Numeryczne i wyrażenia algebraiczne. Konwersja wyrażeń.

Co to jest wyrażenie w matematyce? Dlaczego potrzebujemy konwersji wyrażeń?

Pytanie, jak mówią, jest interesujące... Faktem jest, że pojęcia te stanowią podstawę wszelkiej matematyki. Cała matematyka składa się z wyrażeń i ich przekształceń. Niezbyt jasne? Pozwól mi wyjaśnić.

Powiedzmy, że masz przed sobą zły przykład. Bardzo duży i bardzo złożony. Załóżmy, że jesteś dobry z matematyki i niczego się nie boisz! Czy możesz udzielić odpowiedzi od razu?

Będziesz musiał decydować ten przykład. Konsekwentnie, krok po kroku, ten przykład uproszczać. Przez pewne zasady, naturalnie. Te. Do konwersja wyrażeń. Im skuteczniej przeprowadzisz te przekształcenia, tym silniejszy będziesz w matematyce. Jeśli nie wiesz, jak wykonać właściwe przekształcenia, nie będziesz w stanie tego zrobić na matematyce. Nic...

Aby uniknąć tak niewygodnej przyszłości (lub teraźniejszości...), nie zaszkodzi zrozumieć ten temat.)

Najpierw dowiedzmy się co to jest wyrażenie w matematyce. Co się stało wyrażenie numeryczne i co jest wyrażenie algebraiczne.

Co to jest wyrażenie w matematyce?

Wyrażenie w matematyce– to bardzo szerokie pojęcie. Prawie wszystko, z czym mamy do czynienia w matematyce, jest zbiorem wyrażeń matematycznych. Wszelkie przykłady, wzory, ułamki, równania i tak dalej - to wszystko składa się z wyrażenia matematyczne.

3+2 to wyrażenie matematyczne. s 2 - d 2- to także wyrażenie matematyczne. Zarówno zdrowy ułamek, jak i jedna liczba są wyrażeniami matematycznymi. Na przykład równanie wygląda następująco:

5x + 2 = 12

składa się z dwóch wyrażeń matematycznych połączonych znakiem równości. Jedno wyrażenie znajduje się po lewej stronie, drugie po prawej.

W ogólna perspektywa termin " wyrażenie matematyczne"jest używane najczęściej, aby uniknąć buczenia. Zapytają Cię na przykład, co to jest ułamek zwykły? I jak odpowiedzieć?!

Pierwsza odpowiedź: „To jest... mmmmmm... coś takiego... w którym... Czy mogę napisać ułamek lepiej? Który chcesz?"

Druga odpowiedź: „ Ułamek zwykły- to jest (wesoło i radośnie!) wyrażenie matematyczne , który składa się z licznika i mianownika!”

Druga opcja będzie w jakiś sposób bardziej efektowna, prawda?)

Taki jest cel wyrażenia „ wyrażenie matematyczne „bardzo dobrze. Zarówno poprawne, jak i solidne. Ale do praktycznego zastosowania trzeba dobrze rozumieć specyficzne typy wyrażeń w matematyce .

Konkretny typ to inna sprawa. Ten To zupełnie inna sprawa! Każdy typ wyrażenia matematycznego ma kopalnia zbiór zasad i technik, które należy zastosować przy podejmowaniu decyzji. Do pracy z ułamkami - jeden zestaw. Do pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi - drugi. Do pracy z logarytmami - trzeci. I tak dalej. Gdzieś te zasady się pokrywają, gdzieś znacznie się różnią. Ale nie bój się tych strasznych słów. W odpowiednich sekcjach opanujemy logarytmy, trygonometrię i inne tajemnicze rzeczy.

Tutaj opanujemy (lub – powtórzmy, w zależności od kogo…) dwa główne typy wyrażeń matematycznych. Wyrażenia numeryczne i wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenia numeryczne.

Co się stało wyrażenie numeryczne? Jest to bardzo prosta koncepcja. Już sama nazwa wskazuje, że jest to wyrażenie zawierające liczby. Tak właśnie jest. Wyrażenie matematyczne składające się z liczb, nawiasów i symboli arytmetycznych nazywa się wyrażeniem numerycznym.

7-3 to wyrażenie numeryczne.

(8+3,2) 5,4 jest także wyrażeniem liczbowym.

I ten potwór:

także wyrażenie numeryczne, tak...

Zwykły numer, ułamek, dowolny przykład obliczenia bez X i innych liter - wszystko to są wyrażenia numeryczne.

Główny znak liczbowy wyrażenia - w nim żadnych liter. Nic. Tylko liczby i ikony matematyki(jeśli jest to konieczne). To proste, prawda?

I z czego można zrobić wyrażenia numeryczne? Wyrażenia numeryczne zazwyczaj można policzyć. By to zrobić zdarza się, że trzeba otworzyć nawiasy, zmienić znaki, skrócić, zamienić terminy – czyli np. Do konwersje wyrażeń. Ale o tym poniżej.

Tutaj mamy do czynienia z takim zabawnym przypadkiem, gdy chodzi o wyrażenie liczbowe nie musisz nic robić. No cóż, zupełnie nic! Ta przyjemna operacja - Nic nie robić)- jest wykonywane, gdy wyrażenie nie ma sensu.

Kiedy wyrażenie liczbowe nie ma sensu?

Oczywiste jest, że jeśli zobaczymy przed sobą jakąś abrakadabrę, np

wtedy nic nie zrobimy. Ponieważ nie jest jasne, co z tym zrobić. Jakiś nonsens. Może policz plusy...

Ale są na pozór całkiem przyzwoite wyrażenia. Na przykład to:

(2+3): (16 - 2 8)

Jednak to wyrażenie również nie ma sensu! Z prostego powodu, że w drugim nawiasie – jeśli policzysz – otrzymasz zero. Ale nie możesz dzielić przez zero! Jest to operacja zabroniona w matematyce. Dlatego też z tym wyrażeniem nie trzeba nic robić. Dla każdego zadania z takim wyrażeniem odpowiedź będzie zawsze taka sama: „To wyrażenie nie ma znaczenia!”

Aby dać taką odpowiedź, musiałem oczywiście obliczyć, co będzie w nawiasach. A czasami w nawiasach jest mnóstwo rzeczy… Cóż, nic nie można na to poradzić.

W matematyce nie ma zbyt wielu zakazanych operacji. Jest tylko jeden w tym temacie. Dzielenie przez zero. Dodatkowe ograniczenia wynikające z pierwiastków i logarytmów omówiono w odpowiednich tematach.

A więc pomysł, co to jest wyrażenie numeryczne- dostał. Pojęcie wyrażenie numeryczne nie ma sensu- uświadomił sobie. Przejdźmy dalej.

Wyrażenia algebraiczne.

Jeśli w wyrażeniu liczbowym pojawią się litery, wyrażenie to stanie się... Wyrażenie stanie się... Tak! Staje się wyrażenie algebraiczne. Na przykład:

5a 2; 3x-2 lata; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takie wyrażenia są również nazywane wyrażenia dosłowne. Lub wyrażenia ze zmiennymi. To praktycznie to samo. Wyrażenie 5a +c na przykład dosłowne i algebraiczne oraz wyrażenie ze zmiennymi.

Pojęcie wyrażenie algebraiczne - szersze niż numeryczne. To obejmuje i wszystkie wyrażenia numeryczne. Te. wyrażenie liczbowe jest również wyrażeniem algebraicznym, tylko bez liter. Każdy śledź to ryba, ale nie każda ryba to śledź...)

Dlaczego alfabetyczny- Jest jasne. No cóż, skoro są litery... Fraza wyrażenie ze zmiennymi To też nie jest zbyt zastanawiające. Jeśli rozumiesz, że pod literami ukryte są cyfry. Pod literami można ukryć wszelkiego rodzaju liczby... Oraz 5, -18 i wszystko inne. Oznacza to, że może być list zastępować NA różne liczby. Dlatego właśnie nazywają się te litery zmienne.

W wyrazie y+5, Na przykład, Na- wartość zmienna. Albo po prostu mówią: „ zmienny", bez słowa „wielkość”. W przeciwieństwie do pięciu, które jest wartością stałą. Lub po prostu - stały.

Termin wyrażenie algebraiczne oznacza, że do pracy z tym wyrażeniem należy używać praw i reguł algebra. Jeśli arytmetyka działa zatem z określonymi liczbami algebra- ze wszystkimi numerami na raz. Prosty przykład dla wyjaśnienia.

W arytmetyce możemy to zapisać

Ale jeśli napiszemy taką równość za pomocą wyrażeń algebraicznych:

za + b = b + a

podejmiemy decyzję od razu Wszystko pytania. Dla wszystkie liczby udar mózgu. Za wszystko nieskończone. Bo pod literami A I B ukryty Wszystko liczby. I nie tylko liczby, ale nawet inne wyrażenia matematyczne. Tak działa algebra.

Kiedy wyrażenie algebraiczne nie ma sensu?

Wszystko w wyrażeniu liczbowym jest jasne. Nie można tam dzielić przez zero. A czy za pomocą liter można dowiedzieć się, według czego dzielimy?!

Weźmy na przykład to wyrażenie ze zmiennymi:

2: (A - 5)

Czy jest sens? Kto wie? A- Jakikolwiek numer...

Jakikolwiek, dowolny... Ale znaczenie jest jedno A, dla którego to wyrażenie Dokładnie nie ma sensu! A co to za numer? Tak! To jest 5! Jeśli zmienna A zamień (mówią „zastąpić”) cyfrą 5, w nawiasach otrzymasz zero. Którego nie da się podzielić. Okazuje się więc, że nasze wyrażenie nie ma sensu, Jeśli a = 5. Ale dla innych wartości A Czy jest sens? Czy można zastąpić inne liczby?

Z pewnością. W takich przypadkach po prostu mówią, że wyrażenie

2: (A - 5)

ma sens dla dowolnych wartości A, z wyjątkiem a = 5 .

Cały zestaw liczb Móc nazywa się podstawienie do danego wyrażenia region dopuszczalne wartości to wyrażenie.

Jak widać, nie ma nic trudnego. Przyjrzyjmy się wyrażeniu ze zmiennymi i zastanówmy się: przy jakiej wartości zmiennej uzyskuje się zabronioną operację (dzielenie przez zero)?

A potem koniecznie spójrz na pytanie dotyczące zadania. O co pytają?

nie ma sensu, odpowiedzią będzie nasze zakazane znaczenie.

Jeśli zapytasz, przy jakiej wartości zmiennej wyrażenie ma znaczenie(poczuj różnicę!), odpowiedź będzie brzmiała wszystkie inne liczby z wyjątkiem tego, co zakazane.

Dlaczego potrzebujemy znaczenia wyrażenia? On tam jest, nie ma go... Jaka jest różnica?! Rzecz w tym, że to pojęcie staje się bardzo ważne w szkole średniej. Bardzo ważny! Na tym opierają się tak solidne pojęcia, jak dziedzina dopuszczalnych wartości czy dziedzina funkcji. Bez tego w ogóle nie będziesz w stanie rozwiązać poważnych równań ani nierówności. Lubię to.

Konwersja wyrażeń. Transformacje tożsamości.

Zapoznaliśmy się z wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi. Rozumieliśmy, co oznacza wyrażenie „wyrażenie nie ma znaczenia”. Teraz musimy dowiedzieć się, co to jest konwersja wyrażeń. Odpowiedź jest prosta, aż do hańby.) Jest to dowolne działanie posiadające wyraz. To wszystko. Robicie te przemiany od pierwszej klasy.

Weźmy fajne wyrażenie numeryczne 3+5. Jak można to przekonwertować? Tak, bardzo proste! Oblicz:

To obliczenie będzie transformacją wyrażenia. To samo wyrażenie możesz zapisać inaczej:

Tutaj w ogóle nic nie liczyliśmy. Właśnie zapisałem wyrażenie w innej formie. Będzie to również transformacja wyrażenia. Można to napisać w ten sposób:

To także jest przekształcenie wyrażenia. Możesz dokonać dowolnej liczby takich przekształceń.

Każdy działanie na ekspresję każdy zapisanie go w innej formie nazywa się przekształcaniem wyrażenia. I to wszystko. Wszystko jest bardzo proste. Ale jest tutaj jedna rzecz bardzo ważna zasada. Na tyle ważne, że można śmiało nazwać główna zasada cała matematyka. Złamanie tej zasady nieuchronnie prowadzi do błędów. Wchodzimy w to?)

Powiedzmy, że przekształciliśmy nasze wyrażenie w sposób przypadkowy, w ten sposób:

Konwersja? Z pewnością. Napisaliśmy wyrażenie w innej formie, co tu jest nie tak?

To nie tak.) Chodzi o to, że transformacje "losowo" w ogóle nie interesują się matematyką.) Cała matematyka opiera się na przekształceniach, w których wygląd, ale istota wyrażenia się nie zmienia. Trzy plus pięć można zapisać w dowolnej formie, ale musi to być osiem.

Przekształcenia, wyrażenia, które nie zmieniają istoty są nazywane identyczny.

Dokładnie przemiany tożsamości i pozwól nam, krok po kroku, dokonywać transformacji złożony przykład w prostym wyrażeniu, zachowując istota przykładu. Jeśli popełnimy błąd w łańcuchu przekształceń, wykonamy NIE identyczną transformację, wtedy podejmiemy decyzję inny przykład. Z innymi odpowiedziami, które nie są powiązane z poprawnymi.)

Jest to główna zasada rozwiązywania wszelkich zadań: zachowanie tożsamości przekształceń.

Dla przejrzystości podałem przykład z wyrażeniem liczbowym 3+5. W wyrażeniach algebraicznych przekształcenia tożsamości są dane za pomocą wzorów i reguł. Powiedzmy, że w algebrze istnieje wzór:

a(b+c) = ab + ac

Oznacza to, że w dowolnym przykładzie możemy zamiast wyrażenia a(b+c)śmiało napisz wyrażenie ab + ak. I wzajemnie. Ten identyczna transformacja. Matematyka daje nam wybór pomiędzy tymi dwoma wyrażeniami. A który napisać, zależy od konkretnego przykładu.

Inny przykład. Jednym z najważniejszych i niezbędnych przekształceń jest podstawowa właściwość ułamka. Więcej szczegółów znajdziesz w linku, ale tutaj przypomnę tylko zasadę: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę lub wyrażenie, które nie jest równe zero, ułamek nie ulegnie zmianie. Oto przykład transformacji tożsamości przy użyciu tej właściwości:

Jak zapewne się domyślacie, łańcuch ten można ciągnąć w nieskończoność...) Bardzo ważna właściwość. To właśnie pozwala zamienić wszelkiego rodzaju przykładowe potwory w białe i puszyste.)

Istnieje wiele wzorów definiujących identyczne przekształcenia. Ale tych najważniejszych jest całkiem rozsądna liczba. Jednym z podstawowych przekształceń jest faktoryzacja. Jest stosowany w całej matematyce - od podstawowej do zaawansowanej. Zacznijmy od niego. Na następnej lekcji.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.

Na przykład w wyrażeniu 3+x liczbę 3 można zastąpić sumą 1+2, co da wyrażenie (1+2)+x, które jest identyczne z wyrażeniem pierwotnym. Inny przykład: w wyrażeniu 1+a 5 potęgę a 5 można zastąpić identycznie równym iloczynem, na przykład postaci a·a 4. To da nam wyrażenie 1+a·a 4 .

Przekształcenie to ma niewątpliwie charakter sztuczny i stanowi zwykle przygotowanie do dalszych przekształceń. Na przykład w sumie 4 x 3 +2 x 2, biorąc pod uwagę właściwości stopnia, termin 4 x 3 można przedstawić jako iloczyn 2 x 2 2 x. Po tej transformacji oryginalne wyrażenie przyjmie postać 2 x 2 2 x+2 x 2. Oczywiście wyrazy w otrzymanej sumie mają wspólny współczynnik 2 x 2, dlatego możemy wykonać następującą transformację - nawias. Po tym dochodzimy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x+1) .

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Inną sztuczną transformacją wyrażenia jest dodawanie i jednoczesne odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Ta transformacja jest identyczna, ponieważ jest zasadniczo równoważna dodaniu zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.

Spójrzmy na przykład. Weźmy wyrażenie x 2 +2·x. Jeśli dodasz do tego jeden i odejmiesz jeden, pozwoli ci to w przyszłości wykonać kolejną identyczną transformację - podnieś dwumian do kwadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi

Instytucja edukacyjna

„Gomel Uniwersytet stanowy ich. F. Skorina”

Wydział Matematyki

Katedra MPM

Identyczne przekształcenia wyrażeń i metody nauczania studentów ich wykonywania

Wykonawca:

Studentka Starodubova A.Yu.

Doradca naukowy:

Cand. fizyka i matematyka Nauki, profesor nadzwyczajny Lebiediew M.T.

Gomel 2007

Wstęp

1 Główne rodzaje przekształceń i etapy ich badania. Etapy opanowania stosowania transformacji

Wniosek

Literatura

Wstęp

Najprostsze przekształcenia wyrażeń i wzorów w oparciu o właściwości operacji arytmetycznych przeprowadza się w Szkoła Podstawowa oraz klasy 5 i 6. Kształtowanie umiejętności i zdolności do wykonywania przekształceń odbywa się na kursie algebry. Wynika to zarówno z gwałtownego wzrostu liczby i różnorodności przeprowadzanych przekształceń, jak i ze skomplikowania działań zmierzających do ich uzasadnienia i wyjaśnienia warunków stosowalności, identyfikacji i badania uogólnionych koncepcji tożsamości, transformacji tożsamej, równoważna transformacja.

1. Główne typy przekształceń i etapy ich badania. Etapy opanowania stosowania transformacji

1. Początki algebry

Stosowany jest niepodzielny system przekształceń, reprezentowany przez reguły wykonywania działań na jednej lub obu częściach formuły. Celem jest osiągnięcie płynności w wykonywaniu zadań rozwiązywania prostych równań, upraszczania wzorów definiujących funkcje oraz racjonalnego przeprowadzania obliczeń w oparciu o właściwości działań.

Typowe przykłady:

Rozwiąż równania:

A) ; B) ; V) .

Identyczna transformacja (a); równoważne i identyczne (b).

2. Kształcenie umiejętności stosowania określonych typów przekształceń

Wnioski: skrócone wzory na mnożenie; przekształcenia związane z potęgowaniem; transformacje związane z różnymi klasami funkcji elementarnych.

Organizacja integralnego układu przekształceń (synteza)

Celem jest stworzenie elastycznego i wydajnego aparatu, odpowiedniego do wykorzystania w rozwiązywaniu różnorodnych zadań edukacyjnych. Przejście do tego etapu następuje podczas końcowego powtarzania kursu w trakcie rozumienia już znanego materiału poznanego w częściach, dla niektórych typów przekształceń do wcześniej badanych typów dodawane są przekształcenia wyrażeń trygonometrycznych. Wszystkie te przekształcenia można nazwać „algebraicznymi”, do „analitycznych” przekształceń zaliczają się takie, które opierają się na zasadach różniczkowania i całkowania oraz przekształcenia wyrażeń zawierających przejścia do granic. Różnica tego typu polega na naturze zbioru, przez który przechodzą zmienne tożsamości (pewne zbiory funkcji).

Badane tożsamości dzielą się na dwie klasy:

I – tożsamości skróconego mnożenia obowiązujące w pierścieniu przemiennym oraz tożsamości

uczciwie na boisku.

II – tożsamości łączące działania arytmetyczne i podstawowe funkcje elementarne.

2 Cechy organizacji systemu zadań w badaniu przemian tożsamości

Główną zasadą organizacji systemu zadań jest przedstawienie ich od prostych do złożonych.

Cykl ćwiczeń– łączenie w sekwencji ćwiczeń kilku aspektów studiowania i technik porządkowania materiału. Przy badaniu przemian tożsamości cykl ćwiczeń wiąże się z badaniem jednej tożsamości, wokół której grupują się inne tożsamości pozostające z nią w naturalnym związku. Cykl, obok wykonawczego, obejmuje zadania, wymagające uznania możliwości zastosowania danej tożsamości. Badana tożsamość służy do przeprowadzania obliczeń w różnych dziedzinach liczbowych. Zadania w każdym cyklu podzielone są na dwie grupy. DO Pierwszy Należą do nich zadania realizowane w trakcie wstępnego poznawania tożsamości. Służą materiał edukacyjny przez kilka kolejnych lekcji połączonych jednym tematem.

Druga grupaćwiczenia łączą badaną tożsamość z różnymi zastosowaniami. Grupa ta nie tworzy jedności kompozycyjnej - ćwiczenia tutaj są rozproszone na różne tematy.

Opisane struktury cykli odnoszą się do etapu rozwijania umiejętności stosowania określonych przekształceń.

Na etapie syntezy cykle ulegają zmianie, grupy zadań są łączone w kierunku komplikacji i łączenia cykli związanych z różnymi tożsamościami, co pozwala zwiększyć rolę działań mających na celu rozpoznanie stosowalności określonej tożsamości.

Przykład.

Cykl zadań dla tożsamości:

I grupa zadań:

a) występujący w postaci produktu:

b) Sprawdź równość:

c) Rozwiń nawiasy w wyrażeniu:

d) Oblicz:

e) Rozłóż na czynniki:

f) uprość wyrażenie:

Studenci właśnie zapoznali się z formułowaniem tożsamości, jej zapisywaniem w formie tożsamości i jej dowodem.

Zadanie a) wiąże się z utrwaleniem struktury badanej tożsamości, z nawiązaniem połączenia z nią zestawy numeryczne(porównanie struktur znakowych tożsamości i wyrażenia przekształconego; zamiana litery na cyfrę w tożsamości). W ostatnim przykładzie nadal musimy go zredukować do badanej formy. W poniższych przykładach (e i g) dochodzi do komplikacji spowodowanej zastosowaną rolą tożsamości i skomplikowaniem konstrukcji znaku.

Zadania typu b) mają na celu rozwój umiejętności zastępczych NA . Rola zadania c) jest podobna.

Przykłady typu d), w których konieczny jest wybór jednego z kierunków transformacji, dopełniają rozwój tej idei.

Zadania grupy I skupiają się na opanowaniu struktury tożsamości, działaniu substytucji w najprostszych, zasadniczo najważniejszych przypadkach oraz idei odwracalności przekształceń dokonywanych przez tożsamość. Bardzo ważne jest także wzbogacanie środków językowych ukazujących różne aspekty tożsamości. Teksty zadań dają wyobrażenie o tych aspektach.

II grupa zadań.

g) Korzystając z tożsamości dla , rozłóż na czynniki wielomian .

h) Wyeliminuj irracjonalność w mianowniku ułamka.

i) Udowodnij, że jeśli jest liczbą nieparzystą, to jest ona podzielna przez 4.

j) Funkcję podaje się za pomocą wyrażenia analitycznego

Pozbądź się znaku modułu, rozważając dwa przypadki: , .

k) Rozwiąż równanie .

Zadania te mają na celu jak najwięcej pełne wykorzystanie i biorąc pod uwagę specyfikę tej konkretnej tożsamości, zakładają wykształcenie umiejętności posługiwania się badaną tożsamością dla różnicy kwadratów. Celem jest pogłębienie rozumienia tożsamości poprzez rozważenie jej różnych zastosowań w różne sytuacje, w połączeniu z wykorzystaniem materiału związanego z innymi zagadnieniami z kursu matematyki.

Lub .

Cechy cykli zadań związanych z tożsamościami funkcji elementarnych:

1) są badane na podstawie materiału funkcjonalnego;

2) tożsamości pierwszej grupy pojawiają się później i są badane z wykorzystaniem już rozwiniętych umiejętności dokonywania przekształceń tożsamości.

W pierwszej grupie zadań w cyklu powinny znaleźć się zadania polegające na ustaleniu powiązań pomiędzy tymi nowymi obszarami liczbowymi a pierwotnym obszarem liczb wymiernych.

Przykład.

Oblicz:

;

Celem takich zadań jest opanowanie cech zapisów, w tym symboli nowych operacji i funkcji, a także rozwinięcie umiejętności mowy matematycznej.

Znacząca część zastosowań przekształceń tożsamościowych związanych z funkcjami elementarnymi polega na rozwiązywaniu równań niewymiernych i transcendentalnych. Kolejność kroków:

a) znajdź funkcję φ, dla której dane równanie f(x)=0 można przedstawić w postaci:

b) podstawiamy y=φ(x) i rozwiązujemy równanie

c) rozwiązać każde z równań φ(x)=y k, gdzie y k jest zbiorem pierwiastków równania F(y)=0.

Stosując opisaną metodę, krok b) często wykonuje się w sposób dorozumiany, bez wprowadzania zapisu dla φ(x). Ponadto studenci często wolą różne sposoby prowadzących do znalezienia odpowiedzi, wybierz tę, która szybciej i łatwiej doprowadzi do równania algebraicznego.

Przykład. Rozwiąż równanie 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (krok a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3=0. (krok b)

Przykład. Rozwiązać równanie:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Zaproponuj niezależne rozwiązanie.)

Klasyfikacja zadań w cyklach związanych z rozwiązywaniem równań przestępnych, w tym funkcja wykładnicza:

1) równania, które sprowadzają się do równań postaci a x = y 0 i mają prostą, ogólną odpowiedź:

2) równania sprowadzające się do równań postaci a x = a k, gdzie k jest liczbą całkowitą, lub a x = b, gdzie b≤0.

3) równania sprowadzające się do równań postaci a x = y 0 i wymagające jednoznacznej analizy postaci, w której jawnie zapisana jest liczba y 0.

Bardzo przydatne są zadania, w których do konstruowania grafów wykorzystywane są przekształcenia tożsamościowe przy jednoczesnym upraszczaniu formuł definiujących funkcje.

a) Naszkicuj funkcję y=;

b) Rozwiąż równanie lgx+lg(x-3)=1

c) dla jakiego zbioru formuła log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) jest tożsamością?

Wykorzystanie przekształceń tożsamościowych w obliczeniach (Journal of Mathematics at School, nr 4, 1983, s. 45).

Zadanie nr 1. Funkcję tę wyraża wzór y=0,3x2 +4,64x-6. Znajdź wartości funkcji przy x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Zadanie nr 2. Oblicz długość jednej nogi trójkąta prostokątnego, jeśli długość jego przeciwprostokątnej wynosi 3,6 cm, a drugiej nogi 2,16 cm.

Zadanie nr 3. Jaka jest powierzchnia prostokątnej działki o wymiarach a) 0,64 m i 6,25 m; b) 99,8 m i 2,6 m?

a)0,64*6,25=0,8 2*2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Te przykłady pozwalają zidentyfikować praktyczne użycie przemiany tożsamości. Student powinien zostać zaznajomiony z warunkami wykonalności transformacji (patrz diagramy).

obraz wielomianu, w którym dowolny wielomian mieści się w okrągłych konturach (schemat 1)

podany jest warunek możliwości przekształcenia iloczynu jednomianu i wyrażenia umożliwiającego przekształcenie na różnicę kwadratów. (schemat 2)

tutaj zacienienia oznaczają równe jednomiany i podane jest wyrażenie, które można przekształcić w różnicę kwadratów (schemat 3).

wyrażenie, które uwzględnia wspólny czynnik.

Umiejętności uczniów w zakresie identyfikowania warunków można rozwijać na podstawie następujących przykładów:

Które z poniższych wyrażeń można przekształcić, usuwając wspólny czynnik z nawiasów:

3) 0,7a 2 + 0,2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

Większość obliczeń w praktyce nie spełnia warunków spełnialności, dlatego studentom potrzebna jest umiejętność ich sprowadzenia do postaci umożliwiającej obliczenie przekształceń. W takim przypadku odpowiednie są następujące zadania:

podczas badania usuwania wspólnego czynnika z nawiasów:

jeśli to możliwe, zamień to wyrażenie na wyrażenie przedstawione na diagramie 4:

4) 2a*a 2*a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Formułując pojęcie „przekształcenia identycznego”, należy pamiętać, że oznacza to nie tylko, że dane i powstałe wyrażenie w wyniku przekształcenia przyjmują wartości równe dla dowolnych wartości liter w nim zawartych, ale także, że podczas identycznej transformacji przechodzimy od wyrażenia definiującego jeden sposób liczenia do wyrażenia definiującego inny sposób liczenia tej samej wartości.

Schemat 5 (zasada przeliczania iloczynu jednomianu i wielomianu) można zilustrować przykładami

0,5a(b+c) lub 3,8(0,7+).

Ćwiczenia uczące, jak wyciągać wspólny czynnik z nawiasów:

Oblicz wartość wyrażenia:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc przy a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) z a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Zilustrujmy przykładami kształtowanie umiejętności obliczeń i przemiany tożsamości.(zh. Matematyka w szkole, nr 5, 1984, s. 30)

1) umiejętności i zdolności nabywa się szybciej i dłużej zatrzymuje się, jeśli ich kształtowanie następuje na świadomej podstawie (dydaktyczna zasada świadomości).

1) Możesz sformułować regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach lub wstępnie konkretne przykłady rozważ istotę dodawania równych udziałów.

2) Podczas rozkładu na czynniki poprzez usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów ważne jest, aby zobaczyć ten wspólny czynnik, a następnie zastosować prawo dystrybucji. Podczas wykonywania pierwszych ćwiczeń warto zapisać każdy wyraz wielomianu jako iloczyn, którego jeden z czynników jest wspólny dla wszystkich wyrazów:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Jest to szczególnie przydatne, gdy jeden z jednomianów wielomianu zostanie wyjęty z nawiasu:

II. Pierwszy etap kształtowanie umiejętności – opanowanie umiejętności (ćwiczenia wykonywane są ze szczegółowymi objaśnieniami i notatkami)

(kwestia znaku jest rozwiązywana w pierwszej kolejności)

Druga faza– etap automatyzacji umiejętności poprzez eliminację niektórych operacji pośrednich

III. Siłę umiejętności osiąga się poprzez rozwiązywanie przykładów zróżnicowanych zarówno pod względem treści, jak i formy.

Temat: „Umieszczanie wspólnego czynnika w nawiasach”.

1. Zapisz brakujący czynnik zamiast wielomianu:

2. Rozłóż na czynniki tak, aby przed nawiasami znajdował się jednomian o ujemnym współczynniku:

3. Rozłóż tak, aby wielomian w nawiasach miał współczynniki całkowite:

4. Rozwiąż równanie:

IV. Rozwój umiejętności jest najskuteczniejszy, gdy niektóre pośrednie obliczenia lub przekształcenia wykonywane są ustnie.

(doustnie);

V. Rozwijane umiejętności i zdolności muszą być częścią wcześniej utworzonego systemu wiedzy, umiejętności i zdolności uczniów.

Na przykład, ucząc, jak rozkładać wielomiany na czynniki za pomocą skróconych wzorów na mnożenie, oferowane są następujące ćwiczenia:

Rozkładać na czynniki:

VI. Konieczność racjonalnego wykonywania obliczeń i przekształceń.

V) uprościć wyrażenie:

Racjonalność polega na otwarciu nawiasów, ponieważ

VII. Konwersja wyrażeń zawierających wykładniki.

Nr 1011 (Alg.9) Uprość wyrażenie:

Nr 1012 (Alg.9) Usuń mnożnik spod pierwiastka:

Nr 1013 (Alg.9) Podaj współczynnik pod pierwiastkiem:

Nr 1014 (Alg.9) Uprość wyrażenie:

We wszystkich przykładach najpierw wykonaj faktoryzację lub odejmowanie wspólnego czynnika, albo „zobacz” odpowiedni wzór na redukcję.

Nr 1015 (Alg.9) Zmniejsz ułamek:

Wielu uczniów ma pewne trudności z przekształcaniem wyrażeń zawierających pierwiastki, szczególnie podczas studiowania równości:

Dlatego albo opisz szczegółowo wyrażenia formy, albo lub przejdź do stopnia z wykładnikiem racjonalnym.

Nr 1018 (Alg.9) Znajdź wartość wyrażenia:

Nr 1019 (Alg.9) Uprość wyrażenie:

2,285 (Skanavi) Uprość wyrażenie

a następnie wykreśl funkcję y Dla

Nr 2.299 (Skanavi) Sprawdź ważność równości:

Transformacja wyrażeń zawierających stopień jest uogólnieniem nabytych umiejętności i zdolności w badaniu identycznych transformacji wielomianów.

Nr 2.320 (Skanavi) Uprość wyrażenie:

Kurs Algebra 7 zawiera następujące definicje.

def. Mówi się, że dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe wartościom zmiennych, są identycznie równe.

def. Równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości wywoływanych zmiennych. tożsamość.

Nr 94 (Alg.7) Czy równość:

Definicja opisu: Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się transformacją identyczną lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.

Nie. (Alg.7) Wśród wyrażeń

znajdź te, które są jednakowo równe.

Temat: „Identyczne przekształcenia wyrażeń” (technika zadawania pytań)

Pierwszy temat „Algebra-7” - „Wyrażenia i ich przekształcenia” pomaga utrwalić umiejętności obliczeniowe nabyte w klasach 5-6, usystematyzować i uogólnić informacje o przekształceniach wyrażeń i rozwiązaniach równań.

Znajdowanie wartości liczbowych i wyrażenia dosłowne umożliwia powtórzenie ze studentami zasad działania na liczbach wymiernych. Możliwość wykonania działania arytmetyczne z liczbami wymiernymi są podstawą całego kursu algebry.

Jeśli chodzi o przekształcenia wyrażeń, umiejętności formalne i operacyjne pozostają na tym samym poziomie, który osiągnięto w klasach 5-6.

Jednak tutaj studenci wznoszą się na nowy poziom w opanowaniu teorii. Wprowadzono pojęcia „identycznie równych wyrażeń”, „tożsamości”, „identycznych przekształceń wyrażeń”, których treść będzie stale odkrywana i pogłębiana podczas badania przekształceń różnych wyrażeń algebraicznych. Podkreśla się, że podstawą przekształceń tożsamości są własności operacji na liczbach.

Studiując temat „Wielomiany”, kształtują się formalne umiejętności operacyjne identycznych transformacji wyrażeń algebraicznych. Skrócone wzory na mnożenie przyczyniają się do dalszego rozwoju umiejętności wykonywania identycznych przekształceń całych wyrażeń; umiejętność stosowania wzorów zarówno na skrócone mnożenie, jak i faktoryzację wielomianów wykorzystuje się nie tylko przy przekształcaniu całych wyrażeń, ale także przy operacjach na ułamkach zwykłych, pierwiastkach , potęgi z wymiernym wykładnikiem .

W klasie VIII nabyte umiejętności przekształceń tożsamości ćwiczone są na operacjach na ułamkach algebraicznych, pierwiastek kwadratowy oraz wyrażenia zawierające potęgi z wykładnikiem całkowitym.

W przyszłości techniki transformacji tożsamości znajdą odzwierciedlenie w wyrażeniach zawierających stopień z wykładnikiem wymiernym.

Grupa specjalna identycznymi transformacjami są wyrażenia trygonometryczne i wyrażenia logarytmiczne.

Obowiązkowe efekty kształcenia na zajęciach z algebry w klasach 7-9 obejmują:

1) przekształcenia tożsamościowe wyrażeń całkowitych

a) nawiasy otwierające i zamykające;

b) sprowadzanie podobnych członków;

c) dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów;

d) rozkład wielomianów na czynniki poprzez wyjmowanie wspólnego czynnika z nawiasów i skrócone wzory na mnożenie;

e) rozkład trójmian kwadratowy przez mnożniki.

„Matematyka w szkole” (B.U.M.) s. 110

2) identyczne przekształcenia wyrażeń wymiernych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków, a także zastosowanie wymienionych umiejętności przy wykonywaniu prostych przekształceń złożonych [s. 111]

3) studenci powinni potrafić wykonywać przekształcenia prostych wyrażeń zawierających stopnie i pierwiastki. (s. 111-112)

Brano pod uwagę główne rodzaje problemów, których umiejętność rozwiązania pozwala na otrzymanie przez ucznia oceny pozytywnej.

Jednym z najważniejszych aspektów metodologii badania przemian tożsamości jest opracowanie przez ucznia celów dokonywania transformacji tożsamości.

1) - uproszczenie wartości liczbowej wyrażenia

2) które z przekształceń należy wykonać: (1) lub (2) Analiza tych opcji jest motywacją (najlepiej (1), ponieważ w (2) zakres definicji jest zawężony)

3) Rozwiąż równanie:

Faktoring przy rozwiązywaniu równań.

4) Oblicz:

Zastosujmy skróconą formułę mnożenia:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Znajdź wartość wyrażenia:

Aby znaleźć wartość, pomnóż każdy ułamek przez jego koniugat:

6) Wykres funkcji:

Wybierzmy całą część: .

Zapobieganie błędom podczas wykonywania przekształceń tożsamości można uzyskać poprzez różne przykłady ich realizacji. W tym przypadku praktykuje się „małe” techniki, które jako elementy włączane są w większy proces transformacji.

Na przykład:

W zależności od kierunków równania można rozważyć kilka problemów: mnożenie wielomianów od prawej do lewej; od lewej do prawej - faktoryzacja. Lewa strona jest wielokrotnością jednego z czynników po prawej stronie itd.

Oprócz różnicowania przykładów możesz użyć apologia tożsamości i równości liczbowych.

Następne spotkanie– wyjaśnienie tożsamości.

Aby zwiększyć zainteresowanie uczniów, możemy uwzględnić wyszukiwanie na różne sposoby rozwiązywanie problemów.

Lekcje dotyczące studiowania przemian tożsamości staną się ciekawsze, jeśli je poświęcisz poszukiwanie rozwiązania problemu .

Na przykład: 1) skróć ułamek:

3) udowodnić wzór „rodnika złożonego”

Rozważać:

Przekształćmy prawą stronę równości:

suma wyrażeń sprzężonych. Można je mnożyć i dzielić przez ich koniugat, ale taka operacja doprowadziłaby nas do ułamka, którego mianownikiem jest różnica rodników.

Zauważ, że pierwszy wyraz w pierwszej części tożsamości jest liczbą większą niż drugi, więc możemy podnieść obie części do kwadratu:

Praktyczna lekcja №3.

Temat: Identyczne przekształcenia wyrażeń (technika zadawania pytań).

Literatura: „Warsztaty z MPM”, s. 87-93.

Przejawem wysokiej kultury obliczeń i przekształceń tożsamości wśród studentów jest solidna znajomość właściwości i algorytmów działań na wielkościach dokładnych i przybliżonych oraz ich umiejętne zastosowanie; racjonalne metody obliczeń i przekształceń oraz ich weryfikacja; umiejętność uzasadnienia stosowania metod i zasad obliczeń i przekształceń, automatyczna umiejętność bezbłędnego wykonywania operacji obliczeniowych.

W której klasie uczniowie powinni rozpocząć pracę nad rozwijaniem wymienionych umiejętności?

Linia identycznych przekształceń wyrażeń zaczyna się od zastosowania racjonalnych technik obliczeniowych.Zaczyna się od zastosowania racjonalnych technik obliczeniowych dla wartości wyrażeń numerycznych. (5. klasa)

Studiując takie tematy na szkolnym kursie matematyki, musisz zwracać na nie uwagę. Specjalna uwaga!

Świadomą realizację przez uczniów przekształceń tożsamości ułatwia zrozumienie faktu, że wyrażenia algebraiczne nie istnieją same w sobie, lecz w nierozerwalnym związku z pewnym zbiorem liczbowym są uogólnionymi zapisami wyrażeń numerycznych. Analogie między wyrażeniami algebraicznymi i numerycznymi (oraz ich przekształceniami) są logiczne, a ich wykorzystanie w nauczaniu pomaga zapobiegać popełnianiu przez uczniów błędów.

Przekształceń tożsamości nie ma osobny temat szkolnym kursie matematyki, uczy się ich przez cały kurs algebry i początków analizy matematycznej.

Program matematyki dla klas 1-5 jest materiałem propedeutycznym do badania przekształceń identycznych wyrażeń ze zmienną.

Na kursie algebry w klasie 7. wprowadzono definicję tożsamości i przekształceń tożsamości.

def. Wywoływane są dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych. identycznie równe.

ODA. Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywa się tożsamością.

Wartość tożsamości polega na tym, że pozwala ona zastąpić dane wyrażenie innym, identycznie mu równym.

def. Nazywa się zastępowanie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem identyczna transformacja lub po prostu transformacja wyrażenia.

Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.

Za podstawę przekształceń tożsamości można uznać przekształcenia równoważne.

ODA. Nazywa się dwa zdania, z których każde jest logiczną konsekwencją drugiego. równowartość.

ODA. Zdanie ze zmiennymi A nazywa się. konsekwencja zdania ze zmiennymi B, jeśli dziedzina prawdy B jest podzbiorem dziedziny prawdy A.

Można podać inną definicję zdań równoważnych: dwa zdania ze zmiennymi są równoważne, jeśli ich domeny prawdy są zbieżne.

a) B: x-1=0 przez R; A: (x-1) 2 przez R => A~B, ponieważ obszary prawdy (rozwiązania) pokrywają się (x=1)

b) A: x=2 przez R; B: x 2 =4 nad R => dziedzina prawdy A: x = 2; dziedzina prawdy B: x=-2, x=2; ponieważ dziedzina prawdy A zawiera się w B, wówczas: x 2 = 4 jest konsekwencją twierdzenia x = 2.

Podstawą przekształceń tożsamości jest możliwość przedstawienia tej samej liczby w różnych formach. Na przykład,

To przedstawienie będzie pomocne podczas studiowania tematu „podstawowe właściwości ułamków”.

Umiejętności dokonywania przekształceń tożsamości zaczynają się rozwijać przy rozwiązywaniu przykładów podobnych do poniższych: „Znajdź wartość liczbową wyrażenia 2a 3 +3ab+b 2 z a = 0,5, b = 2/3”, które są oferowane uczniom w klasie 5 i dopuszczają propedeutyczną koncepcję funkcji.

Studiując skrócone wzory na mnożenie, należy zwrócić uwagę na ich głębokie zrozumienie i silne przyswojenie. Można w tym celu posłużyć się poniższą ilustracją graficzną:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Pytanie: Jak na podstawie tych rysunków wyjaśnić uczniom istotę podanych wzorów?

Częstym błędem jest mylenie wyrażeń „kwadrat sumy” i „suma kwadratów”. Wskazanie nauczyciela, że wyrażenia te różnią się kolejnością wykonywania działań, nie wydaje się istotne, gdyż uczniowie uważają, że działania te wykonywane są na tych samych liczbach i dlatego wynik nie zmienia się poprzez zmianę kolejności działań.

Zadanie: Ułóż ćwiczenia ustne rozwijające umiejętności uczniów w zakresie bezbłędnego posługiwania się powyższymi wzorami. Jak możemy wyjaśnić, w jaki sposób te dwa wyrażenia są podobne i czym się od siebie różnią?

Różnorodność identycznych przekształceń utrudnia uczniom zorientowanie się w celu, w jakim są przeprowadzane. Rozmyta wiedza o celu dokonywania przekształceń (w każdym konkretnym przypadku) negatywnie wpływa na ich świadomość i jest źródłem masowych błędów wśród uczniów. Sugeruje to, że wyjaśnianie uczniom celów wykonywania różnych identycznych przekształceń jest ważną częścią metodologii ich badania.

Przykładowe motywacje przemian tożsamościowych:

1. uproszczenie znajdowania wartości liczbowej wyrażenia;

2. wybrać taką transformację równania, która nie prowadzi do utraty pierwiastka;

3. Wykonując transformację możesz zaznaczyć jej obszar obliczeniowy;

4. wykorzystanie w obliczeniach przekształceń, np. 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Aby móc zarządzać procesem decyzyjnym, ważna jest umiejętność nauczyciela, który potrafi trafnie opisać istotę błędu popełnionego przez ucznia. Kluczem jest dokładna charakterystyka błędów właściwy wybór kolejne działania podejmowane przez nauczyciela.

Przykłady błędów uczniów:

1. wykonanie mnożenia: student otrzymał -54abx 6 (7 komórek);

2. Podnosząc do potęgi (3x 2) 3 uczeń otrzymał 3x 6 (7 ocen);

3. przekształcając (m + n) 2 w wielomian, uczeń otrzymał m 2 + n 2 (klasa VII);

4. Poprzez zmniejszenie ułamka otrzymanego przez ucznia (8 ocen);

5. wykonanie odejmowania: , zapisuje uczeń (8 klasa)

6. Reprezentując ułamek w postaci ułamków, student otrzymał: (8 klas);

7. Usuwanie pierwiastek arytmetyczny uczeń otrzymał x-1 (ocena 9);

8. rozwiązanie równania (klasa IX);

9. Przekształcając wyrażenie, uczeń otrzymuje: (9 klasa).

Wniosek

Badanie przekształceń tożsamościowych prowadzone jest w ścisłym powiązaniu ze zbiorami liczbowymi badanymi w danej klasie.

Na początku należy poprosić ucznia o wyjaśnienie każdego etapu transformacji, o sformułowanie zasad i praw, które obowiązują.

W identycznych przekształceniach wyrażeń algebraicznych stosuje się dwie zasady: podstawienia i zastępowania przez równe. Najczęściej stosuje się podstawienie, ponieważ Na tym opierają się obliczenia za pomocą wzorów, tj. znajdź wartość wyrażenia a*b dla a=5 i b=-3. Bardzo często uczniowie zaniedbują nawiasy podczas wykonywania operacji mnożenia, wierząc, że implikowany jest znak mnożenia. Na przykład możliwy jest następujący wpis: 5*-3.

Literatura

1. AI Azarow, SA Barvenov „Funkcjonalne i graficzne metody rozwiązywania problemów egzaminacyjnych”, Mn..Aversev, 2004

2. ON Piryutko „Typowe błędy w testowaniu scentralizowanym”, Mn..Aversev, 2006

3. AI Azarow, SA Barvenov „Zadania pułapek w testowaniu scentralizowanym”, Mn..Aversev, 2006

4. AI Azarow, SA Barvenov „Metody rozwiązywania problemów trygonometrycznych”, Mn..Aversev, 2005