Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v určitom intervale obsahujúcom bod \(x_0\) v sebe. Dajme argumentu prírastok \(\Delta x \) tak, aby neopustil tento interval. Nájdeme zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri pohybe z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavíme vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ak existuje limit pre tento pomer na \(\Delta x \rightarrow 0\), potom sa zadaný limit nazýva derivácia funkcie\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene súvisí s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y = f(x).
Geometrický význam derivácie je nasledujúca. Ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode s os x=a, ktorý nie je rovnobežný s osou y, potom f(a) vyjadruje sklon dotyčnice. :
\(k = f"(a)\)
Keďže \(k = tg(a) \), potom platí rovnosť \(f"(a) = tan(a) \).
Teraz poďme interpretovať definíciu derivácie z pohľadu približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x)\) má deriváciu v konkrétnom bode \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot\ Delta x\). Zmysluplný význam výslednej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v danom bode x. Napríklad pre funkciu \(y = x^2\) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.
Poďme to sformulovať.
Ako nájsť deriváciu funkcie y = f(x)?
1. Opravte hodnotu \(x\), nájdite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) prírastok \(\Delta x\), prejdite do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Vytvorte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v bode x.
Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa procedúra na nájdenie derivácie funkcie y = f(x). diferenciácia funkcie y = f(x).
Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako spolu súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?
Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné ku grafu funkcie v bode M(x; f(x)) nakresliť dotyčnicu a pripomíname, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže „rozbiť“ v bode M, teda funkcia musí byť spojitá v bode x.
Boli to „praktické“ argumenty. Uveďme dôslednejšie zdôvodnenie. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Ak v tejto rovnosti \(\Delta x \) inklinuje k nule, potom \(\Delta y \) bude inklinovať k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.
takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode spojitá.
Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „bode spojenia“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nemožno nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom derivácia v tomto bode neexistuje.
Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x)\) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, t.j. je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x = 0. Koeficient sklonu takýto riadok nemá, čo znamená, že neexistuje ani \(f"(0) \).
Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako možno z grafu funkcie vyvodiť záver, že je diferencovateľná?
Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak je v určitom bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom funkcia v tomto bode nie je diferencovateľná.
Pravidlá diferenciácie
Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčia. Ak C- konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabuľka derivácií niektorých funkcií
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Obsah článku
DERIVÁT– derivácia funkcie r = f(X), daný v určitom intervale ( a, b) v bode X tohto intervalu sa nazýva hranica, ku ktorej smeruje pomer prírastku funkcie f v tomto bode na zodpovedajúci prírastok argumentu, keď má prírastok argumentu tendenciu k nule.
Derivát sa zvyčajne označuje takto:
Iné označenia sú tiež široko používané:
Okamžitá rýchlosť.
Nechajte bod M sa pohybuje v priamom smere. Vzdialenosť s pohyblivý bod, počítaný od nejakej počiatočnej polohy M 0 , závisí od času t, t.j. s existuje funkcia času t: s= f(t). Nech v určitom okamihu t pohyblivý bod M bol na diaľku s z východiskovej pozície M 0 a pri niektorých ďalší moment t+D t sa ocitla v pozícii M 1 - na diaľku s+D s z počiatočnej polohy ( pozri obr.).
Takže v priebehu času D t vzdialenosť s zmenené o sumu D s. V tomto prípade hovoria, že počas časového intervalu D t rozsah s dostal prírastok D s.
Priemerná rýchlosť nemôže vo všetkých prípadoch presne charakterizovať rýchlosť pohybu bodu M v určitom časovom bode t. Ak napríklad teleso na začiatku intervalu D t pohyboval sa veľmi rýchlo a na konci veľmi pomaly, potom priemerná rýchlosť nebude schopná odrážať uvedené vlastnosti pohybu bodu a poskytnúť predstavu o skutočnej rýchlosti jeho pohybu v súčasnosti t. Ak chcete presnejšie vyjadriť skutočnú rýchlosť pomocou priemernej rýchlosti, musíte použiť kratší časový úsek D t. Väčšina plne charakterizuje rýchlosť pohybu bodu v súčasnosti t limit, ku ktorému sa priemerná rýchlosť približuje pri D t® 0. Tento limit sa nazýva aktuálna rýchlosť:
Rýchlosť pohybu v danom momente sa teda nazýva hranica pomeru prírastku dráhy D s do časového prírastku D t, kedy má časový prírastok tendenciu k nule. Pretože
Geometrický význam derivácie. Tangenta ku grafu funkcie.
Konštrukcia dotyčníc je jedným z problémov, ktoré viedli k zrodu diferenciálneho počtu. Prvá publikovaná práca týkajúca sa diferenciálneho počtu, ktorú napísal Leibniz, mala názov Nová metóda maximá a minimá, ako aj dotyčnice, pre ktoré nie sú prekážkou ani zlomkové, ani iracionálne veličiny a na to špeciálny typ kalkulu.
Nech krivka je grafom funkcie r =f(X) v pravouhlom súradnicovom systéme ( cm. ryža.).
V nejakej hodnote X na funkcii záleží r =f(X). Tieto hodnoty X A r bod na krivke zodpovedá M 0(X, r). Ak argument X dať prírastok D X, potom nová hodnota argumentu X+D X zodpovedá novej hodnote funkcie y+ D r = f(X + D X). Zodpovedajúci bod krivky bude bod M 1(X+D X,r+D r). Ak nakreslíte seč M 0M 1 a označené j uhol tvorený priečkou s kladným smerom osi Vôl, z obrázku je hneď zrejmé, že .
Ak teraz D X má tendenciu k nule, potom bod M 1 sa pohybuje po krivke a približuje sa k bodu M 0 a uhol j zmeny s D X. O Dx® 0 uhol j smeruje k určitej hranici a a priamka prechádzajúca bodom M 0 a komponent s kladným smerom osi x, uhol a, bude požadovaná dotyčnica. Jeho sklon je:
teda f´( X) = tga
tie. derivátová hodnota f´( X) pre danú hodnotu argumentu X sa rovná dotyčnici uhla, ktorý tvorí dotyčnica ku grafu funkcie f(X) v príslušnom bode M 0(X,r) s kladným smerom osi Vôl.
Diferencovateľnosť funkcií.
Definícia. Ak je funkcia r = f(X) má v bode deriváciu X = X 0, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná.
Spojitosť funkcie s deriváciou. Veta.
Ak je funkcia r = f(X) je v určitom bode rozlíšiteľné X = X 0, potom je v tomto bode spojitá.
Funkcia teda nemôže mať deriváciu v bodoch diskontinuity. Nesprávny je opačný záver, t.j. zo skutočnosti, že v určitom okamihu X = X Funkcia 0 r = f(X) je spojitý neznamená, že je v tomto bode diferencovateľný. Napríklad funkcia r = |X| nepretržite pre všetkých X(–Ґ x x = 0 nemá žiadnu deriváciu. V tomto bode neexistuje dotyčnica ku grafu. Existuje pravá a ľavá dotyčnica, ale nezhodujú sa.
Niektoré vety o diferencovateľných funkciách. Veta o koreňoch derivácie (Rolleova veta). Ak je funkcia f(X) je na segmente súvislá [a,b], je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu a na koncoch X = a A X = b ide na nulu ( f(a) = f(b) = 0), potom vnútri segmentu [ a,b] je tam aspoň jeden bod X= s, a c b, v ktorom je derivát fў( X) ide na nulu, t.j. fў( c) = 0.
Veta o konečnom prírastku (Lagrangeova veta). Ak je funkcia f(X) je spojitý na intervale [ a, b] a je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je tam aspoň jeden bod s, a c b to
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Veta o pomere prírastkov dvoch funkcií (Cauchyho veta). Ak f(X) A g(X) – dve funkcie súvislé na segmente [a, b] a diferencovateľné vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, a gў( X) nezmizne nikde v tomto segmente, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je taký bod X = s, a c b to
Deriváty rôznych rádov.
Nechajte funkciu r =f(X) je diferencovateľný na určitom intervale [ a, b]. Odvodené hodnoty f ў( X), všeobecne povedané, závisí od X, t.j. derivát f ў( X) je tiež funkciou X. Pri derivovaní tejto funkcie získame takzvanú druhú deriváciu funkcie f(X), ktorý je označený f ўў ( X).
Derivát n- funkčného rádu f(X) sa nazýva derivát (prvého rádu) derivátu n- 1- a je označený symbolom r(n) = (r(n– 1))ў.
Diferenciály rôznych rádov.
Funkčný diferenciál r = f(X), Kde X– nezávislá premenná, áno D Y = f ў( X)dx, nejaká funkcia z X, ale od X môže závisieť iba prvý faktor f ў( X), druhý faktor ( dx) je prírastok nezávislej premennej X a nezávisí od hodnoty tejto premennej. Pretože D Y existuje funkcia od X, potom môžeme určiť diferenciál tejto funkcie. Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu tejto funkcie a označuje sa d 2r:
d(dx) = d 2r = f ўў( X)(dx) 2 .
Diferenciál n- prvého rádu sa nazýva prvý diferenciál diferenciálu n- 1- poradie:
d n y = d(d n–1r) = f(n)(X)dx(n).
Čiastočná derivácia.
Ak funkcia nezávisí od jedného, ale od viacerých argumentov x i(i sa pohybuje od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), potom sa v diferenciálnom počte zavedie pojem parciálna derivácia, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie viacerých premenných, keď sa zmení len jeden argument, napr. x i. Čiastočná derivácia 1. rádu vzhľadom na x i je definovaný ako obyčajný derivát a predpokladá sa, že všetky argumenty okrem x i, udržujte konštantné hodnoty. Pre parciálne derivácie sa zavádza zápis
Takto definované parciálne derivácie 1. rádu (ako funkcie tých istých argumentov) môžu mať zasa aj parciálne derivácie, ide o parciálne derivácie 2. rádu atď. Takéto deriváty prevzaté z rôznych argumentov sa nazývajú zmiešané. Spojité zmiešané deriváty rovnakého rádu nezávisia od rádu diferenciácie a sú si navzájom rovné.
Anna Chugainová
Dátum: 20.11.2014
Čo je derivát?
Tabuľka derivátov.
Derivát je jedným z hlavných pojmov vyššia matematika. V tejto lekcii predstavíme tento pojem. Spoznávajme sa, bez striktných matematických formulácií a dôkazov.
Toto zoznámenie vám umožní:
Pochopiť podstatu jednoduchých úloh s odvodeninami;
Úspešne vyriešiť práve tieto problémy ťažké úlohy;
Pripravte sa na vážnejšie lekcie o derivátoch.
Po prvé - príjemné prekvapenie.)
Striktná definícia derivátu vychádza z teórie limitov a vec je dosť komplikovaná. Toto je znepokojujúce. Praktická aplikácia derivátov však spravidla nevyžaduje také rozsiahle a hlboké znalosti!
Na úspešné splnenie väčšiny úloh v škole a na univerzite stačí vedieť len pár termínov- porozumieť úlohe a len pár pravidiel- vyriešiť to. To je všetko. Toto ma robí šťastným.
Začnime sa zoznamovať?)
Termíny a označenia.
V elementárnej matematike existuje veľa rôznych matematických operácií. Sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie, logaritmus atď. Ak k týmto operáciám pridáte ešte jednu operáciu, elementárna matematika bude vyššia. Toto nová prevádzka volal diferenciácie. Definíciu a význam tejto operácie budeme diskutovať v samostatných lekciách.
Tu je dôležité pochopiť, že diferenciácia je jednoducho matematická operácia s funkciou. Zoberieme akúkoľvek funkciu a podľa určitých pravidiel ju transformujeme. Výsledkom bude nová funkcia. Táto nová funkcia sa nazýva: derivát.
Diferenciácia- pôsobenie na funkciu.
Derivát- výsledok tejto akcie.
Tak ako napr. súčet- výsledok sčítania. Alebo súkromné- výsledok delenia.
Keď poznáte pojmy, môžete aspoň porozumieť úlohám.) Formulácie sú nasledovné: nájsť deriváciu funkcie; vziať derivát; rozlíšiť funkciu; vypočítať deriváciu a tak ďalej. To je všetko rovnaký. Samozrejme, existujú aj zložitejšie úlohy, kde nájdenie derivácie (diferenciácie) bude len jedným z krokov pri riešení úlohy.
Derivácia je označená pomlčkou v pravom hornom rohu funkcie. Páči sa ti to: y" alebo f"(x) alebo S"(t) a tak ďalej.
Čítanie ťah igrek, ťah ef od x, ťah es od te, no chápeš...)
Prvočíslo môže tiež označovať deriváciu konkrétnej funkcie, napríklad: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" atď. Derivácie sa často označujú pomocou diferenciálov, ale v tejto lekcii sa takýmto zápisom nebudeme zaoberať.
Predpokladajme, že sme sa naučili chápať úlohy. Zostáva len naučiť sa ich riešiť.) Ešte raz vám pripomeniem: nájsť deriváciu je transformácia funkcie podľa určitých pravidiel. Prekvapivo je týchto pravidiel veľmi málo.
Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, potrebujete vedieť iba tri veci. Tri piliere, na ktorých stojí všetka diferenciácia. Tu sú tieto tri piliere:
1. Tabuľka derivátov (diferenciačné vzorce).
3. Derivácia komplexnej funkcie.
Začnime pekne po poriadku. V tejto lekcii sa pozrieme na tabuľku derivátov.
Tabuľka derivátov.
Na svete existuje nekonečné množstvo funkcií. Medzi touto odrodou sú funkcie, ktoré sú najdôležitejšie praktické uplatnenie. Tieto funkcie sa nachádzajú vo všetkých prírodných zákonoch. Z týchto funkcií, podobne ako z tehál, môžete postaviť všetky ostatné. Táto trieda funkcií sa nazýva elementárne funkcie. Práve tieto funkcie sa študujú v škole - lineárne, kvadratické, hyperbola atď.
Diferenciácia funkcií „od nuly“, t.j. Na základe definície derivácie a teórie limitov ide o pomerne pracnú vec. A matematici sú tiež ľudia, áno, áno!) Zjednodušili si teda život (aj nám). Pred nami vypočítali derivácie elementárnych funkcií. Výsledkom je tabuľka derivátov, kde je všetko pripravené.)
Tu je táto doska pre najobľúbenejšie funkcie. Vľavo je elementárna funkcia, vpravo jej derivácia.
| Funkcia r |
Derivácia funkcie y y" |
|
| 1 | C (konštantná hodnota) | C" = 0 |
| 2 | X | x" = 1 |
| 3 | x n (n - ľubovoľné číslo) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | hriech x | (hriech x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - hriech x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a X |  |
| e X | ||
| 5 | log a X |  |
| ln x ( a = e) |
Odporúčam venovať pozornosť tretej skupine funkcií v tejto tabuľke derivácií. Derivát výkonová funkcia- jeden z najbežnejších vzorcov, ak nie najbežnejší! Chápete?) Áno, je vhodné poznať tabuľku derivátov naspamäť. Mimochodom, nie je to také ťažké, ako by sa mohlo zdať. Skúste vyriešiť viac príkladov, samotná tabuľka sa zapamätá!)
Ako viete, nájsť tabuľkovú hodnotu derivátu nie je najťažšia úloha. Preto veľmi často v takýchto úlohách existujú ďalšie čipy. Buď v znení úlohy, alebo v pôvodnej funkcii, ktorá v tabuľke akoby nebola...
Pozrime sa na niekoľko príkladov:
1. Nájdite deriváciu funkcie y = x 3
Takáto funkcia v tabuľke nie je. Existuje však derivát výkonovej funkcie všeobecný pohľad(tretia skupina). V našom prípade n=3. Namiesto n teda dosadíme tri a pozorne zapíšeme výsledok:
(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je všetko.
odpoveď: y" = 3x 2
2. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = sinx v bode x = 0.
Táto úloha znamená, že najprv musíte nájsť deriváciu sínusu a potom nahradiť hodnotu x = 0 práve do tohto derivátu. Presne v tomto poradí! V opačnom prípade sa stane, že do pôvodnej funkcie okamžite dosadia nulu... Sme vyzvaní nájsť nie hodnotu pôvodnej funkcie, ale hodnotu jeho derivát. Pripomínam vám, že derivácia je nová funkcia.
Pomocou tabuľky nájdeme sínus a zodpovedajúcu deriváciu:
y" = (hriech x)" = cosx
Do derivácie dosadíme nulu:
y"(0) = cos 0 = 1
Toto bude odpoveď.
3. Diferencujte funkciu:
Čo, inšpiruje?) V tabuľke derivátov takáto funkcia nie je.
Dovoľte mi pripomenúť, že diferencovať funkciu znamená jednoducho nájsť deriváciu tejto funkcie. Ak zabudnete na elementárnu trigonometriu, hľadanie derivácie našej funkcie je dosť problematické. Tabuľka nepomôže...
Ale ak vidíme, že naša funkcia je dvojitý uhol kosínus, potom sa všetko hneď zlepší!
Áno áno! Pamätajte, že transformácia pôvodnej funkcie pred diferenciáciou celkom prijateľné! A stáva sa, že to značne uľahčuje život. Použitie kosínusového vzorca s dvojitým uhlom:
Tie. naša zložitá funkcia nie je nič iné ako y = cosx. A toto je tabuľková funkcia. Okamžite dostaneme:
odpoveď: y" = - hriech x.
Príklad pre pokročilých absolventov a študentov:
4. Nájdite deriváciu funkcie:
V tabuľke derivátov, samozrejme, takáto funkcia neexistuje. Ale ak si pamätáte elementárnu matematiku, operácie s mocninami... Potom je celkom možné túto funkciu zjednodušiť. Páči sa ti to:
A x v mocnine jednej desatiny je už tabuľková funkcia! Tretia skupina, n=1/10. Píšeme priamo podľa vzorca:
To je všetko. Toto bude odpoveď.
Dúfam, že s prvým pilierom diferenciácie - tabuľkou derivátov je všetko jasné. Zostáva sa vysporiadať s dvoma zostávajúcimi veľrybami. V ďalšej lekcii sa naučíme pravidlá rozlišovania.
Ak budete postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:
Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste použiť tento vzorec na výpočet, povedzme, derivácie funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.
Na začiatok si všimneme, že z celej škály funkcií môžeme rozlíšiť takzvané elementárne funkcie. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a tabuľkové. Takéto funkcie sú celkom ľahko zapamätateľné - spolu s ich derivátmi.
Deriváty elementárnych funkcií
Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je vôbec ťažké si ich zapamätať - preto sú elementárne.
Takže deriváty elementárnych funkcií:
| názov | Funkcia | Derivát |
| Neustále | f(X) = C, C ∈ R | 0 (áno, nula!) |
| Mocnina s racionálnym exponentom | f(X) = X n | n · X n − 1 |
| Sinus | f(X) = hriech X | cos X |
| Kosínus | f(X) = cos X | − hriech X(mínus sinus) |
| Tangenta | f(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Kotangens | f(X) = ctg X | − 1/sin 2 X |
| Prirodzený logaritmus | f(X) = log X | 1/X |
| Ľubovoľný logaritmus | f(X) = log a X | 1/(X ln a) |
| Exponenciálna funkcia | f(X) = e X | e X(nič sa nezmenilo) |
Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:
(C · f)’ = C · f ’.
Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:
(2X 3)' = 2 · ( X 3)“ = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Je zrejmé, že elementárne funkcie sa dajú k sebe pridávať, násobiť, deliť – a ešte oveľa viac. Takto sa objavia nové funkcie, už nie zvlášť elementárne, ale aj diferencovateľné určité pravidlá. Tieto pravidlá sú popísané nižšie.
Derivácia súčtu a rozdielu
Nech sú dané funkcie f(X) A g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Presne povedané, v algebre neexistuje koncept „odčítania“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g, a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.
f(X) = X 2 + hriech x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, teda:
f ’(X) = (X 2 + hriech X)’ = (X 2)“ + (hriech X)’ = 2X+ cos x;
Podobne zvažujeme aj funkciu g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):
g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Derivát produktu
Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia sumy rovná sume derivácií, potom derivácia produktu štrajk">rovná súčinu derivátov. Ale poserte sa! Derivát súčinu sa vypočíta podľa úplne iného vzorca. Konkrétne:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Vzorec je jednoduchý, no často sa naň zabúda. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.
Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Funkcia f(X) je súčinom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:
f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)“ čos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)
Funkcia g(X) prvý faktor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma toto sa nemení. Je zrejmé, že prvý faktor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:
g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)“ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Upozorňujeme, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné robiť, ale väčšina derivácií sa nevypočítava sama o sebe, ale kvôli skúmaniu funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, určia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz faktorizovaný.
Ak existujú dve funkcie f(X) A g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať Nová funkcia h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:
Nie slabé, čo? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? A takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétne príklady.
Úloha. Nájdite deriváty funkcií:
Čitateľ a menovateľ každého zlomku obsahuje elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:
Podľa tradície rozložme čitateľa na faktor – tým sa výrazne zjednoduší odpoveď:
Komplexná funkcia nie je nevyhnutne pol kilometra dlhý vzorec. Napríklad stačí zobrať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2 + ln X. Vyjde to f(X) = hriech ( X 2 + ln X) - ide o komplexnú funkciu. Má tiež derivát, ale nebude možné ho nájsť pomocou vyššie uvedených pravidiel.
Čo mám robiť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie:
f ’(X) = f ’(t) · t', Ak X sa nahrádza t(X).
Spravidla je situácia s pochopením tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie vysvetliť to na konkrétnych príkladoch, s Detailný popis každý krok.
Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2 + ln X)
Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme náhradu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie pomocou vzorca:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
A teraz - pozor! Vykonávame spätnú výmenu: t = 2X+ 3. Dostaneme:
f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Je zrejmé, že ho treba vymeniť X 2 + ln X = t. Máme:
g ’(X) = g ’(t) · t“ = (hriech t)’ · t’ = cos t · t ’
Spätná výmena: t = X 2 + ln X. potom:
g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivačného súčtu.
odpoveď:
f ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) pretože ( X 2 + ln X).
Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „hlavný“. Napríklad prvočíslo zo sumy rovná súčtuťahy. Je to jasnejšie? No to je dobre.
Výpočet derivácie teda vedie k zbaveniu sa tých istých ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:
(X n)’ = n · X n − 1
V úlohe to málokto vie n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Čo ak je pod koreňom niečo fantastické? Výsledkom bude opäť zložitá funkcia - takéto konštrukcie radi dávajú testy a skúšky.
Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:
Najprv prepíšme odmocninu s racionálnym exponentom:
f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Derivát nájdeme pomocou vzorca:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Urobme opačnú výmenu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:
f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Nakoniec späť ku koreňom:
Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov matematická analýza. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je derivát, aký je jeho fyzikálny a geometrický význam ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?
Geometrický a fyzikálny význam derivácie
Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:
Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.
Inak sa to dá napísať aj takto:
Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:
derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.
Fyzický význam derivát: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.
V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:
Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:
Pravidlo jedna: nastavte konštantu
Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .
Príklad. Vypočítajme deriváciu:
Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií
Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.
Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.
Nájdite deriváciu funkcie:
Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií
Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:
Príklad: nájdite deriváciu funkcie:
Riešenie: 
Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.
Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:
IN v tomto prípade stredný argument je 8x až piata mocnina. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.
Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií
Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:
Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.
S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť najťažší test a pochopiť úlohy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.
