Geometrinė progresija kartu su aritmetine progresija yra svarbi skaičių eilutė, kuri tiriama mokyklos algebros kurse 9 klasėje. Šiame straipsnyje apžvelgsime geometrinės progresijos vardiklį ir kaip jo vertė veikia jo savybes.
Geometrinės progresijos apibrėžimas
Pirmiausia pateikime šios skaičių serijos apibrėžimą. Geometrinė progresija yra racionaliųjų skaičių seka, sudaryta nuosekliai padauginus jos pirmąjį elementą iš pastovus skaičius, vadinamas vardikliu.
Pavyzdžiui, skaičiai eilėje 3, 6, 12, 24, ... yra geometrinė progresija, nes 3 (pirmasis elementas) padauginus iš 2, gausite 6. Jei 6 padauginsite iš 2, gausite 12 ir pan.
Nagrinėjamos sekos nariai dažniausiai žymimi simboliu ai, kur i yra sveikasis skaičius, nurodantis elemento skaičių serijoje.
Aukščiau pateiktą progresijos apibrėžimą matematine kalba galima parašyti taip: an = bn-1 * a1, kur b yra vardiklis. Šią formulę patikrinti nesunku: jei n = 1, tai b1-1 = 1, ir gauname a1 = a1. Jei n = 2, tai an = b * a1, ir vėl pasiekiame nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimą. Panašius samprotavimus galima tęsti didelės vertės n.
Geometrinės progresijos vardiklis
Skaičius b visiškai nustato, kokį simbolį turės visa skaičių serija. Vardiklis b gali būti teigiamas, neigiamas arba didesnis arba mažesnis už vieną. Visos aukščiau pateiktos parinktys lemia skirtingas sekas:
- b > 1. Didėja racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, ... Jei elementas a1 yra neigiamas, tai visa seka didės tik absoliučia reikšme, bet mažės priklausomai nuo skaičių ženklo.
- b = 1. Dažnai šis atvejis nevadinamas progresija, nes yra eilė identiškų racionaliųjų skaičių. Pavyzdžiui, -4, -4, -4.
Sumos formulė
Prieš pažiūrėdami konkrečias užduotis Naudojant nagrinėjamos progresijos tipo vardiklį, reikia pateikti svarbią formulę pirmųjų n elementų sumai. Formulė atrodo taip: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Šią išraišką galite gauti patys, jei atsižvelgsite į rekursyvią progresijos terminų seką. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktoje formulėje pakanka žinoti tik pirmąjį elementą ir vardiklį, kad būtų galima rasti savavališko skaičiaus terminų sumą.
Be galo mažėjanti seka
Aukščiau buvo paaiškinta, kas tai yra. Dabar, žinodami Sn formulę, pritaikykime ją šiai skaičių serijai. Kadangi bet kuris skaičius, kurio modulis neviršija 1, linkęs į nulį, kai jis padidinamas iki didelių laipsnių, tai yra, b∞ => 0, jei -1
Kadangi skirtumas (1 - b) visada bus teigiamas, nepriklausomai nuo vardiklio reikšmės, be galo mažėjančios geometrinės progresijos S∞ sumos ženklą vienareikšmiškai lemia jo pirmojo elemento a1 ženklas.
Dabar pažvelkime į keletą problemų, kuriose parodysime, kaip įgytas žinias pritaikyti konkretiems skaičiams.
Užduotis Nr. 1. Nežinomų progresijos elementų ir sumos skaičiavimas
Duota geometrinė progresija, progresijos vardiklis yra 2, o pirmasis jos elementas yra 3. Kam bus lygūs 7-asis ir 10-asis jos nariai ir kokia yra jos septynių pradinių elementų suma?
Problemos sąlyga yra gana paprasta ir apima tiesioginį aukščiau pateiktų formulių naudojimą. Taigi, norėdami apskaičiuoti elemento skaičių n, naudojame išraišką an = bn-1 * a1. 7-ajam elementui turime: a7 = b6 * a1, pakeitę žinomus duomenis, gauname: a7 = 26 * 3 = 192. Tą patį darome su 10-uoju nariu: a10 = 29 * 3 = 1536.
Naudokime gerai žinomą sumos formulę ir nustatykime šią reikšmę pirmiesiems 7 serijos elementams. Turime: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
2 uždavinys. Progresijos savavališkų elementų sumos nustatymas
Tegu -2 lygus geometrinės progresijos bn-1 * 4 vardikliui, kur n yra sveikas skaičius. Būtina nustatyti sumą nuo 5 iki 10 šios serijos elemento imtinai.
Iškeltos problemos negalima tiesiogiai išspręsti naudojant žinomas formules. Ją galima išspręsti 2 būdais įvairių metodų. Kad temos pristatymas būtų išsamus, pateikiame abu.
1 būdas. Idėja paprasta: reikia apskaičiuoti dvi atitinkamas pirmųjų narių sumas, o tada iš vienos atimti kitą. Apskaičiuojame mažesnę sumą: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Dabar paskaičiuokime didelis kiekis: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje išraiškoje buvo susumuoti tik 4 terminai, nes 5-asis jau yra įtrauktas į sumą, kurią reikia apskaičiuoti pagal problemos sąlygas. Galiausiai imame skirtumą: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
2 būdas. Prieš pakeisdami skaičius ir skaičiuodami, galite gauti sumos tarp atitinkamų eilučių m ir n narių formulę. Mes darome lygiai taip pat, kaip ir 1 metodu, tik pirmiausia dirbame su simboliniu sumos pavaizdavimu. Turime: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Galite pakeisti žinomus skaičius gautoje išraiškoje ir apskaičiuoti galutinis rezultatas: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Užduotis Nr. 3. Kas yra vardiklis?
Tegu a1 = 2, raskite geometrinės progresijos vardiklį, jei begalinė jo suma lygi 3 ir žinoma, kad tai mažėjanti skaičių seka.
Remiantis problemos sąlygomis, nesunku atspėti, kokia formule ją reikia spręsti. Žinoma, progresijos sumai be galo mažėja. Turime: S∞ = a1 / (1 - b). Iš kur išreiškiame vardiklį: b = 1 - a1 / S∞. Belieka tik pakeisti žinomos vertės ir gaukite reikiamą skaičių: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 arba -0,333(3). Šį rezultatą galime kokybiškai patikrinti, jei atsiminsime, kad tokio tipo sekos modulis b neturėtų viršyti 1. Kaip matyti, |-1 / 3|
Užduotis Nr. 4. Skaičių sekos atkūrimas
Tegu pateikiami 2 skaičių eilutės elementai, pavyzdžiui, 5-asis lygus 30, o 10-asis – 60. Iš šių duomenų reikia atkurti visą eilutę žinant, kad ji tenkina geometrinės progresijos savybes.
Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite užrašyti atitinkamą kiekvieno žinomo termino išraišką. Turime: a5 = b4 * a1 ir a10 = b9 * a1. Dabar padalykite antrąją išraišką iš pirmosios, gausime: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Iš čia mes nustatome vardiklį, paimdami penktąją iš uždavinio teiginio žinomų terminų santykio šaknį, b = 1,148698. Gautą skaičių pakeičiame viena iš žinomo elemento išraiškų, gauname: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Taigi, mes radome progresijos bn vardiklį, o geometrinę progresiją bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.
Kur naudojamos geometrinės progresijos?
Jei šios skaičių eilutės nebūtų praktiškai pritaikytos, jos tyrimas būtų sumažintas iki grynai teorinio susidomėjimo. Tačiau tokia programa egzistuoja.
Žemiau pateikiami 3 garsiausi pavyzdžiai:
- Zenono paradoksas, kai vikrusis Achilas negali pasivyti lėto vėžlio, sprendžiamas naudojant be galo mažėjančios skaičių sekos koncepciją.
- Jei ant kiekvieno šachmatų lentos langelio išdėsite kviečių grūdus taip, kad į 1-ą langelį įdėsite 1 grūdą, ant 2-ojo - 2, ant 3-ojo - 3 ir t. t., tada, kad užpildytumėte visus lentos langelius 18446744073709551615 grūdų!
- Žaidime „Tower of Hanoi“, norint perkelti diskus iš vieno strypo į kitą, reikia atlikti 2n – 1 operacijas, tai yra jų skaičius eksponentiškai auga su naudojamų diskų skaičiumi n.
Geometrinė progresija ne mažiau svarbi matematika, palyginti su aritmetika. Geometrinė progresija – tai skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas ankstesnįjį padauginus iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina augimo ar progresavimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti
Norint visiškai nurodyti geometrinę progresiją, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Dėl teigiama vertė vardiklio progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir jei monotoniškai didėja. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus
Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę
Pažvelkime į klasikinės geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Pradėkime nuo paprasčiausių, kuriuos reikia suprasti.
1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.
Sprendimas: Parašykime problemos sąlygą formoje
Skaičiavimams naudojame geometrinės progresijos n-ojo nario formulę
Remdamiesi juo, randame nežinomus progresavimo terminus
Kaip matote, apskaičiuoti geometrinės progresijos sąlygas nėra sunku. Pati progresija atrodys taip
2 pavyzdys. Pateikti pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir jo septintą narį.
Sprendimas: Geomitrinės progresijos vardiklį apskaičiuojame pagal jo apibrėžimą
Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę
Tai išsprendžia problemą.
3 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama dviem jos nariais 
. Raskite dešimtąjį progresijos narį.
Sprendimas:
Parašykime pateiktas reikšmes naudodami formules
Pagal taisykles turėtume rasti vardiklį ir tada ieškoti norimos reikšmės, tačiau dešimtam kadencijai turime
Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos terminą padalinkite iš kito ir gausime
Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą
Taigi tokioms užduotims naudojant paprastas transformacijas į greitas būdas galite rasti tinkamą sprendimą.
4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis
Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.
Sprendimas:
Pateiktus duomenis užrašykime lygčių sistemos forma
Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios
Raskime pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties
Apskaičiuokime šiuos penkis terminus, kad surastume geometrinės progresijos sumą
Matematika yra kasžmonės valdo gamtą ir save.
Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorovas
Geometrinė progresija.
Be aritmetinės progresijos problemų, matematikos stojamuosiuose egzaminuose taip pat dažnai pasitaiko problemų, susijusių su geometrinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia žinoti geometrinių progresijų ypatybes ir turėti gerus jo naudojimo įgūdžius.
Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresijos savybių pristatymui. Čia taip pat pateikiami tipinių problemų sprendimo pavyzdžiai., pasiskolintas iš matematikos stojamųjų egzaminų užduočių.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į pagrindines geometrinės progresijos savybes ir prisiminkime svarbiausias formules ir teiginius, susijusi su šia sąvoka.
Apibrėžimas. Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei kiekvienas skaičius, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Geometrinei progresijaiformulės galioja
, (1)
Kur. Formulė (1) vadinama geometrinės progresijos bendrojo nario formule, o (2) formulė parodo pagrindinę geometrinės progresijos savybę: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių ir geometriniu vidurkiu.
Pastaba, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „geometrine“.
Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:
, (3)
Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas geometrinės progresijos nariaitaikoma formulė
Jei žymėsime , tai
Kur. Kadangi , (6) formulė yra (5) formulės apibendrinimas.
Tuo atveju, kai ir geometrinė progresijabe galo mažėja. Norėdami apskaičiuoti sumąvisų be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių naudojama formulė
. (7)
Pavyzdžiui , naudodami (7) formulę galime parodyti, Ką
Kur. Šios lygybės gaunamos iš (7) formulės su sąlyga, kad , (pirmoji lygybė) ir , (antroji lygybė).
Teorema. Jei tada
Įrodymas. Jei tada
Teorema įrodyta.
Pereikime prie problemų sprendimo pavyzdžių tema „Geometrinė progresija“.
1 pavyzdys. Atsižvelgiant: , ir . Rasti.
Sprendimas. Jei pritaikysime (5) formulę, tai
Atsakymas:.
2 pavyzdys. Tebūnie. Rasti.
Sprendimas. Kadangi ir , naudojame formules (5), (6) ir gauname lygčių sistemą
Jeigu antroji sistemos (9) lygtis dalinama iš pirmosios, tada arba . Iš to išplaukia, kad . Panagrinėkime du atvejus.
1. Jei tada iš pirmosios sistemos (9) lygties turime.
2. Jei , tada .
3 pavyzdys. Leiskite , ir . Rasti.
Sprendimas. Iš (2) formulės išplaukia, kad arba . Nuo tada arba .
Pagal sąlygą. Tačiau todėl. Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą
Jei antroji sistemos lygtis yra padalinta iš pirmosios, tada arba .
Kadangi lygtis turi unikalią tinkamą šaknį. Šiuo atveju tai išplaukia iš pirmosios sistemos lygties.
Atsižvelgdami į (7) formulę, gauname.
Atsakymas:.
4 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.
Sprendimas. Nuo tada.
Nuo tada arba
Pagal (2) formulę turime . Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) gauname arba .
Tačiau pagal sąlygą, todėl.
5 pavyzdys. Yra žinoma, kad. Rasti.
Sprendimas. Pagal teoremą turime dvi lygybes
Nuo tada arba . Nes tada.
Atsakymas:.
6 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.
Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname
Nuo tada. Nuo , ir tada .
7 pavyzdys. Tebūnie. Rasti.
Sprendimas. Pagal (1) formulę galime rašyti
Todėl mes turime arba . Yra žinoma, kad ir , todėl ir .
Atsakymas:.
8 pavyzdys. Raskite begalinės mažėjančios geometrinės progresijos vardiklį, jei
Ir .
Sprendimas. Iš (7) formulės išplaukia Ir . Iš čia ir iš uždavinio sąlygų gauname lygčių sistemą
Jei pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė, o tada gautą lygtį padalinkite iš antrosios lygties, tada gauname
Arba .
Atsakymas:.
9 pavyzdys. Raskite visas reikšmes, kurių seka , , yra geometrinė progresija.
Sprendimas. Leiskite , ir . Pagal (2) formulę, kuri apibrėžia pagrindinę geometrinės progresijos savybę, galime parašyti arba .
Iš čia gauname kvadratinę lygtį, kurių šaknys yra Ir .
Patikrinkime: jei, tada , ir ; jei , tada ir .
Pirmuoju atveju turime ir , o antrajame – ir .
Atsakymas: ,.
10 pavyzdys.Išspręskite lygtį
, (11)
kur ir.
Sprendimas. Kairėje lygties (11) pusėje yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurioje ir , Atsižvelgiant į: ir .
Iš (7) formulės išplaukia, Ką . Šiuo atžvilgiu (11) lygtis įgauna formą arba . Tinkama šaknis kvadratinė lygtis yra
Atsakymas:.
11 pavyzdys. P teigiamų skaičių sekasudaro aritmetinę progresiją, A – geometrinė progresija, ką tai turi bendro su . Rasti.
Sprendimas. Nes aritmetinė seka, Tai (pagrindinė nuosavybė aritmetinė progresija). Nes, tada arba . Tai reiškia, kad geometrinė progresija turi formą. Pagal (2) formulę, tada mes tai užrašome.
Nuo ir tada . Šiuo atveju išraiškaįgauna formą arba . Pagal sąlygą, taigi iš lygties.gauname unikalų nagrinėjamos problemos sprendimą, t.y. .
Atsakymas:.
12 pavyzdys. Apskaičiuokite sumą
. (12)
Sprendimas. Abi lygybės (12) puses padauginkite iš 5 ir gaukite
Jei iš gautos išraiškos atimsime (12)., Tai
arba .
Norėdami apskaičiuoti, reikšmes pakeičiame formule (7) ir gauname . Nuo tada.
Atsakymas:.
Čia pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai bus naudingi pareiškėjams ruošiantis stojamieji egzaminai. Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusi su geometrine progresija, Gali būti naudojamas mokymo priemones iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.
1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika gimnazistams: papildomi skyriai mokyklos mokymo programa. – M.: Lenandas / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Pilnas kursas elementarioji matematika uždaviniuose ir pratybose. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Vis dar turite klausimų?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
SKAIČIŲ SEKOS VI
§ l48. Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma
Iki šiol kalbėdami apie sumas visada laikėme prielaidą, kad šiose sumose esančių terminų skaičius yra baigtinis (pavyzdžiui, 2, 15, 1000 ir pan.). Tačiau sprendžiant kai kurias problemas (ypač aukštoji matematika) tenka susidurti su begalinio skaičiaus terminų sumomis
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Kokios tai sumos? A-prioras begalinio skaičiaus terminų suma a 1 , a 2 , ..., a n , ... vadinamas sumos S riba n Pirmas P skaičiai kada P -> ∞ :
S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Žinoma, riba (2) gali egzistuoti arba nebūti. Atitinkamai jie sako, kad suma (1) egzistuoja arba neegzistuoja.
Kaip galime sužinoti, ar suma (1) egzistuoja kiekvienu konkrečiu atveju? Bendras šios problemos sprendimas peržengia mūsų programos taikymo sritį. Tačiau dabar turime apsvarstyti vieną svarbų ypatingą atvejį. Kalbėsime apie be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumavimą.
Leisti a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... yra be galo mažėjanti geometrinė progresija. Tai reiškia, kad | q |< 1. Сумма первых P šios progresijos sąlygos yra lygios
Iš pagrindinių teoremų apie kintamųjų ribas (žr. § 136) gauname:
Bet 1 = 1, a qn = 0. Todėl
Taigi, be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra lygi pirmajam šios progresijos nariui, padalintam iš vieneto, atėmus šios progresijos vardiklį.
1) Geometrinės progresijos 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... suma yra lygi
o geometrinės progresijos suma lygi 12; -6; 3; - 3/2, ... lygus
2) Paverskite paprastą periodinę trupmeną 0,454545 ... į paprastąją.
Norėdami išspręsti šią problemą, įsivaizduokite šią trupmeną kaip begalinę sumą:
Dešinioji šios lygybės pusė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurios pirmasis narys lygus 45/100, o vardiklis – 1/100. Štai kodėl
Naudojant aprašytą metodą, taip pat galima gauti Pagrindinė taisyklė paprastųjų periodinių trupmenų pavertimas paprastosiomis (žr. II skyrių, § 38):
Norėdami paversti paprastą periodinę trupmeną į paprastąją trupmeną, turite atlikti šiuos veiksmus: skaitiklyje įrašykite dešimtainės trupmenos periodą, o vardiklyje - skaičių, susidedantį iš devynių, paimtų tiek kartų, kiek yra skaitmenų periode. dešimtainės trupmenos.
3) Paverskite mišrią periodinę trupmeną 0,58333 .... į paprastąją trupmeną.
Įsivaizduokime šią trupmeną kaip begalinę sumą:
Dešinėje šios lygybės pusėje visi nariai, pradedant nuo 3/1000, sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys yra lygus 3/1000, o vardiklis yra 1/10. Štai kodėl
Taikant aprašytą metodą, galima gauti bendrą mišrių periodinių trupmenų pavertimo paprastosiomis trupmenomis taisyklę (žr. II skyrių, § 38). Mes sąmoningai jo čia nepateikiame. Nereikia prisiminti šios sudėtingos taisyklės. Daug naudingiau žinoti, kad bet kuri mišri periodinė trupmena gali būti pavaizduota kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos ir tam tikro skaičiaus suma. Ir formulė
be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumai, žinoma, turite atsiminti.
Kaip pratimą, be toliau pateiktų problemų Nr. 995-1000, siūlome dar kartą kreiptis į problemos Nr. 301 § 38.
Pratimai
995. Kas vadinama be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma?
996. Raskite be galo mažėjančių geometrinių progresijų sumas:
997. Kokiomis vertybėmis X progresija
ar be galo mažėja? Raskite tokios progresijos sumą.
998. Lygiakraščiame trikampyje su kraštine A sujungiant jo kraštinių vidurio taškus įrašomas naujas trikampis; į šį trikampį taip pat įrašomas naujas trikampis ir taip toliau iki begalybės.
a) visų šių trikampių perimetrų suma;
b) jų plotų suma.
999. Kvadratas su šonu A sujungiant jo kraštinių vidurio taškus įrašomas naujas kvadratas; kvadratas į šį kvadratą įrašomas tokiu pat būdu ir taip toliau iki begalybės. Raskite visų šių kvadratų perimetrų ir jų plotų sumą.
1000. Sudarykite be galo mažėjančią geometrinę progresiją, kad jos suma būtų lygi 25/4, o jos narių kvadratų suma lygi 625/24.
Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl
Skaičių seka
Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:
Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.
Pavyzdžiui, mūsų seka:
Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas n-tuoju sekos nariu.
Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .
Mūsų atveju:
Labiausiai paplitę progresijos tipai yra aritmetiniai ir geometriniai. Šioje temoje kalbėsime apie antrąjį tipą - geometrinė progresija.
Kodėl reikalinga geometrinė progresija ir jos istorija?
Net senovėje italų matematikas vienuolis Leonardo iš Pizos (geriau žinomas kaip Fibonacci) sprendė praktinius prekybos poreikius. Vienuolis susidūrė su užduotimi nustatyti, koks yra mažiausias svarmenų skaičius, kuriuo galima sverti gaminį? Fibonacci savo darbuose įrodo, kad tokia svorių sistema yra optimali: Tai viena pirmųjų situacijų, kai žmonėms teko susidurti su geometrine progresija, apie kurią tikriausiai jau girdėjote ir bent jau turite bendra koncepcija. Kai visiškai suprasite temą, pagalvokite, kodėl tokia sistema yra optimali?
Šiuo metu gyvenimo praktikoje geometrinė progresija pasireiškia investuojant pinigus į banką, kai už praėjusį laikotarpį sąskaitoje sukauptos sumos priskaičiuojamos palūkanos. Kitaip tariant, jei į taupyklę dedate pinigus į terminuotąjį indėlį, tai po metų indėlis padidės pradine suma, t.y. nauja suma bus lygi įnašui, padaugintam iš. Kitais metais ši suma padidės, t.y. tuo metu gauta suma vėl bus padauginta iš ir pan. Panaši situacija aprašyta vadinamųjų skaičiavimo uždaviniuose sudėtinės palūkanos- procentas kiekvieną kartą imamas nuo sumos, kuri yra sąskaitoje, atsižvelgiant į ankstesnes palūkanas. Apie šias užduotis pakalbėsime šiek tiek vėliau.
Yra daug daugiau paprastų atvejų, kai taikoma geometrinė progresija. Pavyzdžiui, gripo plitimas: vienas žmogus užkrėtė kitą žmogų, jis savo ruožtu užkrėtė kitą žmogų, taigi antroji užsikrėtimo banga yra žmogus, o jie savo ruožtu užkrėtė kitą... ir taip toliau. .
Beje, finansinė piramidė, ta pati MMM, yra paprastas ir sausas skaičiavimas, pagrįstas geometrinės progresijos savybėmis. Įdomus? Išsiaiškinkime.
Geometrinė progresija.
Tarkime, turime skaičių seka:
Iš karto atsakysite, kad tai lengva ir tokios sekos pavadinimas yra su jos narių skirtumu. Ką manote apie tai:
Jei atimsite ankstesnį skaičių iš kito skaičiaus, pamatysite, kad kiekvieną kartą gausite naują skirtumą (ir taip toliau), tačiau seka tikrai egzistuoja ir ją nesunku pastebėti – kiekvienas paskesnis skaičius yra kelis kartus didesnis nei ankstesnis!
Tokio tipo skaičių seka vadinama geometrinė progresija ir yra paskirtas.
Geometrinė progresija () yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Apribojimai, kad pirmasis narys ( ) nėra lygus ir nėra atsitiktiniai. Tarkime, kad jų nėra, o pirmasis narys vis tiek yra lygus, o q lygus, hmm.. tegul būna, tada išeina:
Sutikite, kad tai nebėra progresas.
Kaip suprantate, gausime tuos pačius rezultatus, jei yra bet koks skaičius, išskyrus nulį, a. Tokiais atvejais progreso tiesiog nebus, nes visa skaičių serija bus arba visi nuliai, arba vienas skaičius, o visos likusios bus nuliai.
Dabar pakalbėkime išsamiau apie geometrinės progresijos vardiklį, tai yra, o.
Pakartokime: – tai skaičius kiek kartų keičiasi kiekvienas paskesnis terminas? geometrinė progresija.
Kaip manote, kas tai galėtų būti? Tai tiesa, teigiama ir neigiama, bet ne nulis (apie tai kalbėjome šiek tiek aukščiau).
Tarkime, kad mūsų požiūris yra teigiamas. Tegul mūsų atveju a. Kokia antrojo termino vertė ir? Galite lengvai atsakyti į tai:
Teisingai. Atitinkamai, jei, tada visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami.
O jei tai neigiama? Pavyzdžiui, a. Kokia antrojo termino vertė ir?
Tai visiškai kitokia istorija
Pabandykite suskaičiuoti šios progresijos sąlygas. Kiek gavai? Aš turiu. Taigi, jei, tada geometrinės progresijos narių ženklai pakaitomis. Tai yra, jei matote progresą su besikeičiančiais jo narių ženklais, tada jo vardiklis yra neigiamas. Šios žinios gali padėti išbandyti save sprendžiant problemas šia tema.
Dabar šiek tiek pasitreniruokime: pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra geometrinė, o kurios – aritmetinė:
Supratau? Palyginkime savo atsakymus:
- Geometrinė progresija – 3, 6.
- Aritmetinė progresija – 2, 4.
- Tai nėra nei aritmetinė, nei geometrinė progresija – 1, 5, 7.
Grįžkime prie paskutinės progresijos ir pabandykime surasti jos narį, kaip ir aritmetinėje. Kaip jau spėjote, yra du būdai jį rasti.
Kiekvieną terminą paeiliui padauginame iš.
Taigi aprašytos geometrinės progresijos asis narys yra lygus.
Kaip jau atspėjote, dabar jūs patys sukursite formulę, kuri padės rasti bet kurį geometrinės progresijos narį. O gal jau sukūrėte jį sau, aprašydami, kaip žingsnis po žingsnio rasti narį? Jei taip, patikrinkite savo samprotavimų teisingumą.
Iliustruojame tai pavyzdžiu, kaip rasti šios progresijos d.
Kitaip tariant:
Pats raskite duotosios geometrinės progresijos nario reikšmę.
Įvyko? Palyginkime savo atsakymus:
Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai padauginome iš kiekvieno ankstesnio geometrinės progresijos nario.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateikime ją bendra forma ir gaukime:
Išvestinė formulė tinka visoms reikšmėms - tiek teigiamoms, tiek neigiamoms. Patikrinkite tai patys, apskaičiuodami geometrinės progresijos sąlygas tokiomis sąlygomis: , a.
Ar skaičiavai? Palyginkime rezultatus:
Sutikite, kad progresijos terminą būtų galima rasti taip pat kaip ir terminą, tačiau yra galimybė neteisingai apskaičiuoti. Ir jei jau radome geometrinės progresijos narį, tai kas gali būti paprasčiau, nei naudoti „sutrumpintą“ formulės dalį.
Be galo mažėjanti geometrinė progresija.
Visai neseniai kalbėjome apie tai, kad jis gali būti didesnis arba mažesnis už nulį, tačiau yra specialių verčių, kurioms vadinama geometrinė progresija. be galo mažėja.
Kaip manote, kodėl toks vardas suteiktas?
Pirmiausia užsirašykime geometrinę progresiją, kurią sudaro terminai.
Tarkime, tada:
Matome, kad kiekvienas paskesnis narys yra mažesnis už ankstesnį koeficientą, bet ar bus koks nors skaičius? Iš karto atsakysite – „ne“. Štai kodėl ji be galo mažėja – mažėja ir mažėja, bet niekada netampa nuliu.
Norėdami aiškiai suprasti, kaip tai atrodo vizualiai, pabandykime nubraižyti savo progreso grafiką. Taigi mūsų atveju formulė yra tokia:
Grafikuose esame įpratę braižyti priklausomybę nuo:
Išraiškos esmė nepasikeitė: pirmajame įraše parodėme geometrinės progresijos nario reikšmės priklausomybę nuo eilės skaičiaus, o antrame įraše tiesiog paėmėme geometrinės progresijos nario reikšmę kaip , o eilės numerį nurodė ne kaip, o kaip. Viskas, ką reikia padaryti, yra sukurti grafiką.
Pažiūrėkime, ką gavai. Štai diagrama, kurią sugalvojau:
Matote? Funkcija mažėja, linkusi į nulį, bet niekada jos nekerta, todėl be galo mažėja. Pažymėkime savo taškus grafike ir tuo pačiu ką koordinatė ir reiškia:
Pabandykite schematiškai pavaizduoti geometrinės progresijos grafiką, jei jo pirmasis narys taip pat lygus. Išanalizuokite, kuo skiriasi mūsų ankstesnė diagrama?
Ar susitvarkei? Štai diagrama, kurią sugalvojau:
Dabar, kai visiškai supratote geometrinės progresijos temos pagrindus: žinote, kas tai yra, žinote, kaip rasti jos terminą, taip pat žinote, kas yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, pereikime prie pagrindinės jos savybės.
Geometrinės progresijos savybė.
Ar prisimenate aritmetinės progresijos terminų savybę? Taip, taip, kaip rasti tam tikro progresijos skaičiaus reikšmę, kai yra ankstesnės ir vėlesnės šios progresijos sąlygų reikšmės. Ar prisimeni? Tai:
Dabar susiduriame su lygiai tuo pačiu klausimu dėl geometrinės progresijos sąlygų. Norėdami išvesti tokią formulę, pradėkime piešti ir samprotauti. Pamatysi, tai labai lengva, o jei pamirši, galėsi pats išsisukti.
Paimkime dar vieną paprastą geometrinę progresiją, kurioje žinome ir. Kaip rasti? Su aritmetine progresija lengva ir paprasta, bet kaip čia? Tiesą sakant, geometrijoje taip pat nėra nieko sudėtingo – tereikia kiekvieną mums pateiktą reikšmę užrašyti pagal formulę.
Galite paklausti, ką dabar turėtume su tuo daryti? Taip, labai paprasta. Pirmiausia pavaizduokime šias formules paveikslėlyje ir pabandykime su jomis daryti įvairios manipuliacijos pasiekti vertę.
Atsiribokime nuo mums pateiktų skaičių, susitelkime tik į jų išraišką formule. Turime rasti paryškintą vertę oranžinė, žinant šalia esančius narius. Pabandykime su jais atlikti įvairius veiksmus, kurių pasekoje galime gauti.
Papildymas.
Pabandykime pridėti dvi išraiškas ir gausime:
Iš šios išraiškos, kaip matote, jokiu būdu negalime išreikšti, todėl bandysime kitą variantą - atimtį.
Atimtis.
Kaip matote, mes to irgi negalime išreikšti, todėl pabandykime šias išraiškas padauginti vieną iš kitos.
Daugyba.
Dabar atidžiai pažiūrėkite, ką turime, padaugindami mums pateiktos geometrinės progresijos terminus, palyginti su tuo, ką reikia rasti:
Atspėk apie ką aš kalbu? Teisingai, norėdami rasti, turime imtis Kvadratinė šaknis iš geometrinės progresijos skaičių, esančių šalia pageidaujamo skaičiaus, padaugintų vienas iš kito:
Štai jums. Jūs pats išvedėte geometrinės progresijos savybę. Pabandykite parašyti šią formulę bendras vaizdas. Įvyko?
Pamiršote sąlygą? Pagalvokite, kodėl tai svarbu, pavyzdžiui, pabandykite tai apskaičiuoti patys. Kas bus šiuo atveju? Teisingai, visiška nesąmonė, nes formulė atrodo taip:
Todėl nepamirškite šio apribojimo.
Dabar paskaičiuokime, kam jis lygus
Teisingas atsakymas - ! Jei skaičiuodami nepamiršote antrojo galima prasmė, tuomet esate puikus bičiulis ir iškart galite pereiti prie treniruočių, o jei pamiršote, perskaitykite, kas aptarta žemiau, ir atkreipkite dėmesį, kodėl atsakyme būtina užrašyti abi šaknis.
Nubraižykime abi mūsų geometrines progresijas – vieną su reikšme, o kitą su reikšme ir patikrinkime, ar abi turi teisę egzistuoti:
Norint patikrinti, ar tokia geometrinė progresija egzistuoja, ar ne, reikia išsiaiškinti, ar visi jos pateikti terminai yra vienodi? Apskaičiuokite q pirmajam ir antrajam atvejui.
Sužinok, kodėl turime parašyti du atsakymus? Nes ieškomo termino ženklas priklauso nuo to, ar jis teigiamas, ar neigiamas! Ir kadangi mes nežinome, kas tai yra, turime rašyti abu atsakymus su pliusu ir minusu.
Dabar, kai įsisavinote pagrindinius dalykus ir išvedėte geometrinės progresijos savybės formulę, suraskite, žinokite ir
Palyginkite savo atsakymus su teisingais:
Ką manote, o jei mums būtų pateiktos ne geometrinės progresijos terminų reikšmės, esančios šalia norimo skaičiaus, o vienodai nutolusios nuo jo. Pavyzdžiui, mums reikia rasti, ir duota ir. Ar šiuo atveju galime naudoti formulę, kurią išvedėme? Pabandykite patvirtinti arba paneigti šią galimybę tuo pačiu būdu, apibūdindami, iš ko susideda kiekviena reikšmė, kaip ir tada, kai iš pradžių išvedėte formulę, at.
Ką tu gavai?
Dabar dar kartą atidžiai pažiūrėkite.
ir atitinkamai:
Iš to galime daryti išvadą, kad formulė veikia ne tik su kaimynais su norimais geometrinės progresijos nariais, bet ir su vienodu atstumu iš ko nariai ieško.
Taigi mūsų pradinė formulė yra tokia:
Tai yra, jei pirmuoju atveju mes taip sakėme, dabar sakome, kad jis gali būti lygus bet kuriam natūralusis skaičius, kuris yra mažesnis. Svarbiausia, kad jis būtų vienodas abiem duotiesiems skaičiams.
Praktikuokite toliau konkrečių pavyzdžių, tiesiog būkite labai atsargūs!
- , . Rasti.
- , . Rasti.
- , . Rasti.
Nusprendė? Tikiuosi, buvote labai dėmesingi ir pastebėjote nedidelį laimikį.
Palyginkime rezultatus.
Pirmaisiais dviem atvejais ramiai taikome aukščiau pateiktą formulę ir gauname šias reikšmes:
Trečiuoju atveju, atidžiau išnagrinėjus serijos numeriai mums duoti skaičiai, suprantame, kad jie nėra vienodai nutolę nuo mūsų ieškomo skaičiaus: tai ankstesnis skaičius, bet yra pašalintas vietoje, todėl formulės pritaikyti negalima.
Kaip tai išspręsti? Iš tikrųjų tai nėra taip sunku, kaip atrodo! Užsirašykime, iš ko susideda kiekvienas mums duotas skaičius ir skaičius, kurio ieškome.
Taigi mes turime ir. Pažiūrėkime, ką galime su jais padaryti? Siūlau padalinti iš. Mes gauname:
Mes pakeičiame savo duomenis į formulę:
Kitas žingsnis, kurį galime rasti, yra - tam turime paimti gauto skaičiaus kubo šaknį.
Dabar dar kartą pažiūrėkime, ką turime. Mes jį turime, bet turime jį rasti, o jis, savo ruožtu, yra lygus:
Radome visus skaičiavimui reikalingus duomenis. Pakeiskite formulę:
Mūsų atsakymas: .
Pabandykite patys išspręsti kitą panašią problemą:
Duota: ,
Rasti:
Kiek gavai? Aš turiu - .
Kaip matote, iš esmės jums reikia prisimink tik vieną formulę- . Likusią dalį galite atsiimti patys be jokių sunkumų bet kuriuo metu. Norėdami tai padaryti, tiesiog užrašykite paprasčiausią geometrinę progresiją ant popieriaus lapo ir pagal aukščiau aprašytą formulę užrašykite, kam yra lygus kiekvienas jos skaičius.
Geometrinės progresijos narių suma.
Dabar pažvelkime į formules, kurios leidžia greitai apskaičiuoti geometrinės progresijos terminų sumą tam tikrame intervale:
Norėdami gauti baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulę, visas aukščiau pateiktos lygties dalis padauginkite iš. Mes gauname:
Atidžiai pažiūrėkite: ką bendro turi paskutinės dvi formulės? Tai tiesa, pavyzdžiui, bendrieji nariai ir pan., išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį narį. Pabandykime atimti 1-ąjį iš 2-osios lygties. Ką tu gavai?
Dabar formule išreikškite geometrinės progresijos terminą ir gautą išraišką pakeiskite paskutine formule:
Grupuokite išraišką. Turėtumėte gauti:
Viskas, ką reikia padaryti, tai išreikšti:
Atitinkamai, šiuo atveju.
Kas, jeigu? Kokia formulė tada veikia? Įsivaizduokite geometrinę progresiją ties. Kokia ji? Identiškų skaičių serija yra teisinga, todėl formulė atrodys taip:
Yra daug legendų apie aritmetinę ir geometrinę progresiją. Viena jų – legenda apie Setą, šachmatų kūrėją.
Daugelis žmonių žino, kad šachmatų žaidimas buvo išrastas Indijoje. Kai induistų karalius ją sutiko, jis džiaugėsi jos sąmoju ir galimų joje pozicijų įvairove. Sužinojęs, kad jį sugalvojo vienas iš jo pavaldinių, karalius nusprendė jam asmeniškai atlyginti. Jis pasikvietė išradėją pas save ir liepė jo paprašyti visko, ko tik nori, pažadėdamas išpildyti net įmantriausią norą.
Seta paprašė laiko pagalvoti, o kai kitą dieną Seta pasirodė karaliui, jis nustebino karalių precedento neturinčiu prašymo kuklumu. Prašė duoti kviečio grūdą už pirmą šachmatų lentos langelį, kviečio grūdą už antrą, kviečio grūdą už trečią, ketvirtą ir t.t.
Karalius supyko ir išvijo Setą, sakydamas, kad tarno prašymas nevertas karaliaus dosnumo, bet pažadėjo, kad tarnas gaus savo grūdus už visus lentos kvadratus.
O dabar klausimas: naudodamiesi geometrinės progresijos narių sumos formule apskaičiuokite, kiek grūdelių turėtų gauti Setas?
Pradėkime samprotauti. Kadangi pagal sąlygą Setas prašė kviečio grūdo pirmam šachmatų lentos kvadratui, antram, trečiam, ketvirtam ir t.t., tai matome, kad problema susijusi su geometrine progresija. Kas šiuo atveju prilygsta?
Teisingai.
Iš viso šachmatų lentos kvadratų. Atitinkamai,. Turime visus duomenis, belieka įkišti į formulę ir paskaičiuoti.
Įsivaizduoti bent apytiksliai „mastą“ duotas numeris, transformuoti naudojant laipsnio savybes:
Žinoma, jei norite, galite paimti skaičiuotuvą ir paskaičiuoti, kokiu skaičiumi atsidursite, o jei ne, turėsite pritarti mano žodžiui: galutinė išraiškos reikšmė bus.
Tai yra:
kvintilijonas kvadrilijonas trilijonas milijardų milijonų tūkstančių tūkstančių.
Phew) Jei norite įsivaizduoti šio skaičiaus milžinišką dydį, įvertinkite, kokio dydžio tvartas būtų reikalingas visam grūdų kiekiui.
Jei tvartas yra m aukščio ir m pločio, jo ilgis turėtų tęstis km, t.y. du kartus toliau nei nuo Žemės iki Saulės.
Jei karalius būtų stiprus matematikoje, jis būtų galėjęs pakviesti patį mokslininką skaičiuoti grūdus, nes norint suskaičiuoti milijoną grūdų, jam reikėtų bent dienos nenuilstamo skaičiavimo, o turint omenyje, kad reikia skaičiuoti kvintilijonus, grūdus turėtų būti skaičiuojamas visą gyvenimą.
Dabar išspręskime paprastą uždavinį, susijusį su geometrinės progresijos narių suma.
5A klasės mokinys Vasya susirgo gripu, bet toliau lanko mokyklą. Kasdien Vasja užkrečia du žmones, kurie savo ruožtu užkrečia dar du žmones ir pan. Klasėje yra tik žmonės. Po kiek dienų visa klasė susirgs gripu?
Taigi pirmasis geometrinės progresijos terminas yra Vasya, tai yra žmogus. Geometrinės progresijos terminas yra du žmonės, kuriuos jis užkrėtė pirmąją atvykimo dieną. Bendra pažangos terminų suma lygi 5A mokinių skaičiui. Atitinkamai, mes kalbame apie progresą, kuriame:
Pakeiskime savo duomenis į geometrinės progresijos terminų sumos formulę:
Visa klasė susirgs per kelias dienas. Netikite formulėmis ir skaičiais? Pabandykite patys pavaizduoti mokinių „užsikrėtimą“. Įvyko? Pažiūrėk, kaip man atrodo:
Patys paskaičiuokite, kiek dienų mokiniai susirgtų gripu, jei kiekvienas užkrėstų žmogų, o klasėje būtų tik vienas žmogus.
Kokią vertę gavai? Paaiškėjo, kad po paros visi pradėjo sirgti.
Kaip matote, tokia užduotis ir jai skirtas piešinys primena piramidę, į kurią kiekviena sekanti „atveda“ naujų žmonių. Tačiau anksčiau ar vėliau ateina momentas, kai pastarasis negali nieko patraukti. Mūsų atveju, jei įsivaizduojame, kad klasė yra izoliuota, asmuo iš uždaro grandinę (). Taigi, jei asmuo dalyvavo finansinė piramidė, į kurią buvo duoti pinigai, jei atvedėte dar du dalyvius, tai asmuo (ar apskritai) būtų nieko neatvedęs ir atitinkamai būtų praradęs viską, ką investavo į šią finansinę aferą.
Viskas, kas buvo pasakyta aukščiau, reiškia mažėjančią arba didėjančią geometrinę progresiją, tačiau, kaip prisimenate, mes turime ypatinga rūšis- be galo mažėjanti geometrinė progresija. Kaip apskaičiuoti jos narių sumą? Ir kodėl tokio tipo progresas turi tam tikrų savybių? Išsiaiškinkime tai kartu.
Taigi, pirmiausia, dar kartą pažvelkime į šį be galo mažėjančios geometrinės progresijos brėžinį iš mūsų pavyzdžio:
Dabar pažvelkime į geometrinės progresijos sumos formulę, gautą šiek tiek anksčiau:
arba
Ko mes siekiame? Tiesa, diagrama rodo, kad ji linkusi į nulį. Tai yra, at, bus beveik lygus, atitinkamai, skaičiuodami išraišką gausime beveik. Šiuo atžvilgiu manome, kad skaičiuojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, į šį skliaustą galima nepaisyti, nes jis bus lygus.
- formulė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma.
SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos terminų sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti sumą begalinis narių skaičius.
Jei nurodytas konkretus skaičius n, tai mes naudojame formulę n narių sumai, net jei arba.
Dabar praktikuokime.
- Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą su ir.
- Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumą su ir.
Tikiuosi, buvote labai atsargūs. Palyginkime savo atsakymus:
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją ir laikas pereiti nuo teorijos prie praktikos. Dažniausios geometrinės progresijos problemos, su kuriomis susiduriama per egzaminą, yra sudėtingų palūkanų skaičiavimo problemos. Tai yra tie, apie kuriuos mes kalbėsime.
Sudėtinių palūkanų skaičiavimo problemos.
Tikriausiai esate girdėję apie vadinamąją sudėtinių palūkanų formulę. Ar supranti, ką tai reiškia? Jei ne, išsiaiškinkime, nes supratę patį procesą iš karto suprasite, ką geometrinė progresija turi su juo.
Visi einame į banką ir žinome, kad indėlių sąlygos yra skirtingos: tai terminas, papildomos paslaugos ir palūkanos su dviem Skirtingi keliai jos skaičiavimai – paprasti ir sudėtingi.
SU paprastas palūkanas viskas daugmaž aišku: palūkanos skaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui. Tai yra, jei sakysime, kad įnešame 100 rublių metams, tai jie bus įskaityti tik metų pabaigoje. Atitinkamai, iki indėlio pabaigos gausime rublių.
Sudėtinės palūkanos- tai yra variantas, kuriame jis atsiranda palūkanų kapitalizacija, t.y. jų pridėjimas prie indėlio sumos ir vėlesnis pajamų skaičiavimas ne nuo pradinės, o nuo sukauptos indėlio sumos. Didžiosios raidės rašomos ne nuolat, o tam tikru dažnumu. Paprastai tokie laikotarpiai yra vienodi ir dažniausiai bankai naudoja mėnesį, ketvirtį ar metus.
Tarkime, kad kasmet įnešame tuos pačius rublius, bet kas mėnesį kapitalizuojant indėlį. Ką mes darome?
Ar tu čia viską supranti? Jei ne, išsiaiškinkime tai žingsnis po žingsnio.
Į banką atnešėme rublių. Iki mėnesio pabaigos sąskaitoje turėtų būti suma, kurią sudaro mūsų rubliai ir jų palūkanos, tai yra:
Sutinku?
Mes galime jį išimti iš skliaustų ir tada gauname:
Sutikite, ši formulė jau panašesnė į tai, ką rašėme pradžioje. Belieka išsiaiškinti procentus
Problemos pareiškime mums pasakyta apie metinius tarifus. Kaip žinia, mes nedauginame iš – konvertuojame procentus į po kablelio, tai yra:
Tiesa? Dabar galite paklausti, iš kur atsirado šis skaičius? Labai paprasta!
Kartoju: problemos teiginys sako apie METINIS susikaupusių palūkanų MĖNESIO. Kaip žinote, per metus mėnesių, atitinkamai, bankas iš mūsų priskaičiuos dalį metinių palūkanų per mėnesį:
Suprato? Dabar pabandykite parašyti, kaip atrodytų ši formulės dalis, jei sakyčiau, kad palūkanos skaičiuojamos kasdien.
Ar susitvarkei? Palyginkime rezultatus:
Šauniai padirbėta! Grįžkime prie savo užduoties: parašykite, kiek bus įskaityta į mūsų sąskaitą antrą mėnesį, atsižvelgiant į tai, kad nuo sukauptos indėlio sumos skaičiuojamos palūkanos.
Štai ką aš gavau:
Arba, kitaip tariant:
Manau, kad jūs jau pastebėjote modelį ir matėte geometrinę progresiją visame tame. Parašykite, kam bus lygus jo narys, arba, kitaip tariant, kokią pinigų sumą gausime mėnesio pabaigoje.
Padarė? Patikrinkime!
Kaip matote, metams įdėjus pinigus į banką su paprastomis palūkanomis, gausite rublius, o jei su sudėtinėmis – gausite rublius. Nauda nedidelė, bet tai atsitinka tik per metus, tačiau ilgesniam laikotarpiui kapitalizacija yra daug pelningesnė:
Pažvelkime į kitą problemą, susijusią su sudėtinėmis palūkanomis. Po to, ką išsiaiškinsi, tau bus elementaru. Taigi, užduotis:
„Zvezda“ įmonė pradėjo investuoti į pramonę 2000 m., turėdama kapitalą doleriais. Nuo 2001 metų kasmet gaudavo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Kiek pelno Zvezda gaus 2003 m. pabaigoje, jei pelnas nebus išimtas iš apyvartos?
Įmonės „Zvezda“ kapitalas 2000 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2001 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2002 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2003 m.
Arba galime trumpai parašyti:
Mūsų atveju:
2000, 2001, 2002 ir 2003 m.
Atitinkamai:
rublių
Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje mes neturime padalijimo nei pagal, nei pagal, nes procentas pateikiamas METAIS ir skaičiuojamas KASmet. Tai yra, skaitydami sudėtinių palūkanų problemą, atkreipkite dėmesį į tai, koks procentas pateikiamas ir kokiu laikotarpiu jis skaičiuojamas, ir tik tada pereikite prie skaičiavimų.
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją.
Treniruotės.
- Raskite geometrinės progresijos terminą, jei žinoma, kad ir
- Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą, jei žinoma, kad ir
- MDM Capital bendrovė pradėjo investuoti į pramonę 2003 m., turėdama kapitalą doleriais. Nuo 2004 metų kasmet gaudavo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. MSK įmonė Pinigų srautai„2005 m. pradėjo investuoti į pramonę 10 000 USD, o 2006 m. pradėjo nešti pelną. Kiek dolerių vienos įmonės kapitalas didesnis už kitos 2007 m. pabaigoje, jei pelnas nebūtų išimtas iš apyvartos?
Atsakymai:
- Kadangi problemos teiginyje nesakoma, kad progresija yra begalinė, o reikia rasti konkretaus jos narių skaičiaus sumą, skaičiavimas atliekamas pagal formulę:
MDM kapitalo įmonė:2003, 2004, 2005, 2006, 2007 m.
- padidėja 100%, tai yra 2 kartus.
Atitinkamai:
rublių
MSK pinigų srautų įmonė:2005, 2006, 2007 m.
- padidėja, tai yra, kartus.
Atitinkamai:
rublių
rublių
Apibendrinkime.
1) Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
2) Geometrinės progresijos narių lygtis yra .
3) gali turėti bet kokias reikšmes, išskyrus ir.
- jei, tai visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą – jie yra teigiami;
- jei, tai visi tolesni progresavimo terminai alternatyvūs ženklai;
- kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.
4) , su - geometrinės progresijos savybė (gretimi terminai)
arba
, esant (vienodo atstumo terminai)
Kai surasi, nepamiršk turėtų būti du atsakymai.
Pavyzdžiui,
5) Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę:
arba
arba
SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti begalinio skaičiaus narių sumą.
6) Sudėtinių palūkanų problemos taip pat apskaičiuojamos naudojant geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, jei lėšos nebuvo išimtos iš apyvartos:
GEOMETRINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS
Geometrinė progresija( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis numeris vadinamas geometrinės progresijos vardiklis.
Geometrinės progresijos vardiklis gali būti bet kokia reikšmė, išskyrus ir.
- Jei, tada visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami;
- jei, tada visi paskesni progresavimo nariai keičia ženklus;
- kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.
Geometrinės progresijos narių lygtis - .
Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojamas pagal formulę:
arba
Jei progresas be galo mažėja, tada:
Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.
Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!
Dabar svarbiausia.
Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.
Problema ta, kad to gali nepakakti...
Kam?
Dėl sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.
Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...
Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.
Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.
Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...
Bet pagalvok pats...
Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?
ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.
Per egzaminą teorijos neprašys.
Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.
Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.
Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.
Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!
Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.
Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.
Kaip? Yra dvi parinktys:
- Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR
Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.
Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.
Apibendrinant...
Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.
„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.
Raskite problemas ir jas spręskite!
