Gratulujeme: Dnes budeme rozoberať korene - jedna z najviac mozgových tém z 8. ročníka. :)
Mnohí sú zmätení v koreňoch. Nie preto, že sú ťažké (čo je ťažká vec, je pár definícií a stále pár vlastností), ale pretože vo väčšine školských učebníc, korene sa určujú prostredníctvom takýchto nečistôt, ktoré autori Učebníkov môže pochopiť toto Písmo. A potom len s fľašou dobrej whisky. :)
Preto teraz budem dať najspravnejšiu a najčastejšiu definíciu koreňa - jediná vec, ktorú by ste si naozaj mali pamätať. A potom vysvetlím: prečo všetky tieto potreby a ako ho aplikovať v praxi.
Najprv si však pamätajte na jeden dôležitý bod, o ktorom mnohí kompilátori učebníc z nejakého dôvodu "zabudnite":
Korene sú jasným stupňom (naše obľúbené $ SQRT (A) $, ako aj o $ SQRT (A) $ a dokonca $ SQRT (A) $) a nepárny titul (všetky $ SQRT (A) $ , $ SQRT (A) $ atď.). A stanovenie koreňa nepárnej stupňa je trochu odlišné od jedného.
V tomto chybe, "trochu odlišné" je skryté, asi 95% všetkých chýb a nedorozumenie spojené s koreňmi. Preto sa pozrieme na terminológiu raz a navždy.
Definícia. Koreň čítania n. Z US $ A $ A negatívny Číslo $ B $ je také, že $ ((b) ^ (n)) \u003d $. A koreň nepárny titul z rovnakého čísla $ A $ A $ A je vo všeobecnosti ľubovoľné číslo $ B $ za ktoré sa vykonáva všetka rovnaká rovnosť: $ ((b) ^ (n)) \u003d $.
V každom prípade je koreň uvedený takto:
a)]
Číslo $ N $ v takomto zázname sa nazýva indikátor root a číslo $ A $ je inhibovaný výraz. Najmä, s $ n \u003d 2 $ Dostaneme našu "obľúbenú" odmocnú koreň (mimochodom, je to koreňový stupeň), a na $ n \u003d 3 $ - kubický (titul), ktorý sa tiež často nachádza v úlohách a rovnice.
Príklady. Klasické príklady štvorcových koreňov:
(Začiatok (ALIGN) SQRT (4) \u003d 2; sqrt (81) \u003d 9; & Sqrt (256) \u003d 16. Skončte (ALIGN)]
Mimochodom, $ SQRT (0) \u003d 0 $, a $ Sqrt (1) \u003d 1 $. To je dosť logické, pretože $ ((0) ^ (2)) \u003d 0 $ a $ ((1) ^ (2)) \u003d 1 $.
Kubické korene sa často nachádzajú - nie je potrebné sa báť:
(Začiatok (ALIGN) SQRT (27) \u003d 3; sqrt (-64) \u003d - 4; sqrt (343) \u003d 7. Skončte (ALIGN)]
A pár "exotických príkladov":
(Začiatok (ALIGN) & SQRT (81) \u003d 3; SQRT (-32) \u003d - 2. Skončte (ALIGN)]
Ak nechápete, aký je rozdiel medzi guľôčkou a miernym stupňom - \u200b\u200bopäť vymedziť definíciu. Je to veľmi dôležité!
A medzičasom považujeme jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, pretože sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre čítané a nepárne ukazovatele.
Prečo potrebujete korene?
Po prečítaní definície sa mnohí študenti pýtajú: "Čo ste fajčili matematiku, keď prišli s?" A naozaj: Prečo potrebujete všetky tieto korene?
Ak chcete odpovedať na túto otázku, vráťte sa na minútu v základných triedach. Pamätajte si, že v tých vzdialených časoch, keď boli stromy ekologickejšie, a knedlíky sú tastrier, naším hlavným záujmom bolo znásobiť čísla správne. Nuž, niečo v duchu "päť až päť - dvadsaťpäť", to je všetko. Ale môžete vynásobiť čísla, ktoré nie sú v pároch, ale tri, štvrtiny a všeobecne súpravy:
(Začiatok (ALIGN) & 5 CDOT 5 \u003d 25; & 5 cdot 5 cdot 5 \u003d 125; & 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 \u003d 625; & 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 \u003d 3125; & 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 \u003d 15 625. \\ t
Essencia však nie je v tomto. Čip v druhom: matematika - žijú ľudia, takže boli v šrotovaní, aby nahrali násobenie desiatich fives takto:
Preto prišli s titulom. Prečo nie napísať počet multiplikátorov vo forme horného indexu namiesto dlhej čiary? Páči sa ti to:
Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sa skrátia občas a nemôžete stráviť banda pergamenových listov na nahrávky z približne 5 183. Takýto záznam bol nazývaný stupeň počtu, mala veľa vlastností, ale šťastie bolo krátkodobé.
Po Grand Booze, ktorý bol organizovaný len o "objav" stupňov, niektoré obzvlášť vzpriamené matematik sa zrazu spýtal: "A čo ak poznáme stupeň čísla, ale číslo nie je známe?" Tu, ak vieme, že určité číslo $ b $, povedzme, dáva 243 do 5. stupňa, potom ako môžeme uhádnuť, čo je číslo $ B $?
Tento problém sa ukázal byť oveľa viac globálnej, než sa môže zdať na prvý pohľad. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu "hotových" stupňov takého "zdrojového" nie je. Sudca pre seba:
\\ Page & ((b) ^ (3)) \u003d 64 RightArrow b \u003d 4 cdot 4 cdot 4 RightROW B \u003d 4. Skončte (ALIGN)]
A čo ak $ (((b) ^ (3)) \u003d $ 50? Ukazuje sa, že musíte nájsť druh číslo, ktoré je trikrát vynásobené sami, dám nám 50. Ale aké je to číslo? Je jasne väčšia ako 3, pretože 3 3 \u003d 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Tí. Toto číslo leží niekde medzi hornými a štvrtými, ale to, čo je rovnaké - obr.
Je to pre túto matematiku a vynašiel korene $ n $-Titul. To bolo pre to, že bola zavedená ikona radikálu $ SQRT (*) $. Určiť číslo $ B $, ktoré nám poskytne vopred určenú hodnotu v určenom rozsahu
[Sqrt [n] (a) \u003d b \\ forfroarrow (b) ^ (n)) \u003d a \\]
Nehádzam: Často sa tieto korene ľahko zvažujú - videli sme niekoľko takýchto príkladov. Ale stále, vo väčšine prípadov, ak urobíte ľubovoľné číslo, a potom sa z nej pokúsite extrahovať náhodné titul, čakáte na krutý Bummer.
Prečo! Dokonca aj najjednoduchšie a najznámejšie $ SQRT (2) $ nie je možné predložiť nám ako oboznámené s nami - ako celé číslo alebo výstrel. A ak dostanete toto číslo v kalkulačke, uvidíte:
[Sqrt (2) \u003d 1,414213562 ... \\]
Ako vidíte, po čiaste, existuje nekonečná sekvencia čísel, ktoré neposlúchajú žiadnu logiku. Samozrejme, že toto číslo je možné rýchlo porovnať s inými číslami. Napríklad:
"Sqrt (2) \u003d 1,4142 ... \\ t cca 1,4 lt 1,5 \\]
Alebo tu je ďalší príklad:
[Sqrt (3) \u003d 1,73205 ... \\ t cca 1,7 gt 1.5]
Ale všetky tieto zaoblenia, po prvé, skôr hrubé; A po druhé, je potrebné pracovať s približnými hodnotami, inak môžete chytiť veľa nezjavných chýb (mimochodom, zručnosť porovnania a zaokrúhľovania je povinné v profile používania).
Preto v závažnej matematike bez koreňov, nemôžu robiť - sú rovnakými rovnakými zástupcami mnohých všetkých reálnych čísel $ MathBB (R) $, ako aj frakcie a celé čísla, ktoré nám dlho známe.
Neschopnosť prezentovať koreň vo forme zlomku formy $ frac (p) (q) $ znamená, že tento koreň nie je racionálnym číslom. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne, a nemôžu byť presne prezentované inak ako s pomocou radikálnych, alebo iných návrhov osobitne určených na tento dizajn (logaritmy, stupne, limity atď.). Ale o tom - inokedy.
Zvážte niekoľko príkladov, kde, po všetkých výpočtoch, iracionálne čísla stále zostanú v reakcii.
\\ t ) \u003d Sqrt (-2) cca -1,2599 ... \\ t
Samozrejme, že vzhľad koreňov je takmer nemožný uhádnuť, aké čísla budú po čiaste. Je však možné vypočítať na kalkulačke, ale aj najpokročilejšie kalkulátor DAT kalkulačky len niekoľko prvých číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie zaznamenávať odpovede vo forme $ SQRT (5) $ a $ SQRT (-2) $.
Bolo to preto, že prišli s nimi. Vhodne napísať odpovede.
Prečo potrebujete dve definície?
Pozorný čitateľ už si pravdepodobne všimol, že všetky štvorcové korene uvedené v príkladoch sú extrahované z pozitívnych čísel. V extrémnych prípadoch od nuly. Ale kubické korene sa pokojne odstránia z ľubovoľného čísla - dokonca aj pozitívne, dokonca záporné.
Prečo sa to deje? Pozrite sa na plán funkcie $ y \u003d ((x) ^ (2)) $:
Graf štúdie kvadratickej funkcie dáva dva korene: pozitívne a negatívne Poďme skúsiť použiť tento rozvrh na výpočet $ SQRT (4) $. Ak to chcete urobiť, graf horizontálnej čiary $ y \u003d $ 4 (označené v červenej farbe), ktorý sa pretína s parabolou v dvoch bodoch: $ ((x) _ (1)) \u003d 2 $ a $ ((x) _ (2)) \u003d -2 $. Je to celkom logické, pretože
S prvým číslom je všetko jasné - je to pozitívne, takže je to root:
Ale čo potom robiť s druhým bodom? Je štvrtý z dvoch root naraz? Koniec koncov, ak vybudujete číslo -2 na námestie, dostaneme tiež 4. Prečo potom nepíšte $ SQRT (4) \u003d - $ 2? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto záznamy, akoby vás chcú zomrieť?
V tejto veci, že ak neuplatňujete žiadne dodatočné podmienky, potom štvrté korene štvrtej budú mať dva - pozitívne a negatívne. A akýkoľvek pozitívny počet z nich bude tiež dva. Ale záporné počty koreňov nebudú vôbec - to možno vidieť rovnakou grafikou, pretože parabola nie je znížená pod osou y.. Neberie záporné hodnoty.
Podobný problém vyplýva zo všetkých koreňov s indikátorom čítania:
- Prísne povedané, korene s indikátorom $ N $ každé kladné číslo budú dva kusy naraz;
- Zo záporných čísel, koreň s nými $ n $ nie je vôbec extrahovaný.
To je dôvod, prečo pri určovaní stupňa koreňa $ N $ špecificky stanovuje, že odpoveď musí byť negatívne číslo. Takže sa zbavíme nejednoznačnosti.
Ale pre nepárne $ n $ nie je takýto problém. Uistite sa, pozrime sa na harmonogram funkcie $ y \u003d ((x) ^ (3)) $:
Kubický parabola berie všetky hodnoty, takže kubický koreň je extrahovaný z ľubovoľného čísla Z tohto programu môžete vykonať dva výstupy:
- Pobočky kubického parabola, na rozdiel od zvyčajného, \u200b\u200bchoďte do nekonečna v oboch smeroch - aj hore a dole. Preto pre akúkoľvek výšku trávime horizontálne priame, toto priame nevyhnutne kríž cez náš plán. V dôsledku toho sa kubický koreň môže vždy odstrániť, absolútne z ľubovoľného čísla;
- Okrem toho, takýto priesečník bude vždy jediný, takže nemusíte si myslieť, aké číslo zvážim "správny" koreň a za to, čo skóruje. Preto je definícia koreňov pre nepárny titul jednoduchší ako pre dokonca (neexistuje žiadna požiadavka negativity).
Je to škoda, že tieto jednoduché veci nevysvetľujú vo väčšine učebníc. Namiesto toho začíname zber mozgu všetkými druhmi aritmetických koreňov a ich vlastností.
ÁNO, NEPOUŽÍVAJTE: Aký je aritmetický koreň - je tiež potrebné vedieť. A uviedol vám podrobne o tom v samostatnej lekcii. Dnes budeme hovoriť aj o tom, pretože bez neho by boli všetky odrazy na koreňoch $ n $ -dy multiplicity neúplné.
Ale najprv je potrebné jasne asimilovať definíciu, ktorú som dal vyššie. V opačnom prípade z dôvodu množstva termínov začne taká kaša v hlave, ktorá vôbec niečo pochopí.
A stačí pochopiť rozdiel medzi párnymi a nepárnymi ukazovateľmi. Preto ešte raz zbierame všetko, čo naozaj potrebujete vedieť o koreňoch:
- Koreň stupňa existuje len z ne-záporného čísla a samotného je vždy negatívne číslo. Pre záporné čísla je takýto koreň neistý.
- Ale koreň nepárnych existujúcich existuje z ľubovoľného čísla a samotného môže byť ľubovoľné číslo: Pre kladné čísla je pozitívny a pre negatívne - ako rady CEP, negatívne.
Je to zložité? Nie, nie ťažké. Jasný? Áno, všeobecne zrejmé! Preto teraz cvičíme s výpočtom.
Základné vlastnosti a obmedzenia
Korene majú veľa podivných vlastností a obmedzení - to bude samostatná lekcia. Preto teraz zvážime len tie najdôležitejšie "čip", ktorý sa vzťahuje len na korene s dokonca indikátorom. Túto vlastnosť píšeme ako vzorec:
[Sqrt (((x) ^ (2n))) \u003d vľavo X právo |]
Inými slovami, ak postavíte číslo do jasného stupňa, a potom z toho, aby sme extrahovali koreň v rovnakej miere, nedostaneme zdrojové číslo a jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorá sa dá ľahko preukázať (stačí zvážiť negatívne $ x $ dostatočne dosť, a potom samostatne negatívne). Učiteľ o ňom neustále rozpráva, je uvedený v každej škole učebnice. Ale hneď, ako to príde na riešenie iracionálnych rovníc (t.j. rovnice obsahujúce znamenie radikálu), študenti spoločne zabudnúť na tento vzorec.
Ak chcete pochopiť podrobne v otázke, poďme na chvíľu, zabudnime na všetky vzorce a pokúsiť sa počítať dve čísla zmenené:
((((3) ^ (4))) \u003d? quad \\ sqrt ((((vľavo (-3 vpravo)) ^ (4))) \u003d?
Toto sú veľmi jednoduché príklady. Prvý príklad vyrieši väčšinu ľudí, ale v druhom, mnohí vytiahnite. Ak chcete vyriešiť akúkoľvek takáto kecy bez problémov, vždy zvážte postup:
- Po prvé, číslo je postavené do štvrtého stupňa. Je to ako jednoduché. Ukáže sa nové číslo, ktoré možno nájsť aj v multiplikačnej tabuľke;
- A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať koreň štvrtého stupňa. Tí. NIE "ZNÍŽENIE ROKOVOSTI" KOREKTOV A NEPOUŽÍVAŤ - to sú konzistentné akcie.
Sme rieka s prvým výrazom: $ SQRT (((3) ^ (4))) $. Je zrejmé, že je potrebné vypočítať výraz, ktorý stojí pod koreňom:
[((3) ^ (4)) \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 \u003d 81
Potom odstráňte štvrtý stupeň koreň z 81:
Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Po prvé, postavíme číslo -3 do štvrtého stupňa, pre ktorý bude nutné znásobiť ho 4-krát:
\\ Page Vľavo (-3 vpravo) \u003d 81
Dostali kladné číslo, pretože celkový počet mínusov v diele - 4 kusy, a budú vzájomne zničené (pretože mínus pre mínus dáva plus). Ďalej Re-odstrániť koreň:
V zásade nemohol tento riadok písať, pretože nie je jasné, že odpoveď sa objaví rovnako. Tí. Dobre známy koreň rovnakého stupňa "horí" mínusy a v tomto zmysle je výsledok nerozoznateľný od obvyklého modulu:
"Začiatok (ALIGN) & SQRT (((3) ^ (4))) \u003d \\ t 3 vpravo | \u003d 3; & Sqrt ((((((vľavo (-3 vpravo)) ^ (4))) \u003d vľavo -3 Right | \u003d 3. Skončte (ALIGN)]
Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou koreňového stupňa: Výsledok je vždy negatívny, a pod znakom radikálu tiež vždy predstavuje negatívne číslo. V opačnom prípade nie je koreň definovaný.
Upozornenie o poradí konania
- Nahrávanie $ SQRT ((a) ^ (2))) $ znamená, že najprv vzpriameme číslo $ A $ za štvorcové, a potom odstrániť druhú odmocninu z výslednej hodnoty. Preto si môžeme byť istí, že negatívne číslo vždy sedí pod koreňovým znakom, pretože $ (a) ^ (2)) ge 0 $ v žiadnom prípade;
- Ale záznam $ ((vľavo (vľavo (vľavo (\\ t)) ^ (2)) $, napr námestie. Preto počet $ A $ v žiadnom prípade nemôže byť negatívny - to je povinná požiadavka v definícii.
Tak, v žiadnom prípade nemôže byť bezohľadne znížiť korene a stupne, čím sa údajne "zjednoduší" počiatočný výraz. Pretože ak je pod koreňom je záporné číslo, a jeho indikátor sa číta, dostaneme veľa problémov.
Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre dokonca aj ukazovatele.
Dosiahnutie mínus z pod koreňovým znakom
Prirodzene, korene s nepárnymi ukazovateľmi majú tiež vlastný čip, ktorý sa v zásade nestane. Konkrétne:
[SQRT (-A) \u003d - SQRT (A)]
Stručne povedané, môžete urobiť mínus z pod znakom koreňov nepárneho. To je veľmi užitočná funkcia, ktorá vám umožní "prospievať" všetky minúty mimo:
(Začiatok (ALIGN) SQRT (-8) \u003d - SQRT (8) \u003d - 2; & Sqrt (-27) cdot sqrt (-32) \u003d - sqrt (27) cdot vľavo (- sqrt (32) vpravo) \u003d & \u003d sqrt (27) cdot Sqrt (32) \u003d 3 cdot 2 \u003d 6. END (ALIGN)]
Toto jednoducho majetok výrazne zjednodušuje mnoho výpočtov. Teraz sa nemusíte báť: zrazu negatívny výraz pod koreňom a stupeň koreňa sa ukázal byť dokonca? Stačí len "hodiť" všetky minúty za koreňmi, po ktorých sa môžu navzájom vynásobiť, zdieľať a vo všeobecnosti robiť mnoho podozrivých vecí, ktoré v prípade "klasických" koreňov, zaručili nás, aby nás mylné.
A tu sa scéna vyjde iná definícia - veľmi vec, z ktorej vo väčšine škôl začína študovať iracionálne výrazy. A bez toho, čo by naše úvahy bolo neúplné. Stretnúť!
Aritmetický koreň
Predpokladajme, že na chvíľu, že pod znakom koreňa môže byť len kladné čísla alebo v extrémnom prípade nula. Sme skóre na párne / nepárne ukazovatele, nechať všetky definície uvedené vyššie - budeme pracovať len s negatívnymi číslami. Čo potom?
A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa pretína s našimi "štandardnými" definíciami, ale stále sa od nich líši.
Definícia. Aritmetický koreň $ N $-Titul z non-záporného čísla $ A $ A nazýva sa takéto negatívne číslo $ B $, čo je $ ((b) ^ (n)) \u003d $.
Ako vidíte, už nie sme záujem o pripravenosť. Výmenou sa objavilo nové obmedzenie: Priezvisko je teraz vždy nonnegatívne a samotný koreň je tiež non-nevoľiteľný.
Na lepšie pochopenie ako aritmetický koreň sa líši od obvyklého, pozrite sa na grafy štvorcových a kubických parabola:
Vyhľadávacia oblasť aritmetického koreňa - negatívne čísla Ako vidíte, teraz sa zaujímame len o tie skupiny grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej štvrtine koordinácie - kde sú súradnice $ X $ a $ Y $ sú pozitívne (alebo aspoň nula). Už nie je potrebné pozrieť sa na indikátor, aby sme pochopili: máme právo dať záporné číslo pod koreňom alebo nie. Pretože záporné čísla sú v zásade viac.
Môžete sa opýtať: "No, prečo potrebujeme takú vystrašenú definíciu?" Alebo: "Prečo nemôže robiť štandardné definície uvedené vyššie?"
No, prinesiem len jednu nehnuteľnosť, pretože nová definícia je vhodná. Napríklad pravidlo cvičenia do stupňa:
[sqrt [n] (a) \u003d sqrt ((a) ^ (k)))]]
Upozornenie: Môžeme vybudovať výrazný výraz do akéhokoľvek stupňa a zároveň viacnásobiť koreňovú rýchlosť do rovnakej miery - a v dôsledku toho sa objaví rovnaké číslo! Tu sú príklady:
\\ t 4)) \u003d sqrt (16) \\ t
Čo s tým je zlé? Prečo to nemôžeme urobiť? Ale prečo. Zvážte jednoduchý výraz: $ SQRT (-2) $ je číslo je celkom normálne v našom klasickom porozumení, ale absolútne neprijateľné z hľadiska aritmetického koreňa. Pokúsme sa ho previesť:
$ začínajú (zarovnanie) sqrt (-2) \u003d - sqrt (2) \u003d - sqrt (((2) ^ (2))) \u003d - sqrt (4) \\ t SQRT (-2) \u003d SQRT ((((vľavo (-2 vpravo)) ^ (2))) \u003d sqrt (4) gt 0. \\ t
Ako vidíte, v prvom prípade sme urobili mínus z radikálu (máme úplné právo, pretože obrázok je nepárny) a v druhom - použitý vyššie uvedený vzorec. Tí. Z hľadiska matematiky sa všetko vykonáva podľa pravidiel.
Wtf?! Ako môže byť jeden a rovnaké číslo pozitívne a negatívne? V žiadnom prípade. Len cvičebný vzorec, ktorý pracuje skvele pre kladné čísla a nula, začína vyrábať kompletnú herézu v prípade záporných čísel.
Takže s cieľom zbaviť sa takejto nejednoznačnosti a prišiel s aritmetickými koreňmi. Sú venované samostatnej veľkej lekcii, kde podrobne považujeme všetky svoje vlastnosti. Takže teraz sa na nich nezastavíme - lekcia a to bolo príliš dotiahnuté.
Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac
Dlhodobo som si myslel: vydržať túto tému v samostatnom odseku alebo nie. V dôsledku toho som sa tu rozhodol odísť. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú pochopiť korene ešte lepšie - už nie sú na strednej "školskej" úrovne, ale na približnom pre olympijské hry.
Takže: Okrem "klasickej" definície koreňa $ N $ -, z čísla a súvisiaceho oddelenia na čítanie a nepárne ukazovatele, existuje viac "dospelých" definície, ktorá nezávisí od pripravenosti a iných jemnosti . Toto sa nazýva algebraický koreň.
Definícia. Algebraický koreň $ N $-Thanks spomedzi všetkých $ A $ A je súbor všetkých čísel $ b $ taký, že $ ((b) ^ (n)) \u003d $. Pre takéto korene neexistuje žiadne dobre etablované označenie, takže sme jednoducho dal screet zhora:
(Sq sqrt [n] (a)) \u003d vľavo (b) b) (b); (b) ^ (n)) \u003d a \\ _ \\ t Mali
Základným rozdielom od štandardnej definície uvedenej na začiatku hodiny je, že algebraický koreň nie je špecifickým číslom, ale veľa. A keďže pracujeme s platnými číslami, táto sada je len tri typy:
- Prázdny súbor. Vyskytuje sa v prípade, keď je potrebné nájsť algebraický koreň nehnuteľného stupňa z negatívneho čísla;
- Súprava pozostávajúca z jedného prvku. Všetky korene nepárnych titulov, ako aj korene dokonca aj stupňov od nuly do tejto kategórie;
- Nakoniec, súbor môže obsahovať dve čísla - rovnaké $ ((x) _ (1)) $ a $ ((x) _ (2)) \u003d - ((x) _ (1)) $ sme videli na grafe Kvadratická funkcia. V súlade s tým je toto zarovnanie možné len vtedy, keď sa stupeň koreňovania odstráni z kladného čísla.
Posledný prípad si zaslúži podrobnejšiu pozornosť. Vypočítajte niekoľko príkladov, aby ste pochopili rozdiel.
Príklad. Vypočítajte výrazy:
(SLOWNLOW (SQRT (4)); QUADLOWNLOW (SQRT (-27)); QUADLOWNLOW (SQRT (-16)). \\ T
Rozhodnutie. S prvým výrazom je všetko jednoduché:
(Sqrt (4)) \u003d vľavo (2; -2 pravý)]
Sú to dva čísla, ktoré sú súčasťou súboru. Pretože každý z nich dáva štvrtý.
(Sqrt (sqrt (-27)) \u003d vľavo (-3 pravý)
Tu vidíme súbor, pozostávajúcu len z jedného čísla. To je dosť logické, pretože koreňová rýchlosť je nepárna.
Nakoniec, posledný výraz:
(Sqrt (-16)) \u003d varnothing \\]
Dostal prázdny súbor. Pretože neexistuje jediné skutočné číslo, ktoré, keď je vzbudiť vo štvrtom (tj dobre!) Titul nám dá negatívne číslo -16.
Záverečná poznámka. Upozornenie: Nehodnocujte všade, ktoré pracujeme s platnými číslami. Pretože existujú stále integrované čísla - je celkom možné vypočítať $ SQRT (-16) $, a mnoho ďalších podivných vecí.
Avšak, v modernom školskom roku matematiky, komplexné čísla sa takmer nenájdu. Boli vypracované z väčšiny učebníc, pretože naši predstavitelia považujú túto tému "príliš komplikované na porozumenie."
To je všetko. V ďalšej lekcii sa pozrieme na všetky kľúčové vlastnosti koreňov a učiť sa, konečne zjednodušiť iracionálne výrazy. :)
Aby ste úspešne použili operáciu extrakcie root, musíte sa oboznámiť s vlastnosťami tejto operácie.
Všetky vlastnosti sú formulované a dokazujú len pre negatívne hodnoty premenných obsiahnutých v koreňových značkách.
Teorem 1. Koreň n-th titulu (n \u003d 2, 3, 4, ...) z práce dvoch negatívnych chipsel sa rovná produktu koreňov N-Titum z týchto čísel:
Komentár:
1.
Theorem 1 zostáva spravodlivá a na prípad, keď podmienený výraz je produktom viac ako dvoch negatívnych čísel.
Veta 2.Ak,
a n je prirodzené číslo, viac ako 1, potom rovnosť
Stručný (Hoci nepresné) formulácia, ktorá je vhodnejšia na použitie v praxi: koreň frakcie sa rovná frakcii z koreňov.
Theorem 1 nám umožňuje znásobiť sú rovnaké koreň v rovnakom stupni
. Iba korene s rovnakým ukazovateľom.
Teorem 3.Ak. , K - Prírodné číslo a N - prírodné číslo, väčšie ako 1, potom rovnosť
Inými slovami, s cieľom vybudovať koreň v prirodzenom rozsahu, stačí postaviť sa do tohto stupňa vybudovať.
To je dôsledok teorem 1. V skutočnosti, napríklad pre K \u003d 3 získavame: Rovnako je možné argumentovať v prípade akejkoľvek inej prirodzenej hodnoty indikátora.
Teorem 4.If. , k, n - prírodné čísla, väčšie 1, potom rovnosť
Inými slovami, na extrahovanie koreňa koreňa, postačuje na násobenie koreňov.
Napríklad,
Buď opatrný!Naučili sme sa, že štyri operácie môžu byť vykonané cez korene: množenie, rozdelenie, výstavba koreňa (root). Ako však je prípad s pridaním a odčítaním koreňov? V žiadnom prípade.
Napríklad, namiesto toho nemôžete písať v skutočnosti, ale je to zrejmé
Teorem 5.isli Koreňové indikátory a prívodný výraz sa vynásobte alebo rozdelí do jedného a rovnakého prirodzeného čísla, hodnota koreňov sa nezmení, t.j.
Príklady riešenia úloh
Príklad 1.Vypočítať
Rozhodnutie.Využívanie prvého majetku koreňov (teorem 1), získavame:
Príklad 2.Vypočítať
Rozhodnutie.Zmiešané číslo v nesprávnej frakcii.
Využívame druhú vlastnosť koreňov ( veta 2.
), dostaneme:
Príklad 3. Vypočítajte: 
Rozhodnutie. Akýkoľvek vzorec v algebre, ako dobre poznáte, sa používa nielen "zľava doprava", ale aj "právo naľavo". Prvá vlastnosť koreňov teda znamená, že si môžete predstaviť vo forme a naopak môže byť nahradený výrazom. To isté platí pre druhú vlastnosť koreňov. S ohľadom na to, vykonajte výpočty.
Ministerstvo všeobecného a odborného vzdelávania RO
Štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
primárne odborné vzdelávanie regiónu Rostov
Číslo odbornej školy 5
Praktická práca
pod disciplínou ODP. 01."Matematika: ALGEBRA A START
matematická analýza; geometria "
na túto tému: "Transformácie výrazov obsahujúcich korene, stupne a logaritmy».
prevýučba I. Kurz
g. Rostov-on-don
2017
Číslo oddielu 1. Algebra.
Téma 1.2. Korene, stupne a logaritmy.
Praktické lekcie číslo 1.
Predmet: "Transformácie výrazov obsahujúcich korene, stupne a logaritmy."
Účel: nechať vlastnosti radikálov, stupňov a logaritmov; byť schopný ich použiť, keď vykonávanie transformácií výrazov obsahujúcich korene, stupne a logaritmy.
Počet hodín : 1 hodina.
Teoretický materiál.
Korene.
Činnosť, ktorou sa nachádza koreňn.Stupeň nazývaný koreňový extrakcian.titul.
Definícia. Aritmetický koreň prirodzeného stupňan. ≥ 2 z negatívneho čísla a nazýva sa negatívne číslo, \\ tn.Stupeň, ktorý sa rovná a.
Aritmetický koreň druhého stupňa sa nazýva aj odmocnina a koreň tretieho stupňa je kubický koreň.
Napríklad.
Vypočítajte:
Aritmetický koreňn.Titul má tieto vlastnosti:
ak a ≥ 0, v\u003e 0 a n., m. - prírodné čísla an. ≥ 2, m. ≥ 2, potom
1. 3.
2. 4.
Príklady použitia vlastností aritmetického koreňa.
Vlastnosti stupňa s racionálnym ukazovateľom.
Pre akékoľvek racionálne čísla p a k a akejkoľvek\u003e 0 a v\u003e 0, rovnosť je pravda:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .
Príklady použitia vlastností stupňa:
1). 7*
4). .
Čísla logaritmu
Definícia. Logaritmus kladného číslab. Na základe, kdea. > 0, a. ≠ 1, nazývaný ukazovateľ stupňa, v ktorom by sa malo číslo vydaťa., Získať b..
a. = b. - základná logaritmická identita. \\ T
Vlastnosti logaritmu
Byť a. > 0, a. ≠ 1, b. \u003e 0, C\u003e 0, K - akékoľvek platné číslo. Potom sú vzorce pravdivé:
1 . log. ( bc. ) = logb. + logc. , 4. logb. = ,
2. log \u003d logb - log c, 5.log. a \u003d 1. ,
3. log. b. \u003d K * logb. , 6. log. 0 = 1 .
Príklady aplikačných vzorcov:
log2 + log.18 \u003d log (2 * 18 ) = log.36 = 2;
log.48 - Denník.4 \u003d Log.= log.12 = 1;
log. 9 = * log.9 = .
Vyriešiť sa .
Úloh.
1 možnosť
1. Vypočítajte:
1) ; 4) log. ;
2) ; 5) 0,5;
3) ; 6) 3 log.2 - Log.64.
2, ak x \u003d 7.
3. Porovnať čísla:log.11 I. log.19.
4. Zjednodušenie: 1); 2).
5. Vypočítajte: log.log.log.3.
_________________________________________________________________
Možnosť 2
1. Vypočítajte:
1) ; 4) log. 64;
2) ; 5) ;
3) ; 6) 2 log.3 - log.81.
2. Nájdite hodnotu výrazu: 3, ak y \u003d 2.
3. Porovnať čísla:log. a log..
4. Zjednodušenie: 1); 2).
5. Vypočítajte: log.log.log.2.
__________________________________________________________________
Kritériá hodnotenia:
11 Správne úlohy - "5";
9 - 10 Správne úlohy - "4";
7 - 8 Správne úlohy - "3".
Topánky. M. I. MATEMATIKA: TUTORIÁLNY PRE NGO A SPO. - m.:
Vydavateľstvo Centrum "Academy", 2013.
Alimov Sh.a. a ďalšie. Algebra a začiatok analýzy. 10 (11) Cl. - M.: 2012.
Algebra. 9 Cl: Návod, úloha pre všeobecnú formáciu. Inštitúcie /
A.G. Mordkovich a ďalší - M.: Mnemozina, 2009.
Algebra. 8 Cl.: Návod, úloha pre všeobecnú formáciu. inštitúcie /
A.G. Mordkovich a ďalší - M.: Mnemozina, 2008.
Algebra. 7 Cl: Tutoriál, Tacakon pre všeobecnú tvorbu. inštitúcie /
A.G. Mordkovich a ďalší - M.: Mnemozina, 2007.
Vyhľadávací formulár: Overovanie úloh pre učiteľa
Náhľad:
Praktické pracovné číslo 2
Od.1.1 Matematika
Predmet: Transformácia algebraických, racionálnych, iracionálnych, výkonových výrazov.
Typ tried: Praktická lekcia
účel triedy | výcvik | Skontrolujte vedomosti a praktické zručnosti študentov o transformácii algebraických, racionálnych, iracionálnych, energetických výrazov. |
vzdelávacie I. rozvíjanie | Prispievať k zvládnutiu potrebných zručností nezávislých vzdelávacích aktivít; Podporovať rozvoj zručností na uplatňovanie poznatkov získaných v typických podmienkach |
|
Medzivládny komunikácia | poskytnúť | Matematika (kurz školy) |
poskytnutý | Fyzika, chémia, technická mechanika, ekonomika, kurz a tráva dizajn |
Zabezpečenie lekcie:
Použitie IKT (informačné a komunikačné technológie)
(multimediálne prezentácie, projekčné zariadenia, interaktívna doska, osobný počítač, počítačové testovanie)
Vizuálne návody a distribučný materiál:metodické pokyny pre praktické pracovné číslo 2, plagáty: "Vlastnosti stupňa", "vlastnosti koreňa N-Essential", "vzorec skrátenej multiplikácie"
Literatúra: Kolmogorov A.N. a ďalšie. Algebra a začiatok analýzy. 10 (11) Cl. - M.: Osvietenie, 2012.
Účel práce:
Vykonávať akcie na transformáciu algebraických, racionálnych, iracionálnych, výkonových výrazov.
Korene prírodného titulu z ich vlastností.
Root n - stupeň:, n - indikátor root, ale - vyjadrenie opatrovníka
Ak n je nepárne číslopotom výraz dáva zmysel
Ak N je párne číslopotom výraz dáva zmysel
Aritmetický koreň:
Koreň nepárnej stupňa od záporného čísla:
Hlavné vlastnosti koreňov
- Pravidlo o ťažbe koreňového extrakcie z práce:
- Pravidlo ťažby koreňového koreňa:
- Pravidlo multiplikátora z koreňového znaku:
- Urobiť multiplikátor pod znakom koreňa:
- Indikátor koreňa a index prívodného výrazu sa môžu vynásobiť rovnakým číslom.
- Zväčšenie zníženia opätovného stupňa.
Pomer
A. - základom titulun. - Titul
Vlastnosti:
- Pri násobení stupňov s rovnakými základňami sú indikátory zložené a základňa zostáva nezmenená.
- Pri rozdelení stupňov s rovnakými základňami sa indikátory odpočítajú a základňa zostáva nezmenená.
- Pri zostavovaní stupňa sa indikátory vynásobia.
- Pri postavení do stupňa práce dvoch čísel je každé číslo zvýšené do tohto stupňa a výsledky variali.
- Ak je stupeň postavený súkromnými dvoma číslami, čitateľ a menovateľ sú postavené do tohto stupňa a výsledok je rozdelený na seba.
Celé číslo
- A-Priory:
Vlastnosti:
- Nech R je racionálne číslo, potom
pri r\u003e 0\u003e pri r
7 . Pre akékoľvek racionálne čísla R a S z nerovnosti\u003e nasleduje
\u003e pri A\u003e 1
Vzorce skráteného násobenia.
Príklad 1. Zjednodušiť výraz.
Rozhodnutie
Použite vlastnosti stupňov (násobenie stupňov s rovnakou základňou a deliacimi stupňami s rovnakou základňou):
.
Odpoveď: 9m 7.
Príklad 2. Znížte frakciu:
Rozhodnutie. Takže pole určenia frakcie Všetky čísla, okrem x ≠ 1 a x ≠ -2.
, Súvisiaca frakcia, dostať sa, Definícia výslednej frakcie: x ≠ -2, t.j. širšia ako oblasť definície počiatočnej frakcie. Preto, fraci a rovná pri X ≠ 1 a X ≠ -2.
Príklad 3. Znížte frakciu:
Príklad 4. Zjednodušenie: 
Príklad 5. Export: 
Príklad 6. Zjednodušte: 
Príklad 7. Zjednodušte: 
Príklad 8. Zjednodušenie: 
Príklad 9. Vypočítajte: 
.
Rozhodnutie.
Príklad 10. Zjednodušte výraz:
Rozhodnutie. 
Príklad 11. Frakcia, Ak
Rozhodnutie. 
.
Príklad 12. Bez iracionality v Denomutor Denomoter
Rozhodnutie. V denominátoráte máme iracionálnosť 2. stupňa, preto bude prekážkou a čitateľom a menovateľom frakcie na konjugátovej expresii, to znamená súčet čísel a , Potom v denominátoráte budeme mať rozdiel v štvorcov, čo eliminuje iracionálnosť.
Možnosť - I. 1. Zjednodušte výraz: 5. Zjednodušte: 10. Vykonajte akciu: 8. Znížte frakciu 9. Vykonajte akciu | Možnosť - II. 1. Zjednodušte výraz: 2. Nájdite hodnotu výrazu: 3. Predstavte si stupeň s frakčným ukazovateľom vo forme koreňa. 4. Vytvorte špecifikovaný výraz do formulára 5. Zjednodušte: 6. Nahraďte aritmetické korene stupňov s frakčným indikátorom 7. Pripravte výraz vo forme frakcie, ktorého menovateľ neobsahuje koreňový znak 10. Vykonajte akciu: 8. Znížte frakciu 9. Vykonajte akciu |
Možnosť - III 1. Vykonajte akciu: 2. Nájdite hodnotu výrazu: 3. Predstavte si stupeň s frakčným ukazovateľom vo forme koreňa. 4. Vytvorte špecifikovaný výraz do formulárakde racionálne číslo, b - prírodné číslo 5. Zjednodušte: 6. Nahraďte aritmetické korene stupňov s frakčným indikátorom 7. Pripravte výraz vo forme frakcie, ktorého menovateľ neobsahuje koreňový znak 10. Vykonajte akciu: 8. Znížte frakciu 9. Vykonajte akciu | Možnosť - IV 1. Vykonajte akciu: 2. Nájdite hodnotu výrazu: 3. Predstavte si stupeň s frakčným ukazovateľom vo forme koreňa. 4. Vytvorte špecifikovaný výraz do formulárakde racionálne číslo, b - prirodzené číslo 5. Zjednodušte: 6. Nahraďte aritmetické korene stupňov s frakčným indikátorom 7. Pripravte výraz vo forme frakcie, ktorého menovateľ neobsahuje koreňový znak 10. Vykonajte akciu: 8. Znížte frakciu 9. Vykonajte akciu 3. Predstavte si stupeň s frakčným ukazovateľom vo forme koreňa. 4. Vytvorte špecifikovaný výraz do formulárakde racionálne číslo, b - prirodzené číslo 5. Zjednodušte: 6. Nahraďte aritmetické korene stupňov s frakčným indikátorom 7. Pripravte výraz vo forme frakcie, ktorého menovateľ neobsahuje koreňový znak 10. Vykonajte akciu: 8. Znížte frakciu 9. Vykonajte akciu | Možnosť - VI 1. Zjednodušte výraz: 2. Nájdite hodnotu výrazu: 3. Predstavte si stupeň s frakčným ukazovateľom vo forme koreňa. 4. Vytvorte špecifikovaný výraz do formuláraKde racionálne číslo, B - prírodné číslo 5. Zjednodušte: 6. Nahraďte aritmetické korene stupňov s frakčným indikátorom 7. Pripravte výraz vo forme frakcie, ktorého menovateľ neobsahuje koreňový znak 10. Vykonajte akciu 8. Znížte frakciu 9. Vykonajte akciu |
