Výskumné práce Bernoulliho retestových schém. Opakovanie testov. Bernoulliho schéma

Snímka 2

Pn (k) = Cknpk (1-p) nk vzorec v teórii pravdepodobnosti, ktorý umožňuje nájsť pravdepodobnosť výskytu udalosti A v nezávislých testoch. Bernoulliho vzorec umožňuje zbaviť sa veľkého množstva výpočtov – sčítania a násobenia pravdepodobností – s dostatočne veľkým počtom testov.

Snímka 3

Historické pozadie JACOB BERNULLI (1654-1705) Dátum narodenia: 27. december 1654 Miesto narodenia: Bazilej Dátum úmrtia: 16. august 1705 Miesto úmrtia: Bazilej Štátna príslušnosť: Švajčiarsko Vedecký odbor: Matematik Miesto výkonu práce: Bazilejská univerzita Leibniz Jacob Bernoulli (nem. Jakob Bernoulli, 27. december 1654, Bazilej, - 16. august 1705, tamtiež) – švajčiarsky matematik, brat Johanna Bernoulliho; profesor matematiky na univerzite v Bazileji (od roku 1687). Jacob Bernoulli dosiahol významné úspechy v teórii sérií, diferenciálnom počte variácií, teórii pravdepodobnosti a teórii čísel, kde sú po ňom pomenované čísla s určitými špecifickými vlastnosťami. Jacob Bernoulli vlastní aj diela z fyziky, aritmetiky, algebry a geometrie.

Snímka 4

Príklad použitia Bernoulliho vzorca Každý deň akcie korporácie ABC rastú alebo klesajú o jeden bod s pravdepodobnosťou 0,75 a 0,25. Nájdite pravdepodobnosť, že sa akcia vráti na pôvodnú cenu po šiestich dňoch. Prijmite podmienku, že zmeny ceny akcií smerom nahor a nadol sú nezávislé udalosti. RIEŠENIE: Aby sa akcie vrátili na pôvodnú cenu za 6 dní, je potrebné, aby počas tejto doby 3x zdraželi a 3x klesli. Požadovaná pravdepodobnosť sa vypočíta pomocou Bernoulliho vzorca P6 (3) = C36 (3/4) 3 (1/4) 3 = 0,13

Snímka 5

Otestujte sa V urne je 20 bielych a 10 čiernych loptičiek. Vybrali 4 loptičky za sebou a každá odobratá guľa sa vrátila do urny a potom sa vybrala ďalšia a loptičky v urne sa zmiešali. Aká je pravdepodobnosť, že zo štyroch vytiahnutých loptičiek budú dve biele? ODPOVEĎ: RIEŠENIE: ODPOVEĎ: ODPOVEĎ: RIEŠENIE: RIEŠENIE: Audítor odhalí finančné nezrovnalosti v kontrolovanej firme s pravdepodobnosťou 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že bude identifikovaná viac ako polovica zo 4 firiem, ktoré porušujú pravidlá. Kocka sa hodí 3-krát. Aká je pravdepodobnosť, že sa v tejto sérii výziev objaví 6 bodov presne 2-krát? 0,01389 8/27 0,9477

Snímka 6

Otestujte sa Minca sa hodí 6-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb nebude nakreslený viac ako 2-krát. ODPOVEĎ: RIEŠENIE: ODPOVEĎ: RIEŠENIE: Nech je klíčivosť semien pšenice 90%. Aká je pravdepodobnosť, že zo 7 zasiatych semien vyklíči 5? 0,124 0,344

Snímka 7

Pravdepodobnosť odstránenia bielej gule p = 20/30 = 2/3 možno považovať za rovnakú vo všetkých testoch; 1-p = 1/3 Pomocou Bernoulliho vzorca dostaneme P4 (2) = C42 p2 (1-p) 2 = (12/2) (2/3) 2 (1/3) 2 = 8 / 27 SPÄŤ RIEŠENIE PROBLÉMU 1

Snímka 8

SPÄTNÉ RIEŠENIE PROBLÉMU 2 Podujatie spočíva v tom, že zo 4 firiem-porušovateľov budú identifikovaní traja alebo štyria, t.j. P (A) = P4 (3) + P4 (4) P (A) = C340,93 ∙ 0,1 + C44 0,94 = 0,93 (0,4 + 0,9) = 0,9477

Snímka 1

Bernoulliho veta
17.03.2017

Snímka 2

Vykoná sa séria n nezávislých testov. Každá skúška má 2 výsledky: A – „úspech“ a – „neúspech“. Pravdepodobnosť „úspechu“ v každom teste je rovnaká a rovná sa P (A) = p. V súlade s tým sa pravdepodobnosť „neúspechu“ od skúseností k skúsenostiam tiež nemení a rovná sa.
Bernoulliho schéma
Aká je pravdepodobnosť, že úspech nastane k-krát v sérii n experimentov? Nájdite Pn (k).

Snímka 3

Minca je hodená n-krát. Karta sa vyberie z balíčka n-krát a zakaždým, keď sa karta vráti, balíček sa zamieša. Skúmalo sa n položiek určitej výroby, náhodne vybraných, z hľadiska kvality. Strelec strieľa na cieľ n-krát.
Príklady

Snímka 4

Vysvetlite, prečo nasledujúce otázky zapadajú do Bernoulliho schémy. Uveďte, čo je „úspech“ a čo sú n a k. a) Aká je pravdepodobnosť, že pri desiatich hodoch kockou dostanete trikrát „dvojku“? b) Aká je pravdepodobnosť, že pri sto hodoch mincou sa „hlavy“ objavia 73-krát? c) Dvadsaťkrát za sebou sa hádzalo dvojicou kociek. Aká je pravdepodobnosť, že súčet bodov nikdy nebol rovný desiatim? d) Z balíčka 36 kariet sa vytiahli tri karty, výsledok sa zapísal a vrátil do balíčka, potom sa karty zamiešali. Toto sa opakovalo 4-krát. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vytiahnutými kartami bola vždy Piková dáma?

Snímka 5

Počet kombinácií od n do k zodpovedá vzorcu
Napríklad:

Snímka 6

Bernoulliho veta
Pravdepodobnosť Pn (k) presne k úspechov v n nezávislých opakovaniach toho istého testu sa zistí podľa vzorca, kde p je pravdepodobnosť „úspechu“, q = 1-p je pravdepodobnosť „neúspechu“ v samostatnom experimente .

Snímka 7

Minca sa hodí 6-krát. Aká je pravdepodobnosť, že erb padne 0, 1,... 6-krát? Riešenie. Počet pokusov n = 6. Udalosť А - "úspech" - vypadnutie znaku. Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť
;
;
;
;
;
;

Snímka 8

Minca sa hodí 6-krát. Aká je pravdepodobnosť, že erb padne 0, 1,... 6-krát? Riešenie. Počet pokusov n = 6. Udalosť А - "úspech" - vypadnutie znaku.
;
;
;
;
;
;

Snímka 9

Minca sa hodí 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že sa erb objaví dvakrát? Riešenie. Počet pokusov n = 10, m = 2. Udalosť А - "úspech" - vypadnutie znaku. Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť
;
;
;
;
;
;

Snímka 10

V urne je 20 bielych a 10 čiernych loptičiek. Vybrali 4 loptičky a každá odstránená guľa sa vrátila do urny a potom sa vybrala ďalšia a loptičky v urne sa zmiešali. Nájdite pravdepodobnosť, že zo štyroch vytiahnutých guľôčok budú 2 biele gule. Riešenie. Udalosť A – získala bielu loptičku. Potom pravdepodobnosti Podľa Bernoulliho vzorca požadovaná pravdepodobnosť je

Snímka 11

Určte pravdepodobnosť, že v rodine s 5 deťmi nie sú žiadne dievčatá. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť narodenia chlapca a dievčaťa je rovnaká. Riešenie. Pravdepodobnosť narodenia dievčaťa, chlapca Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť

Snímka 12

Určte pravdepodobnosť, že v rodine s 5 deťmi bude jedno dievča. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť narodenia chlapca a dievčaťa je rovnaká. Riešenie. Pravdepodobnosť narodenia dievčaťa, chlapca Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť

Snímka 13

Určte pravdepodobnosť, že v rodine s 5 deťmi budú dve dievčatá. Riešenie. Pravdepodobnosť narodenia dievčaťa, chlapca Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť

Snímka 14

Určte pravdepodobnosť, že v rodine s 5 deťmi budú tri dievčatá. Riešenie. Pravdepodobnosť narodenia dievčaťa, chlapca Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť

Snímka 15

Určte pravdepodobnosť, že v rodine s 5 deťmi nebudú viac ako tri dievčatá. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť narodenia chlapca a dievčaťa je rovnaká. Riešenie. Pravdepodobnosť narodenia dievčaťa, chlapcaPožadovaná pravdepodobnosť je
.

Snímka 16

Medzi dielcami spracovanými pracovníkom sú v priemere 4 % neštandardné. Nájdite pravdepodobnosť, že spomedzi 30 častí odobratých na testovanie budú dve neštandardné. Riešenie. Tu skúsenosť spočíva v kontrole kvality každej z 30 častí. Udalosť A - "vzhľad neštandardnej časti",

Bernoulliho vzorec

Belyaeva T.Yu. GBPOU CC "AMT", Armavir Učiteľ matematiky

Jeden zo zakladateľov teórie pravdepodobnosti a matematickej analýzy

Zahraničný člen Parížskej akadémie vied (1699) a Berlínskej akadémie vied (1701)

Starší brat Johanna Bernoulliho (najslávnejší člen rodiny Bernoulli)

Jacob Bernoulli (1654 - 1705)

Švajčiarsky matematik

Nech sa vyrába P nezávislých pokusov, v každom z nich je pravdepodobnosť, že nastane udalosť A R , a teda pravdepodobnosť, že sa to nestane, je q = 1 - p .

Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že pre P po sebe idúce testy udalosť A nastane presne T raz.

Požadovaná pravdepodobnosť je označená R P ( T ) .

To je zrejmé

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

R 1 (1) + str 1 (0) = p + q = 1

V dvoch testoch:

Možné sú 4 výsledky:

p2(2) = p2; p2(1) = 2pq; p2(0) = q2

R 2 (2) + str 2 (1) + str 2 (0) = (p + q) 2 = 1

V troch testoch:

Možných je 8 výsledkov:

Dostaneme:

p 3 (2) = 3 p 2 q

p3(1) = 3pq2

R 3 (3) + str 3 (2) + str 3 (1) + str 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Cieľ 1

Minca sa hodí 8 krát. Aká je pravdepodobnosť, že „erb“ padne 4-krát?

Cieľ 2

V urne je 20 loptičiek: 15 bielych a 5 čiernych. Vybrali 5 loptičiek v rade, pričom každá odobratá loptička sa vrátila do urny a potom odobrala ďalšiu. Nájdite pravdepodobnosť, že z piatich vytiahnutých guľôčok budú 2 biele gule.

Vzorce na zistenie pravdepodobnosti, že v P skúšobné podujatie príde :

a) menej ako t-krát

R P (0) + ... + str P (t-1)

b) viac ako t-krát

R P (m + 1) + ... + str P (P)

v) nie viac ako t-krát

R P (0) + ... + str P (T)

G) aspoň t-krát

R P (t) + ... + str P (P)

Cieľ 3

Pravdepodobnosť výroby neštandardného dielu na automatickom stroji je 0,02. Určte pravdepodobnosť, že medzi náhodne vybratými šiestimi časťami budú viac ako 4 štandardné.

Udalosť A - « viac ako 4 štandardné diely"(5 alebo 6) znamená

« nie viac ako 1 chybný diel"(0 alebo 1)

Nech sa vyrába P nezávislé testy. Pri každom takomto teste môže, ale nemusí nastať udalosť A. Pravdepodobnosť výskytu udalosti A.

Je potrebné nájsť takéto číslo μ (0, 1, ..., n), pre ktoré bude pravdepodobnosť P n (μ) najväčšia.

Úloha 4.

Podiel prémiových produktov v tomto podniku je 31 %. Aký je najpravdepodobnejší počet položiek „Extra“, ak je vybratá dávka 75 položiek?

Podľa podmienky: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Úloha 6.

Dvaja strelci strieľajú na cieľ. Pravdepodobnosť nezdaru v jednom výstrele pre prvého strelca je 0,2 a pre druhého - 0,4. Nájdite najpravdepodobnejší počet salv, ktoré nezasiahnu cieľ, ak strelci vypália 25 salv.

Podľa podmienky: n = 25, p = 0,2 0,4 = 0,08, q = 0,92

https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Kapitola 9. Prvky matematickej štatistiky, kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti §54. Náhodné udalosti a ich pravdepodobnosti 3. NEZÁVISLÉ OPAKOVANIE TESTOV. BERNULLIHO TEOREM A ŠTATISTICKÁ STABILITA.

Obsah PRÍKLAD 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou ... Riešenie 5a); Riešenie 5b); Riešenie 5c); Riešenie 5d). Všimnite si, že ... V celej sérii opakovaní je dôležité vedieť ... Jacob Bernoulli spojil príklady a otázky ... VETA 3 (Bernoulliho veta). PRÍKLAD 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k). Riešenie 6 a); Riešenie 6 b); Riešenie 6 c); Riešenie 6 d). Bernoulliho veta umožňuje ... VETA 4. Pre veľký počet samostatných opakovaní ... Pre učiteľa. Zdroje. 2.8.2014 2

3. NEZÁVISLÉ OPAKOVANIE TESTOV. BERNULLIHO TEOREM A ŠTATISTICKÁ STABILITA. Časť 3. 2. 8. 2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 3

PRÍKLAD 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia terča jednou ranou Zmeňme trochu predchádzajúci príklad: namiesto dvoch rôznych strelcov bude strieľať na cieľ ten istý strelec. Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: a) bude zasiahnutý trikrát; b) nebude sa čudovať; c) bude zasiahnutý aspoň raz; d) bude zasiahnutý presne raz. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 4

Riešenie príkladu 5a) Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: a) bude zasiahnutý trikrát; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 5

Roztok z príkladu 5b) Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: b) nebude zasiahnutý; Rozhodnutie: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 6

Riešenie príkladu 5c) Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: c) bude zasiahnutý aspoň raz; Rozhodnutie: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 7

Riešenie príkladu 5d) Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: d) bude zasiahnutý presne raz. Rozhodnutie: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 8

Poznámka Riešenie uvedené v bode d) príkladu 5 v špecifickom prípade opakuje dôkaz slávnej Bernoulliho vety, ktorá odkazuje na jeden z najbežnejších pravdepodobnostných modelov: nezávislé opakovania toho istého testu s dvoma možnými výsledkami. Charakteristickým znakom mnohých pravdepodobnostných problémov je, že test, v dôsledku ktorého môže nastať udalosť, ktorá nás zaujíma, sa môže mnohokrát opakovať. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 9

V celej sérii opakovaní je dôležité vedieť Pri každom z týchto opakovaní nás zaujíma otázka, či k tejto udalosti dôjde alebo nie. A v celej sérii opakovaní je dôležité, aby sme presne vedeli, koľkokrát sa táto udalosť môže alebo nemusí vyskytnúť. Napríklad kockou sa hádzalo desaťkrát za sebou. Aká je pravdepodobnosť, že „štvorka“ padne presne 3-krát? 10 výstrelov; aká je pravdepodobnosť, že bude presne 8 zásahov do cieľa? Alebo, aká je pravdepodobnosť, že s piatimi hodmi mincou príde na rad presne 4 krát? 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 10

Jacob Bernoulli kombinuje príklady a otázky Švajčiarsky matematik Jacob Bernoulli zo začiatku 18. storočia spojil príklady a otázky tohto typu do jednej pravdepodobnostnej schémy. Nech sa pravdepodobnosť náhodnej udalosti A počas nejakého testu rovná P (A). Tento test budeme považovať za test s iba dvoma možnými výsledkami: jedným výsledkom je, že nastane udalosť A, a druhým výsledkom je, že nenastane udalosť A, to znamená, že nastane udalosť Ᾱ. Pre stručnosť nazvime prvý výsledok (nástup udalosti A) „úspech“ a druhý výsledok (nástup udalosti Ᾱ) „neúspech“. Pravdepodobnosť P (A) „úspechu“ bude označená p a pravdepodobnosť P (Ᾱ) „neúspechu“ bude označená q. Preto q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 11

VETA 3 (Bernoulliho veta) Veta 3 (Bernoulliho veta). Nech P n (k) je pravdepodobnosť presne k „úspechov“ vyskytujúcich sa v n nezávislých opakovaniach toho istého testu. Potom P n (k) = С n k  p k  q n-k, kde p je pravdepodobnosť „úspechu“ a q = 1 - p je pravdepodobnosť „neúspechu“ v samostatnom teste. Táto veta (uvádzame ju bez dôkazu) má veľký význam pre teóriu aj prax. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 12

PRÍKLAD 6. Príklad 6. V každej z položiek a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť P n (k). a) Aká je pravdepodobnosť, že sa pri 10 hodoch mincou objaví práve 7 „hláv“? b) Každý z 20 ľudí samostatne pomenuje jeden z dní v týždni. „Zlé“ dni sú pondelok a piatok. Aká je pravdepodobnosť, že „šťastie“ bude presne polovičné? c) Hod kockou je „úspešný“, ak je hod 5 alebo 6 bodov. Aká je pravdepodobnosť, že práve 5 z 25 hodov bude „úspešných“? d) Skúška spočíva v hádzaní troch rôznych mincí súčasne. „Zlyhanie“: existuje viac „chvostov“ ako „hlavy“. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 7 hodmi budú práve tri „šťastia“? 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 13

Riešenie 6a) Príklad 6. V každej z položiek a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť P n (k). a) Aká je pravdepodobnosť, že sa pri 10 hodoch mincou objaví práve 7 „hláv“? Rozhodnutie: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 14

Riešenie 6b) Príklad 6. V každej z položiek a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť P n (k). b) Každý z 20 ľudí samostatne pomenuje jeden z dní v týždni. „Zlé“ dni sú pondelok a piatok. Aká je pravdepodobnosť, že „šťastie“ bude presne polovičné? Rozhodnutie: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 15

Riešenie 6c) Príklad 6. V každej z položiek a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť P n (k). c) Hod kockou je „úspešný“, ak je hod 5 alebo 6 bodov. Aká je pravdepodobnosť, že práve 5 z 25 hodov bude „úspešných“? Rozhodnutie: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 16

Riešenie 6d) Príklad 6. V každej z položiek a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť P n (k). d) Skúška spočíva v hádzaní troch rôznych mincí súčasne. „Zlyhanie“: existuje viac „chvostov“ ako „hlavy“. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 7 hodmi budú práve tri „šťastia“? Riešenie: d) n = 7, k = 3. „Šťastie“ v jednom hode spočíva v tom, že „chvostov“ je menej ako „hláv“. Celkovo je možných 8 výsledkov: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "chvosty", O - "hlavy"). V presnej polovici z nich je menej chvostov: ROO, ORO, OOP, LLC. Preto p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 17

Bernoulliho veta umožňuje ... Bernoulliho veta umožňuje nadviazať spojenie medzi štatistickým prístupom k definícii pravdepodobnosti a klasickou definíciou pravdepodobnosti náhodnej udalosti. Pre popis tohto spojenia sa vráťme k pojmom v § 50 o štatistickom spracovaní informácií. Uvažujme o postupnosti n nezávislých opakovaní toho istého pokusu s dvoma výsledkami – šťastím a neúspechom. Výsledky týchto testov tvoria sériu údajov pozostávajúcu z určitej postupnosti dvoch možností: „šťastie“ a „neúspech“. Jednoducho povedané, existuje postupnosť dĺžky n, ktorá sa skladá z dvoch písmen Y ("šťastie") a H ("smola"). Napríklad U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U alebo H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H atď. Vypočítajme násobnosť a frekvenciu variantov Y, to znamená, že nájdeme zlomok k / n, kde k je počet „úspechov“, s ktorými sa stretneme medzi všetkými n opakovaniami. Ukazuje sa, že pri neobmedzenom náraste n bude frekvencia k / n výskytu „úspechov“ prakticky nerozoznateľná od pravdepodobnosti p „úspechu“ v jednom pokuse. Tento pomerne komplikovaný matematický fakt je odvodený práve z Bernoulliho vety. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 18

VETA 4. Pri veľkom počte nezávislých opakovaní VETA 4. Pri veľkom počte nezávislých opakovaní toho istého testu sa frekvencia výskytu náhodnej udalosti A s čoraz väčšou presnosťou približne rovná pravdepodobnosti udalosti A: k / n ≈ P (A). Napríklad pre n> 2000 s pravdepodobnosťou väčšou ako 99 % možno tvrdiť, že absolútna chyba | k / n - P (A) | približná rovnosť k / n≈ P (A) bude menšia ako 0,03. V sociologických prieskumoch preto stačí vyspovedať asi 2000 náhodne vybraných ľudí (respondentov). Ak by na položenú otázku odpovedalo kladne napríklad 520 z nich, tak k / n = 520/2000 = 0,26 a je prakticky isté, že pri akomkoľvek väčšom počte respondentov bude táto frekvencia v rozmedzí od 0,23 do 0,29. Tento jav sa nazýva fenomén štatistickej stability. Takže Bernoulliho veta a jej dôsledky umožňujú (približne) nájsť pravdepodobnosť náhodnej udalosti v tých prípadoch, keď jej explicitný výpočet nie je možný. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 19

Pre učiteľa 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 20

2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 21

02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 22

Zdroje Algebra a začiatok analýzy, ročníky 10-11, časť 1. Učebnica, 10. vydanie. (Základná úroveň), A. G. Mordkovich, M., 2009 Algebra a začiatok analýzy, ročníky 10-11. (Základná úroveň) Metodická príručka pre učiteľa, A.G.Mordkovich, P.V.Semenov, M., 2010 Tabuľky sú zostavené v MS Word a MS Excel. Internetové zdroje Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky 2. 8. 2014 23

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Snímka 1
Kapitola 9. Základy matematickej štatistiky, kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti
§ 54. Náhodné udalosti a ich pravdepodobnosti 3. NEZÁVISLÉ OPAKOVANIE TESTOV. BERNULLIHO TEOREM A ŠTATISTICKÁ STABILITA.

Snímka 2
Obsah
PRÍKLAD 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jedným výstrelom ... Riešenie 5a); Riešenie 5b); Riešenie 5c); Riešenie 5d) Všimnite si, že ... V celej sérii opakovaní je dôležité vedieť ... Jacob Bernoulli skombinoval príklady a otázky ... VETA 3 (Bernoulliho veta).
PRÍKLAD 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k). Riešenie 6a); Riešenie 6b); Riešenie 6c); Riešenie 6d). Bernoulliho veta umožňuje ... VETA 4. S veľkým počtom samostatných opakovaní ... Pre učiteľa Zdroje.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 3
3. NEZÁVISLÉ OPAKOVANIE TESTOV. BERNULLIHO TEOREM A ŠTATISTICKÁ STABILITA.
Časť 3.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 4
PRÍKLAD 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou
Trochu pozmeníme predchádzajúci príklad: namiesto dvoch rôznych strelcov bude strieľať na terč ten istý strelec Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia terča jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: a) bude zasiahnutý trikrát; b) nebude zasiahnutý; c) bude zasiahnutý aspoň raz; d) bude zasiahnutý presne raz.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 5
Riešenie príkladu 5a)
Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: a) bude zasiahnutý trikrát;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 6
Riešenie príkladu 5b)
Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: b) nebude zasiahnutý; Riešenie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 7
Príklad riešenia 5c)
Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: c) bude zasiahnutý aspoň raz; Riešenie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 8
Príklad riešenia 5d)
Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Padli 3 nezávislé výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ: d) bude zasiahnutý práve raz Riešenie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 9
Poznámka
Riešenie uvedené v bode d) príkladu 5 v špecifickom prípade opakuje dôkaz slávnej Bernoulliho vety, ktorá odkazuje na jeden z najbežnejších pravdepodobnostných modelov: nezávislé opakovania toho istého testu s dvoma možnými výsledkami. Charakteristickým znakom mnohých pravdepodobnostných problémov je, že test, v dôsledku ktorého môže nastať udalosť, ktorá nás zaujíma, sa môže mnohokrát opakovať.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 10
Počas celého opakovania je dôležité vedieť
Pri každom z týchto opakovaní nás zaujíma otázka, či k tejto udalosti dôjde alebo nie. A v celej sérii opakovaní je dôležité, aby sme presne vedeli, koľkokrát sa táto udalosť môže alebo nemusí vyskytnúť. Napríklad kockou sa hádzalo desaťkrát za sebou. Aká je pravdepodobnosť, že „štvorka“ padne presne 3-krát? 10 výstrelov; aká je pravdepodobnosť, že bude presne 8 zásahov do cieľa? Alebo, aká je pravdepodobnosť, že s piatimi hodmi mincou príde na rad presne 4 krát?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 11
Jacob Bernoulli spojil príklady a otázky
Jacob Bernoulli, švajčiarsky matematik zo začiatku 18. storočia, spojil príklady a otázky tohto typu do jedinej pravdepodobnostnej schémy: Nech je pravdepodobnosť náhodnej udalosti A v nejakom teste P (A). Tento test budeme považovať za test s iba dvoma možnými výsledkami: jedným výsledkom je, že nastane udalosť A, a druhým výsledkom je, že nenastane udalosť A, to znamená, že nastane udalosť Ᾱ. Pre stručnosť nazvime prvý výsledok (nástup udalosti A) „úspech“ a druhý výsledok (nástup udalosti Ᾱ) „neúspech“. Pravdepodobnosť P (A) „úspechu“ bude označená p a pravdepodobnosť P (Ᾱ) „neúspechu“ bude označená q. Preto q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 12
VETA 3 (Bernoulliho veta)
Veta 3 (Bernoulliho veta). Nech Pn (k) je pravdepodobnosť presne k „úspechov“ vyskytujúcich sa v n nezávislých opakovaniach toho istého testu. Potom Pn (k) = Сnk pk qn-k, kde р je pravdepodobnosť „úspechu“, aq = 1-р je pravdepodobnosť „neúspechu“ v samostatnom teste. Táto veta (uvádzame bez dôkazu) má veľký význam pre teóriu a prax.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 13
PRÍKLAD 6.
Príklad 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k). mince? b) Každý z 20 ľudia nezávisle pomenúvajú jeden z dní v týždni. „Zlé“ dni sú pondelok a piatok. Aká je pravdepodobnosť, že bude presne polovica „šťastia“? Aká je pravdepodobnosť, že práve 5 hodov z 25 bude „úspešných?“ D) Test pozostáva z hodenia troch rôznych mincí súčasne. „Zlyhanie“: existuje viac „chvostov“ ako „hlavy“. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 7 hodmi budú práve tri „šťastia“?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 14
Riešenie 6a)
Príklad 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k).mince? Riešenie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 15
Riešenie 6b)
Príklad 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k). B) Každý z 20 ľudí nezávisle pomenuje jeden z dní v týždni. „Zlé“ dni sú pondelok a piatok. Aká je pravdepodobnosť, že bude presne polovičné „šťastie“?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 16
Riešenie 6c)
Príklad 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k). C) Hod kockou je „úspešný "ak sa hodí 5 alebo 6 bodov... Aká je pravdepodobnosť, že presne 5 z 25 hodov bude „úspešných“?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 17
Riešenie 6d)
Príklad 6. V každom z bodov a) - d) určte hodnoty n, k, p, q a napíšte (bez výpočtov) výraz pre požadovanú pravdepodobnosť Pn (k). D) Test spočíva v simultánnom hádzanie troch rôznych mincí. „Zlyhanie“: existuje viac „chvostov“ ako „hlavy“. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 7 hodmi budú práve tri „zásahy“? Riešenie: d) n = 7, k = 3. „Šťastie“ pri jednom hode je, že „chvostov“ je menej ako „hláv“. Celkovo je možných 8 výsledkov: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "chvosty", O - "hlavy"). V presnej polovici z nich je menej chvostov: ROO, ORO, OOP, LLC. Preto p = q = 0,5; Р7 (3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 18
Bernoulliho veta umožňuje...
Bernoulliho veta umožňuje vytvoriť spojenie medzi štatistickým prístupom k definícii pravdepodobnosti a klasickou definíciou pravdepodobnosti náhodnej udalosti. Pre popis tohto spojenia sa vráťme k pojmom v § 50 o štatistickom spracovaní informácií. Uvažujme o postupnosti n nezávislých opakovaní toho istého pokusu s dvoma výsledkami – šťastím a neúspechom. Výsledky týchto testov tvoria sériu údajov pozostávajúcu z určitej postupnosti dvoch možností: „šťastie“ a „neúspech“. Jednoducho povedané, existuje postupnosť dĺžky n, ktorá sa skladá z dvoch písmen Y ("šťastie") a H ("smola"). Napríklad U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U alebo H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H atď. Vypočítajme násobnosť a frekvenciu variantov Y, to znamená, že nájdeme zlomok k / n, kde k je počet „úspechov“, s ktorými sa stretneme medzi všetkými n opakovaniami. Ukazuje sa, že pri neobmedzenom náraste n bude frekvencia k / n výskytu „úspechov“ prakticky nerozoznateľná od pravdepodobnosti p „úspechu“ v jednom pokuse. Tento pomerne komplikovaný matematický fakt je odvodený práve z Bernoulliho vety.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 19
VETA 4. Pre veľký počet samostatných opakovaní
VETA 4. Pri veľkom počte nezávislých opakovaní toho istého testu sa frekvencia výskytu náhodnej udalosti A s čoraz väčšou presnosťou približne rovná pravdepodobnosti udalosti A: k / n≈ P (A). pre n> 2000 s pravdepodobnosťou väčšou ako 99 % možno tvrdiť, že absolútna chyba | k / n- P (A) | približná rovnosť k / n≈ P (A) bude menšia ako 0,03. V sociologických prieskumoch preto stačí vyspovedať asi 2000 náhodne vybraných ľudí (respondentov). Ak by na položenú otázku odpovedalo kladne napríklad 520 z nich, tak k / n = 520/2000 = 0,26 a je prakticky isté, že pri akomkoľvek väčšom počte respondentov bude táto frekvencia v rozmedzí od 0,23 do 0,29. Tento jav sa nazýva fenomén štatistickej stability, Bernoulliho veta a jej dôsledky teda umožňujú (približne) nájsť pravdepodobnosť náhodnej udalosti v tých prípadoch, keď jej explicitný výpočet nie je možný.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 20
Pre učiteľa
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
*

Snímka 23
Zdroje
Algebra a začiatok analýzy, ročníky 10-11, časť 1. Učebnica, 10. vydanie. (Základná úroveň), A. G. Mordkovich, M., 2009 Algebra a začiatok analýzy, ročníky 10-11. (Základná úroveň) Metodická príručka pre učiteľa, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabuľky sú zostavené v MS Word a MS Excel Internetové zdroje
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteľka matematiky
08.02.2014
*

Prebieha séria nezávislých testov,
z ktorých každý má 2 možné výsledky,
ktoré budeme podmienečne nazývať Úspech a neúspech.
Napríklad študent robí 4 skúšky, každú
z toho sú možné 2 výstupy Úspech: študent
zložil skúšku a Neúspešný: neprospel.

Pravdepodobnosť úspechu v každom pokuse je
p. Pravdepodobnosť zlyhania je q = 1-p.
Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že v rade
z n testov sa úspech vyskytne m-krát
Pn (m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
V každom prípade sa úspech vyskytne m-krát a
Porucha (n-m) krát.
číslo
zo všetkých
kombinácie
rovná sa
číslo
spôsobov výberu z n testov tých m v
čo bol Úspech, t.j. C m
n

Pravdepodobnosť každej takejto kombinácie je
teorém
o
násobenie
pravdepodobnosti
bude Pmqn-m.
Pretože tieto kombinácie sú nezlučiteľné, potom
požadovaná pravdepodobnosť udalosti Bm bude
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
celkovo C hovoríme О х C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Je známe, že orol padne minca, študent
ide do kina, ak padne minca

študentov. Aká je pravdepodobnosť, že
1) na prednáške budú traja z nich
2) na prednáške budú minimálne 3 študenti
2) zúčastní sa aspoň jeden zo študentov prednášky?

1) V tejto úlohe je rad n = 5
nezávislé testy. Nazvime to Úspech
ísť na prednášku (padajúce hlavy) a
Neúspech – návšteva kina (strata erbu).
p = q = 1/2.
Pomocou Bernoulliho vzorca nájdeme pravdepodobnosť, že
že pri 5 hodoch mincou sa to stane trikrát
úspech:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Ak chcete zistiť pravdepodobnosť, že s 5 hodmi
aspoň raz sa minca dostane na chvost,
prejdime k pravdepodobnosti opaku
udalosti - minca vypadne s erbom všetkých 5 krát:
P5 (0).
Potom bude požadovaná pravdepodobnosť: P = 1 - P5 (0).
Podľa Bernoulliho vzorca:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Potom bude pravdepodobnosť želanej udalosti
P 1 0,03125 0,96875

Bernoulli
študent ide
do kina, ak minca padne chvostom - študent ide do
prednáška. 5 žiakov hodilo mincou. Čo je najviac
pravdepodobný počet študentov na prednáške?
Pravdepodobnosť
výhra za 1 tiket sa rovná 0,2. Čo je najviac
pravdepodobný počet výherných tiketov?

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli

np q k np p

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Vzorec pre najpravdepodobnejší počet úspechov
np q k np p
Ak je np-q celé číslo, potom tento interval obsahuje 2
celé čísla. Obe sú rovnako pravdepodobné.
Ak np-q nie je celé číslo, potom tento interval obsahuje 1
celé číslo

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad Je známe, že minca padá hlavou,

- ide študent na prednášku. Hodená minca 5

chodia študenti na prednášku?
np q k np p
n 5
1
p q
2

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad Je známe, že minca padá hlavou,
študent ide do kina, ak padne minca
- ide študent na prednášku. Hodená minca 5
študentov. Aké je najpravdepodobnejšie číslo
chodia študenti na prednášku?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad Je známe, že minca padá hlavou,
študent ide do kina, ak padne minca
- ide študent na prednášku. Hodená minca 5
študentov. Aké je najpravdepodobnejšie číslo
chodia študenti na prednášku?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad Je známe, že minca padá hlavou,
študent ide do kina, ak padne minca
- ide študent na prednášku. Hodená minca 5
študentov. Aké je najpravdepodobnejšie číslo
chodia študenti na prednášku?
pravdepodobnosť, Pn (k)
Pravdepodobnosť počtu navštevujúcich študentov
prednáška
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
počet žiakov, k
4
5

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad je zakúpených 10 žrebov.

lístky?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad je zakúpených 10 žrebov.
Pravdepodobnosť výhry 1 tiketu je 0,2.
Aký je najpravdepodobnejší počet výhercov
lístky?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad je zakúpených 10 žrebov.
Pravdepodobnosť výhry 1 tiketu je 0,2.
Aký je najpravdepodobnejší počet výhercov
lístky?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad je zakúpených 10 žrebov.
Pravdepodobnosť výhry 1 tiketu je 0,2.
Aký je najpravdepodobnejší počet výhercov
lístky?
Pravdepodobnosť počtu výherných tiketov
pravdepodobnosť, Pn (k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
počet lístkov, k
7
8
9
10

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli

10 uzatvorených zmlúv

zaplatiť poistnú sumu

jedna z dohôd

ako podľa troch zmlúv
d) nájsť najpravdepodobnejší počet zmlúv, podľa
kto bude musieť zaplatiť poistnú sumu

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad V priemere 20 % zmlúv má poistenie
spoločnosť vyplatí poistnú sumu.
10 uzatvorených zmlúv
a) Nájdite pravdepodobnosť, ktorú budú mať tri
zaplatiť poistnú sumu
0,201327

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad V priemere 20 % zmlúv má poistenie
spoločnosť vyplatí poistnú sumu.
10 uzatvorených zmlúv
b) Nebude treba platiť ani poistnú sumu
jedna z dohôd
0,107374

S najväčšou pravdepodobnosťou úspechy v schéme
Bernoulli
Príklad V priemere 20 % zmlúv má poistenie
spoločnosť vyplatí poistnú sumu.
10 uzatvorených zmlúv
c) poistnú sumu už nebude treba doplácať,
ako podľa troch zmlúv
0,753297

Ak je n veľké, potom použite vzorec
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
trápne
Preto sa používajú približné vzorce

Veta: Ak je pravdepodobnosť p výskytu javu A
v každom teste je blízko nule,
a počet nezávislých pokusov n je dostatočne veľký,
potom pravdepodobnosť Pn (m) ako v n nezávislých pokusoch
udalosť A nastane m-krát, približne sa rovná:
Pn (m)
m
m!
e
kde λ = np
Tento vzorec sa nazýva Poissonov vzorec (zákon zriedkavých udalostí)

Pn (m)
m
m!
e, np
Zvyčajne sa používa približný Poissonov vzorec,
keď p<0,1, а npq<10.

Príklad Nech je známe, že pri výrobe určitého lieku
odpad (počet balíkov, ktoré nespĺňajú normu)
je 0,2 %. Odhadnite približne pravdepodobnosť, že
Medzi 1000 náhodne vybranými balíčkami budú tri balíčky,
nezodpovedajúce norme.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3)?
e,
np

nie je viazaných viac ako 5 zmlúv.

Príklad V priemere 1 % zmlúv tvorí poisťovňa
zaplatí poistnú sumu. Nájdite pravdepodobnosť, že z
100 zmlúv so vznikom poistnej udalosti bude
nie je viazaných viac ako 5 zmlúv.