Bernoulli retest sheme istraživačkog rada. Ponavljanje testova. Bernoullijeva shema

Slajd 2

Pn (k) = Cknpk (1-p) nk formula u teoriji vjerojatnosti koja omogućuje pronalaženje vjerojatnosti pojave događaja A u neovisnim testovima. Bernoullijeva formula omogućuje vam da se riješite velikog broja izračuna - zbrajanja i množenja vjerojatnosti - s dovoljno velikim brojem testova.

Slajd 3

Povijesna pozadina JACOB BERNULLI (1654.-1705.) Datum rođenja: 27. prosinca 1654. Mjesto rođenja: Basel Datum smrti: 16. kolovoza 1705. Mjesto smrti: Basel Državljanstvo: Švicarska Znanstveno područje: Matematičar Mjesto rada: Sveučilište u Baselu Leibniz Jacob Bernoulli (njem. Jakob Bernoulli, 27. prosinca 1654., Basel, - 16. kolovoza 1705., ibid.) - švicarski matematičar, brat Johanna Bernoullija; profesor matematike na Sveučilištu u Baselu (od 1687). Jacob Bernoulli postigao je značajna dostignuća u teoriji nizova, diferencijalnom računu varijacijskog računa, teoriji vjerojatnosti i teoriji brojeva, gdje su brojevi s određenim specifičnim svojstvima nazvani po njemu. Jacob Bernoulli također posjeduje radove iz fizike, aritmetike, algebre i geometrije.

Slajd 4

Primjer korištenja Bernoullijeve formule Svaki dan dionice korporacije ABC rastu ili padaju u cijeni za jedan bod s vjerojatnostima od 0,75 odnosno 0,25. Pronađite vjerojatnost da će se dionica vratiti na svoju prvobitnu cijenu nakon šest dana. Prihvatite uvjet da su gore i dole promjene cijene dionice neovisni događaji. RJEŠENJE: Da bi se dionice vratile na prvobitnu cijenu za 6 dana, potrebno je da za to vrijeme poskupe 3 puta i smanje tri puta. Željena vjerojatnost izračunava se pomoću Bernoullijeve formule P6 (3) = C36 (3/4) 3 (1/4) 3 = 0,13

Slajd 5

Testirajte se. U urni se nalazi 20 bijelih i 10 crnih kuglica. Izvadili su 4 kuglice za redom, a svaka izvađena loptica se vraća u urnu prije nego što se vadi sljedeća i loptice u urni se miješaju. Kolika je vjerojatnost da od četiri izvučene lopte dvije budu bijele? ODGOVOR: RJEŠENJE: ODGOVOR: ODGOVOR: RJEŠENJE: RJEŠENJE: Revizor otkriva financijske nepravilnosti u revidiranoj tvrtki s vjerojatnošću od 0,9. Pronađite vjerojatnost da će se identificirati više od polovice od 4 tvrtke koje su prekršile pravila. Kocka se baca 3 puta. Kolika je vjerojatnost da će se 6 bodova pojaviti točno 2 puta u ovoj seriji izazova? 0,01389 8/27 0,9477

Slajd 6

Testirajte se Novčić se baca 6 puta. Nađite vjerojatnost da će grb biti nacrtan najviše 2 puta. ODGOVOR: RJEŠENJE: ODGOVOR: RJEŠENJE: Neka klijavost sjemena pšenice bude 90%. Kolika je vjerojatnost da će od 7 posijanih sjemenki niknuti 5? 0,124 0,344

Slajd 7

Vjerojatnost uklanjanja bijele kuglice p = 20/30 = 2/3 može se smatrati istom u svim testovima; 1-p = 1/3 Koristeći Bernoullijevu formulu, dobivamo P4 (2) = C42 p2 (1-p) 2 = (12/2) (2/3) 2 (1/3) 2 = 8 / 27 NATRAG RJEŠENJE ZADATAKA 1

Slajd 8

POVRATNO RJEŠENJE PROBLEMA 2 Događaj se sastoji u tome da će se od 4 tvrtke-prekršitelja identificirati tri ili četiri, tj. P (A) = P4 (3) + P4 (4) P (A) = C340,93 ∙ 0,1 + C44 0,94 = 0,93 (0,4 + 0,9) = 0,9477

Slajd 1

Bernoullijev teorem
17.03.2017

Slajd 2

Provodi se niz od n neovisnih testova. Svako ispitivanje ima 2 ishoda: A - "uspjeh" i - "neuspjeh". Vjerojatnost "uspjeha" u svakom testu je ista i jednaka je P (A) = p. Sukladno tome, vjerojatnost "neuspjeha" također se ne mijenja od iskustva do iskustva i jednaka je.
Bernoullijeva shema
Kolika je vjerojatnost da će se uspjeh dogoditi k puta u nizu od n pokusa? Pronađite Pn (k).

Slajd 3

Novčić je bačen n puta. Iz špila se izvlači karta n puta, a svaki put kada se karta vrati, špil se miješa. Ispitano n predmeta neke proizvodnje, nasumično odabranih, radi kvalitete. Strijelac puca u metu n puta.
Primjeri

Slajd 4

Objasnite zašto se sljedeća pitanja uklapaju u Bernoullijevu shemu. Navedite što je "uspjeh", a što su n i k. a) Kolika je vjerojatnost da dobijete "dvojku" tri puta s deset bacanja kocke? b) Kolika je vjerojatnost da će se sa stotinu bacanja novčića "glave" pojaviti 73 puta? c) Dvadeset puta zaredom bačen je par kockica. Kolika je vjerojatnost da zbroj bodova nikada nije bio jednak deset? d) Iz špila od 36 karata izvučene su tri karte, rezultat je zapisan i vraćen u špil, zatim su se karte promiješale. Ovo je ponovljeno 4 puta. Kolika je vjerojatnost da je među izvučenim kartama svaki put bila pikova dama?

Slajd 5

Broj kombinacija od n do k zadovoljava formulu
Na primjer:

Slajd 6

Bernoullijev teorem
Vjerojatnost Pn (k) pojave točno k uspjeha u n neovisnih ponavljanja istog testa nalazi se po formuli, gdje je p vjerojatnost "uspjeha", q = 1-p je vjerojatnost "neuspjeha" u zaseban eksperiment.

Slajd 7

Novčić se baca 6 puta. Kolika je vjerojatnost da grb padne 0, 1,... 6 puta? Riješenje. Broj pokusa n = 6. Događaj A - "uspjeh" - ispadanje amblema. Prema Bernoullijevoj formuli tražena vjerojatnost je
;
;
;
;
;
;

Slajd 8

Novčić se baca 6 puta. Kolika je vjerojatnost da grb padne 0, 1,... 6 puta? Riješenje. Broj pokusa n = 6. Događaj A - "uspjeh" - ispadanje amblema.
;
;
;
;
;
;

Slajd 9

Novčić se baca 10 puta. Kolika je vjerojatnost da se grb pojavi dvaput? Riješenje. Broj pokusa n = 10, m = 2. Događaj A - "uspjeh" - ispadanje amblema. Prema Bernoullijevoj formuli tražena vjerojatnost je
;
;
;
;
;
;

Slajd 10

U urni se nalazi 20 bijelih i 10 crnih kuglica. Izvadili su 4 kuglice, a svaka izvađena loptica se vraća u urnu prije nego što se vadi sljedeća i loptice u urni se miješaju. Nađi vjerojatnost da će od četiri izvučene loptice biti 2 bijele. Riješenje. Događaj A - dobio bijelu loptu. Tada su vjerojatnosti Po Bernoullijevoj formuli, tražena vjerojatnost je

Slajd 11

Odredite vjerojatnost da u obitelji s 5 djece nema djevojčica. Pretpostavlja se da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice jednake. Riješenje. Vjerojatnost rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerojatnost je

Slajd 12

Odredite vjerojatnost da će u obitelji s 5 djece biti jedna djevojčica. Pretpostavlja se da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice jednake. Riješenje. Vjerojatnost rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerojatnost je

Slajd 13

Odredite vjerojatnost da će u obitelji s 5 djece biti dvije djevojčice. Riješenje. Vjerojatnost rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerojatnost je

Slajd 14

Odredite vjerojatnost da će u obitelji s 5 djece biti tri djevojčice. Riješenje. Vjerojatnost rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerojatnost je

Slajd 15

Odredite vjerojatnost da u obitelji s 5 djece neće biti više od tri djevojčice. Pretpostavlja se da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice jednake. Riješenje. Vjerojatnost rođenja djevojčice, dječaka Potrebna vjerojatnost je
.

Slajd 16

Među dijelovima koje obrađuje radnik ima u prosjeku 4% nestandardnih. Pronađite vjerojatnost da će od 30 dijelova uzetih za testiranje dva biti nestandardna. Riješenje. Ovdje se iskustvo sastoji od provjere kvalitete svakog od 30 dijelova. Događaj A - "izgled nestandardnog dijela",

Bernoullijeva formula

Belyaeva T.Yu. GBPOU CC "AMT", Armavir Učitelj matematike

Jedan od utemeljitelja teorije vjerojatnosti i matematičke analize

Strani član Pariške akademije znanosti (1699.) i Berlinske akademije znanosti (1701.)

Stariji brat Johanna Bernoullija (najpoznatijeg člana obitelji Bernoulli)

Jacob Bernoulli (1654. - 1705.)

švicarski matematičar

Neka se proizvodi P neovisna ispitivanja, u svakom od kojih je vjerojatnost da će se dogoditi događaj A R , pa prema tome vjerojatnost da se to neće dogoditi je q = 1 - str .

Potrebno je pronaći vjerojatnost da za P uzastopni testovi događaj A dogodit će se točno T jednom.

Tražena vjerojatnost se označava sa R P ( T ) .

Očito je da

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

R 1 (1) + str 1 (0) = p + q = 1

U dva testa:

Moguća su 4 ishoda:

p 2 (2) = p 2; p 2 (1) = 2p q; p 2 (0) = q 2

R 2 (2) + str 2 (1) + str 2 (0) = (p + q) 2 = 1

U tri testa:

Moguće je 8 ishoda:

dobivamo:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

R 3 (3) + str 3 (2) + str 3 (1) + str 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Cilj 1.

Novčić se baca 8 puta. Kolika je vjerojatnost da će "grb" ispasti 4 puta?

Cilj 2.

U urni se nalazi 20 kuglica: 15 bijelih i 5 crnih. Izvadili su 5 loptica za redom, pri čemu se svaka izvađena loptica vraćala u urnu prije nego što su izvadili sljedeću. Nađite vjerojatnost da će od pet izvučenih loptica biti 2 bijele.

Formule za pronalaženje vjerojatnosti da v P suđenja će doći :

a) manje od t puta

R P (0) + ... + str P (t-1)

b) više od t puta

R P (m + 1) + ... + str P (P)

v) ne više od t puta

R P (0) + ... + str P (T)

G) najmanje t puta

R P (t) + ... + str P (P)

Cilj 3.

Vjerojatnost proizvodnje nestandardnog dijela na automatskom stroju je 0,02. Odredite vjerojatnost da će među nasumično uzetih šest dijelova biti više od 4 standardna.

Događaj A - « više od 4 standardna dijela"(5 ili 6) znači

« ne više od 1 neispravnog dijela"(0 ili 1)

Neka se proizvodi P nezavisni testovi. Uz svaki takav test, događaj A može se dogoditi, ali i ne mora. Vjerojatnost pojave događaja A.

Potrebno je pronaći takav broj μ (0, 1, ..., n), za koje će vjerojatnost P n (μ) biti najveća.

Zadatak 4.

Udio premium proizvoda u ovom poduzeću je 31%. Koliki je najvjerojatniji broj "Extra" stavki ako je odabrana serija od 75 artikala?

Po uvjetu: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Zadatak 6.

Dva strijelca pucaju u metu. Vjerojatnost promašaja u jednom udarcu za prvog strijelca je 0,2, a za drugog - 0,4. Pronađite najvjerojatniji broj rafala koji neće pogoditi metu ako strijelci ispaljuju 25 rafala.

Po uvjetu: n = 25, p = 0,2 0,4 = 0,08, q = 0,92

https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Poglavlje 9. Elementi matematičke statistike, kombinatorike i teorije vjerojatnosti §54. Slučajni događaji i njihove vjerojatnosti 3. NEZAVISNO PONAVLJANJE TESTOVA. BERNULLIEV TEOREM I STATISTIČKA STABILNOST.

Sadržaj PRIMJER 5. Vjerojatnost pogađanja mete jednim udarcem ... Rješenje 5a); Rješenje 5b); Rješenje 5c); Rješenje 5d). Imajte na umu da ... U cijelom nizu ponavljanja važno je znati ... Jacob Bernoulli kombinirao je primjere i pitanja ... TEOREM 3 (Bernoullijev teorem). PRIMJER 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). Rješenje 6 a); Rješenje 6 b); Rješenje 6 c); Rješenje 6 d). Bernoullijev teorem dopušta ... TEOREM 4. Za veliki broj neovisnih ponavljanja ... Za učitelja. Izvori. 08.02.2014. 2

3. SAMOSTALNO PONAVLJANJE TESTOVA. BERNULLIEV TEOREM I STATISTIČKA STABILNOST. 3. dio. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 3

PRIMJER 5. Vjerojatnost pogađanja mete jednim hicem. Izmijenimo malo prethodni primjer: umjesto dva različita strijelca u metu će pucati isti strijelac. Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Nađite vjerojatnost da će meta: a) biti pogođena tri puta; b) neće se začuditi; c) bit će udaren barem jednom; d) bit će pogođen točno jednom. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 4

Rješenje primjera 5a) Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Nađite vjerojatnost da će meta: a) biti pogođena tri puta; 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 5

Rješenje Primjera 5b) Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Pronađite vjerojatnost da cilj: b) neće biti pogođen; Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 6

Rješenje primjera 5c) Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Pronađite vjerojatnost da će cilj: c) biti pogođen barem jednom; Odluka: 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 7

Rješenje primjera 5d) Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Nađite vjerojatnost da će cilj: d) biti pogođen točno jednom. Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 8

Napomena Rješenje dano u točki d) primjera 5, u konkretnom slučaju, ponavlja dokaz poznatog Bernoullijeva teorema, koji se odnosi na jedan od najčešćih vjerojatnosnih modela: neovisno ponavljanje istog testa s dva moguća ishoda. Posebnost mnogih probabilističkih problema je da se test, zbog kojeg se može dogoditi događaj koji nas zanima, može ponoviti mnogo puta. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 9

U cijelom nizu ponavljanja važno je znati U svakom od ovih ponavljanja zanima nas pitanje hoće li se taj događaj dogoditi ili neće. A u cijelom nizu ponavljanja važno nam je točno znati koliko se puta taj događaj može, a ne mora dogoditi. Na primjer, kocka je bačena deset puta zaredom. Kolika je vjerojatnost da će "četvorka" ispasti točno 3 puta? 10 ispaljenih hitaca; kolika je vjerojatnost da će biti točno 8 pogodaka u metu? Ili, kolika je vjerojatnost da će se s pet bacanja novčića točno 4 puta pojaviti? 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 10

Jacob Bernoulli kombinira primjere i pitanja Švicarski matematičar iz ranog 18. stoljeća, Jacob Bernoulli, kombinirao je primjere i pitanja ovog tipa u jednu shemu vjerojatnosti. Neka je vjerojatnost slučajnog događaja A tijekom nekog testa jednaka P (A). Ovaj test ćemo smatrati testom sa samo dva moguća ishoda: jedan ishod je da će se dogoditi događaj A, a drugi ishod je da se događaj A neće dogoditi, odnosno da će se dogoditi događaj Ᾱ. Radi kratkoće, nazovimo prvi ishod (početak događaja A) “uspjeh”, a drugi ishod (nastanak događaja Ᾱ) “neuspjeh”. Vjerojatnost P (A) "uspjeha" će biti označena s p, a vjerojatnost P (Ᾱ) "neuspjeha" će biti označena s q. Dakle, q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 11

TEOREM 3 (Bernoullijev teorem) Teorem 3 (Bernoullijev teorem). Neka je P n (k) vjerojatnost da će se točno k “uspjeha” dogoditi u n neovisnih ponavljanja istog testa. Tada je P n (k) = S n k  p k  q n-k, gdje je p vjerojatnost “uspjeha”, a q = 1 - p je vjerojatnost “neuspjeha” u zasebnom testu. Ovaj teorem (iznosimo ga bez dokaza) od velike je važnosti i za teoriju i za praksu. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 12

PRIMJER 6. Primjer 6. U svakoj od stavki a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost P n (k). a) Kolika je vjerojatnost da se s 10 bacanja novčića pojavi točno 7 "glava"? b) Svaki od 20 osoba samostalno imenuje jedan od dana u tjednu. "Loši" dani su ponedjeljak i petak. Kolika je vjerojatnost da će "sreća" biti točno polovica? c) Bacanje kocke je "uspješno" ako je bacanje 5 ili 6 bodova. Kolika je vjerojatnost da će točno 5 od 25 bacanja biti "uspješno"? d) Test se sastoji od bacanja tri različita novčića u isto vrijeme. “Neuspjeh”: ima više “repova” nego “glava”. Kolika je vjerojatnost da će među 7 bacanja biti točno tri "sreće"? 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 13

Rješenje 6a) Primjer 6. U svakoj od stavki a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost P n (k). a) Kolika je vjerojatnost da se s 10 bacanja novčića pojavi točno 7 "glava"? Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 14

Rješenje 6b) Primjer 6. U svakoj od stavki a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost P n (k). b) Svaki od 20 osoba samostalno imenuje jedan od dana u tjednu. "Loši" dani su ponedjeljak i petak. Kolika je vjerojatnost da će "sreća" biti točno polovica? Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 15

Rješenje 6c) Primjer 6. U svakoj od stavki a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost P n (k). c) Bacanje kocke je "uspješno" ako je bacanje 5 ili 6 bodova. Kolika je vjerojatnost da će točno 5 od 25 bacanja biti "uspješno"? Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 16

Rješenje 6d) Primjer 6. U svakoj od stavki a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost P n (k). d) Test se sastoji od bacanja tri različita novčića u isto vrijeme. “Neuspjeh”: ima više “repova” nego “glava”. Kolika je vjerojatnost da će među 7 bacanja biti točno tri "sreće"? Rješenje: d) n = 7, k = 3. “Sreća” u jednom bacanju se sastoji u tome da ima manje “repova” nego “glava”. Moguće je ukupno 8 rezultata: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "repovi", O - "glave"). U točno polovici njih ima manje repova: ROO, ORO, OOP, LLC. Dakle, p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 17

Bernoullijev teorem omogućuje ... Bernoullijev teorem omogućuje vam da uspostavite vezu između statističkog pristupa definiciji vjerojatnosti i klasične definicije vjerojatnosti slučajnog događaja. Kako bismo opisali ovu vezu, vratimo se na pojmove iz § 50 o statističkoj obradi informacija. Razmotrimo slijed od n neovisnih ponavljanja istog pokušaja s dva ishoda - srećom i neuspjehom. Rezultati ovih testova sačinjavaju niz podataka, koji se sastoji od nekog slijeda od dvije opcije: "sreća" i "neuspjeh". Jednostavno rečeno, postoji niz duljine n, sastavljen od dva slova Y ("sreća") i H ("loša sreća"). Na primjer, U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U ili H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H, itd. n. Izračunajmo višestrukost i učestalost varijanti Y, to jest, naći ćemo razlomak k / n, gdje je k broj "uspjeha" naiđenih između svih n ponavljanja. Ispada da se s neograničenim povećanjem n, učestalost k / n pojavljivanja "uspjeha" praktički neće razlikovati od vjerojatnosti p "uspjeha" u jednom pokusu. Ova prilično komplicirana matematička činjenica izvedena je upravo iz Bernoullijevog teorema. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 18

TEOREM 4. S velikim brojem neovisnih ponavljanja TEOREM 4. Uz veliki broj neovisnih ponavljanja istog testa, učestalost pojavljivanja slučajnog događaja A sa sve većom točnošću približno je jednaka vjerojatnosti događaja A: k / n ≈ P (A). Na primjer, za n> 2000 s vjerojatnošću većom od 99%, može se tvrditi da je apsolutna pogreška | k / n - P (A) | približna jednakost k / n≈ P (A) bit će manja od 0,03. Stoga je u sociološkim istraživanjima dovoljno intervjuirati oko 2000 nasumično odabranih osoba (ispitanika). Ako je, primjerice, njih 520 pozitivno odgovorilo na postavljeno pitanje, tada je k / n = 520/2000 = 0,26 i praktički je sigurno da će za svaki veći broj ispitanika ta učestalost biti u rasponu od 0,23 do 0,29. Taj se fenomen naziva fenomenom statističke stabilnosti. Dakle, Bernoullijev teorem i njegove posljedice omogućuju (približno) pronalaženje vjerojatnosti slučajnog događaja u onim slučajevima kada je njegovo eksplicitno izračunavanje nemoguće. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnica matematike 19

Za učiteljicu 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 20

08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 21

08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 22

Izvori Algebra i početak analize, 10.-11. razredi, 1. dio. Udžbenik, 10. izd. (Osnovna razina), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra i početak analize, 10.-11. razredi. (Osnovna razina) Metodički priručnik za nastavnika, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tablice su sastavljene u MS Word i MS Excel. Internetski izvori Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 08.02.2014. 23

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite si Google račun (račun) i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Slajd 1
Poglavlje 9. Elementi matematičke statistike, kombinatorike i teorije vjerojatnosti
§54. Slučajni događaji i njihove vjerojatnosti 3. NEZAVISNO PONAVLJANJE TESTOVA. BERNULLIEV TEOREM I STATISTIČKA STABILNOST.

Slajd 2
Sadržaj
PRIMJER 5. Vjerojatnost pogađanja mete u jednom metu ... Rješenje 5a); Rješenje 5b); Rješenje 5c); Rješenje 5d). Imajte na umu da ... U cijelom nizu ponavljanja važno je znati ... Jacob Bernoulli je kombinirao primjere i pitanja ... TEOREM 3 (Bernoullijev teorem).
PRIMJER 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). Rješenje 6a); Rješenje 6b); Rješenje 6c); Rješenje 6d). Bernoullijev teorem dopušta ... TEOREM 4. S velikim brojem samostalnih ponavljanja ... Za učitelja Izvori.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 3
3. SAMOSTALNO PONAVLJANJE TESTOVA. BERNULLIEV TEOREM I STATISTIČKA STABILNOST.
dio 3.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 4
PRIMJER 5. Vjerojatnost pogađanja mete jednim udarcem
Malo promijenimo prethodni primjer: umjesto dva različita strijelca u metu će pucati isti strijelac.Primjer 5. Vjerojatnost da jednim hicem pogodi metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Nađite vjerojatnost da će meta: a) biti pogođena tri puta; b) neće biti pogođena; c) biti pogođena barem jednom; d) biti pogođena točno jednom.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 5
Rješenje primjera 5a)
Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Nađite vjerojatnost da će meta: a) biti pogođena tri puta;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 6
Rješenje primjera 5b)
Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Pronađite vjerojatnost da cilj: b) neće biti pogođen; Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 7
Primjer rješenja 5c)
Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Pronađite vjerojatnost da će cilj: c) biti pogođen barem jednom; Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 8
Primjer rješenja 5d)
Primjer 5. Vjerojatnost da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 neovisna hica. Pronađite vjerojatnost da će cilj: d) biti pogođen točno jednom. Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 9
Bilješka
Rješenje dano u točki d) primjera 5, u konkretnom slučaju, ponavlja dokaz poznatog Bernoullijeva teorema, koji se odnosi na jedan od najčešćih vjerojatnosnih modela: neovisno ponavljanje istog testa s dva moguća ishoda. Posebnost mnogih probabilističkih problema je da se test, zbog kojeg se može dogoditi događaj koji nas zanima, može ponoviti mnogo puta.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 10
Tijekom cijelog ponavljanja važno je znati
U svakom od ovih ponavljanja zanima nas pitanje hoće li se ovaj događaj dogoditi ili ne. A u cijelom nizu ponavljanja važno nam je točno znati koliko se puta taj događaj može, a ne mora dogoditi. Na primjer, kocka je bačena deset puta zaredom. Kolika je vjerojatnost da će "četvorka" ispasti točno 3 puta? 10 ispaljenih hitaca; kolika je vjerojatnost da će biti točno 8 pogodaka u metu? Ili, kolika je vjerojatnost da će se s pet bacanja novčića točno 4 puta pojaviti?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 11
Jacob Bernoulli kombinirao je primjere i pitanja
Jacob Bernoulli, švicarski matematičar s početka 18. stoljeća, kombinirao je primjere i pitanja ovog tipa u jednu vjerojatnostnu shemu: Neka je vjerojatnost slučajnog događaja A u nekom testu P (A). Ovaj test ćemo smatrati testom sa samo dva moguća ishoda: jedan ishod je da će se dogoditi događaj A, a drugi ishod je da se događaj A neće dogoditi, odnosno da će se dogoditi događaj Ᾱ. Radi kratkoće, nazovimo prvi ishod (početak događaja A) “uspjeh”, a drugi ishod (nastanak događaja Ᾱ) “neuspjeh”. Vjerojatnost P (A) "uspjeha" će biti označena s p, a vjerojatnost P (Ᾱ) "neuspjeha" će biti označena s q. Dakle, q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 12
TEOREMA 3 (Bernoullijev teorem)
Teorem 3 (Bernoullijev teorem). Neka je Pn (k) vjerojatnost da će se točno k “uspjeha” dogoditi u n neovisnih ponavljanja istog testa. Tada je Pn (k) = Snk pk qn-k, gdje je r vjerojatnost "uspjeha", aq = 1-r je vjerojatnost "neuspjeha" u zasebnom testu. Ovaj teorem (predstavljamo ga bez dokaza) je od velike važnosti za teoriju i praksu.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 13
PRIMJER 6.
Primjer 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). kovanice? b) Svaki od 20 ljudi samostalno imenuju jedan od dana u tjednu. "Loši" dani su ponedjeljak i petak. Kolika je vjerojatnost da će biti točno polovica "sreće"? Kolika je vjerojatnost da će točno 5 bacanja od 25 biti “uspješno?” D) Test se sastoji od bacanja tri različita novčića u isto vrijeme. “Neuspjeh”: ima više “repova” nego “glava”. Kolika je vjerojatnost da će među 7 bacanja biti točno tri "sreće"?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 14
Rješenje 6a)
Primjer 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). kovanice? Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 15
Rješenje 6b)
Primjer 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). B) Svaki od 20 ljudi samostalno imenuje jedan od dana u tjednu. "Loši" dani su ponedjeljak i petak. Kolika je vjerojatnost da će biti točno polovica "sreće"?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 16
Rješenje 6c)
Primjer 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). C) Bacanje kocke je "uspješno "ako se dobije 5 ili 6 bodova... Kolika je vjerojatnost da će točno 5 od 25 bacanja biti “uspješna”?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 17
Rješenje 6d)
Primjer 6. U svakoj od točaka a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i upišite (bez izračuna) izraz za željenu vjerojatnost Pn (k). D) Test se sastoji u istovremenom bacanje tri različita novčića. “Neuspjeh”: ima više “repova” nego “glava”. Kolika je vjerojatnost da će među 7 bacanja biti točno tri "pogotka" Rješenje: d) n = 7, k = 3. "Sreća" je u jednom bacanju da je manje "repova" nego "glava". Moguće je ukupno 8 rezultata: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "repovi", O - "glave"). U točno polovici njih ima manje repova: ROO, ORO, OOP, LLC. Dakle, p = q = 0,5; R7 (3) = S73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = S73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 18
Bernoullijev teorem dopušta...
Bernoullijev teorem omogućuje vam da uspostavite vezu između statističkog pristupa definiciji vjerojatnosti i klasične definicije vjerojatnosti slučajnog događaja. Kako bismo opisali ovu vezu, vratimo se na pojmove iz § 50 o statističkoj obradi informacija. Razmotrimo slijed od n neovisnih ponavljanja istog pokušaja s dva ishoda - srećom i neuspjehom. Rezultati ovih testova sačinjavaju niz podataka, koji se sastoji od nekog slijeda od dvije opcije: "sreća" i "neuspjeh". Jednostavno rečeno, postoji niz duljine n, sastavljen od dva slova Y ("sreća") i H ("loša sreća"). Na primjer, U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U ili H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H, itd. n. Izračunajmo višestrukost i učestalost varijanti Y, to jest, naći ćemo razlomak k / n, gdje je k broj "uspjeha" među svih n ponavljanja. Ispada da se s neograničenim povećanjem n, učestalost k / n pojavljivanja "uspjeha" praktički neće razlikovati od vjerojatnosti p "uspjeha" u jednom pokusu. Ova prilično komplicirana matematička činjenica izvedena je upravo iz Bernoullijevog teorema.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 19
TEOREM 4. Za veliki broj samostalnih ponavljanja
TEOREM 4. Uz veliki broj neovisnih ponavljanja istog testa, učestalost pojavljivanja slučajnog događaja A sa sve većom točnošću približno je jednaka vjerojatnosti događaja A: k / n≈ P (A). Na primjer, za n> 2000 s vjerojatnošću većom od 99% može se tvrditi da je apsolutna pogreška |k / n- P (A) | približna jednakost k / n≈ P (A) bit će manja od 0,03. Stoga je u sociološkim istraživanjima dovoljno intervjuirati oko 2000 nasumično odabranih osoba (ispitanika). Ako je, primjerice, njih 520 pozitivno odgovorilo na postavljeno pitanje, tada je k / n = 520/2000 = 0,26 i praktički je sigurno da će za svaki veći broj ispitanika ta učestalost biti u rasponu od 0,23 do 0,29. Taj se fenomen naziva fenomenom statističke stabilnosti, pa Bernoullijev teorem i njegove posljedice omogućuju (približno) pronalaženje vjerojatnosti slučajnog događaja u onim slučajevima kada je njegovo eksplicitno izračunavanje nemoguće.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 20
Za učitelja
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*

Slajd 23
Izvori od
Algebra i početak analize, 10.-11. razredi, 1. dio. Udžbenik, 10. izd. (Osnovna razina), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra i početak analize, 10.-11. razredi. (Osnovna razina) Metodički priručnik za nastavnika, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tablice su sastavljene u MS Word i MS Excel. Internet resursi
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
08.02.2014
*

U tijeku je niz neovisnih testova,
od kojih su svaki mogući 2 ishoda,
koje ćemo uvjetno nazvati Uspjeh i Neuspjeh.
Na primjer, student polaže 4 ispita, svaki
od čega su moguća 2 ishoda Uspjeh: učenik
položio ispit i Neuspjeh: nije položio.

Vjerojatnost uspjeha u svakom pokušaju je
str. Vjerojatnost neuspjeha je q = 1-p.
Potrebno je pronaći vjerojatnost da u nizu
od n testova, uspjeh se događa m puta
Pn (m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
U svakom slučaju, uspjeh se događa m puta, i
Neuspjeh (n-m) puta.
Broj
od svega
kombinacije
jednaki
broj
načina izbora između n testova onih m u
što je bio Uspjeh, tj. C m
n

Vjerojatnost svake takve kombinacije je
teorema
oko
množenje
vjerojatnosti
bit će Pmqn-m.
Budući da su te kombinacije nespojive, onda
željena vjerojatnost događaja Bm će biti
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
ukupno C kažemo O h C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Poznato padne li novčić glavom bez obzira
ide u kino ako novčić padne repove

studentima. Kolika je vjerojatnost da
1) njih troje će biti na predavanju
2) na predavanju će biti najmanje 3 studenta
2) hoće li barem jedan od studenata prisustvovati predavanju?

1) U ovom zadatku, niz od n = 5
nezavisni testovi. Nazovimo to Uspjeh
odlazak na predavanje (padanje glava) i
Neuspjeh - odlazak u kino (gubitak grba).
p = q = 1/2.
Koristeći Bernoullijevu formulu, nalazimo vjerojatnost da
da će se s 5 bacanja novčića dogoditi tri puta
uspjeh:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Da bismo pronašli vjerojatnost da s 5 bacanja
barem jednom kada novčić iskrsne repove,
prijeđimo na vjerojatnost suprotnog
događaji - novčić će biti ispušten svih 5 puta s grbom:
P5 (0).
Tada će tražena vjerojatnost biti: P = 1 - P5 (0).
Prema Bernoullijevoj formuli:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Tada će vjerojatnost željenog događaja biti
P 1 0,03125 0,96875

Bernoulli
student ide
u kino, ako novčić padne repove - ide student
predavanje. 5 učenika je bacilo novčić. Što je najviše
vjerojatni broj studenata koji pohađa predavanje?
Vjerojatnost
dobici za 1 tiket su jednaki 0,2. Što je najviše
vjerojatni broj dobitnih listića?

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli

np q k np str

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Formula za najvjerojatniji broj uspjeha
np q k np str
Ako je np-q cijeli broj, tada ovaj interval sadrži 2
cijeli brojevi. I jedno i drugo je jednako vjerojatno.
Ako je np-q broj koji nije cijeli, tada ovaj interval sadrži 1
cijeli broj

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer Poznato je ako novčić padne glavom,

- ide student na predavanje. Bačen novčić 5

studenti idu na predavanje?
np q k np str
n 5
1
p q
2

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer Poznato je ako novčić padne glavom,
student ide u kino ako novčić ispadne repovi
- ide student na predavanje. Bačen novčić 5
studentima. Koji je najvjerojatniji broj
studenti idu na predavanje?
np q k np str
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer Poznato je ako novčić padne glavom,
student ide u kino ako novčić ispadne repovi
- ide student na predavanje. Bačen novčić 5
studentima. Koji je najvjerojatniji broj
studenti idu na predavanje?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer Poznato je ako novčić padne glavom,
student ide u kino ako novčić ispadne repovi
- ide student na predavanje. Bačen novčić 5
studentima. Koji je najvjerojatniji broj
studenti idu na predavanje?
vjerojatnost, Pn (k)
Vjerojatnosti broja polaznika
predavanje
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
broj učenika, k
4
5

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjerice, kupljeno je 10 srećki.

ulaznice?
np q k np str
n 10
p 0,2 q 0,8

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjerice, kupljeno je 10 srećki.
Vjerojatnost osvajanja 1 listića je 0,2.
Koji je najvjerojatniji broj pobjednika
ulaznice?
np q k np str
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1.2
np p 10 0,2 0,2 2.2

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjerice, kupljeno je 10 srećki.
Vjerojatnost osvajanja 1 listića je 0,2.
Koji je najvjerojatniji broj pobjednika
ulaznice?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjerice, kupljeno je 10 srećki.
Vjerojatnost osvajanja 1 listića je 0,2.
Koji je najvjerojatniji broj pobjednika
ulaznice?
Vjerojatnosti broja dobitnih listića
vjerojatnost, Pn (k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
broj ulaznica, k
7
8
9
10

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli

Sklopljeno 10 ugovora

isplatiti osiguranu svotu

jedan od sporazuma

nego pod tri ugovora
d) pronaći najvjerojatniji broj ugovora, prema
koji će morati platiti osigurani iznos

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer U prosjeku, 20% ugovora ima osiguranje
tvrtka isplaćuje osigurani iznos.
Sklopljeno 10 ugovora
a) Nađite vjerojatnost da će tri imati
isplatiti osiguranu svotu
0,201327

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer U prosjeku, 20% ugovora ima osiguranje
tvrtka isplaćuje osigurani iznos.
Sklopljeno 10 ugovora
b) Neće se morati platiti ni osigurana svota
jedan od sporazuma
0,107374

Najvjerojatnije uspjesi u shemi
Bernoulli
Primjer U prosjeku, 20% ugovora ima osiguranje
tvrtka isplaćuje osigurani iznos.
Sklopljeno 10 ugovora
c) osigurani iznos se više neće morati plaćati,
nego pod tri ugovora
0,753297

Ako je n veliko, onda se koristi formula
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
neugodno
Stoga se koriste približne formule

Teorem: Ako je vjerojatnost p pojave događaja A
u svakom testu je blizu nule,
a broj neovisnih pokušaja n je dovoljno velik,
onda vjerojatnost Pn (m) da u n neovisnih pokusa
događaj A dogodit će se m puta, približno jednako:
Pn (m)
m
m!
e
gdje je λ = np
Ova formula se zove Poissonova formula (zakon rijetkih događaja)

Pn (m)
m
m!
e, np
Obično se koristi približna Poissonova formula,
kada je str<0,1, а npq<10.

Primjer Neka se zna da u proizvodnji određenog lijeka
otpad (broj paketa koji ne zadovoljavaju standard)
iznosi 0,2%. Približno procijenite vjerojatnost da
Među 1000 nasumično odabranih paketa, bit će tri paketa,
ne u skladu sa standardom.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3)?
e,
np

nije vezano više od 5 ugovora.

Primjer U prosjeku, 1% ugovora je osiguravajuće društvo
plaća osigurani iznos. Pronađite vjerojatnost da je od
100 ugovora s nastankom osiguranog slučaja bit će
nije vezano više od 5 ugovora.