Aritmetické a geometrické postupnosti
Teoretické informácie
Teoretické informácie
Aritmetický postup |
Geometrický postup |
|
Definícia |
Aritmetický postup a n volá sa postupnosť, ktorej každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu výrazu, ktorý je pridaný s rovnakým počtom d (d - rozdiel v postupe) |
Geometrický postup b n je postupnosť nenulových čísel, ktorých každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom q (q je menovateľ postupu) |
Opakujúci sa vzorec |
Za každú prírodnú n |
Za každú prírodnú n |
Vzorec n-tého výrazu |
a n \u003d a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Charakteristická vlastnosť |  |
|
| Súčet prvých n-členov |  |
 |
Príklady úloh s komentármi
Cvičenie 1
V aritmetickej postupnosti ( a n) a 1 = -6, a 2
Podľa vzorca n-tého výrazu:
a 22 = a 1 + d (22 - 1) \u003d a 1 + 21 dní
Podľa stavu:
a 1 \u003d -6, takže a 22 \u003d -6 + 21 dní.
Je potrebné nájsť rozdiel medzi postupmi:
d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odpoveď: a 22 = -48.
Zadanie úlohy 2
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti: -3; 6; ....
1. spôsob (pomocou vzorca n-term)
Podľa vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Pretože b 1 = -3,
2. spôsob (pomocou opakujúceho sa vzorca)
Pretože menovateľ postupnosti je -2 (q \u003d -2), potom:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odpoveď: b 5 = -48.
Zadanie úlohy 3
V aritmetickej postupnosti ( a n) a 74 = 34; a 76 \u003d 156. Nájdite sedemdesiaty piaty termín tohto postupu.
Pre aritmetický postup je charakteristická vlastnosť 
.
Preto:
.
Nahraďme údaje do vzorca:
Odpoveď: 95.
Zadanie úlohy 4
V aritmetickej postupnosti ( a n) a n \u003d 3n - 4. Nájdite súčet prvých sedemnástich výrazov.
Na nájdenie súčtu prvých n pojmov aritmetickej postupnosti sa používajú dva vzorce:
.
Ktorý z nich je v tomto prípade výhodnejší?
Podmienkou je známy vzorec pre n-tý člen pôvodnej postupnosti ( a n) a n \u003d 3n - 4. Môžete okamžite nájsť a a 1a a 16 bez nálezu d. Preto použijeme prvý vzorec.
Odpoveď: 368.
Zadanie úlohy 5
V aritmetickej postupnosti ( a n) a 1 = -6; a 2 \u003d -8. Nájdite dvadsiaty druhý termín postupu.
Podľa vzorca n-tého výrazu:
a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21 d.
Podľa stavu, ak a 1 \u003d -6 teda a 22 \u003d -6 + 21d. Je potrebné nájsť rozdiel medzi postupmi:
d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odpoveď: a 22 = -48.
Zadanie úlohy 6
Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti:
Nájdite výraz v postupnosti označený písmenom x.
Pri riešení použijeme vzorec pre n-tý termín b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 pre geometrické postupnosti. Prvý člen postupu. Ak chcete nájsť menovateľa postupnosti q, musíte vziať ktoréhokoľvek z daných členov postupnosti a vydeliť ju predchádzajúcim. V našom príklade môžete vziať a vydeliť. Dostaneme to q \u003d 3. Namiesto n vo vzorci dosadíme 3, pretože je potrebné nájsť tretí člen daný geometrickou postupnosťou.
Dosadením nájdených hodnôt do vzorca dostaneme:
.
Odpoveď :.
Zadanie úlohy 7
Z aritmetických postupností daných vzorcom n-tého výrazu vyberte ten, pre ktorý má byť splnená podmienka a 27 > 9:
Pretože daná podmienka musí byť splnená pre 27. termín progresie, dosadíme namiesto každej v štyroch zo štyroch postupností hodnotu 27. V 4. postupe dostaneme:
.
Odpoveď: 4.
Zadanie úlohy 8
V aritmetickom postupe a 1 \u003d 3, d \u003d -1,5. Zadajte najväčšiu hodnotu n, pre ktorú platí nerovnosť a n > -6.
Alebo aritmetika je typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sú študované v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne pojednáva o otázke, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti.
Aký je tento postup?
Predtým, ako začnete uvažovať o probléme (ako zistiť súčet aritmetickej postupnosti), stojí za to pochopiť, o čom sa bude diskutovať.
Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa sčítaním (odčítaním) určitej hodnoty z každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraický (aritmetický) postup. Táto definícia preložená do jazyka matematiky má formu:
Tu i je poradové číslo prvku riadku a i. Ak teda poznáte iba jedno semeno, môžete ľahko rekonštruovať celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva rozdiel postupu.
Je možné ľahko preukázať, že pre uvažovanú sériu čísel platí nasledujúca rovnosť:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
To znamená, že aby ste našli hodnotu n-tého prvku v poradí, pridajte rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1-krát.
Aký je súčet aritmetickej postupnosti: vzorec
Pred uvedením vzorca na uvedené množstvo stojí za zváženie jednoduchý špeciálny prípad. Pri postupe prirodzených čísel od 1 do 10 musíte nájsť ich súčet. Pretože v postupe (10) je málo členov, je možné problém vyriešiť čelne, to znamená spočítať všetky prvky v poradí.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Stojí za zváženie jedna zaujímavá vec: keďže sa každý člen líši od nasledujúceho rovnakou hodnotou d \u003d 1, potom párový súčet prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. Prinesie rovnaký výsledok. Naozaj:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Ako vidíte, týchto súčtov je iba 5, teda presne dvakrát menej ako počet prvkov v sérii. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každej súčty (11) prídete k výsledku získanému v prvom príklade.
Ak zovšeobecníme túto úvahu, môžeme napísať nasledujúci výraz:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Tento výraz ukazuje, že nie je vôbec potrebné zhrnúť všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n, ako aj celkový počet členov n.
Predpokladá sa, že Gauss prvýkrát myslel na túto rovnosť, keď hľadal riešenie problému, ktorý položil jeho učiteľ školy: spočítať prvých 100 celých čísel.
Súčet prvkov od m do n: vzorec
Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku dáva odpoveď na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvé prvky), ale často je pri problémoch potrebné v strede postupnosti zhrnúť sériu čísel. Ako to spraviť?
Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet výrazov od m-tej do n-tej. Na vyriešenie problému by mal byť daný segment od m do n postupu predstavovaný ako nová číselná rada. V tomto znázornení bude prvý termín a m prvý a n bude n- (m-1). V takom prípade, keď použijete štandardný vzorec pre súčet, získate nasledujúci výraz:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Príklad použitia vzorcov
Vedieť, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti, stojí za zváženie jednoduchý príklad použitia uvedených vzorcov.
Nižšie je číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jej členov, počnúc 5. a končiaci 12.:
Dané čísla naznačujú, že rozdiel d je 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok nájdete hodnoty 5. a 12. člena postupnosti. Ukázalo sa:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Ak poznáte hodnoty čísel na koncoch uvažovanej algebraickej postupnosti a tiež viete, ktoré čísla v rade zaberajú, môžete použiť vzorec pre súčet získaný v predchádzajúcom odseku. Ukázalo sa:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Stojí za zmienku, že túto hodnotu je možné získať rôzne: najskôr nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odčítajte druhý od prvého súčtu.
Súčet aritmetickej postupnosti.
Súčet aritmetického postupu je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému je najrôznejších úloh. Od elementárnych po celkom solídne.
Po prvé, poďme zistiť význam a vzorec pre súčet. A potom to vyriešime. Pre vaše potešenie.) Význam súčtu je jednoduchý, ako hukot. Ak chcete zistiť súčet aritmetickej postupnosti, musíte opatrne pridať všetkých jej členov. Ak je týchto výrazov málo, môžete ich pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak veľa, alebo veľa ... sčítanie je nepríjemné.) V takom prípade vzorec uloží.
Vzorec súčtu vyzerá jednoducho:
Poďme zistiť, aké písmená sú obsiahnuté vo vzorci. Týmto sa veľa objasní.
S n - súčet aritmetickej postupnosti. Výsledok sčítania zo všetkých členovia s prvý od posledný. To je dôležité. Sčítajte presne všetko členov v rade, bez medzier a skokov. A to, počnúc najprv. Pri úlohách, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho volebného obdobia alebo súčtu piateho až dvadsiateho volebného obdobia, bude priame použitie vzorca sklamaním.)
a 1 - najprv člen postupu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprv číslo riadku.
a n - posledný člen postupu. Posledné číslo riadku. Nie veľmi známy názov, ale ak sa použije na sumu, je dokonca veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.
n - číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných členov.
Definujme pojem posledný členom a n... Otázka doplnku: ktorý člen bude posledný, ak je dané nekonečný aritmetický postup?)
Ak chcete získať spoľahlivú odpoveď, musíte pochopiť elementárny význam aritmetickej postupnosti a ... pozorne si prečítať úlohu!)
Pri hľadaní súčtu aritmetickej postupnosti sa vždy objaví (priamo alebo nepriamo) posledný člen, ktoré by mali byť obmedzené. Inak konečná, konkrétna suma proste neexistuje. Pre riešenie nie je dôležité, ktorá postupnosť je nastavená: konečná alebo nekonečná. Nezáleží na tom, ako je nastavená: počtom čísel alebo vzorcom n-tého výrazu.
Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého volebného obdobia do čísla c n. Celý názov vzorca v skutočnosti vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určený výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často šifrované, áno ... Ale nič, v nasledujúcich príkladoch tieto tajomstvá odhalíme.)
Príklady úloh pre súčet aritmetickej postupnosti.
Najskôr užitočné informácie:
Hlavná ťažkosť v úlohách pre súčet aritmetickej postupnosti spočíva v správnom určení prvkov vzorca.
Autori úloh šifrujú práve tieto prvky bezhraničnou predstavivosťou.) Tu sa hlavne treba báť. Po pochopení podstaty prvkov stačí ich jednoducho dešifrovať. Poďme si podrobne rozobrať niekoľko príkladov. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.
1. Aritmetický postup je určený podmienkou: a n \u003d 2n-3,5. Nájdite súčet jeho prvých 10 členov.
Dobré zadanie. Ľahko.) Čo potrebujeme vedieť, aby sme mohli určiť sumu podľa vzorca? Prvý termín a 1, posledný termín a n, áno číslo posledného člena n.
Odkiaľ získať číslo posledného člena n? Áno, v podmienke! Píše sa v ňom: nájdite sumu prvých 10 členov. No aké bude číslo posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho počet je desiaty!) Takže namiesto a n vo vzorci dosadíme a 10a namiesto n - desať. Počet posledného člena je opäť rovnaký ako počet členov.
Zostáva určiť a 1 a a 10... To sa dá ľahko vypočítať podľa vzorca n-tého člena, ktorý je uvedený v problémovom výroku. Neviete, ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez nej - nič.
a 1\u003d 2 1 - 3,5 \u003d -1,5
a 10\u003d 210 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej postupnosti. Zostáva ich nahradiť, ale počítajte:
To je všetko. Odpoveď: 75.
Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:
2. Dostanete aritmetický postup (a n), ktorého rozdiel je 3,7; a 1 \u003d 2,3. Nájdite súčet jeho prvých 15 členov.
Okamžite napíšeme vzorec pre množstvo:
Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ktoréhokoľvek člena podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú substitúciu:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Zostáva nahradiť všetky prvky vo vzorci súčtom aritmetickej postupnosti a vypočítať odpoveď:
Odpoveď: 423.
Mimochodom, ak je vo vzorci suma namiesto a n iba dosadíme vzorec pre n-tý výraz, dostaneme:
Dáme podobné, dostaneme nový vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti:
 |
Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje a n... Pri niektorých úlohách tento vzorec veľmi pomáha, áno ... Tento vzorec si môžete pamätať. Alebo ho môžete jednoducho zobraziť v správnom čase, napríklad tu. Koniec koncov, vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý pojem si treba pamätať po všetkých stránkach.)
Teraz je úloha vo forme krátkeho šifrovania):
3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel deliteľný tromi.
Ako! Ani prvý člen, ani posledný, ani postup vôbec ... Ako žiť!?
Musíte myslieť hlavou a vytiahnuť zo stavu všetky prvky súčtu aritmetického postupu. Vieme, čo sú dvojciferné čísla. Skladajú sa z dvoch číslic.) Aké bude dvojciferné číslo najprv? 10, predpokladám.) posledná vec dvojciferne cislo? 99 samozrejme! Nasledovať ho budú trojciferné ...
Násobky troch ... Hm ... To sú čísla, ktoré sú tu deliteľné tromi celkom! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné ... 12 ... je deliteľné! Takže sa čosi črtá. Podľa stavu problému je už možné napísať sériu:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bude táto séria aritmetickým postupom? Samozrejme! Každý člen sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak k pojmu pripočítame 2 alebo 4, povedzme, výsledok, t.j. nové číslo už nebude delené celkom 3. Na hromadu môžete okamžite určiť rozdiel aritmetickej postupnosti: d \u003d 3. Bude sa vám hodiť!)
Môžete si teda bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:
Aké bude číslo n posledný člen? Každý, kto si myslí, že 99 sa osudovo mýli ... Čísla - idú vždy po sebe a naši členovia preskočia prvé tri. Nezhodujú sa.
Existujú dve riešenia. Jedným zo spôsobov je super pracovitý. Postup, celú sériu čísel môžete vymaľovať prstom a spočítať počet členov.) Druhá cesta je pre premýšľavých. Musíme si zapamätať vzorec pre n-tý termín. Ak použijeme vzorec na náš problém, dostaneme, že 99 je tridsiaty termín progresie. Tých. n \u003d 30.
Pozeráme sa na vzorec pre súčet aritmetickej postupnosti:
Pozeráme a sme šťastní.) Z problémového stavu sme vytiahli všetko potrebné na výpočet sumy:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Elementárne aritmetické zvyšky. Vo vzorci dosadíme čísla a spočítame:
Odpoveď: 1665
Ďalším typom populárnych hádaniek:
4. Je uvedený aritmetický postup:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Nájdite súčet členov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.
Pozeráme sa na vzorec súčtu a ... rozčuľujeme sa.) Vzorec, dovoľte mi pripomenúť, počíta súčet od prvého členom. A v probléme si treba vypočítať sumu od dvadsiateho ... Vzorec nebude fungovať.
Môžete samozrejme namaľovať celý postup za sebou a pridať členov od 20 do 34. Ale ... je to akosi hlúpe a trvá to dlho, však?)
Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš riadok na dve časti. Prvá časť bude od prvého člena do devätnásteho. Druhá časť - od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého. Je zrejmé, že ak vypočítame súčet členov prvej časti S 1-19, áno, pripočítame so súčtom podmienok druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupnosti od prvého volebného obdobia do tridsiateho štvrtého S 1-34... Páči sa ti to:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
To ukazuje, že na nájdenie sumy S 20-34 môže byť jednoduché odčítanie
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Berú sa do úvahy obidve sumy na pravej strane od prvého člen, t.j. štandardný vzorec súčtu je pre nich celkom použiteľný. Začíname?
Z výpisu problému vyberieme parametre postupu:
d \u003d 1,5.
a 1= -21,5.
Na výpočet súčtov prvých 19 a prvých 34 členov budeme potrebovať 19. a 34. člena. Počítame ich podľa vzorca n-tého člena, ako v úlohe 2:
a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nezostáva nič. Odčítajte 19 členov z celkového počtu 34 členov:
S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5
Odpoveď: 262,5
Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočný trik. Namiesto priameho vyrovnania čo potrebujete (S 20-34), rátali sme čo, zdá sa, nie je potrebné - S 1-19. A potom určili a S 20-34, vyradením nepotrebných z úplného výsledku. Takýto „trik s ušami“ často zachráni zlé úlohy.)
V tejto lekcii sme skúmali problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej postupnosti. Musíte poznať niekoľko vzorcov.)
Praktické rady:
Pri riešení akéhokoľvek problému pre súčet aritmetickej postupnosti odporúčam z tejto témy okamžite vypísať dva hlavné vzorce.
Vzorec n-tého výrazu:
Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať, ktorým smerom máte myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.
A teraz úlohy nezávislého riešenia.
5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.
Super?) Tip je skrytý v poznámke k úlohe 4. No, úloha 3 pomôže.
6. Aritmetický postup je určený podmienkou: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Nájdite súčet prvých 24 členov.
Neobvyklé?) Toto je opakujúci sa vzorec. Dočítate sa o tom v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto úlohy sa často nachádzajú v GIA.
7. Vasya ušetrila peniaze na sviatok. Až 4550 rubľov! A rozhodol som sa dať svojmu najmilovanejšiemu človeku (sebe) niekoľko dní šťastia). Žiť krásne, bez toho, aby ste si niečo odopierali. Prvý deň minúť 500 rubľov a každý nasledujúci deň minúť o 50 rubľov viac ako v predchádzajúci deň! Až do vyčerpania ponuky peňazí. Koľko dní šťastia dostal Vasya?
Náročné?) Pomôže vám ďalší vzorec z úlohy 2.
Odpovede (v rozpore): 7, 3240, 6.
Ak sa vám páči táto stránka ...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si nacvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa oboznámiť s funkciami a deriváciami.
