V skutočnosti, aby sme našli oblasť postavy, nepotrebujeme toľko znalostí neurčitého a definitívneho integrálu. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, preto budú vaše vedomosti a schopnosti kreslenia oveľa naliehavejšou otázkou. V tomto ohľade je užitočné obnoviť pamäť grafov hlavných elementárnych funkcií a prinajmenšom dokázať vytvoriť priamku a hyperbolu.

Krivočiary lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, priamkami a grafom spojitej funkcie v segmente, ktorý nezmení znamienko v tomto intervale. Nech je toto číslo umiestnené nie menej os vodorovnej osi:

potom plocha zakriveného lichobežníka sa numericky rovná konečnému integrálu... Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam.

Z hľadiska geometrie je definitívnym integrálom AREA.

to znamená, určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru. Napríklad, zvážte definitívny integrál. Integrand nastaví krivku v rovine, ktorá je umiestnená nad osou (tí, ktorí si želajú urobiť kresbu) a samotný konečný integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočarého lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typické vyhlásenie úlohy. Prvým a najdôležitejším bodom riešenia je konštrukcia výkresu... Okrem toho musí byť výkres postavený SPRÁVNY.

V tomto probléme by riešenie mohlo vyzerať takto.
Nakreslite výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Na segmente sa nachádza graf funkcie nad osou, takže:

odpoveď:

Po dokončení priradenia je vždy užitočné pozrieť sa na plán a odhadnúť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek vo výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, vyzerá to ako pravda. Je úplne jasné, že ak dostaneme napríklad 20 štvorcových jednotiek, potom je zrejmé, že sa niekde urobila chyba - uvažovaná hodnota sa zjavne nezmestí na 20 buniek, nanajvýš na desať. Ak je odpoveď záporná, bola úloha tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 3

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

rozhodnutie: Poďme vykonať kresbu:

Ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou(alebo nakoniec nie vyššia danú os)), potom jej plocha nájdeme podľa vzorca:

V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiada, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez geometrického významu, potom môže byť negatívny.

2) Ak sa od vás požaduje, aby ste našli určitú oblasť postavy pomocou určitého integrálu, potom je táto oblasť vždy pozitívna! Preto sa v uvažovanom vzorci objaví mínus.

V praxi sa toto číslo najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polovici rovín, a preto sa z najjednoduchších problémov školy dostávame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite oblasť rovinnej postavy ohraničenej čiarami.

rozhodnutie: Najprv musíte dokončiť kreslenie. Všeobecne povedané, pri zostavovaní výkresu problémov v oblasti nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. To je možné dosiahnuť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto dolná hranica integrácie, horná hranica integrácie.

Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužiť..

Je oveľa výhodnejšie a rýchlejšie zostaviť trate bod po bode, zatiaľ čo hranice integrácie sú jasné, akoby „sami“. Analytická metóda na zistenie limitov sa však musí stále použiť, ak napríklad graf je dostatočne veľký alebo presná konštrukcia neodhalila hranice integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). Takýto príklad zvážime.

Vráťme sa k nášmu problému: racionálnejšie je najprv skonštruovať priamku a až potom parabolu. Poďme vykonať výkres:

A teraz pracovný vzorec: Ak je v segmente nejaká súvislá funkcia väčšie alebo rovnaké nejakej spojitej funkcie, potom plocha obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a priamky, možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať, kde sa obrázok nachádza - nad osou alebo pod osou a zhruba povedané, je dôležité, ktorý rozvrh je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý z nich je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že v segmente je parabola umiestnená nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia by mohlo vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je ohraničená parabolou v hornej časti a priamou čiarou v spodnej časti.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Príklad 4

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami ,,,.

rozhodnutie: Najprv vykonáme kreslenie:

Obrázok, ktorého oblasť musíme nájsť, je označený modrou farbou (pozorne sa pozrite na stav - na čo je číslo obmedzené!). V praxi však z dôvodu nepozornosti často vzniká „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je v tieni zelenou farbou!

Tento príklad je tiež užitočný v tom, že vypočíta plochu postavy pomocou dvoch jednoznačných integrálov.

naozaj:

1) Čiarový graf je umiestnený v segmente nad osou;

2) Graf hyperboly je umiestnený v segmente nad osou.

Je celkom zrejmé, že oblasti je možné (a mali by sa pridať) z tohto dôvodu:

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jednu alebo dve matematické vzorce na webovú stránku, potom je najjednoduchší spôsob, ako to urobiť v článku: matematické vzorce sa na web jednoducho vložia vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky generuje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť vašich stránok vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že to bude fungovať večne), ale už je morálne zastarané.

Ak na svojich stránkach pravidelne používate matematické vzorce, odporúčame vám použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematické zápisy vo webových prehľadávačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na svoje stránky, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správny čas (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na server a pripojte ho na všetky stránky svojho webu. Druhá metóda, ktorá je zložitejšia a časovo náročnejšia, urýchli načítanie stránok vašej stránky. Ak sa z nejakého dôvodu stane nadradený server MathJax dočasne nedostupný, nijakým spôsobom to neovplyvní vašu stránku. Napriek týmto výhodám som si vybral prvú metódu, pretože je jednoduchšia, rýchlejšia a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a za 5 minút budete môcť na svojom webe používať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch verzií kódu prevzatého z hlavnej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jedna z týchto variantov kódu by sa mala skopírovať a prilepiť do kódu vašej webovej stránky, pokiaľ možno medzi značky a alebo hneď za značkou ... Podľa prvej možnosti sa MathJax načíta rýchlejšie a spomaľuje stránku menej. Druhá možnosť však automaticky sleduje a načíta najnovšie verzie systému MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa načítajú pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJaxu.

Najjednoduchší spôsob, ako sa spojiť s MathJax, je v službe Blogger alebo WordPress: do informačného panela na vašom webe pridajte miniaplikáciu navrhnutú na vloženie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte prvú alebo druhú verziu kódu na stiahnutie vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatku šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné) pretože skript MathJax je načítaný asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntaxe značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je postavený podľa určitého pravidla, ktoré sa postupne aplikuje neobmedzene. Každý taký čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je pomerne jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej tvárami na 27 rovnakých kociek. Z nej sa odstráni jedna stredná kocka a 6 susedných kociek. Ukázalo sa, že súbor pozostávajúci z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu už zo 400 menších kociek. Pokračovaním tohto procesu nekonečne dostávame špongiu Menger.

Prechádzame k posudzovaniu aplikácií integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. výpočet plochy plochého útvaru pomocou určitého integrálu... Nakoniec, všetci, ktorí hľadajú význam vo vyššej matematike - môžu to nájsť. Nikdy nevieš. Budeme musieť priblížiť prímestskú oblasť so základnými funkciami a nájsť jej oblasť pomocou určitého integrálu.

Na úspešné zvládnutie materiálu musíte:

1) Pochopiť neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by mali figuríny najskôr prečítať túto lekciu nie.

2) Byť schopný aplikovať Newton-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke si môžete vytvoriť priateľstvá s určitými integrálmi Určitý integrál. Príklady riešenia. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, preto budú vaše vedomosti a zručnosti pri zostavovaní výkresov tiež naliehavým problémom. Minimálne musíte byť schopní vytvoriť priamu líniu, parabolu a hyperbolu.

Začnime zakriveným lichobežníkom. Zakrivený lichobežník je plochý obrázok ohraničený grafom určitej funkcie y = f(x), os VÔL a čiary x = ; x = b.

Plocha zakriveného lichobežníka sa numericky rovná konečnému integrálu

Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekciu Určitý integrál. Príklady riešeniapovedali sme, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je definitívnym integrálom AREA... to znamená, určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru... Zvážte definitívny integrál

integrand

definuje krivku v rovine (v prípade potreby ju možno nakresliť) a samotný konečný integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočarého lichobežníka.

Príklad 1

, , , .

Toto je typické vyhlásenie úlohy. Najdôležitejším bodom riešenia je konštrukcia výkresu... Okrem toho musí byť výkres postavený SPRÁVNY.

Pri zostavovaní výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie postaviť všetky trate (ak existujú) a iba neskôr - paraboly, hyperboly, grafy ďalších funkcií. Technika konštrukcie bod po bode je uvedená v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií... Tam tiež nájdete veľmi užitočný materiál vo vzťahu k našej lekcii - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme by riešenie mohlo vyzerať takto.

Poďme dokončiť kreslenie (všimnite si, že rovnica y \u003d 0 definuje os VÔL):

Nebudeme liahnúť krivočiary lichobežník, tu je zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

V segmente [-2; 1] graf funkcie y = x Nachádza sa 2 + 2 nad osouVÔL, takže:

odpoveď: .

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca

pozri prednášku Určitý integrál. Príklady riešenia... Po dokončení priradenia je vždy užitočné pozrieť sa na plán a odhadnúť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek vo výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, vyzerá to ako pravda. Je úplne jasné, že ak dostaneme napríklad 20 štvorcových jednotiek, potom je zrejmé, že sa niekde urobila chyba - uvažovaná hodnota sa zjavne nezmestí na 20 buniek, nanajvýš na desať. Ak je odpoveď záporná, bola úloha tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami xy = 4, x = 2, x \u003d 4 a os VÔL.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osouVÔL?

Príklad 3

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami y = e - x, x \u003d 1 a súradnicové osi.

Riešenie: Poďme vykonať výkres:

Ak je zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod nápravou VÔL , potom je jeho plocha určená vzorcom:

V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiada, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez geometrického významu, potom môže byť negatívny.

2) Ak sa od vás požaduje, aby ste našli určitú oblasť postavy pomocou určitého integrálu, potom je táto oblasť vždy pozitívna! Preto sa v uvažovanom vzorci objaví mínus.

V praxi sa toto číslo najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polovici rovín, a preto sa z najjednoduchších problémov školy dostávame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite oblasť plochého útvaru ohraničeného čiarami y = 2x – x 2 , y = -x.

Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Pri zostavovaní výkresu problémov v oblasti nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly y = 2x – x 2 a rovné y = -x... To je možné dosiahnuť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto je dolná hranica integrácie \u003d 0, horná hranica integrácie b \u003d 3. Často je výhodnejšie a rýchlejšie vytvárať trate bod po bode, zatiaľ čo hranice integrácie sú jasné, akoby „sami“. Analytická metóda na zistenie limitov sa však musí stále použiť, ak napríklad graf je dostatočne veľký alebo presná konštrukcia neodhalila hranice integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). Vráťme sa k nášmu problému: racionálnejšie je najprv skonštruovať priamku a až potom parabolu. Poďme vykonať výkres:

Zopakujme, že v prípade bodovej konštrukcie sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec:

Ak je v segmente [ ; b] nejaká súvislá funkcia f(x) väčšie alebo rovnaké nejaká spojitá funkcia g(x), potom oblasť zodpovedajúceho čísla možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať, kde sa obrázok nachádza - nad osou alebo pod osou, ale je dôležité, ktorý rozvrh je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý z nich je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že v segmente je parabola umiestnená nad priamkou, a teda od 2 x – x 2 sa musí odpočítať - x.

Dokončenie riešenia by mohlo vyzerať takto:

Hľadaná postava je ohraničená parabolou y = 2x – x 2 horná a rovná y = -x zdola.

V segmente 2 x – x 2 ≥ -x... Podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď: .

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiarych lichobežníkov v dolnej polovici roviny (pozri príklad č. 3) osobitným prípadom vzorca

Od osi VÔL daný rovnicou y \u003d 0 a graf funkcie g(x) sa nachádza pod osou VÔLpotom

A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť tvaru ohraničenej čiarami

V priebehu riešenia problémov na výpočet oblasti pomocou určitého integrálu sa niekedy stáva zábavná udalosť. Výkres sa vykonáva správne, výpočty sú správne, ale neúmyselne ... oblasť nesprávneho čísla bola nájdená.

Príklad 7

Najprv spustíme výkres:

Obrázok, ktorého oblasť musíme nájsť, je označený modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - na čo je číslo obmedzené!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často rozhodnú, že je potrebné nájsť oblasť figúry, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je tiež užitočný v tom, že vypočíta plochu postavy pomocou dvoch jednoznačných integrálov. naozaj:

1) V segmente [-1; 1] nad osou VÔL graf je rovný y = x+1;

2) Na segmente nad osou VÔL nachádza sa graf hyperboly y = (2/x).

Je celkom zrejmé, že oblasti je možné (a mali by sa pridať) z tohto dôvodu:

odpoveď:

Príklad 8

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami

Predstavme si rovnice v „školskej“ podobe

a vykonajte kreslenie bod po bode:

Z výkresu vidno, že náš horný limit je „dobrý“: b = 1.

Ale čo je dolná hranica?! Je zrejmé, že to nie je celé číslo, ale ktoré?

Možno, \u003d (- 1/3)? Ale tam, kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať \u003d (- 1/4). Čo keby sme graf nesprávne vykreslili?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky spresniť limity integrácie.

Nájdite priesečníky grafov

Za týmto účelom vyriešime rovnicu:

Z toho dôvodu, =(-1/3).

Ďalšie riešenie je triviálne. Hlavnou vecou nie je zamieňať sa v substitúciách a znakoch. Výpočty tu nie sú najjednoduchšie. Na segmente

, ,

podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na konci hodiny zvážime dve zložitejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami

Riešenie: Nakreslite tento obrázok do výkresu.

Na konštrukciu výkresu bod po bode musíte poznať vzhľad sínusoidy. Všeobecne je užitočné poznať grafy všetkých základných funkcií, ako aj niektoré sínusové hodnoty. Nájdete ich v tabuľke hodnôt trigonometrické funkcie... V mnohých prípadoch (napríklad v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický nákres, na ktorom by sa grafy a limity integrácie mali v zásade zobrazovať správne.

S obmedzeniami integrácie nie sú žiadne problémy, vyplývajú priamo z podmienky:

- "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie y \u003d hriech 3 x umiestnené nad osou VÔL, takže:

(1) Ako sú sine a kosiny integrované do nepárnych síl, môžete vidieť v lekcii Integrály trigonometrických funkcií... Uštipneme jeden sínus.

(2) Používame základnú trigonometrickú identitu vo forme

(3) Zmeňte premennú t \u003d cos x, potom: sa nachádza nad osou, takže:

Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál dotyčnice v kocke, tu sa používa dôsledok hlavnej trigonometrickej identity

Problém číslo 3. Vytvorte výkres a vypočítajte plochu postavy ohraničenú čiarami

Integrovaná aplikácia na riešenie aplikovaných problémov

Výpočet oblasti

Definitívny integrál spojitej nezápornej funkcie f (x) sa numericky rovnáplocha zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y \u003d f (x), osou Ox a priamkami x \u003d a a x \u003d b. Vzorec oblasti sa preto píše takto:

Pozrime sa na niekoľko príkladov na výpočet oblastí rovinných útvarov.

Úloha č. 1. Vypočítajte plochu ohraničenú čiarami y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Rozhodnutie. Postavme postavu, oblasť, ktorú budeme musieť vypočítať.

y \u003d x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy sú nasmerované nahor, a parabola je posunutá vzhľadom na os y smerom nahor o jednu jednotku (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y \u003d x 2 + 1

Úloha číslo 2. Vypočítajte plochu ohraničenú čiarami y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 v rozsahu od 0 do 1.

Rozhodnutie. Graf tejto funkcie je parabola vetvy, ktorá je nasmerovaná nahor, a parabola je posunutá vzhľadom na os Oy o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y \u003d x 2 - 1

Problém číslo 3. Vytvorte výkres a vypočítajte plochu postavy ohraničenú čiarami

y \u003d 8 + 2x - x 2 a y \u003d 2x - 4.

Rozhodnutie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient na x 2 je záporný a druhá línia je priamka, ktorá pretína obe súradnicové osi.

Na zostavenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y ’\u003d 2 - 2x; 2 - 2x \u003d 0, x \u003d 1 - vodorovná os vrcholu; y (1) \u003d 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 \u003d 9 je jeho súradnica, N (1; 9) je vrchol.

Teraz nájdeme priesečníky paraboly a priamky riešením systému rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorých ľavá strana je rovnaká.

Dostaneme 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 alebo x 2 - 12 \u003d 0, odtiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y \u003d 8 + 2x - x 2 a y \u003d 2x - 4

Zostrojme priamku y \u003d 2x - 4. Prechádza bodmi (0; -4), (2; 0) na súradnicových osiach.

Na zostavenie paraboly môžete mať aj priesečníky s osou 0x, to znamená korene rovnice 8 + 2x - x 2 \u003d 0 alebo x 2 - 2x - 8 \u003d 0. Podľa Vietovej vety je ľahké nájsť jej korene: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4.

Obrázok 3 zobrazuje obrázok (parabolický segment M 1 N M 2) obmedzený týmito čiarami.

Druhou časťou úlohy je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho plocha sa dá nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca .

Vzhľadom na túto podmienku získame integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem telesa získaný rotáciou krivky y \u003d f (x) okolo osi Ox sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi O má vzorec tvar:

Problém číslo 4. Určite objem telesa získaný z rotácie zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x \u003d 0 x \u003d 3 a krivky y \u003d okolo osi Ox.

Rozhodnutie. Zostavme si obrázok (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y \u003d

Požadovaný objem je

Problém číslo 5. Vypočítajte objem tela získaný z rotácie zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y \u003d x 2 a priamkami y \u003d 0 a y \u003d 4 okolo osi Oy.

Rozhodnutie. Máme:

Skontrolujte otázky

Tento článok vám ukáže, ako nájsť oblasť tvaru ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa stretávame s formulovaním tohto problému na strednej škole, keď práve prešlo štúdium určitých integrálov a je čas začať geometrickú interpretáciu poznatkov získaných v praxi.

Čo je potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti postavy pomocou integrálov:

Schopnosť správne vytvárať výkresy;
Schopnosť vyriešiť určitý integrál pomocou dobre známeho Newton-Leibnizovho vzorca;
Schopnosť „vidieť“ výhodnejšie riešenie - to znamená, pochopiť, ako bude v takomto prípade alebo v takom prípade vhodnejšie uskutočniť integráciu? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
Kde bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie, ako vyriešiť tento iný druh integrálov a správne numerické výpočty.

Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy postavy ohraničenej čiarami:

1. Postavíme kresbu. Odporúča sa to urobiť na kuse papiera v klietke vo veľkom meradle. Meno tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Podpísanie grafov sa robí výhradne pre uľahčenie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovanej hodnoty bude vo väčšine prípadov okamžite zrejmé, ktoré limity integrácie sa použijú. Preto tento problém riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na krok dva.

2. Ak nie sú hranice integrácie explicitne stanovené, potom nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.

3. Ďalej je potrebné analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú umiestnené funkčné grafy, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti postavy. Pozrime sa na rôzne príklady nájdenia oblasti postavy pomocou integrálov.

3.1. Najtradičnejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Je to plochý obrázok ohraničený osou x. (y \u003d 0), rovno x \u003d a, x \u003d b a akákoľvek krivka súvislá v intervale od pred b... Navyše toto číslo nie je záporné a nachádza sa nie pod osou vodorovnej osi. V tomto prípade sa plocha krivočarého lichobežníka číselne rovná určitému integrálu vypočítanému podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca:

Príklad 1 y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Aké sú čiary ohraničujúce obrázok? Máme parabolu y \u003d x2 - 3x + 3ktorý je umiestnený nad osou OH, nie je to negatívne, pretože všetky body tejto paraboly sú pozitívne. Ďalej, priame čiary x \u003d 1 a x \u003d 3ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU, sú ohraničujúce čiary tvaru vľavo a vpravo. dobre y \u003d 0, je to os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný tvar je zatienený tak, ako je to vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Máme pred sebou jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý ďalej riešime pomocou Newtonovej-Leibnizovej rovnice.

3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sa prípad analyzoval, keď sa zakrivený lichobežník nachádza nad osou x. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. Do štandardného Newton-Leibnizovho vzorca sa pridá mínus. Zvážime, ako ďalej vyriešiť podobný problém.

Príklad 2 ... Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

V tomto príklade máme parabolu y \u003d x2 + 6x + 2ktorý pochádza z pod osou OH, rovno x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0... Tu y \u003d 0 ohraničuje požadovaný tvar zhora. Priamy x \u003d -4 a x \u003d -1 to sú hranice, v rámci ktorých sa bude počítať určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti postavy sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediným rozdielom je, že daná funkcia nie je pozitívna a stále je v intervale súvislá. [-4; -1] ... Čo neznamená pozitívne? Ako vidíte z obrázku, číslo, ktoré je v rámci daného x, má výlučne „negatívne“ súradnice, ktoré musíme pri riešení problému pamätať a pamätať si ich. Hľadáme oblasť obrázku pomocou Newton-Leibnizovej rovnice, iba so znamienkom mínus na začiatku.

Článok je neúplný.