Streszczenie: Funkcja produkcji, właściwości, elastyczność. Funkcje produkcyjne

Funkcja produkcji – zależność wielkości produkcji od ilości i jakości dostępnych czynników produkcji, wyrażona za pomocą modelu matematycznego. Funkcja produkcji pozwala określić optymalną wysokość kosztów potrzebnych do wytworzenia określonej porcji dobra. Jednocześnie funkcja jest zawsze przeznaczona dla konkretnej technologii - integracja nowych rozwiązań pociąga za sobą konieczność przeglądu zależności.

Funkcja produkcji: ogólna postać i właściwości

Funkcje produkcji charakteryzują się następującymi właściwościami:

Wzrost wielkości produkcji ze względu na jeden czynnik produkcji jest zawsze maksymalny (na przykład w jednym pomieszczeniu może pracować ograniczona liczba specjalistów).

Czynniki produkcji mogą być substytucyjne (zasoby ludzkie zastępują roboty) i komplementarne (pracownicy potrzebują narzędzi i maszyn).

W ogólna perspektywa Funkcja produkcji wygląda następująco:

Q = F (K, M, L, T, N),

Aby opisać zachowanie przedsiębiorstwa, należy wiedzieć, jaką część produktu może wyprodukować przy użyciu zasobów w określonych ilościach. Wychodzimy z założenia, że przedsiębiorstwo wytwarza jednorodny produkt, którego ilość mierzona jest w jednostkach naturalnych – tonach, sztukach, metrach itp. Zależność ilości produktu, który przedsiębiorstwo jest w stanie wyprodukować od wielkości nakładów zasobów nazywa się funkcją produkcji.

Jednak przedsiębiorstwo może to wdrożyć na różne sposoby proces produkcji stosując różne metody technologiczne, różne możliwości organizacji produkcji, tak aby ilość produktu uzyskanego przy tym samym nakładzie zasobów mogła być różna. Menedżerowie firm powinni odrzucić opcje produkcji, które dają niższą wydajność, jeśli można uzyskać wyższą produkcję przy tych samych kosztach każdego rodzaju zasobu. Podobnie powinni odrzucić opcje, które wymagają większego wkładu z co najmniej jednego wkładu, bez zwiększania wydajności lub zmniejszania wkładu innych nakładów. Opcje odrzucone z tych powodów nazywane są technicznie nieskutecznymi.

Jednocześnie zużycie wszystkich pozostałych materiałów, robocizny, sprzętu i energii elektrycznej pozostanie niezmienione. Tę opcję produkcji, którą można by ulepszyć poprzez bardziej racjonalne cięcie żelaza, należy uznać za technicznie nieskuteczną i odrzucić.

Technicznie wydajne to opcje produkcji, których nie można ulepszyć ani poprzez zwiększenie produkcji produktu bez zwiększania zużycia zasobów, ani przez zmniejszenie kosztów dowolnego zasobu bez zmniejszania produkcji i bez zwiększania kosztów innych zasobów.

Funkcja produkcji uwzględnia wyłącznie opcje efektywne technicznie. Jego znaczenie jest największa liczba produkt, jaki przedsiębiorstwo może wyprodukować, biorąc pod uwagę wielkość zużycia zasobów.

Rozważmy najpierw najprostszy przypadek: przedsiębiorstwo wytwarza jeden rodzaj produktu i zużywa jeden rodzaj zasobów.

Przykład takiej produkcji jest dość trudny do znalezienia w rzeczywistości. Nawet jeśli weźmiemy pod uwagę przedsiębiorstwo świadczące usługi w domach klientów bez użycia jakichkolwiek urządzeń i materiałów (masaże, korepetycje) i korzystające wyłącznie z pracy pracowników, to musielibyśmy założyć, że pracownicy poruszają się po klientach pieszo (bez korzystania z transportu) usług) i negocjować z klientami bez pomocy poczty i telefonu. Zatem przedsiębiorstwo, wydając zasób w ilości x, może wytworzyć produkt w ilości q.

Funkcja produkcji:

ustanawia związek pomiędzy tymi wielkościami. Należy zauważyć, że tutaj, podobnie jak w innych wykładach, wszystkie wielkości objętościowe są wielkościami przepływowymi: objętość wejściowego zasobu mierzy się liczbą jednostek zasobu w jednostce czasu, a objętość wyjściową mierzy się liczbą jednostek produktu na jednostkę czasu.

Na ryc. 1 przedstawia wykres funkcji produkcji dla rozpatrywanego przypadku. Wszystkie punkty na wykresie odpowiadają opcjom technicznie skutecznym, w szczególności punkty A i B. Punkt C odpowiada opcji nieskutecznej, a punkt D opcji nieosiągalnej.

Ryż. 1.

Funkcja produkcji typu (1), która ustala zależność wielkości produkcji od wielkości kosztów pojedynczego zasobu, może być wykorzystywana nie tylko w celach ilustracyjnych. Jest to również przydatne, gdy zużycie tylko jednego zasobu może się zmienić, a koszty wszystkich pozostałych zasobów z tego czy innego powodu należy uznać za stałe. W takich przypadkach interesująca jest zależność wielkości produkcji od kosztów pojedynczego czynnika zmiennego.

Znacznie większe zróżnicowanie pojawia się, gdy rozważa się funkcję produkcji zależną od wielkości dwóch zużywanych zasobów:

q = f(x 1 , x 2) (2)

Analiza takich funkcji pozwala łatwo przejść do przypadku ogólnego, gdy liczba zasobów może być dowolna.

Ponadto funkcje produkcji dwóch argumentów są szeroko stosowane w praktyce, gdy badacza interesuje zależność wielkości produkcji produktu od najważniejsze czynniki- koszty pracy (L) i kapitału (K):

q = f(L, K). (3)

Wykresu funkcji dwóch zmiennych nie można przedstawić na płaszczyźnie.

Funkcję produkcji typu (2) można przedstawić w trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej, której dwie współrzędne (x 1 i x 2) naniesione są na osie poziome i odpowiadają kosztom zasobów, a trzecia (q) naniesiona jest na osi pionowej i odpowiada wydajności produktu (rys. 2). Wykresem funkcji produkcji jest powierzchnia „wzgórza”, która zwiększa się wraz z każdą ze współrzędnych x 1 i x 2. Konstrukcja na rys. 1 można uznać za przekrój pionowy „wzgórza” przez płaszczyznę równoległą do osi x 1 i odpowiadającą stałej wartości drugiej współrzędnej x 2 = x * 2.

Ryż. 2.

Poziomy odcinek „wzgórza” łączy opcje produkcyjne charakteryzujące się stałą wydajnością produktu q = q* at różne kombinacje koszty pierwszego i drugiego zasobu. Jeżeli przekrój poziomy powierzchni „wzgórza” przedstawimy osobno na płaszczyźnie o współrzędnych x 1 i x 2, otrzymamy krzywą łączącą takie kombinacje nakładów zasobów, które pozwalają uzyskać zadaną stałą wielkość produkcji produktu ( Ryc. 3). Taka krzywa nazywana jest izokwantą funkcji produkcji (od greckiego isoz – to samo i łacińskiego quantum – ile).

Ryż. 3.

Załóżmy, że funkcja produkcji opisuje wielkość produkcji zależną od nakładów pracy i kapitału. Tę samą wielkość produkcji można uzyskać przy różnych kombinacjach nakładów tych zasobów.

Możesz używać niewielkiej liczby maszyn (tj. Obejść się przy niewielkiej inwestycji kapitału), ale będziesz musiał wydać dużą ilość pracy; Wręcz przeciwnie, można zmechanizować niektóre operacje, zwiększyć liczbę maszyn i tym samym obniżyć koszty pracy. Jeśli dla wszystkich takich kombinacji największy możliwy wynik pozostaje stały, wówczas kombinacje te są reprezentowane przez punkty leżące na tej samej izokwanty.

Ustalając wielkość produkcji produktu na innym poziomie, otrzymujemy kolejną izokwantę tej samej funkcji produkcji.

Wykonując serię przekrojów poziomych na różnych wysokościach, uzyskujemy tzw. mapę izokwantową (rys. 4) – najczęściej spotykaną Reprezentacja graficzna funkcja produkcji z dwóch argumentów. Wygląda jak mapa geograficzna, na którym teren jest przedstawiany za pomocą linii poziomych (inaczej zwanych izohipsami) – linii łączących punkty leżące na tej samej wysokości.

Ryż. 4.

Łatwo zauważyć, że funkcja produkcji jest pod wieloma względami podobna do funkcji użyteczności w teorii konsumpcji, izokwanty do krzywej obojętności i izokwanty do mapy obojętności. Później zobaczymy, że właściwości i cechy funkcji produkcji mają wiele analogii w teorii konsumpcji. I nie jest to kwestia prostego podobieństwa. W stosunku do zasobów firma zachowuje się jak konsument, a funkcja produkcji charakteryzuje właśnie tę stronę produkcji – produkcję jako konsumpcję. Ten lub inny zestaw zasobów jest przydatny w produkcji, o ile pozwala uzyskać odpowiednią wielkość produkcji produktu. Można powiedzieć, że wartości funkcji produkcji wyrażają użyteczność wytworzenia odpowiedniego zestawu zasobów. W przeciwieństwie do użyteczności konsumenckiej, ta „użyteczność” ma całkowicie określoną miarę ilościową - zależy od ilości wyprodukowanych produktów.

Fakt, że wartości funkcji produkcji odnoszą się do opcji efektywnych technicznie i charakteryzują największą produkcję przy zużyciu danego zbioru zasobów, ma również analogię w teorii konsumpcji.

Konsument może wykorzystać zakupiony towar na różne sposoby. O użyteczności nabytego zestawu towarów decyduje sposób ich wykorzystania, z którego konsument uzyskuje największą satysfakcję.

Jednak pomimo wszystkich zauważonych podobieństw między użytecznością konsumencką a „użytecznością” wyrażoną wartościami funkcji produkcji, są to zupełnie różne pojęcia. Konsument sam, opierając się wyłącznie na własnych preferencjach, określa, jak przydatny jest dla niego ten lub inny produkt - kupując go lub odrzucając.

Zbiór zasobów produkcyjnych będzie docelowo użyteczny w takim stopniu, w jakim produkt wytworzony przy użyciu tych zasobów zostanie zaakceptowany przez konsumenta.

Ponieważ funkcja produkcji ma najbardziej ogólne właściwości funkcji użyteczności, możemy dalej rozważać jej główne właściwości bez powtarzania szczegółowych argumentów podanych w części II.

Zakładamy, że wzrost kosztów jednego z zasobów przy zachowaniu stałych kosztów drugiego pozwala na zwiększenie produkcji. Oznacza to, że funkcja produkcji jest funkcją rosnącą każdego ze swoich argumentów. Przez każdy punkt płaszczyzny zasobów o współrzędnych x 1, x 2 przechodzi jedna izokwanta. Wszystkie izokwanty mają nachylenie ujemne. Izokwanta odpowiadająca wyższej wydajności produktu znajduje się po prawej stronie i powyżej izokwanty odpowiadającej niższej wydajności. Na koniec uznamy, że wszystkie izokwanty są wypukłe w kierunku początku.

Na ryc. 5 przedstawia charakterystykę niektórych map izokwantowych różne sytuacje, wynikające ze zużycia produkcyjnego dwóch zasobów. 5a odpowiada bezwzględnej wzajemnej substytucji zasobów. W przypadku przedstawionym na ryc. 5b, pierwszy zasób można całkowicie zastąpić drugim: punkty izokwantowe znajdujące się na osi x2 pokazują ilość drugiego zasobu, która pozwala na uzyskanie określonego produktu wyjściowego bez wykorzystania pierwszego zasobu. Korzystanie z pierwszego zasobu pozwala obniżyć koszty drugiego zasobu, ale nie da się całkowicie zastąpić drugiego zasobu pierwszym.

Ryż. 5 przedstawia sytuację, w której potrzebne są obydwa zasoby i żaden z nich nie może być całkowicie zastąpiony drugim. Wreszcie przypadek przedstawiony na ryc. 5d, charakteryzuje się bezwzględną komplementarnością zasobów.

Ryż. 5.

Funkcja produkcji, która zależy od dwóch argumentów, ma dość przejrzystą reprezentację i jest stosunkowo prosta do obliczenia. Należy zauważyć, że ekonomia wykorzystuje funkcje produkcyjne różnych obiektów - przedsiębiorstw, gałęzi przemysłu, gospodarek krajowych i światowych. Najczęściej są to funkcje postaci (3); czasami dodaje się trzeci argument - koszt zasobów naturalnych (N):

q = f(L, K, N). (3)

Ma to sens, jeśli ilość zasobów naturalnych zaangażowanych w działalność produkcyjną jest zmienna.

W stosowanych badaniach ekonomicznych i teoria ekonomiczna wykorzystywane są funkcje produkcyjne różne rodzaje. Ich cechy i różnice zostaną omówione w rozdziale 3. W stosowanych obliczeniach wymagania praktycznej obliczalności zmuszają nas do ograniczenia się do niewielkiej liczby czynników, a czynniki te są uważane za powiększone - „pracę” bez podziału na zawody i kwalifikacje, „ kapitał” bez uwzględnienia jego specyficznego składu itp. d. W teoretycznej analizie produkcji można pominąć trudności praktycznej obliczalności. Podejście teoretyczne wymaga, aby każdy rodzaj zasobu był uważany za absolutnie jednorodny. Surowce różnych klas należy traktować jako różne rodzaje zasobów, podobnie jak maszyny różnych marek czy siłę roboczą różniącą się cechami zawodowymi i kwalifikacyjnymi.

Zatem funkcja produkcji używana w teorii jest funkcją duża liczba argumenty:

q = f(x 1, x 2, ..., x n). (4)

To samo podejście zastosowano w teorii konsumpcji, gdzie liczba rodzajów konsumowanych dóbr nie była w żaden sposób ograniczana.

Wszystko, co zostało wcześniej powiedziane o funkcji produkcji dwóch argumentów, można przenieść do funkcji postaci (4), oczywiście z zastrzeżeniami co do wymiarowości.

Izokwanty funkcji (4) nie są krzywymi płaskimi, lecz powierzchniami n-wymiarowymi. Niemniej jednak nadal będziemy używać „płaskich izokwantów” – zarówno w celach ilustracyjnych, jak i jako wygodny sposób analizy w przypadkach, gdy koszty dwóch zasobów są zmienne, a pozostałe uważa się za stałe.

Innym rodzajem funkcji produkcji jest liniowa funkcja produkcji, która ma następującą postać:

Q(L,K) = aL + bK

Ta funkcja produkcji jest jednorodna w pierwszym stopniu, zatem przynosi stałe zyski skali produkcji. Graficznie tę funkcję przedstawiono na rysunku 1.2, a.

Ekonomiczne znaczenie liniowej funkcji produkcji polega na tym, że opisuje ona produkcję, w której czynniki są wymienne, to znaczy nie ma znaczenia, czy wykorzystuje się tylko pracę, czy tylko kapitał. Ale w prawdziwe życie taka sytuacja jest praktycznie niemożliwa, ponieważ jakakolwiek maszyna jest nadal obsługiwana przez osobę.

Współczynniki a i b funkcji, znajdujące się pod zmiennymi L i K, pokazują proporcje, w jakich jeden czynnik można zastąpić innym. Na przykład, jeśli a=b=1, oznacza to, że 1 godzinę pracy można zastąpić 1 godziną czasu pracy maszyny, aby wytworzyć tę samą wielkość produkcji.

Należy zauważyć, że w niektórych rodzajach działalności gospodarczej praca i kapitał nie mogą się w ogóle zastępować i muszą być wykorzystywane w ustalonej proporcji: 1 pracownik - 2 maszyny, 1 autobus - 1 kierowca. W tym przypadku elastyczność substytucji czynników wynosi zero, a technologię produkcji odzwierciedla funkcja produkcji Leontiefa:

Q(L,K) = min(; ),

Jeżeli np. każdy autobus dalekobieżny musi mieć dwóch kierowców, to przy flocie autobusowej liczącej 50 autobusów i 90 kierowców, jednocześnie można obsłużyć tylko 45 tras:
min(90/2;50/1) = 45.

Aplikacja

Przykłady rozwiązywania problemów z wykorzystaniem funkcji produkcyjnych

Problem 1

Firma zajmująca się transportem rzecznym korzysta z pracy przewoźników (L) i promów (K). Funkcja produkcji ma postać . Cena za jednostkę kapitału wynosi 20, cena za jednostkę pracy wynosi 20. Jakie będzie nachylenie izokosztu? Ile siły roboczej i kapitału musi przyciągnąć firma, aby zrealizować 100 dostaw?

Rozwiązanie

Izokoszt jest określony równaniem:

gdzie C jest wartością kosztów całkowitych (pewna stała). Stąd:

te. nachylenie tej linii wynosi -1.

Optymalną ilość pracy i kapitału na 100 transportów wyznacza się jako punkt styczności izokwanty i izokoszty w pewnym C. Rozwiązując równanie izokwantowe otrzymujemy:

√(L×K) = 100/10 = 10, wówczas .

Następnie . Ponieważ koszty całkowite powinny być minimalne, minimalizując C przez L, znajdujemy ilość pracy L: I . Kwotę kapitału znajdziemy korzystając ze wzoru.

Odpowiedź: Aby zrealizować 100 dostaw, firma musi przyciągnąć 10 jednostek pracy i 10 jednostek kapitału.

Problem 2

Funkcja produkcji ma postać , gdzie Y- ilość produktów na dzień, L- godziny pracy, K- godziny pracy maszyny. Załóżmy, że dziennie spędza się 9 godzin pracy i 9 godzin pracy maszyn.

Jakie to jest maksymalna ilość produktów wytwarzanych dziennie? Załóżmy, że firma podwaja koszty obu czynników. Określenie korzyści skali w produkcji.

Rozwiązanie

W warunkach zadania dziennego jest produkowany jednostki produkcyjne. Jeśli nakłady obu czynników podwoją się, wówczas wynik stanie się równy , tj. również podwaja się. Wtedy wpływ zmian skali produkcji, określony na podstawie warunku, jest równy jeden.

Problem 3

W krótkoterminowe Funkcja produkcji przedsiębiorstwa ma postać: , gdzie L jest liczbą pracowników. Na jakim poziomie zatrudnienia całkowita produkcja będzie maksymalna?

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na pytanie, należy znaleźć maksymalny punkt funkcji Y(L). Zróżniczkujmy to względem L i przyrównajmy pochodną do zera: . Dostajemy równanie kwadratowe, którego wyróżnikiem jest , a pierwiastki to . Ponieważ jeden z pierwiastków jest ujemny, bierzemy . Liczba pracowników jest liczbą całkowitą, dlatego po zaokrągleniu otrzymujemy .

Wniosek

Zasoby w gospodarce pełnią rolę czynników produkcji, do których zalicza się:

2. ziemia ( Zasoby naturalne);

3. kapitał;

4. zdolność przedsiębiorcza;

5. postęp naukowo-techniczny.

Wszystkie te czynniki są ze sobą ściśle powiązane.

Funkcja produkcji to matematyczna zależność pomiędzy maksymalną wielkością produkcji na jednostkę czasu a kombinacją czynników ją tworzących, przy danym poziomie wiedzy i technologii. W której główne zadanie ekonomia matematyczna z praktycznego punktu widzenia polega na identyfikacji tej zależności, czyli na skonstruowaniu funkcji produkcji dla konkretnej branży lub konkretnego przedsiębiorstwa.

W teorii produkcji wykorzystują głównie dwuczynnikową funkcję produkcji, która ogólnie wygląda tak:

Q = f(K, L), gdzie Q jest wielkością produkcji; K - kapitał; L – praca.

Kwestię relacji między kosztami substytucji czynników produkcji rozwiązuje się za pomocą takiej koncepcji jak elastyczność substytucji czynników produkcji.

Elastyczność substytucji to stosunek kosztów czynników produkcji, które się wzajemnie zastępują przy stałej wielkości produkcji. Jest to rodzaj współczynnika, który pokazuje stopień efektywności zastąpienia jednego czynnika produkcji innym.

Miarą zamienności czynników produkcji jest krańcowa stopa substytucji technicznej MRTS, która pokazuje, o ile jednostek można zmniejszyć jeden z czynników, zwiększając o jeden inny czynnik, utrzymując produkcję na niezmienionym poziomie.

Izokwanta to krzywa przedstawiająca wszystkie możliwe kombinacje dwóch kosztów, które zapewniają daną stałą wielkość produkcji.

Fundusze są zwykle ograniczone. Linię utworzoną z wielu punktów, pokazującą, ile łącznie czynników produkcji lub zasobów można kupić za dostępne środki, nazywa się izokosztem. Zatem optymalną kombinacją czynników dla konkretnego przedsiębiorstwa jest ogólne rozwiązanie równań izokosztu i izokwanty. Graficznie jest to punkt styczności między liniami izokosztu i izokwanty.

Funkcję produkcji można zapisać w różnych postaciach algebraicznych. Zazwyczaj ekonomiści pracują z liniowo jednorodnymi funkcjami produkcji.

Praca również brana pod uwagę konkretne przykłady rozwiązywanie problemów za pomocą funkcji produkcji, co pozwoliło stwierdzić, że mają one ogromne znaczenie praktyczne w działalności gospodarczej każdego przedsiębiorstwa.

Bibliografia

1. Dougherty K. Wprowadzenie do ekonometrii. – M.: Finanse i statystyka, 2001.

2. Zamkov O.O., Tołstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. Metody matematyczne w ekonomii: Podręcznik. – M.: Wydawnictwo. „DIS”, 1997.

3. Kurs teorii ekonomii: podręcznik. – Kirow: „ASA”, 1999.

4. Mikroekonomia. wyd. prof. Jakowlewa E.B. – M.: Petersburg. Szukaj, 2002.

5. Salmanov O. Ekonomia matematyczna. – M.: BHV, 2003.

6. Churakov E.P. Matematyczne metody przetwarzania danych eksperymentalnych w ekonomii. – M.: Finanse i statystyka, 2004.

7. Shelobaev S.I. Metody i modele matematyczne w ekonomii, finansach, biznesie. – M.: Unity-Dana, 2000.

1 Duży słownik komercyjny./Pod redakcją Ryabova T.F. – M.: Wojna i pokój, 1996. s. 241.

Produkcja odnosi się do jakiejkolwiek działalności człowieka mającej na celu przekształcenie ograniczonych zasobów – materialnych, pracy, naturalnych – w produkt końcowy. Funkcja produkcji charakteryzuje relację pomiędzy ilością wykorzystanych zasobów (czynników produkcji) a maksymalną możliwą wielkością produkcji, jaką można osiągnąć przy najbardziej racjonalnym wykorzystaniu wszystkich dostępnych zasobów.

Funkcja produkcji ma następujące właściwości:

1 Istnieje granica wzrostu produkcji, który można osiągnąć poprzez zwiększenie jednego zasobu i utrzymanie pozostałych na stałym poziomie. Jeśli na przykład w rolnictwo zwiększać ilość pracy przy stałej ilości kapitału i ziemi, to prędzej czy później nadejdzie moment, w którym produkcja przestanie rosnąć.

2 Zasoby uzupełniają się, ale w pewnych granicach możliwa jest ich wymienność bez zmniejszania produkcji. Na przykład pracę ręczną można zastąpić użyciem większej liczby maszyn i odwrotnie.

Aby opisać zachowanie przedsiębiorstwa, należy wiedzieć, jaką część produktu może wyprodukować przy użyciu zasobów w określonych ilościach. Wychodzimy z założenia, że przedsiębiorstwo wytwarza jednorodny produkt, którego ilość mierzona jest w jednostkach naturalnych – tonach, sztukach, metrach itp. Zależność ilości produktu, którą przedsiębiorstwo jest w stanie wyprodukować od wielkości nakładów zasobów jest nazywany funkcja produkcyjna.

Jednak przedsiębiorstwo może realizować proces produkcyjny na różne sposoby, stosując różne metody technologiczne, różne możliwości organizacji produkcji, więc ilość produktu uzyskanego przy tym samym nakładzie zasobów może być różna. Menedżerowie firm powinni odrzucić opcje produkcji, które dają niższą wydajność, jeśli można uzyskać wyższą produkcję przy tych samych kosztach każdego rodzaju zasobu. Podobnie powinni odrzucić opcje, które wymagają większego wkładu z co najmniej jednego wkładu, bez zwiększania wydajności lub zmniejszania wkładu innych nakładów. Opcje odrzucone z tych powodów są wywoływane technicznie nieskuteczne.

Załóżmy, że Twoja firma produkuje lodówki. Aby zrobić ciało, musisz wyciąć blachę żelazną. W zależności od sposobu znakowania i cięcia standardowej blachy żelaznej można z niej wyciąć więcej lub mniej części; W związku z tym do wyprodukowania określonej liczby lodówek potrzeba mniej lub więcej standardowych arkuszy żelaza. Jednocześnie zużycie wszystkich pozostałych materiałów, robocizny, sprzętu i energii elektrycznej pozostanie niezmienione. Tę opcję produkcji, którą można by ulepszyć poprzez bardziej racjonalne cięcie żelaza, należy uznać za technicznie nieskuteczną i odrzucić.

Technicznie sprawny to opcje produkcji, których nie można ulepszyć ani poprzez zwiększenie produkcji produktu bez zwiększania zużycia zasobów, ani przez zmniejszenie kosztów dowolnego zasobu bez zmniejszania produkcji i bez zwiększania kosztów innych zasobów. Funkcja produkcji uwzględnia wyłącznie opcje efektywne technicznie. Jego znaczenie jest największy ilość produktu, jaką przedsiębiorstwo może wyprodukować, biorąc pod uwagę wielkość zużycia zasobów.

Rozważmy najpierw najprostszy przypadek: przedsiębiorstwo wytwarza jeden rodzaj produktu i zużywa jeden rodzaj zasobów. Przykład takiej produkcji jest dość trudny do znalezienia w rzeczywistości. Nawet jeśli weźmiemy pod uwagę przedsiębiorstwo świadczące usługi w domach klientów bez użycia jakichkolwiek urządzeń i materiałów (masaże, korepetycje) i korzystające wyłącznie z pracy pracowników, to musielibyśmy założyć, że pracownicy poruszają się po klientach pieszo (bez korzystania z transportu) usług) i negocjować z klientami bez pomocy poczty i telefonu.

Funkcja produkcji– pokazuje zależność ilości produktu, jaką przedsiębiorstwo może wyprodukować od wielkości kosztów wykorzystanych czynników

P = F(x1, x2…xn)

P = F(K, L),

Gdzie Q- objętość wyjściowa

x1, x2…xn– wielkości zastosowanych czynników

K- wielkość czynnika kapitałowego

L- wielkość czynnika pracy

Zatem przedsiębiorstwo wydaje zasób w określonej wysokości X, może wyprodukować produkt w ilości Q. Funkcja produkcji

Produkcja nie może tworzyć produktów z niczego. Proces produkcyjny wiąże się ze zużyciem różnych zasobów. Zasoby obejmują wszystko, co jest niezbędne do działalności produkcyjnej – surowce, energię, siłę roboczą, sprzęt i przestrzeń. Aby opisać zachowanie przedsiębiorstwa, należy wiedzieć, jaką część produktu może wyprodukować przy użyciu zasobów w określonych ilościach. Wychodzimy z założenia, że przedsiębiorstwo wytwarza jednorodny produkt, którego ilość mierzona jest w jednostkach naturalnych – tonach, sztukach, metrach itp. Zależność ilości produktu, którą przedsiębiorstwo jest w stanie wyprodukować od wielkości nakładów zasobów jest nazywany funkcja produkcyjna.

Rozważanie pojęcia „funkcji produkcji” zaczniemy od najprostszego przypadku, gdy produkcję determinuje tylko jeden czynnik. W tym przypadku funkcja produkcji - Jest to funkcja, której zmienna niezależna przyjmuje wartości wykorzystanego zasobu (czynnika produkcji), a zmienna zależna przyjmuje wartości wielkości produkcji y=f(x).

W tym wzorze y jest funkcją jednej zmiennej x. W związku z tym funkcja produkcji (PF) nazywana jest pojedynczym zasobem lub pojedynczym czynnikiem. Jego dziedziną definicji jest zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych. Symbol f jest cechą systemu produkcyjnego, przekształcając zasób w wynik.

Przykład 1. Przyjmij funkcję produkcji f w postaci f(x)=ax b, gdzie x to ilość wydanych zasobów (np. czas pracy), f(x) to wielkość wytworzonych produktów (np. liczba lodówek gotowych do wysyłki). Wartości aib są parametrami funkcji produkcji f. Tutaj a i b są liczbami dodatnimi, a liczba b1, wektor parametrów jest wektorem dwuwymiarowym (a, b). Funkcja produkcji y=ax b jest typowym przedstawicielem szerokiej klasy jednoczynnikowych PF.

Ryż. 1.

Wykres pokazuje, że wraz ze wzrostem ilości wydanych zasobów wzrasta y. Jednakże każda dodatkowa jednostka zasobu daje coraz mniejszy wzrost wielkości y produkcji. Zaobserwowana okoliczność (wzrost wolumenu y i spadek wzrostu wolumenu y wraz ze wzrostem x) odzwierciedla fundamentalne stanowisko teorii ekonomii (dobrze potwierdzone przez praktykę), zwane prawem malejącej efektywności (malejącej produktywności lub malejących zysków ).

PF mogą mieć różne obszary zastosowania. Zasada wejścia-wyjścia może być realizowana zarówno na poziomie mikro, jak i makroekonomicznym. Przyjrzyjmy się najpierw poziomowi mikroekonomicznemu. Omawiane powyżej PF y=ax b można wykorzystać do opisania zależności pomiędzy ilością zasobu x wydanego lub wykorzystanego w ciągu roku w odrębnym przedsiębiorstwie (firmie) a roczną produkcją tego przedsiębiorstwa (firmy). Rolę systemu produkcyjnego pełni tu odrębne przedsiębiorstwo (firma) - mamy mikroekonomiczny PF (MIPF). Na poziomie mikroekonomicznym przemysł lub międzysektorowy kompleks produkcyjny może również pełnić funkcję systemu produkcyjnego. MIPF są budowane i wykorzystywane głównie do rozwiązywania problemów analizy i planowania, a także prognozowania problemów.

PF można zastosować do opisania związku pomiędzy rocznym nakładem pracy w regionie lub kraju jako całości a roczną końcową produkcją (lub dochodem) tego regionu lub kraju jako całości. Tutaj region lub kraj jako całość pełni rolę systemu produkcyjnego - mamy poziom makroekonomiczny i makroekonomiczny PF (MAPF). MAPF są budowane i aktywnie wykorzystywane do rozwiązywania wszystkich trzech typów problemów (analiza, planowanie i prognozowanie).

Przejdźmy teraz do rozważenia funkcji produkcji kilku zmiennych.

Funkcja produkcji kilku zmiennych jest funkcją, której zmienne niezależne przyjmują wartości wielkości wydanych lub wykorzystanych zasobów (liczba zmiennych n jest równa liczbie zasobów), a wartość funkcji ma znaczenie wartości objętości wyjściowe:

y=f(x)=f(x 1 ,…,x n).

We wzorze y (y0) jest wielkością skalarną, a x jest wielkością wektorową, x 1 ,…,x n są współrzędnymi wektora x, czyli f(x 1 ,…,x n) jest funkcją numeryczną kilka zmiennych x 1 ,…,x n. W związku z tym PF f(x 1,...,x n) nazywany jest wielozasobowym lub wieloczynnikowym. Bardziej poprawna jest następująca symbolika: f(x 1,...,x n,a), gdzie a jest wektorem parametrów PF.

Z ekonomicznego punktu widzenia wszystkie zmienne tej funkcji są nieujemne, zatem dziedziną definicji wieloczynnikowego PF jest zbiór n-wymiarowych wektorów x, z których wszystkie współrzędne x 1,..., x n są nieujemne liczby.

Wykresu funkcji dwóch zmiennych nie można przedstawić na płaszczyźnie. Funkcję produkcji kilku zmiennych można przedstawić w trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej, której dwie współrzędne (x1 i x2) naniesiono na osie poziome i odpowiadają kosztom zasobów, a trzecia (q) na osi pionowej odpowiada produkcji produktu (ryc. 2). Wykresem funkcji produkcji jest powierzchnia „wzgórza”, która zwiększa się wraz z każdą ze współrzędnych x1 i x2.

Dla pojedynczego przedsiębiorstwa (firmy) wytwarzającego produkt jednorodny PF f(x 1 ,..., x n) może powiązać wielkość produkcji z kosztem czasu pracy dla różnych rodzajów aktywności zawodowej, różne rodzaje surowce, komponenty, energia, kapitał trwały. PF tego typu charakteryzują obecną technologię przedsiębiorstwa (firmy).

Konstruując PF dla regionu lub kraju jako całości, całkowity produkt (dochód) regionu lub kraju, zwykle obliczany w cenach stałych, a nie bieżących, często przyjmuje się jako wartość rocznej produkcji Y; kapitał trwały (x 1 (= K) uważa się za zasoby - wielkość kapitału trwałego zużytego w ciągu roku) i pracę żywą (x 2 (= L) - liczbę jednostek pracy żywej wydanych w ciągu roku), zwykle obliczaną w ujęciu wartościowym. W ten sposób konstruowany jest dwuczynnikowy PF Y=f(K,L). Z dwuczynnikowych PF przechodzą do trójczynnikowych. Ponadto, jeśli PF jest konstruowany przy użyciu danych szeregów czasowych, wówczas postęp techniczny można uwzględnić jako specjalny czynnik wzrostu produkcji.

Wywołuje się PF y=f(x 1 ,x 2). statyczny, jeżeli jego parametry i charakterystyka f nie zależą od czasu t, chociaż wielkość zasobów i wielkość produkcji mogą zależeć od czasu t, czyli można je przedstawić w postaci szeregów czasowych: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Tutaj t jest numerem roku, t=0,1,…,T; t= 0 - rok bazowy okresu obejmującego lata 1,2,…,T.

Przykład 2. Aby modelować odrębny region lub kraj jako całość (czyli rozwiązywać problemy na poziomie makroekonomicznym, jak i mikroekonomicznym), często stosuje się PF w postaci y=, gdzie a 0, a 1 i 2 są parametrami PF. Są to stałe dodatnie (często 1 i 2 są takie, że 1 + a 2 = 1). PF podanego właśnie typu nazywa się Cobb-Douglas PF (Cobb-Douglas PF) na cześć dwóch amerykańskich ekonomistów, którzy zaproponowali jego użycie w 1929 roku.

PFKD jest aktywnie wykorzystywany do rozwiązywania różnorodnych problemów teoretycznych i stosowanych ze względu na swoją prostotę strukturalną. PFKD należy do klasy tak zwanych multiplikatywnych PF (MPF). W zastosowaniach PFCD x 1 =K równa się wolumenowi zużytych środków trwałych (wielkości zużytych środków trwałych – w terminologii krajowej), – kosztowi pracy żywej, wówczas PFCD przybiera postać często stosowaną w literaturze:

Przykład 3. Liniowy PF (LPF) ma postać: (dwuczynnikową) i (wieloczynnikową). LPF należy do klasy tzw. dodatku PF (APF). Przejście z multiplikatywnego PF na addytywny odbywa się za pomocą operacji logarytmicznej. Dla dwuczynnikowego multiplikatywnego PF

to przejście ma postać: . Wprowadzając odpowiednie podstawienie otrzymujemy dodatek PF.

Aby wytworzyć konkretny produkt, wymagana jest kombinacja różnych czynników. Mimo to różne funkcje produkcyjne mają szereg wspólnych właściwości.

Dla ścisłości ograniczamy się do funkcji produkcji dwóch zmiennych. Przede wszystkim należy zauważyć, że taką funkcję produkcji definiuje się w nieujemnym ortancie dwuwymiarowej płaszczyzny, czyli w. PF spełnia następujący szereg właściwości:

1) bez zasobów nie ma wydania, tj. f(0,0,a)=0;
2) w przypadku braku choćby jednego z zasobów nie następuje zwolnienie, tj. ;
3) wraz ze wzrostem kosztów co najmniej jednego zasobu zwiększa się wielkość produkcji;

4) wraz ze wzrostem kosztów jednego zasobu, podczas gdy ilość innego zasobu pozostaje niezmieniona, wolumen produkcji wzrasta, tj. jeśli x>0, to;

5) wraz ze wzrostem kosztów jednego zasobu przy niezmienionej ilości drugiego zasobu, wielkość wzrostu produkcji na każdą dodatkową jednostkę i-tego zasobu nie wzrasta (prawo malejących przychodów), tj. Jeśli następnie;

6) wraz ze wzrostem jednego zasobu wzrasta efektywność krańcowa innego zasobu, tj. jeśli x>0, to;
7) PF jest funkcją jednorodną, tj. ; gdy p>1 mamy wzrost efektywności produkcji w wyniku wzrostu skali produkcji; na str

Funkcje produkcji pozwalają ilościowo analizować najważniejsze zależności ekonomiczne w sferze produkcji. Pozwalają ocenić średnią i krańcową efektywność różnych zasobów produkcyjnych, elastyczność produkcji dla różnych zasobów, krańcowe stopy substytucji zasobów, korzyści skali w produkcji i wiele innych.

Zadanie 1. Niech będzie dana funkcja produkcji, która łączy wielkość produkcji przedsiębiorstwa z liczbą pracowników, majątkiem produkcyjnym i ilością wykorzystanych godzin maszynowych

Konieczne jest określenie maksymalnej wydajności w ramach ograniczeń

Rozwiązanie. Aby rozwiązać problem, tworzymy funkcję Lagrange'a

różniczkujemy to po zmiennych i przyrównujemy otrzymane wyrażenia do zera:

Z pierwszego i trzeciego równania wynika zatem, że

skąd otrzymujemy rozwiązanie, w którym y = 2. Ponieważ np. punkt (0,2,0) należy do obszaru dopuszczalnego i w nim y = 0, wnioskujemy, że punkt (1,1,1) jest punktem maksymalnym globalnym. Wnioski ekonomiczne wynikające z powstałego rozwiązania są oczywiste.

Należy również zauważyć, że funkcja produkcji opisuje zbiór techniczny skuteczne sposoby technologia produkcji). Każda technologia charakteryzuje się pewną kombinacją zasobów wymaganych do uzyskania jednostki produkcji. Chociaż funkcje produkcyjne są różne dla różne rodzaje produkcje, wszystkie mają wspólne właściwości:

1. Istnieje granica wzrostu wielkości produkcji, którą można osiągnąć poprzez zwiększenie kosztów jednego zasobu, przy niezmienionych pozostałych czynnikach. Oznacza to, że w przedsiębiorstwie, przy danej liczbie maszyn i pomieszczenia produkcyjne istnieją granice zwiększania produkcji poprzez rekrutację większej liczby pracowników. Wzrost produkcji wraz ze wzrostem liczby zatrudnionych będzie bliski zeru.
2. Istnieje pewna komplementarność czynników produkcji, ale bez zmniejszenia wielkości produkcji możliwa jest pewna zależność między tymi czynnikami. Na przykład praca pracowników jest efektywna, jeśli zostaną wyposażeni we wszystkie niezbędne narzędzia. W przypadku braku takich narzędzi wolumen można zmniejszyć lub zwiększyć wraz ze wzrostem liczby pracowników. W w tym przypadku jeden zasób zostaje zastąpiony innym.
3. Metoda produkcji A uważa się za technicznie bardziej skuteczną w porównaniu z metodą B, jeżeli polega na wykorzystaniu przynajmniej jednego zasobu w mniejszych ilościach, a wszystkich pozostałych – w ilościach nie większych niż metoda B. Racjonalni producenci nie stosują metod nieefektywnych technicznie.
4. Jeśli metoda A polega na zużyciu jednych zasobów w większych, a innych w mniejszych ilościach niż metoda B metody te są nieporównywalne pod względem efektywności technicznej. W tym przypadku obydwie metody uznawane są za efektywne technicznie i zaliczane do funkcji produkcji. To, który z nich wybrać, zależy od stosunku ceny do wykorzystanych zasobów. Wybór ten opiera się na kryteriach opłacalności. Zatem efektywność techniczna to nie to samo, co efektywność ekonomiczna.

Efektywność techniczna to maksymalny możliwy wynik osiągnięty przy wykorzystaniu dostępnych zasobów. Wydajność ekonomiczna- to wytworzenie danej ilości produktów przy minimalnych kosztach. W teorii produkcji tradycyjnie stosuje się dwuczynnikową funkcję produkcji, w której wielkość produkcji jest funkcją wykorzystania zasobów pracy i kapitału:

Graficznie każdą metodę produkcji (technologię) można przedstawić za pomocą punktu charakteryzującego minimalny wymagany zestaw dwóch czynników potrzebnych do wytworzenia danej wielkości produkcji (rys. 3).

Obrazek przedstawia różne drogi produkcja (technologia): T 1, T 2, T 3, charakteryzujące się różnymi współczynnikami wykorzystania pracy i kapitału: T 1 = L 1 K 1; T 2 = L 2 K 2 ; T 3 = L 3 K. 3 . nachylenie belki pokazuje zakres zastosowania różnych zasobów. Im większy kąt rozsyłu światła, tym wyższy koszt inwestycyjny i niższy koszt robocizny. Technologia T 1 jest bardziej kapitałochłonna niż technologia T 2.

Ryż. 3.

Jeśli połączysz linią różne technologie, otrzymasz obraz funkcji produkcji (linii o jednakowej wydajności), która nazywa się izokwanty. Rysunek pokazuje, że wielkość produkcji Q można osiągnąć przy różnych kombinacjach czynników produkcji (T 1, T 2, T 3 itd.). Górna część Izokwanty odzwierciedlają technologie kapitałochłonne, dolny - technologie pracochłonne.

Mapa izokwantowa to zbiór izokwantów odzwierciedlających maksymalny osiągalny poziom produkcji dla dowolnego zestawu czynników produkcji. Im dalej izokwant jest położony od początku, tym większa jest objętość wyjściowa. Izokwanty mogą przechodzić przez dowolny punkt przestrzeni, w którym znajdują się dwa czynniki produkcji. Znaczenie mapy izokwantowej jest podobne do znaczenia mapy krzywej obojętności dla konsumentów.

Ryc.4.

Izokwanty mają następujące cechy nieruchomości:

1. Izokwanty nie przecinają się.
2. Im większa odległość izokwanty od początku współrzędnych, tym większy jest poziom wyjściowy.
3. Izokwanty to krzywe malejące o nachyleniu ujemnym.

Izokwanty przypominają krzywe obojętności, z tą tylko różnicą, że odzwierciedlają sytuację nie w sferze konsumpcji, ale w sferze produkcji.

Ujemne nachylenie izokwantów tłumaczy się tym, że wzrostowi wykorzystania jednego czynnika dla określonej wielkości produkcji zawsze towarzyszyć będzie zmniejszenie ilości innego czynnika.

Rozważmy możliwe mapy izokwant

Na ryc. Rysunek 5 przedstawia niektóre mapy izokwantowe, które charakteryzują różne sytuacje powstające podczas produkcyjnego zużycia dwóch zasobów. Ryż. 5a odpowiada bezwzględnej wzajemnej substytucji zasobów. W przypadku przedstawionym na ryc. 5b, pierwszy zasób można całkowicie zastąpić drugim: punkty izokwantowe znajdujące się na osi x2 pokazują ilość drugiego zasobu, która pozwala na uzyskanie określonego produktu wyjściowego bez wykorzystania pierwszego zasobu. Korzystanie z pierwszego zasobu pozwala obniżyć koszty drugiego zasobu, ale nie da się całkowicie zastąpić drugiego zasobu pierwszym. Ryż. 5,c przedstawia sytuację, w której oba zasoby są potrzebne i żadnego z nich nie da się całkowicie zastąpić drugim. Wreszcie przypadek przedstawiony na ryc. 5d, charakteryzuje się bezwzględną komplementarnością zasobów.

Ryż. 5. Przykłady map izokwantowych

Aby wyjaśnić funkcję produkcji, wprowadzono pojęcie kosztów.

W najbardziej ogólnej formie koszty można zdefiniować jako całość wydatków, które producent ponosi przy wytwarzaniu określonej ilości produktów.

Istnieje ich klasyfikacja według okresów, w których firma akceptuje to czy tamto rozwiązanie produkcyjne. Aby zmienić wielkość produkcji, przedsiębiorstwo musi dostosować wielkość i strukturę swoich kosztów. Niektóre koszty można zmienić dość szybko, inne wymagają trochę czasu.

Okres krótkoterminowy to przedział czasu niewystarczający na modernizację lub uruchomienie nowego zdolności produkcyjne przedsiębiorstwa. Jednak w tym okresie firma może zwiększyć wielkość produkcji, zwiększając intensywność wykorzystania istniejących obiektów produkcyjnych (na przykład zatrudnić dodatkowych pracowników, zakupić więcej surowców, zwiększyć liczbę zmian w celu konserwacji sprzętu itp.). Wynika z tego, że w krótkim okresie koszty mogą być stałe lub zmienne.

Koszty stałe (TFC) to suma kosztów, na które nie mają wpływu zmiany wielkości produkcji. Koszty stałe są związane z samym istnieniem firmy i muszą być ponoszone nawet wtedy, gdy firma nic nie produkuje. Obejmują one odpisy amortyzacyjne budynków i wyposażenia; podatek własnościowy; płatności ubezpieczeniowe; koszty napraw i eksploatacji; płatności obligacji; wynagrodzenia kadry kierowniczej wyższego szczebla itp.

Koszty zmienne (TVC) to koszt zasobów, które są wykorzystywane bezpośrednio do wytworzenia danej wielkości produkcji. Elementami kosztów zmiennych są koszty surowców, paliw, energii; płatność za usługi transportowe; w większości płatność zasoby pracy (płaca). W przeciwieństwie do stałych, koszty zmienne zależą od wielkości produkcji. Należy jednak zaznaczyć, że wzrost wysokości kosztów zmiennych związany ze wzrostem wielkości produkcji o 1 jednostkę nie jest stały.

Na początku procesu zwiększania produkcji koszty zmienne będą rosły przez pewien czas w malejącym tempie; i będzie to trwało do momentu wyprodukowania określonej wielkości produkcji. Wtedy koszty zmienne zaczną rosnąć w coraz szybszym tempie z każdą kolejną jednostką produkcji. Takie zachowanie kosztów zmiennych jest określone przez prawo malejących przychodów. Wzrost produktu krańcowego w czasie będzie powodował coraz mniejszy wzrost nakładów zmiennych potrzebnych do wytworzenia każdej dodatkowej jednostki produktu.

A ponieważ wszystkie jednostki zasobów zmiennych są kupowane po tej samej cenie, oznacza to, że suma kosztów zmiennych będzie rosła w malejącym tempie. Kiedy jednak produktywność krańcowa zacznie spadać zgodnie z prawem malejących przychodów, do wytworzenia każdej kolejnej jednostki produkcji konieczne będzie wykorzystanie coraz większej liczby dodatkowych zmiennych nakładów. Wysokość kosztów zmiennych będzie zatem rosła w coraz szybszym tempie

Suma kosztów stałych i zmiennych związanych z wytworzeniem określonej ilości produktu nazywana jest kosztami całkowitymi (TC). Otrzymujemy zatem następującą równość:

TS - TFC + TVC.

Podsumowując, zauważamy, że funkcje produkcji można wykorzystać do ekstrapolacji ekonomicznego efektu produkcji na dany okres w przyszłości. Podobnie jak w przypadku konwencjonalnych modeli ekonometrycznych, prognozowanie ekonomiczne rozpoczyna się od oceny prognozowanych wartości czynników produkcji. W takim przypadku możesz użyć najbardziej odpowiedniego w każdym szczególny przypadek metoda prognozowania gospodarczego.