Homogeninė sistema visada yra sukurta ir turi trivialus sprendimas. 
. Dėl netrivinio tirpalo egzistavimo būtina, kad matricos rangas 
buvo mažiau nei nežinoma:
.
Pagrindinės sistemos sprendimai
Vienoda sistema 
skambučių sprendimų sistema stulpelių vektorių pavidalu 
kuris atitinka kanoninį pagrindą, t.y. Bazė, kurioje savavališkai pastovus 
pakaitomis labai lygi vienybei, o likusi dalis yra lyginant nuliui.
Tada bendras homogeniškos sistemos sprendimas yra:
kur 
- savavališkai pastovus. Kitaip tariant, bendras sprendimas yra linijinis pagrindinio sprendimo sistemos derinys.
Taigi, pagrindiniai sprendimai gali būti gaunami iš bendro sprendimo, jei laisvas nežinomas vienas pakaitomis pridėti vieneto vertę, manydami visais kitais lygiais nuliui.
Pavyzdys. Raskite sistemos sprendimą
Mes imsimės, tada mes gausime sprendimą formoje:
Mes sukursime pagrindinę sprendimų sistemą:
.
Bendras sprendimas įrašomas į formą:
Homogeninių linijinių lygčių sistemos sprendimai turi savybių:
Kitaip tariant, bet koks linijinis homogeniškos sistemos sprendimų derinys vėl yra sprendimas.
Linijinių lygčių sistemų sprendimas pagal "Gauss" metodą
Linijinių lygčių sistemų sprendimas domisi matematikai kelis šimtmečius. Pirmieji rezultatai buvo gauti XVIII a. 1750 m. Kramer (1704 -1752) paskelbė savo darbus dėl kvadratinių matricų veiksnių ir pasiūlė algoritmą rasti atvirkštinę matricą. 1809 m. Gauss nurodė naują sprendimo metodą, vadinamą išimties metodu.
Gauss metodas arba nežinomo neįtraukimo metodas yra tai, kad su pradinių transformacijų pagalba, lygčių sistema yra nukreipta į lygiavertės sistemos laipsnio (arba trikampio) tipo sistemą. Tokios sistemos leidžia nuolat rasti visus nežinomus tam tikra tvarka.
Tarkime, kad sistemoje (1) 
(tai visada įmanoma).
(1)
Pakaitomis pakaitomis pirmoji lygtis vadinamuoju tinkami numeriai
ir sulankstoma dauginimo rezultatas su atitinkamomis sistemos lygtims, gausime lygiavertę sistemą, kurioje nebus nežinoma visose lygtyse, išskyrus pirmuosius lygtis h. 1
(2)
Dabar dauginasi antroji sistemos lygtis (2) tinkamais skaičiais, tikėdami 
,
ir sulankstoma su po žeme, pašalinkite kintamąjį 
visų lygčių, pradedant nuo trečiojo.
Tęsiant šį procesą 
Žingsniai mes gauname:
(3)
Jei bent vienas iš numerių 
nėra lygus nuliui, tada atitinkama lygybė yra prieštaringa ir sistema (1) yra neišsami. Atgal, už bet kokį bendrą sistemos numerį 
lygus nulis. Skaičius 
- tai nieko panašaus į sistemos sistemos rangą (1).
Perėjimas nuo sistemos (1) iki (3) yra vadinamas tiesioginis insultas Gauss metodas ir nežinomų nuo (3) - grįžti .
Komentaras : Konversija yra patogiau gaminti ne su pačių lygtimis, bet su išplėstine matrica sistemos (1).
Pavyzdys. Raskite sistemos sprendimą
.
Mes parašytume išplėstinę sistemos matricą:
.
Mes pridedame prie eilių 2,3,4 pirmojo, padauginome iš (-2), (-3), (-2), atitinkamai:
.
Pakeiskite 2 ir 3 eilutes vietose, tada į gautą matricą pridėkite į 4 eilutę 2 eilutę, padauginta iš 
:
.
Įdėkite į 4 eilutę 3 eilutę, padauginta iš 
:
.
Tai akivaizdu 
Todėl sistema yra suderinta. Nuo gautos lygčių sistemos
renkame grąžinimo sprendimą:
,
,
,
.
2 pavyzdys. Rasti sistemos sprendimą:
.
Akivaizdu, kad sistema yra neišsami, nes 
, bet 
.
Gauso metodo privalumai :
Mažiau laiko vartoja nei kraverio metodas.
Neabejotinai sukuria bendrą sistemą ir leidžia rasti sprendimą.
Tai leidžia nustatyti bet kokių matricų rangą.
Vienodos linijinių algebrinių lygčių sistemos
Per pamokas gauss metodas ir. \\ T Nebaigtos sistemos / sistemos su bendru sprendimumes apsvarstėme linijinių lygčių inhomogeninės sistemoskur laisvas Dick.(tai paprastai yra teisinga) mažiausiai vienas Iš lygčių buvo skiriasi nuo nulio.
Ir dabar po geros treniruotės su reitingas Matrica.Mes ir toliau šlifuojame įrangą elementarinės transformacijos. ant vienoda linijinių lygčių sistema.
Pasak pirmųjų pastraipų, medžiaga gali atrodyti nuobodu ir paprasta, tačiau šis įspūdis yra apgaulingas. Be to, toliau rengiant techninius metodus bus daug naujos informacijos, todėl pabandykite nepaisyti šio straipsnio pavyzdžių.
Kas yra vienarūšė linijinių lygčių sistema?
Atsakymas rodo save. Linijinių lygčių sistema yra homogeniška, jei laisvas penis kiekvienas Sistemos lygtys yra nulinės. Pavyzdžiui:
Tai gana aišku vienoda sistema visada koordinuojamaTai yra, visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, vadinamasis akių skubėjimas trivialus. Sprendimas Šis sprendimas 
. Trivialus, tiems, kurie nesupranta būdvardžio reikšmės, o tai reiškia, kad riba. Ne akademinis, žinoma, bet tada jis yra suprantamas \u003d) ... Ką eiti aplink ir apie tai sužinoti, ar ši sistema turi kitų sprendimų:
1 pavyzdys.
Sprendimas Šis sprendimas: Išspręsti homogeninę sistemą, kurią reikia įrašyti sistemos matrica Ir su pradinių transformacijų pagalba, paskatinti ją į žingsnį. Atkreipkite dėmesį, kad nereikia įrašyti vertikalios linijos ir nulinės kolonos laisvų narių - nes jie nedaro su nuliais, jie išliks nuliai: 
(1) Antroji linija pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Į trečiąją liniją pridėta pirmoji eilutė, padauginta iš -3.
(2) į trečiąją liniją pridėjo antroji eilutė, padauginta nuo -1.
Trečioji linija iki 3 nėra prasminga.
Dėl pradinių transformacijų buvo gauta lygiavertė vienoda sistema. 
ir, taikant atvirkštinio kurso metodą, lengva įsitikinti, kad tirpalas yra unikalus.
Atsakymas:
Mes suformulavome akivaizdžią kriterijų: Vienoda linijinių lygčių sistema tik trivialus sprendimas, jeigu reitingo matricos sistema (Šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju - 3 vnt.).
Įkaitinkite ir priveržkite savo radiją į elementarių transformacijų bangą:
2 pavyzdys.
Išspręskite homogeninę linijinių lygčių sistemą 
Nuo straipsnio Kaip rasti matricos rangą? Prisimename racionalią atitinkamų matricos numerių sumažėjimo priėmimą. Priešingu atveju turėsite sumažinti didelę ir dažnai kūną. Pavyzdinis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.
Zeros yra gera ir patogi, tačiau praktikoje atveju yra daug dažniau, kai sistemos matricos eilutės linijly priklausomas. Ir tada bendro sprendimo atsiradimas yra neišvengiamas:
3 pavyzdys.
Išspręskite homogeninę linijinių lygčių sistemą 
Sprendimas Šis sprendimas: Mes parašytume sistemos matricą ir su pradinių transformacijų pagalba mes duosime jį į žingsnis. Pirmasis veiksmas yra nukreiptas ne tik už vieną vertę, bet ir sumažinti skaičių pirmame stulpelyje:
(1) Į pirmąją eilutę pridėjo trečią eilutę, padaugintą iš -1. Antroji linija pridėjo trečią eilutę, padaugintą iš -2. Į kairę viršuje aš gavau vienetą su "minus", kuris dažnai yra daug patogesnis tolesniems transformacijoms.
(2) Pirmosios dvi eilutės yra vienodos, viena iš jų buvo pašalinta. Sąžiningai, nebuvo pritaikyti sprendimą - tai įvyko. Jei atliksite konversijų šabloną, tada linijinis priklausomybė Eilutės būtų parodyti šiek tiek vėliau.
(3) į trečiąją liniją pridėjo antroji eilutė, padauginta iš 3.
(4) Pirmoji eilutė pakeitė ženklą.
Dėl pradinių transformacijų buvo gauta lygiavertė sistema: 
Algoritmas veikia taip pat, kaip inhomogeninės sistemos. \\ T. Kintamieji, "Sėdi ant žingsnių" - pagrindinis, kintamasis, kuris negavo "žingsnių" - nemokamai.
Išreikšti pagrindinius kintamuosius per laisvą kintamąjį: 
Atsakymas: bendras sprendimas: 
Trivialus sprendimas yra įtrauktas į bendrą formulę ir parašykite jį atskirai nereikalingu.
Tikrinimas taip pat atliekamas įprastu būdu: gautas bendras sprendimas turi būti pakeistas į kairę kiekvienos sistemos lygties dalimi ir gauti teisėtą nulį visuose pakeitimuose.
Tai gali būti tyliai baigta, tačiau dažnai reikia pateikti vienodos lygčių sistemos sprendimą vector forma per pagrindinės sistemos sprendimai. Prašome pamiršti analitinė geometrija, nuo šiol tai bus apie bendra algebrinė prasme vektoriai, kuriuos aš bėgau apie straipsnį reitingas Matrica.. Terminologija nereikia patikrinti, viskas yra gana paprasta.
Linijinės homogeninės lygtys - jis turi formą σa k i x i \u003d 0. Kur M\u003e N arba M, vienareikšminė linijinių lygčių sistema visada koordinuojama, nes Ranga \u003d Rangb. Jis žino sprendimą, kurį sudaro nuliai, kuri vadinama trivialus..Paslaugų paskyrimas. Internetinis skaičiuoklė yra sukurta taip, kad rastų nerivuotą ir esminį Slavos sprendimą. Gautas tirpalas išsaugomas žodžio faile (žr. Pavyzdžio sprendimą).
Instrukcija. Pasirinkite matricos dimensiją:
Linijinių homogeninių lygčių sistemų savybės
Siekiant sistemos nontriviniai tirpalaiTai būtina ir pakankamai, kad jos matricos rangui būtų mažesnis už nežinomų skaičių.Teorema. M \u003d N atveju sistema turi netrivinį tirpalą, jei ir tik tada, kai šios sistemos veiksnys yra nulis.
Teorema. Bet koks linijinis sistemos sprendimų derinys taip pat išsprendžia šią sistemą.
Apibrėžimas. Skambinama linijinių homogeninių lygčių sistemos sprendimų rinkinys pagrindinės sistemos sprendimaiJei šis derinys susideda iš tiesiškai nepriklausomų sprendimų ir bet koks sistemos sprendimas yra linijinis šių sprendimų derinys.
Teorema. Jei sistemos matricos rangas yra mažesnis už nežinomo skaičiaus, tada yra pagrindinė sprendimų sistema, kurią sudaro (N-R) sprendimai.
Algoritmas linijinių homogeninių lygčių sistemų sprendimui
- Rasime matricos rangą.
- Pažymėjome pagrindinį nepilnametį. Mes skiriame priklausomus (pagrindinius) ir nemokamai nežinomus.
- Aš išspręsiu tas sistemos lygtis, kurių koeficientai nėra įtraukti į pagrindinį nepilnametį, nes jie yra poilsio pasekmės (pagal Minimalų teoremą).
- Lygčių, kuriose yra nemokamų nežinomų asmenų, nariai perkeliant į dešinę. Kaip rezultatas, mes gauname sistemą iš R lygtis su R edown, lygiavertis tai, kurio lempa skiriasi nuo nulio.
- Mes išsprendžiame gautą sistemą neįtraukiant nežinomo. Mes randame santykius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius nemokamai.
- Jei matricos skudurai nėra lygūs kintamųjų skaičiui, tada mes randame esminį sistemos sprendimą.
- Rang \u003d N atveju mes turime trivialus sprendimas.
Pavyzdys. Rasti vektorių sistemos pagrindus (A 1, A 2, ... ir M), rangų ir išreikšti vektorių pagal pagrindą. Jei 1 \u003d (0,0,1, -1), A2 \u003d (1,1,2,0) ir 3 \u003d (1,1,1,1) ir 4 \u003d (3,2,1, 4) ) ir 5 \u003d (2,1,0,3).
Mes užrašome pagrindinę sistemos matricą:
Padauginkite 3 eilutę (-3). Pridėkite ketvirtą eilutę į 3-ąją:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Padauginkite 4 eilutę (-2). Padauginkite 5-ą eilutę (3). Pridėti 5-ąją eilutę į 4-ąją:
Pridėkite antrą eilutę į pirmąjį:
Rasime matricos rangą.
Sistema su šio matricos koeficientais yra lygiavertis šaltinio sistemai ir turi formą:
- x 3 \u003d - x 4 4
- x 2 - 2x 3 \u003d - x 4
2x 1 + x 2 \u003d - 3x 4
Išskyrus nežinomus, mes randame netrivinį sprendimą:
Gautos santykiai, išreiškiantys priklausomus kintamuosius x 1, x 2, x 3 per nemokamą x 4, tai yra, jie rado bendrą sprendimą:
x 3 \u003d x 4
x 2 \u003d - x 4
x 1 \u003d - x 4
Dana Matrix.
Rasti: 1) AA - BB,
Sprendimas Šis sprendimas: 1) Raskite nuosekliai naudojant matricos dauginimo taisykles iki matricų.
2. Raskite * b, jei
Sprendimas Šis sprendimas: Naudokite dauginimo taisyklę matricų
Atsakymas: 
3. Dėl tam tikros matricos rasti nepilnametis M 31 ir apskaičiuoti lemiamumą.
Sprendimas Šis sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš
peržengę eilutę 3 ir stulpelyje
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Mes transformuojame matricą A, nekeičiant jo veiksnio (padaryti nulius 1 eilutėje)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Dabar mes apskaičiuojame matricos ir skilimo lemia eilutę 1
Atsakymas: m 31 \u003d 0, deta \u003d 0
Galbūt "Gauss" metodas ir "Cramer" metodas.
2x 1 + x 2 + x 3 \u003d 2
x 1 + x 2 + 3x 3 \u003d 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 \u003d 5
Sprendimas Šis sprendimas: Patikrinti
Galite taikyti kraverio metodą
Sprendimas Sprendimas: x 1 \u003d d 1 / d \u003d 2, x 2 \u003d d2 / d \u003d -5, x 3 \u003d D 3 / d \u003d 3
Taikykite "Gauss" metodą.
Išplėstinė sistemos matrica suteikia trišalią formą.
Dėl kompiuterizavimo patogumo, pakeiskite linijas vietose:
Padauginkite 2 eilutę (k \u003d -1 / 2 \u003d -1 / 2 ) ir pridėkite į 3rd:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Padauginkite 1 eilutę (k \u003d -2 / 2 \u003d -1 ) Ir pridėkite prie 2-ojo:
Dabar šaltinio sistema gali būti parašyta kaip:
x 1 \u003d 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 \u003d 13 - (6x 3)
Nuo 2 linijų Express
Nuo pirmos eilutės mes išreiškiame
Sprendžiant tą patį.
Atsakymas: (2; -5; 3)
Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 \u003d 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 \u003d 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 \u003d 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 \u003d 0
Sprendimas Šis sprendimas: Taikykite "Gauss" metodą. Išplėstinė sistemos matrica suteikia trišalią formą.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Padauginkite 1-ąją eilutę (-11). Padauginkite 2 eilutę (13). Pridėkite antrą eilutę į pirmąjį:
| -2 | -2 | -3 | ||
Padauginkite 2 eilutę (-5). Padauginkite 3 eilutę (11). Mes pridėjome 3 eilutę į antrąjį:
Padauginkite 3 eilutę (-7). Padauginkite 4-ąją eilutę (5). Įdėkite 4 eilutę į 3RD:
Antroji lygtis yra linijinis poilsio derinys
Rasime matricos rangą.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Paskirstytas nepilnametis turi aukščiausią užsakymą (nuo galimų kalnakasių) ir skiriasi nuo nulio (jis yra lygus iš atvirkštinio įstrižainės elementų produktui), todėl Rang (A) \u003d 2.
Šis nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomuose x 1, x 2, o tai reiškia, kad nežinoma x 1, x 2 - priklausomi (pagrindiniai) ir x 3, x 4, x 5 yra nemokami.
Sistema su šio matricos koeficientais yra lygiavertis šaltinio sistemai ir turi formą:
18x 2 \u003d 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 \u003d - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Nežinomų nežinomų neįtraukimo metodas bendras sprendimas:
x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 \u003d - 1/3 x 3
Rasime pagrindinių sprendimų sistemą (FSW), kurią sudaro (N-R) sprendimai. Mūsų atveju N \u003d 5, R \u003d 2, todėl pagrindinė sprendimų sistema susideda iš 3 sprendimų, ir šie sprendimai turi būti linijiškai nepriklausomi.
Taigi, kad linijos būtų linijiškai nepriklausomos, būtina ir pakankamai, kad matricos rangas, sudarytas iš eilių elementų, buvo lygus eilučių skaičiui, ty 3.
Pakanka suteikti nemokamą nežinomą x 3, x 4, x 5 iš 3-osios eilės lemtų lemtų eilučių, skiriasi nuo nulio ir apskaičiuoti x 1, x 2.
Paprasčiausias veiksnys, išskyrus nulį, yra viena matrica.
Bet tai patogiau imtis
Rasti naudojant bendrą sprendimą:
a) x 3 \u003d 6, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d -2, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 4 þ.
I SPRENDIMAS FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 6, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 6 Þ.
II Sprendimas FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 6 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d -9 Þ.
III FSR sprendimas: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dana: Z 1 \u003d -4 + 5i, Z2 \u003d 2 - 4i. Rasti: a) Z1 - 2Z 2 b) Z1 Z 2 c) Z 1 / z 2
Sprendimas Šis sprendimas: a) Z1 - 2z 2 \u003d -4 + 5i + 2 (2-4i) \u003d -4 + 5i + 4-8i \u003d -3i
b) Z 1 Z2 \u003d (-4 + 5i) (2-4i) \u003d -8 + 10i + 16i-20i 2 \u003d (I 2 \u003d -1) \u003d 12 + 26i
Atsakymas: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0.3i
Mokykloje kiekvienas iš mūsų studijavo lygtis ir, tikrai lygčių sistemą. Bet ne daug žino, kad yra keletas būdų, kaip juos išspręsti. Šiandien mes analizuosime visus linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo būdus, kurie sudaro daugiau kaip du lygius.
Istorija
Iki šiol žinoma, kad lygčių ir jų sistemų sprendimo menas kilęs iš senovės Babilono ir Egipto. Tačiau po lygybės ženklo "\u003d", kuris buvo įvestas 1556 m. Matematiko įrašu, pasirodė lygiavertė savo įprastoje forma. Beje, šis ženklas buvo ne tik pasirinktas: tai reiškia du lygiagretus lygius segmentus. Ir tiesa, geriausias lygybės pavyzdys nėra.
Šiuolaikinių nežinomų laiškų ir laipsnių požymių įkūrėjas yra Prancūzijos matematikas, tačiau jos pavadinimai labai skiriasi nuo šiandien. Pavyzdžiui, nežinomo numerio kvadratas parodė raidę Q (lat. "Quadratus") ir kubo C (lat. "Cubus"). Šie pavadinimai dabar atrodo nepatogūs, tačiau tai buvo pats suprantamas būdas įrašyti linijinių algebrinių lygčių sistemą.
Tačiau trūkumas tuometiniuose sprendimų metoduose buvo ta, kad matematika buvo laikoma tik teigiamomis šaknimis. Galbūt tai yra dėl to, kad neigiamos vertės neturėjo praktinės taikymo. Vienaip ar kitaip, bet pirmasis apsvarstyti neigiamą šaknų buvo Italijos matematikai Niccolo Tartalia, Jerolamo Cardano ir Rafael bombelly XVI a. Ir šiuolaikinė išvaizda, pagrindinis metodas sprendimas (per diskriminant) buvo sukurta tik XVII a dėka descartes ir Newton darbų.
XVIII a. Viduryje Šveicarijos matematikas Gabrielis KRAMER nustatė naują būdą, kaip palengvinti linijinių lygčių sprendimą. Šis metodas vėliau buvo pavadintas po jo ir iki šios dienos mes juos naudojame. Tačiau šiek tiek vėliau kalbėsime apie drivemano metodą, tačiau dabar mes aptarsime linijines lygtis ir metodus, kaip juos išspręsti atskirai nuo sistemos.
Linijinės lygtys. \\ T
Linijinės lygtys yra lengviausios lygybės su kintamąjį (kintamąjį). Jie tiki algebai. Jie įrašomi į bendrą formą: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Jų atstovavimas šioje formoje bus reikalingi rengiant sistemas ir matricą.
Linijinės algebrinių lygčių sistemos
Šio termino apibrėžimas yra toks: tai yra lygčių, kurios turi bendrų nežinomų verčių derinys ir bendras sprendimas. Kaip taisyklė, mokykloje, viskas išsprendė sistemas su dviem ar net tris lygtis. Tačiau yra sistemų su keturiais ar daugiau komponentų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip juos įrašyti, kad ateityje būtų patogu nuspręsti. Pirma, linijinių algebrinių lygčių sistema atrodys geriau, jei visi kintamieji įrašomi kaip x su atitinkamu indeksu: 1,2,3 ir pan. Antra, visos kanoninės išvaizdos lygtys turėtų būti skiriamos: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b.
Po visų šių veiksmų galime pradėti pasakyti, kaip rasti linijinių lygčių sistemų sprendimus. Labai tai už tai naudosime matricą.
Matriai
Matrica yra lentelė, kurią sudaro eilutės ir stulpeliai, o jos elementai yra jų sankryžoje. Tai gali būti arba konkrečios vertės ar kintamieji. Dažniausiai, norint nurodyti elementus, apatiniai indeksai yra įtraukti į juos (pavyzdžiui, 11 arba A 23). Pirmasis indeksas reiškia eilutės numerį ir antrąjį stulpelį. Per matematiką, kaip ir bet kokio kito matematinio elemento, galite padaryti įvairias operacijas. Taigi, galite:
2) Padauginkite matricą į bet kurį numerį arba vektorių.
3) Perkelkite: pasukite matricos linijas į stulpelius, o stulpeliai yra linijose.
4) Padauginkite matricą, jei vienos iš jų eilučių skaičius yra lygus kito stulpelių skaičiui.
Mes išsamiau aptarsime visus šiuos metodus, nes jie ateis pas mus vėliau. Matricų atitikimas ir pridėjimas vyksta labai paprasta. Kadangi mes vartojame to paties dydžio matricą, kiekvienas tos pačios lentelės elementas atitinka kiekvieną kito elemento elementą. Taigi mes sulenkiame (atimti) du iš šių elementų (svarbu, kad jie stovėjo tose pačiose vietose savo matricose). Kai matrica padauginate į numerį ar vektorių, tiesiog padauginkite kiekvieną matricos elementą į šį numerį (arba vektorių). Perkėlimas yra labai įdomus procesas. Labai įdomu, kad kartais jį mato realiame gyvenime, pavyzdžiui, keičiant tabletės ar telefono orientaciją. Darbalaukio piktogramos yra matrica, o kai padėtis keičiama, ji perkelta ir tampa platesnė, bet mažėja aukščio.
Mes analizuosime tokį procesą, nes tai mums nėra naudinga, bet tai bus naudinga vistiek žinoti. Padauginkite du matricus galima padauginti tik su sąlyga, kad vienos lentelės stulpelių skaičius yra lygus skirtingų linijų skaičiui. Dabar mes paimame vienos matricos linijų elementus ir atitinkamo stulpelio elementus. Perkelkite juos į vieni kitus ir tada nustatykite (pvz., Elementų produktas yra 11 ir A 12 B 12 ir B22, bus: a 11 * B 12 + A 12 * B 22). Taigi gaunamas vienas stalo elementas, ir jis yra užpildytas tuo pačiu metodu.
Dabar galime apsvarstyti, kaip išspręsta linijinių lygčių sistema.
Gauss metodas
Ši tema pradeda vykti mokykloje. Mes gerai žinome "dviejų linijinių lygčių sistemos" sąvoką ir gali juos išspręsti. Bet ką daryti, jei lygčių skaičius yra daugiau nei du? Tai padės mums
Žinoma, šis metodas yra patogus naudoti, jei gaminate matricą iš sistemos. Bet jūs negalite jo paversti ir išspręsti ją gryna forma.
Taigi, kaip šis metodas išspręstas pagal šios metodo sistemą linijinių Gauss lygtis? Beje, bent šis metodas yra pavadintas po jo, bet jie atidarė jį senovėje. "Gauss" siūlo tokias: atlikite operacijas su lygtimis, kad pagaliau būtų visapusiška palaipsniui. Tai yra, būtina, kad iš viršaus į apačią (jei jis yra tinkamai patalpintas) nuo pirmos lygties iki pastarojo atsisakė vieno nežinomo. Kitaip tariant, jums reikia padaryti, kad mums pavyks, tarkim, trimis lygtis: pirmoje - trys nežinoma, antra - trečiajame. Tada nuo paskutinės lygties mes randame pirmąjį nežinomą, mes pakeisime savo vertę į antrą ar pirmąją lygtį, tada rasti likusius du kintamuosius.
Cramer metodas
Norėdami įvaldyti šį metodą, labai svarbu turėti papildomų, atimant matricų įgūdžius, taip pat reikia rasti veiksnius. Todėl, jei jūs tikrai nedarysite visa tai, ar ne, turėsite mokytis ir praktikuoti.
Kokia yra šio metodo esmė ir kaip padaryti linijinių korros lygčių sistemą? Viskas yra labai paprasta. Turime statyti matricą nuo linijinių algebrinių lygčių sistemos skaitmenų (praktiškai) koeficientų. Norėdami tai padaryti, mes tiesiog paimame skaičių priešais nežinomus ir įdėkite į lentelę į tvarką, nes jie įrašomi į sistemą. Jei yra ženklas "-" prieš numerį, tada parašykite neigiamą koeficientą. Taigi, mes atsiskaito pirmosios matricos koeficientų nežinomuose, neįskaitant numerių po lygybės požymių (yra natūralu, kad lygtis turi būti suteikta kanoninės formos, kai tik numeris yra dešinėje, ir kairėje - Visi nežinomi su koeficientais). Tada jums reikia padaryti keletą daugiau matricų - po vieną kiekvienam kintamui. Norėdami tai padaryti, pirmojoje matricoje pakeičiame kiekvieną stulpelį su koeficientų stulpeliu numerių po lygybės ženklo. Taigi mes gauname keletą matricų ir tada juos rasime lemiantys.
Po to, kai radome veiksnius, tai maža. Mes turime pradinę matricą ir yra keletas gautų matricų, kurios atitinka skirtingus kintamuosius. Norėdami gauti sistemos sprendimus, mes padalijame lentelės, gautos į pradinės lentelės veiksnio veiksmą. Gautas skaičius yra vienas iš kintamųjų. Panašiai mes visai nežinome.
Kiti metodai
Siekiant gauti linijinių lygčių sistemų sprendimus. Pavyzdžiui, vadinamasis "Gauss-Jordan" metodas, naudojamas kvadratinių lygčių sistemos sprendimams ir taip pat susijęs su matricų naudojimu. Taip pat yra "Jacobi" metodas linijinių algebrinių lygčių sistemai sprendimui. Visa tai yra pritaikyta kompiuteriui ir naudojamas skaičiavimuose.
Sudėtingi atvejai
Sudėtingumas paprastai atsiranda, jei lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Tada jūs tikrai galite pasakyti, kad arba sistema yra nesuprantama (tai yra, ji neturi šaknų), arba jo sprendimų suma yra linkusi į begalybę. Jei mes turime antrą atvejį - tada jums reikia užrašyti bendrą sprendimą linijinių lygčių sistemos. Jame bus bent vienas kintamasis.
Išvada
Taigi mes baigėme. Apibendėkime: mes išmontavome, kokią sistemą ir matricą išmokome rasti bendrą linijinių lygčių sistemos sprendimą. Be to, buvo peržiūrėtas kitas galimybes. Buvo išspręsta, kaip išspręstos linijinių lygčių sistema: "Gauss" metodas ir kalbėjo apie sudėtingus atvejus ir kitus būdus, kaip rasti sprendimus.
Tiesą sakant, ši tema yra daug platesnė, ir jei norite tai geriau suprasti, mes rekomenduojame jums skaityti daugiau specializuotos literatūros.
