Ak chcete vyriešiť rôzne úlohy z kurzov matematiky a fyziky, musíte deliť zlomky. Je to veľmi jednoduché, ak viete určité pravidlá vykonať túto matematickú operáciu.
Skôr než prejdeme k formulovaniu pravidla na delenie zlomkov, spomeňme si na niektoré matematické pojmy:
- Horná časť zlomku sa nazýva čitateľ a spodná časť sa nazýva menovateľ.
- Pri delení sa čísla nazývajú takto: delenec: deliteľ = podiel
Ako deliť zlomky: jednoduché zlomky
Ak chcete rozdeliť dva jednoduché zlomky, vynásobte dividendu prevrátenou hodnotou deliteľa. Tento zlomok sa nazýva aj prevrátený, pretože sa získa zámenou čitateľa a menovateľa. Napríklad:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Ako deliť zlomky: zmiešané zlomky
Ak máme rozdeliť zmiešané zlomky, tak aj tu je všetko celkom jednoduché a prehľadné. Najprv prevedieme zmiešaný zlomok na bežný nesprávny zlomok. Ak to chcete urobiť, vynásobte menovateľa takéhoto zlomku celým číslom a k výslednému produktu pridajte čitateľa. V dôsledku toho sme dostali nový čitateľ zmiešaného zlomku, ale jeho menovateľ zostane nezmenený. Ďalej sa delenie zlomkov bude vykonávať presne rovnakým spôsobom ako delenie jednoduchých zlomkov. Napríklad:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Ako rozdeliť zlomok číslom
Ak chcete deliť jednoduchý zlomok číslom, číslo by sa malo písať ako zlomok (nepravidelný). Je to veľmi jednoduché: toto číslo sa zapíše namiesto čitateľa a menovateľ takéhoto zlomku sa rovná jednej. Ďalšie delenie sa vykonáva obvyklým spôsobom. Pozrime sa na to na príklade:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Ako deliť desatinné miesta
Často má dospelý problém vydeliť celé číslo alebo desatinný zlomok desatinným zlomkom bez pomoci kalkulačky.
Na delenie desatinných miest teda stačí prečiarknuť čiarku v deliteľovi a prestať jej venovať pozornosť. V dividende musí byť čiarka posunutá doprava presne o toľko miest, koľko bola v zlomkovej časti deliteľa, a ak je to potrebné, pridajte nuly. A pokračujú vo výrobe pravidelné delenie o celé číslo. Aby to bolo jasnejšie, zvážte nasledujúci príklad.
So zlomkami môžete robiť všetko, vrátane delenia. Tento článok ukazuje delenie obyčajných zlomkov. Budú uvedené definície a príklady budú diskutované. Zastavme sa podrobne pri delení zlomkov prirodzenými číslami a naopak. Bude sa diskutovať o delení spoločného zlomku zmiešaným číslom.
Delenie zlomkov
Delenie je opakom násobenia. Pri delení sa neznámy činiteľ nájde so známym súčinom iného činiteľa, pričom sa zachová jeho daný význam obyčajné zlomky.
Ak je potrebné deliť spoločný zlomok a b c d, potom na určenie takéhoto čísla musíte vynásobiť deliteľom c d, čím sa nakoniec získa dividenda a b. Získame číslo a napíšeme ho a b · d c , kde d c je inverzná hodnota k číslu c d. Rovnosti možno zapísať pomocou vlastností násobenia, a to: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kde výraz a b · d c je podiel delenia a b c d.
Odtiaľ získame a sformulujeme pravidlo na delenie obyčajných zlomkov:
Definícia 1
Ak chcete rozdeliť spoločný zlomok ab na c d, musíte dividendu vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.
Napíšme pravidlo vo forme výrazu: a b: c d = a b · d c
Pravidlá delenia sa týkajú násobenia. Aby ste sa toho držali, musíte dobre rozumieť násobeniu zlomkov.
Prejdime k úvahám o delení obyčajných zlomkov.
Príklad 1
Vydeľte 9 7 číslom 5 3. Výsledok zapíšte zlomkom.
Riešenie
Číslo 5 3 je recipročný zlomok 3 5. Je potrebné použiť pravidlo na delenie obyčajných zlomkov. Tento výraz zapíšeme takto: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
odpoveď: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Pri zmenšovaní zlomkov oddeľte celú časť, ak je čitateľ väčší ako menovateľ.
Príklad 2
Deliť 8 15: 24 65. Odpoveď napíšte zlomkom.
Riešenie
Ak chcete vyriešiť, musíte prejsť od delenia k násobeniu. Zapíšme si to v tomto tvare: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Je potrebné vykonať zníženie, a to takto: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Vyberte celú časť a získajte 13 9 = 1 4 9.
odpoveď: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Delenie mimoriadneho zlomku prirodzeným číslom
Používame pravidlo delenia zlomku prirodzené číslo: na delenie a b prirodzeným číslom n stačí vynásobiť menovateľa n. Odtiaľ dostaneme výraz: a b: n = a b · n.
Pravidlo delenia je dôsledkom pravidla násobenia. Znázornenie prirodzeného čísla ako zlomku teda poskytne rovnosť tohto typu: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Zvážte toto rozdelenie zlomku číslom.
Príklad 3
Vydeľte zlomok 16 45 číslom 12.
Riešenie
Aplikujme pravidlo na delenie zlomku číslom. Získame vyjadrenie v tvare 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Zredukujeme zlomok. Dostaneme 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
odpoveď: 16 45: 12 = 4 135 .
Delenie prirodzeného čísla zlomkom
Pravidlo rozdelenia je podobné O pravidlo delenia prirodzeného čísla obyčajným zlomkom: na delenie prirodzeného čísla n obyčajným zlomkom a b je potrebné vynásobiť číslo n prevrátenou hodnotou zlomku a b.
Na základe pravidla máme n: a b = n · b a a vďaka pravidlu o násobení prirodzeného čísla obyčajným zlomkom dostaneme naše vyjadrenie v tvare n: a b = n · b a. Toto rozdelenie je potrebné zvážiť na príklade.
Príklad 4
Vydeľte 25 číslom 15 28.
Riešenie
Musíme prejsť od delenia k násobeniu. Zapíšme to v tvare výrazu 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Zmenšime zlomok a dostaneme výsledok v tvare zlomku 46 2 3.
odpoveď: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Delenie zlomku zmiešaným číslom
Pri delení spoločného zlomku zmiešaným číslom môžete ľahko začať deliť bežné zlomky. Musíte previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Príklad 5
Rozdeľte zlomok 35 16 na 3 1 8.
Riešenie
Keďže 3 1 8 je zmiešané číslo, predstavme si ho ako nevlastný zlomok. Potom dostaneme 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Teraz rozdeľme zlomky. Získame 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
odpoveď: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Delenie zmiešaného čísla sa vykonáva rovnakým spôsobom ako bežné čísla.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažšou časťou týchto akcií bolo priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Najprv uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „obráteným“ druhým zlomkom.
Označenie:
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok „prevrátiť“, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto počas celej hodiny budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovateľný zlomok – ten sa, samozrejme, musí redukovať. Ak sa po všetkých zníženiach zlomok ukáže ako nesprávny, mala by sa zvýrazniť celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, najväčšie faktory a najmenšie spoločné násobky.
Podľa definície máme:
Násobenie zlomkov s celými časťami a zápornými zlomkami
Ak zlomky obsahujú celé číslo, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho z násobenia vyňať alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:
- Plus mínus dáva mínus;
- Dva zápory potvrdzujú.
Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre prácu ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko nevýhod naraz:
- Negatívy vo dvojiciach škrtáme, až kým úplne nezmiznú. V extrémnych prípadoch môže prežiť jeden mínus - ten, pre ktorý nebol partner;
- Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, pretože k nemu nebol pár, berieme ho za hranice násobenia. Výsledkom je záporný zlomok.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všetky zlomky prevedieme na nesprávne a potom z násobenia odstránime mínusky. To, čo zostalo, rozmnožíme podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Ešte raz pripomeniem, že mínus, ktoré sa zobrazuje pred zlomkom so zvýraznenou celou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celú časť (to platí pre posledné dva príklady).
Dávajte pozor aj na záporné čísla: pri násobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Znižovanie frakcií za chodu
Násobenie je veľmi náročná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie problému sa môžete pokúsiť zlomok ďalej zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Podľa definície máme:
Vo všetkých príkladoch sú čísla, ktoré boli znížené, a to, čo z nich zostalo, označené červenou farbou.
Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Na ich mieste zostávajú jednotky, ktoré sa vo všeobecnosti nemusia písať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však nikdy nepoužívajte pri sčítavaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Tu, pozri:
To nemôžeš!
Chyba nastane, pretože pri sčítaní čitateľ zlomku vytvorí súčet, nie súčin čísel. V dôsledku toho nie je možné použiť základnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.
Jednoducho neexistujú žiadne iné dôvody na znižovanie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúca úloha vyzerá takto:
Správne riešenie:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné považovať alebo použiť predmet nie ako celok, ale v samostatných častiach. Začnite študovať túto tému - zdieľania. Akcie sú rovnaké diely, na ktoré sa delí ten či onen objekt. Nie vždy je totiž možné napríklad dĺžku alebo cenu výrobku vyjadriť ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo zlomky nejakej miery. Samotné slovo „zlomok“, ktoré vzniklo zo slovesa „rozdeliť“ - rozdeliť na časti a má arabské korene, vzniklo v ruskom jazyku v 8. storočí.
Zlomkové výrazy boli dlho považované za najťažšie odvetvie matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa nazývali „lomené čísla“, čo bolo pre ľudí veľmi ťažké pochopiť.
Moderný vzhľad jednoduché zlomkové zvyšky, ktorých časti sú oddelené vodorovnou čiarou, prvýkrát presadzoval Fibonacci - Leonardo z Pisy. Jeho diela sú datované do roku 1202. Účelom tohto článku je však jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako sa násobia zmiešané zlomky rôznych menovateľov.
Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Spočiatku to stojí za to určiť typy zlomkov:
- správne;
- nesprávne;
- zmiešané.
Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu nie je ťažké formulovať nezávisle: výsledkom násobenia jednoduchých zlomkov s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov týchto zlomkov. . To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z pôvodne existujúcich.
Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jediný rozdiel je v tom, že výsledné číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a prirodzene druhej mocniny číselné vyjadrenie nedá sa to pomenovať.
Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Príklady používajú metódy na redukciu zlomkových výrazov. Čísla čitateľa môžete zmenšiť iba číslami menovateľa; susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou sa nedajú zmenšiť.
Spolu s jednoduchými zlomkami existuje aj koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že je to súčet týchto čísel:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Ako funguje násobenie?
Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môže byť napísané takto:
a* b/c = a*b /c.
V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. Špeciálny prípad:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existuje aj iné riešenie, ako vynásobiť číslo zlomkovým zvyškom. Stačí vydeliť menovateľa týmto číslom:
d* e/f = e/f: d.
Táto technika je užitočná, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bez zvyšku alebo, ako sa hovorí, celým číslom.
Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Tento príklad zahŕňa spôsob znázornenia zmiešaného zlomku ako nesprávneho zlomku, môže byť tiež reprezentovaný ako všeobecný vzorec:
a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celej časti menovateľom a pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku a menovateľ zostáva rovnaký.
Tento proces funguje aj v opačná strana. Ak chcete oddeliť celú časť a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.
Násobenie nesprávne zlomky vyrobené všeobecne akceptovaným spôsobom. Pri písaní pod jednou zlomkovou čiarou musíte zlomky podľa potreby zmenšiť, aby ste pomocou tejto metódy znížili čísla a uľahčili výpočet výsledku.
Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých matematických úloh v rôznych variáciách programov. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka pomoc pri počítaní násobenia zlomkov s rôzne čísla v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na výpočet zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami. Práca s ním nie je náročná, vyplníte príslušné polia na webovej stránke, vyberiete znamienko matematickej operácie a kliknete na „vypočítať“. Program počíta automaticky.
Téma aritmetických operácií so zlomkami je aktuálna počas celého vzdelávania žiakov stredných a vysokých škôl. Na strednej škole už nepovažujú za najjednoduchší druh, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale skôr získané znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre zvládnuté základné znalosti poskytujú úplnú dôveru v úspešné riešenie väčšine komplexné úlohy.
Na záver má zmysel citovať slová Leva Nikolajeviča Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšiť svojho čitateľa – svoje zásluhy – ale každý môže znížiť svojho menovateľa – svoju mienku o sebe a týmto poklesom sa priblížiť k svojej dokonalosti.
Zlomok je jedna alebo viac častí celku, zvyčajne jedna (1). Rovnako ako pri prirodzených číslach, aj so zlomkami môžete vykonávať všetky základné aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie, delenie, násobenie), na to potrebujete poznať vlastnosti práce so zlomkami a rozlišovať ich typy. Existuje niekoľko typov zlomkov: desiatkové a obyčajné alebo jednoduché. Každý typ zlomku má svoje špecifiká, ale keď dôkladne pochopíte, ako s nimi zaobchádzať, budete vedieť vyriešiť akékoľvek príklady so zlomkami, pretože budete poznať základné princípy vykonávania aritmetických výpočtov so zlomkami. Pozrime sa na príklady, ako rozdeliť zlomok celým číslom pomocou odlišné typy zlomky.
Ako vydeliť jednoduchý zlomok prirodzeným číslom?Obyčajné alebo jednoduché zlomky sú zlomky, ktoré sú zapísané vo forme pomeru čísel, v ktorých je dividenda (čitateľ) uvedená v hornej časti zlomku a deliteľ (menovateľ) zlomku je uvedený v dolnej časti. Ako vydeliť takýto zlomok celým číslom? Pozrime sa na príklad! Povedzme, že potrebujeme vydeliť 8/12 2.
Aby sme to dosiahli, musíme vykonať niekoľko akcií:
Ak teda stojíme pred úlohou vydeliť zlomok celým číslom, schéma riešenia bude vyzerať asi takto: 
Podobným spôsobom môžete rozdeliť ľubovoľný obyčajný (jednoduchý) zlomok celým číslom.
Ako vydeliť desatinné číslo celým číslom?
Desatinné číslo je zlomok, ktorý sa získa rozdelením jednotky na desať, tisíc atď. Aritmetické operácie s desatinnými zlomkami sú celkom jednoduché.
Pozrime sa na príklad, ako rozdeliť zlomok celým číslom. Povedzme, že potrebujeme rozdeliť desatinný zlomok 0,925 prirodzeným číslom 5.
Aby sme to zhrnuli, zastavme sa pri dvoch hlavných bodoch, ktoré sú dôležité pri vykonávaní operácie delenia desatinných zlomkov celým číslom: - na oddelenie desiatkový Delenie stĺpcom sa používa pre prirodzené číslo;
- Po dokončení delenia celej časti dividendy sa do podielu umiestni čiarka.
