Önceki bölümde, düzlem üzerinde belirli bir koordinat sistemi seçerek, söz konusu çizginin noktalarını karakterize eden geometrik özellikleri, mevcut koordinatlar arasındaki bir denklemle analitik olarak ifade edebileceğimiz gösterilmişti. Böylece doğrunun denklemini elde ederiz. Bu bölümde düz çizgi denklemlerine bakacağız.

Kartezyen koordinatlarda düz bir çizgi için denklem oluşturmak için, koordinat eksenlerine göre konumunu belirleyen koşulları bir şekilde ayarlamanız gerekir.

İlk olarak, bir doğrunun düzlem üzerindeki konumunu karakterize eden niceliklerden biri olan bir doğrunun açısal katsayısı kavramını tanıtacağız.

Düz çizginin Ox eksenine eğim açısına, Ox ekseninin verilen çizgiyle çakışacak (veya ona paralel olacak) şekilde döndürülmesi gereken açıyı diyelim. Her zamanki gibi, işareti dikkate alarak açıyı dikkate alacağız (işaret dönüş yönüne göre belirlenir: saat yönünün tersine veya saat yönünde). Öküz ekseninin 180°'lik bir açıyla ilave bir dönüşü onu tekrar düz çizgiyle hizalayacağından, düz çizginin eksene olan eğim açısı açık bir şekilde seçilemez (bir terim dahilinde, 'nin katları).

Bu açının tanjantı benzersiz bir şekilde belirlenir (çünkü açının değiştirilmesi tanjantını değiştirmez).

Düz çizginin eğim açısının Ox eksenine olan tanjantına düz çizginin açısal katsayısı denir.

Açısal katsayı düz çizginin yönünü karakterize eder (burada düz çizginin birbirine zıt iki yönü arasında ayrım yapmıyoruz). Eğer eğimçizgi sıfıra eşitse çizgi x eksenine paraleldir. Pozitif açısal katsayı ile düz çizginin Ox eksenine eğim açısı akut olacaktır (burada en küçük olanı düşünüyoruz) pozitif değer eğim açısı) (Şek. 39); Dahası, açısal katsayı ne kadar büyük olursa, Ox eksenine olan eğim açısı da o kadar büyük olur. Açısal katsayı negatifse, düz çizginin Ox eksenine eğim açısı geniş olacaktır (Şekil 40). Ox eksenine dik bir düz çizginin açısal katsayısı olmadığını unutmayın (açının tanjantı mevcut değildir).

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.
Yön vektörü düzdür. Normal vektör

Düzlemdeki düz bir çizgi en basitlerinden biridir geometrik şekiller, ilkokuldan beri size tanıdık geliyor ve bugün analitik geometri yöntemlerini kullanarak bununla nasıl başa çıkacağımızı öğreneceğiz. Malzemeye hakim olmak için düz bir çizgi oluşturabilmeniz gerekir; Hangi denklemin düz bir çizgiyi, özellikle koordinatların orijininden geçen düz bir çizgiyi ve koordinat eksenlerine paralel düz çizgileri tanımladığını bilir. Bu bilgiyi kılavuzda bulabilirsiniz Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri, bunu matan için oluşturdum ancak ilgili bölüm doğrusal fonksiyonÇok başarılı ve detaylı çıktı. Bu nedenle sevgili çaydanlıklar, önce orayı ısıtın. Ayrıca temel bilgilere de sahip olmanız gerekir. vektörler aksi halde materyalin anlaşılması eksik kalacaktır.

Açık bu ders Düzlemde düz bir çizginin denklemini oluşturmanın yollarına bakacağız. Pratik örnekleri (çok basit görünse bile) ihmal etmemenizi öneririm, çünkü onlara temel ve temel bilgiler vereceğim. önemli gerçekler, teknik yöntemler Yüksek matematiğin diğer bölümleri de dahil olmak üzere gelecekte gerekli olacak.

• Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?
• Nasıl ?
• Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?
• Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

ve başlıyoruz:

Eğimli bir doğrunun denklemi

Düz çizgi denkleminin iyi bilinen "okul" biçimine denir eğimi olan bir doğrunun denklemi. Örneğin denklemde düz bir çizgi veriliyorsa eğimi: . Hadi düşünelim geometrik anlamı Bu katsayı ve değerinin hattın konumunu nasıl etkilediği:

Bir geometri dersinde kanıtlanmıştır ki doğrunun eğimi eşittir açının tanjantı pozitif eksen yönü arasındave bu çizgi: ve açı saat yönünün tersine "açılır".

Çizimi karıştırmamak için sadece iki düz çizgiye açı çizdim. “Kırmızı” çizgiyi ve eğimini ele alalım. Yukarıdakilere göre: (“alfa” açısı yeşil bir yay ile gösterilir). Açı katsayısına sahip “mavi” düz çizgi için eşitlik doğrudur (“beta” açısı kahverengi bir yay ile gösterilir). Ve eğer açının tanjantı biliniyorsa, o zaman gerekirse bulunması kolaydır. ve köşenin kendisi kullanarak ters fonksiyon– arktanjant. Dedikleri gibi, elinizde bir trigonometrik masa veya bir mikro hesap makinesi. Böylece, açısal katsayı, düz çizginin apsis eksenine eğim derecesini karakterize eder.

Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğim negatifse: kabaca konuşursak çizgi yukarıdan aşağıya doğru gider. Örnekler çizimdeki “mavi” ve “ahududu” düz çizgilerdir.

2) Eğim pozitifse: doğru aşağıdan yukarıya doğru gider. Örnekler - çizimdeki “siyah” ve “kırmızı” düz çizgiler.

3) Eğim sıfır ise denklem şu şekli alır: karşılık gelen düz çizgi eksene paraleldir. Bir örnek “sarı” düz çizgidir.

4) Bir eksene paralel bir çizgi ailesi için (çizimde eksenin kendisi dışında örnek yoktur), açısal katsayı bulunmuyor (90 derecenin tanjantı tanımlanmamıştır).

Mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar büyükse, düz çizgi grafiği de o kadar dik gider..

Örneğin iki düz çizgiyi düşünün. Dolayısıyla burada düz çizginin eğimi daha diktir. Modülün işareti görmezden gelmenize izin verdiğini hatırlatayım, biz sadece ilgileniyoruz mutlak değerler açısal katsayılar.

Buna karşılık düz bir çizgi, düz çizgilerden daha diktir .

Tersine: mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar küçükse, düz çizgi o kadar düz olur.

Düz çizgiler için eşitsizlik doğrudur, dolayısıyla düz çizgi daha düzdür. Kendinize morluklar ve şişlikler vermemek için çocuk kaydırağı.

Bu neden gerekli?

Eziyetinizi uzatın Yukarıdaki gerçekleri bilmek, hatalarınızı, özellikle de grafik oluştururken yaptığınız hataları - çizimin "açıkça yanlış olduğu" ortaya çıkarsa - anında görmenizi sağlar. Bunu yapmanız tavsiye edilir hemenörneğin düz çizginin çok dik olduğu ve aşağıdan yukarıya doğru gittiği, düz çizginin ise çok düz olduğu, eksene yakın bastırıldığı ve yukarıdan aşağıya doğru gittiği açıktı.

Geometrik problemlerde sıklıkla birkaç düz çizgi görünür, bu nedenle bunları bir şekilde belirlemek uygundur.

Tanımlar: düz çizgiler küçük olarak gösterilmiştir Latin harfleriyle: . Popüler bir seçenek, bunları doğal alt simgelerle aynı harfi kullanarak belirlemektir. Örneğin az önce baktığımız beş çizgi şu şekilde gösterilebilir: .

Herhangi bir düz çizgi benzersiz olarak iki nokta tarafından belirlendiğinden, bu noktalarla gösterilebilir: vesaire. Tanım, noktaların çizgiye ait olduğunu açıkça ima eder.

Biraz ısınmanın zamanı geldi:

Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Belirli bir doğruya ait bir nokta ve bu doğrunun açısal katsayısı biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

örnek 1

Noktanın bu doğruya ait olduğu biliniyorsa, açısal katsayılı bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Formülü kullanarak düz çizginin denklemini oluşturalım . İÇİNDE bu durumda:

Cevap:

Sınav basitçe yapılır. Öncelikle ortaya çıkan denkleme bakıp eğimimizin yerinde olduğundan emin oluyoruz. İkinci olarak noktanın koordinatlarının bu denklemi sağlaması gerekir. Bunları denklemde yerine koyalım:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da noktanın ortaya çıkan denklemi karşıladığı anlamına gelir.

Çözüm: Denklem doğru bulunmuştur.

için daha çetrefilli bir örnek bağımsız karar:

Örnek 2

Eksenin pozitif yönüne olan eğim açısının olduğu ve noktanın bu düz çizgiye ait olduğu biliniyorsa, düz bir çizginin denklemini yazın.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız teorik materyali yeniden okuyun. Daha doğrusu, daha pratik, birçok delili atlıyorum.

çaldı son çağrı, mezuniyet partisi geçti ve ana okulumuzun kapılarının dışında analitik geometrinin kendisi bizi bekliyor. Şakalar bitti... Ya da belki daha yeni başlıyorlar =)

Kalemimizi nostaljik bir şekilde tanıdık olana sallıyoruz ve düz bir çizginin genel denklemiyle tanışıyoruz. Çünkü analitik geometride tam olarak kullanılan şey budur:

Düz bir çizginin genel denklemi şu şekildedir:: , bazı sayılar nerede? Aynı zamanda katsayılar eşzamanlı Denklem anlamını yitirdiğinden sıfıra eşit değildir.

Takım elbise giyelim ve denklemi eğim katsayısıyla bağlayalım. Öncelikle tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İlk sıraya “X”li terim konulmalıdır:

Prensip olarak, denklem zaten şu şekle sahiptir, ancak matematiksel görgü kurallarına göre, ilk terimin katsayısı (bu durumda) pozitif olmalıdır. İşaretlerin değiştirilmesi:

Bu teknik özelliği unutmayın!İlk katsayıyı (çoğunlukla) pozitif yaparız!

Analitik geometride düz bir çizginin denklemi neredeyse her zaman genel biçimde verilir. Gerekirse, açısal katsayılı (ordinat eksenine paralel düz çizgiler hariç) kolayca "okul" formuna indirgenebilir.

Kendimize şunu soralım yeterli Düz bir çizgi çizmeyi biliyor musun? İki puan. Ancak bu çocukluk olayı hakkında daha fazlası artık ok kuralına bağlı kalıyor. Her düz çizginin çok özel bir eğimi vardır ve buna "adapte edilmesi" kolaydır. vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre o doğrunun yön vektörü denir. Herhangi bir düz çizginin sonsuz sayıda yön vektörüne sahip olduğu açıktır ve bunların hepsi eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü ya da değil - önemli değil).

Yön vektörünü şu şekilde göstereceğim: .

Ancak bir vektör düz bir çizgi oluşturmak için yeterli değildir; vektör serbesttir ve düzlemdeki herhangi bir noktaya bağlı değildir. Bu nedenle doğruya ait bazı noktaların da bilinmesi gerekmektedir.

Bir nokta ve yön vektörü kullanılarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun yön vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Bazen denir çizginin kanonik denklemi .

Ne zaman ne yapmalı koordinatlardan biri sıfıra eşit olduğunu aşağıdaki pratik örneklerde anlayacağız. Bu arada, lütfen unutmayın - ikisi de aynı anda Sıfır vektörü belirli bir yönü belirtmediğinden koordinatlar sıfıra eşit olamaz.

Örnek 3

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Çözüm: Formülü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım. Bu durumda:

Orantı özelliklerini kullanarak kesirlerden kurtuluruz:

Ve denklemi genel şekline getiriyoruz:

Cevap:

Kural olarak, bu tür örneklerde çizim yapmaya gerek yoktur, ancak anlaşılması adına:

Çizimde başlangıç ​​noktasını, orijinal yön vektörünü (düzlemdeki herhangi bir noktadan çizilebilir) ve oluşturulan düz çizgiyi görüyoruz. Bu arada, çoğu durumda açısal katsayılı bir denklem kullanarak düz bir çizgi oluşturmak en uygunudur. Denklemimizi forma dönüştürmek ve düz bir çizgi oluşturmak için kolayca başka bir nokta seçmek kolaydır.

Paragrafın başında belirtildiği gibi, düz bir çizginin sonsuz sayıda yön vektörü vardır ve bunların hepsi eşdoğrusaldır. Örneğin, böyle üç vektör çizdim: . Hangi yön vektörünü seçersek seçelim sonuç her zaman aynı düz çizgi denklemi olacaktır.

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Oranın çözümü:

Her iki tarafı da -2'ye bölün ve tanıdık denklemi elde edin:

İlgilenenler vektörleri aynı şekilde test edebilirler veya başka herhangi bir eşdoğrusal vektör.

Şimdi ters problemi çözelim:

Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?

Çok basit:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun yön vektörüdür.

Düz çizgilerin yön vektörlerini bulma örnekleri:

İfade, sonsuz sayıdan yalnızca bir yön vektörünü bulmamızı sağlar, ancak daha fazlasına ihtiyacımız yoktur. Bazı durumlarda yön vektörlerinin koordinatlarının azaltılması tavsiye edilse de:

Dolayısıyla denklem, eksene paralel olan bir düz çizgiyi belirtir ve elde edilen yön vektörünün koordinatları uygun şekilde –2'ye bölünür ve yön vektörü olarak tam olarak temel vektör elde edilir. Mantıklı.

Benzer şekilde denklem eksene paralel bir doğruyu belirtir ve vektörün koordinatlarını 5'e bölerek yön vektörü olarak birim vektörü elde ederiz.

Şimdi yapalım Örnek 3'ün kontrol edilmesi. Örnek yukarıya çıktı, bu yüzden size bir nokta ve yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemini derlediğimizi hatırlatırım.

İlk önce, düz çizginin denklemini kullanarak onun yön vektörünü yeniden oluşturuyoruz: – her şey yolunda, orijinal vektörü aldık (bazı durumlarda sonuç, orijinal vektöre eşdoğrusal bir vektör olabilir ve bunu genellikle karşılık gelen koordinatların orantılılığıyla fark etmek kolaydır).

ikinci olarak, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Bunları denklemde yerine koyarız:

Doğru eşitlik elde edildi ve bundan çok memnunuz.

Çözüm: Görev doğru bir şekilde tamamlandı.

Örnek 4

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Az önce tartışılan algoritmayı kullanarak kontrol etmeniz şiddetle tavsiye edilir. Her zaman (mümkünse) taslağı kontrol etmeye çalışın. %100 önlenebilecek hatalar yapmak aptallıktır.

Yön vektörünün koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda çok basit bir şekilde ilerleyin:

Örnek 5

Çözüm: Sağ taraftaki payda sıfır olduğundan formül uygun değildir. Bir çıkış var! Oranın özelliklerini kullanarak formülü formda yeniden yazıyoruz ve geri kalanı derin bir iz boyunca yuvarlanıyor:

Cevap:

Sınav:

1) Hattın yönlendirme vektörünü geri yükleyin:
– ortaya çıkan vektör orijinal yön vektörüne eşdoğrusaldır.

2) Noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyun:

Doğru eşitlik elde edildi

Çözüm: görev doğru şekilde tamamlandı

Şu soru ortaya çıkıyor: Her durumda işe yarayacak evrensel bir versiyon varsa neden formülle uğraşasınız ki? İki sebep var. İlk olarak formül kesir şeklindedir çok daha iyi hatırlandı. İkincisi, evrensel formülün dezavantajı şudur: kafanın karışma riski önemli ölçüde artar Koordinatları değiştirirken.

Örnek 6

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Her yerde bulunan iki noktaya dönelim:

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

İki nokta biliniyorsa, bu noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Aslında bu bir tür formüldür ve nedeni şudur: Eğer iki nokta biliniyorsa, o zaman vektör, verilen doğrunun yön vektörü olacaktır. Derste Aptallar için vektörler En basit problemi düşündük - bir vektörün koordinatlarının iki noktadan nasıl bulunacağı. Bu probleme göre yön vektörünün koordinatları şöyledir:

Not : noktalar "değiştirilebilir" ve formül kullanılabilir . Böyle bir çözüm eşdeğer olacaktır.

Örnek 7

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın .

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Paydaların birleştirilmesi:

Ve desteyi karıştırın:

Artık kesirli sayılardan kurtulmanın zamanı geldi. Bu durumda her iki tarafı da 6 ile çarpmanız gerekir:

Parantezleri açın ve denklemi aklınıza getirin:

Cevap:

Sınav açıktır - başlangıç ​​noktalarının koordinatları ortaya çıkan denklemi karşılamalıdır:

1) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

2) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

Çözüm: Doğrunun denklemi doğru yazılmıştır.

Eğer en az bir noktaların denklemi karşılamıyorsa, bir hata arayın.

Düz bir çizgi oluşturmak ve noktaların ona ait olup olmadığını görmek nedeniyle bu durumda grafiksel doğrulamanın zor olduğunu belirtmekte fayda var. , o kadar basit değil.

Çözümün birkaç teknik yönüne daha değineceğim. Belki bu problemde ayna formülünü kullanmak daha karlı olur ve aynı noktalarda bir denklem kuralım:

Daha az kesir. İsterseniz çözümü sonuna kadar yürütebilirsiniz, sonuç aynı denklem olmalıdır.

İkinci nokta, son cevaba bakmak ve bunun daha da basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini bulmaktır. Örneğin, denklemi elde ederseniz, onu ikiye azaltmanız önerilir: – denklem aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır. Ancak bu zaten konuşulan bir konu çizgilerin göreceli konumu.

Cevabı aldıktan Örnek 7'de her ihtimale karşı denklemin TÜM katsayılarının 2, 3 veya 7'ye bölünebilir olup olmadığını kontrol ettim. Bununla birlikte, çoğu zaman bu tür indirgemeler çözüm sırasında yapılır.

Örnek 8

Noktalardan geçen bir doğrunun denklemini yazın .

Bu, hesaplama tekniklerini daha iyi anlamanızı ve uygulamanızı sağlayacak bağımsız bir çözüm örneğidir.

Önceki paragrafa benzer: formülde ise paydalardan biri (yön vektörünün koordinatı) sıfır olur, sonra onu formda yeniden yazarız. Bir kez daha ne kadar garip ve kafası karışmış göründüğüne dikkat edin. Bu sorunu zaten çözdüğümüz için pratik örnekler vermenin pek bir anlamı olduğunu düşünmüyorum (bkz. No. 5, 6).

Doğrudan normal vektör (normal vektör)

Normal olan nedir? Basit kelimelerle, normal diktir. Yani bir doğrunun normal vektörü verilen bir doğruya diktir. Açıkçası, herhangi bir düz çizgide bunlardan sonsuz sayıda vardır (aynı zamanda yön vektörleri) ve düz çizginin tüm normal vektörleri eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü olsun ya da olmasın, hiçbir fark yaratmaz).

Onlarla uğraşmak, kılavuz vektörlerle uğraşmaktan çok daha kolay olacaktır:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun normal vektörüdür.

Yön vektörünün koordinatlarının denklemden dikkatli bir şekilde "çıkarılması" gerekiyorsa, normal vektörün koordinatları basitçe "çıkarılabilir".

Normal vektör her zaman doğrunun yön vektörüne diktir. Bu vektörlerin dikliğini aşağıdakileri kullanarak doğrulayalım: nokta ürün:

Yön vektörüyle aynı denklemlere sahip örnekler vereceğim:

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini oluşturmak mümkün müdür? Bunu iliklerimde hissediyorum, bu mümkün. Normal vektör biliniyorsa, düz çizginin yönü açıkça tanımlanır - bu, 90 derecelik bir açıya sahip "sert bir yapıdır".

Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun normal vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Burada her şey kesirler ve diğer sürprizler olmadan yolunda gitti. Bu bizim normal vektörümüz. Onu sev. Ve saygı duyuyorum =)

Örnek 9

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Doğrunun genel denklemi elde edildi, kontrol edelim:

1) Normal vektörün koordinatlarını denklemden “çıkarın”: – evet, gerçekten de orijinal vektör koşuldan elde edildi (veya eşdoğrusal bir vektör elde edilmelidir).

2) Noktanın denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim:

Gerçek eşitlik.

Denklemin doğru oluşturulduğuna ikna olduktan sonra ikincisini gerçekleştireceğiz. kolay kısım görevler. Düz çizginin yönlendirici vektörünü çıkarıyoruz:

Cevap:

Çizimde durum şöyle görünüyor:

Eğitim amacıyla, bağımsız olarak çözmek için benzer bir görev:

Örnek 10

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Dersin son bölümü, düzlemdeki bir doğrunun daha az yaygın fakat aynı zamanda önemli denklem türlerine ayrılacaktır.

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.
Parametrik formda bir doğrunun denklemi

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi, sıfırdan farklı sabitlerin olduğu formdadır. Doğru orantılılık gibi bazı denklem türleri bu biçimde temsil edilemez (çünkü serbest terim sıfıra eşittir ve sağ tarafa bir tane almanın yolu yoktur).

Bu mecazi anlamda “teknik” bir denklem türüdür. Ortak bir görev, genel denklem segmentler halinde bir çizginin denklemi biçiminde bir çizgiyi temsil eder. Nasıl uygun? Bir çizginin segmentler halinde denklemi, bir çizginin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar; bu, bazı yüksek matematik problemlerinde çok önemli olabilir.

Doğrunun eksenle kesişme noktasını bulalım. “Y”yi sıfıra sıfırlarız ve denklem şu şekli alır: İstenilen nokta otomatik olarak ortaya çıkıyor: .

Eksen ile aynı – Düz çizginin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta.

Matematikte bir doğrunun Kartezyen koordinat düzlemindeki konumunu tanımlayan parametrelerden biri de bu doğrunun açısal katsayısıdır. Bu parametre, düz çizginin apsis eksenine olan eğimini karakterize eder. Eğimin nasıl bulunacağını anlamak için önce XY koordinat sistemindeki düz çizgi denkleminin genel formunu hatırlayın.

İÇİNDE Genel görünüm herhangi bir düz çizgi ax+by=c ifadesiyle temsil edilebilir; burada a, b ve c isteğe bağlı gerçek sayılardır, ancak her zaman a 2 + b 2 ≠ 0'dır.

Basit dönüşümler kullanılarak böyle bir denklem, k ve d'nin gerçel sayılar olduğu y=kx+d formuna getirilebilir. K sayısı eğimdir ve bu tür bir doğrunun denklemine eğimli denklem denir. Eğimi bulmak için orijinal denklemi yukarıda belirtilen forma indirmeniz gerektiği ortaya çıktı. Daha kapsamlı bir anlayış için belirli bir örneği düşünün:

Problem: 36x - 18y = 108 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi dönüştürelim.

Cevap: Bu doğrunun gerekli eğimi 2'dir.

Denklemin dönüşümü sırasında x = const gibi bir ifade elde ettiysek ve bunun sonucunda y'yi x'in bir fonksiyonu olarak temsil edemiyorsak, X eksenine paralel bir doğru ile karşı karşıyayız demektir. düz bir çizgi sonsuza eşittir.

Y = const gibi bir denklemle ifade edilen çizgiler için eğim sıfırdır. Bu, apsis eksenine paralel düz çizgiler için tipiktir. Örneğin:

Problem: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi genel formuna getirelim

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ortaya çıkan ifadeden y'yi ifade etmek imkansızdır, bu nedenle bu çizginin açısal katsayısı sonsuza eşittir ve çizginin kendisi Y eksenine paralel olacaktır.

Geometrik anlam

Daha iyi anlamak için resme bakalım:

Şekilde y = kx gibi bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz. Basitleştirmek için c = 0 katsayısını alalım. OAB üçgeninde BA kenarının AO kenarına oranı k açısal katsayısına eşit olacaktır. Aynı zamanda BA/AO oranı, OAB dik üçgenindeki α dar açısının tanjantıdır. Düz çizginin açısal katsayısının, bu düz çizginin koordinat ızgarasının apsis ekseniyle yaptığı açının tanjantına eşit olduğu ortaya çıktı.

Düz bir çizginin açısal katsayısının nasıl bulunacağı problemini çözerek, onunla koordinat ızgarasının X ekseni arasındaki açının tanjantını buluruz. Sınır durumları, söz konusu çizginin koordinat eksenlerine paralel olduğu durumlarda yukarıdakileri doğrular. Gerçekte, y=sabit denklemiyle tanımlanan bir düz çizgi için, onunla apsis ekseni arasındaki açı sıfırdır. Sıfır açının tanjantı da sıfırdır ve eğim de sıfırdır.

X eksenine dik olan ve x=const denklemiyle tanımlanan düz çizgiler için, bunlarla X ekseni arasındaki açı 90 derecedir. Teğet dik açı sonsuza eşittir ve benzer düz çizgilerin açısal katsayısı da sonsuza eşittir, bu da yukarıda yazılanları doğrular.

Teğet eğim

Uygulamada sıklıkla karşılaşılan ortak bir görev de, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadaki teğetin eğimini bulmaktır. Teğet düz bir çizgidir, bu nedenle eğim kavramı ona da uygulanabilir.

Bir teğetin eğimini nasıl bulacağımızı bulmak için türev kavramını hatırlamamız gerekecek. Herhangi bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğinin belirtilen noktasındaki teğeti ile apsis ekseni arasında oluşan açının tanjantına sayısal olarak eşit bir sabittir. x 0 noktasındaki teğetin açısal katsayısını belirlemek için, orijinal fonksiyonun k = f"(x 0) noktasındaki türevinin değerini hesaplamamız gerektiği ortaya çıktı. Örneğe bakalım:

Problem: y = 12x 2 + 2xe x fonksiyonuna x = 0,1'de teğet olan doğrunun eğimini bulun.

Çözüm: Orijinal fonksiyonun türevini genel formda bulun

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Cevap: x = 0,1 noktasında gerekli eğim 4,831'dir.

Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Bu durumda grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Hatırlamak Genel kurallar, hangi türevlerin alındığı ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.

• Makaleyi oku.
• En basit türevler nasıl alınır, örneğin türev üstel denklem, anlatıldı. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.

Eğimin bir fonksiyonun türevi aracılığıyla hesaplanması gereken problemleri ayırt etmeyi öğrenin. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin, bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.

Size verilen fonksiyonun türevini alın. Burada bir grafik oluşturmaya gerek yok; yalnızca fonksiyonun denklemine ihtiyacınız var. Örneğimizde fonksiyonun türevini alın. Türevi yukarıda belirtilen makalede belirtilen yöntemlere göre alın:

• Türev:

Eğimi hesaplamak için size verilen noktanın koordinatlarını bulunan türevin yerine koyun. Bir fonksiyonun türevi belirli bir noktadaki eğime eşittir. Başka bir deyişle f"(x), fonksiyonun herhangi bir (x,f(x)) noktasındaki eğimidir. Örneğimizde:

• Fonksiyonun eğimini bulun f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) noktasında.
• Bir fonksiyonun türevi:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Bu noktanın “x” koordinatının değerini değiştirin:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Eğimi bulun:
• Eğim fonksiyonu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) noktasında 22'ye eşittir.

Mümkünse cevabınızı bir grafik üzerinde kontrol edin. Eğimin her noktada hesaplanamayacağını unutmayın. Diferansiyel hesap inceliyor karmaşık işlevler ve eğimin her noktada hesaplanamadığı ve bazı durumlarda noktaların grafiklerde hiç yer almadığı karmaşık grafikler. Mümkünse, size verilen fonksiyonun eğiminin doğru olup olmadığını kontrol etmek için bir grafik hesap makinesi kullanın. Aksi halde size verilen noktaya grafiğe bir teğet çizin ve bulduğunuz eğim değerinin grafikte gördüğünüzle eşleşip eşleşmediğini düşünün.

• Teğet, belirli bir noktada fonksiyonun grafiğiyle aynı eğime sahip olacaktır. Belirli bir noktaya teğet çizmek için, X ekseninde sola/sağa hareket edin (örneğimizde sağa doğru 22 değer) ve ardından Y ekseninde bir yukarıya doğru hareket edin. Noktayı işaretleyin ve ardından onu teğet noktasına bağlayın. sana verilen puan. Örneğimizde noktaları (4,2) ve (26,3) koordinatlarıyla birleştirin.