Rovnica v tvare ax4 + bx2 + c \u003d 0 sa nazýva dvojkvadratická rovnica. Absolútne ktorúkoľvek rovnicu tohto typu je možné vyriešiť zadaním novej premennej a následným vyriešením rovnice. Potom sa vykoná spätná výmena a nájde sa požadované x.
Poďme sa pozrieť na to, ako použiť túto metódu pri riešení racionálne rovnice.
Rovnica je daná: x4 - 4x2 + 4 \u003d 0.
Rozhodnutie
Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné zaviesť novú premennú, ktorá má tvar y \u003d x2. Platí aj táto rovnosť: x4 \u003d (x2) 2 \u003d y2. Pôvodnú rovnicu prepíšeme nasledovne: y2 - 4y + 4 \u003d 0. Toto je obyčajná kvadratická rovnica, ktorej riešením získate korene y1 \u003d y2 \u003d 2. Pretože y \u003d x2 sa riešenie tejto úlohy zníži na riešenie ešte jednej rovnice, a to: x2 \u003d 2. Nájdeme odpoveď: + -√2.
V tejto situácii bol spôsob zavedenia premennej „adekvátny situácii“, to znamená, že bolo jasne viditeľné, ktorý výraz sa má nahradiť novou premennou, ale nie je to tak vždy. Výraz, ktorý je možné nahradiť, sa v zásade zobrazuje iba v procese konverzie a zjednodušenia pôvodného výrazu. Analýzu takéhoto príkladu si môžete pozrieť vo videonávode.
Vlastnosti funkcie y \u003d k / x, pre k\u003e 0
Vo videonávode sa oboznámite so základnými vlastnosťami hyperboly na základe jej geometrického modelu.
1. D (f) \u003d (-∞; 0) ∪ (0; ∞) - doména funkcie pozostáva zo všetkých čísel okrem 0.
2. Pre x\u003e 0 \u003d\u003e y\u003e 0 a pre x< 0 => r< 0.
3. Pre k\u003e 0 sa funkcia zníži pri otvorenom lúči (-∞; 0) a pri otvorenom lúči (0; ∞).
4. Funkcia y \u003d k / x nemá horné ani dolné obmedzenie.
5. Funkcia y \u003d k / x nemá najväčšie a najmenšie hodnoty.
6. Spojité v intervale (-∞; 0) a (0; ∞), ktoré prechádzajú diskontinuitou pri x \u003d 0.
O metóde zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa dozvedeli v kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy pri riešení sústavy rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska existujú niektoré vlastnosti, ktorým sa budeme venovať v nasledujúcich príkladoch.
Príklad 3. Vyriešte sústavu rovníc
Rozhodnutie. Zavádzame novú premennú. Potom možno prvú rovnicu systému prepísať viac jednoduchá forma: 
Vyriešime túto rovnicu pre premennú t:
Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To však znamená, že buď odkiaľ zistíme, že x \u003d 2y, alebo
Takto sa nám pomocou metódy zavedenia novej premennej podarilo „rozdeliť“ prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad dosť zložitá, na dve jednoduchšie rovnice:
x \u003d 2 r; y - 2x.
Čo bude ďalej? A potom treba každú z dvoch získaných jednoduchých rovníc brať postupne do úvahy v systéme s rovnicou x 2 - y 2 \u003d 3, ktorú sme si doteraz nepamätali. Inými slovami, problém sa zníži na riešenie dvoch sústav rovníc:
Je potrebné nájsť riešenia prvého systému, druhého systému a do odpovede zahrnúť všetky získané dvojice hodnôt. Vyriešime prvý systém rovníc:
Použijeme substitučnú metódu, najmä preto, že tu je na ňu všetko pripravené: v druhej rovnici systému dosaďte výraz 2y namiesto x. Dostaneme
Pretože x \u003d 2y, nájdeme príslušne x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Takto sa získajú dve riešenia daného systému: (2; 1) a (-2; -1). Vyriešime druhý systém rovníc:
Použime znova substitučnú metódu: do druhej rovnice systému dosadíme výraz 2x za y. Dostaneme
Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že sústava rovníc tiež nemá riešenia. Do odpovede by teda mali byť zahrnuté iba riešenia prvého systému.
Odpoveď: (2; 1); (-2; -1).
Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavádza sa jedna nová premenná a používa sa iba v jednej rovnici systému. To je presne prípad príkladu 3. Druhá možnosť: zavádzajú sa dve nové premenné, ktoré sa používajú súčasne v oboch rovniciach systému. Bude tomu tak v príklade 4.
Príklad 4. Vyriešte sústavu rovníc
Hodina na tému: Riešenie rovníc
Zostavila: Věra V. Volková - učiteľka matematiky
Téma lekcie: Riešenie rovníc zavedením novej premennej.
Ciele lekcie: 1. Oboznámiť študentov s novou metódou riešenia rovníc;
2. upevniť zručnosti riešenia kvadratické rovnice a výber metód ich riešenia;
3. Uskutočniť počiatočné upevnenie novej témy;
4. Rozvíjať schopnosť brániť svoj pohľad, viesť rozumný dialóg so spolužiakmi;
Rozvíjať pozornosť, pamäť a logické myslenie, pozorovanie
Vštepiť komunikačné schopnosti a komunikačnú kultúru
Vštepujte si nezávislé pracovné zručnosti
Počas vyučovania
1. Orgmoment
Komunikácia témy hodiny a stanovenie cieľov.
2. Opakovanie
Na predchádzajúcich hodinách sme sa učili, ako riešiť kvadratické rovnice rôzne cesty a rovnice. Ktoré sa dajú zmenšiť na štvorec.
Ktorá rovnica sa nazýva kvadratická.
Aké spôsoby ich riešenia viete?
Aké rovnice možno znížiť na štvorcové
a) (x + 3) 2 + (x-2) 2 + (x + 5) (x -5) \u003d 11x +20
b) x 2 (x + 1) - (x + 4) x \u003d 12 (x-1) 2
c) x 2 + x + 9 \u003d 3x-7,
d) x + 1 + x \u003d 2,5
X x + 1
e) x 2 + 2x + 2 + x 2 + 2x + 3 \u003d 9
X 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 6 10?
3. Učenie sa nového materiálu.
Teraz ideme pracovať v skupinách (pripomeňte pracovný postup a pravidlá správania sa pri práci v skupinách). Vašou úlohou je vyriešiť navrhované rovnice (rozdajú sa karty s úlohou, na nástenke je vyvesený plagát).
a) x + 1 + x \u003d 2,5
X x + 1
b) x 2 + 2x + 2 + x 2 + 2x + 3 \u003d 9
X 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 6 10
Učiteľ sleduje postup práce a zvolí formu kontroly prvej rovnice:
Ústne alebo na tabuli, v závislosti od úspechu triedy.
Poďme skontrolovať, čo máš.
Prvá rovnica sa redukuje na kvadratickú rovnicu x 2 + x -2 \u003d 0.
Riešením ktorých sú čísla -2 a 1.
Teraz prejdime k riešeniu druhej rovnice. Vo všetkých skupinách sa ukázala rovnica štvrtého stupňa, ktorú neviete vyriešiť.
Pokúsme sa s tým vyrovnať rovnako.
Rovnako ako riešenie každého problému, aj riešenie rovnice pozostáva z niekoľkých etáp:
- Rovnicová analýza
- Vypracovanie plánu riešenia.
- Implementácia tohto plánu.
- Overenie riešenia.
- Analýza metódy riešenia systematizácie skúseností.
- - Ako sa zvyčajne robí analýza rovníc?
Najskôr si odpovieme na otázku, stretli sme sa už s rovnicami tohto druhu?
Áno, stretli sme sa - toto je zlomková racionálna rovnica.
Môžete skúsiť vyriešiť túto „zložitú“ rovnicu, alebo sa môžete vrátiť k
pôvodnú rovnicu a znova ju analyzujte.
Pre to:
- Vyberme niektoré prvky rovnice,
- Stanovme ich všeobecné vlastnosti,
- Poďme študovať súvislosti medzi rôznymi prvkami rovnice,
- Tieto informácie používame.
Poďme pracovať 5 minút v skupinách podľa tohto plánu.
Väčšina z nich zvýraznila prvok v čitateľoch a menovateľoch zlomkov v rovnici. Aby sme zjednodušili rovnicu, nahraďme tento výraz jedným písmenom, napríklad Z:
X 2 + 2x \u003d Z
Z +2 + Z +3 \u003d 9
Z +5 Z +6 10
Možno ju považovať za novú rovnicu pre novú neznámu Z. Premenná x sa v nej výslovne nenachádza.
Hovoria, že premenná bola nahradená.
Je takáto náhrada vhodná? Na zodpovedanie tejto otázky stačí zistiť:
Je možné vyriešiť novú rovnicu a nájsť hodnoty Z,
Je možné pomocou Z nájsť hodnotu premennej x pre pôvodnú rovnicu.
Skúste pracovať v skupinách, aby ste odpovedali na prvú časť otázky.
Učiteľ sleduje priebeh prác. Potom sa skontrolujú výsledky hľadania pre hodnoty premennej Z.
Našli sme teda hodnoty premennej Z: Z 1 \u003d 0, Z 2 \u003d - 61 | jedenásť
Nás ale zaujímajú všetky hodnoty premennej x, ktoré vyhovujú pôvodnej rovnici. Poďme nájsť tieto hodnoty. Spojenie medzi koreňmi pôvodnej a novej rovnice je obsiahnuté vo vzorci x 2 + 2x \u003d Z. Už sme našli hodnoty premennej Z. Akýkoľvek koreň pôvodnej zlomkovej - racionálnej rovnice je preto koreňom jednej z rovníc: x 2 + 2x \u003d Z 1 alebo x 2 + 2x \u003d Z 2
Vyriešte tieto rovnice sami podľa možností.
Poďme skontrolovať výsledky: prvá rovnica má korene x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2 a druhá rovnica nemá korene.
Zostáva skontrolovať výsledky získané pre pôvodnú rovnicu a zapísať si odpoveď.
Odpoveď: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2.
Pôvodnú rovnicu sme teda vyriešili novou metódou, ktorá sa nazýva zavedením novej premennej.
Vytvorte algoritmus na riešenie našej rovnice zavedením novej premennej.(pracovať v skupinách)
- Vyberte výraz x 2 + 2x;
- Tento výraz označíme jedným písmenom x 2 + 2x \u003d Z;
- Vykonáme substitúciu a dostaneme novú rovnicu;
- Vynesieme to na námestie a vyriešime;
- Hodnotami premennej Z nájdeme hodnoty premennej x;
- Skontrolujeme získané výsledky a zapíšeme si odpoveď.
3. Upevnenie materiálu.
Myslíte si, že bolo možné urobiť ďalšiu zmenu premenných? (Napríklad x 2 + 2x
2 \u003d Z alebo x 2 + 2x +6 \u003d Z.) Aký tvar bude mať potom nová rovnica? Ako ich vyriešiť? Dá sa vyriešiť prvá domáca rovnica zavedením novej premennej? Ktorý výraz je možné nahradiť novou premennou? Aká je tvoja rovnica? Ako to riesit? Aké sú hodnoty premennej Z? Aké sú hodnoty x?
4. Zhrnutie.
- Čo sme sa dnes naučili na lekcii?
- Čo nová cesta našli ste riešenia rovníc?
- Aký je spôsob zavedenia novej premennej?
- Aký je algoritmus pre túto metódu?
- Zdá sa vám táto metóda ťažká, nepohodlná?
- Dá sa to použiť na všetky rovnice?
5. Domáca úloha.
- Zapíšte si a naučte sa algoritmus na použitie metódy zavedenia novej premennej;
- Riešiť touto metódou č. 2.43 (1; 2) ГИА s.117.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a ukladáme vaše informácie. Prečítajte si naše pravidlá ochrany osobných údajov a v prípade akýchkoľvek otázok nás kontaktujte.
Zhromažďovanie a použitie osobných údajov
Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo na jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás môžete požiadať, aby ste poskytli svoje osobné informácie.
Ďalej uvádzame niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a toho, ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné informácie zhromažďujeme:
- Keď na webe necháte žiadosť, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy email atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať o jedinečných ponukách, propagačných akciách a iných udalostiach a nadchádzajúcich udalostiach.
- Vaše osobné údaje môžeme občas použiť na zasielanie dôležitých oznámení a správ.
- Môžeme tiež použiť osobné informácie na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne prieskumy, aby sme zlepšili poskytované služby a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaží alebo podobných propagačných akcií, môžeme informácie, ktoré poskytnete, použiť na správu týchto programov.
Sprístupnenie informácií tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- Ak je to potrebné - v súlade so zákonom, súdnym príkazom, v súdnom konaní a / alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - za účelom zverejnenia vašich osobných údajov. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z bezpečnostných dôvodov, presadzovania práva alebo z iných spoločensky dôležitých dôvodov.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu - postupníka.
Ochrana osobných údajov
Prijímame preventívne opatrenia - vrátane administratívnych, technických a fyzických - na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, odcudzením a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, pozmeňovaním a zničením.
Rešpektujte svoje súkromie na úrovni spoločnosti
Aby sme sa ubezpečili, že vaše osobné informácie sú v bezpečí, prinášame našim zamestnancom pravidlá dôvernosti a bezpečnosti a dôsledne sledujeme implementáciu opatrení dôvernosti.
2.2.3. Metóda zavedenia novej premennej.
Účinným nástrojom na riešenie iracionálnych rovníc je metóda zavedenia novej premennej alebo „náhradná metóda“. Metóda sa zvyčajne používa v prípade, keď sa výraz opakovane vyskytuje v rovnici v závislosti od neznámej veličiny. Potom má zmysel tento výraz označiť novým písmenom a pokúsiť sa vyriešiť rovnicu najskôr vzhľadom na vnesenú neznámú a potom nájsť pôvodnú neznámu. V niektorých prípadoch úspešne zavedené nové neznáme informácie niekedy umožňujú rýchlejšie a ľahšie získať riešenie; niekedy je nemožné vyriešiť problém bez výmeny. ,
Príklad 7. Vyriešte rovnicu.
Rozhodnutie. Povedané, dostaneme podstatne jednoduchšiu iracionálnu rovnicu. Zrovnajme obe strany rovnice :.
;
;
;
Kontrola nájdených hodnôt ich dosadením do rovnice ukazuje, že je koreňom rovnice a je cudzím koreňom.
Keď sa vrátime k pôvodnej premennej x, dostaneme rovnicu, teda kvadratickú rovnicu 
, Po vyriešení ktorého nájdeme dva korene:,. Overenie ukazuje, že oba korene vyhovujú pôvodnej rovnici.
Substitúcia je obzvlášť užitočná, ak sa vďaka nej dosiahne nová kvalita, napríklad z iracionálnej rovnice bude štvorcová.
Príklad 8. Vyriešte rovnicu.
Rozhodnutie. Prepíšeme rovnicu nasledovne :.
Je vidieť, že ak zavedieme novú premennú 
, potom má rovnica tvar 
, odkiaľ ,.
Teraz sa problém zníži na riešenie rovnice 
a rovnice 
... Prvé z týchto riešení nemá a od druhého získavame ,. Overenie ukazuje, že oba korene vyhovujú pôvodnej rovnici.
Upozorňujeme, že „bezmyšlienkovité“ použitie metódy „izolovania radikálu“ a kvadratúry v príklade 8 by viedlo k rovnici štvrtého stupňa, ktorej riešenie je vo všeobecnom prípade extrémne náročná úloha.
Príklad 9. Vyriešte rovnicu 
.
Poďme predstaviť novú premennú
Vo výsledku má pôvodná iracionálna rovnica tvar štvorca
,
odkiaľ, berúc do úvahy obmedzenie, získame. Riešením rovnice dostaneme koreň. Overenie ukazuje, že vyhovuje pôvodnej rovnici.
Niekedy je možné pomocou nejakej substitúcie redukovať iracionálnu rovnicu na racionálnu formu, ako v príkladoch 8, 9. V takom prípade hovoria, že táto substitúcia racionalizuje uvažovanú iracionálnu rovnicu a nazývajú ju racionalizáciou. Na základe použitia racionalizujúcich substitúcií sa nazýva racionalizačná metóda.
U všetkých študentov na hodine nie je potrebné túto metódu riešenia iracionálnych rovníc rozoberať, ale možno ju zvážiť v rámci výberových alebo krúžkových hodín matematiky so študentmi, ktorí prejavujú zvýšený záujem o matematiku.
Na základe poznatkov o vzťahu medzi výsledkom a komponentmi aritmetické operácie (t.j. znalosť spôsobov, ako nájsť neznáme komponenty). Tieto požiadavky na program určujú metodiku práce na rovniciach. 2. Metodika štúdia nerovností na strednej škole 2.1 Obsah a úloha rovnice a nerovností v modernom školskom kurze matematiky z hľadiska dôležitosti a rozsiahlosti materiálu, ...
Na kvalitatívne novú úroveň zvládnutia obsahu školskej matematiky. Kapitola II. Metodické a pedagogické základy využívania samostatnej práce ako prostriedku výučby riešenia rovníc v 5. - 9. ročníku. § 1. Organizácia samostatnej práce pri výučbe riešenia rovníc v 5. - 9. ročníku. Kedy tradičným spôsobom výučby učiteľ často dáva študentovi objektovú pozíciu ...
Možno vyvodiť záver, že moderná problematika nie je dostatočne pokrytá metodická literatúra... Výskumný objekt práce: proces výučby matematiky. Predmet: formovanie schopnosti riešiť kvadratické rovnice u študentov 8. ročníka. Kontingent: žiaci 8. ročníka. Kapitola 1. Teoretické aspekty naučiť sa riešiť rovnice v 8. ročníku 1.1. Z histórie vzniku námestia ...
Číselný argument preto pri tomto prístupe predstavuje určitú redundanciu pri formovaní funkcie ako zovšeobecneného konceptu. 2. Hlavné smery zavádzania pojmu funkcie v školskom kurze matematiky V kurze modernej školskej matematiky sa za vedúci prístup považuje genetický prístup s pridaním logických prvkov. Tvorba koncepcií a nápadov, metód a techník ako súčasť ...
