Neki ljudi riječ "napredovanje" tretiraju s oprezom, kao vrlo složen pojam iz odjeljaka viša matematika. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još uvijek postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "shvaćanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, nakon analize nekoliko elementarnih koncepata.
Matematički niz brojeva
Numeričkim nizom obično se naziva niz brojeva od kojih svaki ima svoj broj.
a 1 je prvi član niza;
i 2 je drugi član niza;
i 7 je sedmi član niza;
i n je n-ti član niza;
Međutim, ne zanima nas proizvoljan skup brojeva i brojeva. Usredotočit ćemo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.
a je vrijednost člana numeričkog niza;
n je njegov serijski broj;
f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.
Definicija
Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:
a n - vrijednost tekućeg člana aritmetičke progresije;
a n+1 - formula sljedećeg broja;
d - razlika (određeni broj).
Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog i takva aritmetička progresija će biti rastuća.
Na grafikonu ispod lako je vidjeti zašto se niz brojeva naziva "rastući".
U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Navedena vrijednost člana
Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti sekvencijalnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntog člana. Tradicionalni izračuni će oduzeti puno vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati pomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnožen s brojem željenog člana, umanjen za jedan.
Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.
Primjer izračunavanja vrijednosti zadanog pojma
Riješimo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.
Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:
Prvi član niza je 3;
Razlika u nizu brojeva je 1,2.
Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 članova
Rješenje: za određivanje vrijednosti zadanog pojma koristimo se formulom:
a(n) = a1 + d(n-1)
Zamjenom podataka iz izjave problema u izraz, imamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.
Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne zauzima više od 2 retka.
Zbroj zadanog broja članova
Vrlo često, u određenom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nema potrebe izračunavati vrijednosti svakog izraza i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji zbroj treba pronaći mali. U drugim slučajevima prikladnije je koristiti sljedeću formulu.
Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnožen s brojem člana n i podijeljen s dva. Ako u formuli vrijednost n-tog člana zamijenimo izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:
Primjer izračuna
Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:
Prvi član niza je nula;
Razlika je 0,5.
Zadatak zahtijeva određivanje zbroja članova niza od 56 do 101.
Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje količine progresije:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Prvo odredimo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Očito, da bi se saznao zbroj članova progresije od 56. do 101. potrebno je od S 101 oduzeti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Primjer praktične primjene aritmetičke progresije
Na kraju članka vratimo se na primjer aritmetičkog niza danog u prvom odlomku - taksimetar (taksimetar). Razmotrimo ovaj primjer.
Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja/km. Dužina putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.
1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.
30 - 3 = 27 km.
2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.
Članski broj - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).
Vrijednost člana je zbroj.
Prvi izraz u ovom problemu bit će jednak a 1 = 50 rubalja.
Razlika progresije d = 22 r.
broj koji nas zanima je vrijednost (27+1) člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra je 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji je duljina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela od zvijezde. Osim toga, različiti nizovi brojeva uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim područjima matematike.
Druga vrsta niza brojeva je geometrijska
Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u usporedbi s aritmetičkom progresijom. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.
N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;
b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;
q je nazivnik geometrijske progresije (konstantan broj).
Ako je grafikon aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijska progresija daje nešto drugačiju sliku:
Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na potenciju n umanjenu za jedan:
Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Zbroj zadanog broja članova također se izračunava pomoću posebne formule. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom umanjenim za jedan:
Ako se b n zamijeni pomoću formule koja je gore razmotrena, vrijednost zbroja prvih n članova niza brojeva koji se razmatra poprimit će oblik:
Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen na 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
I. V. Jakovljev | Materijali iz matematike | MathUs.ru
Aritmetička progresija je posebna vrsta niza. Stoga, prije definiranja aritmetičke (a potom i geometrijske) progresije, moramo ukratko raspraviti važan koncept niza brojeva.
Naknadna slijed
Zamislite uređaj na čijem se ekranu jedan za drugim prikazuju određeni brojevi. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ovaj skup brojeva je upravo primjer niza.
Definicija. Brojevni niz je skup brojeva u kojem se svakom broju može dodijeliti jedinstveni broj (tj. povezati s jednim prirodnim brojem)1. Broj n naziva se n-ti član niza.
Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj je 2, to je prvi član niza, koji se može označiti s a1; broj pet ima broj 6 je peti član niza, koji se može označiti s a5. Uopće, n-ti pojam nizovi su označeni s (ili bn, cn, itd.).
Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti član niza može odrediti nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira niz: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specificira niz: 1; 1; 1; 1; : : :
Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadrži "previše" brojeva za ponovno numeriranje. Skup R svih realnih brojeva također nije niz. Ove činjenice se dokazuju tijekom matematičke analize.
Aritmetička progresija: osnovne definicije
Sada smo spremni definirati aritmetičku progresiju.
Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član (počevši od drugog) jednak zbroju prethodnog člana i nekog fiksnog broja (koji se naziva razlika aritmetičke progresije).
Na primjer, niz 2; 5; 8; jedanaest; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 2 i razlikom 3. Niz 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 7 i razlikom 5. Niz 3; 3; 3; : : : je aritmetička progresija s razlikom jednakom nuli.
Ekvivalentna definicija: niz an naziva se aritmetičkom progresijom ako je razlika an+1 an konstantna vrijednost (neovisna o n).
Aritmetičku progresiju nazivamo rastućom ako je njezina razlika pozitivna, odnosno padajućom ako je njezina razlika negativna.
1 Ali ovdje je sažetija definicija: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N ! R.
Prema zadanim postavkama, nizovi se smatraju beskonačnima, odnosno sadrže beskonačan broj brojeva. Ali nitko nam ne smeta da razmatramo konačne nizove; zapravo, svaki konačni skup brojeva može se nazvati konačnim nizom. Na primjer, završni niz je 1; 2; 3; 4; 5 se sastoji od pet brojeva.
Formula za n-ti član aritmetičke progresije
Lako je razumjeti da je aritmetička progresija u potpunosti određena dvama brojevima: prvim članom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znajući prvi član i razliku, pronaći proizvoljan član aritmetičke progresije?
Nije teško dobiti traženu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Neka
aritmetička progresija s razlikom d. Imamo: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): |
|
Posebno pišemo: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
i sada postaje jasno da je formula za an: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Problem 1. U aritmetičkoj progresiji 2; 5; 8; jedanaest; : : : pronađite formulu za n-ti član i izračunajte stoti član.
Riješenje. Prema formuli (1) imamo:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Svojstvo i predznak aritmetičke progresije
Svojstvo aritmetičke progresije. U aritmetičkoj progresiji za bilo koji
Drugim riječima, svaki član aritmetičke progresije (počevši od drugog) je aritmetička sredina svojih susjednih članova.
Dokaz. Imamo: |
||||
a n 1 + a n+1 |
(d) + (an + d) |
|||
što je i bilo potrebno.
Općenitije, aritmetička progresija an zadovoljava jednakost
a n = a n k + a n+k
za svaki n > 2 i svaki prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Pokazuje se da formula (2) služi ne samo kao nužan nego i kao dovoljan uvjet da niz bude aritmetička progresija.
Znak aritmetičke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmetička progresija.
Dokaz. Prepišimo formulu (2) na sljedeći način:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Iz ovoga vidimo da razlika an+1 an ne ovisi o n, a to upravo znači da je niz an aritmetička progresija.
Svojstvo i predznak aritmetičke progresije mogu se formulirati u obliku jednog iskaza; Radi praktičnosti, učinit ćemo to za tri broja (to je situacija koja se često događa u problemima).
Karakterizacija aritmetičke progresije. Tri broja a, b, c tvore aritmetičku progresiju ako i samo ako je 2b = a + c.
Zadatak 2. (MSU, Ekonomski fakultet, 2007.) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 navedenim redom tvore padajuću aritmetičku progresiju. Pronađite x i označite razliku ove progresije.
Riješenje. Po svojstvu aritmetičke progresije imamo:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Ako je x = 1, tada dobivamo opadajuću progresiju od 8, 2, 4 s razlikom od 6. Ako je x = 5, tada dobivamo rastuću progresiju od 40, 22, 4; ovaj slučaj nije prikladan.
Odgovor: x = 1, razlika je 6.
Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
Legenda kaže da je jednog dana učitelj rekao djeci da pronađu zbroj brojeva od 1 do 100 i sjeo tiho čitati novine. Međutim, za nekoliko minuta jedan dječak je rekao da je riješio problem. Bio je to 9-godišnji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najvećih matematičara u povijesti.
Ideja malog Gaussa bila je sljedeća. Neka
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Zapišimo ovaj iznos obrnutim redoslijedom:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
i dodajte ove dvije formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Svaki član u zagradama jednak je 101, a takvih članova ima ukupno 100. Dakle
2S = 101 100 = 10100;
Ovu ideju koristimo za izvođenje formule zbroja
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Korisna modifikacija formule (3) dobiva se ako u nju zamijenimo formulu n-tog člana an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Zadatak 3. Odredi zbroj svih pozitivnih troznamenkastih brojeva djeljivih s 13.
Riješenje. Troznamenkasti brojevi, višekratnici od 13, tvore aritmetičku progresiju s prvim članom 104 i razlikom 13; N-ti član ove progresije ima oblik:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Otkrijmo koliko članova sadrži naša progresija. Da bismo to učinili, rješavamo nejednadžbu:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Dakle, u našoj progresiji ima 69 članova. Pomoću formule (4) nalazimo traženi iznos:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog zbrajanjem tri):
U ovoj progresiji razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije nazivaju se povećavajući se.
Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijska razlika \(d\) je jednaka minus šest.
I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju smanjujući se.
Zapis aritmetičke progresije
Progresija je označena malim latiničnim slovom.
Brojevi koji čine progresiju nazivaju se članova(ili elementi).
Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa u redu.
Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) sastoji se od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.
Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)
Rješavanje problema aritmetičke progresije
U načelu, gore predstavljene informacije već su dovoljne za rješavanje gotovo svih problema aritmetičke progresije (uključujući one ponuđene na OGE).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija određena je uvjetima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Riješenje:
Odgovor: \(b_5=23\)
Primjer (OGE).
Dana su prva tri člana aritmetičke progresije: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Riješenje:
|
Dobili smo prve elemente niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki se element razlikuje od susjeda istim brojem. Saznajmo koji tako da od sljedećeg elementa oduzmemo prethodni: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sada možemo vratiti našu progresiju na (prvi negativni) element koji nam je potreban. |
|
|
Spreman. Možete napisati odgovor. |
Odgovor: \(-3\)
Primjer (OGE).
Zadano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Riješenje:
|
|
Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razliku progresije. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
I sada možemo lako pronaći ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Spreman. Možete napisati odgovor. |
Odgovor: \(7,5\).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija definirana je sljedećim uvjetima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbroj prvih šest članova ove progresije.
Riješenje:
|
Moramo pronaći zbroj prvih šest članova progresije. Ali mi ne znamo njihova značenja; dan nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti jednu po jednu, koristeći ono što nam je dano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Traženi iznos je pronađen. |
Odgovor: \(S_6=9\).
Primjer (OGE).
U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Riješenje:
Odgovor: \(d=7\).
Važne formule za aritmetičku progresiju
Kao što vidite, mnogi problemi u aritmetičkoj progresiji mogu se riješiti jednostavno razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u tom lancu dobiva se dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).
Međutim, ponekad postoje situacije kada je odlučivanje "direktno" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već tristo osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li dodati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbroj prva sedamdeset i tri elementa. Bit ćeš umoran od brojanja...
Stoga se u takvim slučajevima stvari ne rješavaju “direktno”, već se koriste posebnim formulama izvedenim za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbroj \(n\) prvih članova.
Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj traženog elementa;
\(a_n\) – član progresije s brojem \(n\).
Ova formula nam omogućuje da brzo pronađemo čak i tristoti ili milijunti element, znajući samo prvi i razliku progresije.
Primjer.
Aritmetička progresija određena je uvjetima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Riješenje:
Odgovor: \(b_(246)=1850\).
Formula za zbroj prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje
\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija određena je uvjetima \(a_n=3,4n-0,6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Riješenje:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Da bismo izračunali zbroj prvih dvadeset i pet članova, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Pronađimo sada dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Pa, sada možemo lako izračunati potrebnu količinu. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Odgovor je spreman. |
Odgovor: \(S_(25)=1090\).
Za zbroj \(n\) prvih članova, možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite ga formulom \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobivamo:
Formula za zbroj prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje
\(S_n\) – traženi zbroj \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika progresije;
\(n\) – ukupan broj elemenata.
Primjer.
Nađite zbroj prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Riješenje:
Odgovor: \(S_(33)=-231\).
Složeniji problemi aritmetičke progresije
Sada imate sve informacije koje su vam potrebne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem zadataka u kojima ne samo da trebate primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici to može biti korisno ☺)
Primjer (OGE).
Nađite zbroj svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riješenje:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati istu stvar: prvo nalazimo \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Sada bih želio zamijeniti \(d\) u formulu za zbroj... i evo ga mala nijansa– ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko će pojmova trebati dodati. Kako saznati? Razmislimo. Prestat ćemo dodavati elemente kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. To jest, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračun bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Treba nam da \(a_n\) postane veći od nule. Saznajmo na kojem \(n\) će se to dogoditi. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Podijelimo obje strane nejednakosti s \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Prebacujemo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Izračunajmo... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...i ispada da je prvi pozitivan element imat će broj \(66\). Sukladno tome, zadnji negativni ima \(n=65\). Za svaki slučaj, provjerimo ovo. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Dakle, moramo dodati prvih \(65\) elemenata. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Odgovor je spreman. |
Odgovor: \(S_(65)=-630,5\).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija određena je uvjetima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključivo.
Riješenje:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
U ovom zadatku također trebate pronaći zbroj elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Za takav slučaj nemamo formulu. Kako odlučiti? |
|
|
Za našu progresiju \(a_1=-33\) i razliku \(d=4\) (uostalom, dodajemo četvorku prethodnom elementu da bismo pronašli sljedeći). Znajući to, nalazimo zbroj prvih \(42\)-y elemenata. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sada zbroj prvih \(25\) elemenata. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
I na kraju izračunavamo odgovor. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Odgovor: \(S=1683\).
Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove male praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.
Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :) Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap-dokaz govori da još ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, onako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i prijeći ću odmah na stvar.
Prvo, nekoliko primjera. Pogledajmo nekoliko skupova brojeva:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.
Prosudite sami. Prvi skup su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći je za jedan veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između niza stojeći brojevi već je jednak pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju postoje svi korijeni. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i u ovom slučaju svaki sljedeći element se jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).
Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se aritmetičke progresije. Dajmo strogu definiciju:
Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.
Notacija: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.
I samo par važnih napomena. Prvo, samo napredovanje se uzima u obzir naredio niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Brojevi se ne mogu mijenjati ili mijenjati.
Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačan napredak. Elipsa nakon četiri kao da nagovještava da dolazi još dosta brojeva. Beskrajno mnogo, na primjer. :)
Također bih želio napomenuti da se progresije mogu povećavati ili smanjivati. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Dobro, dobro: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:
Definicija. Aritmetička progresija se naziva:
- raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
- opadajući ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.
Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).
Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:
- Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
- Ako je $d \lt 0$, tada je progresija očito opadajuća;
- Konačno, tu je i slučaj $d=0$ - u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.
Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije navedene gore. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. Izgledat će ovako:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Kao što vidimo, u sva tri slučaja razlika je zapravo bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.
Uvjeti progresije i formula recidiva
Budući da se elementi naših nizova ne mogu zamijeniti, mogu se numerirati:
\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]
Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovi progresije. Označeni su brojem: prvi član, drugi član itd.
Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Ova se formula naziva rekurentna, jer pomoću nje možete pronaći bilo koji broj samo poznavanjem prethodnog (i zapravo svih prethodnih). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi izraz i razliku:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]
Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama priručnika i knjiga rješenja. I u svakom razumnom udžbeniku matematike je jedan od prvih.
Ipak, predlažem da malo vježbate.
Zadatak br. 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.
Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Odgovor: (8; 3; −2)
To je sve! Imajte na umu: naš napredak se smanjuje.
Naravno, $n=1$ se ne može zamijeniti - prvi član nam je već poznat. Međutim, zamjenom jedinice uvjerili smo se da čak i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.
Zadatak br. 2. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njegov sedmi član jednak −40, a sedamnaesti član jednak −50.
Riješenje. Napišimo stanje problema poznatim terminima:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]
Stavio sam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Sada primijetimo da ako oduzmemo prvu od druge jednadžbe (imamo pravo na to jer imamo sustav), dobivamo ovo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Tako je lako pronaći razliku u progresiji! Sve što preostaje je zamijeniti pronađeni broj u bilo koju od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]
Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Spreman! Problem je riješen.
Odgovor: (−34; −35; −36)
Primijetite zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku progresije pomnoženu s $n-m$ brojem:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]
Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo, što svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema napredovanja. Evo jasnog primjera za to:
Zadatak br. 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.
Riješenje. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, iz čega imamo:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Odgovor: 20.4
To je sve! Nismo trebali stvarati nikakve sustave jednadžbi i izračunavati prvi član i razliku - sve je riješeno u samo nekoliko redaka.
Sada pogledajmo drugu vrstu problema - traženje negativnih i pozitivnih uvjeta progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, a njen prvi član je negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.
U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "direktno" uzastopnim prolazom kroz elemente. Često su zadaci napisani tako da bi bez poznavanja formula izračuni oduzeli nekoliko listova papira – jednostavno bismo zaspali dok bismo pronašli odgovor. Stoga, pokušajmo te probleme riješiti na brži način.
Zadatak br. 4. Koliko ima negativnih članova u aritmetičkoj progresiji −38,5; −35,8; ...?
Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odakle odmah nalazimo razliku:
Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.
Pokušajmo saznati: do kada (tj. do čega prirodni broj$n$) negativnost izraza je sačuvana:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Posljednji redak zahtijeva neko objašnjenje. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, zadovoljavamo se samo cjelobrojnim vrijednostima broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16 .
Zadatak br. 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.
Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da lako možemo pronaći razliku progresije:
Uz to, pokušajmo izraziti peti član kroz prvi i razliku koristeći standardnu formulu:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim zadatkom. Otkrijmo na kojem će se mjestu u našem nizu pojaviti pozitivni brojevi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednakosti je broj 56.
Napomena: u zadnjem zadatku sve se svelo na stroga nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.
Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)
Aritmetička sredina i jednaka uvlačenja
Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnoj crti:
Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcuPosebno sam označio proizvoljne pojmove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne neke $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, itd. Zato što pravilo o kojem ću vam sada govoriti djeluje isto za sve "segmente".
A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se rekurentne formule i zapišimo je za sve označene pojmove:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Pa što onda? I činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ na istoj udaljenosti koja je jednaka $2d$. Možemo nastaviti ad infinitum, ali značenje je dobro ilustrirano slikom
Članci progresije leže na istoj udaljenosti od središta Što to znači za nas? To znači da se $((a)_(n))$ može pronaći ako su poznati susjedni brojevi:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Izveli smo izvrsnu izjavu: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini svojih susjednih članova! Štoviše: možemo se odmaknuti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i formula će i dalje biti točna:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Oni. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi problemi posebno skrojeni za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:
Zadatak br. 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ za koje su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u naznačenom redoslijedu).
Riješenje. Budući da su ti brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti preko susjednih elemenata:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Ispalo je klasično kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.
Odgovor: −3; 2.
Zadatak br. 7. Pronađite vrijednosti $$ za koje brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).
Riješenje. Izrazimo opet srednji član kroz aritmetičku sredinu susjednih članova:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Opet kvadratna jednadžba. I opet postoje dva korijena: $x=6$ i $x=1$.
Odgovor: 1; 6.
Ako u procesu rješavanja problema dođete do nekih brutalnih brojeva ili niste posve sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasna tehnika koja vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?
Recimo da smo u zadatku br. 6 dobili odgovore −3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Dopustite mi da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji moraju činiti aritmetičku progresiju. Zamijenimo $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Dobili smo brojeve −54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi problem, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.
Uglavnom, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što također treba zapamtiti:
Ako su tri broja takva da je drugi srednji prvo aritmetika i zadnje, onda ti brojevi čine aritmetičku progresiju.
U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu “konstrukciju”, valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz onoga o čemu je već bilo riječi.
Grupiranje i zbrajanje elemenata
Vratimo se ponovno na brojčanu os. Zabilježimo ondje nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:
Na brojevnoj crti označeno je 6 elemenataPokušajmo izraziti “lijevi rep” kroz $((a)_(n))$ i $d$, a “desni rep” kroz $((a)_(k))$ i $d$. Vrlo je jednostavno:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim počnemo koračati od tih elemenata u suprotnim smjerovima (jedni prema drugima ili obrnuto da se udaljavaju), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se može najjasnije grafički prikazati:
Jednaka udubljenja daju jednake količine Razumijevanje ova činjenica omogućit će nam rješavanje problema fundamentalno više razine složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:
Zadatak br. 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.
Riješenje. Zapišimo sve što znamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo će se rješenje izgraditi oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]
Za one u spremniku: izbacio sam ukupni množitelj od 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer ako proširimo zagrade, dobivamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Kao što vidite, koeficijent najvećeg člana je 11 - to je pozitivan broj, tako da imamo posla s parabolom s granama prema gore:
raspored kvadratna funkcija- parabola
Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati koristeći standardnu shemu (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije napomenuti da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, stoga je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Zato se nisam posebno žurio s otvaranjem zagrada: u izvornom obliku korijene je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Stoga je apscisa jednaka srednjoj vrijednosti aritmetički brojevi−66 i −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Što nam daje otkriveni broj? Uz to, traženi proizvod zauzima najmanja vrijednost(usput, nikada nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Ujedno, ovaj broj je razlika izvorne progresije, tj. našli smo odgovor. :)
Odgovor: −36
Zadatak br. 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju.
Riješenje. U suštini, moramo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i zadnji broj već poznati. Označimo brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:
\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]
Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako smo od brojeva $x$ i $z$ u ovaj trenutak ne možemo dobiti $y$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Sjetimo se aritmetičke sredine:
Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ koje smo upravo pronašli. Zato
Koristeći slično zaključivanje, nalazimo preostali broj:
Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Napišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.
Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Zadatak br. 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako znaš da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg umetnutog broja 56.
Riješenje. Još više težak zadatak, koji se, međutim, rješava po istoj shemi kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva treba umetnuti. Stoga pretpostavimo za određenost da će nakon uvrštavanja svega biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a zadnji 42. U tom slučaju tražena aritmetička progresija može se prikazati u obliku:
\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 na rubovima jednim korakom jedan prema drugom, tj. u središte niza. A ovo znači to
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ali tada se gore napisani izraz može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]
Sve što preostaje je pronaći preostale članove:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Riječni problemi s progresijama
Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa, jednostavno: za većinu učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi problemi mogu izgledati teški. Ipak, ovo su vrste problema koji se pojavljuju u OGE i Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.
Zadatak br. 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je dijelova tim proizveo u studenom?
Riješenje. Očito će broj dijelova navedenih po mjesecima predstavljati rastuću aritmetičku progresiju. Štoviše:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Stoga će u studenom biti proizvedena 202 dijela.
Zadatak br.12. Knjigoveška radionica je u siječnju ukoričila 216 knjiga, au svakom sljedećem mjesecu uvezala je 4 knjige više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?
Riješenje. Sve isto:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$
Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.
Pa, ako ste pročitali dovde, žurim vam čestitati: “naravno mladi borac„U aritmetičkim progresijama ste uspješno prošli. Možete sigurno prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučiti formulu za zbroj progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.
Ova se tema često čini složenom i nerazumljivom. Indeksi slova, n-ti član progresije, razlika progresije - sve je to nekako zbunjujuće, da... Shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će odmah biti bolje.)
Pojam aritmetičke progresije.
Aritmetička progresija vrlo je jednostavan i jasan koncept. Imate li kakvih nedoumica? Uzalud.) Uvjerite se sami.
Napisat ću nedovršeni niz brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Možete li produžiti ovu seriju? Koji će brojevi doći nakon petice? Svi... uh..., ukratko, svi će shvatiti da će na red doći brojevi 6, 7, 8, 9 itd.
Zakomplicirajmo zadatak. Dajem vam nedovršeni niz brojeva:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Moći ćete uhvatiti uzorak, proširiti seriju i imenovati sedmi broj reda?
Ako ste shvatili da je ovaj broj 20, čestitamo! Ne samo da ste osjećali ključne točke aritmetičke progresije, ali i uspješno ih iskoristio u poslovanju! Ako niste shvatili, čitajte dalje.
Sada prevedimo ključne točke iz osjeta u matematiku.)
Prva ključna točka.
Aritmetička progresija bavi se nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, crtati grafove i sve to... Ali ovdje produžujemo niz, nalazimo broj niza...
U redu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje s novom granom matematike. Odjeljak se zove "Series" i radi posebno s nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)
Druga ključna točka.
U aritmetičkoj progresiji svaki broj je različit od prethodnog u istom iznosu.
U prvom primjeru ta je razlika jedan. Koji god broj uzmete, jedan je veći od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri veći od prethodnog. Zapravo, to je trenutak koji nam daje priliku da shvatimo obrazac i izračunamo sljedeće brojeve.
Treća ključna točka.
Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali je jako, jako bitan. Evo ga: Svaki broj progresije je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti itd. Ako ih nasumično pomiješate, uzorak će nestati. Nestat će i aritmetička progresija. Ono što je ostalo je samo niz brojeva.
To je cijela poanta.
Naravno, novi pojmovi i oznake pojavljuju se u novoj temi. Morate ih poznavati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morat ćete odlučiti nešto poput:
Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.
Nadahnjujuće?) Slova, neki indeksi... A zadatak, usput, ne može biti jednostavniji. Samo trebate razumjeti značenje pojmova i oznaka. Sada ćemo svladati ovu materiju i vratiti se zadatku.
Termini i oznake.
Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem se svaki broj razlikuje od prethodnog u istom iznosu.
Ova količina se zove . Pogledajmo detaljnije ovaj koncept.
Razlika aritmetičke progresije.
Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.
Jedan važna točka. Molimo obratite pozornost na riječ "više". Matematički, to znači da je svaki broj progresije dodavanjem razlika aritmetičke progresije u odnosu na prethodni broj.
Za izračunavanje, recimo drugi brojevi serije, trebate prvi broj dodati upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za izračun peti- razlika je nužna dodati Do Četvrta, dobro, itd.
Razlika aritmetičke progresije Može biti pozitivan, tada će se svaki broj u nizu pokazati stvarnim više od prethodnog. Ova progresija se zove povećavajući se. Na primjer:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Ovdje se dobiva svaki broj dodavanjem pozitivan broj, +5 na prethodni.
Razlika može biti negativan, tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) smanjujući se.
Na primjer:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ovdje se također dobiva svaki broj dodavanjem na prethodni, ali već negativan broj, -5.
Usput, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njegovu prirodu - povećava li se ili smanjuje. To uvelike pomaže pri donošenju odluke, uočavanju grešaka i ispravljanju prije nego što bude prekasno.
Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.
Kako pronaći d? Jako jednostavno. Potrebno je oduzeti od bilo kojeg broja u nizu prethodni broj. Oduzeti. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)
Definirajmo npr. d za povećanje aritmetičke progresije:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Uzimamo bilo koji broj u nizu koji želimo, na primjer 11. Od njega oduzimamo prethodni broj oni. 8:
Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.
Možeš uzeti bilo koji broj progresije, jer za određenu progresiju d-uvijek isto. Makar negdje na početku reda, makar u sredini, makar bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Jednostavno zato što je prvi broj nijedan prethodni.)
Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodamo 3 - dobijemo šesti, to će biti 17. Šestom broju dodamo tri, dobijemo sedmi broj - dvadeset.
Idemo definirati d za silaznu aritmetičku progresiju:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Podsjećam vas da, bez obzira na znakove, odrediti d potreba s bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Odaberite bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. Zatim:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, razlomak, iracionalan, bilo koji broj.
Ostali pojmovi i oznake.
Svaki broj u nizu se zove član aritmetičke progresije.
Svaki član progresije ima svoj broj. Brojke su strogo redom, bez trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, dobro, razumijete...) Molimo vas da jasno razumijete - sami brojevi može biti apsolutno bilo što, cijelo, razlomak, negativno, što god, ali numeriranje brojeva- strogo u redu!
Kako napisati progresiju u opći pogled? Nema problema! Svaki broj u nizu napisan je kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije obično se koristi slovo a. Broj člana označen je indeksom dolje desno. Pojmove pišemo odvojene zarezom (ili točkom i zarezom), ovako:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- ovo je prvi broj, a 3- treće itd. Ništa otmjeno. Ova serija se može ukratko napisati ovako: (a n).
Progresije se događaju konačno i beskonačno.
Ultimativno progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.
Beskonačno progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)
Konačnu progresiju kroz niz možete napisati ovako, sa svim terminima i točkom na kraju:
1, 2, 3, 4, 5.
Ili ovako, ako ima puno članova:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
U kratkom unosu morat ćete dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:
(a n), n = 20
Beskonačna progresija može se prepoznati po elipsi na kraju retka, kao u primjerima u ovoj lekciji.
Sada možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, čisto radi razumijevanja značenja aritmetičke progresije.
Primjeri zadataka o aritmetičkoj progresiji.
Pogledajmo detaljno gore navedeni zadatak:
1. Ispišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.
Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. Dana je beskonačna aritmetička progresija. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Razlika u progresiji je poznata: d = -2,5. Moramo pronaći prvi, treći, četvrti, peti i šesti član ove progresije.
Radi jasnoće, zapisat ću niz prema uvjetima problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:
1, 5, 3, 4, 5, 6,....
a 3 = a 2 + d
Zamjena u izraz a 2 = 5 I d = -2,5. Ne zaboravite na minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Treći mandat se pokazao manjim od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, što znači da će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Računamo četvrti član naše serije:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Dakle, izračunati su termini od trećeg do šestog. Rezultat je sljedeća serija:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Ostaje pronaći prvi član a 1 prema poznatoj drugoj. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodavati a 2, A oduzeti:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je to. Odgovor na zadatak:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Usput bih želio napomenuti da smo ovaj zadatak riješili ponavljajući put. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prema prethodnom (susjednom) broju. U nastavku ćemo pogledati druge načine rada s progresijom.
Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.
Zapamtiti:
Ako znamo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član ove progresije.
Sjećaš li se? Ovaj jednostavan zaključak omogućuje vam rješavanje većine problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko tri glavna parametra: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Svi.
Naravno, sva prethodna algebra nije otkazana.) Nejednakosti, jednadžbe i druge stvari pridružene su progresiji. Ali prema samoj progresiji- sve se vrti oko tri parametra.
Kao primjer, pogledajmo neke popularne zadatke na ovu temu.
2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.
Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dano. Treba zapamtiti kako se broje članovi aritmetičke progresije, prebrojati ih i zapisati. Preporučljivo je ne propustiti riječi u uvjetima zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne brojiš dok ne pomodriš skroz.) U ovoj progresiji ima samo 5 (pet) članova:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Ostaje da zapišemo odgovor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Još jedan zadatak:
3. Odrediti hoće li broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n), ako a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Tko zna? Kako nešto odrediti?
Kako-kako... Zapišite progresiju u obliku niza i vidite hoće li tu biti sedmica ili ne! Mi računamo:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sada se jasno vidi da nas je tek sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušao u naš niz brojeva, pa stoga sedam neće biti član dane progresije.
Odgovor: ne.
Evo problema koji se temelji na stvarna opcija GIA:
4. Ispisano je nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:
...; 15; X; 9; 6; ...
Evo niza napisanog bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. U redu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Pogledajmo i vidimo što je moguće znati iz ove serije? Koja su tri glavna parametra?
Članski brojevi? Ovdje nema niti jednog broja.
Ali tri su broja i - pozor! - riječ "dosljedan" u stanju. To znači da su brojevi strogo u redu, bez praznina. Ima li dvoje u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da imam! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzmi od šest prethodni broj, tj. devet:
Ostaju samo sitnice. Koji će broj biti prethodni za X? Petnaest. To znači da se X može lako pronaći jednostavnim zbrajanjem. Dodajte razliku aritmetičke progresije na 15:
To je sve. Odgovor: x=12
Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ovi se problemi ne temelje na formulama. Čisto da bismo razumjeli značenje aritmetičke progresije.) Samo zapišemo niz brojeva i slova, pogledamo i shvatimo.
5. Nađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1,1.
6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog člana.
7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Pronađite 3.
8. Ispisano je nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Pronađite član progresije označen slovom x.
9. Vlak je krenuo sa stanice, ravnomjerno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovorite u km/sat.
10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.
Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Je li sve uspjelo? nevjerojatno! Možete svladati aritmetičku progresiju za više visoka razina, u sljedećim lekcijama.
Nije li sve uspjelo? Nema problema. U posebnom odjeljku 555 svi su ti problemi razvrstani dio po dio.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, na prvi pogled!
Inače, u slagalici vlaka postoje dva problema o koja se ljudi često spotiču. Jedan je isključivo u smislu napredovanja, a drugi je opći za bilo kakve probleme iz matematike, a također i fizike. Ovo je prijevod dimenzija iz jedne u drugu. Pokazuje kako te probleme treba rješavati.
U ovoj smo lekciji pogledali elementarno značenje aritmetičke progresije i njene glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d na brojke, napiši niz, sve će se riješiti.
Rješenje s prstima dobro funkcionira za vrlo kratke dijelove niza, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz dulji, izračuni postaju kompliciraniji. Na primjer, ako u problemu 9 u pitanju zamijenimo "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će se znatno pogoršati.)
A postoje i zadaci koji su jednostavni u biti, ali apsurdni u smislu izračuna, na primjer:
Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Pa što, hoćemo li zbrajati 1/6 mnogo, mnogo puta?! Možeš se ubiti!?
Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu kojom možete riješiti takve zadatke u minuti. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I ovaj problem je tamo riješen. U minuti.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
