Prije nego prijeđemo na Vietin teorem, uvodimo definiciju. Kvadratna jednadžba oblika x² + px + q= 0 naziva se reduciran. U ovoj jednadžbi vodeći koeficijent je jednak jedan. Na primjer, jednadžba x² - 3 x- 4 = 0 se smanjuje. Bilo koja kvadratna jednadžba oblika sjekira² + b x + c= 0 može se smanjiti dijeljenjem obje strane jednadžbe s A≠ 0. Na primjer, jednadžba 4 x² + 4 x— 3 = 0 dijeljenjem s 4 svodi se na oblik: x² + x— 3/4 = 0. Izvedimo formulu za korijene zadanog kvadratna jednadžba, za to koristimo formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe: sjekira² + bx + c = 0
Reducirana jednadžba x² + px + q= 0 poklapa se s općom jednadžbom u kojoj A = 1, b = str, c = q. Stoga, za danu kvadratnu jednadžbu formula ima oblik: 
posljednji izraz naziva se formula za korijene reducirane kvadratne jednadžbe; posebno je zgodno koristiti ovu formulu kada R — Parni broj. Na primjer, riješimo jednadžbu x² — 14 x — 15 = 0
Kao odgovor, pišemo da jednadžba ima dva korijena.
Za reduciranu kvadratnu jednadžbu s plusom vrijedi sljedeći teorem.
Vietin teorem
Ako x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x² + px + q= 0, tada vrijede formule:
x 1 + x 2 = — R
x 1 * x 2 = q, odnosno zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.
Na temelju formule za korijene gornje kvadratne jednadžbe, imamo:
Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo: x 1 + x 2 = —R.
Množenjem ovih jednakosti, korištenjem formule razlike kvadrata dobivamo:
Imajte na umu da Vietin teorem također vrijedi kada je diskriminant jednak nuli, ako pretpostavimo da u tom slučaju kvadratna jednadžba ima dva identična korijena: x 1 = x 2 = — R/2.
Bez rješavanja jednadžbi x² — 13 x+ 30 = 0 nađi zbroj i umnožak njegovih korijena x 1 i x 2. ova jednadžba D= 169 – 120 = 49 > 0, pa se može primijeniti Vietin teorem: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Pogledajmo još nekoliko primjera. Jedan od korijena jednadžbe x² — px- 12 = 0 je jednako x 1 = 4. Pronađite koeficijent R a drugi korijen x 2 ove jednadžbe. Po Vietinom teoremu x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Jer x 1 = 4, zatim 4 x 2 = - 12, odakle x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. U odgovoru zapisujemo drugi korijen x 2 = - 3, koeficijent p = — 1.
Bez rješavanja jednadžbi x² + 2 x- 4 = 0 nađimo zbroj kvadrata njegovih korijena. Neka x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe. Po Vietinom teoremu x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Jer x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 zatim x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Nađimo zbroj i umnožak korijena jednadžbe 3 x² + 4 x- 5 = 0. Ova jednadžba ima dva različita korijena, budući da je diskriminanta D= 16 + 4*3*5 > 0. Za rješavanje jednadžbe koristimo se Vietinim teoremom. Ovaj teorem je dokazan za danu kvadratnu jednadžbu. Dakle, podijelimo ovu jednadžbu s 3.
Dakle, zbroj korijena je jednak -4/3, a njihov umnožak je jednak -5/3.
Općenito, korijeni jednadžbe sjekira² + b x + c= 0 povezani su sljedećim jednakostima: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Da biste dobili ove formule, dovoljno je obje strane ove kvadratne jednadžbe podijeliti s A ≠ 0 i primijeniti Vietin teorem na dobivenu reduciranu kvadratnu jednadžbu. Razmotrimo primjer: trebate stvoriti smanjenu kvadratnu jednadžbu čiji korijeni x 1 = 3, x 2 = 4. Jer x 1 = 3, x 2 = 4 - korijeni kvadratne jednadžbe x² + px + q= 0, tada prema Vietinom teoremu R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Odgovor zapisujemo kao x² — 7 x+ 12 = 0. Pri rješavanju nekih zadataka koristi se sljedeći teorem.
Teorem je suprotan Vietinom teoremu
Ako brojevi R, q, x 1 , x 2 su takva da x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, To x 1 I x 2- korijeni jednadžbe x² + px + q= 0. Zamjena u lijevu stranu x² + px + q umjesto R izraz - ( x 1 + x 2), i umjesto toga q- raditi x 1 * x 2 . Dobivamo: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Dakle, ako brojevi R, q, x 1 i x 2 su povezani ovim odnosima, zatim za sve x jednakost vrijedi x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), iz čega proizlazi da x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x² + px + q= 0. Koristeći teorem inverzan Vietinom teoremu, ponekad možete pronaći korijene kvadratne jednadžbe odabirom. Pogledajmo primjer, x² — 5 x+ 6 = 0. Ovdje R = — 5, q= 6. Odaberimo dva broja x 1 i x 2 tako da x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Uočivši da je 6 = 2 * 3, i 2 + 3 = 5, prema teoremu obrnutom Vietinom teoremu, dobivamo da x 1 = 2, x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x² — 5 x + 6 = 0.
Formulacija i dokaz Vietinog teorema za kvadratne jednadžbe. Vietin obrnuti teorem. Vietin teorem za kubne jednadžbe i jednadžbe proizvoljnog reda.
SadržajVidi također: Korijeni kvadratne jednadžbe
Kvadratne jednadžbe
Vietin teorem
Označimo s i korijene reducirane kvadratne jednadžbe
(1)
.
Tada je zbroj korijena jednak koeficijentu od , uzet sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.
Napomena o višestrukim korijenima
Ako je diskriminant jednadžbe (1) nula, tada ova jednadžba ima jedan korijen. No, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednadžba (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.
Dokaz jedan
Nađimo korijene jednadžbe (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.
Nađi zbroj korijena:
.
Da biste pronašli proizvod, primijenite formulu:
.
Zatim
.
Teorem je dokazan.
Dokaz dva
Ako su brojevi korijeni kvadratne jednadžbe (1), tada
.
Otvaranje zagrada.
.
Dakle, jednadžba (1) će imati oblik:
.
Uspoređujući s (1) nalazimo:
;
.
Teorem je dokazan.
Vietin obrnuti teorem
Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
Gdje
(2)
;
(3)
.
Dokaz Vietinog obratnog teorema
Razmotrimo kvadratnu jednadžbu
(1)
.
Moramo dokazati da ako i , tada su i korijeni jednadžbe (1).
Zamijenimo (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove na lijevoj strani jednadžbe:
;
;
(4)
.
Zamijenimo u (4):
;
.
Zamijenimo u (4):
;
.
Jednadžba vrijedi. Odnosno, broj je korijen jednadžbe (1).
Teorem je dokazan.
Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu
Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednadžbu
(5)
,
gdje su , i neki brojevi. Štoviše.
Podijelimo jednadžbu (5) sa:
.
Odnosno, dobili smo zadanu jednadžbu
,
Gdje ; .
Tada Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu ima sljedeći oblik.
Neka i označavaju korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbroj i umnožak korijena određuju formulama:
;
.
Vietin teorem za kubnu jednadžbu
Na sličan način možemo uspostaviti veze između korijena kubne jednadžbe. Razmotrimo kubnu jednadžbu
(6)
,
gdje su , , , neki brojevi. Štoviše.
Podijelimo ovu jednadžbu sa:
(7)
,
Gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednadžbe (6)). Zatim
.
Uspoređujući s jednadžbom (7) nalazimo:
;
;
.
Vietin teorem za jednadžbu n-tog stupnja
Na isti način možete pronaći veze između korijena , , ... , , for n-te jednadžbe stupnjeva
.
Vietin teorem za jednadžbu n-ti stupanj ima sljedeći oblik:
;
;
;
.
Da bismo dobili ove formule, jednadžbu ćemo napisati na sljedeći način:
.
Zatim izjednačimo koeficijente za , , , ... i usporedimo slobodni član.
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i dr., Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovne ustanove, Moskva, Obrazovanje, 2006.
Pri proučavanju metoda za rješavanje jednadžbi drugog reda u školskom tečaju algebre, razmatraju se svojstva rezultirajućih korijena. Trenutno su poznati kao Vietin teorem. Primjeri njegove upotrebe navedeni su u ovom članku.
Kvadratna jednadžba
Jednadžba drugog reda je jednakost prikazana na slici ispod.
Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednadžbe koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, trebate pronaći vrijednosti x koje je čine istinitom.
Imajte na umu da od maksimalna vrijednost potencija na koju je x podignuta jednaka dva, tada je broj korijena u općem slučaju također jednak dva.
Postoji nekoliko načina rješavanja ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje tzv. Vieta teorema.
Formulacija Vietinog teorema
Krajem 16. stoljeća poznati matematičar Francois Viète (Francuz) uočio je, analizirajući svojstva korijena raznih kvadratnih jednadžbi, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov umnožak i zbroj.
Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .
Ako opći oblik jednadžba je napisana kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom odjeljku članka, tada se matematički ovaj teorem može napisati u obliku dvije jednakosti:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Gdje je r 1, r 2 vrijednost korijena predmetne jednadžbe.
Gornje dvije jednakosti mogu se koristiti za rješavanje niza različitih matematičkih problema. Upotreba Vietinog teorema u primjerima s rješenjima navedena je u sljedećim odjeljcima članka.
Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim formula korijena, postoje i drugi korisni odnosi koji su dati Vietin teorem. U ovom ćemo članku dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratnu jednadžbu. Zatim ćemo razmotriti teorem suprotan Vietinom teoremu. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najtipičnijih primjera. Na kraju, zapisujemo Vieta formule koje definiraju odnos između pravih korijena algebarska jednadžba stupnja n i njegovih koeficijenata.
Navigacija po stranici.
Vietin teorem, formulacija, dokaz
Iz formula korijena kvadratne jednadžbe a·x 2 +b·x+c=0 oblika, gdje je D=b 2 −4·a·c, slijede relacije: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:
Teorema.
Ako x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbroj korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i umnošku korijena jednak je omjeru koeficijenata c i a, odnosno .
Dokaz.
Provest ćemo dokaz Vietinog teorema prema sljedećoj shemi: sastavljamo zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate formule za korijene, zatim transformiramo dobivene izraze i uvjeravamo se da su jednaki −b/ a odnosno c/a.
Počnimo sa zbrojem korijena i izmislimo ga. Sada dovodimo razlomke na zajednički nazivnik, imamo . U brojniku dobivenog razlomka, nakon čega:. Konačno, nakon na 2, dobivamo . Time je dokazana prva relacija Vietinog teorema za zbroj korijena kvadratne jednadžbe. Prijeđimo na drugu.
Sastavljamo umnožak korijena kvadratne jednadžbe: . Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji umnožak može se napisati kao . Sada množimo zagradu sa zagradom u brojniku, ali brže je sažeti ovaj proizvod za formula kvadratne razlike, dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A budući da diskriminant kvadratne jednadžbe odgovara formuli D=b 2 −4·a·c, tada umjesto D u zadnjem razlomku možemo zamijeniti b 2 −4·a·c, dobivamo. Otvaranjem zagrada i dovođenjem sličnih članova dolazimo do razlomka , čije smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietinog teorema za produkt korijena.
Ako izostavimo objašnjenja, dokaz Vietinog teorema poprimit će lakonski oblik:
,
.
Ostaje samo primijetiti da ako je diskriminant jednak nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. No, ako pretpostavimo da jednadžba u ovom slučaju ima dva ista korijena, tada vrijede i jednakosti iz Vietinog teorema. Doista, kada je D=0 korijen kvadratne jednadžbe jednak , tada je i , a budući da je D=0, odnosno b 2 −4·a·c=0, odakle je b 2 =4·a·c, tada .
U praksi se Vietin teorem najčešće koristi u odnosu na reduciranu kvadratnu jednadžbu (s vodećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formulira samo za kvadratne jednadžbe ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednadžba može zamijeniti ekvivalentnom jednadžbom dijeljenjem obje strane s brojem a koji nije nula. Dajmo odgovarajuću formulaciju Vietinog teorema:
Teorema.
Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 jednak je koeficijentu x uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu, odnosno x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Teorem je suprotan Vietinom teoremu
Druga formulacija Vietinog teorema, dana u prethodnom odlomku, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, tada relacije x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. S druge strane, iz napisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q proizlazi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, vrijedi obratno od Vietinog teorema. Formulirajmo to u obliku teorema i dokažimo.
Teorema.
Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da su x 1 +x 2 =−p i x 1 · x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p · x+q =0.
Dokaz.
Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednadžbi x 2 +p·x+q=0 njihovim izrazima kroz x 1 i x 2, ona se transformira u ekvivalentnu jednadžbu.
Zamijenimo broj x 1 umjesto x u dobivenu jednadžbu, imamo jednakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, što za bilo koje x 1 i x 2 predstavlja ispravnu numeričku jednakost 0=0, jer x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Stoga je x 1 korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednadžbe x 2 +p·x+q=0.
Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, dobivamo jednakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ovo je istinska jednakost, jer x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Stoga je x 2 također korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, pa prema tome jednadžbe x 2 +p·x+q=0.
Time je dovršen dokaz teorema suprotnog Vietinom teoremu.
Primjeri korištenja Vietinog teorema
Vrijeme je da govorimo o praktičnoj primjeni Vietinog teorema i njemu obrnutog teorema. U ovom odjeljku ćemo analizirati rješenja za nekoliko najtipičnijih primjera.
Počnimo primjenom teorema suprotnog Vietinom teoremu. Pogodno ga je koristiti za provjeru jesu li zadana dva broja korijeni zadane kvadratne jednadžbe. U tom slučaju izračunava se njihov zbroj i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su obje ove relacije zadovoljene, tada se na temelju teorema, suprotno Vietinom teoremu, zaključuje da su ti brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedna od relacija nije zadovoljena, tada ti brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj se pristup može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.
Primjer.
Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 −16 x+9=0?
Riješenje.
Koeficijenti zadane kvadratne jednadžbe 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4, b=−16, c=9. Prema Vietinom teoremu, zbroj korijena kvadratne jednadžbe trebao bi biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a umnožak korijena trebao bi biti jednak c/a, odnosno 9 /4.
Izračunajmo sada zbroj i umnožak brojeva u svakom od tri navedena para i usporedimo ih s vrijednostima koje smo upravo dobili.
U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Rezultirajuća vrijednost je različita od 4, tako da se ne može provoditi daljnja provjera, ali koristeći teorem inverzan Vietinom teoremu, može se odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena dane kvadratne jednadžbe.
Prijeđimo na drugi slučaj. Ovdje je, odnosno, prvi uvjet ispunjen. Provjeravamo drugi uvjet: dobivena vrijednost razlikuje se od 9/4. Prema tome, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.
Ostao je još jedan posljednji slučaj. Ovdje i . Oba su uvjeta ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 korijeni zadane kvadratne jednadžbe.
Odgovor:
Suprotno od Vietinog teorema može se koristiti u praksi za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Obično se odabiru cjelobrojni korijeni zadanih kvadratnih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima, budući da je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. U ovom slučaju koriste se činjenicom da ako je zbroj dvaju brojeva jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetom s predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, tada su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Shvatimo ovo na primjeru.
Uzmimo kvadratnu jednadžbu x 2 −5 x+6=0. Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednadžbe, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti: x 1 + x 2 =5 i x 1 · x 2 =6. Ostaje samo odabrati takve brojeve. U u ovom slučaju to je prilično jednostavno učiniti: takvi brojevi su 2 i 3, budući da je 2+3=5 i 2·3=6. Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.
Teorem inverzan Vietinom teoremu posebno je pogodan za korištenje za pronalaženje drugog korijena dane kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očit. U ovom slučaju, drugi korijen se može pronaći iz bilo koje relacije.
Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 512 x 2 −509 x −3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednadžbe, budući da je zbroj koeficijenata ove kvadratne jednadžbe jednak nuli. Dakle x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se pronaći, na primjer, iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, odakle je x 2 =−3/512. Tako smo odredili oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.
Jasno je da je izbor korijena preporučljiv samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete koristiti formule za korijene kvadratne jednadžbe kroz diskriminant.
Još praktičnu upotrebu Teorem, suprotan Vietinom teoremu, sastoji se u sastavljanju kvadratnih jednadžbi s korijenima x 1 i x 2. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbroj korijena, koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom zadane kvadratne jednadžbe, i umnožak korijena, koji daje slobodni član.
Primjer.
Napišite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni −11 i 23.
Riješenje.
Označimo x 1 =−11 i x 2 =23. Izračunavamo zbroj i umnožak ovih brojeva: x 1 +x 2 =12 i x 1 ·x 2 =−253. Stoga su naznačeni brojevi korijeni reducirane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom −12 i slobodnim članom −253. Odnosno, x 2 −12·x−253=0 je tražena jednadžba.
Odgovor:
x 2 −12·x−253=0 .
Vietin teorem vrlo se često koristi pri rješavanju problema vezanih uz predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan s predznacima korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p·x+q=0? Evo dvije relevantne izjave:
- Ako je presjek q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, tada su oba pozitivna ili oba negativna.
- Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, tada su im predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.
Ove tvrdnje proizlaze iz formule x 1 · x 2 =q, kao i pravila množenja pozitivnih, negativnih brojeva i brojeva s različitim predznacima. Pogledajmo primjere njihove primjene.
Primjer.
R to je pozitivno. Koristeći se diskriminantnom formulom nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivan za bilo koji realni r, dakle D>0 za bilo koji realni r. Posljedično, izvorna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju stvarnu vrijednost parametra r.
Sada saznajmo kada su korijeni različite znakove. Ako su predznaci korijena različiti, tada je njihov umnožak negativan, a prema Vietinom teoremu umnožak korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, trebamo odlučiti linearna nejednakost r−1<0 , откуда находим r<1 .
Odgovor:
na r<1 .
Vieta formule
Gore smo govorili o Vietinom teoremu za kvadratnu jednadžbu i analizirali odnose koje on tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju stvarne korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubičnih jednadžbi, jednadžbi četvrtog stupnja i općenito, algebarske jednadžbe stupanj n. Zovu se Vietine formule.
Napišimo Vieta formulu za algebarsku jednadžbu stupnja n oblika i pretpostavit ćemo da ona ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima može biti i podudarnih): 
Vietine formule mogu se dobiti teorem o rastavljanju polinoma na linearne faktore, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegovo širenje na linearne faktore oblika su jednaki. Otvaranjem zagrada u posljednjem umnošku i izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata dobivamo Vietine formule.
Konkretno, za n=2 imamo već poznate Vieta formule za kvadratnu jednadžbu.
Za kubnu jednadžbu Vietine formule imaju oblik 
Ostaje samo primijetiti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv simetrični polinomi.
Bibliografija.
- Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uredio A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-022771-1.
