Krug Postoje mnoge točke ravnog stožera iz ove točke, nazvane središte.
Ako je točka c središte kruga, r je njegov radijus, a m je proizvoljna točka kruga, zatim određivanjem kruga
Jednakost (1) je jednadžba kruga R radijus s centrom u točkama S.
Neka pravokutni kartel koordinatni sustav (sl. 104) i točku C ( ali; B.) - središte kruga radijusa R. Neka m ( x; W.) - proizvoljna točka ovog kruga.
Tako kako | cm | \u003d (SQRT ((X - A) ^ 2 + (Y - B) ^ 2), a zatim se jednadžba (1) može napisati kao:
(SQRT (X - A) ^ 2 + (Y - B) ^ 2) \\ t
(x - A.) 2 + (u - B.) 2 \u003d R2 (2)
Jednadžba (2) se zove opća jednadžba kruga ili jednadžba kruga R radijusa r s centrom u točki ( ali; B.). Na primjer, jednadžba
(x. - l) 2 + ( y. + 3) 2 = 25
postoji jednadžba kruga radijusa R \u003d 5 s centrom u točki (1; -3).
Ako se središte kruga podudara s početkom koordinata, jednadžba (2) ima oblik
x. 2 + w. 2 \u003d R2. (3)
Jednadžba (3) se zove jednadžba kanonika .
Zadatak 1. Napišite jednadžbu kruga radijusa r \u003d 7 s centrom na početku koordinata.
Izravna supstitucija vrijednosti radijusa u jednadžbi (3) će se dobiti
x. 2 + w. 2 = 49.
Zadatak 2. Napišite jednadžbu kruga radijusa r \u003d 9 s centrom na mjestu C (3; -6).
Podstići vrijednost koordinatnih točaka točke C i vrijednosti radijus u formuli (2), dobivamo
(h. - 3) 2 + (w. - (-6)) 2 \u003d 81 ili ( h. - 3) 2 + (w. + 6) 2 = 81.
Zadatak 3.Pronađite centar i radijus kruga
(h. + 3) 2 + (w.-5) 2 =100.
Uspoređujući ovu jednadžbu s jednadžbom zajedničkog kruga (2), to vidimo ali = -3, b. \u003d 5, R \u003d 10. Stoga s (-3; 5), R \u003d 10.
Zadatak 4.Dokazati tu jednadžbu
x. 2 + w. 2 + 4h. - 2y. - 4 = 0
to je jednadžba kruga. Pronađite njezino središte i radijus.
Pretvorimo lijevi dio ove jednadžbe:
x. 2 + 4h. + 4- 4 + w. 2 - 2w. +1-1-4 = 0
(h. + 2) 2 + (w. - 1) 2 = 9.
Ova jednadžba je jednadžba kruga s centrom u točki (-2; 1); Radijus kruga je 3.
Zadatak 5.Napišite jednadžbu kruga sa središtem u točki s (-1; -1) u vezi s izravnim AB, ako je (2; -1), B (- 1; 3).
Napišite Direct AV:
ili 4. h. + 3y.-5 = 0.
Budući da se krug odnosi na liniju, tada se radijus provodi do točke dodira okomit na ovu ravnu liniju. Da biste pronašli radijus potrebno je pronaći udaljenost od točke C (-1; -1) - središte kruga do ravne linije 4 h. + 3y.-5 = 0:
Napišite jednadžbu željenog kruga
(x. +1) 2 + (y. +1) 2 = 144 / 25
Neka krug u pravokutnom koordinatnom sustavu x. 2 + w. 2 \u003d R2. Razmotriti svoju proizvoljnu točku m ( x; W.) (Sl. 105).
Neka radijus-vektor Om. \u003e točke m oblikuje kut veličine t. s pozitivnim smjerom osi h., onda apscissa i ordinatna točka m variraju ovisno o tome t.
(0 t.x i y kroz t.Pronaći
x. \u003d R cos. t. ; y. \u003d R grijeh. t. , 0 t.
Jednadžbe (4) se nazivaju parametarski krug jednadžbe s centrom na početku koordinata.
Zadatak 6. Krug je postavljen jednadžbama
x. \u003d (Sqrt (3)) cos t., y. \u003d (Sqrt (3) grijeh t., 0 t.
Napišite kanonsku jednadžbu ovog kruga.
Iz stanja slijedi x. 2 \u003d 3 cos 2 t., w. 2 \u003d 3 grijeha 2 t., Preklapanje tih jednakosti do sada
x. 2 + w. 2 \u003d 3 (cos 2 t.+ SIN 2. t.)
ili x. 2 + w. 2 = 3
Klasa: 8
Svrha lekcije: Uđite u jednadžbu kruga, učite učenike da izvuku jednadžbu kruga na gotovom crtežu, izgraditi krug duž određene jednadžbe.
Oprema: Interaktivna ploča.
Plan učenja:
- Organizacijski trenutak - 3 min.
- Ponavljanje. Organizacija mentalne aktivnosti - 7 min.
- Objašnjenje novog materijala. Izlaz jednadžbe kruga je 10 minuta.
- Pričvršćivanje materijala proučada - 20 min.
- Rezultat lekcije je 5 minuta.
Tijekom nastave
2. Ponavljanje:
− (Prilog 1 Slide 2.) Napišite formulu za pronalaženje koordinata sredine segmenta;
− (Slide 3) sudaljenost između revizije između točaka (duljina segmenta).
3. Objašnjenje novog materijala.
(Slajdovi 4 - 6) Definicija jednadžbe kruga. Uklonite jednadžbu kruga s centrom u točki ( ali;b.) i središtem na početku koordinata.
(h. – ali ) 2 + (w. – b. ) 2 = R. 2 - jednadžba kruga s centrom IZ (ali;b.) , radius R. , h. i W. – koordinate proizvoljne točke opsega .
h. 2 + U. 2 = R. 2 - jednadžba kruga s centrom na početku koordinata.
(Slide 7)
Kako bi izradili jednadžbu kruga, potrebno je:
- znati koordinate Centra;
- znaju duljinu radijusa;
- zamijenite koordinate centra i duljine radijusa u jednadžbi kruga.
4. Rješavanje zadataka.
U problemima br. 1 - br. 6, napravite jednadžbe kruga na gotovim crtežima.
(Slide 14)
№ 7. Ispunite tablicu.
(Slide 15)
№ 8. Graditi u bilježnicama kruga postavljenim jednadžbama:
ali) ( h. – 5) 2 + (w. + 3) 2 = 36;
b.) (h. + 1) 2 + (w.– 7) 2 = 7 2 .
(Slide 16)
№ 9. Pronađite središnje koordinate i duljinu radijusa ako Au - promjer kruga.
| Dano: | Odluka: | ||
| R. | Koordinate centra | ||
| 1 | ALI(0 ; -6) U(0 ; 2) |
Au 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; Au 2 = 64; Au = 8 . |
ALI(0; -6) U(0 ; 2) IZ(0 ; – 2) – centar |
| 2 | ALI(-2 ; 0) U(4 ; 0) |
Au 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; Au 2 = 36; Au = 6. |
ALI (-2;0) U (4 ;0) IZ(1 ; 0) – centar |
(Slide 17)
№ 10. Učinite jednadžbu kruga središtem na početku koordinate koja prolazi kroz točku DO(-12;5).
Odluka.
R 2. \u003d U redu. 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R \u003d.13;
Jednadžba kruga: x 2 + y 2 \u003d 169 .
(Slide 18)
№ 11. Napraviti jednadžbu kruga koji prolazi kroz podrijetlo koordinate s centrom u točki IZ(3; - 1).
Odluka.
R 2 \u003d. OS. 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Jednadžba kruga: ( x -3) 2 + (u +.1) 2 = 10.
(Slide 19)
№ 12. Napravite jednadžbu kruga s centrom ALI(3; 2) prolazi kroz U(7;5).
Odluka.
1. Centar za krug - ALI(3;2);
2. R. = Au;
Au 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; Au
= 5;
3. Jednadžba kruga ( h. – 3) 2 + (w. − 2) 2
= 25.
(Slide 20)
№ 13. Provjerite da li točke lažu ALI(1; -1), U(0;8), IZ(-3; -1) na krugu definiran jednadžbom ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.
Odluka.
I., Zamijenimo koordinate točke ALI(1; -1) na jednadžbu opsega:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - jednakost je netočna, to znači ALI(1; -1) ne laži na krug koji je dao jednadžba ( h. + 3) 2 +
(w. −
4) 2 =
25.
Ii., Zamijenimo koordinate točke U(0; 8) na jednadžbu opsega:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
U(0;8) laganje h. + 3) 2 +
(w. − 4) 2
=
25.
Iii.Zamijenimo koordinate točke IZ(-3; -1) u jednadžbi opsega:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 \u003d 25 - ispravno, to znači IZ(-3; -1) laganje na krug koji je dao jednadžba ( h. + 3) 2 +
(w. − 4) 2
=
25.
Ishod lekcije.
- Ponovite: Jednadžba kruga, jednadžba kruga s centrom na početku koordinata.
- (Slide 21) Domaća zadaća.
Jednadžba linije u ravnini
Uvodimo za početak koncepta linije jednadžbe u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu. Pretpostavimo u kartuzijskom koordinatnom sustavu, izgrađena je proizvoljna linija $ l $ (sl. 1).
Slika 1. Proizvoljna linija u koordinatnom sustavu
Definicija 1.
Jednadžba s dva $ x $ i $ y $ varijable naziva se jednadžba $ l $ jednadžbu ako je jednadžba zadovoljna koordinatama bilo koje točke koja pripadaju $ l $ liniju i ne zadovoljava neku točku koja ne pripada $ L. $
Jednadžba kruga
Izrađujemo jednadžbu opsega u kartusijanskom koordinatnom sustavu $ XOY $. Neka središte kruga $ c $ ima koordinira $ (x_0, y_0) $, a radijus kruga je $ R $. Neka točka $ $ s koordinata $ (x, y) $ - proizvoljna točka ovog kruga (slika 2).
Slika 2. Krug u kartuzijanskom koordinatnom sustavu
Udaljenost od središta kruga do točke $ M $ izračunava se na sljedeći način.
Ali, budući da $ M $ leži na krug, onda dobivamo $ cm \u003d r $. Onda dobivamo sljedeće
Jednadžba (1) i postoji jedna jednadžba kruga sa središtem u točki $ (x_0, y_0) $ i radijus od $ r $.
Posebno, ako se središte kruga podudara s početkom koordinata. Tada jednadžba opsega ima pogled
Izravna jednadžba.
Izrađujemo jednadžbu izravno $ l $ u kartezijanskom koordinatnom sustavu $ XOY $. Neka bodovi $ $ i $ B $ imaju koordinate od $ lijevo (x_1, y_1 desno) $ i $ (x_2, y_2) $, odnosno, i bodove $ i $ b $ su odabrani pa što je izravna $ l $ - srednja okomita na $ AB $ segment. Odaberite proizvoljnu točku $ m \u003d (x, y) $ pripadnost izravnom $ l $ (sl. 3).
Budući da je izravna $ l $ je srednja okomita na $ $ odjeljak, onda je $ M $ točka jednaka krajnjem segmentu, to jest, $ am \u003d BM $.
Pronađite duljine podataka stranaka po udaljenosti između točaka:
Stoga
Označite $ A \u003d 2 lijevo (x_1-x_2 desno), b \u003d 2 lijevo (y_1-y_2 desno), c \u003d (x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2- (x_1) ^ 2 - (y_1) ^ 2 $, dobivamo da jednadžba izravna u kartuzijskom sustavu koordinata ima sljedeći oblik:
Primjer zadatka pronalaženja jednadžbi linije u kartusijanskom koordinatnom sustavu
Primjer 1.
Pronađite jednadžbu kruga s centrom u točki $ (2, 4) $. Prolazeći kroz podrijetlo i izravnu, paralelnu osovinu $ vol, $ prolazi kroz njegovo središte.
Odluka.
Prvo pronalazimo jednadžbu ovog kruga. Za to ćemo koristiti opće jednadžbe opsega (izvedena iznad). Budući da središte kruga leži na $ $ (2, 4) $, dobivamo
[((X-2)) ^ 2 + ((Y-4)) ^ 2 \u003d R ^ 2]
Pronašli smo radijus kružnog toka kao udaljenost od točke $ (2, 4) $ do točke $ (0.0) $
Dobivamo jednadžbu opsega:
[((X-2)) ^ 2 + ((Y-4)) ^ 2 \u003d 20]
Sada ćemo pronaći jednadžbu opsega, koristeći poseban slučaj 1. primiti
Tematska lekcija: Jednadžba kruga
Ciljevi Lekcija:
Obrazovanje: Da bi se dobila jednadžba opsega, s obzirom na rješenje ovog problema kao jednu od mogućnosti primjene koordinatne metode.
Biti u mogućnosti:
– Prepoznajte jednadžbu kruga uz predloženu jednadžbu, učite učenike da naprave jednadžbu kruga na gotovom crtežu, izgraditi krug prema zadanoj jednadžbi.
Obrazovni : Stvaranje kritičkog mišljenja.
Razvoj : Razvoj sposobnosti izrade algoritamskih recepata i sposobnost djelovanja u skladu s predloženim algoritmom.
Biti u mogućnosti:
– Pogledajte problem i obrišite njegove rješenja.
– Ukratko izraziti svoje misli usmeno i pisati.
Vrsta lekcije: Asimplement novog znanja.
Oprema : PC, multimedijski projektor, zaslon.
Plan učenja:
1. Otvaranje riječi - 3 min.
2. Aktualizacija znanja - 2 min.
3. Izjava o problemu i njezina odluka -10 min.
4. Frontalno pričvršćivanje novog materijala - 7 minuta.
5. Nezavisni rad u skupinama - 15 min.
6. Prezentacija rada: Rasprava - 5 min.
7. rezultat lekcije. Domaći zadatak - 3 min.
Tijekom nastave
Svrha ove faze je: Psihološki stav studenata; Uključivanje svih studenata u obrazovni proces, stvarajući situaciju uspješnosti.1. Organiziranje vremena.
3 minute
Momci! S krugom upoznali ste se u 5 i 8. razreda. Što znaš o njoj?
Znate mnogo, a ti se podaci mogu koristiti pri rješavanju geometrijskih zadataka. Ali za rješavanje problema u kojima se primjenjuje koordinatna metoda, to nije dovoljno.Zašto?
Apsolutno u pravu.
Stoga je glavna svrha današnje lekcije izvukla jednadžbu kruga na geometrijska svojstva ove linije i korištenju je to riješiti geometrijske zadatke.
Pusti tolekcija moto Riječi središnje akademske akademske i enciklopedističke al-biruni bit će: "Znanje je najisplativije imovine. Svi ga nastoje za njega, to ne dolazi. "
Snimite temu lekcije u bilježnici.
Definiranje kruga.
Radius.
Promjer.
Akord. Itd
Još uvijek ne znamo opći pogled na jednadžbu kruga.
Studenti navedu sve što zna o krugu.
Slide 2.
Slide 3.
Svrha pozornice je dobiti ideju o kvaliteti učenja učiti materijal, kako bi se odredila referentna znanja.
2. Aktualizacija znanja.
2 minute
Kada odbacuje jednadžbu kruga Trebat će vam dobro poznata definicija kruga i formule koja vam omogućuje da pronađete udaljenost između dvije točke svojim koordinatama.Sjetimo se tih činjenica / Strglavni materijal Studirao ranije /:
– Zapišite segment segmenta srednjih koordinata.
– Record Formula za izračun duljine vektora.
– Zapišite formulu pronalaženja udaljenosti između točaka (dužina segmenta).
Podešavanje zapisa ...
Geometrijski zagrijavanje.
BodoviA (-1; 7) iU (7; 1).
Izračunajte koordinate sredine segmenta AB i njegovu duljinu.
Provjerava ispravnost izvršenja, ispravlja izračune ...
Jedan student na ploči, a ostatak u bilježnicama se zapisuju formule
Krug se naziva geometrijski oblik koji se sastoji od svih točaka na određenoj udaljenosti od ove točke.
| Av | \u003d √ (xh) ² + (y-yy) ²
M (x; y), (x; y)
Izračunati: c (3; 4)
| Av | \u003d 10.
IZ lite 4.
Slide 5.
3. Stvaranje novih znanja.
12 minuta
Svrha: Formiranje koncepta je jednadžba opsega.
Riješite zadatak:
U pravokutnom koordinatnom sustavu konstruira se krug s centrom A (X; Y). M (x; y) - proizvoljna točka kruga, Pronađite radijus kruga.
Hoće li koordinate bilo koje druge točke biti zadovoljne ovom jednakošću? Zašto?
Podignite oba dijela jednakosti na trgu.Kao rezultat toga, imamo:
r² \u003d (x -x) ² + (y -h) ²-jednadžba kruga, gdje (x; y) -kordinati u središtu kruga, (x; y) - condratinas proizvoljne točke opseg kruga, r-radijus.
Riješite zadatak:
Kakva će biti jednadžba opsega s centrom na početku koordinata?
Dakle, što bi trebalo biti poznato da sastavite jednadžbu kruga?
Pozovite algoritam za prikupljanje jednadžbe kruga.
Zaključak: ... Pišite na prijenosno računalo.
Radijus se naziva segment koji povezuje središte kruga s proizvoljnim točkom ležeći na krug. Stoga, r \u003d | am | \u003d √ (x -) ² + (y -y) ²
Bilo koja točka kruga leži na ovom krugu.
Učenici vode zapise u prijenosnom računalu.
(0; 0) -Cordinata središta kruga.
x² + U² \u003d r², gdje je r-radijus kruga.
Koordinate središta kruga, radijusa, bilo koje točke opsega ...
Ponudite algoritam ...
Snimite algoritam u bilježnici.
Slide 6.
Slide 7.
Slide 8.
Učitelj bilježi jednakost na ploči.
Slide 9.
4. Primarna konsolidacija.
23 minute
Svrha: Reprodukcija studenata samo percipira materijal kako bi se spriječilo gubitak podnesaka i koncepti. Konsolidacija novih znanja, ideja, koncepata na temelju njihovih Aplikacije.
Kontrola Zun.
Primijenite znanje stečeno u rješavanju sljedećih zadataka.
Zadatak: Od predloženih jednadžbi, navedite broj onih koji su jednadžbe u opsegu. A ako je jednadžba jednadžba kruga, a zatim navedite središnju koordinate i navedite radijus.
Ne svaka druga jednadžba s dvije varijable postavlja krug.
4xqm + U² \u003d 4-jednadžba elipse.
x² + U² \u003d 0-točka.
x² + U² \u003d -4-ova jednadžba ne određuje nikakav oblik.
Momci! Što trebate znati izraditi jednadžbu kruga?
Odlučite o zadatku №966 str.245 (udžbenik).
Učitelj poziva studenta na ploču.
Je li dovoljno naznačeno u stanju problema za izradu jednadžbe kruga?
Zadatak:
Napišite jednadžbu kruga središtem na početku koordinata i promjera 8.
Zadatak : Izgradnja kruga.
Centar ima koordinate?
Odrediti radijus ... i graditi
Zadatak na stranici 263. (Tutorial) rastavljaju verbalno.
Koristeći problem rješavanja problema s P.243, riješiti zadatak:
Napravite jednadžbu kruga s centrom u točki A (3; 2) ako krug prođe kroz točku u (7; 5).
1) (X-5) ² + (Y-3) ² \u003d 36-jednadžba kruga; (5; 3), R \u003d 6.
2) (X - 1) ² + U² \u003d 49-jednadžba kruga; (1; 0), R \u003d 7.
3) x² + U² \u003d 7 - jednadžba kruga; (0; 0), r \u003d √7.
4) (x + 3) ² + (Y-8) ² \u003d 2-jednadžba kruga; (-3; 8), r \u003d √2.
5) 4xqm + U² \u003d 4 nije jednadžba kruga.
6) x² + U² \u003d 0- nije jednadžba kruga.
7) x² + U² \u003d -4- nije jednadžba kruga.
Znaju koordinate središta kruga.
Duljinu radijusa.
Zamijeniti koordinate centra i duljinu radijusa do jednadžbe opsega općeg oblika.
Odlučite Zadatak br. 966 str.245 (udžbenik).
Podaci su dovoljni.
Riješiti zadatak.
Budući da je promjer kruga dvostruko veći od njezinog radijusa, zatim R \u003d 8 ÷ 2 \u003d 4. Stoga, X² + U² \u003d 16.
Obaviti izgradnju krugova
Radite na udžbeniku. Zadatak na stranici 263.
Lance: centrirani centar (3; 2); U (7; 5) є (a; r)
Pronađi: Jednadžba kruga
R2 \u003d (XH) ² + (y -y) ²
r² \u003d (X -3) \u200b\u200b² + (Y -2) ²
r \u003d ab, r² \u003d av²
r² \u003d (7-3) ² + (5-2) ²
r² \u003d 25.
(x -3) ² + (Y -2) ² \u003d 25
Odgovor: (x -3) ² + (Y -2) ² \u003d 25
Slide 10-13.
Rješavanje tipičnih zadataka, izgovaranje rješenja za rješavanje u govoru.
Učitelj poziva jednog studenta da zabilježi rezultirajuću jednadžbu.
Povratak na slajd 9
Rasprava o planu odlučivanja ovog zadatka.
Slajd. petnaest. Učitelj poziva jednog studenta u odboru da riješi ovaj zadatak.
Slide 16.
Slide 17.
5. Ishod lekcije.
5 minuta
Odraz aktivnosti u lekciji.
Domaći zadatak: §3, str.91, provjerite pitanja №16,17.
Zadaci broj 959 (B, G, D), 967.
Zadatak za dodatnu ocjenu (problem problema): konstruirati krug naveden jednadžbom
x² + 2x + U²-4U \u003d 4.
O čemu je s lekcijom o kojoj smo razgovarali?
Što ste htjeli dobiti?
Koja je svrha stavljena u lekciju?
Koje zadatke nam omogućuje da riješimo "otvaranje" koje smo napravili?
Koji od vas vjeruje da je postigao cilj koji je postavljen u nastavniku lekciju za 100%, za 50%; nije došao do gola ...?
Procjena.
Record zadaće.
Studenti odgovore na pitanja koja je dostavio učitelj. Provoditi samoanalizu vlastitih aktivnosti.
Studenti moraju biti izraženi u riječju rezultate i načine za postizanje.
