Dažniausias vidurkio tipas yra aritmetinis vidurkis.
Paprastas aritmetinis vidurkis
Paprastas aritmetinis vidurkis yra vidutinis terminas, kurį nustatant bendras tūris šios savybės duomenyse paskirstomas tolygiai tarp visų vienetų, įtrauktų į pateiktą aibę. Taigi vidutinė metinė produkcija vienam darbuotojui yra produkcijos kiekis, kurį pagamintų kiekvienas darbuotojas, jei visa produkcijos apimtis būtų tolygiai paskirstyta visiems organizacijos darbuotojams. Paprastoji aritmetinio vidurkio vertė apskaičiuojama pagal formulę:
1 pavyzdys . 6 darbuotojų komanda per mėnesį gauna 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tūkst.Paprastas aritmetinis vidurkis— lygus charakteristikos individualių verčių sumos ir charakteristikų skaičiaus visumoje santykiui
Raskite vidutinį atlyginimą
Sprendimas: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tūkst.
Svertinis aritmetinis vidurkis
Jei duomenų rinkinio apimtis yra didelė ir atspindi pasiskirstymo eilutę, tada apskaičiuojamas svertinis aritmetinis vidurkis. Taip nustatoma vidutinė svertinė produkcijos vieneto kaina: Iš viso išlaidų produktai (jos kiekio produktų suma ir produkcijos vieneto kaina) dalijami iš bendro gaminių kiekio.
Įsivaizduokime tai tokios formulės forma:
2 pavyzdys . Raskite vidutinį dirbtuvių darbuotojų atlyginimą per mėnesįSvertinis aritmetinis vidurkis— lygus (požymio vertės sandaugų ir šio požymio pasikartojimo dažnio sandaugų sumai) ir (visų požymių dažnių sumai) santykiui. Naudojamas, kai atsiranda tiriamos populiacijos variantai. nevienodą skaičių kartų.
Vidutinį atlyginimą galima gauti padalijus bendrą sumą darbo užmokesčioįjungta iš viso darbuotojai:
Atsakymas: 3,35 tūkst.
Aritmetinis intervalų eilučių vidurkis
Skaičiuodami intervalo variacijų serijos aritmetinį vidurkį, pirmiausia nustatykite kiekvieno intervalo vidurkį kaip viršutinės ir apatinės ribos pusę, o tada visos serijos vidurkį. Atvirų intervalų atveju apatinio arba viršutinio intervalo reikšmė nustatoma pagal šalia jų esančių intervalų dydį.
Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai.
3 pavyzdys. Apibrėžkite Vidutinis amžius vakaro studentai.
Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai. Jų aproksimacijos laipsnis priklauso nuo to, kiek faktinis populiacijos vienetų pasiskirstymas intervale artėja prie vienodo pasiskirstymo.
Skaičiuojant vidurkius, ne tik absoliutus, bet ir santykinės vertės(dažnis):
Aritmetinis vidurkis turi daug savybių, kurios geriau atskleidžia jo esmę ir supaprastina skaičiavimus:
1. Vidurkio sandauga iš dažnių sumos visada lygi varianto sandaugų pagal dažnius sumai, t.y.
2.Vidutinis aritmetinė suma kintantys dydžiai yra lygūs šių dydžių aritmetinių vidurkių sumai:
3. Individualių charakteristikų verčių nuokrypių nuo vidurkio algebrinė suma yra lygi nuliui:
4. Pasirinkimo sandorių kvadratinių nuokrypių suma nuo vidurkio yra mažesnė už kvadratinių nukrypimų nuo bet kurios kitos savavališkos reikšmės sumą, t.y.
Studijuodami matematiką, moksleiviai susipažįsta su aritmetinio vidurkio sąvoka. Ateityje statistikoje ir kai kuriuose kituose moksluose studentai susiduria su kitų skaičiavimu.Kuo jie gali būti ir kuo jie skiriasi vienas nuo kito?
prasmė ir skirtumai
Tikslūs rodikliai ne visada leidžia suprasti situaciją. Norint įvertinti konkrečią situaciją, kartais reikia išanalizuoti daugybę skaičių. Ir tada į pagalbą ateina vidurkiai. Jie leidžia įvertinti situaciją kaip visumą.
Nuo mokyklos laikų daugelis suaugusiųjų prisimena aritmetinio vidurkio egzistavimą. Skaičiuoti labai paprasta – n narių sekos suma padalinama iš n. Tai yra, jei reikia apskaičiuoti aritmetinį vidurkį 27, 22, 34 ir 37 reikšmių sekoje, tuomet reikia išspręsti išraišką (27+22+34+37)/4, nes 4 reikšmės yra naudojami skaičiavimuose. IN tokiu atveju reikalinga vertė bus lygi 30.
Geometrinis vidurkis dažnai tiriamas kaip mokyklos kurso dalis. Šios vertės apskaičiavimas pagrįstas n-osios n-osios sandaugos šaknies išskyrimu. Jei imsime tuos pačius skaičius: 27, 22, 34 ir 37, tada skaičiavimų rezultatas bus lygus 29,4.
Harmoninis vidurkis paprastai nėra studijų dalykas vidurinėse mokyklose. Tačiau jis naudojamas gana dažnai. Ši reikšmė yra atvirkštinė aritmetinio vidurkio vertė ir apskaičiuojama kaip n - reikšmių skaičiaus ir sumos 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n koeficientas. Jei skaičiavimui dar kartą paimsime tą patį, tada harmonika bus 29,6.
Svertinis vidurkis: savybės
Tačiau visos pirmiau nurodytos reikšmės gali būti naudojamos ne visur. Pavyzdžiui, statistikoje, skaičiuojant kai kuriuos, svarbų vaidmenį atlieka kiekvieno skaičiavimuose naudojamo skaičiaus „svoris“. Rezultatai yra labiau orientaciniai ir teisingesni, nes juose atsižvelgiama į daugiau informacijos. Ši kiekių grupė yra Dažnas vardas "svertinis vidurkis„Mokykloje jų nemoko, todėl verta pasidomėti plačiau.
Visų pirma, verta pasakyti, ką reiškia konkrečios vertės „svoris“. Lengviausias būdas tai paaiškinti konkretus pavyzdys. Du kartus per dieną ligoninėje matuojama kiekvieno paciento kūno temperatūra. Iš 100 pacientų skirtinguose ligoninės skyriuose turės 44 normali temperatūra- 36,6 laipsnių. Kiti 30 turės padidintą reikšmę - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, o likusieji du - 40. O jei imsime aritmetinį vidurkį, tai ligoninei ši reikšmė apskritai bus didesnė nei 38 laipsnių! Tačiau beveik pusė pacientų turi absoliučiai Ir čia teisingiau būtų naudoti svertinį vidurkį, o kiekvienos reikšmės „svoris“ bus žmonių skaičius. Šiuo atveju skaičiavimo rezultatas bus 37,25 laipsniai. Skirtumas akivaizdus.
Svertinio vidurkio skaičiavimų atveju „svoris“ gali būti laikomas siuntų skaičiumi, tam tikrą dieną dirbančių žmonių skaičiumi, apskritai, bet kuo, ką galima išmatuoti ir paveikti galutinį rezultatą.
Veislės
Svertinis vidurkis yra susijęs su aritmetiniu vidurkiu, aptartu straipsnio pradžioje. Tačiau pirmoje vertėje, kaip jau minėta, taip pat atsižvelgiama į kiekvieno skaičiavimuose naudojamo skaičiaus svorį. Be to, yra svertinės geometrinės ir harmoninės vertės.
Yra dar vienas įdomus variantas, naudojamas skaičių serijose. Tai yra svertinis slenkamasis vidurkis. Tuo remiantis skaičiuojamos tendencijos. Be pačių verčių ir jų svorio, čia taip pat naudojamas periodiškumas. Skaičiuojant vidutinę vertę tam tikru momentu, taip pat atsižvelgiama į ankstesnių laikotarpių vertes.
Apskaičiuoti visas šias vertes nėra taip sunku, tačiau praktikoje paprastai naudojamas tik įprastas svertinis vidurkis.
Skaičiavimo metodai
Plačios kompiuterizacijos amžiuje nereikia skaičiuoti svertinio vidurkio rankiniu būdu. Tačiau būtų pravartu žinoti skaičiavimo formulę, kad galėtumėte patikrinti ir, jei reikia, pakoreguoti gautus rezultatus.
Lengviausias būdas yra apsvarstyti skaičiavimą naudojant konkretų pavyzdį.
Reikia išsiaiškinti, koks vidutinis darbo užmokestis šioje įmonėje, atsižvelgiant į tai, kiek darbuotojų gauna vienokį ar kitokį atlyginimą.
Taigi, svertinis vidurkis apskaičiuojamas pagal šią formulę:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
Pavyzdžiui, skaičiavimas būtų toks:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Akivaizdu, kad ne ypatingų sunkumų kad būtų galima rankiniu būdu apskaičiuoti svertinį vidurkį. Šios vertės apskaičiavimo formulė yra viena iš labiausiai populiarios programos su formulėmis - Excel - atrodo kaip funkcija SUMPRODUCT (skaičių serija; svorių serija) / SUM (svorių serija).
Dažniausia socialiniuose ir ekonominiuose tyrimuose naudojama statistinių rodiklių forma yra vidurkis, kuris yra apibendrintas. kiekybines charakteristikasženklas statistinė populiacija. Vidutinės vertės yra tarsi visos stebėjimų serijos „atstovai“. Daugeliu atvejų vidurkį galima nustatyti naudojant pradinį vidurkio santykį (ARR) arba jo loginę formulę: . Taigi, pavyzdžiui, norint apskaičiuoti vidutinį įmonės darbuotojų atlyginimą, visą darbo užmokesčio fondą reikia padalyti iš darbuotojų skaičiaus: Pradinio vidurkio santykio skaitiklis yra jį apibrėžiantis rodiklis. Vidutinio darbo užmokesčio atveju toks lemiamas rodiklis yra darbo užmokesčio fondas. Kiekvienam socialinėje ir ekonominėje analizėje naudojamo rodiklio vidurkiui apskaičiuoti gali būti sudarytas tik vienas tikras pradinis santykis. Taip pat reikėtų pridurti, kad norint tiksliau įvertinti standartinis nuokrypis mažiems pavyzdžiams (kurių elementų skaičius mažesnis nei 30), po šaknimi esanti išraiška neturėtų būti naudojama vardiklyje n, A n- 1.
Vidurkių samprata ir rūšys
Vidutinė vertė- tai yra bendras statistinės populiacijos rodiklis, kuris pašalina individualius statistinių dydžių verčių skirtumus, leidžiančius palyginti skirtingas populiacijas tarpusavyje. Egzistuoja 2 klasės vidutinės vertės: galia ir konstrukcinė. Struktūriniai vidurkiai apima mada Ir mediana , bet dažniausiai naudojamas galios vidurkiaiįvairių tipų.Galios vidurkiai
Galios vidurkiai gali būti paprastas Ir svertinis.
Paprastas vidurkis apskaičiuojamas, kai yra dvi ar daugiau nesugrupuotų statistinių reikšmių, išdėstytų atsitiktine tvarka pagal šią bendroji formulė vidutinės galios dėsnis (skirtingoms k (m) reikšmėms):
Svertinis vidurkis apskaičiuojamas iš sugrupuotos statistikos pagal šią bendrą formulę:
Kur x - vidutinė tiriamo reiškinio vertė; x i – i-oji vidutinės charakteristikos versija;
f i – i-ojo varianto svoris.
kur X yra atskirų statistinių verčių reikšmės arba grupavimo intervalų vidurys;
m yra eksponentas, kurio reikšmė lemia šių tipų galios vidurkius:
kai m = -1 harmoninis vidurkis;
esant m = 0 geometrinis vidurkis;
su m = 1 aritmetinis vidurkis;
kai m = 2 vidutinis kvadratas;
esant m = 3, vidurkis yra kubinis.
Naudodami bendrąsias formules paprastiems ir svertiniams skirtingų eksponentų m vidurkiams, gauname konkrečias kiekvieno tipo formules, kurios bus išsamiai aptartos toliau.
Aritmetinis vidurkis
Aritmetinis vidurkis – pradinis momentas Pirmas užsakymas, tikėtina vertė vertybes atsitiktinis kintamasis s at didelis skaičius testavimas;
Aritmetinis vidurkis yra dažniausiai naudojama vidutinė reikšmė, kuri gaunama bendrojoje formulėje pakeitus m=1. Aritmetinis vidurkis paprastas turi tokią formą:
arba 
kur X yra dydžių, kurių vidutinė vertė turi būti apskaičiuojama, reikšmės; N yra bendras X verčių skaičius (tiriamos populiacijos vienetų skaičius).
Pavyzdžiui, mokinys išlaikė 4 egzaminus ir gavo tokius įvertinimus: 3, 4, 4 ir 5. Vidutinį balą apskaičiuokime naudodami paprastą aritmetinio vidurkio formulę: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Aritmetinis vidurkis svertinis turi tokią formą:
Čia f yra dydžių, turinčių tą pačią reikšmę X (dažnis), skaičius. >Pavyzdžiui, mokinys išlaikė 4 egzaminus ir gavo tokius įvertinimus: 3, 4, 4 ir 5. Apskaičiuokime balų vidurkį pagal svertinio aritmetinio vidurkio formulę: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 . Jei X reikšmės nurodytos kaip intervalai, tada skaičiavimams naudojami X intervalų vidurio taškai, kurie apibrėžiami kaip intervalo viršutinės ir apatinės ribų pusė. O jei intervalas X neturi žemesnio arba viršutinis limitas(atviras intervalas), tada norėdami jį rasti, naudokite gretimo intervalo X diapazoną (skirtumą tarp viršutinės ir apatinės ribų). Pavyzdžiui, įmonėje dirba 10 darbuotojų, kurių stažas iki 3 metų, 20 – nuo 3 iki 5 metų, 5 darbuotojai – su didesne nei 5 metų patirtimi. Tada apskaičiuojame vidutinį darbuotojų darbo stažą pagal svertinio aritmetinio vidurkio formulę, X laikant darbo stažo intervalų vidurį (2, 4 ir 6 metai): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 metų.
Funkcija AVERAGE
Ši funkcija apskaičiuoja savo argumentų vidurkį (aritmetinį).
AVERAGE(skaičius1; skaičius2; ...)
Skaičius1, skaičius2, ... yra nuo 1 iki 30 argumentų, kurių vidurkis apskaičiuojamas.
Argumentai turi būti skaičiai arba pavadinimai, masyvai arba nuorodos su skaičiais. Jei argumente, kuris yra masyvas arba nuoroda, yra tekstų, loginių verčių arba tuščių langelių, tokios reikšmės nepaisomos; tačiau ląstelės, kuriose yra nulinės reikšmės, yra skaičiuojamos.
Funkcija AVERAGE
Skaičiuoja argumentų sąraše pateiktų reikšmių aritmetinį vidurkį. Be skaičių, skaičiavimas gali apimti tekstą ir logines reikšmes, pvz., TRUE ir FALSE.
VIDUTINIS(reikšmė1,reikšmė2,...)
Reikšmė1, reikšmė2,... yra nuo 1 iki 30 langelių, langelių diapazonų arba verčių, kurių vidurkis apskaičiuojamas.
Argumentai turi būti skaičiai, pavadinimai, masyvai arba nuorodos. Masyvai ir nuorodos, kuriose yra tekstas, interpretuojamos kaip 0 (nulis). Tuščias tekstas („“) interpretuojamas kaip 0 (nulis). Argumentai, turintys reikšmę TRUE, interpretuojami kaip 1, o argumentai, turintys reikšmę FALSE, interpretuojami kaip 0 (nulis).
Dažniausiai naudojamas aritmetinis vidurkis, tačiau pasitaiko atvejų, kai reikia naudoti kitų tipų vidurkius. Panagrinėkime tokius atvejus toliau.
Harmoninis vidurkis
Harmoninis vidurkis, skirtas vidutinei atvirkštinių dydžių sumai nustatyti;
Harmoninis vidurkis naudojamas, kai šaltinio duomenyse nėra atskirų X reikšmių dažnių f, bet pateikiami kaip jų sandauga Xf. Pažymėję Xf=w, išreiškiame f=w/X ir, pakeitę šiuos žymėjimus į aritmetinio svertinio vidurkio formulę, gauname harmoninio svertinio vidurkio formulę:
Taigi, svertinis harmoninis vidurkis naudojamas, kai dažniai f nežinomi ir w=Xf yra žinomi. Tais atvejais, kai visi w = 1, tai yra, atskiros X reikšmės atsiranda vieną kartą, taikoma vidutinė harmoninė pirminė formulė: 
arba 
Pavyzdžiui, automobilis iš taško A į tašką B važiavo 90 km/h greičiu, o atgal – 110 km/h greičiu. Vidutiniam greičiui nustatyti taikome paprastosios vidutinės harmonikos formulę, nes pavyzdyje nurodytas atstumas w 1 =w 2 (atstumas nuo taško A iki taško B yra toks pat kaip nuo B iki A), kuris yra lygus greičio (X) ir laiko (f) sandaugai. Vidutinis greitis = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/val.
Funkcija SRGARM
Grąžina duomenų rinkinio harmoninį vidurkį. Harmoninis vidurkis yra atvirkštinių dydžių aritmetinio vidurkio atvirkštinė vertė.
SRGARM(skaičius1,skaičius2, ...)
Skaičius1, skaičius2, ... yra nuo 1 iki 30 argumentų, kurių vidurkis apskaičiuojamas. Vietoj kabliataškiu atskirtų argumentų galite naudoti masyvą arba masyvo nuorodą.
Harmoninis vidurkis visada yra mažesnis už geometrinį vidurkį, kuris visada yra mažesnis už aritmetinį vidurkį.
Geometrinis vidurkis
Geometrinis vidurkis atsitiktinių dydžių vidutiniam augimo greičiui įvertinti, vienodu atstumu nuo mažiausios ir didžiausios reikšmių nutolusios charakteristikos reikšmės;
Geometrinis vidurkis naudojami nustatant vidutinius santykinius pokyčius. Geometrinis vidurkis suteikia tiksliausią vidurkinimo rezultatą, jei užduotis yra rasti X reikšmę, kuri būtų vienodu atstumu nuo didžiausios ir mažiausios X reikšmių. Pavyzdžiui, 2005–2008 minfliacijos indeksas Rusijoje buvo: 2005 m. - 1,109; 2006 metais - 1090; 2007 metais - 1119; 2008 metais - 1133. Kadangi infliacijos indeksas yra santykinis pokytis (dinaminis indeksas), vidutinė reikšmė turi būti skaičiuojama naudojant geometrinį vidurkį: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, tai yra už laikotarpį nuo 2005 m. iki 2008 m. kasmet kainos augo vidutiniškai 11,26 proc. Klaidingas skaičiavimas naudojant aritmetinį vidurkį gautų neteisingą 11,28% rezultatą.SRGEOM funkcija
Pateikia teigiamų skaičių masyvo arba intervalo geometrinį vidurkį. Pavyzdžiui, funkcija SRGEOM gali būti naudojama vidutiniam augimo tempui apskaičiuoti, jei nurodomos sudėtinės pajamos su kintamomis normomis.
SRGEOM (numeris1; numeris2; ...)
Skaičius1, skaičius2, ... yra nuo 1 iki 30 argumentų, kurių geometrinis vidurkis apskaičiuojamas. Vietoj kabliataškiu atskirtų argumentų galite naudoti masyvą arba masyvo nuorodą.
Vidutinis kvadratas
Vidutinis kvadratas – antrojo laipsnio pradinis momentas.
Vidutinis kvadratas naudojamos tais atvejais, kai pradinės X reikšmės gali būti teigiamos ir neigiamos, pavyzdžiui, apskaičiuojant vidutinius nuokrypius.
Pagrindinis kvadratinio vidurkio taikymas yra matuoti X reikšmių kitimą. Vidutinis kub
Vidutinis kubas yra pradinis trečios eilės momentas.
Vidutinis kub naudojamas itin retai, pavyzdžiui, skaičiuojant besivystančių šalių (TIN-1) ir išsivysčiusių šalių (TIN-2) skurdo indeksus, kuriuos siūlo ir skaičiuoja JT.
Statistikoje naudojami įvairių tipų vidurkiai, kurie skirstomi į dvi dideles klases:
Galios vidurkis (harmoninis vidurkis, geometrinis vidurkis, aritmetinis vidurkis, kvadratinis vidurkis, kubinis vidurkis);
Struktūrinės priemonės (režimas, mediana).
Suskaičiuoti galios vidurkiai būtina naudoti visas turimas charakteristikas. Mada Ir mediana lemia tik skirstinio struktūra, todėl jie vadinami struktūriniais, poziciniais vidurkiais. Mediana ir režimas dažnai naudojami kaip vidutinė charakteristika tose populiacijose, kuriose apskaičiuoti vidutinės galios dėsnį neįmanoma arba nepraktiška.
Dažniausias vidurkio tipas yra aritmetinis vidurkis. Pagal aritmetinis vidurkis suprantama kaip charakteristikos reikšmė, kurią turėtų kiekvienas populiacijos vienetas, jei bendra visų charakteristikos reikšmių suma būtų tolygiai paskirstyta visiems populiacijos vienetams. Ši vertė apskaičiuojama susumuojant visas kintamos charakteristikos vertes ir gautą sumą padalijus iš bendro populiacijos vienetų skaičiaus. Pavyzdžiui, dalių gamybos užsakymą įvykdė penki darbininkai, o pirmasis pagamino 5 dalis, antrasis – 7, trečias – 4, ketvirtas – 10, penktas – 12. Kadangi pirminiuose duomenyse kiekvienos vertės. parinktis pasitaikė tik vieną kartą, nustatyti
Norint nustatyti vidutinį vieno darbuotojo darbo našumą, reikia taikyti paprastą aritmetinio vidurkio formulę:
y., mūsų pavyzdyje vieno darbuotojo vidutinė produkcija yra lygi
Kartu su paprastu aritmetiniu vidurkiu jie mokosi svertinis aritmetinis vidurkis. Pavyzdžiui, apskaičiuokime vidutinį studentų amžių 20 žmonių grupėje, kurių amžius svyruoja nuo 18 iki 22 metų, kur xi– charakteristikos variantai, kurių vidurkis, fi– dažnis, parodantis, kiek kartų jis pasitaiko i-oji vertės visumoje (5.1 lentelė).
5.1 lentelė
Vidutinis studentų amžius
Taikydami svertinio aritmetinio vidurkio formulę, gauname:
Norint pasirinkti svertinį aritmetinį vidurkį, yra tam tikra taisyklė: jei yra dviejų rodiklių duomenų serija, iš kurių vienam reikia apskaičiuoti
vidutinė vertė, o tuo pačiu metu žinomos jo loginės formulės vardiklio skaitinės reikšmės, o skaitiklio reikšmės nežinomos, tačiau jas galima rasti kaip šių rodiklių sandaugą, tada vidutinė vertė turėtų būti apskaičiuojamas naudojant aritmetinio svertinio vidurkio formulę.
Kai kuriais atvejais pradinių statistinių duomenų pobūdis yra toks, kad aritmetinio vidurkio skaičiavimas praranda prasmę ir vienintelis apibendrinamasis rodiklis gali būti tik kitos rūšies vidutinės reikšmės - harmoninis vidurkis.Šiuo metu aritmetinio vidurkio skaičiavimo savybės yra praradusios savo aktualumą skaičiuojant bendruosius statistinius rodiklius dėl plačiai paplitusios elektroninės skaičiavimo technologijos. Vidutinė harmoninė vertė, kuri taip pat gali būti paprasta ir svertinė, įgijo didelę praktinę reikšmę. Jei žinomos loginės formulės skaitiklio skaitinės reikšmės, o vardiklio reikšmės nežinomos, tačiau jas galima rasti kaip dalinį vieno rodiklio padalijimą iš kito, tada vidutinė vertė apskaičiuojama naudojant harmoniką. svertinio vidurkio formulė.
Pavyzdžiui, leiskite žinoti, kad pirmuosius 210 km automobilis įveikė 70 km/h greičiu, o likusius 150 km – 75 km/h greičiu. Pagal aritmetinio vidurkio formulę neįmanoma nustatyti vidutinio automobilio greičio per visą 360 km kelionę. Kadangi parinktys yra greitis atskirose atkarpose xj= 70 km/h ir X2= 75 km/h, o svoriai (fi) laikomi atitinkamomis tako atkarpomis, tada pasirinkimų ir svorių sandaugos neturės nei fizinės, nei ekonominės reikšmės. Šiuo atveju koeficientai įgyja prasmę tako atkarpas padalijus į atitinkamus greičius (parinktys xi), t.y. laiką, praleistą atskiroms tako atkarpoms pravažiuoti (fi / xi). Jei kelio atkarpos žymimos fi, tai visas kelias bus išreikštas kaip?fi, o laikas, praleistas visame kelyje, bus išreikštas kaip?fi. fi / xi , Tada vidutinį greitį galima rasti kaip viso kelio koeficientą, padalintą iš viso praleisto laiko:
Mūsų pavyzdyje gauname:
Jei naudojant harmoninį vidurkį visų parinkčių (f) svoriai yra vienodi, tada vietoj svertinio galite naudoti paprastas (nesvertinis) harmoninis vidurkis:
kur xi yra atskiri pasirinkimai; n– suvidurkinamos charakteristikos variantų skaičius. Greičio pavyzdyje gali būti taikomas paprastas harmoninis vidurkis, jei kelio atkarpos, važiuojančios skirtingu greičiu, būtų vienodos.
Bet kuri vidutinė reikšmė turi būti skaičiuojama taip, kad jai pakeitus kiekvieną vidutinės charakteristikos variantą, nepasikeistų kokio nors galutinio, bendrojo rodiklio, kuris yra susietas su vidutiniu rodikliu, reikšmė. Taigi, pakeitus faktinius greičius atskirose maršruto atkarpose jų vidutine verte (vidutiniu greičiu), bendras atstumas neturėtų keistis.
Vidutinės vertės formą (formulę) lemia šio galutinio rodiklio ryšio su vidurkiu pobūdis (mechanizmas), todėl galutinis rodiklis, kurio vertė neturėtų keistis pakeitus opcionus jų vidutine verte, yra paskambino apibrėžiantis rodiklis. Norėdami gauti vidurkio formulę, turite sukurti ir išspręsti lygtį, naudodami santykį tarp vidurkio rodiklio ir nustatančio rodiklio. Ši lygtis sudaryta pakeičiant vidutinę charakteristikos (rodiklio) variantus jų vidutine verte.
Be aritmetinio vidurkio ir harmoninio vidurkio, statistikoje naudojami ir kiti vidurkio tipai (formos). Visi jie yra ypatingi atvejai galios vidurkis. Jei apskaičiuosime visų tipų galios vidurkius tiems patiems duomenims, tada reikšmės
jie pasirodys vienodi, čia galioja taisyklė majoras vidutinis. Didėjant vidurkio rodikliui, didėja ir pati vidutinė vertė. Praktiniuose tyrimuose dažniausiai naudojamos įvairių tipų galios vidurkių skaičiavimo formulės pateiktos lentelėje. 5.2.
5.2 lentelė
Galios priemonių rūšys
Geometrinis vidurkis naudojamas, kai yra n augimo koeficientai, o individualios charakteristikos vertės, kaip taisyklė, yra santykinės dinamikos vertės, sudarytos grandinės verčių pavidalu, kaip santykis su ankstesniu kiekvieno lygio dinamikos serijoje lygiu. Taigi vidurkis apibūdina vidutinį augimo tempą. Vidutinis geometrinis paprastas apskaičiuojamas pagal formulę
Formulė svertinis geometrinis vidurkis turi tokią formą:
Aukščiau pateiktos formulės yra identiškos, tačiau viena taikoma srovės koeficientams arba augimo tempams, o antroji – absoliučioms eilučių lygių reikšmėms.
Vidutinis kvadratas naudojamas skaičiuojant su kvadratinių funkcijų reikšmėmis, naudojamas matuoti individualių charakteristikų verčių svyravimo laipsnį aplink aritmetinį vidurkį pasiskirstymo serijoje ir apskaičiuojamas pagal formulę
Svertinis vidutinis kvadratas apskaičiuojama pagal kitą formulę:
Vidutinis kub naudojamas skaičiuojant su kubinių funkcijų reikšmėmis ir apskaičiuojamas pagal formulę
vidutinis kubinis svertinis:
Visos aukščiau aptartos vidutinės vertės gali būti pateiktos kaip bendra formulė:
kur yra vidutinė vertė; – individuali prasmė; n– tiriamos populiacijos vienetų skaičius; k– eksponentas, nulemiantis vidurkio tipą.
Naudojant tuos pačius šaltinio duomenis, tuo daugiau k bendrojoje galios vidurkio formulėje tuo didesnė vidutinė reikšmė. Iš to išplaukia, kad tarp galios vidurkių verčių yra natūralus ryšys:
Aukščiau aprašytos vidutinės reikšmės suteikia bendrą vaizdą apie tiriamą populiaciją, todėl šiuo požiūriu jų teorinė, taikomoji ir edukacinė reikšmė yra neginčijama. Tačiau atsitinka taip, kad vidutinė vertė nesutampa su nė vienu iš faktiškai egzistuojančių variantų, todėl, be svarstomų vidurkių, Statistinė analizė Patartina naudoti konkrečių parinkčių reikšmes, kurios užima tiksliai apibrėžtą vietą užsakytose (reitinguotose) atributų reikšmių serijose. Tarp šių kiekių dažniausiai naudojami struktūrinis, arba aprašomasis, vidutinis– režimas (Mo) ir mediana (Me).
Mada– charakteristikos, kuri dažniausiai randama tam tikroje populiacijoje, reikšmė. Kalbant apie variacinę seriją, režimas yra dažniausiai pasitaikanti reitinguojamos serijos reikšmė, ty parinktis, kurios dažnis yra didžiausias. Mada gali būti naudojama nustatant dažniau lankomas parduotuves, labiausiai paplitusią bet kurios prekės kainą. Jis parodo žymiai populiacijos daliai būdingo požymio dydį ir yra nustatomas pagal formulę
čia x0 yra apatinė intervalo riba; h– intervalo dydis; fm– intervalų dažnis; fm_ 1 – ankstesnio intervalo dažnis; fm+ 1 – kito intervalo dažnis.
Mediana iškviečiama reitinguotos eilutės centre esanti parinktis. Mediana padalija eilutę į dvi lygias dalis taip, kad abiejose jos pusėse būtų vienodas populiacijos vienetų skaičius. Šiuo atveju vienos pusės populiacijos vienetų kintamos charakteristikos reikšmė yra mažesnė už medianą, o kitos pusės reikšmė yra didesnė už ją. Mediana naudojama tiriant elementą, kurio reikšmė yra didesnė arba lygi pusei skirstinio eilutės elementų arba tuo pačiu metu mažesnė arba lygi jai. Mediana suteikia bendra idėja apie tai, kur sutelktos atributo reikšmės, kitaip tariant, kur yra jų centras.
Aprašomasis medianos pobūdis pasireiškia tuo, kad ji apibūdina kiekybinę kintamos charakteristikos verčių ribą, kurią turi pusė populiacijos vienetų. Diskrečių variacijų serijos medianos radimo problema yra lengvai išspręsta. Jei visiems serijos vienetams suteikiami eilės numeriai, medianos parinkties eilės numeris nustatomas kaip (n + 1) / 2 su nelyginiu n narių skaičiumi. Jei serijos narių skaičius yra lyginis skaičius , tada mediana bus dviejų parinkčių, turinčių serijos numerius, vidutinė vertė n/ 2 ir n/ 2 + 1.
Nustatydami intervalo variacijų serijos medianą, pirmiausia nustatykite intervalą, kuriame ji yra (tarpo mediana). Šiam intervalui būdinga tai, kad jo sukaupta dažnių suma lygi arba viršija pusę visų serijos dažnių sumos. Intervalo variacijos eilutės mediana apskaičiuojama naudojant formulę
Kur X0– apatinė intervalo riba; h– intervalo dydis; fm– intervalų dažnis; f– serijos narių skaičius;
M -1 – eilutės, einančios prieš duotąją, sukauptų terminų suma.
Kartu su mediana daugiau visas charakteristikas tiriamos populiacijos struktūros taip pat naudoja kitas pasirinkimo reikšmes, kurios užima labai specifinę vietą reitinguojamoje serijoje. Jie apima kvartiliai Ir decilių. Kvartiliai padalija eilutes pagal dažnių sumą į 4 lygias dalis, o deciliai – į 10 lygių dalių. Yra trys kvartiliai ir devyni deciliai.
Mediana ir režimas, skirtingai nei aritmetinis vidurkis, nepašalina individualių kintamosios charakteristikos reikšmių skirtumų, todėl yra papildomos ir labai svarbios statistinės populiacijos charakteristikos. Praktikoje jie dažnai naudojami vietoj vidutinių arba kartu su juo. Ypač patartina skaičiuoti medianą ir režimą tais atvejais, kai tiriamoje populiacijoje yra tam tikras skaičius vienetų, kurių kintamos charakteristikos reikšmė labai didelė arba labai maža. Šios populiacijai nelabai būdingos variantų reikšmės, nors ir turi įtakos aritmetinio vidurkio reikšmei, nedaro įtakos medianos ir režimo reikšmėms, todėl pastarieji yra labai vertingi ekonominiams ir statistiniams rodikliams. analizė.
Vidutinės vertės plačiai naudojamos statistikoje. Vidutinės reikšmės apibūdina kokybinius komercinės veiklos rodiklius: paskirstymo sąnaudas, pelną, pelningumą ir kt.
Vidutinis – Tai viena iš įprastų apibendrinimo technikų. Teisingas vidurkio esmės supratimas lemia jo ypatingą reikšmę sąlygomis rinkos ekonomika, kai vidurkis per individualius ir atsitiktinius leidžia identifikuoti bendrus ir būtinus, nustatyti ekonominės raidos modelių tendenciją.
Vidutinė vertė - tai apibendrinantys rodikliai, kuriais išreiškiamas tiriamo reiškinio bendrųjų sąlygų ir modelių poveikis.
Statistiniai vidurkiai apskaičiuojami remiantis teisingai statistiškai organizuoto masės stebėjimo (nuolatinio ir atrankinio) masės duomenimis. Tačiau statistinis vidurkis bus objektyvus ir tipiškas, jei jis bus skaičiuojamas iš kokybiškai vienalytės populiacijos (masės reiškinių) masės duomenų. Pavyzdžiui, jei apskaičiuojate vidutinį darbo užmokestį kooperatyvuose ir valstybės valdomose įmonėse, o rezultatą išplėtote visiems gyventojams, tada vidurkis yra fiktyvus, nes jis skaičiuojamas nevienalyčiai populiacijai ir toks vidurkis netenka prasmės.
Naudojant vidurkį, skirtumai charakteristikos vertė, kurios dėl vienokių ar kitokių priežasčių atsiranda atskiruose stebėjimo vienetuose.
Pavyzdžiui, vidutinis pardavėjo produktyvumas priklauso nuo daugelio priežasčių: kvalifikacijos, stažo, amžiaus, tarnybos formos, sveikatos ir kt.
Vidutinė produkcija atspindi bendrą visų gyventojų savybę.
Vidutinė vertė yra tiriamos charakteristikos verčių atspindys, todėl ji matuojama tokiu pat matmeniu kaip ir ši charakteristika.
Kiekviena vidutinė reikšmė apibūdina tiriamą populiaciją pagal kurią nors vieną požymį. Norint gauti išsamų ir visapusišką tiriamos populiacijos supratimą pagal daugybę esminių charakteristikų, apskritai reikia turėti vidutinių verčių sistemą, kuri galėtų apibūdinti reiškinį skirtingais kampais.
Yra skirtingi vidurkiai:
aritmetinis vidurkis;
geometrinis vidurkis;
harmoninis vidurkis;
vidutinis kvadratas;
vidutinis chronologinis.
Pažvelkime į kai kuriuos vidurkių tipus, kurie dažniausiai naudojami statistikoje.
Aritmetinis vidurkis
Paprastas aritmetinis vidurkis (nesvertinis) yra lygus atskirų požymio verčių sumai, padalytai iš šių reikšmių skaičiaus.
Individualios charakteristikos reikšmės vadinamos variantais ir žymimos x(); populiacijos vienetų skaičius žymimas n, vidutinė charakteristikos reikšmė žymima 
. Todėl paprastasis aritmetinis vidurkis yra lygus:
Remiantis diskrečiųjų pasiskirstymo serijų duomenimis, aišku, kad tos pačios charakteristikos vertės (variantai) kartojasi keletą kartų. Taigi variantas x iš viso pasitaiko 2 kartus, o variantas x – 16 kartų ir t.t.
Identiškų charakteristikos verčių skaičius pasiskirstymo serijoje vadinamas dažniu arba svoriu ir žymimas simboliu n.
Paskaičiuokime vidutinį vieno darbuotojo atlyginimą 
rub.:
Kiekvienos darbuotojų grupės darbo užmokesčio fondas yra lygus pasirinkimų ir dažnumo sandaugai, o šių produktų suma sudaro bendrą visų darbuotojų darbo užmokesčio fondą.
Atsižvelgiant į tai, skaičiavimai gali būti pateikti bendra forma:
Gauta formulė vadinama svertiniu aritmetiniu vidurkiu.
Apdorojant statistinę medžiagą galima pateikti ne tik diskrečiųjų pasiskirstymo eilučių pavidalu, bet ir intervalų variacijų eilučių su uždarais arba atvirais intervalais forma.
Sugrupuotų duomenų vidurkis apskaičiuojamas naudojant svertinio aritmetinio vidurkio formulę:
Ekonominės statistikos praktikoje kartais tenka skaičiuoti vidurkį naudojant grupinius vidurkius arba atskirų gyventojų dalių vidurkius (dalinius vidurkius). Tokiais atvejais grupiniai arba privatūs vidurkiai laikomi pasirinkimu (x), kurių pagrindu bendras vidurkis apskaičiuojamas kaip įprastas svertinis aritmetinis vidurkis.
Pagrindinės aritmetinio vidurkio savybės .
Aritmetinis vidurkis turi keletą savybių:
1. Aritmetinio vidurkio reikšmė nepasikeis mažinant ar padidinus kiekvienos charakteristikos x reikšmės dažnį n kartų.
Jei visi dažniai yra padalinti arba padauginti iš bet kurio skaičiaus, vidutinė vertė nepasikeis.
2. Bendras individualių charakteristikos verčių daugiklis gali būti paimtas už vidurkio ženklo:
3. Dviejų ar daugiau dydžių sumos (skirtumo) vidurkis yra lygus jų vidurkių sumai (skirtumui):
4. Jei x = c, kur c yra pastovi reikšmė, tada 
.
5. Požymio X reikšmių nuokrypių nuo aritmetinio vidurkio x suma lygi nuliui:
Harmoninis vidurkis.
Kartu su aritmetiniu vidurkiu, statistikoje naudojamas harmoninis vidurkis, atvirkštinis atributo atvirkštinių reikšmių aritmetinio vidurkio dydis. Kaip ir aritmetinis vidurkis, jis gali būti paprastas ir svertinis.
Variacijų eilučių charakteristikos kartu su vidurkiais yra režimas ir mediana.
Mada - tai dažniausiai tiriamoje populiacijoje pasikartojančios charakteristikos (varianto) reikšmė. Diskrečių paskirstymo serijų atveju režimas bus didžiausio dažnio varianto vertė.
Intervalų pasiskirstymo serijoms su vienodais intervalais režimas nustatomas pagal formulę:
Kur 
- pradinė intervalo, kuriame yra režimas, reikšmė;
- modalinio intervalo reikšmė;
- modalinio intervalo dažnis;
- intervalo prieš modalinį dažnumą;
- intervalo dažnis po modalinio.
Mediana - tai variantas, esantis variacijų serijos viduryje. Jei pasiskirstymo serija yra atskira ir turi nelyginį narių skaičių, mediana bus parinktis, esanti eilės serijos viduryje (tvarkinga eilutė yra populiacijos vienetų išdėstymas didėjančia arba mažėjančia tvarka).
