Inštrukcie
Ak je grafom priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a zvierajúca s osou OX uhol α (uhol sklonu priamky ku kladnej poloosi OX). Funkcia opisujúca tento riadok bude mať tvar y = kx. Koeficient úmernosti k sa rovná tan α. Ak 2. a 4. súradnicovou štvrtinou prechádza priamka, potom k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 a funkcia sa zväčšuje. Nech predstavuje priamku umiestnenú rôznymi spôsobmi vzhľadom na súradnicové osi. Toto je lineárna funkcia a má tvar y = kx + b, kde premenné x a y sú s prvou mocninou a k a b môžu byť kladné alebo záporné. záporné hodnoty alebo rovný nule. Priamka je rovnobežná s priamkou y = kx a pretína sa na osi |b| Jednotky. Ak je priamka rovnobežná s osou x, potom k = 0, ak os ordináta, potom má rovnica tvar x = konšt.
Krivka pozostávajúca z dvoch vetiev umiestnených v rôznych štvrtiach a symetrická vzhľadom na začiatok súradníc je hyperbola. Tento graf je inverznou závislosťou premennej y na x a je opísaný rovnicou y = k/x. Tu k ≠ 0 je koeficient proporcionality. Navyše, ak k > 0, funkcia klesá; ak k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Kvadratická funkcia má tvar y = ax2 + bx + c, kde a, b a c sú konštantné veličiny a a 0. Pri splnení podmienky b = c = 0 rovnica funkcie vyzerá ako y = ax2 (najjednoduchší prípad ) a jeho grafom je parabola prechádzajúca počiatkom. Graf funkcie y = ax2 + bx + c má rovnaký tvar ako najjednoduchší prípad funkcie, ale jeho vrchol (priesečník s osou OY) neleží v počiatku.
Graf je tiež parabola výkonová funkcia vyjadrené rovnicou y = xⁿ, ak n je ľubovoľné párne číslo. Ak je n akékoľvek nepárne číslo, graf takejto mocninovej funkcie bude vyzerať ako kubická parabola.
Ak n je ľubovoľné , rovnica funkcie má tvar. Graf funkcie pre nepárne n bude hyperbola a pre párne n budú ich vetvy symetrické vzhľadom na op os.
Už v školských rokoch sa podrobne študujú funkcie a konštruujú sa ich grafy. Ale, bohužiaľ, prakticky neučia, ako čítať graf funkcie a nájsť jej typ z prezentovaného výkresu. Je to vlastne celkom jednoduché, ak si pamätáte základné typy funkcií.
Inštrukcie
Ak je prezentovaný graf , čo je cez počiatok súradníc a s osou OX uhol α (čo je uhol sklonu priamky ku kladnej poloosi), potom funkcia opisujúca takúto priamku bude prezentované ako y = kx. V tomto prípade sa koeficient úmernosti k rovná dotyčnici uhla α.
Ak daná čiara prechádza cez druhú a štvrtú súradnicovú štvrtinu, potom sa k rovná 0 a funkcia sa zvyšuje. Nech prezentovaný graf je priamka umiestnená akýmkoľvek spôsobom vzhľadom na súradnicové osi. Potom funkcia napr grafické umenie bude lineárny, ktorý je reprezentovaný tvarom y = kx + b, kde premenné y a x sú v prvej a b a k môžu byť záporné aj záporné. kladné hodnoty alebo .
Ak je priamka rovnobežná s priamkou s grafom y = kx a na zvislej osi orezáva b jednotiek, potom má rovnica tvar x = const, ak je graf rovnobežný s osou x, potom k = 0.
Zakrivená čiara, ktorá pozostáva z dvoch vetiev, symetrických okolo začiatku a umiestnených v rôznych štvrtiach, je hyperbola. Takýto graf znázorňuje inverznú závislosť premennej y od premennej x a je opísaný rovnicou v tvare y = k/x, kde k by sa nemalo rovnať nule, keďže ide o koeficient nepriamej úmernosti. Navyše, ak je hodnota k väčšia ako nula, funkcia klesá; ak je k menšie ako nula, zvyšuje sa.
Ak je navrhovaným grafom parabola prechádzajúca počiatkom, jeho funkcia bude mať za podmienky, že b = c = 0, tvar y = ax2. Toto je najjednoduchší prípad kvadratickej funkcie. Graf funkcie v tvare y = ax2 + bx + c bude mať rovnaký tvar ako v najjednoduchšom prípade, avšak vrchol (bod, kde graf pretína ordinátovú os) nebude v počiatku. V kvadratickej funkcii reprezentovanej tvarom y = ax2 + bx + c sú hodnoty a, b a c konštantné, zatiaľ čo a sa nerovná nule.
Parabola môže byť aj grafom mocninnej funkcie vyjadrenej rovnicou v tvare y = xⁿ len vtedy, ak n je ľubovoľné párne číslo. Ak je hodnota n nepárne číslo, bude takýto graf mocninovej funkcie reprezentovaný kubickou parabolou. Ak je premenná n ľubovoľné záporné číslo, rovnica funkcie má tvar .
Video k téme
Súradnica absolútne akéhokoľvek bodu v rovine je určená jeho dvoma veličinami: pozdĺž osi x a osi y. Súbor mnohých takýchto bodov predstavuje graf funkcie. Z neho vidíte, ako sa mení hodnota Y v závislosti od zmeny hodnoty X. Môžete tiež určiť, v ktorom úseku (intervale) funkcia rastie a v ktorom klesá.
Inštrukcie
Čo môžete povedať o funkcii, ak jej graf je priamka? Pozrite sa, či táto čiara prechádza cez počiatočný bod súradníc (to znamená ten, kde sa hodnoty X a Y rovnajú 0). Ak prejde, tak takúto funkciu popisuje rovnica y = kx. Je ľahké pochopiť, že čím väčšia je hodnota k, tým bližšie k osi y sa bude táto priamka nachádzať. A samotná os Y vlastne nekonečne zodpovedá veľký význam k.
1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.
Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.
V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.
2) Funkčné nuly.
Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.
3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.
Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.
4) Monotónnosť funkcie.
Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia pre kt vyššiu hodnotu argument z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.
5) Párna (nepárna) funkcia.
Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Rozvrh dokonca funkciu symetrické podľa ordinátnej osi.
Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Rozvrh nepárna funkcia symetrické podľa pôvodu.
6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.
Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.
7) Periodicita funkcie.
Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).
19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.
Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy
1. Lineárna funkcia.
Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.
číslo A nazývaná sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.
Vlastnosti lineárnej funkcie
1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R
2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R
3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.
4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.
5. Lineárna funkcia spojité v celej doméne definície, diferencovateľné a .
2. Kvadratická funkcia.
Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický
Definícia lineárnej funkcie
Uveďme definíciu lineárnej funkcie
Definícia
Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.
Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon priamky.
Keď $b=0$, lineárna funkcia sa nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.
Zvážte obrázok 1.
Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky
Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $ВС=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:
\ \
Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.
Môžeme teda vyvodiť nasledujúci záver:
Záver
Geometrický význam koeficient $k$. Faktor sklonu priamka $k$ sa rovná dotyčnici uhla sklonu tejto priamky k osi $Ox$.
Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu
Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.
- $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. teda túto funkciu sa zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Graf (obr. 2).
Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.
Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k
- Definičnou doménou sú všetky čísla.
- Rozsah hodnôt sú všetky čísla.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
- Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Keď $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$
- $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Graf (obr. 3).
