Video lekcia „Periodika funkcií y = sin x, y = cos x“ odhaľuje koncept periodicity funkcie, uvažuje o opise príkladov riešenia problémov, v ktorých sa používa koncept periodicity funkcie. Tento videonávod je vizuálna pomôcka vysvetliť žiakom danú tému. Táto príručka sa tiež môže stať samostatnou súčasťou hodiny, čím umožní učiteľovi vykonávať individuálnu prácu so študentmi.
Viditeľnosť pri prezentovaní tejto témy je veľmi dôležitá. Ak chcete reprezentovať správanie funkcie, vykresľovať ju, musí byť vizualizované. Nie vždy je možné zhotoviť konštrukcie pomocou tabule a kriedy tak, aby boli zrozumiteľné pre všetkých žiakov. Vo videonávode je možné pri konštrukcii farebne zvýrazniť časti kresby a pomocou animácie vykonávať transformácie. Konštrukcie sa tak stávajú pre väčšinu študentov zrozumiteľnejšie. Funkcie video lekcie tiež prispievajú k lepšiemu zapamätaniu učiva.
Ukážka začína uvedením témy hodiny, ako aj pripomenutím učiva preberaného na predchádzajúcich hodinách. Predovšetkým je zhrnutý zoznam vlastností, ktoré boli identifikované vo funkciách y = sin x, ako aj y = cos x. Medzi vlastnosti uvažovaných funkcií patrí oblasť definície, rozsah hodnôt, parita (nepárnosť), ďalšie vlastnosti - ohraničenosť, monotónnosť, spojitosť, body najmenšej (najväčšej) hodnoty. Študenti sú o tom informovaní túto lekciuŠtuduje sa ďalšia vlastnosť funkcie - periodicita.
Definícia periodickej funkcie y=f(x), kde xϵX, v ktorej je uvedená podmienka f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) pre nejaké Т≠0. V opačnom prípade sa číslo T nazýva perióda funkcie.
Pre uvažované funkcie sínus a kosínus sa splnenie podmienky kontroluje pomocou redukčných vzorcov. Je zrejmé, že tvar identity sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) zodpovedá tvaru výrazu definujúceho podmienku periodicity funkcie. Rovnakú rovnosť možno zaznamenať kosínus cos(x-2π)= cos x= cos (x+2π). Takže dáta goniometrické funkcie sú periodické.
Ďalej je poznamenané, ako vlastnosť periodicity pomáha vytvárať grafy periodických funkcií. Uvažuje sa funkcia y = sin x. Obrazovka sa stavia súradnicová rovina, na ktorom sú úsečky vyznačené od -6π do 8π v krokoch po π. Časť sínusového grafu je vynesená do roviny, reprezentovaná jednou vlnou na segmente. Obrázok ukazuje, ako sa graf funkcie vytvára v celej definičnej doméne posunutím zostrojeného fragmentu, výsledkom čoho je dlhá sínusoida.
Graf funkcie y = cos x zostrojíme pomocou vlastnosti jej periodicity. Na tento účel je na obrázku vytvorená súradnicová rovina, na ktorej je znázornený fragment grafu. Je potrebné poznamenať, že zvyčajne je takýto fragment vytvorený na segmente [-π/2;3π/2]. Podobne ako pri grafe funkcie sínus, konštrukcia kosínusového grafu sa vykonáva posunutím fragmentu. V dôsledku konštrukcie sa vytvorí dlhá sínusoida.
Grafovanie periodickej funkcie má funkcie, ktoré možno použiť. Preto sú uvedené v zovšeobecnenej forme. Je potrebné poznamenať, že na zostrojenie grafu takejto funkcie sa najprv zostrojí vetva grafu na určitom intervale dĺžky T. Potom je potrebné zostrojenú vetvu posunúť doprava a doľava o T, 2T, 3T, atď. Zároveň sa poukazuje na ďalšiu vlastnosť periódy - pre ľubovoľné celé číslo k≠0 je číslo kT zároveň periódou funkcie. T sa však nazýva hlavné obdobie, pretože je najmenšie zo všetkých. Pre goniometrické funkcie sínus a kosínus je základná perióda 2π. Periódy sú však aj 4π, 6π atď.
Ďalej sa navrhuje zvážiť nájdenie hlavnej periódy funkcie y = cos 5x. Riešenie začína predpokladom, že T je perióda funkcie. To znamená, že musí byť splnená podmienka f(x-T)= f(x)= f(x+T). V tejto identite f(x)= cos 5x a f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). V tomto prípade cos (5x+5T)= cos 5x, teda 5T=2πn. Teraz môžete nájsť T=2π/5. Problém je vyriešený.
V druhom probléme musíte nájsť hlavnú periódu funkcie y=sin(2x/7). Predpokladá sa, že hlavná perióda funkcie T pre danú funkciu je f(x)= sin(2x/7) a po perióde f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = hriech(2x/7 +(2/7)T). po zmenšení dostaneme (2/7)Т=2πn. Potrebujeme však nájsť hlavnú periódu, preto vezmeme najmenšiu hodnotu (2/7)T=2π, z ktorej nájdeme T=7π. Problém je vyriešený.
Na konci ukážky sú výsledky príkladov zhrnuté, aby vytvorili pravidlo na určenie základnej periódy funkcie. Je potrebné poznamenať, že pre funkcie y=sinkx a y=coskx sú hlavné periódy 2π/k.
Video lekcia „Periodika funkcií y = sin x, y = cos x“ môže byť použitá v tradičnej hodine matematiky na zvýšenie efektivity hodiny. Tento materiál sa odporúča používať aj učiteľom, ktorí ho implementujú dištančné vzdelávanie aby sa zlepšila zrozumiteľnosť vysvetlenia. Video možno odporučiť študentom, ktorí majú problémy, aby si prehĺbili pochopenie danej témy.
DEKODOVANIE TEXTU:
"Periodika funkcií y = cos x, y = sin x."
Na zostavenie grafov funkcií y = sin x a y = cos x sa použili vlastnosti funkcií:
1 oblasť definície,
2 oblasť hodnôt,
3 párne alebo nepárne,
4 monotónnosť,
5 obmedzenie,
6 kontinuita,
7 najvyššia a najnižšia hodnota.
Dnes budeme študovať ďalšiu vlastnosť: periodicitu funkcie.
DEFINÍCIA. Funkcia y = f (x), kde x ϵ X (grécky sa rovná ef z x, kde x patrí do množiny x), sa nazýva periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z množina X platí dvojitá rovnosť: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff z x mínus te sa rovná ef z x a rovná sa ef z x plus te). Číslo T, ktoré spĺňa túto dvojitú rovnosť, sa nazýva perióda funkcie
A keďže sínus a kosínus sú definované na celej číselnej osi a pre ľubovoľné x sú splnené rovnosti sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (sínus x mínus dva pi sa rovná sínusu x a rovná sa na sínus x plus dva pi ) And
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (kosínus x mínus dva pi sa rovná kosínusu x a rovná sa kosínu x plus dva pi), potom sínus a kosínus sú periodické funkcie s perióda 2π.
Periodicita vám umožňuje rýchlo zostaviť graf funkcie. Na zostrojenie grafu funkcie y = sin x totiž stačí nakresliť jednu vlnu (najčastejšie na úsečku (od nuly do dvoch pi) a potom posunutím zostrojenej časti grafu pozdĺž x -osi doprava a doľava o 2π, potom o 4π a tak ďalej, aby sme získali sínusoidu.
(zobraziť pravý a ľavý posun o 2π, 4π)
Podobne pre graf funkcie
y = cos x, ale jednu vlnu staviame najčastejšie na segmente [; ] (od mínus pí cez dva do troch pí cez dva).
Zhrňme si vyššie uvedené a vyvodíme záver: na zostrojenie grafu periodickej funkcie s periódou T je potrebné najskôr zostrojiť vetvu (alebo vlnu, či časť) grafu na ľubovoľnom intervale dĺžky T (najčastejšie na tomto je interval s koncami v bodoch 0 a T alebo - a (mínus te o dva a te o dva) a potom túto vetvu posuňte pozdĺž osi x(x) doprava a doľava o T, 2T, 3T atď.
Je zrejmé, že ak je funkcia periodická s periódou T, potom pre akékoľvek celé číslo k0 (ka sa nerovná nule) je číslo v tvare kT (ka te) tiež periódou tejto funkcie. Zvyčajne sa snažia izolovať najmenšie pozitívne obdobie, ktoré sa nazýva hlavné obdobie.
Ako periódu funkcií y = cos x, y = sin x môžeme vziať - 4π, 4π, - 6π, 6π atď. (mínus štyri pi, štyri pi, mínus šesť pi, šesť pi atď.) . No číslo 2π je hlavnou periódou oboch funkcií.
Pozrime sa na príklady.
PRÍKLAD 1. Nájdite hlavnú periódu funkcie y = cos5x (y sa rovná kosínusu piatich x).
Riešenie. Nech T je hlavná perióda funkcie y = cos5x. Položme
f (x) = cos5x, potom f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (eff z x plus te sa rovná kosínusu piatich vynásobenému súčtom x a te je rovná kosínusu súčtu piatich x a piatich te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Preto 5T = 2πn (päť te sa rovná dvom pi en), ale podľa podmienky musíte nájsť hlavnú periódu, čo znamená 5T = 2π. Dostaneme T=
(perióda tejto funkcie je dve pí delené piatimi).
Odpoveď: T=.
PRÍKLAD 2. Nájdite hlavnú periódu funkcie y = sin (y sa rovná sínusu podielu dvoch x x sedem).
Riešenie. Nech T je hlavná perióda funkcie y = sin. Položme
f (x) = sin, potom f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef z x plus te sa rovná sínusu súčinu dvoch septim a súčtu x a te sa rovná sínusu súčtu dvoch septim x a dvoch septim te).
Aby číslo T bolo periódou funkcie, musí byť splnená identita
hriech (x + T) = hriech. Preto T= 2πn (dve sedminy te sa rovnajú dvom pi en), ale podľa podmienky musíte nájsť hlavnú periódu, čo znamená T= 2π. Dostaneme T = 7
(perióda tejto funkcie je sedem pi).
Odpoveď: T = 7.
Zhrnutím výsledkov získaných v príkladoch môžeme dospieť k záveru: hlavná perióda funkcií y = sin kx alebo y = cos kx (y sa rovná sínusu ka x alebo y sa rovná kosínusu ka x) sa rovná (dve pi delené ka).
Argument x, potom sa nazýva periodický, ak existuje číslo T také, že pre ľubovoľné x platí F(x + T) = F(x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie.
Období môže byť niekoľko. Napríklad funkcia F = const nadobúda rovnakú hodnotu pre akúkoľvek hodnotu argumentu, a preto za jej bodku možno považovať akékoľvek číslo.
Zvyčajne vás zaujíma najmenšia nenulová perióda funkcie. Pre stručnosť sa tomu hovorí jednoducho obdobie.
Klasickým príkladom periodických funkcií je goniometrické: sínus, kosínus a tangens. Ich perióda je rovnaká a rovná sa 2π, to znamená sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) atď. Samozrejme, goniometrické funkcie nie sú jediné periodické.
V prípade jednoduchých základných funkcií je jediným spôsobom, ako určiť, či sú periodické alebo neperiodické, pomocou výpočtu. Ale pre komplexné funkcie je ich už niekoľko jednoduché pravidlá.
Ak je F(x) s periódou T a je pre ňu definovaná derivácia, potom táto derivácia f(x) = F′(x) je tiež periodická funkcia s periódou T. Veď hodnota derivácie v bode x sa rovná dotyčnici tangensového uhla grafu jeho primitívnej osi v tomto bode k osi x, a keďže sa priraďovač periodicky opakuje, musí sa opakovať aj derivácia. Napríklad derivácia funkcie sin(x) sa rovná cos(x) a je periodická. Ak vezmete derivát cos(x), získate –sin(x). Frekvencia zostáva nezmenená.
Opak však nie je vždy pravdou. Funkcia f(x) = const je teda periodická, ale jej primitívna funkcia F(x) = const*x + C nie je.
Ak F(x) je periodická funkcia s periódou T, potom G(x) = a*F(kx + b), kde a, b, a k sú konštanty a k sa nerovná nule - je tiež periodická funkcia , a jej obdobie je T/k. Napríklad sin(2x) je periodická funkcia a jej perióda je π. Vizuálne to možno znázorniť takto: vynásobením x nejakým číslom sa zdá, že graf funkcie horizontálne stlačíte presne toľkokrát
Ak sú F1(x) a F2(x) periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, potom súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Jeho obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom delenia T1/T2 racionálne číslo, potom súčet funkcií je periodický a jeho perióda sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku (LCM) periód T1 a T2. Napríklad, ak je perióda prvej funkcie 12 a perióda druhej 15, potom perióda ich súčtu bude rovná LCM (12, 15) = 60.
Vizuálne to možno znázorniť takto: funkcie prichádzajú s rôznymi „šírkami krokov“, ale ak je pomer ich šírok racionálny, potom sa skôr alebo neskôr (alebo skôr presne prostredníctvom LCM krokov) opäť zrovnajú a ich súčet začne nové obdobie.
Ak je však pomer období iracionálny, potom celková funkcia nebude vôbec periodická. Napríklad nech F1(x) = x mod 2 (zvyšok, keď x je delené 2) a F2(x) = sin(x). T1 sa tu bude rovnať 2 a T2 sa bude rovnať 2π. Pomer periód sa rovná π - iracionálne číslo. Preto funkcia sin(x) + x mod 2 nie je periodická.
>> Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x
§ 11. Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x
V predchádzajúcich odsekoch sme použili sedem vlastností funkcií: definičný obor, párne alebo nepárne, monotónnosť, ohraničenosť, najväčší a najmenšia hodnota, kontinuita, rozsah funkcií. Tieto vlastnosti sme použili buď na zostrojenie grafu funkcie (stalo sa to napr. v § 9), alebo na prečítanie zostrojeného grafu (stalo sa tak napr. v § 10). Teraz nastal vhodný moment na zavedenie ďalšej (ôsmej) vlastnosti funkcií, ktorá je dobre viditeľná na grafoch funkcií y = sin x (pozri obr. 37), y = cos x (pozri obr. 41) zostrojených vyššie.
Definícia. Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x v množinách platí dvojitá rovnosť:
Číslo T, ktoré spĺňa zadanú podmienku, sa nazýva perióda funkcie y = f(x).
Z toho vyplýva, že keďže pre ľubovoľné x platia rovnosti:
potom funkcie y = sin x, y = cos x sú periodické a číslo je 2 P slúži ako obdobie pre obe funkcie.
Periodicita funkcie je sľúbenou ôsmou vlastnosťou funkcií.
Teraz sa pozrite na graf funkcie y = sin x (obr. 37). Na zostavenie sínusoidy stačí nakresliť jednu z jej vĺn (na segment a potom túto vlnu posunúť pozdĺž osi x o. Výsledkom je, že pomocou jednej vlny zostavíme celý graf.
Pozrime sa z rovnakého uhla pohľadu na graf funkcie y = cos x (obr. 41). Vidíme, že na vykreslenie grafu stačí najskôr nakresliť jednu vlnu (napríklad na segment
A potom ho posuňte pozdĺž osi x o
Keď to zhrnieme, vyvodíme nasledujúci záver.
Ak má funkcia y = f(x) periódu T, potom na zostavenie grafu funkcie musíte najprv zostaviť vetvu (vlnu, časť) grafu na ľubovoľnom intervale dĺžky T (najčastejšie sa používa interval s koncami v bodoch a potom posuňte túto vetvu pozdĺž osi x doprava a doľava na T, 2T, ZT atď.
Periodická funkcia má nekonečne veľa periód: ak T je perióda, potom 2T je perióda a ZT je perióda a -T je perióda; Vo všeobecnosti je perióda ľubovoľné číslo v tvare KT, kde k = ±1, ±2, ± 3... Väčšinou sa snažia, ak je to možné, vyčleniť najmenšiu kladnú periódu, nazýva sa hlavná perióda.
Takže ľubovoľné číslo v tvare 2pk, kde k = ±1, ± 2, ± 3, je perióda funkcií y = sinn x, y = cos x; 2n je hlavná perióda oboch funkcií.
Príklad. Nájdite hlavné obdobie funkcie:
a) Nech T je hlavná perióda funkcie y = sin x. Položme
Aby číslo T bolo periódou funkcie, identita Ale keďže hovoríme o hľadaní hlavnej periódy, dostaneme
b) Nech T je hlavná perióda funkcie y = cos 0,5x. Dajme f(x)=cos 0,5x. Potom f(x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5 x + 0,5 T).
Aby číslo T bolo bodkou funkcie, musí platiť identita cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
To znamená 0,5t = 2pp. Ale keďže hovoríme o hľadaní hlavnej periódy, dostaneme 0,5T = 2 l, T = 4 l.
Zovšeobecnenie výsledkov získaných v príklade je nasledovné tvrdenie: hlavná perióda funkcie 
A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník
Obsah lekcie poznámky k lekcii podporujúce rámcovú prezentáciu lekcie metódy zrýchlenia interaktívne technológie Praxúlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimediálne fotografie, obrázky, grafy, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstrakty články tipy pre zvedavcov jasličky listy učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodín oprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov ideálny plán kalendára lekcií na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcieV júli 2020 NASA spúšťa expedíciu na Mars. Kozmická loď doručí na Mars elektronické médium s menami všetkých registrovaných účastníkov expedície.
Registrácia účastníkov je otvorená. Získajte letenku na Mars pomocou tohto odkazu.
Ak tento príspevok vyriešil váš problém alebo sa vám len páčil, zdieľajte odkaz naň so svojimi priateľmi na sociálnych sieťach.
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.
Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.
Ďalší Silvester... mrazivé počasie a snehové vločky na okennom skle... To všetko ma podnietilo opäť písať o... fraktáloch a o tom, čo o tom Wolfram Alpha vie. Na túto tému existuje zaujímavý článok, ktorý obsahuje príklady dvojrozmerných fraktálových štruktúr. Tu sa pozrieme na viac komplexné príklady trojrozmerné fraktály.
Fraktál možno vizuálne znázorniť (opísať) ako geometrický útvar alebo teleso (čo znamená, že obe sú množinou, napr. v tomto prípade, súbor bodov), ktorých detaily majú rovnaký tvar ako samotná pôvodná figúrka. To znamená, že ide o samopodobnú štruktúru, pri skúmaní detailov ktorej pri zväčšení uvidíme rovnaký tvar ako bez zväčšenia. Zatiaľ čo v prípade obyčajného geometrický obrazec(nie fraktál), pri priblížení uvidíme detaily, ktoré majú viac jednoduchá forma než samotná pôvodná postava. Napríklad pri dostatočne veľkom zväčšení vyzerá časť elipsy ako priamka. To sa pri fraktáloch nedeje: pri akomkoľvek ich náraste opäť uvidíme rovnaký zložitý tvar, ktorý sa bude pri každom náraste opakovať znova a znova.
Benoit Mandelbrot, zakladateľ vedy o fraktáloch, vo svojom článku Fraktály a umenie v mene vedy napísal: „Fraktály sú geometrické tvary, ktoré sú rovnako zložité vo svojich detailoch ako vo svojej všeobecnej forme. To znamená, že ak sa časť fraktálu zväčší na veľkosť celku, bude sa javiť ako celok, buď presne, alebo možno s miernou deformáciou.“
