Dodatak i oduzimanje stupnjeva

Očito, brojevi s stupnjevima mogu biti točne kao i druge vrijednosti dodajući ih jedan za drugim svojim znakovima.

Dakle, zbroj A 3 i B2 je 3 + b2.
Zbroj 3 - B N i H 5-D4 je 3-B N + H5 - D4.

Čimbenici identični stupnjevi istih varijabli Može biti dizajniran ili odbijen.

Prema tome, količina 2a 2 i 3a2 je 5a2.

Također je očito da ako uzmete dva kvadrata, ili tri kvadrata a ili pet kvadrata a.

Ali stupnjeva različite varijable i razni stupnjevi identične varijablemora biti njihov dodatak svojim znakovima.

Dakle, zbroj A 2 i 3 je zbroj A2 + A 3.

Očito je da je kvadrat broja a i kocke broja a, nije jednak dvostrukom kvadratu a, ali dvostruka kuba a.

Iznos A 3 B N i 3A 5 B6 je 3 B N + 3A 5 B6.

Oduzimanje Stupnjevi se provode na isti način kao dodatak, osim što se znakovi oduzimanja moraju mijenjati u skladu s tim.

Ili:
2A4 - (-6a 4) \u003d 8A 4
3H 2 B6 - 4H2B6 \u003d -H2B6
5 (a - H) 6-2 (a-h) 6 \u003d 3 (a - h) 6

Množenja stupnjeva

Brojevi s stupnjevima mogu se pomnožiti s drugim vrijednostima pisanjem njih jedan za drugim, s znakom umnožavanja ili bez njega između njih.

Dakle, rezultat množenja 3 na B2 je 3 b2 ili Aaabba.

Ili:
x -3 ⋅ m \u003d m x -3
3A 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 B3 Y 2 ⋅ A 3 B2 Y \u003d A2B3 Y 2 A 3 B 2 Y

Rezultat u potonjem primjeru može se naručiti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će se uzeti u obliku: a 5 b5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijable) s stupnjevima, možemo vidjeti da ako se dvije od njih množe, rezultat je broj (varijabla) s stupnjem jednakim iznos Stupnjevi pojmova.

Dakle, 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Ovdje 5 je stupanj rezultata množenja, jednak 2 + 3, zbroj stupnjeva komponenti.

Dakle, n .a m \u003d m + n.

Za n, a se uzima kao množitelj onoliko puta kao stupanj n;

I m, uzima kao multiplikator onoliko puta kao stupanj m;

Stoga, stupnjevi s istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem stupnjeva.

Tako, 2 .a 6 \u003d 2 + 6 \u003d A 8. I X3 .x 2 .x \u003d X 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Ili:
4A n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b6 y 4
(B + H - Y) n ⋅ (B + H - Y) \u003d (B + H - Y) N + 1

Pomnožite (X 3 + X2 Y + XY 2 + Y 3) ⋅ (X - Y).
Odgovor: X 4 - Y 4.
Pomnožite (x 3 + X - 5) ⋅ (2x 3 + X + 1).

Ovo pravilo vrijedi za brojeve, čiji stupanj - negativan.

1. tako, a -2 .a -3 \u003d a -5. To se može napisati u obliku (1 / aa). (1 / AAA) \u003d 1 / aaaaa.

2. y -n .y -m \u003d y -n-m.

3. -N .a m \u003d m-n.

Ako se A + B pomnoži A - B, rezultat će biti jednak 2 - b2: to jest

Rezultat umnožavanja količine ili razlike od dva broja jednaka je zbroj ili razlika njihovih kvadrata.

Ako se iznos umnoži i razlika dva broja podignuta kvadrat, rezultat će biti jednak količini ili razlici tih brojeva u Četvrta stupanj.

Dakle, (a - y). (A + y) \u003d 2 - y 2.
(2 - 2) ⋅ (a 2 + Y2) \u003d 4 - y 4.
(4 - Y4) ⋅ (4 + Y4) \u003d 8 - y 8.

Stupnjevi odluka

Brojevi s stupnjevima mogu se podijeliti, kao i drugi brojevi, uzimajući podijeljenog razdjelnika ili plasman u obliku frakcije.

Tako je 3 b2 podijeljena s B2, jednaka 3.

Snimanje 5 podijeljen s 3 izgleda kao $ frac $. Ali to je jednako 2. U brojnim brojevima
a +4, A +3, A +2, A +1, A 0, A -1, A -2, A -3, A -4.
bilo koji broj se može podijeliti u drugi, a stupanj će biti jednak razlika Pokazatelji djeljivih brojeva.

Kada se dijeli stupnjevi s istom bazom, njihovi se pokazatelji oduzimaju..

Dakle, y3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. To jest, $ frac \u003d y $.

I N + l: a \u003d N + 1-1 \u003d a n. To jest, $ frac \u003d a ^ n $.

Ili:
y 2m: y m \u003d y m
8A N + m: 4A m \u003d 2A n
12 (B + Y) N: 3 (B + Y) 3 \u003d 4 (B + Y) N-3

Pravilo je također pošteno i za brojeve negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat podjele A -5 na a -3 je jednak a -2.
Također, fracs \u003d frac. \\ T

h2: H -1 \u003d H2 + 1 \u003d H3 ili $ H ^ 2: Frac \u003d H ^ 2. Frac \u003d H ^ $ 3

Potrebno je vrlo dobro asimilirati množenje i podjelu stupnjeva, jer se takvi operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera s frakcijama koje sadrže brojeve s stupnjevima

1. Smanjite stupnjeve u $ Frac $ Odgovori: $ Frac $.

2. Smanjite stupnjeve u $ Frac $. Odgovor: $ frac $ ili 2x.

3. Smanjite stupnjeve 2/1 i 3 i 3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
2 .A -4 je prvo -2 prvi broj.
a 3 .a -3 je 0 \u003d 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je -1, zajednički broj.
Nakon pojednostavljenja: a -2 / a -1 i 1 / a -1.

4. Smanjite pokazatelje stupnjeva 2A 4/5a 3 i 2 / a 4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
Odgovor: 2a 3/5a 7 i 5a 5/5a 7 ili 2a 3/5a 2 i 5 / 5A2.

5. Pomnožite (3 + b) / B4 na (A-B) / 3.

6. Pomnožite (5 + 1) / x 2 na (B2 - 1) / (X + a).

7. Pomnožite B4 / A -2 na H -3 / X i N / Y -3.

8. Podijelite 4/2 na 3/22. Odgovor: A / Y.

Svojstva stupnja

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijete svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima i nulom. Stupnjevi s racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima razmatrat će se u lekcijama za 8 razreda.

Omjer s prirodnim indikatorom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućuju da pojednostavite izračune u primjerima s stupnjevima.

Broj imovine broj 1.
Rad stupnjeva

Kada se umnožavaju stupnjevi s istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a pokazatelji stupnjeva su presavijeni.

m · A N \u003d M + N, gdje je "A" bilo koji broj, i "m", "N" - bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo stupnjeva također djeluje na radu tri i više stupnjeva.

• Pojednostaviti izraz.
  b · b2 · b3 · b 4 · b5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
• Predstavljaju u obliku stupnja.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 \u003d 6 15 15 · 6 \u003d 6 17 17
• Predstavljaju u obliku stupnja.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 \u003d (0.8) 3 + 12 \u003d (0.8) 15

Imajte na umu da je u određenoj imovini bilo samo o umnožavanju stupnjeva s istim bazama. , Ne primjenjuje se na njihov dodatak.

Nemoguće je zamijeniti količinu (3 3 + 3 2) do 3 5. Ovo je razumljivo ako
izračunajte (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, A 3 5 \u003d 243

Broj nekretnina 2.
Privatni stupanj

Pri dijeljenju stupnjeva s istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a od indikatora podjele odbitak stupnja razdjelnika.

• Pišite privatni u obliku stupnja
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Izračunati.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Primjer. Riješite jednadžbu. Koristimo svojstvo privatnih stupnjeva.
3 8: t \u003d 3 4

Odgovor: t \u003d 3 4 \u003d 81

Korištenje svojstvima br. 1 i br. 2, možete jednostavno pojednostaviti izraze i napraviti izračune.

Primjer. Pojednostaviti izraz.
4 5M + 6 · 4 m + 2: 4 m + 3 \u003d 4 5M + 6 + m + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza pomoću svojstava stupnjeva.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Imajte na umu da je u imovini 2 bila samo o dijeljenju stupnjeva s istim bazama.

Nemoguće je zamijeniti razliku (4 3 -42) do 4 1. To je razumljivo ako izračunate (4 3 -42) \u003d (64 - 16) \u003d 48, a 4 1 \u003d 4

Nekretnine broj 3.
Uspravan

Prilikom podizanja stupnja do stupnja, temelj ostaje nepromijenjen, a pokazatelji stupnjeva su varijabilni.

(a n) m \u003d n · m, gdje je "a" bilo koji broj, i "m", "n" - bilo koji prirodni brojevi.

Podsjećamo vas da se privatni mogu biti zastupljeni kao frakcija. Stoga ćemo na temu više detaljnije usredotočiti na sljedeću stranicu.

Kako razmnožiti stupnjeve

Kako pomnožiti stupanj? Koje se stupnjevi mogu pomnožiti, a što nije? Kako pomnožiti stupanj?

U algebri da pronađe proizvod stupnjeva u dva slučaja:

1) ako stupnjevi imaju iste baze;

2) ako stupnjevi imaju iste pokazatelje.

Prilikom umnožavanja stupnjeva s istim bazama, potrebno je napustiti bazu za isto, a pokazatelji su presavijeni:

Prilikom umnožavanja stupnjeva s istim pokazateljima, može doći ukupni indikator zašije:

Razmislite o tome kako pomnožiti stupnjeve na određene primjere.

Uređaj nije napisan u indikatoru, ali kada umnožavanje stupnjeva - uzeti u obzir:

Kada se umnožava, broj stupnjeva može biti bilo koji. Treba pamtiti da pred znakom slova ne može pisati:

U izrazima se prvo izvodi izgradnja opseg.

Ako je broj potreban da se umnožava u stupanj, prvo morate biti podignuti u stupanj, a tek kasnije - množenje:

Umnožavanje stupnjeva s istim bazama

Ovaj video tutorial dostupan je na pretplati

Imate li već pretplatu? Ući

U ovoj lekciji proučavat ćemo množenje stupnjeva s istim bazama. Prvo, sjetimo se stupnja stupnja i formulirati teorem kapitala kapitala , Tada ćemo dati primjere njegove uporabe na određenim brojevima i dokazati to. Primjenjujemo i teoremu kako bismo riješili različite zadatke.

Tema: stupanj s prirodnim pokazateljem i njegovim svojstvima

Lekcija: umnožavanje stupnjeva s istim bazama (formula)

1. Osnovne definicije

Glavne definicije:

n. - indikator,

— n.Stupanj datuma.

2. tekst teorema 1

Teorem 1. Za bilo koji broj ali i bilo koji prirodni n. i k. Jednakost je istina:

Drugačiji: ako ali - bilo koji broj; n. i k. Prirodni brojevi, zatim:

Stoga pravilo 1:

3. Objasni zadaci

Izlaz: Privatni slučajevi potvrdili su ispravnost teorema br. 1. Dokazivamo to u općem slučaju, to jest, za bilo koji ali i bilo koji prirodni n. i k.

4. Dokaz o teoremi 1

Dano broj ali - bilo tko; brojevi n. i k - Prirodno. Dokazati

Dokaz se temelji na određivanju stupnja.

5. Rješenje primjera s teoremom 1

Primjer 1: Zamislite u obliku stupnja.

Da bismo riješili sljedeće primjere, koristimo teoremu 1.

g

6. Generalizacija teorema 1

Ovdje se ovdje koristi generalizacija:

7. Rješenje primjera uz pomoć generalizacije teorema 1

8. rješenje različitih zadataka pomoću teorema 1

Primjer 2: Izračunajte (možete koristiti košaru glavnih stupnjeva).

ali) (na stolu)

b

Primjer 3: Zapišite u obliku stupnja s bazom 2.

ali)

Primjer 4: Odredite znak broja:

, ali - Negativno, budući da je pokazatelj na -13 neparan.

Primjer 5: Zamijenite (·) stupanj broja s bazom r:

Imamo, to jest.

9. Zbir

1. Dorofeyev G.V., Suvorova s.b., baynovich e.a. I drugi. Algebra 7. 6 izdanje. M.: Prosvjetljenje. 2010

1. Školski pomoćnik (izvor).

1. Zamislite u obliku stupnja:

a B C D E)

3. Zapišite u obliku stupnja s bazom 2:

4. Odredite broj:

ali)

5. Zamijenite (·) stupanj broja s bazom r:

a) R4 · (·) \u003d R15; b) (·) · R5 \u003d R6

Umnožavanje i podjela stupnjeva s istim pokazateljima

U ovoj lekciji proučit ćemo množenje stupnjeva s istim pokazateljima. Prvo, prisjetimo se osnovnih definicija i teoreme na umnožavanju i dijeljenju stupnjeva s istim bazama i podignite stupanj do stupnja. Tada ćemo formulirati i dokazati teoremu na umnožavanju i dijeljenju stupnjeva s istim pokazateljima. A onda uz njihovu pomoć, odlučujemo niz tipičnih zadataka.

Podsjetnik osnovne definicije i teoremi

Ovdje a. - temelj stupnja

— n.Stupanj datuma.

Teorem 1. Za bilo koji broj ali i bilo koji prirodni n. i k. Jednakost je istina:

Prilikom umnožavanja stupnjeva s istim bazama, pokazatelji su presavijeni, baza ostaje nepromijenjena.

Teorem 2. Za bilo koji broj ali i bilo koji prirodni n. i k, tako da n. > k. Jednakost je istina:

Kada se dijeli stupnjevi s istim bazama, pokazatelji su poderani, a baza ostaje nepromijenjena.

Teorem 3. Za bilo koji broj ali i bilo koji prirodni n. i k. Jednakost je istina:

Svi navedeni teoremi su bili o stupnjevima s istim bazena, u ovoj lekciji će se smatrati stupnjevima s istim indikatori.

Primjeri za umnožavanje stupnjeva s istim pokazateljima

Razmotrite sljedeće primjere:

Izrežite izraze kako biste odredili stupanj.

Izlaz: Iz primjera to možete vidjeti Ali još uvijek treba dokazati. Formuliramo teorema i dokazujemo ga u općem slučaju, to jest, za bilo koji ali i b. i bilo koji prirodni n.

Tekst i dokaz teorema 4

Za sve brojeve ali i b. i bilo koji prirodni n. Jednakost je istina:

Dokaz Teoremi 4. .

Po definiciji stupnja:

Tako smo to dokazali .

Kako bi se pomnožili stupnjevi s istim pokazateljima, dovoljno je umnožiti baze, a indikator stupnja je nepromijenjen.

Tekst i dokaz teorema 5

Formuliramo teoremu za dijeljenje stupnjeva s istim pokazateljima.

Za bilo koji broj ali i b () i bilo koji prirodni n. Jednakost je istina:

Dokaz Teoremi 5. .

Bolesno i po definiciji stupnja:

Tekst teorema riječi

Dakle, to smo dokazali.

Da bi se međusobno podijelili s istim pokazateljima, dovoljno je podijeliti jednu bazu na drugu, a pokazatelj stupnja je nepromijenjen.

Rješenje tipičnih zadataka pomoću teorema 4

Primjer 1: Prisutni u obliku komada stupnjeva.

Da bismo riješili sljedeće primjere, koristimo teoremu 4.

Da bismo riješili sljedeći primjer, prisjetimo se formule:

Generalizacija teorema 4.

Generalizacija teorema 4:

Rješenje primjera uz pomoć generalizirane teorema 4

Nastavak rješavanja tipičnih zadataka

Primjer 2: Zapišite u obliku stupnja rada.

Primjer 3: Zapišite u obliku stupnja s indikatorom 2.

Primjeri za izračun

Primjer 4: Izračunati najracionalniji način.

2. Merzlyak A.G., Polonnsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. m .: Ventana graf

3. Kolyagin Yu.m., Tkachev M.V., Fedorova N.E. i drugi. Algebra 7.m.: Prosvjetljenje. 2006

2. Školski pomoćnik (izvor).

1. Prisutan u obliku rada stupnjeva:

ali); b); in); d);

2. Zabilježite rad kao stupanj:

3. Zapišite u obliku stupnja s indikatorom 2:

4. Izračunajte najracionalniji način.

Matematika lekcija na temu "umnožavanje i podjela stupnjeva"

Odjeljci: Matematika

Pedagoški cilj:

učenik će učiti razlikovati svojstva umnožavanja i podjele stupnjeva s prirodnim indikatorom; primijeniti ta svojstva u slučaju identičnih baza;

učenik će dobiti priliku Biti u stanju transformirati stupnjeve s različitim bazama i biti u mogućnosti obavljati transformacije u kombiniranim zadacima.

Zadatke:

organizirati rad studenata ponavljanjem prethodno ispitivanog materijala;

osigurajte razinu reprodukcije izvođenjem vježbi različitih vrsta;

organizirajte provjeru samoprocjene studenata testiranjem.

Jedinice aktivnosti vježbi: Određivanje prirodnog pokazatelja; Komponente stupnjeva; Definicija privatnog; Kombinirani zakon umnožavanja.

I. Organizacija demonstracija svladavanja znanja učenika. (korak 1)

a) aktualizacija znanja:

2) formulirati određivanje stupnja s prirodnim indikatorom.

a n \u003d a a a ... A (n Times)

b k \u003d b b b b a ... b (k puta) opravdati odgovor.

Ii. Organizacija samopregleda obučenog stupnja vlasništva nad sadašnjem iskustvu. (korak 2)

Test za samopouzdanje: (individualni rad u dvije verzije.)

A1) Pripremite komad od 7 7 7 7 x x x u obliku stupnja:

A2) prisutan u obliku proizvoda (-3) 3 x 2

A3) Izračunaj: -2 3 2 + 4 5 3

Broj zadataka u testu koju odaberem u skladu s pripremom razine klase.

Na test dajem ključ za samo-test. Kriteriji: početak - ne stoji.

Iii. Obrazovni i praktični zadatak (korak 3) + korak 4. (formulirati svojstva samih studenata)

izračunati: 2 2 2 3 \u003d? 3 3 3 2 3 \u003d?

Pojednostavite: 2 A 20 \u003d? B 30 B 10 B 15 \u003d?

Tijekom rješenja problema 1) i 2) studenti nude odluku, a ja, kao učitelj, organiziranje razred na pronalaženju metode za pojednostavljenje stupnjeva pri umnožavanju s istim bazama.

Učitelj: Izmislite način da pojednostavljuju stupnjeve pri umnožavanju s istim bazama.

Na klasteru se pojavljuje unos:

Formulirana tema lekcije. Umnožavanje stupnjeva.

Učitelj: izmislite pravilo podjele stupnja s istim bazama.

Razumijevanje: Koje je djelovanje označena? 5: A 3 \u003d? da je 2 a 3 \u003d a 5

Vrativši se na shemu - klaster i nadopunjuje snimanje - ... odbitak oduzimanja i dodajte temu lekcije. ... i distribuiranje stupnjeva.

Iv. Poruke studentima granica znanja (barem i maksimum).

Učitelj: Zadatak od minimuma za današnju lekciju je naučiti primijeniti svojstva množenja i dijeljenih stupnjeva s istim bazama, a maksimum: primijeniti množenjem i podjelu zajedno.

Na ploči su napisani : m i n \u003d M + N; M: a n \u003d m-n

V. Organizacija proučavanja novog materijala. (korak 5)

a) na udžbeniku: №403 (a, b, d) zadatke s različitim tekstom

≈404 (a, d, e) Nezavisni rad, zatim organizirajte uzajamni test, dajem ključeve.

b) s kojom vrijednošću m je jednakost? 16 A m \u003d 32; X H x 14 \u003d x 28; x 8 (*) \u003d x 14

Zadatak: smislite slične primjere za podjelu.

c) № 417 (a), ≈418 (a) Zamke za studente: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 \u003d 9 6; 16: A 8 \u003d A 2.

Vi. Generalizacija proučavanog, provođenje dijagnostičkog rada (koji potiče učenike, a ne učitelji studiraju ovu temu) (korak 6)

Dijagnostički rad.

Test (Stavite tipke na stražnjoj strani testa).

Opcije objekta: Prisutnost u obliku stupnja privatnog X 15: X3; Pripremiti proizvod (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; S kojima je m jednakost 16 A m \u003d 32; Pronađite vrijednost ekspresije H 0: H2 na H \u003d 0,2; Izračunajte vrijednost ekspresije (5 2 5 0): 5 2.

Ishod lekcije. Odraz. Podijelim razred u dvije skupine.

Pronađite argumente I grupe: u korist znanja o svojstvima stupnja, a II grupa su argumenti koji će reći da možete bez svojstava. Svi odgovori slušaju, crpimo zaključke. U naknadnim lekcijama, moguće je ponuditi statističke podatke i nazvati rubriku "ne uklapa se u glavu!"

Srednji čovjek jede 32 10 2 kg krastavaca tijekom života.

WASP je sposoban obavljati ne-konačni let za 3,2 10 2 km.

Kada staklene pukotine, pukotina se primjenjuje pri brzini od oko 5 10 3 km / h.

Žaba jede više od 3 tona komaraca za svoj život. Koristeći stupanj, zapišite u kg.

Cijela plodna je oceanska riba - Mjesec (Mola Mola), koja se odgađa za jedno mrijest na 3.000.000 jaja promjera od oko 1,3 mm. Zapišite ovaj broj pomoću stupnja.

VII. Domaća zadaća.

Povijesna referenca. Koji se brojevi nazivaju brojevima farmi.

Str.19. №403, №408, №417

Korištene knjige:

Tutorial "Algebra-7", autori yu.n. MAKARYCHEV, N.G. Mindyuk i drugi.

Didaktički materijal za ocjenu 7, L.V. Kuznettsova, L.I. Zvavich, s.b. Suvorov.

Enciklopedija u matematici.

Časopis "Kvant".

Svojstva stupnjeva, formulacije, dokazi, primjeri.

Nakon određenog broja broja, to je logično govoriti o tome svojstva stupnja, U ovom članku ćemo dati osnovna svojstva stupnja broja, a pričvrstiti sve moguće stupnjeve stupnja. Ovdje također dajemo dokaze o svim svojstvima stupnja, kao i pokazuju kako se ta svojstva primjenjuju pri rješavanju primjera.

Navigacijsku stranicu.

Svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima

Utvrđivanjem stupnja s prirodnim indikatorom, stupanj N je proizvod N multiplikatora, od kojih je svaki a. Guranje ove definicije, kao i korištenje svojstva množenja valjanih brojeva, možete dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim pokazateljem:

glavno svojstvo stupnja M · A N \u003d M + N, njegova generalizacija A N1 · ... · N K \u003d A N 1 + N2 + ... + N K;

vlasništvo privatnih stupnjeva s istim bazama M: N \u003d M-N;

stupanj rada nekretnina (a · b) n \u003d n · b n, njegov produžetak (a 1 · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · K N;

privatna nekretnina u prirodnom stupnju (a: b) n \u003d N: B N;

erekciju stupnja do stupnja (M) n \u003d m · n, njegova generalizacija ((((n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k;

usporedba stupnja s nulom:

• ako je\u003e 0, zatim N\u003e 0 za bilo koji prirodni n;
• ako je a \u003d 0, zatim N \u003d 0;
• ako je 2 · m\u003e 0, ako je 2 · m-1 N;
• ako su m i n takvi prirodni brojevi koji m\u003e n, zatim na 0m n, a na\u003e 0 je istinska nejednakost M\u003e a n.

Odmah napomenuti da su sve zabilježene jednakosti identičan Kada se pridržavaju ovih uvjeta, a njihov desni i lijevi dijelovi mogu se mijenjati na mjestima. Na primjer, glavno svojstvo frakcija M · A n \u003d M + n pojednostavite izraze Često se koristi kao M + N \u003d M · a n.

Sada razmotrite svaki od njih detaljno.

Počnimo s svojstvima rada dva stupnja s istim bazama glavno svojstvo stupnja: Za bilo koji stvarni broj A i bilo koji prirodni brojevi m i n, jednakost M · A n \u003d M + N vrijedi.

Dokazujemo osnovnu imovinu stupnja. Po definiciji stupnja s prirodnim pokazateljem, proizvod stupnjeva s istim bazama forme M · A može biti napisan kao rad , Na temelju svojstava umnožavanja, dobiveni izraz može se pisati kao , A ovaj proizvod je stupanj broja A s prirodnim indikatorom M + N, tj. M + N. Ovo je dovršen dokaz.

Neka nam dati primjer kojim se potvrđuje osnovna imovina stupnja. Uzmite stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim stupnjevima 2 i 3, prema glavnom svojstvu stupnja, možete snimiti jednakost 2 2 · 2 3 \u003d 2 + 3 \u003d 2 5. Provjerite svoju pravdu, za koju izračunam vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5. Izvođenje konstrukcije u mjeri, imamo 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 i 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, dok se ispalo na jednake vrijednosti, tada ravnopravnost 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 - ispravna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.

Glavno svojstvo stupnja na temelju svojstava množenja može se generalizirati na rad od tri i više stupnjeva s istim bazama i prirodnim pokazateljima. Tako za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, ..., n k, jednakost A n 1 · ... · n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

Na primjer, (2.1) 3 · (2.1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 \u003d (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 \u003d (2,1) 17.

Možete se preseliti na sljedeće svojstvo stupnjeva s prirodnim indikatorom - vlasništvo privatnih stupnjeva s istim osnovama: Za bilo koji različit broj važećeg broja i proizvoljnih prirodnih brojeva m i n, zadovoljavajući m\u003e n stanje, jednakost je M: A n \u003d M-N je istinita.

Prije donošenja dokaza o toj imovini raspravljat ćemo o značenju dodatnih uvjeta u tekstu. Uvjet A 0 je potrebno kako bi se izbjeglo dijeljenje na nulu, kao 0 n \u003d 0, a kada upoznate podjelu, dogovorili smo se da je nemoguće podijeliti na nulu. M\u003e n stanje je uveden tako da ne idemo izvan opsega prirodnih pokazatelja. Doista, na m\u003e n, stupanj AM-N je prirodni broj, inače će biti nula (što se događa na m-n) ili negativan broj (koji se događa na mm-n · a \u003d A (m-n) S iste baze.

Dajmo primjer. Uzmite dva stupnja s istim bazama i prirodnim pokazateljima 5 i 2, razmatrani stupanj stupnja odgovara jednakosti π 5: π 2 \u003d π 5-3 \u003d π 3.

Sada razmislite vlasništvo rada: Prirodni stupanj n rada od dva stvarnog broja A i B je jednak proizvodu stupnjeva A N i B N, tj. (A · B) n \u003d N \u003d B n.

Doista, određivanjem stupnja s prirodnim pokazateljem koji imamo , Posljednji rad na temelju svojstava množenja može se prepisati kao Jednako jednaka n · b n.

Dajte nam primjer: .

Ova nekretnina se proteže do stupnja proizvoda od tri i više multiplikatora. To jest, imovina prirodnog stupnja n Djela multiplikatora evidentira se kao (1 · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · k n.

Za jasnoću ćemo pokazati ovu imovinu na primjeru. Za rad od tri faktora do stupnja 7 imamo.

Sljedeće nekretnine je privatna imovina u naturi: Privatni valjani brojevi A i B, B ≠ 0 do prirodnog stupnja n je jednako privatnim stupnjevima A N i B N, tj. (A: B) n \u003d N: B n.

Dokaz se može provesti pomoću prethodnog objekta. Tako (a: b) n · bn \u003d ((a: b) · b) n \u003d a, i iz jednakosti (a: b) n · bn \u003d slijedi da (a: b) n je privatno od dijeljenja Bn.

Ovo svojstvo napisujemo na primjeru određenih brojeva: .

Sada je izrazio stupanj stupnja: Za bilo koji stvarni broj A i bilo koji prirodni brojevi m i n, stupanj m do stupnja n je jednak stupnju broja A s indikatorom M · n, tj. (A M) n \u003d N.

Na primjer, (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6.

Dokaz o stupnju imovine stupnja je sljedeći lanac jednakosti: .

Razmatrana imovina može se produžiti do određenog stupnja do stupnja, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, R i S. jednakost je pošteno , Za veću jasnoću dajemo primjer s određenim brojevima: (((5.2) 3) 2) 5 \u003d (5.2) 3 + 2 + 5 \u003d (5.2) 10.

Ostaje da živi na svojstva usporedbe stupnjeva s prirodnim indikatorom.

Počnimo s dokazom o svojstvima nulte usporedbe i stupnjeva s prirodnim pokazateljem.

Za početak, opravdavamo da je N\u003e 0 za bilo koju\u003e 0.

Proizvod dvaju pozitivnih brojeva je pozitivan broj koji slijedi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva umnožavanja ukazuju na to da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva biti pozitivan broj. A stupanj broja A s prirodnim indikatorom N po definiciji je proizvod N multiplikatora, od kojih je svaki. Ovi argumenti sugeriraju da za bilo koju pozitivnu bazu stupanj A n postoji pozitivan broj. Na temelju dokazane imovine 3 5\u003e 0, (0.00201) 2\u003e 0 i .

Sasvim je očito da za bilo koji prirodni n na a \u003d 0 stupnjeva A n je nula. Doista, 0 \u003d 0 · 0 ... · 0 \u003d 0. Na primjer, 0 3 \u003d 0 i 0 762 \u003d 0.

Idite na negativne temelje stupnja.

Počnimo s slučajem kada je indikator stupnja paran broj, označavamo ga 2 · m, gdje je m prirodno. Zatim , Prema pravilu umnožavanja negativnih brojeva, svaka od djela obrasca A · A je jednaka proizvodu modula brojeva A i A, što znači da je to pozitivan broj. Prema tome, rad će biti pozitivan i stupanj A 2 · m. Dajemo primjere: (-6) 4\u003e 0, (-2.2) 12\u003e 0 i.

Konačno, kada je baza stupnja a je negativan broj, a pokazatelj stupnja je neparan broj 2 · m-1, zatim , Svi djeluju A · A su pozitivni brojevi, proizvod ovih pozitivnih brojeva je također pozitivan, a njegovo umnožavanje na preostali negativni broj A kao rezultat negativnog broja. Na temelju ove nekretnine (-5) 3 17 n, to je proizvod lijevog i desnog dijela n vjernih nejednakosti a svojstva nejednakosti su pošteni i dokazani nejednakost forme A n n. Na primjer, zbog ovog nekretnina, nejednakosti 3 7 7 su važeće .

Ostaje dokazati posljednje na navedena svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima. Riječi. Od dva stupnja s prirodnim pokazateljima i istim pozitivnim razlozima koji su manji od jedinica, veći je manji od; I od dva stupnja s prirodnim pokazateljima i istim bazama, velike jedinice, više od stupnja, čiji je indikator veći. Idite na dokaz o toj imovini.

Dokazujemo da je m\u003e n i 0m n. Da biste to učinili, mi napišemo razliku M-N i usporedite ga s nulom. Zabilježena razlika nakon što se dobije n po zagradama će uzeti oblik A N · (M-N -1). Rezultirajući proizvod je negativan kao proizvod pozitivnog broja i negativnog broja AM-N -1 (A je pozitivan kao prirodni stupanj pozitivnog broja, a razlika AM-N -1 je negativna, jer mn\u003e 0 je zbog izvorno stanje m\u003e n, gdje slijedi da je na 0m-N manje od jednog). Prema tome, m-m n, koji je bio potreban za dokazivanje. Na primjer, dajemo vjernu nejednakost.

Ostaje dokazati drugi dio imovine. Dokazujemo da je na m\u003e n i a\u003e 1, M\u003e a n je istinita. Razlika A m-t n nakon što se napravi n za zagrade uzima oblik A N · (m-n -1). Ovaj proizvod je pozitivan, jer u 1 stupnju postoji pozitivan broj, a razlika AM-n -1 je pozitivan broj, budući da je MN\u003e 0 zbog početnog stanja, i na\u003e 1 stupanj AM -N više jedinica. Prema tome, m-mu n\u003e 0 i m\u003e a n, koji je bio potreban za dokazivanje. Ilustracija ovog objekta poslužuje nejednakost 3 7\u003e 3 2.

Svojstva stupnjeva s cijelim pokazateljima

Budući da su cijeli pozitivni brojevi prirodni brojevi, onda sva svojstva stupnjeva s cijelim pozitivnim pokazateljima točno se podudaraju sa svojstvima stupnjeva s prirodnim pokazateljima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.

Stupanj s cijelim negativnim pokazateljem, kao i stupanj s nultim indikatorom, utvrdili smo tako da su sva svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima važeća, izražena jednakosti. Stoga su sva ta svojstva valjana za nultu stupanj, a za negativne pokazatelje, dok se naravno, baze stupnjeva razlikuju od nule.

Dakle, za bilo koji valjani i različiti brojevi brojeva A i B, kao i bilo koji cijeli brojevi m i n su sljedeći svojstva stupnjeva s cijelim pokazateljima:

• m 'a n \u003d m + n;
• m: N \u003d M-N;
• (ab) n \u003d n \u003d B n;
• (A: b) n \u003d a N: b n;
• (M) n \u003d m · n;
• ako je n cijeli broj pozitivan broj, a i b - pozitivni brojevi i a n N i -N\u003e b-in;
• ako su m i n cijeli brojevi, i m\u003e n, zatim na 0m N, i na A\u003e 1, nejednakost A m\u003e a n se izvodi.

Na a \u003d 0 stupnjeva m i n, ima smisla samo kada m, i n pozitivni cijeli brojevi, to jest, prirodni brojevi. Dakle, novo zabilježena svojstva vrijede i za slučajeve kada je a \u003d 0, a brojevi m i n su pozitivni.

Nije teško dokazati svaku od ovih svojstava, dovoljno je koristiti definicije stupnja s prirodnim i cijelim brojem, kao i svojstva djelovanja s važećim brojevima. Na primjer, dokazujemo da se imovina stupnjeva obavlja i za cijele pozitivne brojeve i za integralni broj. Da biste to učinili, potrebno je pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, onda jednakost (AP) q \u003d q, (a -p) q \u003d a (-p) · Q, (AP) -Q \u003d AP · (-q) i (a -p) -Q \u003d A (-P) · (-q). Učinimo to.

Za pozitivan P i Q, jednakost (P) Q \u003d A P · Q dokazan je u prethodnom stavku. Ako je p \u003d 0, onda imamo (0) q \u003d 1 q \u003d 1 i 0 · · · · · 1 \u003d 1, odakle (a 0) · · · q. Slično tome, ako je Q \u003d 0, zatim (P) 0 \u003d 1 i P · 0 \u003d 0 \u003d 1, odakle (P) 0 \u003d A P · 0. Ako, i p \u003d 0 i q \u003d 0, zatim (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 i 0 \u003d 0 \u003d 0 \u003d 1, od mjesta gdje (a 0) 0 \u003d 0.

Sada to dokazujemo (a -p) q \u003d a (-p) q. Za određivanje stupnja s cijelim negativnim indikatorom, zatim , Vlasništvom privatnog do te mjere , Od 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 i, zatim. Posljednji izraz po definiciji je stupanj tipa A - (p q), koji se na temelju pravila umnožavanja može napisati kao (-p) · q.

Slično .

I .

Po istom principu možete dokazati sva druga svojstva stupnja s cijelom brojem u obliku jednakosti.

U pretposljednjoj snimljene nekretnine, vrijedi ostati na dokazu o nejednakosti B-N\u003e B-N, koji vrijedi za bilo koji cijeli negativan -N i bilo koji pozitivan A i B, za koji je uvjet A je zadovoljan , Pišemo i transformiramo razliku između lijevog i desnog dijela ove nejednakosti: , Kao pod uvjetom a n, dakle, B n-a n\u003e 0. Produkt A N · B N je također pozitivan kao proizvod pozitivnih brojeva A N i B N. Tada je dobivena frakcija pozitivna kao privatne pozitivne brojeve B N-N i N · B N. Stoga, odakle je -N\u003e b-N, koji je trebao dokazati.

Posljednje vlasništvo stupnjeva s cijelim pokazateljima dokazano je na isti način kao i sličnoj imovini stupnjeva s istinskim pokazateljima.

Svojstva stupnjeva s racionalnim pokazateljima

Odredili smo stupanj s frakcijskim pokazateljem širenjem svojstava stupnja s cijelim brojem. Drugim riječima, stupnjevi s frakcijskim pokazateljima imaju ista svojstva kao stupnjevi s cijelim pokazateljima. Naime:

1. vlasništvo radova stupnjeva s istim bazama na\u003e 0, i ako, zatim na a\u003e 0;
2. objekt privatnog stupnja s identičnim razlozima na\u003e 0;
3. vlasništvo rada u djelomičnom stupnju na\u003e 0 i b\u003e 0, i ako, na a≥0 i (ili) b≥0;
4. privatno vlasništvo u djelomičnom stupnju na\u003e 0 i b\u003e 0, i ako, na a\u003e 0 i b\u003e 0;
5. stupanj na\u003e 0, i ako, zatim na a\u003e 0;
6. usporedba stupnjeva s jednakim racionalnim pokazateljima: za sve pozitivne brojeve A i B, a 0 Prilično nejednakost A P P, i na p p\u003e b p;
7. svojstva usporedbe stupnjeva s racionalnim indikatorima i jednakim bazama: za racionalne brojeve p i q, p\u003e q na 0p q, i na\u003e 0 - nejednakosti A q.

Dokaz o svojstvima stupnjeva s frakcijskim pokazateljima temelji se na određivanju stupnja s djelomičnim indikatorom, na svojstvima aritmetičkog korijena n-esencijalnih i na stupnjevima svojstava s cijelim brojem. Dajemo dokaze.

Odrediti stupanj s djelomičnim indikatorom i onda , Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da zapišemo slijedeće jednakosti. Zatim, koristeći svojstvo stupnja s cijelom brojem, dobivamo od mjesta gdje ćemo odrediti stupanj s djelomičnim pokazateljem koji imamo I pokazatelj dobivenog stupnja može se transformirati na sljedeći način :. Ovo je dovršen dokaz.

Apsolutno slično dokazuje drugo vlasništvo stupnjeva s djelomičnim pokazateljima:


Za slične načela dokazuje se ostatak jednakosti:


Idite na dokaz o sljedećem imovini. Dokazivamo da za bilo koji pozitivan a i b, a 0 Prilično nejednakost A P P, i na p p\u003e b p. Pišemo racionalni broj p kao m / n, gdje je m cijeli broj, a n je prirodan. Uvjeti P 0 U ovom slučaju će biti ekvivalentni uvjetima m 0. Na m\u003e 0 i sam m. Iz ove nejednakosti do svojstava korijena imamo, a budući da su A i B pozitivni brojevi, onda na temelju određivanja stupnja s frakcijskim pokazateljem, dobivena nejednakost može se prepisati kao, tj.

Slično tome, na M m\u003e B m, odakle, tj, i p\u003e b p.

Ostaje dokazati posljednje na navedena svojstva. Dokažimo da za racionalne brojeve p i q, p\u003e q na 0p q, i na\u003e 0 - nejednakost A P\u003e A q. Uvijek možemo dovesti do zajedničkog nazivnika racionalnog brojeva P i q, čak i ako dobijemo obične frakcije i, gdje su m1 i m2 cijeli brojevi, a n je prirodan. U tom slučaju, uvjet p\u003e q će odgovarati stanju m 1\u003e m2, koji slijedi iz pravila usporedbe uobičajenih frakcija s istim nazivnicima. Zatim, prema vlasništvu usporedbe stupnjeva s istim bazama i prirodnim pokazateljima na 0m 1 m2, i na\u003e 1 - nejednakost A M 1\u003e A M2. Te nejednakosti na svojstvima korijena mogu se prepisati prema i , A određivanje stupnja s racionalnim indikatorom omogućuje prelazak na nejednakosti i, u skladu s tim. Odavde smo napravili konačni zaključak: na p\u003e q i 0p q, i na\u003e 0 - nejednakost a p\u003e a q.

Svojstva stupnjeva s iracionalnim pokazateljima

Od kako se određuje stupanj s iracionalnim pokazateljem, može se zaključiti da ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim pokazateljima. Tako da za bilo koji\u003e 0, b\u003e 0 i iracionalni brojevi p i Q su sljedeće svojstva stupnjeva s iracionalnim pokazateljima:

1. a p · a q \u003d P + q;
2. a P: Q \u003d P-Q;
3. (a) p \u003d a p · b p;
4. (A: b) p \u003d p: b p;
5. (P) q \u003d a p · q;
6. za sve pozitivne brojeve A i B, a 0 Prilično nejednakost A P P, i na p p\u003e b p;
7. za iracionalne brojeve p i q, p\u003e q na 0p q, i na\u003e 0 - nejednakosti A P\u003e A q.

Odavde možemo zaključiti da stupnjevi s bilo kojim važećim parametrima P i q na\u003e 0 imaju ta ista svojstva.

• Algebra - 10. razred. Trigonometrijske jednadžbe lekcija i prezentacija na temu: "rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi" Dodatni materijali Poštovani korisnici, ne zaboravite napustiti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali [...]
• Natječaj za poziciju "Prodavatelj - konzultant": Odgovornosti: Prodaja mobilnih telefona i pribora za uslugu mobilne komunikacijske usluge Beeline, Tele2, MTS povezivanje tarifnih planova i usluga Beeline i Tele2, Savjetovalište MTS [...]
• Paralelepped formula paralelov je polihedron s 6 lica, od kojih je svaki paralelogram. Pravokutna paralelepiped je paralelopiped, od kojih je svako lice pravokutnik. Svaka paraleliped je karakterizirana s 3 [...]
• Pravopis N i NN u različitim dijelovima govora s.g. Zelinskaya didaktički materijal Teoretska punjenje 1. Kada su NN napisani u pridjevima? 2. Navedite iznimke od ovih pravila. 3. Kako razlikovati ungaled pridjev s sufiksom - od zajedništva s [...]
• Inspektorat za gosterendzoru regije Bryansk primanje plaćanja državne dužnosti (download-12,2 KB) za registraciju za registraciju za Fiz.litz (Download-12 KB) aplikacije za registraciju za pravne osobe (download-11.4 KB) 1. Kada Registriranje novog stroja: 1. Preporučuje se 2. Putovnica [...]
• Astana Zaštita potrošača Zaštita U cilju dobivanja PIN koda za pristup ovom dokumentu na našoj web stranici, pošaljite SMS poruku s tekstom Zan na broj pretplatnika GSM operatora (Activ, Kcell, Beeline, Neo, Tele2) slanjem SMS-a na broj , [...]
• Usvojiti zakon o generičkim posjedima da usvoji federalni zakon o slobodnoj raspodjeli Ruske Federacije ili obitelji građana regije za aranžman na njemu generičkog imanja na sljedećim uvjetima: 1. Stranica se ističe za [... ]
• V.M. pivo Filozofija i metodologija znanosti: Tutorial za majstore i studente Petrozavodsk: izdavačka kuća Petrgu, 2013. - 320 S.ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 MB Tutorial je namijenjen studentima viših tečajeva, majstora i diplomiranih studenata društvenih i društvenih i [...]

Prva razina

Stupanj i svojstva. Iscrpni vodič (2019)

Zašto ste potrebni? Gdje će doći k vama? Zašto trebate provesti vrijeme na njihovu studiju?

Da biste saznali sve o stupnjevima, ono što im je potrebno o tome kako koristiti svoje znanje u svakodnevnom životu pročitati ovaj članak.

I, naravno, znanje o stupnjevima će vas dovesti bliže uspješnoj predaji OGE ili EGE i ući u sveučilište u svojim snovima.

Neka "s go ... (vozio!)

Važna napomena! Ako umjesto formula vidite Abracadabra, očistite predmemoriju. Da biste to učinili, kliknite Ctrl + F5 (na Windows) ili CMD + R (na Macu).

Prva razina

Vježba je ista matematička operacija kao dodatak, oduzimanje, množenje ili podjela.

Sada ću objasniti sav ljudski jezik na vrlo jednostavnim primjerima. Obratiti pažnju. Primjeri elementarne, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodatkom.

Ne postoji ništa objasniti ovdje. Svi znate sve: mi smo osam ljudi. Svatko ima dvije boce kola. Koliko je Cola? Desno - 16 boca.

Sada množenja.

Isti primjer s Cola može se zabilježiti drugačije :. Matematika - Ljudi lukavi i lijeni. Oni prvi primjenjuju neke obrasce, a zatim izmislite kako "brojati" ih brže. U našem slučaju, primijetili su da je svaki od osam ljudi imao isti broj Cola boca i došao do recepcije pod nazivom umnožavanjem. Slažem se, smatra se lakšim i bržem od.

Dakle, čitati brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti množenje tablice, Naravno, sve možete učiniti sporije, teže i greške! Ali…

Ovdje je tablica množenja. Ponoviti.

A drugi, ljepši:

A što su drugi trikovi došli do lijenih matematičara? Pravo - erekcija.

Erekcija

Ako trebate pomnožiti broj za sebe pet puta, matematika kažu da morate izgraditi taj broj u petom stupnju. Na primjer, . Matematika se sjeća da je dva u petom stupnju. I oni rješavaju takve zadatke u umu - brže, lakše i bez pogrešaka.

Za ovo trebate samo zapamtite što je označeno u boji u tablici stupnjeva brojeva, Vjerujte, uvelike će olakšati vaš život.

Usput, zašto se drugi stupanj zove kvadrat brojevi i treći - kuba? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada će biti vama i trgovima i Kubi.

Primjer iz života broj 1

Počnimo s kvadratnim ili iz drugog stupnja broja.

Zamislite kvadratni bazen veličine brojila na metru. Bazen je na vašoj dachi. Toplinu i stvarno želite plivati. Ali ... bazen bez dna! Morate pohraniti dno pločica. Koliko trebate pločice? Da biste to odredili, morate saznati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati, s prstom, da se dno bazena sastoji od kockica brojila po metru. Ako imate mjernu pločicu za metar, trebat ćete dijelove. Lako je ... ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica je vjerojatnije vidjeti za vidjeti, a zatim "prstom da broji" mučenje. Onda se morate pomnožiti. Dakle, na jednoj strani dna bazena, odgovaramo pločice (komadići) i na druge previše pločica. Umnožavanje, dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da biste odredili područje dna bazena, jesmo li sami pomnožili isti broj? Što to znači? To se pomnožava s istim brojem, možemo iskoristiti "erekciju istrebljenja". (Naravno, kada imate samo dva broja, pomnožite ih ili ih podignite u stupanj. Ali ako imate mnogo njih, mnogo ih je lakše podići u smislu izračuna, previše manje. Za ispit, to vrlo je važno).
Tako trideset do drugog stupnja (). Ili možemo reći da će to trideset na trgu biti. Drugim riječima, drugi stupanj broja uvijek može biti predstavljen kao kvadrat. A naprotiv, ako vidite kvadrat - uvijek je drugi stupanj nekom broju. Trg je slika drugog stupnja.

Primjer od života broj 2

Evoza je zadatak, brojati koliko kvadrata na šahovskoj ploči s kvadratom broja ... na jednoj strani stanica i s druge strane. Da biste izračunali njihovu količinu, morate razmnožiti osam ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa strane, onda možete izgraditi osam po kvadratu. Ispada stanice. () Dakle?

Primjer od života broj 3

Sada kocka ili treći stupanj broja. Isti bazen. Ali sada morate znati koliko će vode morati popuniti ovaj bazen. Morate brojati glasnoću. (Volume i tekućine, usput, mjere se u kubičnim mjeračima. Iznenada, stvarno?) Nacrtajte bazen: na dnu veličine brojila i dubinu metara i pokušajte brojati koliko kocki veličine mjerača na metru će Unesite svoj bazen.

Desno pokažite svoj prst i brojite! Jednom, dva, tri, četiri ... Dvadeset i dvadeset i dva ... Koliko se to dogodilo? Nije se spustio? Teško je brojati prst? Tako da! Primjeru iz matematičara. Oni su lijeni, stoga su primijetili da izračunati volumen bazena potrebno je međusobno umnožiti u duljinu, širinu i visinu. U našem slučaju, volumen bazena bit će jednak kockama ... to je lakše za istinu?

I sada zamislite, što se tiče matematike lijeni i lukavi, ako su pojednostavljeni. Doveo sve na jednu radnju. Primijetili su da je dužina, širina i visina jednaka i da je isti broj varniran sama ... i što to znači? To znači da možete iskoristiti stupanj. Dakle, što ste mislili s prstom, oni rade u jednoj akciji: tri na Kubi je jednaka. Ovo je napisano tako:.

Ostaje samo zapamtite stolne stupnjeve, Ako ste, naravno, isti lijeni i lukavi kao matematika. Ako želite puno raditi i griješiti - možete nastaviti brojati prst.

Pa, konačno vas uvjeriti da su stupnjevi došli do Lodoija i cunies kako bi riješili svoje životne probleme, a ne stvaraju probleme s vama, evo još nekoliko primjera iz života.

Primjer iz života broj 4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine zaradite svaki milijun još milijun. To jest, svaki milijun će se udvostručiti na početku svake godine. Koliko novca ćete imati u godinama? Ako sada sjedite i "mislite da je vaš prst", onda ste vrlo vrijedna osoba i .. glupi. Ali najvjerojatnije ćete odgovoriti za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, u prvoj godini - dva pomnožena dva ... u drugoj godini - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stop! Primijetili ste da se broj umnožava. Dakle, dva u petom stupnju - milijun! I sada zamislite da ćete imati natjecanje i tih milijun će dobiti onoga koji će se naći brže ... Vrijedno je pamćenje stupnja brojeva, što mislite?

Primjer od života broj 5

Imate milijun. Na početku svake godine zaradite svaki milijun još dva. Velika istina? Svaki milijun trojki. Koliko novca ćete imati nakon godinu dana? Računamo. Prva godina se razmnožava, onda je rezultat još uvijek na ... već dosadan, jer ste već shvatili sve: tri se množe sama po sebi. Stoga je četvrti stupanj jednak milijun. Potrebno je samo zapamtiti da je tri u četvrtom stupnju ili.

Sada znate da ćete uz pomoć erekcije broja, uvelike ćete olakšati život. Pogledajmo pored onoga što možete učiniti s stupnjevima i što trebate znati o njima.

Uvjeti i koncepti ... kako ne biste bili zbunjeni

Dakle, za početak, definiramo koncepte. Što misliš, što je pokazatelj stupnja? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" stupnja broja. Ne znanstveno, ali je jasno i lako zapamtiti ...

Pa, u isto vrijeme takav stupanj temelja? Još je lakše - to je broj koji je ispod, u bazi.

Ovdje je crtež za odanost.

Pa, općenito, sažeti i bolje pamtiti ... stupanj s osnovama "i pokazatelj" "se čita kao" do stupnja "i napisan je na sljedeći način:

Stupanj broja s prirodnim pokazateljem

Već ste vjerojatno pogodili: jer je indikator prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Elementarna! Prirodno Ovo su brojevi koji se koriste na računu prilikom popisa stavki: jedan, dva, tri ... mi, kada razmotrimo predmete, ne kažemo: "Minus pet", "minus šest", "minus sedam". Također ne govorimo: "jedna trećina" ili "nula cijele, pet desetina". To nisu prirodni brojevi. I što mislite ove brojeve?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" pripada cijeli brojevi. Općenito, da cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojevi su suprotni prema prirodnom (to jest, uzeti s minus znakom), a broj. ZERO je lako razumjeti - to je kada ništa. I što oni znače negativne ("minus") brojeve? Ali oni su bili izumirani prvenstveno za označavanje dugova: ako imate ravnotežu na telefonskom broju, to znači da trebate operator rubalja.

Sve vrste frakcija su racionalni brojevi. Kako su se pojavili, što misliš? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina, naši preci su otkrili da im nedostaje prirodne brojeve za mjerenje duge, težine, kvadrata itd. I izmislili su racionalni brojevi... pitam se je li to istina?

Postoje i iracionalni brojevi. Što je taj broj? Ako je kratko, onda beskonačna decimalna frakcija. Na primjer, ako je duljina opsega podijeljena na njegov promjer, tada će iracionalni broj biti.

Sažetak:

Definiramo koncept stupnja, čiji je indikator prirodan broj (tj. Cijeli i pozitivni).

1. Bilo koji broj u prvom stupnju jednako samo po sebi:
2. Procijenite broj na trgu - to znači pomnožiti ga sama:
3. Procijenite broj u kocki - to znači umnožiti po sebi tri puta:

Definicija. Procijenite broj u prirodnom stupnju - to znači umnožiti broj svih vremena za sebe:
.

Svojstva stupnjeva

Odakle dolaze ta svojstva? Sada ću vam pokazati.

Da vidimo: što je i ?

A-Priory:

Koliko multiplikatora je ovdje?

Vrlo jednostavno: Završili smo množitelja na množitelje, pokazalo je čimbenike.

Ali po definiciji, to je stupanj broja s pokazateljem, to jest, da je to potrebno dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka:

Primjer: Pojednostaviti izraz.

Odluka: Važno je primijetiti da je u našem pravilu prije Mora biti isti temelj!
Stoga kombiniramo stupnjeve s osnovicom, ali ostaje odvojeni multiplikator:

samo za rad stupnjeva!

Ni u kojem slučaju ne ne može pisati.

2. to jest Stupanj broja

Kao i kod prethodnog vlasništva, obraćamo se definiciji stupnja:

Ispostavilo se da je izraz se pomnožio jednom, to jest, prema definiciji, to je, postoji brojni broj:

Zapravo, to se može nazvati "indikator za nosače". Ali nikada ne može to učiniti u iznosu:

Podsjetimo formulu skraćenog množenja: koliko smo puta želimo napisati?

Ali to je netočno, jer.

Negativan

Do ove točke razgovarali smo samo o tome što bi pokazatelj trebao biti.

Ali što bi trebalo biti temelj?

U stupnjevima S. prirodni indikator Baza može biti bilo koji broj, I istina, možemo se međusobno pomnožiti sve brojeve, bilo da su oni pozitivni, negativni ili čak.

Razmislimo o tome što znakovi ("ili" ") imat će stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, pozitivan ili negativan broj? ALI? ? S prvim, sve je jasno: koliko pozitivnih brojeva nismo se pomnožili, rezultat će biti pozitivan.

Ali s negativnim malo zanimljivijim. Uostalom, sjećamo se jednostavno pravilo 6. razreda: "Minus za minus daje plus." To jest, ili. Ali ako se umnožavamo, to će uspjeti.

Odredite samostalno, što će potpisati sljedeće izraze:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Nositi se?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve razumljivo? Samo pogledajte bazu i indikator i primijenite odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve je također ne zastrašujuće, kao što se čini: Nije bitno što je jednako bazi - stupanj je čak i, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, s izuzetkom slučaja kada je baza nula. Razlog nije jednak? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za obuku

Rješenja 6 primjera

Ako ne obraćate pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Zapamtite program 7 razreda. Pa, sjećam se? To je formula za skraćeno množenje, naime - razlika kvadrata! Dobivamo:

Pažljivo pogledajte denominator. Vrlo je sličan jednom od množitelja brojača, ali što nije u redu? Nije postupak izraza. Ako ih promijene na mjestima, bilo bi moguće primijeniti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispada vrlo jednostavno: čak i stupanj denominatora pomaže nam.

Magično, komponente su se mijenjale na mjestima. Ovaj "fenomen" je primjenjiv na bilo koji izraz u ravnomjerno: možemo slobodno promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme.!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli broj Nazivamo prirodne brojeve nasuprot njima (to jest, snimljeno s znakom ") i brojem.

cijeli pozitivan broj, I ne razlikuje se od prirodnog, a onda sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

I sada razmotrimo nove slučajeve. Počnimo s indikatorom koji je jednak.

Bilo koji broj na nulu jednak jednom:

Kao i uvijek, pitat ćemo me: zašto je to tako?

Razmotriti bilo koji stupanj s osnovicom. Uzmi, na primjer i dominiraju na:

Dakle, umnožili smo broj i postali isto kao i. I za koji se broj mora umnožiti tako da se ništa nije promijenilo? To je točno. Tako.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovite pravilo:

Bilo koji broj na nulu jednak jednom.

Ali iz mnogih pravila postoje iznimke. I ovdje je također postoji broj (kao baza).

S jedne strane, to bi trebalo biti jednak u bilo kojoj mjeri - koliko se nula samo pomnoženo, još uvijek dobiva nula, jasno je. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultu, treba biti jednak. Dakle, što je istina? Matematika se odlučila ne vezati i odbila podići nulu na nulu. To jest, sada se ne možemo samo podijeliti na nulu, nego i graditi ga na nulu.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva uključuju negativne brojeve. Da bismo razumjeli kakav negativan stupanj, mi ćemo učiniti posljednji put: dominantno neki normalni broj na istom negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željenu:

Sada širimo rezultirajuće pravilo proizvoljnom stupnju:

Dakle, formuliramo pravilo:

Broj je negativan stupanj natrag na isti broj u pozitivan stupanj. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula: (Jer je nemoguće podijeliti).

Sažimajmo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Ii. Bilo koji broj na nulu jednak je jednom :.

Iii. Broj koji nije jednak nuli, negativnom stupnju natrag na isti broj u pozitivan stupanj :.

Zadaci za samo rješenja:

Pa, kao i obično, primjeri za samo rješenja:

Analiza zadataka za samo rješenja:

Znam, znam, brojevi su strašni, ali ispit bi trebao biti spreman za sve! Podijelite ove primjere ili raspršili svoju odluku, ako ne mogu odlučiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavite širiti krug brojeva, "prikladan" kao pokazatelj stupnja.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koje se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: Sve što se može predstavljati u obliku frakcija, gdje i - cijelih brojeva i.

Razumjeti što je "Stupanj tereta", Razmislite o frakciji:

Podignuti oba dijela jednadžbe do stupnja:

Sada zapamtite pravilo o tome "Stupanj do stupnja":

Koji broj treba odvesti u stupanj za dobivanje?

Ova formulacija je definicija stupnja korijena.

Dopustite mi da vas podsjetim: korijen broja () naziva se broj koji je jednak u istrebljenju.

To jest, korijen je operacija, preokrenuti vježbu u stupanj :.

Ispada da. Očito se ovaj slučaj može proširiti :.

Sada dodajte brojčanika: što je? Odgovor je lako dobiti uz pomoć pravila "stupnja do stupnja":

Ali može li razlog biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izvaditi iz svih brojeva.

Nitko!

Zapamtite pravilo: bilo koji broj podignut u ravnomjernu stupanj je broj pozitivan. To jest, izvaditi korijenje ravnomjerno od negativnih brojeva nemoguće je!

To znači da je nemoguće izgraditi takve brojeve u frakcijski stupanj s ravnim nazivom, tj. Izraz ne ima smisla.

Što je s izrazom?

Ali postoji problem.

Broj se može zastupati u obliku drgiH, smanjenih frakcija, na primjer ili.

I ispostavi se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita evidencija istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete pisati. Ali to je vrijedno pisati nam na drugačiji način, i opet dobivamo smetnje: (to jest, dobili su potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli slične paradokse, smatramo samo pozitivan temelj diplome s frakcijskim pokazateljem.

Dakle, ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Stupnjevi s racionalnim indikatorom vrlo su korisni za pretvaranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za obuku

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada - najteže. Sada ćemo razumjeti iracionalan.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno isti kao i za diplomu s racionalnim indikatorom, s izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu zastupati u obliku frakcije, gdje i - cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi važeći brojevi osim racionalnog).

Prilikom studiranja stupnjeva s prirodnim, cijelim i racionalnim indikatorom, svaki put smo konstituirali određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatim uvjetima.

Na primjer, prirodna figura je broj, nekoliko puta pomnoženo sama;

...nula - Ovo je način na koji je broj pomnožen samo jednom, to jest, još nije počeo razmnožavati, to znači da se broj sam čak ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "brijest broj", a to je broj;

...stupanj s potpuno negativnim indikatorom "Činilo se da je došlo do određenog" obrnutog procesa ", to jest, broj se ne pomnožio sam, već deli.

Usput, u znanosti se često koristi sa složenim indikatorom, to jest, indikator nije ni valjani broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte u Institutu.

Gdje smo sigurni da ćete učiniti! (Ako naučite riješiti takve primjere :))

Na primjer:

Solim sebe:

Krhotine:

1. Počnimo s uobičajenim pravilima za pravila vježbanja za nas:

Sada pogledajte indikator. Zar vas ne podsjeća na ništa? Zapamtite formulu skraćenog množenja. Kvadratne razlike:

U ovom slučaju,

Ispada da:

Odgovor: .

2. Donosimo frakciju u pokazatelje stupnjeva u isti obrazac: ili decimalni ili obični. Na primjer, dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16.

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Određivanje stupnja

Stupanj se naziva izraz obrasca: gdje:

• — stupanj;
• - indikator.

Stupanj s prirodnim indikatorom (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Izgradite prirodni stupanj n - to znači umnožavanje broja za sebe jednom:

Stupanj s cijelim brojem (0, ± 1, ± 2, ...)

Ako je pokazatelj stupnja pozitivan softver broj:

Građevina u nultom stupnju:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojoj mjeri, jest, a na drugoj - bilo koji broj u stupnju je.

Ako je pokazatelj stupnja cijeli negativan broj:

(Jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Racionalan

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnjeva

Da bi se olakšalo rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ta svojstva dolaze? Dokazimo ih.

Da vidimo: što je što?

A-Priory:

Dakle, u pravom dijelu ovog izraza dobiveno je takav rad:

Ali po definiciji, to je stupanj broja s indikatorom, odnosno:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : Važno je primijetiti da je u našem pravilu prijemora postojati iste baze. Stoga kombiniramo stupnjeve s osnovicom, ali ostaje odvojeni multiplikator:

Još jedna važna napomena: ovo je pravilo - samo za rad stupnjeva!

Ni u kojem slučaju nervosti to pisati.

Kao i kod prethodnog vlasništva, obraćamo se definiciji stupnja:

Mi se pregrupiramo ovako:

Ispada da se izraz ne pomnoži jednim, to jest, prema definiciji, to je - po stupnju broja:

Zapravo, to se može nazvati "indikator za nosače". Ali to nikada ne može učiniti u iznosu :!

Podsjetimo formulu skraćenog množenja: koliko smo puta želimo napisati? Ali to je netočno, jer.

Stupanj s negativnom osnovicom.

Do ove točke razgovarali smo samo o tome što bi trebalo biti indikator stupanj. Ali što bi trebalo biti temelj? U stupnjevima S. prirodan indikator Baza može biti bilo koji broj .

I istina, možemo se međusobno pomnožiti sve brojeve, bilo da su oni pozitivni, negativni ili čak. Razmislimo o tome što znakovi ("ili" ") imat će stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, pozitivan ili negativan broj? ALI? ?

S prvim, sve je jasno: koliko pozitivnih brojeva nismo se pomnožili, rezultat će biti pozitivan.

Ali s negativnim malo zanimljivijim. Uostalom, sjećamo se jednostavno pravilo 6. razreda: "Minus za minus daje plus." To jest, ili. Ali ako ćemo se umnožiti (), ispostavimo se.

I tako do beskonačnosti: svaki put kada će se sljedeći umnožavanje promijeniti znak. Mogu se formulirati jednostavna pravila:

1. čak stupanj - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut u neparan stupanj - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kojem stupnju je broj pozitivan.
4. Nula u bilo kojem stupnju je nula.

Odredite samostalno, što će potpisati sljedeće izraze:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Nositi se? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Samo pogledajte bazu i indikator i primijenite odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve je također ne zastrašujuće, kao što se čini: Nije bitno što je jednako bazi - stupanj je čak i, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, s izuzetkom slučaja kada je baza nula. Razlog nije jednak? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate znati to manje: ili? Ako se sjećate da postaje jasno da, i stoga je baza manja od nule. To jest, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo stupanj stupnja:

Sve kao i obično - zapišite definiciju stupnjeva i, podijelite ih jedni drugima, podijelite se na parovima i dobiti:

Prije nego što rastavite posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunati izrazi:

Rješenja :

Ako ne obraćate pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Zapamtite program 7 razreda. Pa, sjećam se? To je formula za skraćeno množenje, naime - razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pažljivo pogledajte denominator. Vrlo je sličan jednom od množitelja brojača, ali što nije u redu? Nije postupak izraza. Ako su zamijenjeni na mjestima, bilo bi moguće primijeniti pravilo 3. ali kako to učiniti? Ispada vrlo jednostavno: čak i stupanj denominatora pomaže nam.

Ako ga nacrtate, ništa se neće promijeniti, zar ne? Ali sada se ispada sljedeće:

Magično, komponente su se mijenjale na mjestima. Ovaj "fenomen" je primjenjiv na bilo koji izraz u ravnomjerno: možemo slobodno promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!Ne možete zamijeniti, mijenjati samo jedan neugodan minus!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada posljednje pravilo:

Kako ćemo dokazati? Naravno, kao i obično: otkrit ću koncept stupnja i pojednostavljuje:

Pa, sada ću otkriti zagrade. Koliko će pisma dobiti? Jednom na množiteljima - što se podsjeća? To je samo definicija operacije množenje: Ukupno su postojali čimbenici. To jest, po definiciji, stupanj broja s pokazateljem:

Primjer:

Iracionalan

Osim informacija o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su točno kao i za diplomu s racionalnim pokazateljem, s iznimkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu podnijeti u obliku frakcije, gdje - cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi važeći brojevi osim racionalnog).

Prilikom studiranja stupnjeva s prirodnim, cijelim i racionalnim indikatorom, svaki put smo konstituirali određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatim uvjetima. Na primjer, prirodna figura je broj, nekoliko puta pomnoženo sama; Broj u nultu stupanj je nekako broj pomnožen samo jednom, to jest, još nije počeo razmnožavati, to znači da se broj sam ni pojavio - dakle, samo određeni "lilter", naime je rezultat ; Stupanj s cijelim negativnim pokazateljem je kao da je došlo do određenog "obrnutog procesa", to jest, broj se ne pomnožio sam, ali podijeljen.

Zamislite stupanj s iracionalnim indikatorom je iznimno težak (baš kao što je teško poslati 4-dimenzionalni prostor). To je vrlo čisto matematički objekt da je matematika stvorena da proširi koncept stupnja do cijelog prostora brojeva.

Usput, u znanosti se često koristi sa složenim indikatorom, to jest, indikator nije ni valjani broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte u Institutu.

Što ćemo učiniti ako vidimo iracionalnu stopu? Pokušavamo ga riješiti sa svom moćom! :)

Na primjer:

Solim sebe:

1)

2)

3)

Odgovori:

1. Sjećamo se formule razlike kvadrata. Odgovor:.
2. Mi dajemo frakciju istom obliku: ili decimalne ili obične. Dobivamo, na primjer:.
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

Sažetak odjeljka i osnovne formule

Stupanj nazvao je izraz obrasca: gdje:

Cijeli broj

stupanj, čiji je indikator prirodan broj (tj. Cijeli i pozitivni).

Racionalan

stupanj, čiji je indikator negativan i frakcijski brojevi.

Iracionalan

stupanj, čiji je indikator beskonačan decimalni frakcija ili korijen.

Svojstva stupnjeva

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut u čak stupanj - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut u neparan stupanj - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kojem stupnju je broj pozitivan.
• Nula u bilo kojem stupnju je jednaka.
• Bilo koji broj na nulu jednaku.

Sada vam je potrebna riječ ...

Kako vam je potreban članak? Zapišite u komentare kao ili ne.

Reci mi o svom iskustvu u korištenju svojstava stupnjeva.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentare.

I sretno na ispitu!

Lekcija na temu: "Pravila za umnožavanje i podjela stupnjeva s istim i različitim pokazateljima. Primjeri"

Dodatni materijali
Poštovani korisnici ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali provjeravaju antivirusni program.

Priručnici za obuku i simulatori u online trgovini "Integral" za ocjenu 7
Priručnik za udžbenik yu.n. Makarychev korist za udžbenik A.G. Mordkovich

Svrha lekcije: uči obavljati radnje s stupnjevima broja.

Za početak, sjetite se koncepta "stupanj broja". Izraz tipa $ underbrace (a * a * ldots * a) _ (n) $ može biti predstavljen kao $ ^ n $.

Također je istinska inverzna: $ a ^ n \u003d underbrace (a * a * ldots * a) _ (n) $.

Ta se jednakost naziva "stupanj rekord u obliku rada". Pomoći će nam da odredimo kako umnožiti i dijeliti stupnjeve.
Zapamtiti:
a. - temelj stupnja.
n. - indikator.
Ako a n \u003d 1., Tako, broj ali Uzeli su jednom i, prema tome: $ a ^ n \u003d 1 $.
Ako a n \u003d 0., zatim $ ^ 0 \u003d 1 $.

Zašto se to dogodi, moći ćemo saznati kada ćemo se upoznati s pravilima umnožavanja i podjele stupnjeva.

Pravila umnožavanja

a) ako se stupnjevi množe s istom bazom.
Do $ A ^ n * $ a) _ (m) $.
Slika pokazuje da je broj ali uzeli n + M. Jednom, zatim $ ^ n * a ^ m \u003d ^ (n + m) $.

Primjer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ova nekretnina je prikladna za korištenje što pojednostaviti rad prilikom podizanja broja u većoj mjeri.
Primjer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) ako se stupnjevi množe s različitim bazama, ali isti indikator.
Na $ ^ n * b ^ n $, zapišite stupanj u obliku rada: $ je podcrtati (a * * * ldots * a) _ (n) *) (b * b * ldots * b) _ (m) $.
Ako promijenite množiteljska mjesta i izračunajte rezultirajuće parove, dobivamo: $ senbrace ((a * b) * (a * b) * ldots * (a * b)) _ (n) $.

Dakle, $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.

Primjer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravila podjele

a) Baza stupnja je isti, različiti pokazatelji.
Razmislite o dijeljenju stupnja s visokom figurom za podjelu stupnja s manjim indikatorom.

Dakle, potrebno je $ Frac (^ n) (^ m) $gdje n\u003e M..

Diplomiramo u obliku frakcije:

$ Frac (podcrtati (a * a * ldots * a) _ (n)) (podcrtati (a * a * ldots * a) _ (m)) $.

Za praktičnost, podjela će pisati u obliku jednostavne frakcije.

Sada će smanjiti frakciju.

Ispada: $ podcrtati (a * a * ldots * a) _ (n-m) \u003d a ^ (n-m) $.
To znači $ Frac (^ n) (^ m) \u003d a ^ (n-m) $.

Ova nekretnina će vam pomoći objasniti situaciju s erekcijom broja na nultu stupanj. Pretpostavljam da n \u003d M., zatim $ ^ 0 \u003d a ^ (n - n) \u003d frac (a ^ n) (^ n) \u003d 1 $.

Primjeri.
$ Frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.

$ Frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.

b) Temelj stupnja je različit, pokazatelji su isti.
Pretpostavimo da je potrebno $ frac (^ n) (b ^ n) $. Pišemo stupanj brojeva u obliku frakcije:

$ Frac (podcrtati (a * a * ldots * a) _ (n)) (underbrace (b * b * ldots * b) _ (n)) $.

Za praktičnost zamisliti.

Koristeći svojstvo frakcije, razbijamo veliku frakciju na radu malih, dobivamo.
$ je podcrtati (frac (a) (b) * frac (a) (b) * * \\ _ frac (a) (b)) _ (n) $.
Prema tome, $ frac (^ n) (b ^ n) \u003d (frac (a) (b)) ^ n $.

Primjer.
$ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 $.

Svaka aritmetička operacija ponekad postaje previše glomazna za snimanje i pokušati je pojednostaviti. Nakon što je bilo tako s radom dodavanja. Ljudi su trebali višestruko dodavanje, na primjer, za izračunavanje troškova stotinu perzijskih tepiha, od kojih je trošak za svaku od 3 zlatnika. 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. Zbog glomaznog, izmišljen je kako bi se smanjio snimanje na 3 * 100 \u003d 300. Zapravo, snimanje "tri pomnoženo na stotinu" znači da trebate Uzmi stotinu kasa i presavijeni jedni druge. Multiplikacija je prošla, dobila ukupnu popularnost. Ali svijet ne stoji mirno, a u srednjem vijeku postojala je potreba za izvođenjem višestrukog vremena. Stara indijska misterija se pamti, tražeći nagradu za rad žita žita u sljedećoj količini: za prvu ćeliju šahovnice, pitao je jedno zrno, za drugo - dva, treći - četiri, peti - osam i tako dalje. Tako se pojavilo prvo umnožavanje stupnjeva, jer je količina zelene boje bila jednaka stupnju do stupnja broja stanica. Na primjer, na posljednjoj ćeliji bilo bi 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 zrna, koja je jednaka broj od 18 znakova, u onome što zapravo značenje zagonetki.

Operacija vježbanja odvijala se vrlo brzo, također je brzo trebala izvršiti dodatak, oduzimanje, podjelu i množenje stupnjeva. Posljednji i vrijedi detaljnije razmotriti. Formule za dodavanje stupnjeva su jednostavne i lako zapamtiti. Osim toga, vrlo je lako razumjeti odakle dolaze ako je stupanj zamijenjen množenjem. Ali prvo treba razvrstati u elementarnu terminologiju. Izraz A ^ B (čitanje "A do stupnja B") znači da se broj A treba pomnožiti sama po sebi B, a "a" se naziva temelj stupnja, a "B" je pokazatelj napajanja. Ako su baze stupnjeva iste, onda su formule potpuno jednostavne. Specifični primjer: Pronađite vrijednost izraza 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Znati što bi se trebalo dogoditi prije početka odluke da saznate odgovor na računalo. Nakon što je postigao ovaj izraz na bilo koji online kalkulator, tražilice, tipkanje "množenja stupnjeva s različitim bazama isti" ili matematički paket, izlaz će biti 128. Sada ćemo napisati ovaj izraz: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 * , 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. Ispada da 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4). Ispada da je proizvod stupnjeva s istom bazom jednak tlu podignut u stupanj jednak zbroju dva prethodna stupnjeva.

Možda mislite da je to nesreća, ali ne: bilo koji drugi primjer može samo potvrditi ovo pravilo. Dakle, u općoj formuli, formula je kako slijedi: a ^ N * a ^ m \u003d a ^ (n + m). Postoji i pravilo da je svaki broj na nulu jednako jedan. Ovdje je potrebno prisjetiti se pravilo negativnih stupnjeva: ^ (- n) \u003d 1 / a ^ n. To jest, ako je 2 ^ 3 \u003d 8, zatim 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. Koristeći ovo pravilo, možete dokazati valjanost jednakosti A ^ 0 \u003d 1: a ^ 0 \u003d a ^ (nn) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ ( n), a ^ (n) možete smanjiti i jedinica ostaje. Također se izvodi u pravilu da su privatni stupnjevi s istim bazama jednaki ovoj bazi do stupnja jednake privatnom indikatoru podjele i razdjelnika: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m). Primjer: Pojednostavite izraz 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Multiplikacija je komutativna operacija, stoga prvo dodavanje indikatora množenja: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2 , Sljedeće se treba rješavati podjelom u negativan stupanj. Potrebno je oduzeti indikator razdjelnika iz indikatora podjele: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (l - (- 2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 , Ispada da je rad podjele u negativan stupanj identičnog djelovanja umnožavanja sličnog pozitivnog indikatora. Dakle, konačni odgovor je 8.

Postoje primjeri u kojima ne postoji kanonsko množenje stupnjeva. Multiplicirajući stupnjevi s različitim bazama vrlo je često mnogo teže, a ponekad je uopće nemoguće. Treba dati nekoliko primjera različitih mogućih tehnika. Primjer: Pojednostavite izraz 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Očito, postoji množenje stupnjeva s različitim bazama. Ali treba napomenuti da su svi temelji različiti stupnjevi trojke. 9 \u003d 3 ^ 2.1 \u003d 3 ^ 4.3 \u003d 3 ^ 5.9 \u003d 3 ^ 6. Koristeći pravilo (a ^ n) ^ m \u003d ^ (n * m), trebate prepisati izraz u prikladnijem obliku: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Odgovor: 3 ^ 11. U slučajevima gdje različite baze, pravilo A ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n radi na jednakim pokazateljima. Na primjer, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. U suprotnom, kada su različite baze i pokazatelji, nemoguće je napraviti puno množenja. Ponekad je moguće djelomično pojednostaviti ili pribjeći pomoći računalne opreme.

Koncept stupnja matematike uveden je u 7. razredu u učionici Algebra. I u budućnosti, tijekom cijelog studija matematike, ovaj se koncept aktivno koristi u različitim vrstama. Stupanj je prilično teška tema, koja zahtijeva pravilno skladištenje vrijednosti i vještina ispravno i brzo računaju. Za brži i kvalitetan rad s stupnjevima matematike, izumljena je svojstva stupnja. Oni pomažu u smanjenju velikih izračuna, pretvoriti ogroman primjer u jedan broj u bilo kojoj mjeri. Nekretnine nisu toliko, a svi se lako pamte i primjenjuju u praksi. Stoga se članak raspravlja o osnovnim svojstvima stupnja, kao i gdje se primjenjuju.

Svojstva stupnja

Pogledat ćemo 12 svojstava stupnja, uključujući i svojstva stupnjeva s istim bazama, a za svako imovine dajemo primjer. Svaka od ovih svojstava pomoći će vam da riješite zadatke s stupnjevima, kao i uštedjeti od brojnih računalnih pogrešaka.

1. imovine.

Mnogi često zaboravljaju na ovu nekretninu, čine pogreške, predstavljajući broj u nultu stupanj kao nula.

2. nekretnine.

3. nekretnina.

Mora se pamtiti da se ova nekretnina može primijeniti samo kada se brojevi izvodi, ne radi s količinom! I ne smijemo zaboraviti da je ovo sljedeće, nekretnine se primjenjuju samo na stupnjeve s istim bazama.

4. imovina.

Ako je broj podignut u denominatoru u negativni stupanj, tada kada se oduzme stupanj denominatora uzima u zagrade kako bi pravilno zamijenio znak na daljnjem računalu.

Objekt radi samo tijekom podjele, ne primjenjuje se pri oduzimanju!

5. imovina.

6. imovina.

Ova nekretnina se može primijeniti u suprotnom smjeru. Jedinica podijeljena u određenoj mjeri je broj u minus stupnju.

7. imovina.

Ova nekretnina ne može se primijeniti na sum i razlika! Kada se podignuta količina ili razlika, koriste se formule skraćene umnožene, a ne diferencijalne svojstva.

8. imovine.

9. imovina.

Ova nekretnina radi za bilo koji djelomični stupanj s brojem jednakim jednom, formula će biti ista, samo će se stupanj korijena varirati ovisno o nazivu.

Također, ova nekretnina se često koristi obrnutim redoslijedom. Korijen bilo kojeg stupnja od broja može biti predstavljen kao broj na stupanj jedinice podijeljen s stupnjem korijena. Ova nekretnina je vrlo korisna u slučajevima ako se korijen ne ekstrahira.

10. imovine.

Ova nekretnina radi ne samo s kvadratnim korijenom i drugom stupnjem. Ako stupanj korijena i stupanj u kojem ovaj korijen uzima, oni se podudaraju, odgovor će biti hraniteljski izraz.

11. imovine.

Ova nekretnina mora biti u mogućnosti vidjeti u vremenu pri odlučivanju da se riješimo od velikog računalstva.

12. imovina.

Svaka od tih svojstava će se ponoviti u zadacima, može se dati u čistom obliku i može zahtijevati neke transformacije i korištenje drugih formula. Stoga, za ispravno rješenje, samo svojstva znaju samo, morate vježbati i povezati druge matematičko znanje.

Korištenje stupnjeva i njihovih svojstava

Oni se aktivno koriste u algebri i geometriji. Stupnjevi u matematici imaju odvojeno, važno mjesto. Uz njihovu pomoć, indikativne jednadžbe i nejednakosti su riješeni, kao i stupnjevi često kompliciraju jednadžbe i primjere vezane uz druge dijelove matematike. Stupanj pomaže u izbjegavanju velikih i dugih izračuna, stupanj je lakši za smanjenje i izračunavanje. Ali raditi s velikim stupnjevima, ili sa stupnjevima velikih brojeva, morate znati ne samo stupnjeve svojstva, već da rade ispravno i s razlozima, mogu ih razgraditi da olakšavaju zadatak. Za praktičnost, trebala bi biti poznata vrijednost brojeva podignutih u stupnju. To će smanjiti vaše vrijeme pri rješavanju, eliminirajući potrebu za dugom računalom.

Koncept stupnja igra posebnu ulogu u logaritetima. Budući da je logaritam, u biti, stupanj broja.

Skraćene formule umnožavanja je još jedan primjer uporabe stupnjeva. Ne mogu se koristiti u svojstvima stupnjeva, oni su otkriveni u skladu s posebnim pravilima, ali u svakoj formuli skraćenog umnožavanja je uvijek prisutna.

Isti stupnjevi aktivno se koriste u fizici i računalnoj znanosti. Svi transferi na sustavu SI proizvode se pomoću stupnjeva, au budućnosti se svojstva stupnja koriste u rješavanju problema. Informatiku se aktivno koriste doloživi stupnjevi, za praktičnost računa i pojednostavili percepciju brojeva. Daljnji izračuni za transfere mjernih jedinica ili izračuna zadataka, kao iu fizici, pojavljuju se pomoću značajki stupnjeva.

Čak i stupnjevi su vrlo korisne u astronomiji, rijetko je moguće primijeniti korištenje svojstava stupnja, ali se stupanj aktivno koriste za smanjenje snimanja različitih količina i udaljenosti.

Stupnjevi se koriste u običnom životu, u izračunavanju područja, volumena, udaljenosti.

Uz pomoć stupnjeva, piše se vrlo velike i vrlo male vrijednosti u bilo kojem sferama znanosti.

Indikativne jednadžbe i nejednakosti

Posebno mjesto imovine stupnja zauzima u indikativnim jednadžbama i nejednakosti. Ovi se zadaci često nalaze, kako u školskom tečaju i na ispitu. Svi su riješeni korištenjem diplomskih svojstava. Nepoznato je uvijek u stupnju, tako da znaju sva svojstva, nije teško riješiti takvu jednadžbu ili nejednakost.