Sú uvedené základné vlastnosti mocninnej funkcie vrátane vzorcov a vlastností koreňov. Prezentuje sa derivácia, integrál, rozšírenie mocninového radu a reprezentácia komplexných čísel mocninnej funkcie.

Definícia

Definícia
Funkcia napájania s exponentom p je funkcia f (x) = x p, ktorej hodnota v bode x sa rovná hodnote exponenciálnej funkcie so základňou x v bode p.
Okrem toho f (0) = 0 p = 0 pre p > 0 .

Pre prirodzené hodnoty exponentu je mocninová funkcia súčinom n čísel rovných x:
.
Je definovaný pre všetky platné .

Pre kladné racionálne hodnoty exponentu je mocninná funkcia súčinom n koreňov stupňa m čísla x:
.
Pre nepárne m je definované pre všetky reálne x. Pre párne m je funkcia mocniny definovaná pre nezáporné.

Pre zápornú hodnotu je výkonová funkcia určená vzorcom:
.
Preto nie je v bode definovaná.

Pre iracionálne hodnoty exponentu p je výkonová funkcia určená vzorcom:
,
kde a je ľubovoľné kladné číslo, ktoré sa nerovná jednej: .
Kedy je definovaný pre .
Keď je funkcia výkonu definovaná pre .

Kontinuita. Mocninná funkcia je vo svojej oblasti definície spojitá.

Vlastnosti a vzorce mocninných funkcií pre x ≥ 0

Tu budeme uvažovať o vlastnostiach výkonovej funkcie pre nie záporné hodnoty argument x. Ako je uvedené vyššie, pre určité hodnoty exponentu p je výkonová funkcia definovaná aj pre záporné hodnoty x. V tomto prípade možno jeho vlastnosti získať z vlastností , pomocou párneho alebo nepárneho. Tieto prípady sú podrobne diskutované a znázornené na stránke „“.

Mocninná funkcia y = x p s exponentom p má tieto vlastnosti:
(1.1) definované a nepretržité na súbore
o ,
v ;
(1.2) má veľa významov
o ,
v ;
(1.3) prísne sa zvyšuje s,
prísne klesá ako ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dôkaz vlastností je uvedený na stránke „Funkcia napájania (dôkaz kontinuity a vlastností)“

Korene - definícia, vzorce, vlastnosti

Definícia
Koreň čísla x stupňa n je číslo, ktoré po umocnení n dáva x:
.
Tu n = 2, 3, 4, ... - prirodzené číslo, väčší ako jeden.

Môžete tiež povedať, že koreň čísla x stupňa n je koreňom (t. j. riešením) rovnice
.
Všimnite si, že funkcia je inverzná funkcia.

Druhá odmocnina z x je koreňom stupňa 2: .

Odmocnina z x je koreňom stupňa 3: .

Rovnomerný stupeň

Pre párne mocniny n = 2 m, koreň je definovaný pre x ≥ 0 . Vzorec, ktorý sa často používa, je platný pre kladné aj záporné x:
.
Pre druhú odmocninu:
.

Tu je dôležité poradie, v akom sa operácie vykonávajú - teda najprv sa vykoná druhá mocnina, výsledkom čoho je nezáporné číslo, a potom sa z neho prevezme odmocnina (druhá odmocnina sa môže vziať z nezáporného čísla ). Ak by sme zmenili poradie: , potom by pre záporné x bol koreň nedefinovaný a spolu s ním by bol nedefinovaný aj celý výraz.

Nepárny stupeň

Pre nepárne mocniny je koreň definovaný pre všetky x:
;
.

Vlastnosti a vzorce koreňov

Odmocnina x je mocninová funkcia:
.
Keď x ≥ 0 platia tieto vzorce:
;
;
, ;
.

Tieto vzorce možno použiť aj pre záporné hodnoty premenných. Musíte sa len uistiť, že radikálne vyjadrenie párnych právomocí nie je negatívne.

Súkromné ​​hodnoty

Odmocnina z 0 je 0: .
Koreň 1 sa rovná 1: .
Druhá odmocnina z 0 je 0: .
Druhá odmocnina z 1 je 1: .

Príklad. Koreň koreňov

Pozrime sa na príklad druhej odmocniny koreňov:
.
Transformujme vnútornú odmocninu pomocou vyššie uvedených vzorcov:
.
Teraz transformujme pôvodný koreň:
.
takže,
.

y = x p pre rôzne hodnoty exponentu p.

Tu sú grafy funkcie pre nezáporné hodnoty argumentu x. Grafy výkonovej funkcie definovanej pre záporné hodnoty x sú uvedené na stránke „Funkcia výkon, jej vlastnosti a grafy“

Inverzná funkcia

Inverzia mocninnej funkcie s exponentom p je mocninná funkcia s exponentom 1/p.

Ak potom.

Derivácia mocninovej funkcie

Derivát n-tého rádu:
;

Odvodenie vzorcov >> >

Integrál výkonovej funkcie

P ≠ - 1 ;
.

Rozšírenie výkonového radu

o - 1 < x < 1 dochádza k nasledujúcemu rozkladu:

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexnej premennej z:
f (z) = zt.
Vyjadrime komplexnú premennú z pomocou modulu r a argumentu φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Komplexné číslo t predstavujeme vo forme reálnych a imaginárnych častí:
t = p + iq.
Máme:

Ďalej berieme do úvahy, že argument φ nie je jednoznačne definovaný:
,

Uvažujme prípad, keď q = 0 , to znamená, že exponent je reálne číslo, t = p. Potom
.

Ak p je celé číslo, potom kp je celé číslo. Potom v dôsledku periodicity goniometrických funkcií:
.
Teda exponenciálna funkcia pre celočíselný exponent má pre dané z iba jednu hodnotu, a preto je jednoznačný.

Ak je p iracionálne, potom súčin kp pre ľubovoľné k nevytvorí celé číslo. Pretože k prechádza nekonečným radom hodnôt k = 0, 1, 2, 3, ..., potom funkcia z p má nekonečne veľa hodnôt. Vždy, keď sa argument z zvýši 2π(jedno otočenie), prejdeme do novej vetvy funkcie.

Ak je p racionálne, môže byť reprezentované ako:
, Kde m, n- celý, neobsahujúci spoločných deliteľov. Potom
.
Prvých n hodnôt, pričom k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dať n rôzne významy kp:
.
Nasledujúce hodnoty však dávajú hodnoty, ktoré sa líšia od predchádzajúcich o celé číslo. Napríklad, keď k = k 0+n máme:
.
Goniometrické funkcie, ktorého argumenty sa líšia hodnotami, ktoré sú násobkami 2π, majú rovnaké hodnoty. Preto s ďalším zvýšením k získame rovnaké hodnoty z p ako pre k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Exponenciálna funkcia s racionálnym exponentom je teda viachodnotová a má n hodnôt (vetví). Vždy, keď sa argument z zvýši 2π(jedno otočenie), prejdeme do novej vetvy funkcie. Po n takýchto otáčkach sa vrátime k prvej vetve, od ktorej začalo odpočítavanie.

Najmä koreň stupňa n má n hodnôt. Ako príklad uvažujme n-tú odmocninu reálneho kladného čísla z = x. V tomto prípade φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Takže pre druhú odmocninu je n = 2 ,
.
Pre párne k, (-1) k = 1. Pre nepárne k, (-1) k = -1.
To znamená, že druhá odmocnina má dva významy: + a -.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Musíme sa oboznámiť s vlastnosťami tejto operácie, čo urobíme v tejto časti.

Všetky vlastnosti sú formulované a overené len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých pod znamienkami koreňov.

Dôkaz. Predstavme si nasledujúci zápis: Musíme dokázať, že pre nezáporné čísla x, y, z platí rovnosť x-yz.
Pretože
Takže, ak sú mocniny dvoch nezáporných čísel rovnaké a exponenty sú rovnaké, potom sú základy rovnaké stupňa; To znamená, že z rovnosti x n =(уz) n vyplýva, že x-yz, a to bolo potrebné dokázať.

Uveďme krátke zhrnutie dôkazu vety.

Poznámky:

1. Veta 1 zostáva v platnosti pre prípad, keď je radikálový výraz súčinom viac ako dvoch nezáporných čísel.
2. Veta 1 môže byť formulovaná pomocou konštrukcie „ak...tak“ (ako je to zvykom pri vetách v matematike) Uveďme zodpovedajúcu formuláciu: ak a a b sú nezáporné čísla, potom platí rovnosť. ako budeme formulovať ďalšiu vetu.

Krátka (aj keď nepresná) formulácia, ktorá je v praxi vhodnejšia: koreň of zlomky sa rovná zlomku koreňov.

Dôkaz. Uvedieme stručné zhrnutie dôkazu vety 2 a môžete sa pokúsiť uviesť vhodné komentáre podobné tým, ktoré sú uvedené v dôkaze vety 1.

VY, samozrejme, ste si všimli, že osvedčené dve vlastnosti korene nth stupne sú zovšeobecnením vlastností odmocnin, ktoré poznáte z kurzu algebry 8. ročníka. A keby existovali iné vlastnosti koreňov n-tý stupeň nebolo, potom by bolo všetko jednoduché (a nie veľmi zaujímavé). V skutočnosti existuje niekoľko ďalších zaujímavých a dôležitých vlastností, o ktorých budeme diskutovať v tomto odseku. Najprv sa však pozrime na niekoľko príkladov použitia Viet 1 a 2.

Príklad 1 Vypočítajte
Riešenie. Pomocou prvej vlastnosti koreňov (Veta 1) dostaneme:

Poznámka 3. Tento príklad môžete, samozrejme, vyriešiť aj inak, najmä ak máte po ruke mikrokalkulačku: vynásobte čísla 125, 64 a 27 a potom zoberte odmocninu výsledného produktu. Ale vidíte, navrhované riešenie je „inteligentnejšie“.
Príklad 2 Vypočítajte
Riešenie. Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Máme Pomocou druhej vlastnosti koreňov (Veta 2) získame:

Príklad 3 Vypočítať:
Riešenie. Akýkoľvek vzorec v algebre, ako dobre viete, sa používa nielen „zľava doprava“, ale aj „sprava doľava“. Prvá vlastnosť koreňov teda znamená, že môžu byť reprezentované vo forme a naopak, môžu byť nahradené výrazom. To isté platí pre druhú vlastnosť koreňov. Berúc do úvahy toto, vykonajte výpočty:

Príklad 4. Nasleduj tieto kroky:
Riešenie, a) Máme:
b) Veta 1 nám umožňuje násobiť len korene rovnakého stupňa, t.j. iba korene s rovnakým indexom. Tu sa navrhuje vynásobiť 2. odmocninu čísla a treťou odmocninou toho istého čísla. Zatiaľ nevieme, ako to urobiť. Vráťme sa k tomuto problému neskôr.
Pokračujme v štúdiu vlastností radikálov.

Inými slovami, na pozdvihnutie koreňa k prirodzenej sile stačí povýšiť radikálny výraz na túto silu.
Je to dôsledok vety 1. V skutočnosti napríklad pre k = 3 dostaneme: Presne rovnakým spôsobom môžeme uvažovať v prípade akejkoľvek inej prirodzenej hodnoty exponentu k.

Inými slovami, na extrakciu koreňa z koreňa stačí vynásobiť ukazovatele koreňov.
Napríklad,
Dôkaz. Rovnako ako vo vete 2 poskytneme krátke zhrnutie dôkazu a môžete sa pokúsiť urobiť príslušné komentáre sami, podobné tým, ktoré sú uvedené v dôkaze vety 1.

Poznámka 4. Poďme sa nadýchnuť. Čo sme sa naučili z teorémov, ktoré sme dokázali? Dozvedeli sme sa, že s koreňmi je možné vykonať štyri operácie: násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniny (z koreňa). Ale čo pridávanie a uberanie koreňov? V žiadnom prípade. Hovorili sme o tom v 8. ročníku o operácii extrakcie druhej odmocniny.

Napríklad nemôžete namiesto toho napísať Naozaj, ale je zrejmé, že Buďte opatrní!
Snáď najzaujímavejšia vlastnosť koreňov je tá, o ktorej bude reč v ďalšej vete. Vzhľadom na osobitný význam tejto vlastnosti si dovoľujeme porušiť určitý štýl formulácie a dôkazy vyvinuté v tejto časti, aby bola formulácia vety 5 trochu „mäkšia“ a jej dôkaz bol jasnejší.

Napríklad:

(ukazovatele koreňového a radikálneho vyjadrenia boli delené 4);

(ukazovatele koreňového a radikálneho vyjadrenia boli delené 3);

(ukazovatele koreňovej a radikálovej expresie boli vynásobené 2).

Dôkaz. Označme ľavú stranu rovnosti dokázanú písmenom Potom musí byť podľa definície odmocniny splnená rovnosť

Označme pravú stranu preukazu totožnosti písmenom y:

Potom, podľa definície koreňa, rovnosť

Uveďme obe strany poslednej rovnosti na rovnakú mocninu p; dostaneme:

Takže (pozri rovnosť (1) a (2)),

Porovnaním týchto dvoch rovností dospejeme k záveru, že x nр = y nр, a teda x = y, čo bolo potrebné dokázať.
Osvedčená veta nám umožní vyriešiť problém, s ktorým sme sa stretli vyššie pri riešení príkladu 5, kde bolo potrebné vynásobiť korene s rôznymi exponentmi:

Takto zvyčajne v takýchto prípadoch uvažujú.
1) Podľa 5. vety je možné vo výraze vynásobiť exponent odmocniny (t. j. číslo 2) aj exponent radikálového výrazu (t. j. číslo 1) rovnakým prirodzeným číslom. Využívajúc to, vynásobíme oba ukazovatele 3; dostaneme:
2) Podľa 5. vety je možné vo výraze vynásobiť exponent odmocniny (t. j. číslo 3) aj exponent radikálového výrazu (t. j. číslo 1) rovnakým prirodzeným číslom. Využívajúc to, vynásobíme oba ukazovatele 2; dostaneme:

3) Keďže sme dostali korene rovnakého 6. stupňa, môžeme ich vynásobiť:

Poznámka 5. Zabudli ste, že všetky vlastnosti koreňov, o ktorých sme hovorili v tejto časti, sme uvažovali iba pre prípad, keď premenné nadobúdajú iba nezáporné hodnoty? Prečo bolo potrebné urobiť takéto obmedzenie? Pretože n-tý koreň mocniny záporného čísla nie vždy dávajú zmysel - je definované len pre nepárne hodnoty n. Pre takéto hodnoty koreňového exponentu platia uvažované vlastnosti koreňov aj v prípade záporných radikálových výrazov.

A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Lekcia a prezentácia na tému: "N-tá odmocninová funkcia. Príklady riešení. Kreslenie grafov"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 11. ročník
Interaktívna príručka pre ročníky 9–11 „Trigonometria“
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

n-tá koreňová funkcia

Chlapci, pokračujeme v štúdiu n-tých koreňov skutočného čísla. Dnes si preštudujeme funkciu $y=\sqrt[n](x)$, zostavíme graf a nájdeme jej vlastnosti.
Najprv zvážte našu funkciu v prípade nezápornej hodnoty argumentu.
Naša funkcia je inverzná funkcia $y=x^n$, ktorá je monotónnou funkciou (to znamená, že má inverzná funkcia). Zostavme si graf funkcie $y=x^n$, potom graf našej funkcie $y=\sqrt[n](x)$ bude symetrický vzhľadom na priamku $y=x$. Nezabudnite, že uvažujeme prípad nezápornej hodnoty argumentu, teda $x≥0$.

Vlastnosti funkcie

Vlastnosti funkcie $y=\sqrt[n](x)$ pre $x≥0$:
1. $D(f)=(x)$, ak existuje n nepárne a pre $x $f(-x)=\sqrt[n]((-x))=-\sqrt[n](x)= -f(x)$,kde $n=3,5,7,9…$.
Zapamätanie si vlastnosti grafu nepárna funkcia– symetria o pôvode, zostrojme graf funkcie $y=\sqrt[n](x)$ pre $n=3,5,7,9…$.
Ukážme si graf funkcie, ktorú sme získali na začiatku vzhľadom na počiatok.
Všimnite si, že ordináta osi je dotyčnica ku grafu našej funkcie v bode $x=0$.

Príklad.
Zostrojte a prečítajte graf funkcie $y=f(x)$, kde $f(x)$:
$f(x)=\začiatok(prípady)\sqrt(x), x≤1\\ \frac(1)(x), x>1\koniec (prípady)$.
Riešenie. Postupne zostrojíme dva grafy funkcie na rôznych súradnicové roviny, potom výsledné grafy spojíme do jedného. Nakreslíme funkciu $y=\sqrt(x)$, $x≤1$.
Tabuľka hodnôt:
Graf funkcie $y=\frac(1)(x)$ je nám dobre známy, ide o hyperbolu, zostavme si graf pre $x>1$.
style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"> Skombinujme oba grafy:

Chlapci, popíšme vlastnosti, ktoré má naša funkcia:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2.Ani párne ani nepárne.
3. Zníži sa o $$.
4. Neobmedzené zdola, obmedzené zhora.
5. Najnižšia hodnota nie, najvyššia hodnota rovná sa 1.
6. Priebežné.
7. $E(f)=(-∞;1]$.
8. Funkcia je diferencovateľná všade okrem bodov $x=0$ a $x=1$.
9. $\lim_(x \šípka doprava +∞) f(x)=0$.

Príklad. Nájdite doménu definície funkcií:

A) $y=\sqrt(2x-10)$.
b) $y=\sqrt(3x-6)$.
c) $y=\sqrt(3x-6)+\sqrt(25-x^2)$.

Riešenie:
a) Exponent odmocniny našej funkcie je párny, čo znamená, že pod odmocninou musí byť nezáporné číslo.
Poďme vyriešiť nerovnosť:
$2x-10≥0$.
$ 2 x ≥ 10 $.
$ x ≥ 5 $.
Odpoveď: $D(y)=.$ Toto je doména definície pôvodnej funkcie.
Odpoveď: $D(y)=$.

Problémy riešiť samostatne

1. Nakreslite graf funkcie: $y=\sqrt(x-3)+1$.
2. Vyriešte rovnicu $\sqrt(x)=-x-2$.
3. Zostrojte a prečítajte graf funkcie $y=f(x)$, kde $f(x)$: $f(x)=\začiatok(prípady)\sqrt(x), x≥1\\ x ^3, x 4. Nájdite doménu definície funkcií:
a) $y=\sqrt(3x-15)$.
b) $y=\sqrt(2x-10)$.
c) $y=\sqrt(4x-12)+\sqrt(36-x^2)$.

Prvá úroveň

Koreň a jeho vlastnosti. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Pokúsme sa zistiť, čo je tento pojem „koreň“ a „s čím sa jedáva“. Aby sme to urobili, pozrime sa na príklady, s ktorými ste sa už na hodine stretli (dobre, alebo sa s tým ešte len chystáte).

Napríklad máme rovnicu. Aké je riešenie tejto rovnice? Aké čísla možno odmocniť a získať? Keď si pamätáte tabuľku násobenia, môžete ľahko dať odpoveď: a (koniec koncov, keď sa vynásobia dve záporné čísla, získa sa kladné číslo)! Pre zjednodušenie zaviedli matematici špeciálny pojem odmocniny a priradili jej špeciálny symbol.

Definujme aritmetickú druhú odmocninu.

Prečo musí byť číslo nezáporné? Čomu sa to napríklad rovná? Dobre, dobre, skúsme vybrať jeden. Možno tri? Skontrolujeme: , nie. Možno, ? Opäť skontrolujeme: . No nehodí sa to? Dá sa to očakávať – pretože neexistujú žiadne čísla, ktoré po druhej mocnine dávajú záporné číslo!
Toto si musíte zapamätať: číslo alebo výraz pod koreňovým znakom musí byť nezáporný!

Tí najpozornejší si však už zrejme všimli, že definícia hovorí, že riešenie odmocniny z „čísla sa nazýva toto nezápornéčíslo, ktorého druhá mocnina sa rovná ". Niektorí z vás si povedia, že na úplnom začiatku sme analyzovali príklad, vybrané čísla, ktoré sa dajú odmocniť a získať, odpoveď bola a, ale tu hovoríme o nejakom „nezápornom čísle“! Táto poznámka je celkom namieste. Tu stačí rozlišovať medzi konceptmi kvadratických rovníc a aritmetickou druhou odmocninou čísla. Napríklad, nie je ekvivalentné s výrazom.

Z toho vyplýva, že, teda, resp. (Prečítajte si tému "")

A z toho vyplýva.

Samozrejme, je to veľmi mätúce, ale je potrebné si uvedomiť, že znamienka sú výsledkom riešenia rovnice, keďže pri riešení rovnice musíme zapísať všetky X, ktoré po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správny výsledok. V našom kvadratická rovnica vhodné pre oboch.

Ak však stačí vziať druhú odmocninu z niečoho, potom vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.

Teraz skúste vyriešiť túto rovnicu. Všetko už nie je také jednoduché a hladké, však? Skúste si prejsť čísla, možno niečo vyjde? Začnime úplne od začiatku - od nuly: - nezmestí, ideme ďalej - menej ako tri, tiež pozametať, čo keby. Skontrolujeme: - tiež nevhodné, pretože... to je viac ako tri. Je to rovnaký príbeh so zápornými číslami. Čo by sme teda teraz mali robiť? Naozaj nám hľadanie nič nedalo? Ani nie, teraz už s istotou vieme, že odpoveďou bude nejaké číslo medzi a, ako aj medzi a. Riešenia samozrejme nebudú celé čísla. Navyše nie sú racionálni. Takže, čo bude ďalej? Nakreslíme si funkciu do grafu a označme na nej riešenia.

Pokúsme sa oklamať systém a získať odpoveď pomocou kalkulačky! Poďme z toho dostať koreň! Oh-oh-och, ukázalo sa, že. Toto číslo nikdy nekončí. Ako si to môžete zapamätať, keď na skúške nebude kalkulačka!? Všetko je veľmi jednoduché, nemusíte si to pamätať, stačí si zapamätať (alebo vedieť rýchlo odhadnúť) približnú hodnotu. a samotné odpovede. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne; na zjednodušenie zápisu takýchto čísel bol zavedený koncept druhej odmocniny.

Pozrime sa na ďalší príklad, aby sme to potvrdili. Pozrime sa na nasledujúci problém: potrebujete prejsť štvorcové pole so stranou km diagonálne, koľko km musíte prejsť?

Najzrejmejšou vecou je zvážiť trojuholník oddelene a použiť Pytagorovu vetu: . Teda, . Aká je tu teda požadovaná vzdialenosť? Je zrejmé, že vzdialenosť nemôže byť záporná, to sme pochopili. Odmocnina dvoch je približne rovnaká, ale ako sme už uviedli, - je už úplná odpoveď.

Ak chcete vyriešiť príklady s koreňmi bez toho, aby ste spôsobovali problémy, musíte ich vidieť a rozpoznať. Na to potrebujete poznať aspoň druhé mocniny čísel od do a vedieť ich aj rozpoznať. Napríklad potrebujete vedieť, čo sa rovná štvorcu, a tiež naopak, čo sa rovná štvorcu.

Zachytili ste, čo je druhá odmocnina? Potom vyriešte niekoľko príkladov.

Príklady.

No a ako to dopadlo? Teraz sa pozrime na tieto príklady:

Odpovede:

Kockový koreň

Zdá sa, že sme vyriešili koncept druhej odmocniny, teraz sa pokúsme zistiť, čo je odmocnina a aký je ich rozdiel.

Odmocnina čísla je číslo, ktorého kocka sa rovná. Všimli ste si, že tu je všetko oveľa jednoduchšie? Neexistujú žiadne obmedzenia možné hodnoty hodnoty pod znamienkom odmocniny kocky aj extrahované číslo. To znamená, že odmocninu kocky možno extrahovať z ľubovoľného čísla: .

Rozumiete, čo je koreň kocky a ako ho extrahovať? Potom pokračujte a vyriešte príklady.

Príklady.

Odpovede:

Koreň - oh stupeň

Dobre, pochopili sme pojmy odmocniny a kocky. Teraz zhrňme poznatky získané s konceptom 1. koreň.

1. koreňčísla je číslo, ktorého mocnina je rovnaká, t.j.

ekvivalent.

Ak - dokonca, To:

• s negatívom, výraz nedáva zmysel (párne odmocniny záporných čísel nemožno odstrániť!);
• za nezáporné() výraz má jeden nezáporný koreň.

Ak je – nepárne, výraz má jedinečný koreň pre ľubovoľný.

Nezľaknite sa, platia tu rovnaké zásady ako pri odmocninách a kockách. To znamená, že princípy, ktoré sme aplikovali pri uvažovaní odmocnín, sú rozšírené na všetky odmocniny párneho stupňa.

A vlastnosti, ktoré boli použité pre kubický koreň, platia pre korene nepárneho stupňa.

No, už je to jasnejšie? Pozrime sa na príklady:

Tu je všetko viac-menej jasné: najprv sa pozrieme - áno, stupeň je párny, číslo pod odmocninou je kladné, čo znamená, že našou úlohou je nájsť číslo, ktorého štvrtá mocnina nám dá. No, nejaké dohady? Možno, ? presne tak!

Takže stupeň je rovný - nepárny, číslo pod odmocninou je záporné. Našou úlohou je nájsť číslo, ktoré po zvýšení na mocninu produkuje. Je dosť ťažké okamžite si všimnúť koreň. Svoje vyhľadávanie však môžete okamžite zúžiť, však? Po prvé, požadované číslo je určite záporné a po druhé, možno si všimnúť, že je nepárne, a preto je požadované číslo nepárne. Pokúste sa nájsť koreň. Samozrejme, môžete to pokojne odmietnuť. Možno, ?

Áno, toto sme hľadali! Všimnite si, že na zjednodušenie výpočtu sme použili vlastnosti stupňov: .

Základné vlastnosti koreňov

To je jasné? Ak nie, potom by po zhliadnutí príkladov malo všetko zapadnúť.

Násobenie koreňov

Ako rozmnožiť korene? Najjednoduchšia a najzákladnejšia vlastnosť pomáha odpovedať na túto otázku:

Začnime niečím jednoduchým:

Nie sú korene výsledných čísel presne extrahované? Žiadny problém – tu je niekoľko príkladov:

Čo ak nie sú dvaja, ale viac násobiteľov? Rovnaký! Vzorec na násobenie koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:

Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, skryte tri pod odmocninou, pamätajte na to, že trojka je druhá odmocnina z!

Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:

Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje to život? Pre mňa je to presne tak! Len si to musíte pamätať Môžeme zadať iba kladné čísla pod znamienkom párneho stupňa.

Pozrime sa, kde inde to môže byť užitočné. Napríklad problém vyžaduje porovnanie dvoch čísel:

To viac:

Nedá sa to povedať hneď. Využime teda vlastnosť rozobratého zadania čísla pod znak koreňa? Potom pokračujte:

No, veď čo väčšie číslo pod znakom koreňa, tým väčší je samotný koreň! Tie. Ak potom, . Z toho pevne usudzujeme. A nikto nás nepresvedčí o opaku!

Predtým sme zadali násobiteľ pod znakom koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len započítať do faktorov a extrahovať to, čo extrahujete!

Bolo možné ísť inou cestou a rozšíriť sa o ďalšie faktory:

Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako chcete.

Napríklad tu je výraz:

V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti exponentov a všetko znásobte:

Zdá sa, že všetko je jasné, ale ako extrahovať odmocninu čísla na mocninu? Tu je napríklad toto:

Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:

No, je všetko jasné? Potom tu je príklad:

Toto sú úskalia, o nich vždy stojí za zapamätanie. To sa v skutočnosti odráža v príkladoch nehnuteľností:

za nepárne: pre párne a:

To je jasné? Posilnite príkladmi:

Áno, vidíme, že odmocnina je párna, záporné číslo pod odmocninou je tiež párna mocnina. No funguje to rovnako? Tu je čo:

To je všetko! Teraz uvádzame niekoľko príkladov:

Mám to? Potom pokračujte a vyriešte príklady.

Príklady.

Odpovede.

Ak ste dostali odpovede, môžete pokoj v duši Pohni sa. Ak nie, pochopme tieto príklady:

Pozrime sa na dve ďalšie vlastnosti koreňov:

Tieto vlastnosti je potrebné analyzovať na príkladoch. No, poďme na to?

Mám to? Zabezpečme to.

Príklady.

Odpovede.

KORENE A ICH VLASTNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Aritmetická druhá odmocnina

Rovnica má dve riešenia: a. Sú to čísla, ktorých druhá mocnina sa rovná.

Zvážte rovnicu. Poďme to vyriešiť graficky. Nakreslíme graf funkcie a čiaru na úrovni. Riešením budú priesečníky týchto čiar. Vidíme, že aj táto rovnica má dve riešenia – jedno kladné, druhé záporné:

Ale v v tomto prípade riešenia nie sú celé čísla. Navyše nie sú racionálni. Aby sme si tieto iracionálne rozhodnutia zapísali, zavedieme špeciálny symbol druhej odmocniny.

Aritmetická druhá odmocnina je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná. Keď výraz nie je definovaný, pretože Neexistuje číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná zápornému číslu.

Odmocnina: .

Napríklad, . A z toho vyplýva, že resp.

Dovoľte mi ešte raz upriamiť vašu pozornosť, toto je veľmi dôležité: Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo: !

Kockový koreňčíslo je číslo, ktorého kocka sa rovná. Kocka je definovaná pre každého. Dá sa extrahovať z ľubovoľného čísla: . Ako vidíte, môže nadobudnúť aj záporné hodnoty.

Tá odmocnina čísla je číslo, ktorého mocnina je rovnaká, t.j.

Ak je párny, potom:

• ak, potom tý koreň a nie je definovaný.
• ak, potom nezáporný koreň rovnice sa nazýva aritmetický koreň tého stupňa a označuje sa.

Ak - je nepárne, potom má rovnica jedinečný koreň pre ľubovoľnú.

Všimli ste si, že vľavo nad znamienkom koreňa píšeme jeho stupeň? Ale nie pre druhú odmocninu! Ak vidíte koreň bez stupňa, znamená to, že je štvorcový (stupne).

Príklady.

Základné vlastnosti koreňov

KORENE A ICH VLASTNOSTI. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Druhá odmocnina (aritmetická druhá odmocnina) od nezáporného čísla sa nazýva toto nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je

Vlastnosti koreňov:

Gratulujeme: dnes sa pozrieme na korene - jedna z najzaujímavejších tém v 8. ročníku. :)

Mnoho ľudí je zmätených z koreňov nie preto, že sú zložité (čo je na tom také zložité – pár definícií a pár ďalších vlastností), ale preto, že vo väčšine školských učebníc sú korene definované cez takú džungľu, že iba autori učebníc sami môžu porozumieť tomuto písaniu. A aj to len s fľašou dobrej whisky. :)

Preto teraz uvediem najsprávnejšiu a najkompetentnejšiu definíciu koreňa - jedinú, ktorú by ste si naozaj mali pamätať. A potom vysvetlím: prečo je to všetko potrebné a ako to aplikovať v praxi.

Najprv si však zapamätajte jednu dôležitý bod, na ktorý mnohí kompilátori učebníc z nejakého dôvodu „zabudnú“:

Korene môžu byť párneho stupňa (naše obľúbené $\sqrt(a)$, ako aj všetky druhy $\sqrt(a)$ a párne $\sqrt(a)$) a nepárne (všetky druhy $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ atď.). A definícia koreňa nepárneho stupňa je trochu odlišná od párneho.

Pravdepodobne 95% všetkých chýb a nedorozumení spojených s koreňmi je skrytých v tomto posratom „trochu inom“. Poďme si teda raz a navždy ujasniť terminológiu:

Definícia. Dokonca aj koreň n od čísla $a$ je ľubovoľný nezápornéčíslo $b$ je také, že $((b)^(n))=a$. A nepárny koreň toho istého čísla $a$ je vo všeobecnosti akékoľvek číslo $b$, pre ktoré platí rovnaká rovnosť: $((b)^(n))=a$.

V každom prípade je koreň označený takto:

\(a)\]

Číslo $n$ v takomto zápise sa nazýva koreňový exponent a číslo $a$ sa nazýva radikálny výraz. Konkrétne, pre $n=2$ dostaneme našu „obľúbenú“ druhú odmocninu (mimochodom, toto je odmocnina z párneho stupňa) a pre $n=3$ dostaneme kubickú odmocninu (nepárny stupeň), čo je často sa vyskytuje aj v úlohách a rovniciach.

Príklady. Klasické príklady odmocnin:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnať)\]

Mimochodom, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. Je to celkom logické, keďže $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.

Časté sú aj kockové korene - netreba sa ich báť:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnať)\]

No, pár „exotických príkladov“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Ak nerozumiete, aký je rozdiel medzi párnym a nepárnym stupňom, znova si prečítajte definíciu. Je to veľmi dôležité!

Medzitým sa pozrieme na jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, kvôli ktorej sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre párne a nepárne exponenty.

Prečo sú korene vôbec potrebné?

Po prečítaní definície sa mnohí študenti opýtajú: „Čo matematici fajčili, keď na to prišli? A naozaj: prečo sú vôbec všetky tieto korene potrebné?

Aby sme na túto otázku odpovedali, vráťme sa na chvíľu späť základných tried. Pamätajte: v tých vzdialených časoch, keď boli stromy zelenšie a halušky chutnejšie, nám išlo hlavne o správne vynásobenie čísel. No, niečo ako „päť na päť – dvadsaťpäť“, to je všetko. Čísla však môžete násobiť nie v pároch, ale v trojiciach, štvoriciach a vo všeobecnosti v celých súboroch:

\[\začiatok(zarovnanie) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

O to však nejde. Trik je iný: matematici sú leniví ľudia, takže mali problém zapísať násobenie desiatich pätiek takto:

Preto prišli s titulmi. Prečo nenapísať počet faktorov ako horný index namiesto dlhého reťazca? Niečo také:

Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sú výrazne zredukované a nemusíte plytvať hromadou listov pergamenu a zošitov, aby ste si zapísali nejakých 5 183. Tento záznam sa nazýval sila čísla, našlo sa v ňom veľa vlastností, ale šťastie sa ukázalo byť krátkodobé.

Po grandióznej pitke, ktorá bola zorganizovaná len kvôli „objaveniu“ stupňov, sa zrazu nejaký obzvlášť tvrdohlavý matematik spýtal: „Čo ak poznáme stupeň čísla, ale samotné číslo nie je známe? Ak teda vieme, že určité číslo $b$, povedzme, na 5. mocninu dáva 243, ako potom môžeme uhádnuť, čomu sa rovná samotné číslo $b$?

Tento problém sa ukázal byť oveľa globálnejší, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu „hotových“ právomocí takéto „počiatočné“ čísla neexistujú. Veď posúďte sami:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((b)^(3))=27\šípka doprava b=3\cbodka 3\cbodka 3\šípka doprava b=3; \\ & ((b)^(3))=64\šípka doprava b=4\cbodka 4\cbodka 4\šípka doprava b=4. \\ \end(zarovnať)\]

Čo ak $((b)^(3))=50 $? Ukazuje sa, že musíme nájsť určité číslo, ktoré keď vynásobíme samo sebou trikrát, dostaneme 50. Čo je to však za číslo? Je zreteľne väčšia ako 3, pretože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Teda toto číslo leží niekde medzi tromi a štyrmi, ale nerozumiete, čomu sa rovná.

To je presne dôvod, prečo matematici prišli s $n$-tým koreňom. To je presne dôvod, prečo bol zavedený radikálový symbol $\sqrt(*)$. Označiť samotné číslo $b$, ktoré nám v uvedenej miere poskytne predtým známu hodnotu

\[\sqrt[n](a)=b\šípka doprava ((b)^(n))=a\]

Nehádam sa: tieto korene sa často dajú ľahko vypočítať - vyššie sme videli niekoľko takýchto príkladov. Ale aj tak, vo väčšine prípadov, ak si pomyslíte na ľubovoľné číslo a potom sa z neho pokúsite extrahovať koreň ľubovoľného stupňa, čaká vás strašný trapas.

Čo je tam! Dokonca ani najjednoduchšie a najznámejšie $\sqrt(2)$ nemôže byť reprezentované v našej bežnej forme - ako celé číslo alebo zlomok. A ak zadáte toto číslo do kalkulačky, uvidíte toto:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ako vidíte, za desatinnou čiarkou je nekonečná postupnosť čísel, ktoré sa neriadia žiadnou logikou. Toto číslo môžete samozrejme zaokrúhliť, aby ste ho mohli rýchlo porovnať s inými číslami. Napríklad:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približne 1,4 \lt 1,5\]

Alebo tu je ďalší príklad:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približne 1,7 \gt 1,5\]

Ale všetky tieto zaoblenia sú po prvé dosť hrubé; a po druhé, treba vedieť pracovať aj s približnými hodnotami, inak môžete chytiť kopu neprehliadnuteľných chýb (mimochodom, zručnosť porovnávania a zaokrúhľovania je potrebné otestovať na profile Jednotná štátna skúška).

Preto sa v serióznej matematike nezaobídete bez koreňov - sú to rovnakí rovnakí zástupcovia množiny všetkých reálnych čísel $\mathbb(R)$, rovnako ako zlomky a celé čísla, ktoré sú nám už dlho známe.

Neschopnosť reprezentovať koreň ako zlomok tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento koreň nie je racionálne číslo. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a nemožno ich presne znázorniť inak, než pomocou radikálu alebo iných špeciálne na to navrhnutých konštrukcií (logaritmy, mocniny, limity atď.). Ale o tom viac inokedy.

Zoberme si niekoľko príkladov, kde po všetkých výpočtoch zostanú v odpovedi stále iracionálne čísla.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približne -1,2599... \\ \end(align)\]

Prirodzene, podľa vzhľad root je takmer nemožné uhádnuť, ktoré čísla budú nasledovať za desatinnou čiarkou. Môžete sa však spoľahnúť na kalkulačku, no aj tá najpokročilejšia dátumová kalkulačka nám dáva len prvých pár číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie písať odpovede v tvare $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.

To je presne dôvod, prečo boli vynájdené. Na pohodlné zaznamenávanie odpovedí.

Prečo sú potrebné dve definície?

Pozorný čitateľ si už zrejme všimol, že všetky odmocniny uvedené v príkladoch sú prevzaté z kladných čísel. Teda aspoň od nuly. Kockové korene však možno pokojne extrahovať z absolútne akéhokoľvek čísla - či už pozitívneho alebo negatívneho.

Prečo sa to deje? Pozrite sa na graf funkcie $y=((x)^(2))$:

Rozvrh kvadratickej funkcie dáva dva korene: pozitívny a negatívny

Skúsme vypočítať $\sqrt(4)$ pomocou tohto grafu. Na tento účel je na grafe nakreslená vodorovná čiara $y=4$ (označená červenou farbou), ktorá sa pretína s parabolou v dvoch bodoch: $((x)_(1))=2$ a $((x). )_(2)) = -2 $. Je to celkom logické, keďže

S prvým číslom je všetko jasné - je kladné, takže je to koreň:

Ale čo potom robiť s druhým bodom? Akože štyri majú dva korene naraz? Ak totiž odmocníme číslo −2, dostaneme aj 4. Prečo teda nenapísať $\sqrt(4)=-2$? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto príspevky, akoby ťa chceli zjesť? :)

Problém je v tom, že ak neuložíte žiadne ďalšie podmienky, štvorkolka bude mať dve odmocniny - pozitívnu a negatívnu. A každé kladné číslo ich bude mať aj dve. Ale záporné čísla nebudú mať vôbec žiadne korene - to je možné vidieť z rovnakého grafu, pretože parabola nikdy neklesne pod os r, t.j. neprijíma záporné hodnoty.

Podobný problém sa vyskytuje pre všetky korene s párnym exponentom:

1. Presne povedané, každé kladné číslo bude mať dva korene s párnym exponentom $n$;
2. Zo záporných čísel sa odmocnina s párnym $n$ vôbec nevytiahne.

Preto je v definícii odmocniny párneho stupňa $n$ špecificky stanovené, že odpoveď musí byť nezáporné číslo. Takto sa zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pre nepárnych $n$ takýto problém neexistuje. Aby sme to videli, pozrime sa na graf funkcie $y=((x)^(3))$:

Parabola kocky môže mať akúkoľvek hodnotu, takže odmocnina kocky môže byť prevzatá z akéhokoľvek čísla

Z tohto grafu možno vyvodiť dva závery:

1. Vetvy kubickej paraboly, na rozdiel od bežnej, idú do nekonečna oboma smermi – hore aj dole. Preto bez ohľadu na to, v akej výške nakreslíme vodorovnú čiaru, táto čiara sa určite pretína s naším grafom. V dôsledku toho môže byť kocka vždy extrahovaná z absolútne akéhokoľvek čísla;
2. Okrem toho bude takáto križovatka vždy jedinečná, takže nemusíte premýšľať o tom, ktoré číslo sa považuje za „správny“ koreň a ktoré sa má ignorovať. Preto je určovanie koreňov pre nepárny stupeň jednoduchšie ako pre párny stupeň (neexistuje požiadavka na nezápornosť).

Škoda, že tieto jednoduché veci vo väčšine učebníc nie sú vysvetlené. Namiesto toho náš mozog začne stúpať so všetkými druhmi aritmetických koreňov a ich vlastností.

Áno, nehádam sa: musíte tiež vedieť, čo je aritmetický koreň. A o tom budem podrobne hovoriť v samostatnej lekcii. Dnes si o nej tiež povieme, pretože bez nej by boli všetky úvahy o koreňoch $n$-tej násobnosti neúplné.

Najprv však musíte jasne pochopiť definíciu, ktorú som uviedol vyššie. V opačnom prípade sa vám kvôli hojnosti pojmov začne v hlave taký chaos, že nakoniec nebudete rozumieť vôbec ničomu.

Všetko, čo musíte urobiť, je pochopiť rozdiel medzi párnymi a nepárnymi ukazovateľmi. Preto ešte raz zhromaždíme všetko, čo skutočne potrebujete vedieť o koreňoch:

1. Odmocnina párneho stupňa existuje len z nezáporného čísla a sama je vždy nezáporným číslom. Pre záporné čísla nie je takýto koreň definovaný.
2. Ale koreň nepárneho stupňa existuje z ľubovoľného čísla a sám o sebe môže byť ľubovoľným číslom: pre kladné čísla je kladný a pre záporné čísla, ako naznačuje viečko, záporný.

Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. To je jasné? Áno, je to úplne zrejmé! Teraz si teda trochu zacvičíme s výpočtami.

Základné vlastnosti a obmedzenia

Korene majú veľa zvláštnych vlastností a obmedzení – o tom sa bude diskutovať v samostatnej lekcii. Preto teraz zvážime iba najdôležitejší „trik“, ktorý sa vzťahuje iba na korene s rovnomerným indexom. Napíšme túto vlastnosť ako vzorec:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]

Inými slovami, ak zvýšime číslo na párnu mocninu a potom vytiahneme odmocninu tej istej mocniny, nedostaneme pôvodné číslo, ale jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorá sa dá ľahko dokázať (stačí zvážiť nezáporné $x$ oddelene a potom oddelene negatívne). Učitelia o tom neustále hovoria, je to uvedené v každej školskej učebnici. Ale akonáhle príde na riešenie iracionálnych rovníc (t. j. rovníc obsahujúcich radikálové znamienko), študenti na tento vzorec jednohlasne zabudnú.

Aby sme problém pochopili podrobne, zabudnime na minútu všetky vzorce a skúsme vypočítať dve čísla rovno:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Toto je veľmi jednoduché príklady. Väčšina ľudí vyrieši prvý príklad, ale veľa ľudí sa zasekne na druhom. Aby ste takéto svinstvo vyriešili bez problémov, vždy zvážte postup:

1. Najprv sa číslo zvýši na štvrtú mocninu. No je to akési jednoduché. Dostanete nové číslo, ktoré nájdete aj v násobilke;
2. A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať štvrtý koreň. Tie. nedochádza k „redukcii“ koreňov a právomocí – ide o postupné akcie.

Pozrime sa na prvý výraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zrejmé, že najprv musíte vypočítať výraz pod koreňom:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Potom extrahujeme štvrtý koreň čísla 81:

Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Najprv zvýšime číslo −3 na štvrtú mocninu, čo si vyžaduje vynásobiť ho 4-krát:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vľavo(-3 \vpravo)=81\]

Dostali sme kladné číslo, keďže celkový počet mínusov v súčine je 4 a všetky sa navzájom vyrušia (napokon mínus za mínus dáva plus). Potom znova extrahujeme koreň:

V zásade tento riadok nemohol byť napísaný, pretože nie je potrebné uvažovať, že odpoveď by bola rovnaká. Tie. párny koreň rovnakej párnej sily „spaľuje“ mínusy a v tomto zmysle je výsledok na nerozoznanie od bežného modulu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou odmocniny párneho stupňa: výsledok je vždy nezáporný a znamienko radikálu tiež vždy obsahuje nezáporné číslo. V opačnom prípade je koreň nedefinovaný.

Poznámka k postupu

1. Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že najprv odmocníme číslo $a$ a potom vezmeme druhú odmocninu z výslednej hodnoty. Preto si môžeme byť istí, že pod znamienkom koreňa je vždy nezáporné číslo, pretože $((a)^(2))\ge 0$ v každom prípade;
2. Ale zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že najprv vezmeme odmocninu z určitého čísla $a$ a až potom odmocníme výsledok. Preto číslo $a$ nemôže byť v žiadnom prípade záporné - je to povinná požiadavka zahrnutá v definícii.

V žiadnom prípade by sa teda nemali bezmyšlienkovite zmenšovať korene a stupne, čím sa údajne „zjednodušuje“ pôvodný výraz. Pretože ak má koreň záporné číslo a jeho exponent je párny, dostaneme kopu problémov.

Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre párne ukazovatele.

Odstránenie znamienka mínus spod znamienka koreňa

Prirodzene, korene s nepárnymi exponentmi majú tiež svoju vlastnosť, ktorá v princípe neexistuje pri párnych. menovite:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Stručne povedané, môžete odstrániť mínus pod znakom koreňov nepárnych stupňov. Toto je veľmi užitočný majetok, ktorý vám umožní „vyhodiť“ všetky negatíva:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Táto jednoduchá vlastnosť výrazne zjednodušuje mnohé výpočty. Teraz sa nemusíte obávať: čo keby bol pod koreňom skrytý negatívny výraz, ale stupeň pri koreni sa ukázal byť párny? Stačí len „vyhodiť“ všetky mínusy mimo koreňov, potom sa môžu navzájom množiť, deliť a celkovo robiť veľa podozrivých vecí, ktoré nás v prípade „klasických“ koreňov zaručene privedú k chyba.

A tu prichádza na scénu ďalšia definícia – tá istá, s ktorou na väčšine škôl začínajú štúdium iracionálnych výrazov. A bez toho by naša úvaha bola neúplná. Zoznámte sa!

Aritmetický koreň

Predpokladajme na chvíľu, že pod znamienkom koreňa môžu byť iba kladné čísla alebo v extrémnych prípadoch nula. Zabudnime na párne/nepárne ukazovatele, zabudnime na všetky vyššie uvedené definície – budeme pracovať len s nezápornými číslami. Čo potom?

A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa prekrýva s našimi „štandardnými“ definíciami, ale stále sa od nich líši.

Definícia. Aritmetický koreň $n$-tého stupňa nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$.

Ako vidíme, parita nás už nezaujíma. Namiesto toho sa objavilo nové obmedzenie: radikálny výraz je teraz vždy nezáporný a samotný koreň je tiež nezáporný.

Aby ste lepšie pochopili, ako sa aritmetický koreň líši od bežného, ​​pozrite sa na grafy štvorcovej a kubickej paraboly, ktoré už poznáme:

Oblasť vyhľadávania aritmetického koreňa - nezáporné čísla

Ako vidíte, odteraz nás zaujímajú len tie časti grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej súradnicovej štvrtine – kde sú súradnice $x$ a $y$ kladné (alebo aspoň nulové). Už sa nemusíte pozerať na indikátor, aby ste pochopili, či máme právo umiestniť záporné číslo pod koreň alebo nie. Pretože so zápornými číslami sa už v zásade nepočíta.

Môžete sa opýtať: „No, prečo potrebujeme takú kastrovanú definíciu? Alebo: "Prečo si nemôžeme vystačiť so štandardnou definíciou uvedenou vyššie?"

Uvediem len jednu vlastnosť, kvôli ktorej sa nová definícia stáva vhodnou. Napríklad pravidlo pre umocňovanie:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Poznámka: radikálny výraz môžeme zvýšiť na ľubovoľnú mocninu a zároveň vynásobiť koreňový exponent rovnakou mocninou – a výsledkom bude rovnaké číslo! Tu sú príklady:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

O čo teda ide? Prečo sme to nemohli urobiť skôr? Tu je dôvod. Zoberme si jednoduchý výraz: $\sqrt(-2)$ - toto číslo je v našom klasickom chápaní celkom normálne, ale z hľadiska aritmetického koreňa absolútne neprijateľné. Skúsme to previesť:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ako vidíte, v prvom prípade sme odstránili mínus spod radikálu (máme plné právo, pretože exponent je nepárny) av druhom prípade sme použili vyššie uvedený vzorec. Tie. Z matematického hľadiska sa všetko robí podľa pravidiel.

WTF?! Ako môže byť rovnaké číslo kladné aj záporné? V žiadnom prípade. Ide len o to, že vzorec pre umocňovanie, ktorý funguje skvele pre kladné čísla a nulu, začína v prípade záporných čísel vytvárať úplnú herézu.

Práve preto, aby sa zbavili takých nejasností, na ktoré prišli aritmetické korene. Je im venovaná samostatná veľká lekcia, kde podrobne zvažujeme všetky ich vlastnosti. Teraz sa nimi nebudeme zaoberať - lekcia sa už ukázala ako príliš dlhá.

Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac

Dlho som rozmýšľal, či dať túto tému do samostatného odseku alebo nie. Nakoniec som sa rozhodol, že to tu nechám. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú ešte lepšie pochopiť korene - už nie na priemernej „školskej“ úrovni, ale na úrovni blízkej olympiáde.

Takže: okrem „klasickej“ definície $n$-tej odmocniny čísla a súvisiaceho delenia na párne a nepárne exponenty existuje aj „dospelejšia“ definícia, ktorá vôbec nezávisí od parity a iných jemností. Toto sa nazýva algebraický koreň.

Definícia. Algebraický $n$-tý koreň každého $a$ je množina všetkých čísel $b$ takých, že $((b)^(n))=a$. Pre takéto korene neexistuje žiadne zavedené označenie, takže navrch dáme pomlčku:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\vľavo\( b\vľavo| b\v \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]

Zásadný rozdiel oproti štandardnej definícii uvedenej na začiatku lekcie je v tom algebraický koreň- nejde o konkrétne číslo, ale o súbor. A keďže pracujeme s reálnymi číslami, táto množina sa dodáva iba v troch typoch:

1. Prázdna súprava. Vyskytuje sa, keď potrebujete nájsť algebraický koreň párneho stupňa zo záporného čísla;
2. Sada pozostávajúca z jedného jediného prvku. Do tejto kategórie spadajú všetky korene nepárnych mocnín, ako aj odmocniny párnych mocnín nuly;
3. Nakoniec môže množina obsahovať dve čísla – rovnaké $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ktoré sme videli na graf kvadratickej funkcie. V súlade s tým je takéto usporiadanie možné len pri extrakcii odmocniny párneho stupňa z kladného čísla.

Posledný prípad si zaslúži podrobnejšie posúdenie. Poďme si spočítať pár príkladov, aby sme pochopili rozdiel.

Príklad. Vyhodnoťte výrazy:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Riešenie. Prvý výraz je jednoduchý:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sú to dve čísla, ktoré sú súčasťou sady. Pretože každá z nich na druhú dáva štvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Tu vidíme množinu pozostávajúcu iba z jedného čísla. Je to celkom logické, keďže koreňový exponent je nepárny.

Nakoniec posledný výraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Dostali sme prázdnu súpravu. Pretože neexistuje jediné reálne číslo, ktoré nám po zvýšení na štvrtú (t. j. párnu!) mocninu dá záporné číslo -16.

Poznámka na záver. Poznámka: nie náhodou som všade poznamenal, že pracujeme s reálnymi číslami. Pretože existujú aj komplexné čísla - je tam celkom možné vypočítať $\sqrt(-16)$ a mnoho ďalších podivných vecí.

V moderných školských kurzoch matematiky sa však komplexné čísla takmer nikdy neobjavujú. Boli odstránené z väčšiny učebníc, pretože naši úradníci považujú túto tému za „príliš ťažké na pochopenie“.