime obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si pripomeňme pravidlo o „Stupeň k stupňu“:

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocnosť, aby sa získala?

Táto formulácia je definíciou koreňa.

Pripomeniem vám: koreň desiatej moci čísla () je číslo, ktoré sa po zdvihnutí na mocninu rovná.

To znamená, že koreňom tej sily je inverzná operácia umocňovania :.

Ukazuje sa to. Je zrejmé, že tento konkrétny prípad je možné rozšíriť :.

Teraz pridáme čitateľ: čo je to? Odpoveď sa dá ľahko získať pomocou pravidla stupňa:

Môže však byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadny!

Pamätajte na pravidlo: akékoľvek číslo zdvihnuté na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že z negatívnych čísel nemôžete extrahovať korene rovnomerného stupňa!

To znamená, že také čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nemá žiadny význam.

A čo výraz?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť vyjadrené napríklad vo forme iných, zrušiteľných zlomkov alebo.

A ukázalo sa, že síce existuje, ale neexistuje, ale sú to iba dva rôzne záznamy rovnakého počtu.

Alebo iný príklad: raz, potom môžete písať. Ale ak si zapíšeme indikátor iným spôsobom a opäť nás trápi: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!)

Ak sa chcete vyhnúť takýmto paradoxom, pouvažujte iba kladný radix s zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Racionálne exponenty sú veľmi užitočné na prevod koreňových výrazov, napríklad:

5 príkladov na trénovanie

Analýza 5 príkladov na školenie

A teraz tá najťažšia časť. Teraz budeme analyzovať iracionálny stupeň.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou

Iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj iracionálne čísla sú všetky skutočné čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celkovým a racionálnym ukazovateľom sme zakaždým vytvorili akýsi „obraz“, „analógiu“ alebo popis známejším spôsobom.

Napríklad prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulové číslo výkonu - je to akoby počet, ktorý sa raz sám vynásobí, to znamená, že ho ešte nezačali znásobovať, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani len neobjavilo - výsledkom je teda iba akési „prázdne číslo“, a to číslo;

...záporné celé číslo - akoby sa uskutočnil akýsi „obrátený proces“, to znamená, že počet sa neznásobil sám, ale rozdelil.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul so zložitým indikátorom, to znamená, že indikátor nie je ani reálne číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy v ústave.

KDE MÁME BEZPEČNÝ POCHOD! (ak sa naučíte riešiť také príklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už obvyklým pravidlom pre zvýšenie sily na mocnosť:

Teraz sa pozrite na indikátor. Pripomína vám niečo? Pripomíname vzorec pre redukované násobenie, rozdiel štvorcov:

V tomto prípade,

Ukázalo sa, že:

Odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakej formy: buď desatinné, alebo obe obyčajné. Poďme napríklad:

Odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určenie stupňa

Titul je vyjadrením formy :, kde:

• — základ stupňa;
• - exponent.

Titul s prirodzeným exponentom (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samotnými časmi:

Celé číslo (0, ± 1, ± 2, ...)

Ak je exponent celé pozitívne číslo:

Montáž na nultý stupeň:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane v akomkoľvek stupni - to a na druhej strane - ľubovoľné číslo v tom stupni - to.

Ak je exponent celý negatívny číslo:

(pretože nemôžete deliť).

Ešte raz o nulách: výraz je pre prípad nedefinovaný. Ak potom.

Príklady:

Racionálna známka

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Silové vlastnosti

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Poďme si ich dokázať.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorstvo:

Na pravej strane tohto výrazu teda dostaneme nasledujúci produkt:

Ale podľa definície je to sila čísla s exponentom, to znamená:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Rozhodnutie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Rozhodnutie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutnemusí mať rovnaké základy. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

Ešte jedna dôležitá poznámka: toto pravidlo je - iba pre súčin stupňov!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako v prípade predchádzajúcej vlastnosti, obráťme sa na definíciu stupňa:

Usporiadajme tento kúsok takto:

Ukazuje sa, že výraz sa raz vynásobí, to znamená, že podľa definície je to tá mocnosť čísla:

V zásade to možno nazvať „bracketing indikátora“. Toto by ste ale nikdy nemali robiť celkom :!

Pamätajme na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to koniec koncov nie je pravda.

Titul so záporným základom.

Až do tejto chvíle sme iba diskutovali, ako by to malo byť index stupňa. Aký by však mal byť základ? V stupňoch s prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť ľubovoľné čísla, či už kladné, záporné alebo rovnomerné. Zamyslime sa, ktoré znamienka („“ alebo „“) budú mať mocninu kladného a záporného čísla?

Bude napríklad číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale negatívny je trochu zaujímavejší. Nakoniec si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. To znamená, alebo. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej do nekonečna: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžete formulovať také jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívny.
3. Kladné číslo v akejkoľvek miere je kladné číslo.
4. Nula akejkoľvek sily je nula.

Sami sa rozhodnite, ktorý znak budú mať tieto výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Iba sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, aká je základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. No pokiaľ nie je základ nula. Nadácia nie je rovnaká, však? Je zrejmé, že nie, pretože (pretože).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je zrejmé, že to znamená, že základ je menej ako nula. To znamená, že uplatňujeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

Opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme si definíciu stupňov, rozdelíme ich na seba, rozdelíme na dvojice a dostaneme:

Pred preskúmaním posledného pravidla vyriešime niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Čo tu okrem ôsmeho stupňa vidíme? Pripomíname program 7. ročníka. Takže, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, konkrétne rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to dosť ako jeden z multiplikátorov v čitateľovi, ale čo sa deje? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ako to však urobiť? Ukazuje sa to veľmi ľahké: tu nám pomáha rovnomerný stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Teraz sa však ukazuje nasledovné:

Výrazy sú magicky obrátené. Tento „jav“ je možné v rovnomernej miere použiť na akýkoľvek výraz: v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť znamienka. Je však dôležité pamätať na: všetky znamenia sa menia súčasne!Nedá sa nahradiť zmenou iba jednej nevýhody, ktorú nechceme!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to dokážeme? Samozrejme, ako obvykle: rozšírime pojem stupňa a zjednodušíme:

Teraz poďme otvoriť zátvorky. Koľko listov bude? krát podľa multiplikátorov - ako to vyzerá? Nejde o nič iné ako o definíciu operácie násobenie: existovali iba multiplikátory. To znamená, že podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom:

Príklad:

Iracionálna známka

Okrem informácií o stupňoch pre strednú úroveň budeme analyzovať stupeň pomocou iracionálneho ukazovateľa. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako v prípade stupňa s racionálnym exponentom, s výnimkou - koniec koncov, iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celkovým a racionálnym ukazovateľom sme zakaždým vytvorili akýsi „obraz“, „analógiu“ alebo popis známejším spôsobom. Napríklad prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo na nultý stupeň je akoby číslo, ktoré sa samo násobí raz, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ani len neobjavilo - výsledkom je teda iba akési „prázdne číslo“, a to číslo; stupeň so záporným celočíselným exponentom je akoby nastal akýsi „reverzný proces“, to znamená, že počet sa neznásobil sám, ale delil.

Je mimoriadne ťažké si predstaviť titul s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké si predstaviť 4-dimenzionálny priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul so zložitým indikátorom, to znamená, že indikátor nie je ani reálne číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy v ústave.

Čo teda robiť, keď vidíme iracionálneho exponenta? Snažíme sa zo všetkých síl toho zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

Odpovede:

1. Pamätajte na vzorec rozdielu štvorcov. Odpoveď :.
2. Prinášame zlomky do rovnakej formy: buď desatinné, alebo obe obyčajné. Získame napríklad :.
3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňa:

ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ FORMULÁRE

Stupňa sa nazýva výraz v tvare :, kde:

Celé číslo

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t.j. celé a kladné).

Racionálna známka

stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.

Iracionálna známka

stupňa, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Silové vlastnosti

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívny.
• Kladné číslo v akejkoľvek miere je kladné číslo.
• Nula sa rovná ľubovoľnému stupňu.
• Akékoľvek číslo do nulového stupňa je rovnaké.

TERAZ SVOJE SLOVO ...

Ako sa vám článok páči? Napíšte do komentárov, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s vlastnosťami titulu.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíš do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Lekcia na tému: „Pravidlá násobenia a delenia stupňov rovnakými a rôznymi exponentmi. Príklady“

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, želania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v online obchode Integral pre 7. ročník
Manuál k učebnici Yu.N. Makaryčevova príručka k učebnici A.G. Mordkovič

Účel hodiny: naučiť sa, ako vykonávať akcie s číselnými mocnosťami.

Na začiatok si pripomeňme pojem „stupeň počtu“. Výraz ako $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) $ možno reprezentovať ako $ a ^ n $.

Platí aj konverzácia: $ a ^ n \u003d \\ podprsenka (a * a * \\ ldots * a) _ (n) $.

Táto rovnosť sa nazýva „zápis stupňa ako produktu“. Pomôže nám to určiť, ako násobiť a deliť stupne.
Pamätajte:
a Je základom stupňa.
n - exponent.
Ak n \u003d 1teda číslo a vzal raz a podľa toho: $ a ^ n \u003d 1 $.
Ak n \u003d 0, potom $ a ^ 0 \u003d 1 $.

Prečo sa to stane, môžeme prísť na to, keď sa oboznámime s pravidlami násobenia a deľby moci.

Pravidlá násobenia

a) Ak sa znásobia právomoci s rovnakou základňou.
Ak chcete $ a ^ n * a ^ m $, zapíšte stupne ako produkt: $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) * \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (m ) $.
Obrázok ukazuje, že číslo a zobral n + m krát, potom $ a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.

Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvyšovaní počtu na veľkú mocnosť.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ak sú mocnosti znásobené rôznymi bázami, ale rovnakým exponentom.
Do $ a ^ n * b ^ n $ napíšte stupne ako produkt: $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) * \\ underbrace (b * b * \\ ldots * b) _ (m ) $.
Ak zameníme multiplikátory a spočítame výsledné páry, dostaneme: $ \\ underbrace ((a * b) * (a * b) * \\ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Takže $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.

Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravidlá rozdelenia

a) Základ stupňa je rovnaký, ukazovatele sú rôzne.
Zvážte rozdelenie exponenta väčším exponentom vydelením exponenta menším exponentom.

Takže je to nevyhnutné $ \\ frac (a ^ n) (a ^ m) $kde n\u003e m.

Napíšme mocniny ako zlomok:

$ \\ frac (\\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (m)) $.

Pre uľahčenie napíšeme rozdelenie na jednoduchý zlomok.

Teraz zrušíme zlomok.

Ukázalo sa: $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n-m) \u003d a ^ (n-m) $.
Teda $ \\ frac (a ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.

Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulový výkon. Predpokladajme to n \u003d m, potom $ a ^ 0 \u003d a ^ (n-n) \u003d \\ frac (a ^ n) (a ^ n) \u003d 1 $.

Príklady.
$ \\ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.

$ \\ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.

b) Základy diplomu sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že potrebujete $ \\ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Napíšme mocniny čísel ako zlomok:

$ \\ frac (\\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ underbrace (b * b * \\ ldots * b) _ (n)) $.

Pre pohodlie si predstavme.

Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľkú frakciu na produkt malých, dostaneme.
$ \\ podprsenka (\\ frac (a) (b) * \\ frac (a) (b) * \\ ldots * \\ frac (a) (b)) _ (n) $.
Preto: $ \\ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d (\\ frac (a) (b)) ^ n $.

Príklad.
$ \\ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (\\ frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 $.

Každá aritmetická operácia je niekedy príliš ťažkopádna na napísanie a snažia sa ju zjednodušiť. Bolo to tak s operáciou pridávania. Ľudia potrebovali vykonať niekoľko prídavkov rovnakého typu, napríklad aby vypočítali cenu sto perzských kobercov, z ktorých každý stál 3 zlaté mince. 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. Z dôvodu ťažkopádnosti sa predpokladalo, že sa rekord zníži na 3 * 100 \u003d 300. Záznam „trikrát sto“ v skutočnosti znamená, že musíte zobrať sto trojíc a sčítať ich dohromady. Násobenie sa udomácnilo a získalo si všeobecnú popularitu. Svet však nezostáva stáť a v stredoveku bolo nevyhnutné vykonať viacnásobné množenie rovnakého typu. Spomínam si na starú indiánsku hádanku o mudrcovi, ktorý si za svoju prácu pýtal kúsok pšenice: za prvé políčko šachovnice si pýtal jedno zrno, za druhý dva, za tretí štyri, za piaty osem atď. Takto sa objavilo prvé znásobenie síl, pretože počet zŕn sa rovnal dvom k sile počtu buniek. Napríklad na poslednej bunke by boli 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 zŕn, čo sa rovná počtu 18 znakov dlhých, čo v skutočnosti znamená hádanku.

Operácia povýšenia na moc sa zakorenila pomerne rýchlo a taktiež bolo rýchlo potrebné vykonať sčítanie, odčítanie, delenie a znásobenie právomocí. To druhé stojí za zváženie podrobnejšie. Vzorce na pridávanie stupňov sú jednoduché a ľahko zapamätateľné. Okrem toho je veľmi ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú, ak je napájanie nahradené násobením. Najprv však musíte porozumieť základnej terminológii. Výraz a ^ b (čítaj „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by sa malo vynásobiť b-krát, a „a“ sa nazýva základ stupňa a „b“ sa nazýva mocninový exponent. Ak sú základy stupňov rovnaké, potom sú vzorce odvodené celkom jednoducho. Konkrétny príklad: nájdite hodnotu výrazu 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Ak chcete vedieť, čo by sa malo stať, mali by ste si pred spustením riešenia zistiť odpoveď v počítači. Po zatĺkaní tohto výrazu do ľubovoľnej online kalkulačky, vyhľadávacieho nástroja, zadaní výrazu „násobenie stupňov s rôznymi základmi a rovnakými“ alebo matematického balíka bude výstup 128. Teraz napíšeme tento výraz: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 a 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. Ukazuje sa, že 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4). Ukazuje sa, že súčin stupňov s rovnakou základňou sa rovná základni zvýšenej na výkon rovný súčtu dvoch predchádzajúcich stupňov.

Možno si myslíte, že ide o nehodu, ale nie: akýkoľvek iný príklad môže iba potvrdiť toto pravidlo. Všeobecne teda vzorec vyzerá takto: a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m). Existuje tiež pravidlo, že akékoľvek číslo v nultom stupni sa rovná jednej. Tu by sme si mali pamätať na pravidlo negatívnych síl: a ^ (- n) \u003d 1 / a ^ n. To znamená, že ak 2 ^ 3 \u003d 8, potom 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. Pomocou tohto pravidla môžeme dokázať rovnosť a ^ 0 \u003d 1: a ^ 0 \u003d a ^ (nn) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) je možné zrušiť a zostáva iba jeden. Preto sa odvodzuje pravidlo, že kvocient stupňov s rovnakými bázami sa rovná tejto báze do stupňa rovnajúceho sa kvocientu indexu dividendy a deliteľa: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m). Príklad: Zjednodušte výraz 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Násobenie je komutatívna operácia, preto musíte najskôr pridať exponenty násobenia: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. Ďalej by ste sa mali zaoberať delením záporným exponentom. Je potrebné odpočítať index deliteľa od indexu dividendy: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (- 2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Ukazuje sa, že operácia delenia záporom stupeň je totožný s operáciou vynásobenia podobným pozitívnym exponentom. Konečná odpoveď je teda 8.

Existujú príklady, keď dochádza k nekanonickému znásobovaniu stupňov. Násobenie stupňov na rôznych základniach je často oveľa ťažšie a niekedy dokonca nemožné. Malo by sa uviesť niekoľko príkladov rôznych možných techník. Príklad: zjednodušte výraz 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Je zrejmé, že existuje znásobenie právomocí s rôznymi bázami. Je však potrebné poznamenať, že všetky zásady sú rôzne stupne tripletu. 9 \u003d 3 ^ 2,1 \u003d 3 ^ 4,3 \u003d 3 ^ 5,9 \u003d 3 ^ 6. Pomocou pravidla (a ^ n) ^ m \u003d a ^ (n * m) by ste mali výraz prepísať do pohodlnejšej formy: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7-4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Odpoveď: 3 ^ 11. V prípadoch, keď existujú rôzne dôvody, platí pre rovnaké ukazovatele pravidlo a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n. Napríklad 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. V opačnom prípade, keď existujú rôzne základy a ukazovatele, je nemožné vykonať úplné znásobenie. Niekedy je možné použitie výpočtovej techniky čiastočne zjednodušiť alebo sa uchýliť k použitiu.

Koncept titulu z matematiky je predstavený v 7. ročníku na hodine algebry. A v budúcnosti sa tento koncept v priebehu štúdia matematiky bude aktívne využívať v rôznych formách. Tituly sú dosť náročná téma, ktorá si vyžaduje zapamätanie významov a schopnosť správne a rýchlo počítať. Pre rýchlejšiu a lepšiu prácu s titulmi matematici vymysleli vlastnosti titulu. Pomáhajú obmedziť veľké výpočty a do istej miery previesť obrovský príklad na jedno číslo. Vlastností nie je toľko a všetky sú ľahko zapamätateľné a uplatniteľné v praxi. Článok preto pojednáva o hlavných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa tieto vlastnosti uplatňujú.

Vlastnosti stupňa

Zvážime 12 vlastností stupňa vrátane vlastností stupňov s rovnakými bázami a pre každú vlastnosť uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a ušetrí vás od mnohých výpočtových chýb.

1. majetok.

Mnoho ľudí na túto vlastnosť veľmi často zabúda, robí chyby, pričom číslo v nultom stupni predstavuje nulu.

2. nehnuteľnosť.

3. nehnuteľnosť.

Je potrebné mať na pamäti, že túto vlastnosť je možné použiť iba pri vynásobení čísel, so sumou nefunguje! A nesmieme zabúdať, že táto a ďalšie vlastnosti sa vzťahujú iba na stupne s rovnakými základmi.

4. majetok.

Ak sa číslo v menovateli zvýši na zápornú mocninu, potom sa pri odčítaní vezme sila menovateľa v zátvorkách na správnu zmenu znamienka pri ďalších výpočtoch.

Vlastnosť funguje iba na rozdelenie, na odčítanie sa nevzťahuje!

5. majetok.

6. majetok.

Túto vlastnosť je možné použiť v opačnom smere. Jednotka vydelená číslom je do istej miery toto číslo v mínusovom výkone.

7. majetok.

Túto vlastnosť nie je možné použiť na súčet a rozdiel! Pri zvyšovaní súčtu alebo rozdielu na mocninu sa používajú skrátené vzorce násobenia, nie mocninové vlastnosti.

8. majetok.

9. majetok.

Táto vlastnosť funguje pre každú zlomkovú mocninu s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, zmení sa iba sila koreňa v závislosti od menovateľa sily.

Táto vlastnosť sa tiež často používa v opačnom poradí. Koreň ľubovoľnej mocniny čísla možno predstaviť ako číslo k mocnine jedného vydelené silou koreňa. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je možné extrahovať koreň čísla.

10. majetok.

Táto vlastnosť funguje nielen pre druhú odmocninu a druhý stupeň. Ak sa stupeň koreňa a stupeň, v ktorom je tento koreň zvýšený, zhodujú, potom bude odpoveďou radikálne vyjadrenie.

11. majetok.

Pri rozhodovaní musíte byť schopní vidieť túto vlastnosť včas, aby ste sa zachránili pred obrovskými výpočtami.

12. majetok.

Každá z týchto vlastností sa vo vašich úlohách stretne viackrát; môže byť uvedená v čistej podobe alebo môže vyžadovať určité transformácie a použitie iných vzorcov. Pre správne riešenie teda nestačí poznať iba vlastnosti, treba si precvičiť a spojiť zvyšné matematické vedomosti.

Aplikácia stupňov a ich vlastností

Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly v matematike. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnosti, rovnako ako stupne často komplikujú rovnice a príklady súvisiace s inými odvetviami matematiky. Stupne pomáhajú vyhnúť sa veľkým a zdĺhavým výpočtom, stupne sa dajú ľahšie skrátiť a vypočítať. Ale aby ste mohli pracovať s veľkými stupňami alebo s mocnosťami veľkého počtu, musíte poznať nielen vlastnosti titulu, ale aj kompetentne pracovať so základňami, aby ste ich mohli rozložiť, aby ste uľahčili svoju úlohu. Pre pohodlie by ste tiež mali poznať význam čísel zvýšených na mocninu. To skráti váš čas na rozhodovanie a vylúči potrebu dlhých výpočtov.

Koncept stupňa zohráva v logaritmoch osobitnú úlohu. Pretože logaritmus je v podstate sila čísla.

Skrátené vzorce na násobenie sú ďalším príkladom použitia mocností. Vlastnosti stupňov v nich nie je možné použiť, rozkladajú sa podľa osobitných pravidiel, ale stupne sú vždy prítomné v každom vzorci pre skrátené násobenie.

Tituly sa tiež aktívne využívajú vo fyzike a informatike. Všetky preklady do systému SI sa uskutočňujú pomocou stupňov, neskôr sa pri riešení problémov uplatnia vlastnosti stupňa. V počítačovej vede sa aktívne využívajú sily dvoch, ktoré uľahčujú počítanie a zjednodušujú vnímanie čísel. Ďalšie výpočty prepočtov jednotiek merania alebo výpočty problémov, ako vo fyzike, sa vykonávajú pomocou vlastností stupňa.

Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde zriedka nájdete použitie vlastností stupňa, ale samotné stupne sa aktívne používajú na skrátenie záznamu rôznych veličín a vzdialeností.

Stupne sa používajú aj v každodennom živote, pri výpočte plôch, objemov, vzdialeností.

Pomocou stupňov sa zaznamenávajú veľmi veľké a veľmi malé hodnoty vo všetkých vedeckých oblastiach.

Exponenciálne rovnice a nerovnosti

Vlastnosti stupňa zaujímajú osobitné miesto v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi časté, a to ako v školskom kurze, tak aj na skúškach. Všetky z nich sú vyriešené uplatnením vlastností stupňa. Neznáme je vždy v samotnom stupni, preto, ak poznáme všetky vlastnosti, nebude ťažké vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť.