Prieš pereinant prie Vietos teoremos, pateikiame apibrėžimą. Kvadratinė formos lygtis x² + px + q= 0 vadinama sumažinta. Šioje lygtyje pagrindinis koeficientas yra lygus vienetui. Pavyzdžiui, lygtis x² - 3 x- 4 = 0 sumažinama. Bet kuri kvadratinė formos lygtis kirvis² + b x + c= 0 galima sumažinti abi lygties puses padalijus iš A≠ 0. Pavyzdžiui, 4 lygtis x² + 4 x— 3 = 0, padalijus iš 4, redukuojama į formą: x² + x— 3/4 = 0. Išveskime duotosios šaknų formulę kvadratinė lygtis, tam naudojame bendrosios kvadratinės lygties šaknų formulę: kirvis² + bx + c = 0
Sumažinta lygtis x² + px + q= 0 sutampa su bendrąja lygtimi, kurioje A = 1, b = p, c = q. Todėl duotai kvadratinei lygčiai formulė yra tokia: 
paskutinė išraiška vadinama redukuotos kvadratinės lygties šaknų formule; šią formulę ypač patogu naudoti, kai R — lyginis skaičius. Pavyzdžiui, išspręskime lygtį x² – 14 x — 15 = 0
Atsakydami rašome, kad lygtis turi dvi šaknis.
Sumažintai kvadratinei lygčiai su teigiama galioja ši teorema.
Vietos teorema
Jeigu x 1 ir x 2 – lygties šaknys x² + px + q= 0, tada galioja formulės:
x 1 + x 2 = — R
x 1 * x 2 = q, tai yra redukuotos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.
Remdamiesi aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų formule, turime:
Sudėjus šias lygybes, gauname: x 1 + x 2 = —R.
Padauginę šias lygybes, naudodamiesi kvadratų skirtumo formule, gauname:
Atkreipkite dėmesį, kad Vietos teorema galioja ir tada, kai diskriminantas yra lygus nuliui, jei darysime prielaidą, kad šiuo atveju kvadratinė lygtis turi dvi identiškas šaknis: x 1 = x 2 = — R/2.
Nesprendžiant lygčių x² – 13 x+ 30 = 0 raskite jo šaknų sumą ir sandaugą x 1 ir x 2. šią lygtį D= 169 – 120 = 49 > 0, todėl galima taikyti Vietos teoremą: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius. Viena iš lygties šaknų x² — px- 12 = 0 yra lygus x 1 = 4. Rasti koeficientą R ir antroji šaknis x 2 šios lygties. Pagal Vietos teoremą x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Nes x 1 = 4, tada 4 x 2 = - 12, iš kur x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Atsakydami užrašome antrąją šaknį x 2 = - 3, koeficientas p = — 1.
Nesprendžiant lygčių x² + 2 x- 4 = 0 Raskime jo šaknų kvadratų sumą. Leisti x 1 ir x 2 – lygties šaknys. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Nes x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 tada x 1²+ x 2² = (- 2)² -2 (- 4) = 12.
Raskime 3 lygties šaknų sumą ir sandaugą x² + 4 x- 5 = 0. Ši lygtis turi dvi skirtingas šaknis, nes diskriminantas D= 16 + 4*3*5 > 0. Norėdami išspręsti lygtį, naudojame Vietos teoremą. Ši teorema buvo įrodyta duotai kvadratinei lygčiai. Taigi šią lygtį padalinkime iš 3.
Todėl šaknų suma lygi -4/3, o jų sandauga lygi -5/3.
Apskritai lygties šaknys kirvis² + b x + c= 0 yra susiję su tokiomis lygybėmis: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Norint gauti šias formules, pakanka padalyti abi šios kvadratinės lygties puses iš A ≠ 0 ir gautai sumažintai kvadratinei lygčiai pritaikyti Vietos teoremą. Panagrinėkime pavyzdį: reikia sukurti sumažintą kvadratinę lygtį, kurios šaknys x 1 = 3, x 2 = 4. Nes x 1 = 3, x 2 = 4 - kvadratinės lygties šaknys x² + px + q= 0, tada pagal Vietos teoremą R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Atsakymą rašome kaip x² – 7 x+ 12 = 0. Sprendžiant kai kuriuos uždavinius, naudojama tokia teorema.
Teorema priešinga Vietos teoremai
Jei skaičiai R, q, x 1 , x 2 yra tokie x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Tai x 1 Ir x 2- lygties šaknys x² + px + q= 0. Pakeiskite į kairę pusę x² + px + q vietoj R išraiška - ( x 1 + x 2), ir vietoj to q- darbas x 1 * x 2 . Mes gauname: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Taigi, jei skaičiai R, q, x 1 ir x 2 yra sujungti šiais santykiais, tada visiems X galioja lygybė x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), iš kurio išplaukia, kad x 1 ir x 2 – lygties šaknys x² + px + q= 0. Naudodami teoremą, atvirkštinę Vietos teoremai, kartais galite rasti kvadratinės lygties šaknis pasirinkdami. Pažiūrėkime į pavyzdį, x² – 5 x+ 6 = 0. Čia R = — 5, q= 6. Pasirinkime du skaičius x 1 ir x 2 taip x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Pastebėję, kad 6 = 2 * 3 ir 2 + 3 = 5, teorema atvirkštine Vietos teoremai, gauname, kad x 1 = 2, x 2 = 3 – lygties šaknys x² – 5 x + 6 = 0.
Vietos teoremos kvadratinėms lygtims formulavimas ir įrodymas. Vietos atvirkštinė teorema. Vietos teorema kubinėms lygtims ir savavališkos eilės lygtims.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Kvadratinės lygties šaknys
Kvadratinės lygtys
Vietos teorema
Pažymime ir redukuotos kvadratinės lygties šaknis
(1)
.
Tada šaknų suma yra lygi koeficientui , paimtam su priešingu ženklu. Šaknų sandauga lygi laisvam terminui:
;
.
Pastaba apie kelias šaknis
Jei (1) lygties diskriminantas yra nulis, tada ši lygtis turi vieną šaknį. Tačiau siekiant išvengti sudėtingų formuluočių, visuotinai pripažįstama, kad šiuo atveju (1) lygtis turi dvi daugybines arba lygias šaknis:
.
Įrodymas vienas
Raskime (1) lygties šaknis. Norėdami tai padaryti, taikykite kvadratinės lygties šaknų formulę:
;
;
.
Raskite šaknų sumą:
.
Norėdami rasti produktą, naudokite formulę:
.
Tada
.
Teorema įrodyta.
Įrodymas du
Jei skaičiai yra kvadratinės lygties (1) šaknys, tada
.
Skliaustų atidarymas.
.
Taigi (1) lygtis bus tokia:
.
Palyginus su (1), randame:
;
.
Teorema įrodyta.
Vietos atvirkštinė teorema
Tegul būna savavališki skaičiai. Tada ir yra kvadratinės lygties šaknys
,
Kur
(2)
;
(3)
.
Vietos atvirkštinės teoremos įrodymas
Apsvarstykite kvadratinę lygtį
(1)
.
Turime įrodyti, kad jei ir , tada ir yra lygties (1) šaknys.
Pakeiskime (2) ir (3) į (1):
.
Sugrupuojame terminus kairėje lygties pusėje:
;
;
(4)
.
Pakeiskime (4):
;
.
Pakeiskime (4):
;
.
Lygtis galioja. Tai yra, skaičius yra (1) lygties šaknis.
Teorema įrodyta.
Vietos teorema pilnai kvadratinei lygčiai
Dabar apsvarstykite visą kvadratinę lygtį
(5)
,
kur , ir yra keletas skaičių. Be to.
Padalinkime lygtį (5) iš:
.
Tai yra, mes gavome pateiktą lygtį
,
Kur; .
Tada Vietos teorema pilnai kvadratinei lygčiai turi tokią formą.
Pažymime ir visos kvadratinės lygties šaknis
.
Tada šaknų suma ir sandauga nustatomos pagal formules:
;
.
Vietos teorema kubinei lygčiai
Panašiu būdu galime nustatyti ryšius tarp kubinės lygties šaknų. Apsvarstykite kubinę lygtį
(6)
,
kur , , , yra keletas skaičių. Be to.
Padalinkime šią lygtį iš:
(7)
,
Kur, ,.
Tegul , , yra (7) lygties (ir (6)) šaknys. Tada
.
Palyginus su (7) lygtimi, gauname:
;
;
.
Vietos teorema n laipsnio lygčiai
Lygiai taip pat galite rasti sąsajų tarp šaknų , , ... , , for n-osios lygtys laipsnių
.
Vietos teorema lygčiai n-asis laipsnis turi tokią formą:
;
;
;
.
Norėdami gauti šias formules, parašome lygtį taip:
.
Tada sulyginame , , , ... koeficientus ir lyginame laisvąjį terminą.
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
CM. Nikolskis, M.K. Potapov ir kt., Algebra: vadovėlis 8 klasei švietimo įstaigų, Maskva, Švietimas, 2006 m.
Nagrinėjant antros eilės lygčių sprendimo būdus mokykliniame algebros kurse, atsižvelgiama į gautų šaknų savybes. Šiuo metu jie žinomi kaip Vietos teorema. Jo naudojimo pavyzdžiai pateikiami šiame straipsnyje.
Kvadratinė lygtis
Antrosios eilės lygtis yra lygybė, parodyta toliau esančioje nuotraukoje.
Čia simboliai a, b, c yra kai kurie skaičiai, vadinami nagrinėjamos lygties koeficientais. Norėdami išspręsti lygybę, turite rasti x reikšmes, kurios paverčia ją tiesa.
Atkreipkite dėmesį, kad nuo maksimali vertė galia, į kurią pakeliama x, lygi dviem, tada šaknų skaičius bendruoju atveju taip pat lygus dviem.
Yra keletas būdų, kaip išspręsti tokio tipo lygybes. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime vieną iš jų, kuris apima vadinamosios Vietos teoremos naudojimą.
Vietos teoremos formulavimas
XVI amžiaus pabaigoje žymus matematikas Francois Viète (prancūzas), analizuodamas įvairių kvadratinių lygčių šaknų savybes, pastebėjo, kad tam tikros jų kombinacijos tenkina konkrečius ryšius. Visų pirma, šie deriniai yra jų sandauga ir suma.
Vietos teorema nustato taip: kvadratinės lygties šaknys, susumavus, pateikia tiesinių ir kvadratinių koeficientų, paimtų priešingu ženklu, santykį, o juos padauginus gaunamas laisvojo nario ir kvadratinio koeficiento santykis. .
Jeigu bendra forma lygtis parašyta taip, kaip parodyta ankstesnėje straipsnio dalyje esančioje nuotraukoje, tada matematiškai šią teoremą galima parašyti dviejų lygybių forma:
- r2 + r1 = -b/a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Kur r 1, r 2 yra nagrinėjamos lygties šaknų reikšmė.
Aukščiau pateiktos dvi lygybės gali būti naudojamos sprendžiant daugybę skirtingų matematinių problemų. Vietos teoremos panaudojimas pavyzdžiuose su sprendiniais pateikiamas tolesniuose straipsnio skyriuose.
Tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų, be šaknies formulių, yra ir kitų naudingų ryšių, kurie pateikiami Vietos teorema. Šiame straipsnyje pateiksime kvadratinės lygties Vietos teoremos formuluotę ir įrodymą. Toliau svarstome, kad teorema yra atvirkštinė Vietos teoremai. Po to analizuosime tipiškiausių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai užrašome Vietos formules, kurios apibrėžia ryšį tarp tikrųjų šaknų algebrinė lygtis n laipsnis ir jo koeficientai.
Puslapio naršymas.
Vietos teorema, formuluotė, įrodymas
Iš formos kvadratinės lygties a·x 2 +b·x+c=0, kur D=b 2 −4·a·c, šaknų formulių išplaukia tokie ryšiai: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Šie rezultatai patvirtinami Vietos teorema:
Teorema.
Jeigu x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 šaknys, tada šaknų suma lygi koeficientų b ir a santykiui, paimtam su priešingu ženklu, ir sandauga šaknys yra lygios koeficientų c ir a santykiui, tai yra.
Įrodymas.
Vietos teoremos įrodymą atliksime pagal tokią schemą: kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą sudarome naudodami žinomas šaknies formules, tada gautas išraiškas transformuojame ir įsitikiname, kad jos lygios −b/ a ir c/a atitinkamai.
Pradėkime nuo šaknų sumos ir ją sudarykime. Dabar sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį, turime . Gautos trupmenos skaitiklyje, po kurio:. Galiausiai, po 2, mes gauname . Tai įrodo pirmąjį Vietos teoremos ryšį su kvadratinės lygties šaknų suma. Pereikime prie antrojo.
Sudarome kvadratinės lygties šaknų sandaugą: . Pagal trupmenų dauginimo taisyklę paskutinė sandauga gali būti užrašoma kaip . Dabar skaitiklyje skliaustą padauginame iš skliausto, bet greičiau šį produktą sutraukti kvadratinio skirtumo formulė, Taigi. Tada, prisimindami, atliekame kitą perėjimą. O kadangi kvadratinės lygties diskriminantas atitinka formulę D=b 2 −4·a·c, tai vietoje D paskutinėje trupmenoje galime pakeisti b 2 −4·a·c, gauname. Atidarę skliaustus ir atvedę panašius terminus, gauname trupmeną , o jos sumažinimas 4·a suteikia . Tai įrodo antrąjį Vietos teoremos santykį su šaknų sandauga.
Jei paaiškinimų praleisime, Vietos teoremos įrodymas bus lakoniškas:
,
.
Belieka tik pažymėti, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Tačiau jei darysime prielaidą, kad šiuo atveju lygtis turi dvi identiškas šaknis, tada galioja ir Vietos teoremos lygybės. Iš tiesų, kai D=0 kvadratinės lygties šaknis yra lygi , tada ir , o kadangi D=0, tai yra b 2 −4·a·c=0, iš kur b 2 =4·a·c, tada .
Praktikoje Vietos teorema dažniausiai naudojama redukuotos kvadratinės lygties (su pirmaujančiu koeficientu a lygiu 1) atžvilgiu, kurios forma x 2 +p·x+q=0. Kartais jis suformuluojamas tik tokio tipo kvadratinėms lygtims, o tai neriboja bendrumo, nes bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi, padalijus abi puses iš nulinio skaičiaus a. Pateikiame atitinkamą Vietos teoremos formuluotę:
Teorema.
Sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknų suma lygi x koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui, tai yra x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.
Teorema priešinga Vietos teoremai
Antroji Vietos teoremos formuluotė, pateikta ankstesnėje pastraipoje, rodo, kad jei x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys, tada santykiai x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Kita vertus, iš užrašytų ryšių x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q išplaukia, kad x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. Kitaip tariant, atvirkštinė Vietos teorema yra teisinga. Suformuluokime tai teoremos forma ir įrodykime.
Teorema.
Jei skaičiai x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 +x 2 =−p ir x 1 · x 2 =q, tai x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p · x+q šaknys. =0.
Įrodymas.
Lygtyje x 2 +p·x+q=0 pakeitus koeficientus p ir q jų išraiškomis per x 1 ir x 2, ji paverčiama lygiaverte lygtimi.
Pakeiskime skaičių x 1 vietoj x gautoje lygtyje ir gausime lygybę x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, kuri bet kuriam x 1 ir x 2 reiškia teisingą skaitinę lygybę 0=0, nes x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 · x 2 =0. Todėl x 1 yra lygties šaknis x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, o tai reiškia, kad x 1 yra lygiavertės lygties x 2 šaknis +p·x+q=0.
Jei lygtyje x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 vietoj x pakeičiant skaičių x 2, gauname lygybę x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Tai tikra lygybė, nes x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 · x 2 −x 2 2 +x 1 · x 2 =0. Todėl x 2 taip pat yra lygties šaknis x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, todėl lygtys x 2 +p·x+q=0.
Tai užbaigia teoremos, priešingos Vietos teoremai, įrodymą.
Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai
Atėjo laikas pakalbėti apie Vietos teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinį taikymą. Šiame skyriuje analizuosime kelių tipiškiausių pavyzdžių sprendimus.
Pradėkime taikydami atvirkštinę teoremą Vietos teoremai. Patogu naudoti norint patikrinti, ar du skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tokiu atveju apskaičiuojama jų suma ir skirtumas, po to tikrinamas ryšių pagrįstumas. Jei tenkinami abu šie ryšiai, tai remiantis teorema, priešinga Vietos teoremai, daroma išvada, kad šie skaičiai yra lygties šaknys. Jei bent vienas iš santykių netenkinamas, tai šie skaičiai nėra kvadratinės lygties šaknys. Šis metodas gali būti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis, kad būtų patikrintos rastos šaknys.
Pavyzdys.
Kuri iš skaičių porų 1) x 1 =−5, x 2 =3 arba 2) arba 3) yra kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 šaknų pora?
Sprendimas.
Duotos kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 koeficientai yra a=4, b=−16, c=9. Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi −b/a, tai yra 16/4=4, o šaknų sandauga turi būti lygi c/a, tai yra 9 /4.
Dabar apskaičiuokime skaičių sumą ir sandaugą kiekvienoje iš trijų nurodytų porų ir palyginkime jas su ką tik gautomis reikšmėmis.
Pirmuoju atveju turime x 1 +x 2 =−5+3=−2. Gauta reikšmė skiriasi nuo 4, todėl tolesnio patikrinimo atlikti negalima, tačiau naudojant Vietos teoremai atvirkštinę teoremą, galima iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra duotosios kvadratinės lygties šaknų pora.
Pereikime prie antrojo atvejo. Čia, tai yra, įvykdyta pirmoji sąlyga. Mes patikriname antrąją sąlygą: gauta vertė skiriasi nuo 9/4. Vadinasi, antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknų pora.
Liko paskutinis atvejis. Čia ir. Tenkinamos abi sąlygos, todėl šie skaičiai x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.
Atsakymas:
Vietos teoremos atvirkštinis variantas gali būti naudojamas praktiškai norint rasti kvadratinės lygties šaknis. Paprastai parenkamos sveikosios duotųjų kvadratinių lygčių šaknys su sveikaisiais koeficientais, nes kitais atvejais tai padaryti gana sunku. Šiuo atveju jie naudojasi tuo, kad jei dviejų skaičių suma yra lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga yra lygi laisvajam nariui, tada šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys. Supraskime tai pavyzdžiu.
Paimkime kvadratinę lygtį x 2 −5 x+6=0. Kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų šios lygties šaknys, turi būti tenkinamos dvi lygybės: x 1 + x 2 =5 ir x 1 · x 2 =6. Belieka pasirinkti tokius skaičius. IN tokiu atveju tai padaryti gana paprasta: tokie skaičiai yra 2 ir 3, nes 2+3=5 ir 2·3=6. Taigi 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.
Vietos teoremai atvirkštinę teoremą ypač patogu naudoti norint rasti antrąją duotosios kvadratinės lygties šaknį, kai viena iš šaknų jau žinoma arba akivaizdi. Šiuo atveju antrąją šaknį galima rasti iš bet kurio ryšio.
Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 512 x 2 −509 x −3=0. Čia nesunku pastebėti, kad lygties šaknis yra vienybė, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi x 1 = 1. Antrąją šaknį x 2 galima rasti, pavyzdžiui, iš santykio x 1 ·x 2 =c/a. Turime 1 x 2 = −3/512, iš kurių x 2 = −3/512. Taip nustatėme abi kvadratinės lygties šaknis: 1 ir −3/512.
Aišku, kad šaknis rinktis patartina tik pačiais paprasčiausiais atvejais. Kitais atvejais, norėdami rasti šaknis, galite naudoti kvadratinės lygties šaknų formules per diskriminantą.
Kitas praktinis naudojimas Teorema, priešinga Vietos teoremai, susideda iš kvadratinių lygčių sudarymo, atsižvelgiant į šaknis x 1 ir x 2. Tam pakanka apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia x koeficientą su priešingu duotosios kvadratinės lygties ženklu, ir šaknų sandaugą, kuri suteikia laisvąjį terminą.
Pavyzdys.
Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra −11 ir 23.
Sprendimas.
Pažymėkime x 1 =−11 ir x 2 =23. Apskaičiuojame šių skaičių sumą ir sandaugą: x 1 +x 2 =12 ir x 1 ·x 2 =−253. Todėl nurodyti skaičiai yra sumažintos kvadratinės lygties šaknys, kurių antrasis koeficientas yra –12 ir laisvas terminas –253. Tai reiškia, kad x 2 −12·x−253=0 yra reikalinga lygtis.
Atsakymas:
x 2 −12·x−253=0 .
Vietos teorema labai dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Kaip Vietos teorema susijusi su redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p·x+q=0 šaknų ženklais? Štai du svarbūs teiginiai:
- Jei kirtis q yra teigiamas skaičius ir jei kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tada jos abi yra teigiamos arba abi neigiamos.
- Jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tai jų ženklai yra skirtingi, kitaip tariant, viena šaknis yra teigiama, o kita – neigiama.
Šie teiginiai išplaukia iš formulės x 1 · x 2 =q, taip pat iš teigiamų, neigiamų skaičių ir skaičių su skirtingais ženklais dauginimo taisyklių. Pažvelkime į jų taikymo pavyzdžius.
Pavyzdys.
R tai teigiama. Naudodami diskriminantinę formulę randame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, raiškos r 2 +8 reikšmę. yra teigiamas bet kuriam realiam r, taigi D>0 bet kuriam realiam r. Taigi pradinė kvadratinė lygtis turi dvi šaknis bet kurioms tikrosioms parametro r reikšmėms.
Dabar išsiaiškinkime, kada yra šaknys skirtingi ženklai. Jei šaknų ženklai yra skirtingi, tai jų sandauga yra neigiama, o pagal Vietos teoremą redukuotos kvadratinės lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Todėl mus domina tos r reikšmės, kurių laisvasis terminas r−1 yra neigiamas. Taigi, norėdami rasti mus dominančias r vertes, mums reikia nuspręsti tiesinė nelygybė r−1<0 , откуда находим r<1 .
Atsakymas:
adresu r<1 .
Vietos formulės
Aukščiau kalbėjome apie Vietos teoremą kvadratinei lygčiai ir išanalizavome jos teigiamus ryšius. Tačiau yra formulių, jungiančių tikrąsias šaknis ir koeficientus ne tik kvadratinių lygčių, bet ir kubinių lygčių, ketvirto laipsnio lygčių ir apskritai, algebrines lygtis laipsnis n. Jie vadinami Vietos formulės.
Parašykime Vietos formulę formos n laipsnio algebrinei lygčiai ir manysime, kad ji turi n realių šaknų x 1, x 2, ..., x n (tarp jų gali būti ir sutampančių): 
Vietos formules galima gauti teorema apie daugianario skaidymą į tiesinius veiksnius, taip pat lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę. Taigi daugianomas ir jo plėtimas į formos tiesinius veiksnius yra lygūs. Atidarę skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginę atitinkamus koeficientus, gauname Vietos formules.
Visų pirma, n = 2, turime jau pažįstamas kvadratinės lygties Vieta formules.
Kubinei lygčiai Vietos formulės turi formą 
Belieka tik pastebėti, kad kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamosios elementarios simetriniai daugianariai.
Bibliografija.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 val.1 dalis.Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; Redaguota A. B. Žižčenka. – 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-022771-1.
