Ciele lekcie:
- vzdelávacie: nácvik riešenia sústav rovníc obsahujúcich homogénnu rovnicu, symetrické sústavy rovníc;
- rozvíjanie: rozvoj myslenia, pozornosti, pamäti, schopnosť zdôrazniť hlavnú vec;
- vzdelávacie: rozvoj komunikačných schopností.
Typ lekcie: lekciu osvojovania si nového materiálu.
Použité vzdelávacie technológie:
- pracovať v skupinách;
- projektová metóda.
Vybavenie: počítač, multimediálny projektor.
Týždeň pred vyučovacou hodinou dostávajú študenti témy tvorivých zadaní (podľa možností).
Možnosť I. Symetrické sústavy rovníc. Riešenia.
Možnosť II. Sústavy obsahujúce homogénnu rovnicu. Riešenia.
Každý študent si pomocou doplnkovej náučnej literatúry musí nájsť vhodný vzdelávací materiál, vybrať sústavu rovníc a vyriešiť ju.
Jeden študent z každej možnosti vytvára multimediálne prezentácie na tému kreatívneho zadania. Učiteľ v prípade potreby poskytuje žiakom konzultácie.
I. Motivácia výchovno-vzdelávacej činnosti žiakov
Úvodné slovo učiteľa
V predchádzajúcej lekcii sme uvažovali o riešení sústav rovníc nahradením neznámych. Neexistuje žiadne všeobecné pravidlo pre výber nových premenných. Ak však existuje rozumný výber premenných, možno rozlíšiť dva typy systémov rovníc:
- symetrické sústavy rovníc;
- sústavy rovníc, z ktorých jedna je homogénna.
II. Učenie sa nového materiálu
Študenti možnosti II referujú o svojich domácich úlohách.
1. Ukážka diapozitívov multimediálnej prezentácie „Systémy obsahujúce homogénnu rovnicu“ (prezentácia 1).
2. Práca vo dvojiciach žiakov sediacich v jednej lavici: žiak možnosti II vysvetľuje susedovi na stole riešenie sústavy obsahujúcej homogénnu rovnicu.
Správa študentov možnosti I.
1. Ukážka snímok multimediálnej prezentácie „Symetrické sústavy rovníc“ (prezentácia 2).
Žiaci píšu do zošita:
2. Práca vo dvojiciach žiakov sediacich v jednej lavici: žiak možnosti I vysvetlí susedovi na stole riešenie symetrickej sústavy rovníc.
III. Konsolidácia študovaného materiálu
Pracujte v skupinách (študenti sediaci v susedných laviciach sú spojení v skupine 4 študentov).
Každá zo 6 skupín vykonáva nasledujúcu úlohu.
Určite typ systému a vyriešte ho:
Študenti v skupinách analyzujú systémy, určujú ich typ, potom v priebehu frontálnej práce diskutujú o riešeniach systémov.
systém
symetrické, zavádzame nové premenné x + y = u, xy = v
b) systém
obsahuje homogénnu rovnicu.
Dvojica čísel (0; 0) nie je riešením systému.
IV... Kontrola vedomostí žiakov
Samostatná práca na možnostiach.
Vyriešte sústavu rovníc:
Žiaci odovzdajú zošity učiteľovi na kontrolu.
V. Domáca úloha
1. Vyplňte všetkými študentmi.
Vyriešte sústavu rovníc:
2. Robia to „silní“ študenti.
Vyriešte sústavu rovníc:
Vi. Zhrnutie lekcie
otázky:
S akými typmi sústav rovníc ste sa na hodine stretli?
Aká metóda riešenia sústav rovníc sa používa na ich riešenie?
Oznamovanie známok, ktoré študenti dostali počas hodiny.
Domov> RiešenieRacionálne rovnice a nerovnice
I. Racionálne rovnice.
Lineárne rovnice.
Sústavy lineárnych rovníc.
Reflexné rovnice.
Vietov vzorec pre polynómy vyššieho stupňa.
Sústavy rovníc druhého stupňa.
Metóda vnášania nových neznámych pri riešení rovníc a sústav rovníc.
Homogénne rovnice.
Riešenie symetrických sústav rovníc.
Rovnice a sústavy rovníc s parametrami.
Grafická metóda riešenia sústav nelineárnych rovníc.
Rovnice obsahujúce znamienko modulu.
Základné metódy riešenia racionálnych rovníc
II. Racionálne nerovnosti.
Vlastnosti ekvivalentných nerovností.
Algebraické nerovnosti.
Metóda intervalov.
Zlomkové racionálne nerovnosti.
Nerovnice obsahujúce neznáme pod absolútnou hodnotou.
Nerovnosti s parametrami.
Systémy racionálnych nerovností.
Grafické riešenie nerovností.
III. Overovací test.
Racionálne rovnice
Funkcia zobrazenia
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,
kde n je prirodzené číslo, a 0, a 1,…, a n sú nejaké reálne čísla, sa nazýva celá racionálna funkcia.
Rovnica v tvare P (x) = 0, kde P (x) je celá racionálna funkcia, sa nazýva celá racionálna rovnica.
Rovnica formulára
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) +… + P m (x) / Q m (x) = 0,
kde P 1 (x), P 2 (x),…, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x),…, Q m (x) sú celé racionálne funkcie, sa nazýva racionálna rovnica .
Riešenie racionálnej rovnice P (x) / Q (x) = 0, kde P (x) a Q (x) sú polynómy (Q (x) 0), sa redukuje na riešenie rovnice P (x) = 0 a overenie, či korene spĺňajú podmienku Q (x) 0.
Lineárne rovnice.
Rovnice v tvare ax + b = 0, kde a a b sú nejaké konštanty, sa nazýva lineárna rovnica.
Ak a0, potom lineárna rovnica má jeden koreň: x = -b / a.
Ak a = 0; b0, potom lineárna rovnica nemá riešenia.
Ak a = 0; b = 0, potom prepísaním pôvodnej rovnice do tvaru ax = -b je ľahké vidieť, že akékoľvek x je riešením lineárnej rovnice.
Rovnica s priamkou má tvar: y = ax + b.
Ak bodom so súradnicami X 0 a Y 0 prechádza priamka, potom tieto súradnice spĺňajú rovnicu priamky, teda Y 0 = aX 0 + b.
Príklad 1.1... Vyriešte rovnicu
2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.
Riešenie. Postupne rozbaľte zátvorky, uveďte podobné výrazy a nájdite x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Príklad 1.2. Vyriešte rovnicu
2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.
Riešenie. 2x + 2x - 4x = 3 + 2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Odpoveď: .
Príklad 1.3... Vyriešte rovnicu.
2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.
Riešenie. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
- 4x + 9 = 9 - 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Odpoveď: Akékoľvek číslo.
Sústavy lineárnych rovníc.
Rovnica formulára
a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + a n x n = b,
kde a 1, b 1,…, a n, b sú nejaké konštanty, sa nazýva lineárna rovnica s n neznámymi x 1, x 2,…, x n.
Systém rovníc sa nazýva lineárny, ak sú všetky rovnice zahrnuté v systéme lineárne. Ak sa systém skladá z n neznámych, potom sú možné tieto tri prípady:
systém nemá riešenia;
systém má práve jedno riešenie;
systém má nekonečne veľa riešení.
Príklad 2.4. vyriešiť sústavu rovníc
Riešenie. Sústavu lineárnych rovníc je možné riešiť substitučnou metódou, ktorá spočíva v tom, že niektorá rovnica sústavy je vyjadrená jednou neznámou pomocou iných neznámych a hodnota tejto neznámej sa potom dosadí do zvyšku rovníc. .
Z prvej rovnice vyjadríme: x = (8 - 3y) / 2. Tento výraz dosadíme do druhej rovnice a získame sústavu rovníc
X = (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y = 7. Z druhej rovnice dostaneme y = 2. Ak to vezmeme do úvahy, z prvej rovnice x = 1. Odpoveď: (1 2. Príklad 2.5. Riešiť sústavu rovníc
Riešenie. Systém nemá riešenia, pretože dve rovnice systému nemôžu byť splnené súčasne (z prvej rovnice x + y = 3 az druhej x + y = 3,5).
Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.
Príklad 2.6. vyriešiť sústavu rovníc
Riešenie. Systém má nekonečne veľa riešení, keďže druhá rovnica sa získa z prvej vynásobením 2 (t.j. v skutočnosti existuje len jedna rovnica s dvoma neznámymi).
Odpoveď: Riešení je nekonečne veľa.
Príklad 2.7. vyriešiť sústavu rovníc
x + y - z = 2,
2x - y + 4z = 1,
Riešenie. Pri riešení sústav lineárnych rovníc je vhodné použiť Gaussovu metódu, ktorá spočíva v transformácii sústavy do trojuholníkového tvaru.
Prvú rovnicu sústavy vynásobíme - 2 a pripočítaním tohto výsledku k druhej rovnici dostaneme - 3y + 6z = - 3. Túto rovnicu môžeme prepísať ako y - 2z = 1. Sčítaním prvej rovnice s treťou , dostaneme 7y = 7 alebo y = 1.
Systém tak nadobudol trojuholníkový tvar
x + y - z = 2,
Dosadením y = 1 v druhej rovnici zistíme z = 0. Dosadením y = 1 az = 0 v prvej rovnici nájdeme x = 1 Odpoveď: (1; 1; 0) Príklad 2.8. pre aké hodnoty parametra je sústava rovníc
2x + ay = a + 2,
(a + 1) x + 2ay = 2a + 4
má nekonečne veľa riešení? Riešenie. Z prvej rovnice vyjadríme x:
x = - (a / 2) y + a / 2 +1.
Dosadením tohto výrazu do druhej rovnice dostaneme
(a + 1) (- (a / 2) y + a / 2 + 1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1) (a + 2 - ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay - a (a + 1) y = 4 (a + 2) - (a + 1) (a + 2),
ya (4 - a - 1) = (a + 2) (4 - a - 1),
ya (3 - a) = (a + 2) (3 - a).
Pri analýze poslednej rovnice si všimneme, že pre a = 3 má tvar 0y = 0, t.j. je uspokojená pre akúkoľvek hodnotu y. odpoveď: 3.
Kvadratické rovnice a rovnice, ktoré sa na ne redukujú.
Rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a, b a c sú nejaké čísla (a0);
x je premenná nazývaná kvadratická rovnica.
Vzorec na riešenie kvadratickej rovnice.
Najprv vydelíme obe strany rovnice ax 2 + bx + c = 0 a - tým sa nezmenia jej korene. Na vyriešenie výslednej rovnice
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
vyberte celý štvorec na ľavej strane
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).
Pre stručnosť označíme výraz (b 2 - 4ac) D. Potom získa výsledná identita tvar
Možné sú tri prípady:
ak je číslo D kladné (D> 0), potom v tomto prípade môžeme extrahovať druhú odmocninu z D a napísať D v tvare D = (D) 2. Potom
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, preto identita nadobúda tvar
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2.
Pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín odvodíme:
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a) - (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).
Veta: Ak totožnosť
ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2),
potom kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 pre X 1 X 2 má dva korene X 1 a X 2 a pre X 1 = X 2 má iba jeden koreň X 1.
Na základe tejto vety z vyššie uvedenej identity vyplýva, že rovnica
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,
a teda rovnica ax 2 + bx + c = 0 má dva korene:
Xi = (- b + D) / 2a; X2 = (-b - D) / 2a.
Teda x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x - x1) (x - x2).
Zvyčajne sú tieto korene zapísané v jednom vzorci:
kde b2-4ac = D.
ak sa číslo D rovná nule (D = 0), potom ide o identitu
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
má tvar x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.
Z toho vyplýva, že pre D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 jeden koreň násobnosti 2: X 1 = - b / 2a
3) Ak je číslo D záporné (D< 0), то – D >0, a teda výraz
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
je súčet dvoch členov, z ktorých jeden je nezáporný a druhý kladný. Tento súčet nemôže byť nula, takže rovnica
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
nemá platné korene. Rovnica ax 2 + bx + c = 0 ich tiež nemá.
Na vyriešenie kvadratickej rovnice by sme teda mali vypočítať diskriminant
D = b2-4ac.
Ak D = 0, potom má kvadratická rovnica jedinečné riešenie:
Ak D> 0, potom má kvadratická rovnica dva korene:
Xi = (-b + D) / (2a); X2 = (-b - D) / (2a).
Ak D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Ak je jeden z koeficientov b alebo c nula, potom kvadratickú rovnicu možno vyriešiť bez výpočtu diskriminantu:
b = 0; c 0; c / a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b/a.
Korene všeobecnej kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 nájdeme podľa vzorca
Kvadratická rovnica, v ktorej koeficient v x 2 je 1, sa nazýva redukovaná. Redukovaná kvadratická rovnica sa zvyčajne označuje takto:
x 2 + px + q = 0.
Vietov teorém.
Vydedukovali sme identitu
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x - x1) (x - x2),
kde X 1 a X 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0. Rozšírme zátvorky na pravej strane tejto identity.
x 2 + (b / a) x + (c / a) = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2.
Z toho vyplýva, že Xi + X2 = - b/a a XiX2 = c/a. Dokázali sme nasledujúcu vetu, ktorú prvýkrát stanovil francúzsky matematik F. Viet (1540 - 1603):
Veta 1 (vieta). Súčet koreňov kvadratickej rovnice sa rovná koeficientu v X, pričom sa berie s opačným znamienkom a delí sa koeficientom v X 2; súčin koreňov tejto rovnice sa rovná voľnému členu vydelenému koeficientom pri X 2.
Veta 2 (obrátiť). Ak platí rovnosť
X 1 + X 2 = - b / a a X 1 X 2 = c / a,
potom čísla X 1 a X 2 sú koreňmi kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.
Komentujte. Vzorce X 1 + X 2 = - b / a a X 1 X 2 = c / a zostávajú pravdivé aj v prípade, keď rovnica ax 2 + bx + c = 0 má jeden odmocninec X 1 násobnosti 2, ak dáme X 2 = X 1. Preto sa všeobecne uznáva, že pre D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 dva korene, ktoré sa navzájom zhodujú.
Pri riešení problémov súvisiacich s Vietovou vetou je užitočné použiť vzťahy
(1/X1)+ (1/X2) = (X1 + X2)/X1X2;
X12 + X22 = (X1 + X2)2-2 X1X2;
X1/X2 + X2/X1 = (X12 + X22) / X1X2 = ((X1 + X2)2-2X1X2)/X1X2;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X1 + X2) ((X1 + X2)2-3X1X2).
Príklad 3.9. Vyriešte rovnicu 2x2 + 5x - 1 = 0.
Riešenie. D = 25 - 42 (-1) = 33 > 0;
X1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.
Odpoveď: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.
Príklad 3.10. Vyriešte rovnicu x 3 - 5x 2 + 6x = 0
Riešenie. Vynásobte ľavú stranu rovnice x (x 2 - 5x + 6) = 0,
teda x = 0 alebo x 2 - 5x + 6 = 0.
Vyriešením kvadratickej rovnice dostaneme X 1 = 2, X 2 = 3.
Odpoveď: 0; 2; 3.
Príklad 3.11.
x 3 - 3x + 2 = 0. Riešenie. Prepíšte rovnicu napísaním –3x = - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 = 0 a teraz skupina x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) = 0, (x - 1) ( x ( x + 1) - 2) = 0, x - 1 = 0, x 1 = 1, x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1 Odpoveď: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Príklad 3.12. Vyriešte rovnicu 7
(x - 1) (x - 3) (x - 4)
(2x - 7) (x + 2) (x - 6) Riešenie. Nájdite rozsah prípustných hodnôt x: X + 2 0; x - 6 0; 2x - 7 0 alebo x - 2; x 6; x 3.5 Zredukujte rovnicu na tvar (7x - 14) (x 2 - 7x + 12) = (14 - 4x) (x 2 - 4x - 12), otvorte zátvorky. 7x 3 - 49x 2 + 84x - 14x 2 + 98x - 168 + 4x 3 - 16x 2 - 48x - 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 - 93x 2 + 190x = 0, x (11x 2 - 93x + 190) = 2 -193 = 0,1x + 190 = 0,93 (8649 – 8360) 93 17 x 2,3 = =,
Tie. x 1 = 5; x 2 = 38/11.
Zistené hodnoty vyhovujú ODZ.
Odpoveď: x 1 = 0; x2 = 5; x 3 = 38/11.
Príklad 3.13. Vyriešte rovnicu x 6 - 5x 3 + 4 = 0
Riešenie. Označme y = x 3, potom má pôvodná rovnica tvar
y 2 - 5y + 4 = 0, po vyriešení ktorého dostaneme Y 1 = 1; Y2 = 4.
Pôvodná rovnica je teda ekvivalentná množine
rovnice: x 3 = 1 alebo x 3 = 4, t.j. X 1 = 1 alebo X 2 = 3 4
Odpoveď: 1; 3 4.
Príklad 3.14. Vyriešte rovnicu (x 3 - 27) / (x - 3) = 27
Riešenie. Rozložme čitateľa na faktor (pomocou vzorca pre rozdiel medzi kockami):
správaVedecký poradca: Kulabukhov Sergey Yurievich, kandidát fyzikálnych a matematických vied, učiteľ dodatočného vzdelávania MOU DOD DTDiM, Rostov na Done.
1.
Rovnice sa nazývajú symetrické rovnice 3. stupňa ak majú formu
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Na úspešné riešenie rovníc tohto druhu je užitočné poznať a vedieť používať nasledujúce najjednoduchšie vlastnosti rekurentných rovníc:
a) Akákoľvek návratová rovnica nepárneho stupňa má vždy koreň rovný -1.
Skutočne, ak zoskupíme členy vľavo takto: a (x 3 + 1) + bx (x + 1) = 0, to znamená, že je možné vyňať spoločný činiteľ, t.j. (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) = 0, teda,
x + 1 = 0 alebo ax 2 + (b - a) x + a = 0, prvá rovnica dokazuje tvrdenie, ktoré nás zaujíma.
b) Návratová rovnica nemá žiadne korene rovné nule.
v) Keď sa polynóm nepárneho stupňa vydelí (x + 1), kvocient je opäť rekurentný polynóm, čo je dokázané indukciou.
Príklad.
x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 = 0.
Riešenie.
Pôvodná rovnica musí mať koreň x = -1, takže x 3 + 2x 2 + 2x + 1 vydelíme (x + 1) podľa Hornerovej schémy:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
Kvadratická rovnica x 2 + x + 1 = 0 nemá korene.
odpoveď: -1.
2.
Rovnice sa nazývajú symetrické rovnice 4. stupňa ak majú formu
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritmus na riešenie podobné rovnice sú nasledovné:
a) Vydeľte obe strany pôvodnej rovnice x 2. Táto akcia nepovedie k strate koreňa, pretože x = 0 nie je riešením danej rovnice.
b) Pomocou zoskupovania uveďte rovnicu do tvaru:
a (x 2 + 1 / x 2) + b (x + 1 / x) + c = 0.
v) Zadajte novú neznámu: t = (x + 1 / x).
Urobme transformácie: t 2 = x 2 + 2 + 1 / x 2. Ak teraz vyjadríme x 2 + 1 / x 2, potom t 2 - 2 = x 2 + 1 / x 2.
G) Vyriešte výslednú kvadratickú rovnicu v nových premenných:
at 2 + bt + c - 2a = 0.
e) Obrátená substitúcia.
Príklad.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
Riešenie.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 = 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 = 0.
Zadajte t: substitúcia (x + 1 / x) = t. Náhrada: (x 2 + 1 / x 2) = t 2 - 2, máme:
6t 2 - 5t - 50 = 0.
t = -5/2 alebo t = 10/3.
Vráťme sa k premennej x. Po spätnom nahradení riešime dve získané rovnice:
1) x + 1 / x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 alebo x = -1/2.
2) x + 1 / x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 alebo x = 1/3.
Odpoveď: -2; -1/2; 1/3; 3.
Metódy riešenia niektorých typov rovníc vyšších stupňov
1. Rovnice, ktoré majú tvar (x + a) n + (x + b) n = c, sa riešia substitúciou t = x + (a + b) / 2. Táto metóda sa nazýva symetrizačná metóda.
Príkladom takejto rovnice môže byť rovnica v tvare (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Príklad.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Riešenie.
Vykonáme vyššie uvedenú náhradu:
t = x + (3 + 1) / 2 = x + 2, po zjednodušení: x = t - 2.
(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1)4 + (t - 1)4 = 272.
Odstránením zátvoriek pomocou vzorcov dostaneme:
t4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12 t 2 - 270 = 0.
t4 + 6t2 - 135 = 0.
t2 = 9 alebo t2 = -15.
Druhá rovnica nedáva korene, ale z prvej máme t = ± 3.
Po spätnom nahradení dostaneme, že x = -5 alebo x = 1.
Odpoveď: -5; jeden.
Riešenie takýchto rovníc sa často ukazuje ako efektívne a metóda faktorizácie ľavej strany rovnice.
2. Rovnice formulára (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = A, kde a + d = c + b.
Technika riešenia takýchto rovníc je čiastočne otvoriť zátvorky a potom zaviesť novú premennú.
Príklad.
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.
Riešenie.
Vypočítajte: 1 + 4 = 2 + 3. Zoskupte zátvorky do dvojíc:
((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Substitúciou x 2 + 5x + 4 = t máme rovnicu
t (t + 2) = 24, je to štvorec:
t2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 alebo t = 4.
Po vykonaní reverznej výmeny ľahko nájdeme korene pôvodnej rovnice.
Odpoveď: -5; 0.
3. Rovnice formulára (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = Ax 2, kde ad = cb.
Metóda riešenia spočíva v čiastočnom otvorení zátvoriek, delení oboch častí x 2 a vyriešení sústavy kvadratických rovníc.
Príklad.
(x + 12) (x + 2) (x + 3) (x + 8) = 4x 2.
Riešenie.
Vynásobením prvých dvoch a posledných dvoch zátvoriek vľavo dostaneme:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Delíme x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24 / x) (x + 11 + 24 / x) = 4. Nahradením (x + 24 / x) = t dospejeme ku kvadratickej rovnici:
(t + 14) (t + 11) = 4;
t2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 alebo t = 15.
Keď vykonáme spätnú náhradu x + 24 / x = 10 alebo x + 24 / x = 15, nájdeme korene.
Odpoveď: (-15 ± √129) / 2; -4; -6.
4.
Vyriešte rovnicu (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
Riešenie.
Túto rovnicu je ťažké klasifikovať naraz a vybrať metódu riešenia. Preto najprv transformujeme pomocou rozdielu štvorcov a rozdielu kociek:
((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Potom po odstránení spoločného činiteľa dospejeme k jednoduchej rovnici:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
Odpoveď: -5; -9 ± √33.
Úloha.
Napíšte polynóm 3. stupňa s jedným koreňom rovným 4, násobnosťou 2 a odmocninou rovným -2.
Riešenie.
f (x) / ((x - 4) 2 (x + 2)) = q (x) alebo f (x) = (x - 4) 2 (x + 2) q (x).
Vynásobením prvých dvoch zátvoriek a získaním podobných výrazov dostaneme: f (x) = (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).
x 3 - 6x 2 + 32 je polynóm tretieho stupňa, preto q (x) je nejaké číslo z R(t. j. platné). Nech q (x) je jedna, potom f (x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Odpoveď: f (x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako riešiť rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!
blog. s úplným alebo čiastočným skopírovaním materiálu, vyžaduje sa odkaz na zdroj.
Úvod
Symetria ... je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek v priebehu storočí snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť.
Pojem symetria prechádza celou históriou ľudstva. Nachádza sa už pri počiatkoch ľudského poznania. Vznikol v súvislosti so štúdiom živého organizmu, konkrétne človeka, a používali ho sochári už v 5. storočí pred Kristom. e.
Slovo "symetria" je grécke. Znamená "proporcionalitu", "proporcionalitu", rovnakosť v usporiadaní častí. Je široko používaný vo všetkých oblastiach modernej vedy bez výnimky.
Mnoho skvelých ľudí premýšľalo o tomto vzore. Napríklad Lev Tolstoj povedal: „Stál som pred čiernou tabuľou a kreslil som na ňu kriedou rôzne tvary a zrazu ma napadla myšlienka: prečo je symetria pre oči jasná? čo je symetria? Toto je vrodený pocit. Na čom je založená?"
Vskutku, symetria lahodí oku. Kto neobdivoval symetriu výtvorov prírody: listy, kvety, vtáky, zvieratá; alebo ľudské výtvory: budovy, technika, - všetko, čo nás od detstva obklopuje, tie, ktoré sa snažia o krásu a harmóniu.
Symetria (stará gréčtina συμμετρία - "proporcionalita"), v širšom zmysle - nemennosť pri akýchkoľvek transformáciách. Takže napríklad sférická symetria telesa znamená, že tvar telesa sa nezmení, ak sa bude otáčať v priestore pod ľubovoľnými uhlami (pri zachovaní jedného bodu na mieste). Obojstranná symetria znamená, že pravá a ľavá strana vyzerajú rovnako vo vzťahu k akejkoľvek rovine.
So symetriou sa stretávame všade – v prírode, technike, umení, vede. Všimnite si napríklad symetriu motýľa a javorového listu, symetriu auta a lietadla, symetriu v rytmickej výstavbe básne a hudobnej frázy, symetriu ozdôb a okrajov, symetriu atom. štruktúra molekúl a kryštálov. Pojem symetria prechádza celou stáročnou históriou ľudskej tvorivosti. Nachádza sa už pri počiatkoch ľudského poznania; je široko používaný vo všetkých oblastiach modernej vedy bez výnimky. Princípy symetrie hrajú dôležitú úlohu vo fyzike a matematike, chémii a biológii, inžinierstve a architektúre, maliarstve a sochárstve, poézii a hudbe. Prírodné zákony, ktoré riadia obraz javov, ktoré sú vo svojej rozmanitosti nevyčerpateľné, sa zasa riadia zásadami symetrie.
Ciele:
Zvážte typy a typy symetrií;
Analyzujte, ako a kde sa používa symetria;
Zvážte, ako sa symetria používa v kurze školskej algebry
Symetria.
Slovo "symetria" má nejednoznačný význam. V istom zmysle symetrický znamená niečo vysoko proporcionálne, vyvážené; symetria ukazuje spôsob, akým mnohé časti do seba zapadajú, čím sú spojené do celku. Druhý význam tohto slova je rovnováha. Už Aristoteles hovoril o symetrii ako o stave charakterizovanom pomerom extrémov. Z tohto tvrdenia vyplýva, že Aristoteles bol snáď najbližšie k objavu jedného z najzákladnejších zákonov prírody – zákonov jej duality.
Je potrebné zdôrazniť aspekty, bez ktorých je symetria nemožná:
1) objekt je nositeľom symetrie; veci, procesy, geometrické tvary, matematické výrazy, živé organizmy atď. môžu pôsobiť ako symetrické objekty.
2) niektoré znaky - množstvá, vlastnosti, vzťahy, procesy, javy - objektu, ktoré zostávajú nezmenené pri transformáciách symetrie; nazývajú sa invarianty alebo invarianty.
3) zmeny (objektu), ktoré ponechajú objekt identický so sebou samým invariantnými znakmi; takéto zmeny sa nazývajú symetrické transformácie;
4) vlastnosť objektu premeniť sa podľa zvolených znakov na seba po zodpovedajúcich zmenách.
Symetria teda vyjadruje zachovanie niečoho s nejakými zmenami alebo zachovanie niečoho napriek zmene. Symetria znamená nemennosť nielen samotného objektu, ale aj akýchkoľvek jeho vlastností vo vzťahu k transformáciám vykonávaným na objekte. Nemennosť určitých objektov možno pozorovať vo vzťahu k rôznym operáciám – k rotáciám, presunom, vzájomnej výmene dielov, odrazom atď. V tomto ohľade sa rozlišujú rôzne typy symetrie.
Asymetria
Asymetria - absencia alebo porušenie symetrie.
V architektúre sú symetria a asymetria dve opačné metódy pravidelnej organizácie priestorovej formy. V procese vývoja architektúry vznikli asymetrické kompozície ako stelesnenie zložitých kombinácií životných procesov a podmienok prostredia.
Nesymetria
Rozbitú, čiastočne narušenú symetriu nazývame nesúmernosť
.
Disymetria je rozšírený jav vo voľnej prírode. Je to typické aj pre človeka. Človek je nesymetrický, napriek tomu, že obrysy jeho tela majú rovinu symetrie. Disymetria ovplyvňuje
lepšia kontrola jednej z rúk, v asymetrickom usporiadaní srdca a mnohých iných orgánov, v stavbe týchto orgánov.
Disymetrie ľudského tela sú podobné a odchýlky od presnej symetrie v architektúre. Zvyčajne sú spôsobené praktickou nevyhnutnosťou, skutočnosťou, že rozmanitosť funkcií nezapadá do hraníc rigidných zákonov symetrie. Niekedy takéto odchýlky poskytujú základ pre akútny emocionálny účinok.
^ Typy symetrií nájdených v matematike a prírodných vedách:
Obojstranná symetria- symetria zrkadlového odrazu, pri ktorej má predmet jednu rovinu symetrie, voči ktorej sú dve jeho polovice zrkadlovo symetrické. U zvierat sa bilaterálna symetria prejavuje v podobnosti alebo takmer úplnej identite ľavej a pravej polovice tela. V tomto prípade ide vždy o náhodné odchýlky od symetrie (napríklad rozdiely v papilárnych líniách, rozvetvenie krvných ciev Často sú malé, ale pravidelné rozdiely vo vonkajšej stavbe a výraznejšie rozdiely medzi pravou a ľavou polovicou tela v umiestnenie vnútorných orgánov.Napríklad srdce u cicavcov je zvyčajne umiestnené asymetricky, posunuté vľavo.
U zvierat je výskyt bilaterálnej symetrie v evolúcii spojený s plazením po substráte (pozdĺž dna nádrže), v súvislosti s ktorým sa objavuje dorzálna a brušná, ako aj pravá a ľavá polovica tela. Vo všeobecnosti platí, že medzi živočíchmi je obojstranná symetria výraznejšia u aktívne pohyblivých foriem ako u prisadnutých rastlín, u rastlín zvyčajne nie je obojstranná symetria celý organizmus, ale jeho jednotlivé časti – listy alebo kvety. Obojstranne súmerné kvety botanika nazýva zygomorfné.
^ Symetria N-tého rádu- symetria vzhľadom na otáčky v uhle 360 ° / n okolo akejkoľvek osi. Popísané skupinou Zn.
Osová súmernosť(radiálna symetria, radiálna symetria) je forma symetrie, v ktorej sa telo (alebo postava) zhoduje so sebou, keď sa objekt otáča okolo určitého bodu alebo priamky. Tento bod sa často zhoduje so stredom symetrie objektu, teda s bodom, v ktorom
sa pretína nekonečné množstvo osí obojstrannej symetrie. Geometrické objekty ako kruh, guľa, valec alebo kužeľ majú radiálnu symetriu. Opísané skupinou SO (2).
^ Sférická symetria- symetria vzhľadom na rotácie v trojrozmernom priestore pod ľubovoľnými uhlami. Opísané skupinou SO (3). Miestna sférická symetria priestoru alebo média sa tiež nazýva izotropia.
^ Rotačná symetria- pojem označujúci symetriu objektu vzhľadom na všetky alebo niektoré vlastné rotácie m-rozmerného euklidovského priestoru.
^ Symetria u zvierat a ľudí.
Symetria je vitálny znak, ktorý odráža vlastnosti štruktúry, životného štýlu a správania zvieraťa. Ryba potrebuje symetriu, aby mohla plávať; vták lietať. Takže v prírode existuje dôvod na symetriu: je to tiež užitočné, alebo inými slovami, účelné. V biológii sú stredom symetrie: kvety, medúzy, hviezdice atď Prítomnosť foriem symetrie možno vysledovať aj u prvokov - jednobunkových (nálevníky, améby).Ľudské telo je postavené na princípe obojstrannej symetrie. Mozog je rozdelený na dve polovice. V úplnom súlade so všeobecnou symetriou ľudského tela je každá hemisféra takmer presným zrkadlovým obrazom tej druhej. Riadenie základných pohybov ľudského tela a jeho zmyslových funkcií je rovnomerne rozdelené medzi dve hemisféry mozgu. Ľavá hemisféra ovláda pravú stranu mozgu a pravá strana ľavú. Výskum ukázal, že symetrická tvár je príťažlivejšia. Vedci tiež tvrdia, že tvár s ideálnymi proporciami je znakom toho, že telo jej majiteľa je dobre pripravené na boj s infekciami. Prechladnutie, astma a chrípka s vysokou pravdepodobnosťou ustúpia u ľudí, ktorých ľavá strana je presne taká ako pravá. A v oblečení sa človek spravidla snaží zachovať dojem symetrie: pravý rukáv zodpovedá ľavému, pravá noha zodpovedá ľavému. Gombíky na saku a košeli sedia presne v strede a ak od neho ustupujú, tak v symetrických vzdialenostiach. A zároveň sa niekedy človek snaží zdôrazniť, posilniť rozdiel medzi ľavicou a pravicou. V stredoveku muži kedysi nosili pantalóny s nohavicami rôznych farieb (napríklad jedny červené a druhé čierne alebo biele). ale
táto móda je vždy krátkodobá. Len taktné, skromné odchýlky od symetrie zostávajú dlho.
Symetria v umení
Symetria v umení všeobecne a vo výtvarnom umení zvlášť má svoj pôvod v realite, ktorá je plná symetricky usporiadaných foriem.
Symetrickú organizáciu kompozície charakterizuje vyváženosť jej častí z hľadiska hmoty, tónu, farby a rovnomerného tvaru. V takýchto prípadoch je jedna časť takmer zrkadlovo podobná druhej. Symetrické kompozície majú často výrazný stred. Spravidla sa zhoduje s geometrickým stredom roviny obrazu. Ak je úbežník posunutý od stredu, jedna z častí je hmotovo viac zaťažená alebo je obraz postavený diagonálne, to všetko udáva dynamiku kompozície a do istej miery narúša ideálnu rovnováhu.
Sochári starovekého Grécka používali pravidlo symetrie. Príkladom je kompozícia západného štítu chrámu Dia a Olympie. Vychádza zo zápasu Lapithov (Grékov) s kentaurmi v prítomnosti boha Apolóna. Pohyb sa postupne zvyšuje od okrajov do stredu. Svoju maximálnu expresivitu dosahuje v obraze dvoch mladých mužov, ktorí sa vrhli na kentaurov. Rastúci pohyb sa akoby okamžite prerušil pri prístupe k postave Apolla, pokojne a majestátne stojaceho v strede štítu.
Myšlienka stratených diel slávnych maliarov 5. storočia pred Kristom e. možno zostaviť zo starožitných vázových malieb a pompejských fresiek, inšpirovaných, ako sa vedci domnievajú, dielami gréckych majstrov klasickej éry ...
Symetrické kompozície boli pozorované aj u gréckych majstrov 4. – 3. storočia pred Kristom. e. Vidno to z kópií fresiek. Na pompejských freskách sú hlavné postavy v strede symetrickej pyramídovej kompozície.
Umelci sa často uchyľovali k pravidlám symetrie pri zobrazovaní slávnostných preplnených zhromaždení, prehliadok, stretnutí vo veľkých sálach atď.
Umelci ranej renesancie venovali veľkú pozornosť pravidlu symetrie, o čom svedčí monumentálna maľba (napríklad Giottove fresky). Počas vrcholnej renesancie dozrela talianska kompozícia. Napríklad na obraze „Svätá Anna s Máriou a dieťaťom Kristom“ od Leonarda da Vinciho skladá tri postavy do trojuholníka smerujúceho nahor. V pravom dolnom rohu dáva figúrku baránka, ktorý drží malý Kristus. Všetko je usporiadané tak, že tento trojuholník možno uhádnuť iba pod objemovo-priestorovou skupinou postáv.
Posledná večera od Leonarda da Vinciho sa dá nazvať aj symetrickou kompozíciou. Táto nástenná maľba zobrazuje dramatický moment, keď
Kristus povedal svojim učeníkom: "Jeden z vás ma zradí." Psychologická reakcia apoštolov na tieto prorocké slová spája postavy s kompozičným centrom, v ktorom sa nachádza postava Krista. Dojem celistvosti z tejto dostredivej kompozície umocňuje skutočnosť, že umelec ukázal priestor refektára v perspektíve s úbežníkom rovnobežných čiar v strede okna, ku ktorému je zreteľne nakreslená Kristova hlava. Pohľad diváka tak mimovoľne smeruje k ústrednej postave obrazu.
Medzi diela demonštrujúce možnosti symetrie možno zaradiť aj Rafaelovo „Zasnúbenie Márie“, kde kompozičné postupy charakteristické pre renesanciu našli najucelenejší výraz.
Na pravidle symetrie je založený aj obraz V. M. Vasnetsova „Hrdinovia“. Stredom kompozície je postava Ilju Muromca. Vľavo a vpravo, akoby v zrkadlovom obraze, sú Alyosha Popovich a Dobrynya Nikitich. Postavy sú umiestnené pozdĺž roviny oblohy a pokojne sedia na koňoch. Symetrická konštrukcia kompozície sprostredkúva stav relatívneho pokoja. Ľavá a pravá postava nie sú masovo rovnaké, čo je dané ideologickým zámerom autora. Obidve sú však menej silné v porovnaní s postavou Muromets a vo všeobecnosti dávajú kompozícii úplnú rovnováhu.
Stabilita kompozície dáva divákovi pocit istoty v neporaziteľnosť hrdinov, obrancov ruskej krajiny. Okrem toho „Hrdinovia“ sprostredkovali stav napätého odpočinku na pokraji prechodu do akcie. A to znamená, že symetria nesie aj zárodok dynamického pohybu v čase a priestore.
Symetria v algebre.
Najjednoduchšie symetrické výrazy pre korene kvadratickej rovnice nájdeme vo Vietovej vete. To umožňuje ich použitie pri riešení niektorých problémov súvisiacich s kvadratickými rovnicami. Pozrime sa na niekoľko príkladov.
Príklad 1:
Kvadratická rovnica 
má korene a. Bez riešenia tejto rovnice vyjadrujeme prostredníctvom a súčty,. Výraz je symetrický vzhľadom na a. Vyjadrime ich pomocou + a a potom aplikujme Vietovu vetu.
