Témou hodiny je „Riešenie nerovností a ich sústav“ (9. ročník z matematiky)
Typ lekcie: lekciu o systematizácii a zovšeobecňovaní vedomostí a zručností
Technológia lekcie: vývoj technológií kritické myslenie, diferencované vzdelávanie, IKT technológie
Účel lekcie: zopakovať a systematizovať poznatky o vlastnostiach nerovností a metódach ich riešenia, vytvárať podmienky na rozvíjanie zručností aplikovať tieto poznatky pri riešení štandardných a tvorivých problémov.
Úlohy.
Vzdelávacie:
prispievať k rozvoju schopností študentov zovšeobecňovať nadobudnuté vedomosti, vykonávať analýzy, syntézy, porovnávania a vyvodzovať potrebné závery
organizovať aktivity žiakov na uplatnenie získaných vedomostí v praxi
podporovať rozvoj zručností aplikovať získané vedomosti v neštandardných podmienkach
Vzdelávacie:
pokračovať vo formácii logické myslenie pozornosť a pamäť;
zlepšiť schopnosti analýzy, systematizácie, zovšeobecňovania;
vytváranie podmienok, ktoré zabezpečujú rozvoj sebaovládacích schopností u žiakov;
podporovať získavanie potrebných nezávislých zručností vzdelávacie aktivity.
Vzdelávacie:
pestovať disciplínu a vyrovnanosť, zodpovednosť, samostatnosť, kritický postoj k sebe samému a pozornosť.
Plánované vzdelávacie výsledky.
Osobné: zodpovedný prístup k učeniu a komunikatívna kompetencia v komunikácii a spolupráci s rovesníkmi v procese výchovno-vzdelávacej činnosti.
Poznávacie: schopnosť definovať pojmy, vytvárať zovšeobecnenia, nezávisle vyberať dôvody a kritériá klasifikácie, vytvárať logické úvahy a vyvodzovať závery;
Regulačné: schopnosť identifikovať potenciálne ťažkosti pri riešení vzdelávacej a kognitívnej úlohy a nájsť prostriedky na ich odstránenie, zhodnotiť svoje úspechy
Komunikatívne: schopnosť robiť úsudky pomocou matematické pojmy a koncepty, formulovať otázky a odpovede počas úlohy, vymieňať si poznatky medzi členmi skupiny na efektívne spoločné rozhodnutia.
Základné pojmy a pojmy: lineárna nerovnosť, kvadratická nerovnosť, systém nerovností.
Vybavenie
Projektor, učiteľský notebook, niekoľko netbookov pre študentov;
Prezentácia;
Kartičky so základnými vedomosťami a zručnosťami k téme vyučovacej hodiny (Príloha 1);
Karty so samostatnou prácou (príloha 2).
Plán lekcie
| Počas vyučovania |
|||
| Technologické etapy. Cieľ. | Učiteľské aktivity | Študentské aktivity | |
| Úvodná a motivačná zložka |
|||
| 1.Organizačné Cieľ: psychologická príprava na komunikáciu. | Ahoj. Rád vás všetkých vidím. Posaď sa. Skontrolujte, či máte všetko pripravené na lekciu. Ak je všetko v poriadku, pozri sa na mňa. | Pozdravujú sa. Skontrolujte príslušenstvo. Príprava do práce. | Osobné. Vytvára sa zodpovedný postoj k učeniu. |
| 2. Aktualizácia vedomostí (2 minúty) Cieľ: identifikovať jednotlivé medzery vo vedomostiach o danej téme | Témou našej lekcie je „Riešenie nerovností s jednou premennou a ich systémami“. (snímka 1) Tu je zoznam základných vedomostí a zručností k danej téme. Zhodnoťte svoje vedomosti a zručnosti. Umiestnite príslušné ikony. (snímka 2) | Zhodnotiť svoje vedomosti a zručnosti. (Príloha 1) | Regulačné Sebahodnotenie svojich vedomostí a zručností |
| 3.Motivácia (2 minúty) Účel: poskytnúť aktivity na určenie cieľov lekcie . | IN práce OGE v matematike niekoľko otázok v prvej aj druhej časti určuje schopnosť riešiť nerovnice. Čo si musíme na hodine zopakovať, aby sme tieto úlohy úspešne splnili? | Zdôvodňujú a pomenúvajú otázky na zopakovanie. | Poznávacie. Identifikujte a formulujte kognitívny cieľ. |
| Fáza koncepcie (obsahová zložka) |
|||
| 4.Sebaúcta a voľba trajektórie (1-2 minúty) | Podľa toho, ako ste zhodnotili svoje vedomosti a zručnosti k téme, zvoľte formu práce na hodine. So mnou môžeš pracovať s celou triedou. Na netbookoch môžete pracovať individuálne, s využitím mojej konzultácie, alebo vo dvojici, pričom si navzájom pomáhate. | Určené individuálnou vzdelávacou cestou. V prípade potreby zmeňte miesta. | Regulačné identifikovať potenciálne ťažkosti pri riešení výchovnej a kognitívnej úlohy a nájsť prostriedky na ich odstránenie |
| 5-7 Práca vo dvojiciach alebo jednotlivo (25 min) | Učiteľ radí žiakom pracovať samostatne. | Študenti, ktorí dobre poznajú danú tému, pracujú samostatne alebo vo dvojiciach s prezentáciou (snímky 4-10) Vyplňte zadania (snímky 6,9). | Poznávacie schopnosť definovať pojmy, vytvárať zovšeobecnenia, budovať logický reťazec Regulačné schopnosť určiť akcie v súlade so vzdelávacou a kognitívnou úlohou Komunikácia schopnosť organizovať vzdelávaciu spoluprácu a spoločné aktivity, pracovať so zdrojom informácií Osobné zodpovedný prístup k učeniu, pripravenosť a schopnosť sebarozvoja a sebavzdelávania |
| 5. Riešenie lineárnych nerovností. (10 min) | Aké vlastnosti nerovností používame na ich riešenie? Dokážete rozlíšiť lineárne a kvadratické nerovnice a ich sústavy? (snímka 5) Ako vyriešiť lineárna nerovnosť? Postupujte podľa riešenia. (snímka 6) Učiteľ sleduje riešenie pri tabuli. Skontrolujte, či je vaše riešenie správne. | Pomenujte vlastnosti nerovníc za odpoveďou alebo v prípade ťažkostí učiteľ otvorí snímku 4. Volaný Vlastnosti nerovnosti Použitie vlastností nerovností. Jeden žiak rieši nerovnosť č.1 pri tabuli. Zvyšok je v zošitoch podľa rozhodnutia odpovedajúceho. Nerovnosti č. 2 a 3 sú uspokojené nezávisle. Kontrolujú pripravenú odpoveď. | Poznávacie Komunikácia |
| 6. Riešenie kvadratických nerovností. (10 min) | Ako vyriešiť nerovnosť? Čo je to za nerovnosť? Aké metódy sa používajú na riešenie kvadratických nerovností? Spomeňme si na metódu paraboly (snímka 7) Učiteľ si pripomenie fázy riešenia nerovnice. Intervalová metóda sa používa na riešenie nerovností druhého a vyššieho stupňa. (snímka 8) Na vyriešenie kvadratických nerovností si môžete vybrať metódu, ktorá vám vyhovuje. Vyriešte nerovnosti. (snímka 9). Učiteľ sleduje priebeh riešenia, pripomína, ako riešiť neúplné kvadratické rovnice. Učiteľ radí individuálne pracujúcim žiakom. | odpoveď: Kvadratická nerovnosť Riešime pomocou metódy paraboly alebo intervalovej metódy. Študenti nadväzujú na riešenie prezentácie. Pri tabuli sa žiaci striedajú pri riešení nerovností č.1 a 2. Kontrolujú odpoveď. (na vyriešenie nervu č. 2 si treba zapamätať metódu riešenia neúplných kvadratických rovníc). Nerovnosť č. 3 sa rieši samostatne a porovná sa s odpoveďou. | Poznávacie schopnosť definovať pojmy, vytvárať zovšeobecnenia, budovať úvahy od všeobecných vzorcov až po konkrétne riešenia Komunikácia schopnosť ústne a písomne prezentovať podrobný plán vlastných aktivít; |
| 7. Riešenie sústav nerovníc (4-5 min) | Pamätajte na fázy riešenia systému nerovností. Vyriešte systém (Snímka 10) | Pomenujte fázy riešenia Žiak rieši pri tabuli a kontroluje riešenie na snímke. | |
| Reflexívno-hodnotiaca fáza |
|||
| 8.Kontrola a testovanie vedomostí (10 min) Cieľ: identifikovať kvalitu učenia sa materiálu. | Otestujme si svoje znalosti na danú tému. Vyriešte problémy sami. Učiteľ kontroluje výsledok pomocou pripravených odpovedí. | Vykonajte nezávislú prácu na možnostiach (príloha 2) Po dokončení práce to študent oznámi učiteľovi. Študent si určí známku podľa kritérií (snímka 11). Po úspešnom dokončení práce môže začať dodatočná úloha(snímka 11) | Poznávacie. Vytvorte logické reťazce uvažovania. |
| 9. Odraz (2 min) Cieľ: formovanie primerané sebavedomie svoje schopnosti a schopnosti, silné stránky a obmedzenia | Je vidieť zlepšenie vo výsledku? Ak máte ďalšie otázky, pozrite si učebnicu doma (s. 120) | Zhodnoťte svoje vedomosti a zručnosti na tom istom papieri (Príloha 1). Porovnajte so sebaúctou na začiatku hodiny a vyvodzujte závery. | Regulačné Sebahodnotenie vašich úspechov |
| 10. domáca úloha (2 minúty) Cieľ: konsolidácia študovaného materiálu. | Domáca úloha určiť podľa výsledkov samostatná práca(snímka 13) | Definujte a zaznamenajte individuálnu úlohu | Poznávacie. Vytvorte logické reťazce uvažovania. Analyzujte a transformujte informácie. |
Zoznam použitej literatúry: Algebra. Učebnica pre 9. ročník. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Vzdelávanie, 2014
1. Koncept nerovnosti s jednou premennou
2. Ekvivalentné nerovnosti. Vety o ekvivalencii nerovností
3. Riešenie nerovností s jednou premennou
4. Grafické riešenie nerovníc s jednou premennou
5. Nerovnice obsahujúce premennú pod znamienkom modulu
6. Hlavné závery
Nerovnosti s jednou premennou
Ponuky 2 X + 7 > 10, x 2 + 7 x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 sa nazývajú nerovnosti s jednou premennou.
IN všeobecný pohľad tento pojem je definovaný takto:
Definícia. Nech f(x) a g(x) sú dva výrazy s premennou x a doménou X. Potom nerovnosť tvaru f(x) > g(x) alebo f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Variabilná hodnota X od mnohých X, v ktorom sa nerovnosť zmení na skutočnú číselnú nerovnosť sa nazýva rozhodnutie. Riešenie nerovnosti znamená nájsť na ňu veľa riešení.
Teda riešením nerovnosti 2 X + 7 > 10 -x, x? R je číslo X= 5, keďže 2 5 + 7 > 10 - 5 je skutočná číselná nerovnosť. A množinou jeho riešení je interval (1, ∞), ktorý nájdeme vykonaním transformácie nerovnosti: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.
Ekvivalentné nerovnosti. Vety o ekvivalencii nerovností
Základom riešenia nerovností s jednou premennou je koncept ekvivalencie.
Definícia. Dve nerovnosti sa považujú za ekvivalentné, ak sú ich množiny riešení rovnaké.
Napríklad nerovnosti 2 X+ 7 > 10 a 2 X> 3 sú ekvivalentné, pretože ich množiny riešení sú rovnaké a predstavujú interval (2/3, ∞).
Vety o ekvivalencii nerovníc a dôsledkoch z nich sú podobné zodpovedajúcim vetám o ekvivalencii rovníc. Ich dôkaz využíva vlastnosti skutočných číselných nerovností.
Veta 3. Nechaj nerovnosť f(x) > g(x) definované na súprave X A h(X) je výraz definovaný v tej istej množine. Potom tie nerovnosti f(x) > g(x) a f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) sú ekvivalentné na scéne X.
Z tejto vety vyplývajú dôsledky, ktoré sa často používajú pri riešení nerovností:
1) Ak na obe strany nerovnosti f(x) > g(x) pridajte rovnaké číslo d, potom dostaneme nerovnosť f(x) + d > g(x) + d, ekvivalentné pôvodnému.
2) Ak sa ktorýkoľvek člen (číselný výraz alebo výraz s premennou) prenesie z jednej časti nerovnosti na druhú, pričom sa zmení znamienko členu na opačné, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danej.
Veta 4. Nechaj nerovnosť f(x) > g(x) definované na súprave X A h(X X od mnohých X výraz h(x) prijíma kladné hodnoty. Potom tie nerovnosti f(x) > g(x) a f(x) h(x) > g(x) h(x) sú ekvivalentné na scéne X.
f(x) > g(x) vynásobte rovnakým kladným číslom d, potom dostaneme nerovnosť f(x) d > g(x) d, ekvivalentné tomuto.
Veta 5. Nechaj nerovnosť f(x) > g(x) definované na súprave X A h(X) - výraz definovaný v tej istej množine a pre všetkých X je ich veľa X výraz h(X) prijíma záporné hodnoty. Potom tie nerovnosti f(x) > g(x) a f(x) h(x) > g(x) h(x) sú ekvivalentné na scéne X.
Z tejto vety vyplýva dôsledok: ak obe strany nerovnosti f(x) > g(x) vynásobte rovnakým záporným číslom d a zmeníme znamienko nerovnosti na opačné, dostaneme nerovnosť f(x) d > g(x) d, ekvivalentné tomuto.
Riešenie nerovností s jednou premennou
Vyriešme nerovnosť 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, a zdôvodníme všetky transformácie, ktoré v procese riešenia vykonáme.
Riešenie nerovnosti X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).
Cvičenia
1. Určite, ktoré z nasledujúcich položiek sú nerovnosti s jednou premennou:
a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( X+ 2) > 4; e) 17-12,8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3X-4> 0.
2. Je číslo 3 riešením nerovnosti 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? A čo číslo 4,25?
3. Sú nasledujúce dvojice nerovností ekvivalentné na množine reálnych čísel:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 X-1)/4 >0 a 3 X-1>0;
c) 6-5 X>-4 a X<2?
4. Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé:
a) -7 X < -28 => X>4;
b) X < 6 => X < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Vyriešte nerovnosť 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 a zdôvodnite všetky premeny, ktoré vykonáte.
6. Dokážte to riešením nerovnosti 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) je akékoľvek reálne číslo.
7. Dokážte, že neexistuje žiadne reálne číslo, ktoré by bolo riešením nerovnosti 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Jedna strana trojuholníka je 5 cm a druhá 8 cm Aká môže byť dĺžka tretej strany, ak je obvod trojuholníka:
a) menej ako 22 cm;
b) viac ako 17 cm?
GRAFICKÉ RIEŠENIE NEROVNOSTÍ S JEDNOU PREMENNOU. Pre grafické riešenie nerovnosti f (x) > g (x) treba zostaviť grafy funkcií
y = f (x) = g (x) a vyberte tie intervaly osi x, na ktorých je graf funkcie y = f(x) nachádza sa nad grafom funkcie y = g(x).
Príklad 17.8. Vyriešte graficky nerovnosť x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
Riešenie. Zostrojme grafy funkcií v jednom súradnicovom systéme
y = x 2 - 4 a y = Zx (obr. 17.5). Obrázok ukazuje, že grafy funkcií pri= x 2- 4 sa nachádza nad grafom funkcie y = 3 X pri X< -1 a x > 4, t.j. množina riešení pôvodnej nerovnosti je množina
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odpoveď: x О(- oo; -1) a ( 4; + oo).
Rozvrh kvadratickej funkcie pri= ax 2 + bx + c je parabola s vetvami smerujúcimi nahor, ak a > 0 a dole, ak A< 0. V tomto prípade sú možné tri prípady: parabola pretína os Oh(t.j. rovnica aha 2+ bx+ c = 0 má dva rôzne korene); parabola sa dotýka osi X(t.j. rovnica ax 2 + bx+ c = 0 má jeden koreň); parabola nepretína os Oh(t.j. rovnica aha 2+ bx+ c = 0 nemá korene). Existuje teda šesť možných polôh paraboly, ktorá slúži ako graf funkcie y = aha 2+ b x + c(obr. 17.6). Pomocou týchto ilustrácií môžete vyriešiť kvadratické nerovnosti.
Príklad 17.9. Vyriešte nerovnosť: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Riešenie, a) Rovnica 2x 2 + 5x -3 = 0 má dva korene: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola slúžiaca ako graf funkcie pri= 2x 2+ 5x -3, znázornené na obr. A. Nerovnosť 2x 2+ 5x -3 > 0 je pre tieto hodnoty splnené X, pre ktoré body paraboly ležia nad osou Oh: to bude o X< х х alebo kedy X> x g> tie. pri X< -3 alebo o x > 0,5. To znamená, že množina riešení pôvodnej nerovnosti je množina (- ¥; -3) a (0,5; + ¥).
b) Rovnica -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nemá skutočné korene. Parabola slúžiaca ako graf funkcie pri= - 3x 2 - 2x - 6, znázornený na obr. 17.6 Nerovnosť -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, pre ktoré body paraboly ležia pod osou Oh. Keďže celá parabola leží pod osou oh, potom množinou riešení pôvodnej nerovnosti je množina R .
NEROVNOSTI OBSAHUJÚCE PREMENNÚ POD ZNAČKOU MODULU. Pri riešení týchto nerovností treba mať na pamäti, že:
|f(x) | =
f(x), Ak f(x) ³ 0,
- f(x), Ak f(x) < 0,
Zároveň oblasť prijateľné hodnoty nerovnosti by mali byť rozdelené do intervalov, na každom z nich si výrazy pod znamienkom modulu zachovávajú svoje znamienko. Potom rozbalením modulov (berúc do úvahy znamienka výrazov) musíte vyriešiť nerovnosť na každom intervale a výsledné riešenia spojiť do sady riešení pôvodnej nerovnosti.
Príklad 17.10. Vyriešte nerovnosť:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Riešenie. Body x = 1 a x = 2 rozdeľujú číselnú os (ODZ nerovnosti (17.9) na tri intervaly: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Vyriešme túto nerovnosť pre každú z nich. Ak x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; preto |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. To znamená, že nerovnosť (17.9) má tvar: 1- x + 2 - x > 3 + x, t.j. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Ak 1 £ x £,2, potom x - 1 ³ 0 a 2 – x ³ 0; preto | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. To znamená, že systém má:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Výsledný systém nerovností nemá riešenia. Preto na intervale [ 1; 2] množina riešení nerovnice (17.9) je prázdna.
Ak x > 2, potom x - 1 > 0 a 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3 + x,
x > 6 alebo
Kombináciou riešení nájdených na všetkých častiach nerovnice ODZ (17.9) dostaneme jej riešenie - množinu (-¥; 0) È (6; +oo).
Niekedy je užitočné použiť geometrickú interpretáciu modulu reálneho čísla, podľa ktorej | a | znamená vzdialenosť bodu a súradnicovej čiary od začiatku O a | a - b | znamená vzdialenosť medzi bodmi a a b na súradnicovej čiare. Prípadne môžete použiť metódu kvadratúry oboch strán nerovnosti.
Veta 17.5. Ak výrazy f(x) a g(x) pre ľubovoľné x majú iba nezáporné hodnoty, potom nerovnosti f (x) > g (x) A f (x) ² > g (x) ² sú rovnocenné.
58. Hlavné závery § 12
V tejto časti sme definovali nasledovné koncepty:
Číselné vyjadrenie;
Význam číselné vyjadrenie;
Výraz, ktorý nemá žiadny význam;
Výraz s premennou (premennými);
Oblasť definície výrazu;
Identicky rovnaké výrazy;
identita;
Transformácia identity výrazy;
číselná rovnosť;
číselná nerovnosť;
Rovnica s jednou premennou;
Koreň rovnice;
Čo znamená vyriešiť rovnicu;
Ekvivalentné rovnice;
Nerovnosť s jednou premennou;
Riešenie nerovností;
Čo znamená riešiť nerovnosť;
Ekvivalentné nerovnosti.
Okrem toho sme skúmali vety o ekvivalencii rovníc a nerovníc, ktoré sú základom ich riešenia.
Znalosť definícií všetkých vyššie uvedených pojmov a teorémov o ekvivalencii rovníc a nerovníc - nevyhnutná podmienka metodicky kompetentná štúdia s mladších školákov algebraický materiál.
Tento článok poskytuje úvodné informácie o systémoch nerovností. Tu je definícia systému nerovností a definícia riešenia systému nerovností. Uvádzajú sa aj hlavné typy systémov, s ktorými sa na hodinách algebry v škole najčastejšie musí pracovať, a uvádzajú sa príklady.
Navigácia na stránke.
Čo je to systém nerovností?
Systémy nerovníc je vhodné definovať rovnakým spôsobom, ako sme zaviedli definíciu sústavy rovníc, teda podľa typu zápisu a významu, ktorý je v ňom zakotvený.
Definícia.
Systém nerovností je záznam, ktorý predstavuje určitý počet nerovností zapísaných pod sebou, spojených vľavo zloženou zátvorkou a označuje množinu všetkých riešení, ktoré sú súčasne riešením každej nerovnosti systému.
Uveďme príklad systému nerovností. Zoberme si dve ľubovoľné, napríklad 2 x−3>0 a 5−x≥4 x−11, napíšme ich pod seba
2 x -3 > 0 ,
5-x≥4 x-11
a spojíme sa so systémovým znakom - zloženou zátvorkou, výsledkom je systém nerovností nasledujúceho tvaru:
Podobná predstava sa uvádza o systémoch nerovností v školských učebniciach. Stojí za zmienku, že ich definície sú uvedené užšie: pre nerovnosti s jednou premennou alebo s dvoma premennými.
Hlavné typy systémov nerovností
Je jasné, že sa dá zložiť nekonečne veľa rôzne systémy nerovnosti Aby ste sa v tejto rozmanitosti nestratili, je vhodné ich zvážiť v skupinách, ktoré majú svoje vlastné charakteristické črty. Všetky systémy nerovností možno rozdeliť do skupín podľa nasledujúcich kritérií:
- počtom nerovností v systéme;
- počtom premenných zahrnutých do zaznamenávania;
- podľa typu samotných nerovností.
Na základe počtu nerovností zahrnutých v zázname sa rozlišujú systémy dva, tri, štyri atď. nerovnosti V predchádzajúcom odseku sme uviedli príklad systému, ktorý je systémom dvoch nerovností. Ukážme si ďalší príklad systému štyroch nerovností 
.
Samostatne povieme, že nemá zmysel hovoriť len o systéme nerovnosti, v tomto prípade v podstate hovoríme o nerovnosti samotnej, a nie o systéme.
Ak sa pozriete na počet premenných, potom existujú systémy nerovností s jednou, dvoma, tromi atď. premenné (alebo, ako sa tiež hovorí, neznáme). Pozrite sa na posledný systém nerovností napísaný o dva odseky vyššie. Je to systém s tromi premennými x, y a z. Upozorňujeme, že jej prvé dve nerovnosti neobsahujú všetky tri premenné, ale iba jednu z nich. V kontexte tohto systému ich treba chápať ako nerovnosti s tromi premennými v tvare x+0·y+0·z≥−2 a 0·x+y+0·z≤5. Všimnite si, že škola sa zameriava na nerovnosti s jednou premennou.
Zostáva diskutovať o tom, aké typy nerovností sú zahrnuté v záznamových systémoch. V škole uvažujú najmä o sústavách dvoch nerovností (menej často - troch, ešte zriedkavejšie - štyroch a viacerých) s jednou alebo dvoma premennými, pričom samotné nerovnosti sú zvyčajne celé nerovnosti prvý alebo druhý stupeň (menej často - vyššie stupne alebo čiastočne racionálne). Nebuďte však prekvapení, ak vo svojich prípravných materiáloch na Jednotnú štátnu skúšku narazíte na systémy nerovností obsahujúce iracionálne, logaritmické, exponenciálne a iné nerovnosti. Ako príklad uvádzame systém nerovností 
, je prevzaté z .
Aké je riešenie systému nerovností?
Uveďme si ďalšiu definíciu súvisiacu so sústavami nerovností – definíciu riešenia sústavy nerovností:
Definícia.
Riešenie sústavy nerovníc s jednou premennou sa nazýva taká hodnota premennej, ktorá mení každú z nerovností systému na pravdivú, inými slovami, je riešením každej nerovnosti systému.
Vysvetlíme si to na príklade. Zoberme si systém dvoch nerovníc s jednou premennou. Zoberme si hodnotu premennej x rovnú 8, je to z definície riešenie našej sústavy nerovníc, keďže jej dosadením do nerovníc sústavy vzniknú dve správne číselné nerovnosti 8>7 a 2−3·8≤0. Naopak, jednota nie je riešením systému, pretože pri jej dosadení za premennú x sa prvá nerovnosť zmení na nesprávnu číselnú nerovnosť 1>7.
Podobne možno zaviesť definíciu riešenia sústavy nerovností s dvomi, tromi a Vysoké číslo premenné:
Definícia.
Riešenie sústavy nerovníc s dvojkou, trojkou atď. premenných nazývaný pár, tri atď. hodnoty týchto premenných, čo je zároveň riešením každej nerovnosti systému, teda premení každú nerovnosť systému na správnu číselnú nerovnosť.
Napríklad dvojica hodnôt x=1, y=2 alebo v inom zápise (1, 2) je riešením systému nerovností s dvoma premennými, keďže 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Systémy nerovníc nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať konečný počet riešení alebo môžu mať nekonečný počet riešení. Ľudia často hovoria o súbore riešení systému nerovností. Keď systém nemá žiadne riešenia, potom existuje prázdna množina jeho riešení. Keď existuje konečný počet riešení, potom množina riešení obsahuje konečný počet prvkov, a keď existuje nekonečne veľa riešení, potom množina riešení pozostáva z nekonečného počtu prvkov.
Niektoré zdroje uvádzajú definície konkrétneho a všeobecného riešenia sústavy nerovností, ako napríklad v Mordkovichových učebniciach. Pod súkromné riešenie systému nerovností pochopiť jej jediné rozhodnutie. Vo svojom poradí všeobecné riešenie systému nerovností- to všetko sú jej súkromné rozhodnutia. Tieto výrazy však dávajú zmysel len vtedy, keď je potrebné konkrétne zdôrazniť, o akom riešení hovoríme, no väčšinou je to jasné už z kontextu, oveľa častejšie sa hovorí len o „riešení systému nerovností“.
Z definícií sústavy nerovníc a jej riešení uvedených v tomto článku vyplýva, že riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení všetkých nerovností tohto systému.
Bibliografia.
- Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Jednotná štátna skúška-2013. Matematika: štandardné možnosti skúšky: 30 možností / ed. A. L. Semenová, I. V. Jaščenko. – M.: Vydavateľstvo „Národné školstvo“, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - škola).
Dnes v lekcii zovšeobecníme naše poznatky pri riešení sústav nerovníc a preštudujeme si riešenie množiny sústav nerovníc.
Definícia jedna.
Hovorí sa, že niekoľko nerovností s jednou premennou tvorí sústavu nerovností, ak je úlohou nájsť všetky všeobecné riešenia daných nerovností.
Hodnota premennej, pri ktorej sa každá z nerovností sústavy zmení na správnu číselnú nerovnosť, sa nazýva čiastočné riešenie sústavy nerovníc.
Množina všetkých partikulárnych riešení sústavy nerovností predstavuje všeobecné riešenie sústavy nerovností (častejšie povedané zjednodušene - riešenie sústavy nerovníc).
Riešenie systému nerovností znamená nájsť všetky jeho konkrétne riešenia, alebo dokázať, že daný systém nemá riešenia.
Pamätajte! Riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom riešení nerovníc obsiahnutých v sústave.
Nerovnosti zahrnuté v systéme sú kombinované s kučeravou ortézou.
Algoritmus na riešenie systému nerovností s jednou premennou:
Prvým je vyriešiť každú nerovnosť samostatne.
Druhým je nájsť priesečník nájdených riešení.
Tento priesečník je množinou riešení systému nerovností
Cvičenie 1
Vyriešte sústavu nerovníc sedem x mínus štyridsať dva je menšie alebo rovné nule a dva x mínus sedem je väčšie ako nula.
Riešenie prvej nerovnosti je x je menšie alebo rovné šesť, druhá nerovnosť je x je väčšia ako druhá sedmička. Označme tieto intervaly na súradnicovej čiare. Riešenie prvej nerovnosti je označené tieňovaním dole a riešenie druhej nerovnosti je označené tieňovaním hore. Riešením sústavy nerovníc bude priesečník riešení nerovníc, teda interval, kde sa obe šrafy zhodujú. Výsledkom je polovičný interval od siedmich sekúnd do šiestich, vrátane šiestich.
Úloha 2
Vyriešte systém nerovností: x štvorec plus x mínus šesť je väčšie ako nula a x štvorec plus x plus šesť je väčšie ako nula.
Riešenie
Poďme vyriešiť prvú nerovnosť - x na druhú plus x mínus šesť je väčšie ako nula.
Zvážte funkciu ig sa rovná x na druhú plus x mínus šesť. Nuly funkcie: prvé x sa rovná mínus trom, x druhé sa rovná dvom. Pri schematickom znázornení paraboly zistíme, že riešením prvej nerovnosti je spojenie otvorených lúčov od mínus nekonečna do mínus tri a od dvoch do plus nekonečna.
Vyriešme druhú nerovnosť systému: x štvorec plus x plus šesť je väčšie ako nula.
Zvážte funkciu ig sa rovná x na druhú plus x plus šesť. Diskriminant je rovný mínus dvadsaťtri menší ako nula, čo znamená, že funkcia nemá nuly. Parabola nemá žiadne spoločné body s osou Ox. Pri schematickom znázornení paraboly zistíme, že riešením nerovnosti je množina všetkých čísel.
Znázornime na súradnicovej čiare riešenia nerovností sústavy.
Z obrázku je vidieť, že riešením sústavy je kombinovať lúče s otvoreným počtom od mínus nekonečna do mínus tri a od dvoch do plus nekonečna.
Odpoveď: spojenie otvorených lúčov od mínus nekonečna do mínus tri a od dvoch do plus nekonečna.
Pamätajte! Ak je v systéme viacerých nerovností jedna dôsledkom inej (alebo iných), potom možno dôsledkovú nerovnosť zahodiť.
Zoberme si príklad riešenia nerovnosti systémom.
Úloha 3
Vyriešte logaritmus nerovnosti výrazu x štvorec mínus trinásť x plus štyridsaťdva základ dva väčšie alebo rovné jednej.
Riešenie
ODZ nerovnosti je daná podmienkou x na druhú mínus trinásť x plus štyridsaťdva väčšia ako nula. Predstavme si číslo jeden ako logaritmus dvoch k základu dva a dostaneme nerovnosť - logaritmus výrazu x na druhú mínus trinásť x plus štyridsaťdva k základu dva je väčší alebo rovný logaritmu výrazu dva k základu dva. základ dva.
Vidíme, že základ logaritmu je rovný dvom nad jedna, potom sa dostaneme k ekvivalentnej nerovnosti x štvorec mínus trinásť x plus štyridsaťdva väčšej alebo rovnej dvom. V dôsledku toho sa riešenie tejto logaritmickej nerovnosti redukuje na riešenie systému dvoch kvadratických nerovností.
Navyše je ľahké si všimnúť, že ak je splnená druhá nerovnosť, ešte viac je splnená prvá nerovnosť. Preto je prvá nerovnosť dôsledkom druhej a možno ju zahodiť. Druhú nerovnicu transformujeme a zapíšeme v tvare: x štvorec mínus trinásť x plus štyridsať je väčšie ako nula. Jeho riešením je spojiť dva číselné lúče od mínus nekonečna po päť a od osem po plus nekonečno.
Odpoveď: spojenie dvoch číselných lúčov od mínus nekonečna do päť a od ôsmich do plus nekonečna.
otvorený počet lúčov
Definícia dva.
Hovorí sa, že niekoľko nerovníc s jednou premennou tvorí množinu nerovností, ak je úlohou nájsť všetky také hodnoty premennej, z ktorých každá je riešením aspoň jednej z daných nerovností.
Každá takáto hodnota premennej sa nazýva konkrétne riešenie množiny nerovností.
Množina všetkých konkrétnych riešení množiny nerovností je všeobecné riešenie množiny nerovností.
Pamätajte! Riešenie množiny nerovností je kombináciou riešení nerovností zahrnutých v množine.
Nerovnosti zahrnuté v súprave sú kombinované s hranatou zátvorkou.
Algoritmus na riešenie množiny nerovností:
Prvým je vyriešiť každú nerovnosť samostatne.
Druhým je nájsť spojenie nájdených riešení.
Toto spojenie je riešením množiny nerovností.
Úloha 4
nulový bod dvojnásobok rozdielu dvoch X a troch menej ako X mínus dva;
päť x mínus sedem je väčšie ako x mínus šesť.
Riešenie
Poďme transformovať každú z nerovností. Získame ekvivalentnú sadu
x je väčšie ako sedem tretín;
x je viac ako jedna štvrtina.
Pre prvú nerovnosť je množinou riešení interval od siedmich tretín do plus nekonečna a pre druhú je to interval od jednej štvrtiny do plus nekonečna.
Znázornime na súradnicovej čiare množinu čísel, ktoré spĺňajú nerovnice x väčšie ako sedem tretín a x väčšie ako jedna štvrtina.
Zisťujeme, že spojením týchto zostáv, t.j. riešením tejto množiny nerovností je otvorený numerický lúč od jednej štvrtiny po plus nekonečno.
Odpoveď: otvorte číselný lúč od jednej štvrtiny do plus nekonečna.
Úloha 5
Vyriešte súbor nerovností:
dva x mínus jeden je menšie ako tri a tri x mínus dva je väčšie alebo rovné desať.
Riešenie
Poďme transformovať každú z nerovností. Získame ekvivalentnú množinu nerovností: x je väčšie ako dva a x je väčšie alebo rovné štyri.
Ukážme si na súradnicovej čiare množinu čísel, ktoré spĺňajú tieto nerovnosti.
Zisťujeme, že spojením týchto zostáv, t.j. riešením tejto množiny nerovníc je otvorený číselný lúč od dvoch do plus nekonečna.
Odpoveď: otvorený číselný lúč od dvoch do plus nekonečna.
Téma hodiny: Riešenie sústavy lineárnych nerovníc s jednou premennou
Dátum: _______________
Trieda: 6a, 6b, 6c
Typ lekcie: učenie sa nového materiálu a primárne upevnenie.
Didaktický cieľ: vytvárať podmienky na uvedomenie a pochopenie bloku nových vzdelávacích informácií.
Ciele: 1) Vzdelávacie: predstaviť pojmy: riešenie sústav nerovníc, ekvivalentné sústavy nerovníc a ich vlastnosti; naučiť, ako aplikovať tieto pojmy pri riešení jednoduchých systémov nerovníc s jednou premennou.
2) Vývojové: podporovať rozvoj prvkov tvorivej, samostatnej činnosti žiakov; rozvíjať reč, schopnosť myslieť, analyzovať, zovšeobecňovať, vyjadrovať svoje myšlienky jasne a stručne.
3) Vzdelávacie: pestovanie rešpektu voči sebe navzájom a zodpovedného prístupu k výchovnej práci.
Úlohy:
zopakovať si teóriu na tému číselné nerovnice a číselné intervaly;
uveďte príklad problému, ktorý možno vyriešiť systémom nerovností;
zvážiť príklady riešenia systémov nerovností;
vykonávať samostatnú prácu.
Formy organizovania vzdelávacích aktivít:- frontálny – kolektívny – individuálny.
Metódy: vysvetľujúce - názorné.
Plán lekcie:
1. Organizačný moment, motivácia, stanovenie cieľov
2. Aktualizácia štúdia témy
3. Učenie sa nového materiálu
4. Primárna konsolidácia a aplikácia nového materiálu
5. Vykonávanie samostatnej práce
7. Zhrnutie lekcie. Reflexia.
Počas tried:
1. Organizačný moment
Nerovnosť môže byť dobrým pomocníkom. Musíte len vedieť, kedy sa na neho obrátiť o pomoc. Formulácia problémov v mnohých aplikáciách matematiky je často formulovaná v jazyku nerovností. Napríklad mnohé ekonomické problémy sa týkajú štúdia systémov lineárnych nerovností. Preto je dôležité vedieť riešiť sústavy nerovností. Čo znamená „riešiť systém nerovností“? To je to, na čo sa dnes v triede pozrieme.
2. Aktualizácia vedomostí.
Ústna práca s triedou, traja žiaci pracujú pomocou jednotlivých kariet.
Aby sme si zopakovali teóriu témy „Nerovnosti a ich vlastnosti“, vykonáme testovanie, po ktorom bude nasledovať overenie a rozhovor o teórii tejto témy. Každá testovacia úloha vyžaduje odpoveď „Áno“ – obrázok, „Nie“ – obrázok ____
Výsledkom testu by mal byť nejaký údaj.
(odpoveď: ).
Vytvorte súlad medzi nerovnosťou a číselným intervalom
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"Matematika vás naučí prekonávať ťažkosti a opravovať svoje vlastné chyby." Nájdite chybu pri riešení nerovnosti, vysvetlite, prečo k chybe došlo, zapíšte si správne riešenie do zošita.
2x<8-6
x>-1
3. Štúdium nového materiálu.
Čo si myslíte, že sa nazýva riešenie systému nerovností?
(Riešením systému nerovností s jednou premennou je hodnota premennej, pre ktorú platí každá z nerovností systému)
Čo znamená „riešiť systém nerovností“?
(Riešenie systému nerovností znamená nájsť všetky jeho riešenia alebo dokázať, že riešenia neexistujú)
Čo je potrebné urobiť, aby ste odpovedali na otázku „je dané číslo
riešenie systému nerovností?
(Toto číslo dosaďte do oboch nerovníc sústavy, ak sú nerovnice pravdivé, tak dané číslo je riešením sústavy nerovníc, ak sú nerovnice nesprávne, tak dané číslo nie je riešením sústavy nerovníc)
Sformulujte algoritmus na riešenie systémov nerovníc
1. Vyriešte každú nerovnosť sústavy.
2. Graficky znázornite riešenia každej nerovnosti na súradnicovej čiare.
3. Nájdite priesečník riešení nerovníc na súradnicovej priamke.
4. Odpoveď napíšte ako číselný interval.
Zvážte príklady:
odpoveď: 
Odpoveď: žiadne riešenia
4. Zabezpečenie témy.
Práca s učebnicou č. 1016, č. 1018, č. 1022
5. Samostatná práca podľa možností (kartičky úloh pre žiakov na stoloch)
Samostatná práca
možnosť 1
Vyriešte systém nerovností:
