Pamokos tema „Nelygybių ir jų sistemų sprendimas“ (matematikos 9 kl.)
Pamokos tipas:žinių ir įgūdžių sisteminimo ir apibendrinimo pamoka
Pamokos technologija: technologijų plėtra kritinis mąstymas, diferencijuotas mokymasis, IKT technologijos
Pamokos tikslas: kartoti ir sisteminti žinias apie nelygybių savybes ir jų sprendimo būdus, sudaryti sąlygas ugdyti gebėjimus šias žinias taikyti sprendžiant standartines ir kūrybines problemas.
Užduotys.
Švietimas:
prisidėti ugdant mokinių gebėjimus apibendrinti įgytas žinias, atlikti analizę, sintezę, palyginimą, daryti reikiamas išvadas
organizuoti studentų veiklą įgytas žinias pritaikyti praktikoje
skatinti įgūdžių pritaikyti įgytas žinias nestandartinėmis sąlygomis ugdymą
Švietimas:
tęsti formavimąsi loginis mąstymas, dėmesys ir atmintis;
tobulinti analizės, sisteminimo, apibendrinimo įgūdžius;
sudaryti sąlygas, užtikrinančias mokinių savikontrolės įgūdžių ugdymą;
skatinti būtinų savarankiškų įgūdžių įgijimą švietėjiška veikla.
Švietimas:
ugdyti discipliną ir santūrumą, atsakomybę, savarankiškumą, kritišką požiūrį į save ir dėmesingumą.
Planuojami ugdymo rezultatai.
Asmeninis: atsakingas požiūris į mokymąsi ir komunikacinė kompetencija bendraujant ir bendradarbiaujant su bendraamžiais ugdomosios veiklos procese.
Kognityvinis: gebėjimas apibrėžti sąvokas, kurti apibendrinimus, savarankiškai parinkti klasifikavimo pagrindus ir kriterijus, statyti loginį samprotavimą, daryti išvadas;
Reguliavimo: gebėjimas atpažinti galimus sunkumus sprendžiant ugdomąją ir pažintinę užduotį ir rasti priemones jiems pašalinti, įvertinti savo pasiekimus
Komunikacinis: gebėjimas priimti sprendimus naudojant matematinius terminus ir sąvokas, užduoties metu formuluoti klausimus ir atsakymus, keistis žiniomis tarp grupės narių, kad priimtų efektyvius bendrus sprendimus.
Pagrindiniai terminai ir sąvokos: tiesinė nelygybė, kvadratinė nelygybė, nelygybių sistema.
Įranga
Projektorius, mokytojo nešiojamas kompiuteris, keletas netbookų mokiniams;
Pristatymas;
Kortelės su pagrindinėmis žiniomis ir įgūdžiais pamokos tema (1 priedas);
Kortelės su savarankišku darbu (2 priedas).
Pamokos planas
| Per užsiėmimus |
|||
| Technologiniai etapai. Tikslas. | Mokytojų veikla | Studentų veikla | |
| Įvadinis ir motyvacinis komponentas |
|||
| 1.Organizacinis Tikslas: psichologinis pasiruošimasį bendravimą. | Sveiki. Malonu jus visus matyti. Atsisėskite. Patikrinkite, ar viską paruošėte pamokai. Jei viskas gerai, pažiūrėk į mane. | Jie sveikinasi. Patikrinkite priedus. Pasiruošimas darbui. | Asmeninis. Formuojamas atsakingas požiūris į mokymąsi. |
| 2. Žinių atnaujinimas (2 min.) Tikslas: nustatyti atskiras žinių spragas apie temą | Mūsų pamokos tema „Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas ir jų sistemos“. (1 skaidrė) Čia yra pagrindinių žinių ir įgūdžių šia tema sąrašas. Įvertinkite savo žinias ir įgūdžius. Įdėkite atitinkamas piktogramas. (2 skaidrė) | Įvertinkite savo žinias ir įgūdžius. (1 priedas) | Reguliavimo Savo žinių ir įgūdžių įsivertinimas |
| 3.Motyvacija (2 minutės) Tikslas: numatyti užsiėmimus pamokos tikslams nustatyti . | IN OGE darbas matematikoje keli klausimai tiek pirmoje, tiek antroje dalyse lemia gebėjimą spręsti nelygybes. Ką turime pakartoti klasėje, kad sėkmingai atliktume šias užduotis? | Jie samprotauja ir įvardija kartojimo klausimus. | Kognityvinis. Nustatyti ir suformuluoti pažintinį tikslą. |
| Sumanymo etapas (turinio komponentas) |
|||
| 4.Savęs vertinimas ir trajektorijos pasirinkimas (1–2 min.) | Atsižvelgdami į tai, kaip įvertinote savo žinias ir įgūdžius šia tema, pasirinkite darbo formą pamokoje. Su manimi galite dirbti su visa klase. Galite dirbti individualiai su internetiniais kompiuteriais, pasinaudoję mano konsultacija, arba poromis, padėdami vieni kitiems. | Nustatyta pagal individualų mokymosi kelią. Jei reikia, pakeiskite vietas. | Reguliavimo identifikuoti galimus sunkumus sprendžiant ugdomąją ir pažintinę užduotį ir rasti priemones jiems pašalinti |
| 5-7 Darbas poromis arba individualiai (25 min.) | Mokytojas pataria mokiniams dirbti savarankiškai. | Gerai temą išmanantys mokiniai individualiai arba poromis dirba su pristatymu (4-10 skaidrės) Atlieka užduotis (6,9 skaidrės). | Kognityvinis gebėjimas apibrėžti sąvokas, kurti apibendrinimus, kurti loginę grandinę Reguliavimo gebėjimas nustatyti veiksmus pagal ugdomąją ir pažintinę užduotį Bendravimas gebėjimas organizuoti švietimo bendradarbiavimą ir bendra veikla, dirbti su informacijos šaltiniu Asmeninis atsakingas požiūris į mokymąsi, pasirengimas ir gebėjimas saviugdai bei saviugdai |
| 5. Tiesinių nelygybių sprendimas. (10 min.) | Kokias nelygybių savybes naudojame joms išspręsti? Ar galite atskirti tiesinę ir kvadratinę nelygybę ir jų sistemas? (5 skaidrė) Kaip išspręsti tiesinė nelygybė? Sekite sprendimą. (6 skaidrė) Mokytojas stebi sprendimą prie lentos. Patikrinkite, ar jūsų sprendimas teisingas. | Įvardykite nelygybių savybes; po atsakymo arba iškilus sunkumams mokytojas atveria 4 skaidrę. Skambino funkcijos nelygybės Naudojant nelygybių savybes. Vienas mokinys lentoje išsprendžia nelygybę Nr. Likusi dalis yra užrašų knygelėse, atsakančiojo sprendimu. Nelygybės Nr. 2 ir 3 tenkinamos nepriklausomai. Jie patikrina paruoštą atsakymą. | Kognityvinis Bendravimas |
| 6. Kvadratinių nelygybių sprendimas. (10 min.) | Kaip išspręsti nelygybę? Kokia čia nelygybė? Kokie metodai naudojami kvadratinėms nelygybėms išspręsti? Prisiminkime parabolės metodą (7 skaidrė).Mokytojas primena nelygybės sprendimo etapus. Intervalinis metodas naudojamas antrojo ir aukštesnio laipsnio nelygybėms spręsti. (8 skaidrė) Norėdami išspręsti kvadratines nelygybes, galite pasirinkti jums patogų metodą. Išspręskite nelygybes. (9 skaidrė). Mokytojas stebi sprendimo eigą, primena, kaip išspręsti nepilnai kvadratines lygtis. Mokytojas konsultuoja individualiai dirbančius mokinius. | Atsakymas: Kvadratinė nelygybė Sprendžiame parabolės arba intervalo metodu. Mokiniai seka pristatymo sprendimą. Prie lentos mokiniai paeiliui sprendžia nelygybes Nr. 1 ir 2. Jie patikrina atsakymą. (norint išspręsti nervą Nr. 2, reikia prisiminti nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo metodą). Nelygybė Nr. 3 išspręsta savarankiškai ir patikrinama pagal atsakymą. | Kognityvinis gebėjimas apibrėžti sąvokas, kurti apibendrinimus, kurti samprotavimus nuo bendrų modelių iki konkrečių sprendimų Bendravimas gebėjimas žodžiu ir raštu pristatyti detalųjį savo veiklos planą; |
| 7. Nelygybių sistemų sprendimas (4–5 min.) | Prisiminkite nelygybių sistemos sprendimo etapus. Išspręskite sistemą (10 skaidrė) | Įvardykite sprendimo etapus Mokinys sprendžia prie lentos ir patikrina sprendimą skaidrėje. | |
| Reflektyvioji-vertinamoji stadija |
|||
| 8.Žinių kontrolė ir tikrinimas (10 min.) Tikslas: nustatyti medžiagos mokymosi kokybę. | Pasitikrinkime savo žinias šia tema. Išspręskite problemas patys. Mokytojas patikrina rezultatą naudodamas paruoštus atsakymus. | Atlikti savarankišką darbą su pasirinkimais (2 priedas) Baigęs darbą, mokinys apie tai praneša mokytojui. Mokinys savo pažymį nustato pagal kriterijus (11 skaidrė). Sėkmingai baigęs darbą, jis gali pradėti papildoma užduotis(11 skaidrė) | Kognityvinis. Kurkite logines samprotavimo grandines. |
| 9. Atspindys (2 min.) Tikslas: formuotis pakankama savigarba savo galimybes ir sugebėjimus, stipriąsias puses ir apribojimus | Ar rezultatas pagerėjo? Jei vis dar turite klausimų, skaitykite vadovėlį namuose (p. 120) | Savo žinias ir įgūdžius įvertina ant to paties popieriaus lapo (1 priedas). Pamokos pradžioje palyginkite su savigarba ir padarykite išvadas. | Reguliavimo Savo pasiekimų įsivertinimas |
| 10. Namų darbai (2 min.) Tikslas: studijuojamos medžiagos konsolidavimas. | Namų darbai nustatyti pagal rezultatus savarankiškas darbas(13 skaidrė) | Apibrėžkite ir įrašykite individualią užduotį | Kognityvinis. Kurkite logines samprotavimo grandines. Analizuokite ir transformuokite informaciją. |
Naudotos literatūros sąrašas: Algebra. Vadovėlis 9 klasei. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Švietimas, 2014 m
1. Nelygybės su vienu kintamuoju samprata
2. Ekvivalentinės nelygybės. Nelygybių ekvivalentiškumo teoremos
3. Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas
4. Nelygybių su vienu kintamuoju grafinis sprendimas
5. Nelygybės, turinčios kintamąjį po modulio ženklu
6. Pagrindinės išvados
Nelygybės su vienu kintamuoju
Pasiūlymai 2 X + 7 > 10's, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 vadinamos nelygybėmis su vienu kintamuoju.
IN bendras vaizdasši sąvoka apibrėžiama taip:
Apibrėžimas. Tegul f(x) ir g(x) yra dvi išraiškos su kintamuoju x ir domenu X. Tada formos f(x) > g(x) arba f(x) nelygybė< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Kintamoji vertė x iš daugelio X, kurioje nelygybė virsta tikra skaitine nelygybe vadinama sprendimą. Išspręsti nelygybę reiškia rasti daugybę jos sprendimų.
Taigi, išsprendus 2 nelygybę x + 7 > 10 -x, x? R yra skaičius x= 5, nes 2 5 + 7 > 10 - 5 yra tikroji skaitinė nelygybė. O jos sprendinių aibė yra intervalas (1, ∞), kuris randamas atliekant nelygybės transformaciją: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Ekvivalentinės nelygybės. Nelygybių ekvivalentiškumo teoremos
Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo pagrindas yra lygiavertiškumo samprata.
Apibrėžimas. Dvi nelygybės laikomos lygiavertėmis, jei jų sprendinių aibės yra lygios.
Pavyzdžiui, nelygybės 2 x+ 7 > 10 ir 2 x> 3 yra lygiaverčiai, nes jų sprendinių aibės yra lygios ir reiškia intervalą (2/3, ∞).
Teoremos apie nelygybių lygiavertiškumą ir pasekmes iš jų yra panašios į atitinkamas teoremas apie lygčių lygiavertiškumą. Jų įrodinėjimui naudojamos tikrųjų skaitinių nelygybių savybės.
3 teorema. Tegul nelygybė f(x) > g(x) apibrėžta rinkinyje X Ir h(x) yra išraiška, apibrėžta toje pačioje aibėje. Tada nelygybės f(x) > g(x) ir f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) yra lygiaverčiai filmavimo aikštelėje X.
Iš šios teoremos išplaukia išvados, kurios dažnai naudojamos sprendžiant nelygybes:
1) Jei į abi nelygybės puses f(x) > g(x) pridėkite tą patį numerį d, tada gauname nelygybę f(x) + d > g(x)+ d, lygiavertis originaliam.
2) Jei kuris nors terminas (skaitinė išraiška arba išraiška su kintamuoju) perkeliama iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeičiant termino ženklą į priešingą, tada gauname nelygybę, lygiavertę duotajai.
4 teorema. Tegul nelygybė f(x) > g(x) apibrėžta rinkinyje X Ir h(X X iš daugelio X išraiška h(x) priima teigiamas vertes. Tada nelygybės f(x) > g(x) ir f(x) h(x) > g(x) h(x) yra lygiaverčiai filmavimo aikštelėje X.
f(x) > g(x) padauginkite iš to paties teigiamo skaičiaus d, tada gauname nelygybę f(x) d > g(x) d, lygiavertis šiam.
5 teorema. Tegul nelygybė f(x) > g(x) apibrėžta rinkinyje X Ir h(X) – išraiška, apibrėžta toje pačioje aibėje ir visiems X jų yra daug X išraiška h(X) priima neigiamos reikšmės. Tada nelygybės f(x) > g(x) ir f(x) h(x) > g(x) h(x) yra lygiaverčiai filmavimo aikštelėje X.
Iš šios teoremos išplaukia išvada: jei abi nelygybės pusės f(x) > g(x) padauginkite iš to paties neigiamo skaičiaus d ir pakeiskite nelygybės ženklą į priešingą, gauname nelygybę f(x) d > g(x) d, lygiavertis šiam.
Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas
Išspręskime 5 nelygybę X - 5 < 2х - 16, X? R, ir mes pagrįsime visas transformacijas, kurias atliksime sprendimo procese.
Nelygybės sprendimas X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 yra intervalas (-∞, 7).
Pratimai
1. Nustatykite, kurie iš šių įrašų yra nelygybės su vienu kintamuoju:
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15 ( x+ 2)>4; e) 17-12,8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. Ar skaičius 3 yra nelygybės sprendimas 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? O skaičius 4,25?
3. Ar realiųjų skaičių aibėje yra lygiavertės šios nelygybių poros:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 ir 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 ir X<2?
4. Kuris iš šių teiginių yra teisingas:
a) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Išspręskite 3 nelygybę ( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 ir pagrįskite visas transformacijas, kurias atliksite.
6. Įrodykite tai išspręsdami nelygybę 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) yra bet koks tikrasis skaičius.
7. Įrodykite, kad nėra tikrojo skaičiaus, kuris būtų nelygybės 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Viena trikampio kraštinė yra 5 cm, o kita - 8 cm Koks gali būti trečiosios kraštinės ilgis, jei trikampio perimetras:
a) mažesnis nei 22 cm;
b) daugiau nei 17 cm?
GRAFINIS NETINGUMŲ SPRENDIMAS SU VIENU KINTAMU. Dėl grafinis sprendimas nelygybės f (x) > g (x) reikia sudaryti funkcijų grafikus
y = f (x) = g (x) ir pasirinkite tuos abscisių ašies intervalus, kuriuose yra funkcijos grafikas y = f(x) esantis virš funkcijos y = grafiko g(x).
17.8 pavyzdys. Grafiškai išspręskite nelygybę x 2- 4 > 3X.
| Y – x* – 4 |
Sprendimas. Sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje
y = x 2 - 4 ir y = Zx (17.5 pav.). Paveikslėlyje parodyta, kad funkcijų grafikai adresu= x 2- 4 yra virš funkcijos y = 3 grafiko X adresu X< -1 ir x > 4, t.y. pradinės nelygybės sprendinių aibė yra aibė
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Atsakymas: x О(- oo; -1) ir ( 4; + oo).
Tvarkaraštis kvadratinė funkcija adresu= ax 2 + bx + c yra parabolė su šakomis, nukreiptomis į viršų, jei a > 0 ir žemyn, jei A< 0. Šiuo atveju galimi trys atvejai: parabolė kerta ašį Oi(t. y. lygtis ai 2+ bx+ c = 0 turi dvi skirtingas šaknis); parabolė liečia ašį X(t. y. lygtis ax 2 + bx+ c = 0 turi vieną šaknį); parabolė nekerta ašies Oi(t. y. lygtis ai 2+ bx+ c = 0 neturi šaknų). Taigi, yra šešios galimos parabolės, kuri yra funkcijos y = grafikas, padėtys ai 2+b x + c(17.6 pav.). Naudodami šias iliustracijas galite išspręsti kvadratines nelygybes.
17.9 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Sprendimas, a) Lygtis 2x 2 + 5x -3 = 0 turi dvi šaknis: x, = -3, x 2 = 0.5. Parabolė, tarnaujanti kaip funkcijos grafikas adresu= 2x 2+ 5x -3, parodyta pav. A. Nelygybė 2x 2+ 5x -3 > 0 toms reikšmėms tenkina X, kurių parabolės taškai yra virš ašies Oi: tai bus val X< х х arba kada X> x g> tie. adresu X< -3 arba val x > 0.5. Tai reiškia, kad pradinės nelygybės sprendinių aibė yra (- ¥; -3) ir (0,5; + ¥) aibė.
b) Lygtis -Зх 2 + 2x- 6 = 0 neturi tikrų šaknų. Parabolė, tarnaujanti kaip funkcijos grafikas adresu= - 3x 2 - 2x - 6, parodyta fig. 17.6 Nelygybė -3x 2-2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, kurių parabolės taškai yra žemiau ašies Oi. Kadangi visa parabolė yra žemiau ašies Oi, tada pradinės nelygybės sprendinių aibė yra aibė R .
NELYGYBĖS, KURIOSIOS KINTAMASIS PO MODULIO ŽENKLIU. Sprendžiant šias nelygybes, reikia turėti omenyje, kad:
|f(x) | =
f(x), Jei f(x) ³ 0,
- f(x), Jei f(x) < 0,
Tuo pačiu plotas priimtinos vertės nelygybės turėtų būti suskirstytos į intervalus, kurių kiekvienoje išraiškos po modulio ženklu išlaiko savo ženklą. Tada išplečiant modulius (atsižvelgiant į išraiškų ženklus), reikia išspręsti kiekvieno intervalo nelygybę ir gautus sprendinius sujungti į pradinės nelygybės sprendinių rinkinį.
17.10 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Sprendimas. Taškai x = 1 ir x = 2 padalija skaitmeninę ašį (nelygybės ODZ (17.9)) į tris intervalus: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Išspręskime šią nelygybę kiekvienam iš jų. Jei x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; todėl |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Tai reiškia, kad nelygybė (17.9) įgauna tokią formą: 1- x + 2 - x > 3 + x, t.y. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Jei 1 £ x £,2, tai x - 1 ³ 0 ir 2 - x ³ 0; todėl | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Tai reiškia, kad sistemoje yra:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Gauta nelygybių sistema neturi sprendimų. Todėl intervale [ 1; 2] nelygybės (17.9) sprendinių aibė tuščia.
Jei x > 2, tai x - 1 >0 ir 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3+x,
x > 6 arba
Sujungus sprendinius, rastus visose ODZ nelygybės (17.9) dalyse, gauname jos sprendimą – aibę (-¥; 0) È (6; +oo).
Kartais pravartu pasinaudoti geometrine realaus skaičiaus modulio interpretacija, pagal kurią | a | reiškia koordinačių linijos taško a atstumą nuo pradžios O ir | a - b | reiškia atstumą tarp koordinačių linijos taškų a ir b. Arba galite naudoti abiejų nelygybės pusių kvadratūros metodą.
17.5 teorema. Jei išraiškos f(x) ir g(x) bet kuriam x imkite tik neneigiamas reikšmes, tada nelygybes f (x) > g (x) Ir f (x) ² > g (x) ² yra lygiaverčiai.
58. Pagrindinės išvados § 12
Šiame skyriuje apibrėžėme šiuos dalykus sąvokos:
Skaitinė išraiška;
Reikšmė skaitinė išraiška;
Išraiška, kuri neturi prasmės;
Išraiška su kintamuoju (-iais);
Išraiškos apibrėžimo apimtis;
Identiškai vienodos išraiškos;
Tapatybė;
Tapatybės transformacija išraiškos;
Skaitinė lygybė;
Skaitinė nelygybė;
Lygtis su vienu kintamuoju;
Lygties šaknis;
Ką reiškia išspręsti lygtį;
Ekvivalentinės lygtys;
Nelygybė su vienu kintamuoju;
Nelygybių sprendimas;
Ką reiškia išspręsti nelygybę;
Ekvivalentinės nelygybės.
Be to, išnagrinėjome lygčių ir nelygybių ekvivalentiškumo teoremas, kurios yra jų sprendimo pagrindas.
Žinios apie visų pirmiau minėtų sąvokų apibrėžimus ir teoremas apie lygčių ir nelygybių lygiavertiškumą - būtina sąlyga metodiškai kompetentingas tyrimas su jaunesniųjų moksleivių algebrinė medžiaga.
Šiame straipsnyje pateikiama pradinė informacija apie nelygybių sistemas. Čia pateikiamas nelygybių sistemos apibrėžimas ir nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimas. Taip pat išvardijami pagrindiniai sistemų tipai, su kuriais dažniausiai tenka dirbti per algebros pamokas mokykloje, pateikiami pavyzdžiai.
Puslapio naršymas.
Kas yra nelygybių sistema?
Nelygybių sistemas patogu apibrėžti taip, kaip mes pristatėme lygčių sistemos apibrėžimą, tai yra pagal žymėjimo tipą ir į jį įterptą reikšmę.
Apibrėžimas.
Nelygybių sistema yra įrašas, vaizduojantis tam tikrą skaičių nelygybių, parašytų vienas po kito, sujungtų kairėje riestiniu skliaustu, ir žymi visų sprendinių, kurie vienu metu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendiniai, rinkinį.
Pateiksime nelygybių sistemos pavyzdį. Paimkime du savavališkus, pavyzdžiui, 2 x−3>0 ir 5−x≥4 x−11, parašykite juos vieną po kito
2 x−3>0,
5-x≥4 x-11
ir sujunkite su sistemos ženklu - garbanotu skliaustu, todėl gauname tokios formos nelygybių sistemą:
Panaši mintis pateikiama ir apie nelygybių sistemas mokykliniuose vadovėliuose. Verta pažymėti, kad jų apibrėžimai pateikiami siauriau: nelygybėms su vienu kintamuoju arba su dviem kintamaisiais.
Pagrindiniai nelygybių sistemų tipai
Aišku, kad galima sukurti be galo daug įvairios sistemos nelygybės Norint nepasiklysti šioje įvairovėje, patartina juos laikyti grupėmis, kurios turi savo išskirtinių bruožų. Visos nelygybių sistemos gali būti suskirstytos į grupes pagal šiuos kriterijus:
- pagal nelygybių skaičių sistemoje;
- pagal įraše dalyvaujančių kintamųjų skaičių;
- pagal pačių nelygybių tipą.
Pagal į įrašą įtrauktų nelygybių skaičių išskiriamos dviejų, trijų, keturių ir tt sistemos. nelygybės Ankstesnėje pastraipoje pateikėme sistemos, kuri yra dviejų nelygybių sistema, pavyzdį. Parodykime dar vieną keturių nelygybių sistemos pavyzdį 
.
Atskirai pasakysime, kad nėra prasmės kalbėti vien apie nelygybės sistemą, šiuo atveju iš esmės kalbame apie pačią nelygybę, o ne apie sistemą.
Jei pažvelgsite į kintamųjų skaičių, tai yra nelygybių sistemos su vienu, dviem, trimis ir kt. kintamieji (arba, kaip dar sakoma, nežinomieji). Pažvelkite į paskutinę nelygybių sistemą, parašytą dviem pastraipomis aukščiau. Tai sistema su trimis kintamaisiais x, y ir z. Atkreipkite dėmesį, kad jos pirmosiose dviejose nelygybėse yra ne visi trys kintamieji, o tik vienas iš jų. Šios sistemos kontekste jos turėtų būti suprantamos kaip nelygybės su trimis kintamaisiais, atitinkamai x+0·y+0·z≥−2 ir 0·x+y+0·z≤5. Atkreipkite dėmesį, kad mokykloje dėmesys skiriamas nelygybėms su vienu kintamuoju.
Belieka aptarti, kokių tipų nelygybės yra įtrauktos į registravimo sistemas. Mokykloje jie daugiausia laiko dviejų nelygybių (rečiau - trijų, dar rečiau - keturių ir daugiau) sistemas su vienu ar dviem kintamaisiais, o pačios nelygybės dažniausiai yra visos nelygybės pirmas ar antras laipsnis (rečiau – aukštesni laipsniai arba trupmeniškai racionalus). Tačiau nenustebkite, jei ruošdamiesi vieningam valstybiniam egzaminui susidursite su nelygybių sistemomis, kuriose yra neracionalių, logaritminių, eksponentinių ir kitų nelygybių. Kaip pavyzdį pateikiame nelygybių sistemą 
, jis paimtas iš .
Koks yra nelygybių sistemos sprendimas?
Pateikiame dar vieną apibrėžimą, susijusį su nelygybių sistemomis – nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimą:
Apibrėžimas.
Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju sprendimas vadinama tokia kintamojo reikšmė, kuri kiekvieną sistemos nelygybę paverčia teisinga, kitaip tariant, tai yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas.
Paaiškinkime pavyzdžiu. Paimkime dviejų nelygybių su vienu kintamuoju sistemą. Paimkime kintamojo x reikšmę, lygią 8, tai yra mūsų nelygybių sistemos sprendimas pagal apibrėžimą, nes jį pakeitus sistemos nelygybėmis gaunamos dvi teisingos skaitinės nelygybės 8>7 ir 2−3·8≤0. Priešingai, vienybė nėra sistemos sprendimas, nes ja pakeitus kintamąjį x, pirmoji nelygybė pavirs neteisinga skaitine nelygybe 1>7.
Panašiai galima įvesti sprendinio apibrėžimą nelygybių sistemoje su dviem, trimis ir didelis skaičius kintamieji:
Apibrėžimas.
Nelygybių sistemos su dviem, trimis ir t.t. sprendimas. kintamieji vadinama pora, trys ir kt. šių kintamųjų reikšmės, o tai kartu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, ty kiekvieną sistemos nelygybę paverčia teisinga skaitine nelygybe.
Pavyzdžiui, reikšmių pora x=1, y=2 arba kitu žymėjimu (1, 2) yra nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais sprendimas, nes 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Nelygybių sistemos gali neturėti sprendinių, gali turėti baigtinį sprendinių skaičių arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių. Žmonės dažnai kalba apie nelygybių sistemos sprendimų rinkinį. Kai sistema neturi sprendimų, tada yra tuščias jos sprendimų rinkinys. Kai yra baigtinis sprendinių skaičius, tai sprendinių aibėje yra baigtinis elementų skaičius, o kai yra be galo daug sprendinių, tai sprendinių aibė susideda iš begalinio skaičiaus elementų.
Kai kuriuose šaltiniuose pateikiami konkretaus ir bendro nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimai, kaip, pavyzdžiui, Mordkovičiaus vadovėliuose. Pagal privatus nelygybių sistemos sprendimas suprasti jos vienintelį sprendimą. Savo ruožtu bendras nelygybių sistemos sprendimas– tai visi jos privatūs sprendimai. Tačiau šie terminai turi prasmę tik tada, kai reikia konkrečiai pabrėžti, apie kokį sprendimą kalbame, bet dažniausiai tai jau aišku iš konteksto, todėl daug dažniau tiesiog sakoma „nelygybių sistemos sprendimas“.
Iš šiame straipsnyje pateiktų nelygybių sistemos ir jos sprendinių apibrėžimų matyti, kad nelygybių sistemos sprendimas yra visų šios sistemos nelygybių sprendinių aibių sankirta.
Bibliografija.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 val.1 dalis.Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 val.1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Vieningas valstybinis egzaminas-2013 m. Matematika: standartiniai egzamino variantai: 30 variantų / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenka. – M.: Leidykla „Tautinis ugdymas“, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - mokykla).
Šiandien pamokoje apibendrinsime savo žinias sprendžiant nelygybių sistemas ir išnagrinėsime nelygybių sistemų aibės sprendimą.
Apibrėžimas vienas.
Sakoma, kad kelios nelygybės su vienu kintamuoju sudaro nelygybių sistemą, jei užduotis yra rasti visus bendruosius duotųjų nelygybių sprendimus.
Kintamojo reikšmė, kuriai esant kiekviena iš sistemos nelygybių virsta teisinga skaitine nelygybe, vadinama daliniu nelygybių sistemos sprendiniu.
Visų konkrečių nelygybių sistemos sprendinių rinkinys yra bendras nelygybių sistemos sprendimas (dažniau sakoma paprastai - nelygybių sistemos sprendimas).
Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visus jos konkrečius sprendimus arba įrodyti, kad tam tikra sistema neturi sprendimų.
Prisiminti! Nelygybių sistemos sprendimas yra į sistemą įtrauktų nelygybių sprendinių sankirta.
Į sistemą įtrauktos nelygybės derinamos su garbanota petneša.
Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
Pirma, kiekvieną nelygybę reikia išspręsti atskirai.
Antrasis – rasti rastų sprendimų sankirtą.
Ši sankirta yra nelygybių sistemos sprendinių rinkinys
1 pratimas
Išspręskite nelygybių sistemą septyni x atėmus keturiasdešimt du yra mažesnė arba lygi nuliui ir du x minus septyni yra didesni už nulį.
Pirmosios nelygybės sprendimas yra x yra mažesnis arba lygus šešiems, antroji nelygybė x yra didesnė už antrąją septynią. Pažymėkime šiuos intervalus koordinačių tiesėje. Pirmosios nelygybės sprendinys apačioje pažymėtas atspalviu, o antrosios nelygybės sprendimas – viršuje. Nelygybių sistemos sprendimas bus nelygybių sprendinių sankirta, tai yra intervalas, kuriame abu liukai sutampa. Dėl to mes gauname pusę intervalo nuo septynių sekundžių iki šešių, įskaitant šešis.
2 užduotis
Išspręskite nelygybių sistemą: x kvadratas plius x minus šeši yra didesnis už nulį ir x kvadratas plius x plius šeši yra didesnis už nulį.
Sprendimas
Išspręskime pirmąją nelygybę – x kvadratas plius x minus šeši yra didesnis už nulį.
Apsvarstykite funkciją ig lygi x kvadratas plius x minus šeši. Funkcijos nuliai: x pirmas lygus minus trims, x antras lygus dviem. Pavaizduodami parabolę schematiškai, mes nustatome, kad pirmosios nelygybės sprendimas yra atvirų skaičių spindulių sąjunga nuo minus begalybės iki minus trys ir nuo dviejų iki plius begalybės.
Išspręskime antrąją sistemos nelygybę: x kvadratas plius x plius šeši yra didesnis už nulį.
Apsvarstykite funkciją ig lygi x kvadratas plius x plius šeši. Diskriminantas yra lygus minus dvidešimt trimis mažesniais už nulį, o tai reiškia, kad funkcija neturi nulių. Parabolė neturi bendrų taškų su Jaučio ašimi. Pavaizduodami parabolę schematiškai, matome, kad nelygybės sprendimas yra visų skaičių aibė.
Koordinačių tiesėje pavaizduokime sistemos nelygybių sprendinius.
Iš paveikslo matyti, kad sistemos sprendimas yra sujungti atvirus skaičių spindulius nuo minus begalybės iki minus trys ir nuo dviejų iki plius begalybės.
Atsakymas: atvirų skaičių spindulių sąjunga nuo minus begalybės iki minus trys ir nuo dviejų iki plius begalybės.
Prisiminti! Jei kelių nelygybių sistemoje viena yra kitos (ar kitų) pasekmė, tai nelygybę-pasekmę galima atmesti.
Panagrinėkime nelygybės sprendimo sistema pavyzdį.
3 užduotis
Išspręskite išraiškos x kvadratas atėmus trylika x plius keturiasdešimt du bazinius du nelygybės logaritmą, didesnį už vieną arba lygų jam.
Sprendimas
Nelygybės ODZ pateikiama sąlyga x kvadratas atėmus trylika x plius keturiasdešimt du, didesnė už nulį. Įsivaizduokime skaičių vieną kaip logaritmą du su baziniu du ir gausime nelygybę – reiškinio x kvadratas atėmus trylika x plius keturiasdešimt du prie bazinio du logaritmas yra didesnis arba lygus logaritmui iš dviejų du.
Matome, kad logaritmo pagrindas yra lygus du virš vieno, tada gauname ekvivalentinę nelygybę x kvadratas atėmus trylika x plius keturiasdešimt du, didesnę arba lygi du. Vadinasi, šios logaritminės nelygybės išsprendimas redukuojasi iki dviejų kvadratinių nelygybių sistemos sprendimo.
Be to, nesunku pastebėti, kad jei tenkinama antroji nelygybė, tai juo labiau tenkinama pirmoji nelygybė. Todėl pirmoji nelygybė yra antrosios pasekmė, ir ją galima atmesti. Antrąją nelygybę paverčiame ir užrašome tokia forma: x kvadratas atėmus trylika x plius keturiasdešimt yra didesnis už nulį. Jo sprendimas yra sujungti du skaičių spindulius nuo minus begalybės iki penkių ir nuo aštuonių iki plius begalybės.
Atsakymas: dviejų skaičių spindulių sąjunga nuo minus begalybės iki penkių ir nuo aštuonių iki plius begalybės.
atviri skaičių spinduliai
Apibrėžimas du.
Sakoma, kad kelios nelygybės su vienu kintamuoju sudaro nelygybių rinkinį, jei užduotis yra rasti visas tokias kintamojo reikšmes, kurių kiekviena yra bent vienos iš pateiktų nelygybių sprendimas.
Kiekviena tokia kintamojo reikšmė vadinama tam tikru nelygybių aibės sprendiniu.
Visų konkrečių nelygybių aibės sprendinių rinkinys yra bendras nelygybių aibės sprendimas.
Prisiminti! Nelygybių aibės sprendimas yra į aibę įtrauktų nelygybių sprendinių derinys.
Į rinkinį įtrauktos nelygybės derinamos su laužtiniais skliaustais.
Nelygybių aibės sprendimo algoritmas:
Pirma, kiekvieną nelygybę reikia išspręsti atskirai.
Antrasis – rasti rastų sprendimų sąjungą.
Ši sąjunga yra nelygybių aibės sprendimas.
4 užduotis
nulinis taškas, du kartus didesnis nei dviejų X skirtumas ir trys mažesnis nei X atėmus du;
penki x minus septyni yra didesni nei x minus šeši.
Sprendimas
Paverskime kiekvieną nelygybę. Gauname lygiavertį rinkinį
x yra didesnis nei septyni trečdaliai;
x yra daugiau nei ketvirtadalis.
Pirmosios nelygybės sprendinių rinkinys yra intervalas nuo septynių trečdalių iki plius begalybės, o antrosios – intervalas nuo vieno ketvirčio iki plius begalybės.
Koordinačių tiesėje pavaizduokime skaičių aibę, tenkinančią nelygybes x, didesnes už septynias trečdalius ir x didesnę už vieną ketvirtadalį.
Pastebime, kad sujungus šiuos rinkinius, t.y. šios nelygybių aibės sprendimas yra atviras skaitinis spindulys nuo ketvirtadalio iki plius begalybės.
Atsakymas: atidarykite skaičių spindulį nuo ketvirtadalio iki pliuso begalybės.
5 užduotis
Išspręskite nelygybių aibę:
du x minus vienas yra mažesnis nei trys ir trys x minus du yra didesnis arba lygus dešimčiai.
Sprendimas
Paverskime kiekvieną nelygybę. Gauname lygiavertę nelygybių aibę: x yra didesnė už dvi, o x yra didesnė arba lygi keturioms.
Pavaizduokime koordinačių tiesėje skaičių aibę, kuri tenkina šias nelygybes.
Pastebime, kad sujungus šiuos rinkinius, t.y. šios nelygybių aibės sprendimas yra atviras skaitinis spindulys nuo dviejų iki plius begalybės.
Atsakymas: atidarykite skaičių spindulį nuo dviejų iki pliuso begalybės.
Pamokos tema: Tiesinių nelygybių su vienu kintamuoju sistemos sprendimas
Data: _______________
Klasė: 6a, 6b, 6c
Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis ir pirminis konsolidavimas.
Didaktinis tikslas: sudaryti sąlygas suvokti ir suprasti naujos edukacinės informacijos bloką.
Tikslai: 1) Švietimo: supažindinti su sąvokomis: nelygybių sistemų sprendimas, ekvivalentinės nelygybių sistemos ir jų savybės; išmokyti taikyti šias sąvokas sprendžiant paprastas nelygybių sistemas su vienu kintamuoju.
2) Vystymasis: skatinti mokinių kūrybinės, savarankiškos veiklos elementų ugdymą; lavinti kalbą, gebėjimą mąstyti, analizuoti, apibendrinti, aiškiai ir glaustai reikšti savo mintis.
3) Švietimas: pagarbaus požiūrio vienas į kitą ir atsakingo požiūrio į švietėjišką darbą ugdymas.
Užduotys:
kartoti teoriją skaitinių nelygybių ir skaitinių intervalų tema;
pateikite problemos, kurią galima išspręsti nelygybių sistema, pavyzdį;
svarstyti nelygybių sistemų sprendimo pavyzdžius;
dirbti savarankišką darbą.
Edukacinės veiklos organizavimo formos:- frontalinis – kolektyvinis – individualus.
Metodai: aiškinamasis – iliustracinis.
Pamokos planas:
1. Organizacinis momentas, motyvacija, tikslo išsikėlimas
2. Temos studijos atnaujinimas
3. Naujos medžiagos mokymasis
4. Pirminis naujos medžiagos konsolidavimas ir pritaikymas
5. Savarankiško darbo darbas
7. Pamokos apibendrinimas. Atspindys.
Užsiėmimų metu:
1. Organizacinis momentas
Nelygybė gali būti gera pagalba. Jums tereikia žinoti, kada kreiptis į jį pagalbos. Problemų formulavimas daugelyje matematikos taikymo sričių dažnai formuluojamas nelygybių kalba. Pavyzdžiui, daugelis ekonominių problemų kyla dėl tiesinių nelygybių sistemų tyrimo. Todėl svarbu mokėti spręsti nelygybių sistemas. Ką reiškia „išspręsti nelygybių sistemą“? Štai ką mes apžvelgsime šios dienos pamokoje.
2. Žinių atnaujinimas.
Darbas žodžiu su klase, trys mokiniai dirba naudodami individualias korteles.
Norėdami apžvelgti temos „Nelygybės ir jų savybės“ teoriją, atliksime testavimą, po to – patikrinimą ir pokalbį šios temos teorija. Į kiekvieną testo užduotį reikia atsakyti „Taip“ – paveikslėlis, „Ne“ – paveikslas ____
Bandymo rezultatas turėtų būti tam tikra figūra.
(atsakymas: ).
Nustatykite nelygybės ir skaitinio intervalo atitiktį
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"Matematika moko jus įveikti sunkumus ir ištaisyti savo klaidas." Raskite nelygybės sprendimo klaidą, paaiškinkite, kodėl buvo padaryta klaida, teisingą sprendimą užsirašykite į sąsiuvinį.
2x<8-6
x>-1
3. Naujos medžiagos studijavimas.
Kaip manote, kas vadinama nelygybių sistemos sprendimu?
(Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju sprendimas yra kintamojo, kuriam yra teisinga kiekviena iš sistemos nelygybių, reikšmė)
Ką reiškia „išspręsti nelygybių sistemą“?
(Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visus jos sprendimus arba įrodyti, kad sprendimų nėra)
Ką reikia padaryti norint atsakyti į klausimą „yra duotas skaičius
nelygybių sistemos sprendimas?
(Pakeiskite šį skaičių į abi sistemos nelygybes, jei nelygybės teisingos, tai duotasis skaičius yra nelygybių sistemos sprendimas, jei nelygybės neteisingos, tai duotasis skaičius nėra nelygybių sistemos sprendimas)
Suformuluokite nelygybių sistemų sprendimo algoritmą
1. Išspręskite kiekvieną sistemos nelygybę.
2. Grafiškai pavaizduokite kiekvienos nelygybės sprendinius koordinačių tiesėje.
3. Raskite koordinačių tiesės nelygybių sprendinių sankirtą.
4. Atsakymą parašykite skaičių intervalu.
Apsvarstykite pavyzdžius:
Atsakymas: 
Atsakymas: nėra sprendimų
4. Temos užtikrinimas.
Darbas su vadovėliu Nr.1016, Nr.1018, Nr.1022
5. Savarankiškas darbas pagal galimybes (užduočių kortelės mokiniams ant stalų)
Savarankiškas darbas
1 variantas
Išspręskite nelygybių sistemą:
