U matematici je aritmetička sredina brojeva (ili samo prosjek) zbroj svih brojeva u danom skupu, podijeljen s njihovim brojem. Ovo je najopćenitiji i najrašireniji pojam prosjeka. Kao što ste već razumjeli, da biste pronašli prosječnu vrijednost, trebate zbrojiti sve brojeve koji su vam dani i rezultat podijeliti s brojem pojmova.
Što je aritmetička sredina?
Uzmimo primjer.
Primjer 1... Dati brojevi: 6, 7, 11. Moramo pronaći njihovu prosječnu vrijednost.
Odluka.
Prvo, pronađimo zbroj svih ovih brojeva.
Sada podijelimo rezultirajući zbroj s brojem članova. Budući da imamo tri člana, podijelit ćemo s tri.
Stoga je prosjek brojeva 6, 7 i 11 8. Zašto točno 8? Jer će zbroj 6, 7 i 11 biti jednak tri osmice. To se jasno vidi na ilustraciji.
Prosjek je pomalo poput "poravnavanja" niza brojeva. Kao što vidite, hrpe olovaka postale su jedna razina.
Razmotrimo još jedan primjer za učvršćivanje stečenog znanja.
Primjer 2. Dati brojevi: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Morate pronaći njihovu aritmetičku sredinu.
Odluka.
Pronalazimo iznos.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Podijelite s brojem pojmova (u ovom slučaju - 15).
Stoga je prosjek ove serije brojeva 22.
Pogledajmo sada negativne brojeve. Sjetimo se kako ih sažeti. Na primjer, imate dva broja 1 i -4. Pronađimo njihov zbroj.
1 + (-4) = 1 – 4 = -3
Imajući ovo na umu, razmotrite još jedan primjer.
Primjer 3. Pronađite prosječnu vrijednost niza brojeva: 3, -7, 5, 13, -2.
Odluka.
Pronađite zbroj brojeva.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Budući da postoji 5 članova, rezultirajući zbroj dijelimo s 5.
Stoga je aritmetička sredina brojeva 3, -7, 5, 13, -2 2,4.
U naše vrijeme tehnološkog napretka puno je prikladnije koristiti računalne programe za pronalaženje prosječne vrijednosti. Microsoft Office Excel jedan je od njih. Pronalaženje prosjeka u Excelu je brzo i jednostavno. Štoviše, ovaj je program uključen u programski paket Microsoft Office. Pogledajmo kratku uputu kako pronaći aritmetičku sredinu pomoću ovog programa.
Da biste izračunali prosječnu vrijednost niza brojeva, morate koristiti funkciju PROSJEČENJE. Sintaksa ove funkcije je:
\u003d Prosječno (argument1, argument2, ... argument255)
gdje su argument1, argument2, ... argument255 ili brojevi ili reference ćelija (ćelije znače raspone i nizove).
Da bi bilo jasnije, provjerimo stečeno znanje.
- Unesite brojeve 11, 12, 13, 14, 15, 16 u ćelije C1 - C6.
- Klikom na nju odaberite ćeliju C7. U ovoj ćemo ćeliji prikazati prosječnu vrijednost.
- Kliknite karticu Formule.
- Odaberite Više funkcija\u003e Statistički podaci da biste otvorili padajući popis.
- Odaberite PROSJEČNO. Nakon toga bi se trebao otvoriti dijaloški okvir.
- Odaberite i povucite stanice C1 - C6 tamo da biste postavili raspon u dijaloškom okviru.
- Potvrdite svoje postupke tipkom "OK".
- Ako ste sve učinili ispravno, u ćeliji C7 trebali biste dobiti odgovor - 13.7. Kada kliknete na ćeliju C7, funkcija (\u003d Prosjek (C1: C6)) prikazat će se na traci s formulama.
Vrlo je prikladno koristiti ovu funkciju za računovodstvo, fakturiranje ili kada samo trebate pronaći prosjek vrlo dugog niza brojeva. Stoga se često koristi u uredima i velikim tvrtkama. To vam omogućuje održavanje evidencije u redu i omogućuje vam brzi izračun nečega (na primjer, prosječni prihod mjesečno). Također, pomoću programa Excel možete pronaći prosječnu vrijednost funkcije.
Prosječno
Ovaj pojam ima druga značenja, vidi značenje.Prosječno (u matematici i statistici) skup brojeva je zbroj svih brojeva podijeljenih s njihovim brojem. To je jedna od najčešćih mjera središnjeg trenda.
Predložili su je (uz geometrijsku i harmoničnu sredinu) pitagorejci.
Posebni slučajevi aritmetičke sredine su srednja vrijednost (opće populacije) i srednja vrijednost uzorka (uzorci).
Uvod
Označimo skup podataka x = (x 1 , x 2 , …, x n), tada je srednja vrijednost uzorka obično označena vodoravnom trakom iznad varijable (x ¯ (\\ displaystyle (\\ bar (x))), koja se izgovara „ x crtom ").
Grčko slovo μ koristi se za označavanje aritmetičke sredine cijele populacije. Za slučajnu varijablu za koju se određuje srednja vrijednost, μ je vjerojatnosna sredina ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je skup x je zbirka slučajnih brojeva s vjerojatnosnom sredinom μ, tada za bilo koji uzorak x ja iz ove kolekcije μ \u003d E ( x ja ) je matematičko očekivanje ovog uzorka.
U praksi je razlika između μ i x ¯ (\\ displaystyle (\\ bar (x))) u tome što je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijelu populaciju. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerojatnosti), tada se x ¯ (\\ displaystyle (\\ bar (x))) (ali ne i μ) može tretirati kao slučajna varijabla koja ima raspodjelu vjerojatnosti po uzorku (raspodjela vjerojatnosti srednje vrijednosti).
Obje ove količine izračunavaju se na isti način:
X ¯ \u003d 1 n ∑ i \u003d 1 n x i \u003d 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\\ displaystyle (\\ bar (x)) \u003d (\\ frac (1) (n)) \\ sum _ (i \u003d 1) ^ (n) x_ (i) \u003d (\\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \\ cdots + x_ (n)).)
Ako x je slučajna varijabla, tada je matematičko očekivanje x može se smatrati aritmetičkom sredinom vrijednosti u ponovljenim mjerenjima veličine x... Ovo je manifestacija zakona velikih brojeva. Stoga se srednja vrijednost uzorka koristi za procjenu nepoznatih matematičkih očekivanja.
U elementarnoj algebri dokazano je da je srednja vrijednost n + 1 broj iznad prosjeka n brojevi ako i samo ako je novi broj veći od starog prosjeka, manje ako i samo ako je novi broj manji od prosjeka, a ne mijenja se ako i samo ako je novi broj jednak prosjeku. Više n, manja je razlika između novog i starog prosjeka.
Imajte na umu da postoji nekoliko drugih "srednjih" vrijednosti, uključujući srednju vrijednost snage, Kolmogorovu sredinu, harmonijsku sredinu, aritmetičko-geometrijsku sredinu i razne ponderirane prosjeke (npr. Ponderirana aritmetička sredina, ponderirana geometrijska sredina, ponderirana harmonička sredina).
Primjeri
- Za tri broja dodajte ih i podijelite s 3:
- Za četiri broja dodajte ih i podijelite s 4:
Ili jednostavnije 5 + 5 \u003d 10, 10: 2. Budući da smo dodali 2 broja, što znači koliko brojeva zbrojimo, dijelimo s toliko.
Kontinuirana slučajna varijabla
Za kontinuirano raspoređenu veličinu f (x) (\\ displaystyle f (x)), aritmetička sredina preko segmenta [a; b] (\\ displaystyle) definira se pomoću određenog integrala:
F (x) ¯ [a; b] \u003d 1 b - a ∫ abf (x) dx (\\ displaystyle (\\ overline (f (x))) _ () \u003d (\\ frac (1) (ba)) \\ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)
Neki problemi upotrebe srednje vrijednosti
Nedostatak robusnosti
Glavni članak: Robusnost u statisticiIako se aritmetička sredina često koristi kao prosjek ili središnja tendencija, to nije robusna statistika, što znači da na aritmetičku sredinu snažno utječu "velika odstupanja". Važno je napomenuti da za raspodjele s velikim koeficijentom iskrivljenosti aritmetička sredina možda neće odgovarati konceptu "srednje vrijednosti", a srednje vrijednosti iz robusnih statistika (na primjer, medijan) mogu bolje opisati središnji trend.
Klasičan primjer je izračunavanje prosječnog dohotka. Aritmetička sredina može se pogrešno protumačiti kao medijan, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s višim prihodima nego što zapravo jesu. "Prosječni" dohodak tumači se kao da je dohodak većine ljudi blizu ovog broja. Ovaj je "prosječni" (u smislu aritmetičke sredine) dohodak veći od dohotka većine ljudi, budući da visok dohodak s velikim odstupanjem od srednje vrijednosti čini aritmetičku sredinu jako iskrivljenom (za razliku od toga, medijan dohotka "opire se" takvoj pristranosti). Međutim, ovaj "prosječni" dohodak ne govori ništa o broju ljudi u blizini medijana dohotka (i ne govori ništa o broju ljudi blizu modalnog dohotka). Ipak, ako olako shvatite koncepte "prosjeka" i "većine ljudi", možete pogrešno zaključiti da većina ljudi ima prihode veće nego što zapravo jesu. Na primjer, izvještaj o "prosječnom" neto dohotku u Medini u Washingtonu, izračunat kao aritmetički prosjek godišnjih neto prihoda svih stanovnika, donio bi iznenađujuće velik broj zbog Billa Gatesa. Razmotrite uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti ispod je ovog prosjeka.
Zajednički interes
Glavni članak: Povrat na investicijuAko brojevi pomnožiti, ali ne preklopiti, trebate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident događa prilikom izračuna povrata ulaganja u financije.
Primjerice, ako su dionice u prvoj godini pale za 10%, a u drugoj su se povećale za 30%, tada nije ispravno izračunavati "prosječni" porast tijekom ove dvije godine kao aritmetičku sredinu (-10% + 30%) / 2 \u003d 10%; točan prosjek u ovom slučaju daje kumulativna godišnja stopa rasta, pri kojoj je godišnji rast samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Razlog tome je što postoci svaki put imaju novo polazište: 30% je 30% od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica na početku iznosila 30 dolara i pala je za 10%, početkom druge godine iznosi 27 dolara. Ako je dionica porasla za 30%, na kraju druge godine vrijedi 35,1 USD. Aritmetički prosjek ovog rasta iznosi 10%, ali budući da dionica iznosi samo 5,1 USD za dvije godine, prosječni rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 $:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) \u003d 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) \u003d 35,1 USD]. Ako na isti način koristimo aritmetičku sredinu od 10%, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) \u003d 36,3 USD].
Spoj na kraju 2. godine: 90% * 130% \u003d 117% za ukupni porast od 17% i prosječna složena kamata od 117% ≈ 108,2% (\\ displaystyle (\\ sqrt (117 \\%)) \\ približno 108,2 \\%) , odnosno prosječni godišnji rast od 8,2%.
Upute
Glavni članak: Statistika odredištaPri izračunavanju aritmetičke sredine neke varijable koja se ciklički mijenja (na primjer, faza ili kut), treba biti posebno oprezan. Na primjer, prosjek od 1 ° i 359 ° bio bi 1 ∘ + 359 ∘ 2 \u003d (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ circ) +359 ^ (\\ circ)) (2)) \u003d) 180 °. Ovaj je broj netočan iz dva razloga.
- Prvo, kutni standardi definirani su samo za raspon 0 ° do 360 ° (ili 0 do 2π ako se mjere u radijanima). Tako bi se isti par brojeva mogao zapisati kao (1 ° i −1 °) ili kao (1 ° i 719 °). Prosjek svakog para bit će različit: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 \u003d 0 ∘ (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ circ) + (- 1 ^ (\\ circ))) (2)) \u003d 0 ^ (\\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 \u003d 360 ∘ (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ circ) +719 ^ (\\ circ)) (2)) \u003d 360 ^ (\\ circ)).
- Drugo, u ovom bi slučaju 0 ° (ekvivalentno 360 °) bilo geometrijski bolja sredina, jer brojevi manje odstupaju od 0 ° od bilo koje druge vrijednosti (0 ° ima najmanju varijansu). Usporedite:
- broj 1 ° odstupa od 0 ° za samo 1 °;
- broj 1 ° odstupa od izračunatog prosjeka od 180 ° za 179 °.
Prosječna vrijednost za cikličku varijablu, izračunata pomoću gornje formule, umjetno će se pomaknuti od stvarnog prosjeka prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se srednja vrijednost izračunava na drugačiji način, naime, kao srednja vrijednost odabire se broj s najmanjom varijancom (središnja točka). Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (odnosno obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1 ° i 359 ° je 2 °, a ne 358 ° (na krugu između 359 ° i 360 ° \u003d\u003d 0 ° - jedan stupanj, između 0 ° i 1 ° - također 1 °, ukupno - 2 °).
Ponderirani prosjek - što je to i kako ga izračunati?
U procesu proučavanja matematike studenti se upoznaju s pojmom aritmetičke sredine. Kasnije, u statistici i nekim drugim znanostima, studenti se suočavaju s izračunavanjem drugih srednjih vrijednosti. Što mogu biti i po čemu se međusobno razlikuju?
Prosječne vrijednosti: značenje i razlike
Ne uvijek točni pokazatelji daju razumijevanje situacije. Da bi se procijenila ova ili ona situacija, ponekad je potrebno analizirati ogroman broj brojki. I tada u pomoć dolaze prosjeci. Omogućuju procjenu situacije u cjelini.
Od školskog doba mnogi se odrasli sjećaju postojanja aritmetičke sredine. Vrlo je lako izračunati - zbroj niza od n članova djeljiv je s n. Odnosno, ako trebate izračunati aritmetičku sredinu u nizu vrijednosti 27, 22, 34 i 37, tada morate riješiti izraz (27 + 22 + 34 + 37) / 4, budući da se u izračunima koriste 4 vrijednosti. U tom će slučaju potrebna vrijednost biti 30.
Često se u okviru školskog tečaja proučava i geometrijska sredina. Izračun ove vrijednosti temelji se na vađenju n-tog korijena umnoška od n pojmova. Ako uzmemo iste brojeve: 27, 22, 34 i 37, tada će rezultat izračuna biti 29,4.
Harmonična sredina u općeobrazovnoj školi obično nije predmet proučavanja. Ipak, koristi se prilično često. Ova vrijednost je recipročna aritmetička sredina i izračunava se kao količnik n - broja vrijednosti i zbroja 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Ako opet uzmemo isti niz brojeva za izračun, tada će harmonik biti 29,6.
Ponderirani prosjek: značajke
Međutim, sve gore navedene vrijednosti možda se neće koristiti svugdje. Na primjer, u statistici, pri izračunavanju nekih prosjeka, važnost igra "težina" svakog broja korištenog u izračunima. Rezultati su indikativniji i točniji jer uzimaju u obzir više informacija. Ova skupina vrijednosti zajednički se naziva "ponderiranim prosjekom". U školi ne prolaze, pa se vrijedi detaljnije zadržati na njima.
Prije svega, vrijedi reći što se podrazumijeva pod „težinom“ ove ili one vrijednosti. To ćete najlakše objasniti na konkretnom primjeru. Tjelesna temperatura svakog pacijenta mjeri se dva puta dnevno u bolnici. Od 100 pacijenata na različitim odjelima bolnice, 44 će imati normalnu temperaturu - 36,6 stupnjeva. Još 30 imat će povećanu vrijednost - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a preostala dva - 40. A ako uzmemo aritmetičku sredinu, tada će ta vrijednost općenito za bolnicu biti više od 38 stupnjeva! No, gotovo polovica pacijenata ima potpuno normalnu temperaturu. I ovdje će biti ispravnije koristiti ponderiranu prosječnu vrijednost, a "težina" svake vrijednosti bit će broj ljudi. U tom će slučaju rezultat izračuna biti 37,25 stupnjeva. Razlika je očita.
U slučaju izračuna ponderiranog prosjeka, "težina" se može uzeti kao broj pošiljki, broj ljudi koji rade u određenom danu, općenito, sve što se može izmjeriti i utjecati na konačni rezultat.
Sorte
Ponderirani prosjek odgovara aritmetičkoj sredini o kojoj se raspravljalo na početku članka. Međutim, prva vrijednost, kao što je već spomenuto, također uzima u obzir težinu svakog broja korištenog u izračunima. Uz to postoje i geometrijske i harmonijski ponderirane srednje vrijednosti.
Postoji još jedna zanimljiva varijacija koja se koristi u nizu brojeva. Ovo je ponderirani pokretni prosjek. Na temelju nje se izračunavaju trendovi. Uz same vrijednosti i njihove težine, tu se koristi i periodičnost. A pri izračunavanju prosječne vrijednosti u nekom vremenskom trenutku uzimaju se u obzir i vrijednosti za prethodne vremenske intervale.
Izračun svih ovih vrijednosti nije toliko težak, ali u praksi se obično koristi samo uobičajeni ponderirani prosjek.
Metode proračuna
U doba masovne informatizacije nema potrebe za ručnim izračunavanjem ponderiranog prosjeka. Međutim, bilo bi korisno znati formulu izračuna kako biste mogli provjeriti i, ako je potrebno, ispraviti dobivene rezultate.
Izračun je najlakše razmotriti na konkretnom primjeru.
Potrebno je saznati kolika je prosječna plaća u ovom poduzeću, uzimajući u obzir broj radnika koji primaju ovu ili onu zaradu.
Dakle, izračun ponderiranog prosjeka vrši se pomoću sljedeće formule:
x \u003d (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)
Primjerice, izračun će biti ovako:
x \u003d (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) \u003d (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 \u003d 33,48
Očito nema posebnih poteškoća u ručnom izračunavanju ponderiranog prosjeka. Formula za izračunavanje ove vrijednosti u jednoj od najpopularnijih aplikacija s formulama - Excel - izgleda kao funkcija SUMPRODUCT (niz brojeva; niz utega) / SUM (niz utega).
Kako mogu pronaći prosjek u excelu?
kako pronaći aritmetičku sredinu u excelu?
Vladimir09854
Jednostavno kao pita. Potrebne su samo 3 stanice da se nađe prosjek u excelu. U prvi ćemo napisati jedan broj, u drugi - drugi. A u trećoj ćemo ćeliji zakucati formulu koja će nam dati prosječnu vrijednost između ova dva broja iz prve i druge stanice. Ako se ćelija broj 1 zove A1, stanica broj 2 naziva se B1, tada u ćeliju s formulom morate napisati kako slijedi:
Ova formula izračunava aritmetičku sredinu dva broja.
Za ljepotu naših izračuna možete odabrati ćelije s linijama, u obliku ploče.
U samom Excelu postoji i funkcija za određivanje prosječne vrijednosti, ali ja koristim staromodnu metodu i unosim potrebnu formulu. Stoga sam siguran da će Excel izračunati točno onako kako mi treba i da neće smisliti neku vrstu zaokruživanja.
M3sergey
Vrlo je jednostavno ako su podaci već uneseni u ćelije. Ako vas samo zanima broj, dovoljno je odabrati željeni raspon / rasponi, a vrijednost zbroja tih brojeva, njihova aritmetička sredina i njihov broj pojavit će se u donjem desnom dijelu statusne trake.
Možete odabrati praznu ćeliju, kliknuti na trokut (padajući popis) "AutoSum" i tamo odabrati "Prosječno", a zatim se složiti s predloženim rasponom za izračun ili odabrati svoj vlastiti.
Napokon, formule možete koristiti izravno klikom na Umetni funkciju pored trake s formulama i adrese ćelije. Funkcija AVERAGE nalazi se u kategoriji "Statistički" i prihvaća kao argumente i brojeve i reference ćelija itd. Tamo možete odabrati i složenije opcije, na primjer AVERAGEIF - izračunavanje prosjeka prema stanju.
Pronađi prosjek u excelu je prilično jednostavan zadatak. Ovdje morate razumjeti želite li koristiti ovu prosječnu vrijednost u nekim formulama ili ne.
Ako trebate dobiti samo vrijednost, tada je dovoljno odabrati potreban raspon brojeva, nakon čega će excel automatski izračunati prosječnu vrijednost - ona će biti prikazana na statusnoj traci, naslov "Prosjek".
U slučaju kada želite koristiti dobiveni rezultat u formulama, možete to učiniti:
1) Zbroji stanice pomoću funkcije SUM i podijeli sve brojem brojeva.
2) Ispravnija opcija je uporaba posebne funkcije koja se naziva PROSJEČNO. Argumenti ove funkcije mogu biti brojevi određeni sekvencijalno ili raspon brojeva.
Vladimir tihonov
zaokružite vrijednosti koje će sudjelovati u izračunu, kliknite karticu "Formule", tamo ćete vidjeti "AutoSum" s lijeve strane i pored njega trokut usmjeren prema dolje. kliknite ovaj trokut i odaberite "Prosječno". Voila, gotovo) na dnu trake vidjet ćete prosjek :)
Ekaterina mutalapova
Krenimo od početka i redom. Što znači?
Prosjek je vrijednost koja je aritmetička sredina, tj. izračunava se dodavanjem skupa brojeva i dijeljenjem cjelokupnog zbroja brojeva s njihovim brojem. Na primjer, za brojeve 2, 3, 6, 7, 2 bit će ih 4 (zbroj brojeva 20 dijeli se s njihovim brojem 5)
U Excel proračunskoj tablici za mene osobno, najlakši način bio je koristiti formulu \u003d PROSJEČNO. Da biste izračunali prosječnu vrijednost, morate unijeti podatke u tablicu, ispod stupca podataka upisati funkciju \u003d PROSJEČNO (), a u zagradama naznačiti raspon brojeva u ćelijama, istaknuvši stupac podataka. Nakon toga pritisnite ENTER ili jednostavno kliknite lijevu tipku miša na bilo koju ćeliju. Rezultat će biti prikazan u ćeliji ispod stupca. Izgleda nerazumljivo, ali zapravo je to pitanje minuta.
Avanturist 2000
Ecxelov program je raznolik, pa postoji nekoliko opcija koje će vam omogućiti da pronađete prosječnu vrijednost:
Prva opcija. Jednostavno zbrojite sve stanice i podijelite s njihovim brojem;
Druga opcija. Koristite posebnu naredbu, u traženu ćeliju napišite formulu "\u003d PROSJEČNO (a zatim navedite raspon ćelija)";
Treća opcija. Ako odaberete potreban raspon, imajte na umu da se na donjoj stranici prikazuje i prosječna vrijednost u tim ćelijama.
Stoga postoji puno načina za pronalaženje prosječne vrijednosti, samo trebate odabrati najbolji za sebe i neprestano ga koristiti.
U programu Excel pomoću funkcije PROSJEČENJE možete izračunati aritmetičku prostu sredinu. Da biste to učinili, morate unijeti brojne vrijednosti. Pritisnite jednako i odaberite u Statističkoj kategoriji, među kojima odaberite PROSJEČNU funkciju
Također, koristeći statističke formule, možete izračunati ponderiranu aritmetičku sredinu, koja se smatra preciznijom. Da bismo ga izračunali, trebaju nam vrijednosti pokazatelja i učestalost.
Kako pronaći prosjek u Excelu?
Situacija je sljedeća. Postoji sljedeća tablica:
Trake zasjenjene crvenom bojom sadrže numeričke vrijednosti ocjena za predmete. U stupcu "Prosječna ocjena" želite izračunati njihov prosjek.
Problem je sljedeći: ima ukupno 60-70 predmeta, a neki su i na drugom listu.
Pogledao sam u drugi dokument, prosjek je već izračunat, a u ćeliji se nalazi formula poput
\u003d "naziv lista"! | E12
ali to je učinio neki programer koji je dobio otkaz.
Molim te reci mi tko to razumije.
Hector
U redak funkcija umetnete iz ponuđenih funkcija "PROSJEČNO" i odaberete odakle ih treba izračunati (B6: N6), na primjer. Ne znam točno o susjednim listovima, ali zasigurno je sadržan u standardnoj pomoći za Windows
Recite mi kako izračunati prosječnu vrijednost u Wordu
Molim vas, recite mi kako izračunati prosječnu vrijednost u programu Word. Naime, prosjek ocjena, a ne broj ljudi koji su dobili ocjene. 
Julia pavlova
Word može puno učiniti s makronaredbama. Pritisnite ALT + F11 i napišite makro program ..
Uz to, Insert-Object ... omogućit će vam da koristite druge programe, čak i Excel, za izradu lista s tablicom unutar Word dokumenta.
Ali u ovom slučaju, morate zapisati svoje brojeve u stupac tablice i unijeti prosjek u donju ćeliju istog stupca, zar ne?
Da biste to učinili, umetnite polje u donju ćeliju.
Umetni-polje ... -Formula
Sadržaj polja
[\u003d PROSJEČNO (VIŠE)]
daje prosjek zbroja gore navedenih ležećih stanica.
Ako odaberete polje i pritisnete desnu tipku miša, ono se može osvježiti ako su se brojevi promijenili,
pogledajte kod ili vrijednost polja, promijenite kôd izravno u polju.
Ako nešto pođe po zlu, izbrišite cijelo polje u ćeliji i ponovo ga napravite.
PROSJEK je skraćenica za prosjek, ABOVE (otprilike) otprilike, tj. Reda stanica iznad.
Ni sam sve to nisam znao, ali lako sam to otkrio u POMOĆI, naravno, malo razmislivši.
Zapamtiti!
Do naći aritmetičku sredinu, trebate dodati sve brojeve i njihov zbroj podijeliti s njihovim brojem.
Pronađite aritmetičku sredinu 2, 3 i 4.
Označimo aritmetičku sredinu slovom "m". Prema gornjoj definiciji, nalazimo zbroj svih brojeva.
Dobiveni iznos podijelite s brojem uzetih brojeva. Prema uvjetu imamo tri broja.
Kao rezultat, dobivamo aritmetička srednja formula:
Čemu služi aritmetička sredina?
Uz činjenicu da se neprestano nudi da se to može naći u lekcijama, pronalaženje aritmetičke sredine vrlo je korisno u životu.
Na primjer, recimo da ste odlučili prodati nogometne lopte. No budući da ste novi u ovom poslu, potpuno je neshvatljivo po kojoj cijeni vam prodati lopte.
Tada odlučite otkriti po kojoj cijeni konkurenti već prodaju nogometne lopte u vašem području. Otkrijmo cijene u trgovinama i napravimo tablicu.
Cijene lopti u trgovinama bile su potpuno različite. Koju bismo cijenu trebali odabrati za prodaju nogometne lopte?
Ako odaberete najnižu (290 rubalja), tada ćemo prodati robu s gubitkom. Ako odaberete najvišu (360 rubalja), kupci neće kupiti nogometne lopte od nas.
Trebamo prosječnu cijenu. Tu dolazi do spašavanja prosječno.
Izračunajmo aritmetičku sredinu cijena nogometnih lopti:
Prosječna cijena =
=
290 + 360 + 310
3
= 320
trljati.960
3
Tako smo dobili prosječnu cijenu (320 rubalja), po kojoj možemo prodati nogometnu loptu ne prejeftino i ne preskupo.
Prosječna brzina putovanja
Koncept je usko povezan s aritmetičkom sredinom prosječna brzina.
Promatrajući kretanje prometa u gradu, možete vidjeti da automobili ubrzavaju i idu velikom brzinom, a zatim usporavaju i idu malom brzinom.
Mnogo je takvih dionica duž rute vozila. Stoga se za praktičnost izračuna koristi koncept prosječne brzine kretanja.
Zapamtiti!
Prosječna brzina kretanja je cjelokupna prijeđena udaljenost podijeljena s cijelim vremenom kretanja.
Razmotrimo problem srednje brzine.
Zadatak broj 1503 iz udžbenika "Vilenkin razred 5"
Automobil se kretao 3,2 sata autocestom brzinom od 90 km / h, zatim 1,5 sata zemljanim putem brzinom 45 km / h i na kraju 0,3 sata seoskom cestom brzinom 30 km / h. Pronađite prosječnu brzinu vozila duž cijele staze.
Da biste izračunali prosječnu brzinu, morate znati cijelu udaljenost koju je automobil prešao i cijelo vrijeme dok se automobil kretao.
S 1 \u003d V 1 t 1S 1 \u003d 90 3,2 \u003d 288 (km)
- autocesta.S 2 \u003d V 2 t 2
S 2 \u003d 45 1,5 \u003d 67,5 (km) - zemljani put.
S 3 \u003d V 3 t 3
S 3 \u003d 30 0,3 \u003d 9 (km) - seoska cesta.
S \u003d S 1 + S 2 + S 3
S \u003d 288 + 67,5 + 9 \u003d 364,5 (km) - skroz prekriven automobilom.
T \u003d t 1 + t 2 + t 3
T \u003d 3,2 + 1,5 + 0,3 \u003d 5 (h) - cijelo vrijeme.
V cf \u003d S: t
V av \u003d 364,5: 5 \u003d 72,9 (km / h) - prosječna brzina vozila.
Odgovor: V prosjek \u003d 72,9 (km / h) - prosječna brzina vozila.
Mnogo je funkcija za pronalaženje prosječne vrijednosti u Excelu (bez obzira na to koliko je brojčana, tekstualna, postotna ili druga vrijednost). I svaki od njih ima svoje osobine i prednosti. Doista, u ovom zadatku mogu se postaviti određeni uvjeti.
Na primjer, prosječne vrijednosti niza brojeva u Excelu izračunavaju se pomoću statističkih funkcija. Također možete ručno unijeti vlastitu formulu. Razmotrimo razne mogućnosti.
Kako pronaći aritmetičku sredinu brojeva?
Da biste pronašli aritmetičku sredinu, dodajte sve brojeve u skupu i zbroj podijelite s brojem. Na primjer, ocjene učenika iz računarstva: 3, 4, 3, 5, 5. Što prelazi četvrtinu: 4. Pronašli smo aritmetičku sredinu po formuli: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Kako to brzo učiniti s Excel funkcijama? Uzmimo, na primjer, niz slučajnih brojeva u nizu:
Ili: aktivirajte ćeliju i jednostavno ručno unesite formulu: \u003d PROSJEČNO (A1: A8).
Sada da vidimo što još AVERAGE funkcija može učiniti.
Pronađite aritmetičku sredinu prva dva i zadnja tri broja. Formula: \u003d PROSJEČNA (A1: B1; F1: H1). Proizlaziti:
Prosjek prema stanju
Uvjet za pronalaženje aritmetičke sredine može biti numerički kriterij ili tekst. Upotrijebit ćemo funkciju: \u003d AVERAGEIF ().
Naći aritmetičku sredinu brojeva većih ili jednakih 10.
Funkcija: \u003d AVERAGEIF (A1: A8, "\u003e \u003d 10")
Rezultat upotrebe funkcije AVERAGEIF prema uvjetu "\u003e \u003d 10": Treći argument - "Raspon prosjeka" - izostavljen je. Prvo, nije potrebno. Drugo, raspon koji analizira program sadrži SAMO numeričke vrijednosti. Ćelije navedene u prvom argumentu pretraživat će se prema stanju navedenom u drugom argumentu.
Pažnja! Kriteriji pretraživanja mogu se odrediti u ćeliji. I u formuli navedite vezu do nje.
Pronađimo prosječnu vrijednost brojeva prema kriteriju teksta. Na primjer, prosječna prodaja proizvoda "stolovi".
Funkcija će izgledati ovako: \u003d AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Raspon - stupac s nazivima proizvoda. Kriterij pretraživanja je veza do ćelije s riječju "tablice" (možete umjesto riječi A7 umetnuti samu riječ "tablice"). Raspon prosjeka - one ćelije iz kojih će se uzimati podaci za izračunavanje prosjeka.
Kao rezultat izračuna funkcije dobivamo sljedeću vrijednost:
Pažnja! Za tekstualni kriterij (uvjet) mora se navesti raspon prosjeka.
Kako izračunati ponderiranu prosječnu cijenu u Excelu?
Kako smo znali ponderiranu prosječnu cijenu?
Formula: \u003d SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).
Pomoću formule SUMPRODUCT doznajemo ukupan prihod nakon prodaje cjelokupne količine robe. A funkcija SUM - zbraja količinu robe. Dijeljenjem ukupnog prihoda od prodaje proizvoda s ukupnim brojem jedinica proizvoda pronašli smo ponderiranu prosječnu cijenu. Ovaj pokazatelj uzima u obzir "težinu" svake cijene. Njegov udio u ukupnoj masi vrijednosti.
Standardno odstupanje: formula u Excelu
Razlikovati između standardne devijacije za opću populaciju i za uzorak. U prvom je slučaju korijen opće varijance. U drugom, iz varijance uzorka.
Da bi se izračunala ova statistika, sastavlja se formula varijance. Iz njega se vadi korijen. Ali Excel ima gotovu funkciju za pronalaženje standardne devijacije.
Standardno odstupanje vezano je uz mjerilo izvornih podataka. To nije dovoljno za figurativni prikaz varijacije analiziranog raspona. Koeficijent varijacije izračunava se da bi se dobila relativna razina varijance podataka:
standardna devijacija / aritmetička sredina
Formula u Excelu izgleda ovako:
STDEVP (raspon vrijednosti) / PROSJEK (raspon vrijednosti).
Koeficijent varijacije izračunava se kao postotak. Stoga postavljamo format postotka u ćeliji.
Prosječna plaća ... Prosječna životna dob ... Gotovo svaki dan čujemo ove fraze kojima se opisuje skup jednog broja. Ali neobično, "prosječna vrijednost" prilično je podmukao pojam, koji često dovodi u zabludu običnu osobu neiskusnu u matematičkoj statistici.
U čemu je problem?
Prosječna vrijednost najčešće znači aritmetičku sredinu koja se uvelike razlikuje pod utjecajem izoliranih činjenica ili događaja. I nećete dobiti stvarnu ideju o tome kako se točno distribuiraju vrijednosti koje proučavate.
Uzmimo klasičan primjer s prosječnom plaćom.
Neka apstraktna tvrtka ima deset zaposlenih. Devetero ih prima plaću od oko 50.000 rubalja, a jedna je 1.500.000 rubalja (čudnom slučajnošću, on je i izvršni direktor ove tvrtke).
Prosječna vrijednost u ovom slučaju bit će 195.150 rubalja, što je pogrešno, morate priznati.
Koje metode izračunavanja prosjeka postoje?
Prvi način je izračunavanje već spomenutog aritmetička sredina, što je zbroj svih vrijednosti podijeljenih s njihovim brojem.
- x - aritmetička sredina;
- x n - specifično značenje;
- n - broj vrijednosti.
- Dobro radi s normalnom raspodjelom vrijednosti uzorka;
- Jednostavno izračunati;
- Intuitivno razumljivo.
- Ne daje stvarnu ideju o raspodjeli vrijednosti;
- Nestabilna količina koja se lako emitira (kao što je slučaj s predsjednikom uprave).
Drugi način je izračunavanje moda, odnosno najčešća vrijednost.
- M 0 - moda;
- x 0 - donja granica intervala koji sadrži modu;
- n je veličina intervala;
- f m - frekvencija (koliko puta zaredom se javlja ta ili ona vrijednost);
- f m-1 - frekvencija intervala koji prethodi modalu;
- f m + 1 - frekvencija intervala nakon modalnog.
- Izvrsno za dobivanje ideje o javnom mnijenju;
- Pogodno za numeričke podatke (sezonske boje, bestseleri, ocjene);
- Lako za razumjeti.
- Moda jednostavno ne može biti (nema ponavljanja);
- Može biti nekoliko modova (multimodalna distribucija).
Treći način je izračunavanje medijani, odnosno vrijednost koja dijeli poredani uzorak na dvije polovice i nalazi se između njih. A ako takve vrijednosti nema, tada se aritmetička sredina između granica polovica uzorka uzima kao medijan.
- M e - medijan;
- x 0 - donja granica intervala koji sadrži medijan;
- h je veličina intervala;
- f i - učestalost (koliko puta zaredom se javlja ova ili ona vrijednost);
- S m-1 - zbroj frekvencija intervala koji prethode medijanu;
- f m je broj vrijednosti u medijanu intervala (njegova učestalost).
- Pruža najrealističniju i najreprezentativniju ocjenu;
- Otporan na emisije.
- Teže je izračunati, jer se uzorak mora naručiti prije izračuna.
Obuhvatili smo osnovne metode za pronalaženje prosjeka, tzv mjere središnjeg trenda(zapravo ih je više, ali ovi su najpopularniji).
Vratimo se sada našem primjeru i izračunajmo sve tri varijante prosjeka pomoću posebnih Excel funkcija:
- PROSJEČNO (broj1; [broj2]; ...) - funkcija za određivanje aritmetičke sredine;
- FASHION.ONE (broj1; [broj2]; ...) - modna funkcija (u starijim verzijama Excela korišten je MODA (broj1; [broj2]; ...));
- MEDIJAN (broj1; [broj2]; ...) - funkcija za pronalaženje medijana.
I evo vrijednosti koje smo dobili:
U ovom slučaju, moda i medijan puno bolje karakteriziraju prosječnu plaću u tvrtki.
Ali što učiniti kada uzorak ne sadrži 10 vrijednosti, kao u primjeru, već milijune? U Excelu je nemoguće izračunati, ali u bazi podataka u kojoj su pohranjeni vaši podaci nema problema.
Izračunavanje aritmetičke sredine u SQL-u
Ovdje je sve vrlo jednostavno, jer SQL pruža posebnu AVG agregatnu funkciju.
A da biste ga koristili, dovoljno je napisati sljedeći upit:
Računalni modus SQL
U SQL-u ne postoji posebna funkcija za pronalaženje moda, ali to možete jednostavno i brzo napisati sami. Da bismo to učinili, moramo saznati koja se od plaća najčešće ponavlja i odabrati najpopularniju.
Napišimo zahtjev:
/ * S VEZAMA se mora dodati u TOP () ako je set multimodalni, odnosno set ima nekoliko modova * / ODABERITE TOP (1) S VEZAMA plata KAO "Način plaće" OD ZAPOSLENIH GRUPA PO PLATI RED PO BROJ (*) DESC
Izračunavanje medijana u SQL-u
Kao i kod moda, SQL nema ugrađenu funkciju za izračunavanje medijana, ali postoji univerzalna funkcija za izračunavanje PERCENTILE_CONT percentila.
Sve izgleda ovako:
/ * U ovom slučaju, percentil je 0,5 i bit će medijan * / ODABERITE VRH (1) PERCENTILE_CONT (0,5) U GRUPI (REDOSLIJED PO plaći) NAD () KAO "Srednja plaća" OD zaposlenika
Bolje je pročitati više o tome kako funkcionira funkcija PERCENTILE_CONT u pomoći za Microsoft i Google BigQuery.
Koji način koristiti?
Iz navedenog proizlazi da je medijan najbolji način za izračunavanje prosjeka.
Ali nije uvijek tako. Ako radite s prosjekom, pripazite multimodalnu distribuciju:
Grafikon prikazuje bimodalnu raspodjelu s dva vrha. Takva situacija može se pojaviti, na primjer, prilikom glasovanja na izborima.
U ovom su slučaju aritmetička sredina i medijan vrijednosti koje su negdje između i one neće reći ništa o tome što se stvarno događa i bolje je odmah prepoznati da imate posla s bimodalnom raspodjelom prijavljivanjem dva načina.
Još bolje, podijelite uzorak u dvije skupine i za svaku prikupite statistiku.
Zaključak:
Pri odabiru metode za pronalaženje srednje vrijednosti, potrebno je uzeti u obzir prisutnost odstupanja, kao i normalnu raspodjelu vrijednosti u uzorku.
Konačni izbor mjere središnjeg trenda uvijek leži na analitičaru.
U većini slučajeva podaci su koncentrirani oko neke središnje točke. Stoga je za opis bilo kojeg skupa podataka dovoljno navesti prosječnu vrijednost. Razmotrimo uzastopno tri numeričke karakteristike koje se koriste za procjenu srednje vrijednosti raspodjele: aritmetička sredina, medijan i način.
Prosječno
Aritmetička sredina (često se jednostavno naziva srednja vrijednost) najčešća je procjena srednje vrijednosti raspodjele. Rezultat je dijeljenja zbroja svih promatranih numeričkih vrijednosti njihovim brojem. Za uzorak brojeva X 1, X 2, ..., X n, srednja vrijednost uzorka (označena simbolom ) je jednako \u003d (X 1 + X 2 + ... + X n) / n, ili
gdje je srednja vrijednost uzorka, n - veličina uzorka, x ja - i-ti element uzorka.
Preuzmite bilješku u formatu ili primjere u formatu
Razmotrite izračunavanje aritmetičke sredine petogodišnjeg prosječnog godišnjeg prinosa 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova (slika 1).
Lik: 1. Prosječni godišnji prinosi 15 uzajamnih fondova s \u200b\u200bvrlo visokim rizikom
Srednja vrijednost uzorka izračunava se na sljedeći način:
Ovo je dobar povrat, posebno u usporedbi s 3-4% prihoda koji su štediše banke ili kreditne unije primili u istom vremenskom razdoblju. Ako naručite povrate, lako je vidjeti da osam fondova ima veće prinose, a sedam - ispod prosjeka. Aritmetička sredina djeluje kao točka ravnoteže, tako da fondovi s niskim prihodima uravnotežuju fondove s visokim prihodima. Svi su elementi uzorka uključeni u izračunavanje prosjeka. Nijedna druga procjena srednje vrijednosti raspodjele nema ovo svojstvo.
Kada treba izračunati aritmetičku sredinu.Budući da aritmetička sredina ovisi o svim elementima uzorka, prisutnost ekstremnih vrijednosti značajno utječe na rezultat. U takvim situacijama aritmetička sredina može iskriviti značenje numeričkih podataka. Stoga je prilikom opisivanja skupa podataka koji sadrži ekstremne vrijednosti potrebno naznačiti medijan ili aritmetičku sredinu i medijanu. Primjerice, ako iz uzorka uklonite povrat fondova za Emerging Growth fond, prosječni povrat uzorka od 14 fondova smanjit će se za gotovo 1% na 5,19%.
Medijan
Medijana je medijana uređenog niza brojeva. Ako niz ne sadrži dvostruke brojeve, tada će polovica njegovih elemenata biti manje, a upola više od medijana. Ako uzorak sadrži ekstremne vrijednosti, za procjenu srednje vrijednosti bolje je koristiti medijan, a ne aritmetičku sredinu. Da biste izračunali medijan uzorka, prvo ga trebate naručiti.
Ova je formula dvosmislena. Njegov rezultat ovisi o tome je li broj paran ili neparan n:
- Ako uzorak sadrži neparan broj elemenata, medijan je (n + 1) / 2th element.
- Ako uzorak sadrži paran broj elemenata, medijan leži između dva srednja elementa uzorka i jednaka je aritmetičkoj sredini izračunatoj za ova dva elementa.
Da biste izračunali medijan uzorka od 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova, prvo trebate sortirati podatke (slika 2). Tada će medijan biti nasuprot broju srednjeg elementa uzorka; u našem primjeru br. 8. Excel ima posebnu funkciju \u003d MEDIAN (), koja radi i s neuređenim nizovima.
Lik: 2. Srednja vrijednost 15 fondova
Dakle, medijan je 6,5. To znači da isplativost jedne polovice sredstava s vrlo visokom razinom rizika ne prelazi 6,5, dok profitabilnost druge polovice ne prelazi. Imajte na umu da medijan 6,5 nije puno veći od prosjeka 6,08.
Ako iz uzorka uklonimo povrat fonda za porast u RS-u, tada će se medijan preostalih 14 fondova smanjiti na 6,2%, odnosno ne toliko značajno kao aritmetička sredina (slika 3).
Lik: 3. Medijan 14 fondova
Moda
Izraz je prvi put smislio Pearson 1894. Moda je broj koji se najčešće pojavljuje u uzorku (najmoderniji). Moda dobro opisuje, na primjer, tipičnu reakciju vozača na prometni znak da zaustave vožnju. Klasičan primjer uporabe mode je odabir veličine proizvedene serije cipela ili boje pozadine. Ako distribucija ima nekoliko načina, kaže se da je multimodalna ili multimodalna (ima dva ili više "vrhova"). Multimodalnost distribucije daje važne informacije o prirodi varijable koja se proučava. Na primjer, u sociološkim istraživanjima, ako varijabla predstavlja sklonost ili stav prema nečemu, tada multimodalnost može značiti da postoji nekoliko definitivno različitih mišljenja. Multimodalnost također služi kao pokazatelj da uzorak nije homogen te da se promatranja mogu generirati s dvije ili više "preklopljenih" raspodjela. Za razliku od aritmetičke sredine, outlieri ne utječu na modu. Na primjer, za kontinuirano distribuirane slučajne varijable, za pokazatelje prosječnih godišnjih prinosa uzajamnih fondova, moda ponekad uopće ne postoji (ili nema smisla). Budući da ti pokazatelji mogu poprimiti širok spektar vrijednosti, ponovljene vrijednosti izuzetno su rijetke.
Kvartili
Kvartili su mjerni podaci koji se najčešće koriste za procjenu raspodjele podataka pri opisivanju svojstava velikih numeričkih uzoraka. Dok medijan dijeli uređeni niz na pola (50% elemenata niza manje je od medijana i 50% više), kvartili dijele poredani skup podataka na četiri dijela. Vrijednosti Q 1, medijan i Q 3 su 25., 50. i 75. percentil. Prvi kvartil, Q 1, broj je koji dijeli uzorak na dva dijela: 25% predmeta je manje, a 75% više od prvog kvartila.
Treći kvartil, Q 3, broj je koji također dijeli uzorak na dva dijela: 75% elemenata je manje, a 25% je više od trećeg kvartila.
Za izračunavanje kvartila u verzijama Excela prije 2007. korištena je funkcija \u003d KVARTIL (niz; dio). Počevši od programa Excel2010, primjenjuju se dvije funkcije:
- \u003d QUARTILE.INC (niz, dio)
- \u003d QUARTILE.EXC (niz, dio)
Te dvije funkcije daju malo različite vrijednosti (slika 4). Na primjer, pri izračunu kvartila uzorka koji sadrži podatke o prosječnim godišnjim prinosima 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova, Q 1 \u003d 1,8 ili –0,7 za QUARTILE.INCL odnosno QUARTILE.EXCL. Inače, ranije korištena funkcija QUARTILE odgovara modernoj funkciji QUARTILE. Da biste izračunali kvartile u Excelu pomoću gornjih formula, niz podataka ne treba naručiti.
Lik: 4. Izračun kvartila u Excelu
Naglasimo opet. Excel može izračunati kvartile za jednodimenzionalne diskretne serijekoji sadrži vrijednosti slučajne varijable. Izračun kvartila za dodjelu na temelju frekvencije dan je u sljedećem odjeljku.
Geometrijska sredina
Za razliku od aritmetičke sredine, geometrijska sredina omogućuje vam procjenu stupnja promjene varijable tijekom vremena. Geometrijska sredina je korijen n-ti stupanj iz djela n vrijednosti (u Excelu se koristi funkcija \u003d SRGEOM):
G \u003d (X 1 * X 2 * ... * X n) 1 / n
Sličan parametar - geometrijska sredina stope povrata - određuje se formulom:
G \u003d [(1 + R1) * (1 + R2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,
gdje R i - stopa povrata za jath vremensko razdoblje.
Na primjer, pretpostavimo da je početno ulaganje 100 000 USD. Do kraja prve godine pada na 50 000 USD, a do kraja druge godine vraća se na izvornih 100 000 USD. Stopa povrata ove investicije tijekom dvogodišnjeg razdoblja jednako je 0, jer su početni i konačni fondovi međusobno jednaki. Međutim, aritmetički prosjek godišnjih stopa povrata je \u003d (–0,5 + 1) / 2 \u003d 0,25 ili 25%, budući da je stopa povrata u prvoj godini R 1 \u003d (50 000 - 100 000) / 100 000 \u003d –0,5 , a u drugom R 2 \u003d (100 000 - 50 000) / 50 000 \u003d 1. Istodobno, geometrijska sredina stope dobiti za dvije godine je: G \u003d [(1–0,5) * (1 + 1 )] 1/2 - 1 \u003d ½ - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0. Dakle, geometrijska sredina točnije odražava promjenu (točnije, izostanak promjena) u opsegu ulaganja tijekom dvogodišnjeg razdoblja od aritmetičke sredine.
Zanimljivosti.Prvo, geometrijska sredina uvijek će biti manja od aritmetičke sredine istih brojeva. Osim kad su svi uzeti brojevi međusobno jednaki. Drugo, uzimajući u obzir svojstva pravokutnog trokuta, možete razumjeti zašto se srednja vrijednost naziva geometrijskom. Visina pravokutnog trokuta, spuštena na hipotenuzu, proporcionalni je prosjek između projekcija nogu na hipotenuzu, a svaka kateta je prosječni proporcionalni odnos između hipotenuze i njegove projekcije na hipotenuzu (slika 5.). To daje geometrijski način konstrukcije geometrijske sredine dvaju (duljina) segmenata: trebate izgraditi krug na zbroju ta dva segmenta kao u promjeru, tada će visina, vraćena od točke njihove veze do sjecišta s kružnicom, dati željenu vrijednost:
Lik: 5. Geometrijska priroda geometrijske sredine (crtež s Wikipedije)
Drugo važno svojstvo numeričkih podataka je njihovo varijacijakarakterizirajući stupanj varijance podataka. Dva različita uzorka mogu se razlikovati i u srednjim vrijednostima i u varijacijama. Međutim, kao što je prikazano na sl. 6 i 7, dva uzorka mogu imati iste varijacije, ali različita sredstva ili ista sredstva i potpuno različite varijacije. Podaci koji odgovaraju poligonu B na sl. 7, mijenja se mnogo manje od podataka na kojem je poligon A.
Lik: 6. Dvije simetrične raspodjele u obliku zvona s istim rasponom i različitim srednjim vrijednostima
Lik: 7. Dvije simetrične raspodjele u obliku zvona s jednakim srednjim vrijednostima i različitim raspršenjem
Postoji pet procjena varijacije podataka:
- opseg,
- interkvartilni Raspon,
- disperzija,
- standardna devijacija,
- koeficijent varijacije.
Ljuljačka
Raspon je razlika između najvećeg i najmanjeg elementa u uzorku:
Prijeđite prstom \u003d X Maks - X Min
Raspon uzorka koji sadrži podatke o prosječnim godišnjim prinosima 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova može se izračunati pomoću uređenog niza (vidi sliku 4): Raspon \u003d 18,5 - (–6,1) \u003d 24,6. To znači da je razlika između najvećeg i najnižeg prosječnog godišnjeg povrata sredstava s vrlo visokom razinom rizika 24,6%.
Span mjeri cjelokupno širenje podataka. Iako je veličina uzorka vrlo jednostavna procjena ukupnog širenja podataka, slabost joj je u tome što ne uzima u obzir kako se podaci točno raspoređuju između minimalnog i maksimalnog elementa. Taj se efekt jasno vidi na sl. 8, koji ilustrira uzorke istog raspona. Skala B pokazuje da ako uzorak sadrži barem jednu ekstremnu vrijednost, ispada da je raspon uzorka vrlo netočna procjena širenja podataka.
Lik: 8. Usporedba tri uzorka s istim rasponom; trokut simbolizira potporu vage i njegovo mjesto odgovara srednjoj vrijednosti uzorka
Interkvartilni Raspon
Interkvartilni, odnosno srednji raspon je razlika između trećeg i prvog kvartila uzorka:
Interkvartilni raspon \u003d Q 3 - Q 1
Ova vrijednost omogućuje procjenu širenja 50% elemenata i zanemarivanje utjecaja ekstremnih elemenata. Interkvartilni raspon za uzorak prosječnih godišnjih prinosa 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova može se izračunati pomoću podataka sa slike. 4 (na primjer, za funkciju QUARTILE.EXC): Interkvartilni raspon \u003d 9,8 - (–0,7) \u003d 10,5. Interval omeđen brojevima 9,8 i –0,7 često se naziva srednjom polovicom.
Treba imati na umu da vrijednosti Q 1 i Q 3, a time i interkvartilni raspon, ne ovise o prisutnosti odstupanja, budući da njihov izračun ne uzima u obzir bilo koju vrijednost koja bi bila manja od Q 1 ili veća od Q 3. Zbrojeni rezultati, poput medijana, prvog i trećeg kvartila i interkvartilnog raspona, na koje ne utječu odstupanja, nazivaju se robusnim mjerama.
Iako raspon i međukvartilni raspon daju procjenu ukupnog, odnosno srednjeg širenja uzorka, niti jedna od tih procjena ne uzima u obzir način na koji se podaci raspoređuju. Disperzija i standardno odstupanjesu lišeni ovog nedostatka. Ovi pokazatelji omogućuju vam procjenu stupnja kolebanja podataka oko prosjeka. Odstupanje uzorka je aproksimacija aritmetičke sredine, izračunata iz kvadrata razlika između svakog elementa uzorka i srednje vrijednosti uzorka. Za uzorak X 1, X 2, ... X n, varijansa uzorka (označena simbolom S 2 data je sljedećom formulom:
Općenito, varijanca uzorka je zbroj kvadrata razlika između elemenata uzorka i srednje vrijednosti uzorka, podijeljen s vrijednošću jednakom veličini uzorka minus jedan:
gdje - aritmetička sredina, n - veličina uzorka, X i - jath elementa uzorka x... U Excelu prije 2007. godine za izračunavanje varijance uzorka koristila se funkcija \u003d VARP (); od 2010. koristi se funkcija \u003d VARV ().
Najpraktičnija i najprihvaćenija procjena širenja podataka je standardno odstupanje uzorka... Ovaj pokazatelj označen je simbolom S i jednak je kvadratnom korijenu varijance uzorka:
U Excelu prije 2007. godine za izračunavanje standardnog odstupanja uzorka koristila se funkcija \u003d STDEV (), a od 2010. koristi se funkcija \u003d STDEV.V (). Za izračun ovih funkcija, skup podataka može biti neuređen.
Ni varijansa uzorka ni standardno odstupanje uzorka ne mogu biti negativni. Jedina situacija u kojoj pokazatelji S 2 i S mogu biti nula je ako su svi elementi uzorka međusobno jednaki. U ovom vrlo nevjerojatnom slučaju raspon i interkvartilni raspon također su nula.
Numerički podaci u osnovi su nestabilni. Svaka varijabla može poprimiti mnogo različitih vrijednosti. Na primjer, različiti uzajamni fondovi imaju različite stope povrata i gubitka. Zbog varijabilnosti numeričkih podataka, vrlo je važno proučavati ne samo procjene srednje vrijednosti koje su kumulativne prirode, već i procjene varijance koje karakteriziraju širenje podataka.
Varijansa i standardna devijacija omogućuju vam procjenu širenja podataka oko srednje vrijednosti, drugim riječima, da biste utvrdili koliko je elemenata uzorka manje od srednje, a koliko više. Disperzija ima neka vrijedna matematička svojstva. Međutim, njegova vrijednost je kvadrat jedinice mjere - kvadratni postotak, kvadratni dolar, kvadratni inč itd. Stoga je prirodna mjera varijance standardno odstupanje, koje se izražava u zajedničkim mjernim jedinicama - postotku prihoda, dolarima ili inčima.
Standardno odstupanje omogućuje vam procjenu količine fluktuacije elemenata uzorka oko srednje vrijednosti. U gotovo svim situacijama većina promatranih vrijednosti leži u intervalu plus ili minus jedno standardno odstupanje od srednje vrijednosti. Stoga je, znajući aritmetičku sredinu elemenata uzorka i standardno odstupanje uzorka, moguće odrediti interval kojem pripada većina podataka.
Standardno odstupanje povrata za 15 vrlo rizičnih uzajamnih fondova iznosi 6,6 (slika 9). To znači da se profitabilnost glavnine sredstava razlikuje od prosječne vrijednosti za najviše 6,6% (tj. Oscilira u rasponu od - S \u003d 6,2 - 6,6 \u003d -0,4 do + S \u003d 12,8). Zapravo, u ovom intervalu leži petogodišnji prosječni godišnji povrat od 53,3% (8 od 15) sredstava.
Lik: 9. Standardno odstupanje uzorka
Imajte na umu da kako se zbrajaju razlike na kvadrat, uzorak dalje od srednje dobiva veću težinu od bližeg uzorka. Ovo je svojstvo glavni razlog što se aritmetička sredina najčešće koristi za procjenu srednje vrijednosti raspodjele.
Koeficijent varijacije
Za razliku od prethodnih procjena širenja, koeficijent varijacije je relativna procjena. Uvijek se mjeri u postocima, a ne u jedinici izvornih podataka. Koeficijent varijacije, označen s CV, mjeri disperziju podataka u odnosu na srednju vrijednost. Koeficijent varijacije jednak je standardnoj devijaciji podijeljenoj s aritmetičkom sredinom i pomnoženoj sa 100%:
gdje S - standardno odstupanje uzorka, - srednja vrijednost uzorka.
Koeficijent varijacije omogućuje vam usporedbu dva uzorka, čiji su elementi izraženi u različitim jedinicama. Na primjer, upravitelj dostave pošte namjerava obnoviti vozni park. Pri utovaru paketa treba uzeti u obzir dvije vrste ograničenja: težina (u funtama) i zapremina (u kubičnim metrima) svakog paketa. Pretpostavimo da je za uzorak od 200 vreća prosječna težina 26 kilograma, standardno odstupanje težine 3,9 kilograma, prosječna zapremina vreće 8,8 kubičnih stopa, a standardno odstupanje 2,2 kubična stope. Kako uspoređujete težinu i volumen raspona vrećica?
Budući da se mjerne jedinice za težinu i zapreminu međusobno razlikuju, upravitelj mora usporediti relativni raspon tih vrijednosti. Koeficijent varijacije težine je CV W \u003d 3,9 / 26,0 * 100% \u003d 15%, a koeficijent varijacije volumena CV V \u003d 2,2 / 8,8 * 100% \u003d 25%. Dakle, relativni raspon u volumenu paketa je mnogo veći od relativnog raspona u njihovoj težini.
Distribucijski obrazac
Treće važno svojstvo uzorka je oblik njegove distribucije. Ova raspodjela može biti simetrična ili asimetrična. Da bi se opisao oblik raspodjele, potrebno je izračunati njegovu srednju i medijan. Ako se ova dva pokazatelja podudaraju, varijabla se smatra simetrično raspoređenom. Ako je srednja vrijednost varijable veća od medijana, njezina raspodjela ima pozitivan iskorak (slika 10). Ako je medijan veći od srednje vrijednosti, raspodjela varijable negativno je iskrivljena. Pozitivni iskorak nastaje kada se srednja vrijednost poveća na neobično visoke vrijednosti. Negativni iskosi nastaju kada se srednja vrijednost smanji na neobično male vrijednosti. Varijabla je simetrično raspoređena ako ne uzima nikakve ekstremne vrijednosti ni u jednom smjeru, tako da se visoke i niske vrijednosti varijable međusobno uravnotežuju.
Lik: 10. Tri vrste raspodjele
Podaci prikazani na skali A imaju negativan iskrivljenost. Ova slika prikazuje dugi rep i nagib ulijevo uzrokovan neobično niskim vrijednostima. Te izuzetno male vrijednosti pomiču prosjek ulijevo i on postaje manji od medijana. Podaci prikazani na ljestvici B simetrično su raspoređeni. Lijeva i desna polovica raspodjele su njihove zrcalne slike. Velike i male vrijednosti međusobno se poništavaju, a srednja i srednja vrijednost su jednake. Podaci prikazani na ljestvici B pozitivno su iskrivljeni. Ova slika prikazuje dugački rep i nagib udesno uzrokovan neobično visokim vrijednostima. Te previsoke vrijednosti pomiču prosjek udesno i on postaje veći od medijana.
U Excelu se opisna statistika može dobiti pomoću dodatka Paket za analizu... Prođite kroz izbornik Podaci → Analiza podataka, u prozoru koji se otvori odaberite liniju Opisne statistike i kliknite U redu... U prozoru Opisne statistike obavezno naznačite Ulazni interval(slika 11). Ako želite vidjeti opisnu statistiku na istom listu kao i izvorni podaci, odaberite radio gumb Izlazni interval i navedite ćeliju u koju treba staviti gornji lijevi kut izlazne statistike (u našem primjeru, $ C $ 1). Ako želite podatke iznijeti na novi list ili u novu radnu knjigu, samo odaberite odgovarajući radio gumb. Označite okvir pored Sažeti statistički podaci... Po želji možete i odabrati Razina težine,kth najmanji ikth najveći.
Ako je na polog Podaci u području Analiza nemate prikazanu ikonu Analiza podataka, prvo morate instalirati dodatak Paket za analizu (vidi, na primjer).
Lik: 11. Opisna statistika petogodišnjeg prosječnog godišnjeg povrata sredstava s vrlo visokim razinama rizika, izračunata pomoću dodatka Analiza podatakaexcel programi
Excel izračunava niz gore spomenutih statistika: srednja vrijednost, medijan, način rada, standardna devijacija, varijanca, raspon ( interval), minimalna, maksimalna i veličina uzorka ( postići). Uz to, Excel izračunava neke nove statističke podatke za nas: standardnu \u200b\u200bpogrešku, kurtozu i iskrivljenost. Standardna pogreška jednak standardnoj devijaciji podijeljenoj s kvadratnim korijenom veličine uzorka. Asimetrija karakterizira odstupanje od simetrije raspodjele i funkcija je koja ovisi o kocki razlika između elemenata uzorka i srednje vrijednosti. Kurtoza je mjera relativne koncentracije podataka oko srednje vrijednosti u odnosu na repove distribucije i ovisi o razlikama između uzorka i srednje vrijednosti podignute na četvrtu stepenicu.
Izračunavanje opisne statistike za populaciju
Srednja vrijednost, rasprostranjenost i oblik rasprave o kojima je ranije raspravljano karakteristike su određene iz uzorka. Međutim, ako skup podataka sadrži numeričke dimenzije za cijelu populaciju, možete izračunati njegove parametre. Ti parametri uključuju matematičko očekivanje, varijancu i standardno odstupanje opće populacije.
Očekivana vrijednost jednak je zbroju svih vrijednosti opće populacije podijeljene s veličinom opće populacije:
gdje µ - očekivana vrijednost, x ja- ja-to opažanje varijable x, N - obujam opće populacije. Excel koristi istu funkciju za izračunavanje matematičkog očekivanja kao i za aritmetičku sredinu: \u003d PROSJEČNO ().
Varijacija stanovništva jednak zbroju kvadrata razlika između elemenata opće populacije i mat. očekivanje podijeljeno s veličinom opće populacije:
gdje σ 2 - varijance opće populacije. U Excelu prije 2007., funkcija \u003d VARP () koristi se za izračunavanje varijance populacije, od 2010. \u003d VAR.G ().
Standardna devijacija stanovništva jednak kvadratnom korijenu varijance populacije:
U Excelu prije 2007., funkcija \u003d STDEVP () koristi se za izračunavanje standardne devijacije populacije, od 2010. \u003d STDEV.Y (). Imajte na umu da se formule za varijancu populacije i standardnu \u200b\u200bdevijaciju razlikuju od formula za varijancu uzorka i standardnu \u200b\u200bdevijaciju. Prilikom izračunavanja uzoraka statistike S 2 i S nazivnik razlomka je n - 1, i pri izračunavanju parametara σ 2 i σ - obujam opće populacije N.
Pravilo
U većini je slučajeva velik dio promatranja koncentriran oko medijane, čineći nakupinu. U skupovima podataka s pozitivnim iskrivljenjem ovaj se klaster nalazi lijevo (tj. Ispod) matematičkog očekivanja, a u skupovima podataka s negativnim iskrivljenjem ovaj se klaster nalazi desno (tj. Iznad) matematičkog očekivanja. Simetrični podaci imaju isto matematičko očekivanje i medijan, a opažanja su koncentrirana oko matematičkog očekivanja, tvoreći zvonastu raspodjelu. Ako raspodjela nema izraženu iskrivljenost, a podaci su koncentrirani oko određenog težišta, može se primijeniti pravilo palca za procjenu varijabilnosti, koje kaže: ako podaci imaju zvonastu raspodjelu, tada približno 68% promatranja nije više od jednog standardnog odstupanja od matematičkog očekivanja. otprilike 95% promatranja nisu više od dva standardna odstupanja od matematičkog očekivanja, a 99,7% promatranja nisu više od tri standardna odstupanja od matematičkog očekivanja.
Dakle, standardno odstupanje, koje je procjena srednje varijacije oko srednje vrijednosti, pomaže razumjeti kako se distribuiraju promatranja i prepoznati izvanredne vrijednosti. Iz osnovnog pravila proizlazi da se za zvonaste raspodjele samo jedna vrijednost u dvadeset razlikuje od matematičkog očekivanja za više od dva standardna odstupanja. Stoga vrijednosti izvan intervala µ ± 2σ, mogu se smatrati izvanrednim. Štoviše, samo se tri od 1000 promatranja razlikuju od matematičkih očekivanja za više od tri standardna odstupanja. Dakle, vrijednosti izvan intervala µ ± 3σ su gotovo uvijek izvanredni. Za raspodjele koje su jako iskrivljene ili nisu zvonaste, može se primijeniti empirijsko pravilo Biename-Chebyshev.
Prije više od stotinu godina matematičari Biename i Chebyshev neovisno su otkrili korisno svojstvo standardne devijacije. Otkrili su da za bilo koji skup podataka, bez obzira na oblik distribucije, postotak promatranja na udaljenosti ne prelazi k standardna odstupanja od matematičkih očekivanja, ne manje (1 – 1/ k 2) * 100%.
Na primjer, ako k \u003d 2, pravilo Biename-Chebyshev kaže da najmanje (1 - (1/2) 2) x 100% \u003d 75% promatranja mora ležati u intervalu µ ± 2σ... Ovo pravilo vrijedi za svakoga kveći od jednog. Pravilo Biename-Chebyshev vrlo je općenito i vrijedi za distribucije bilo koje vrste. Označava minimalni broj promatranja, udaljenost od koje matematičko očekivanje ne prelazi navedenu vrijednost. Međutim, ako je raspodjela zvonasta, pravilo preciznije procjenjuje koncentraciju podataka oko očekivane vrijednosti.
Računanje deskriptivne statistike za frekvencijsku distribuciju
Ako izvorni podaci nisu dostupni, dodjeljivanje frekvencije postaje jedini izvor informacija. U takvim situacijama možete izračunati približne vrijednosti pokazatelja kvantitativne raspodjele, poput aritmetičke sredine, standardne devijacije, kvartila.
Ako su podaci uzorka predstavljeni u obliku raspodjele frekvencije, može se izračunati približna vrijednost aritmetičke sredine, pod pretpostavkom da su sve vrijednosti unutar svake klase koncentrirane na sredini klase:
gdje - srednja vrijednost uzorka, n - broj opažanja ili veličina uzorka, iz - broj klasa u frekvencijskoj raspodjeli, m j - središnja točka j-idi na nastavu, f j odgovara frekvenciji j-ti razred.
Da bi se izračunalo standardno odstupanje od frekvencijske raspodjele, također se pretpostavlja da su sve vrijednosti unutar svake klase centrirane na središnjoj točki klase.
Da bismo razumjeli kako se kvartili serije određuju na temelju frekvencija, razmotrimo izračun donjeg kvartila na temelju podataka za 2013. godinu o raspodjeli stanovništva Rusije u smislu prosječnog novčanog dohotka po glavi stanovnika (slika 12.).
Lik: 12. Udio stanovništva Rusije s prosječnim novčanim prihodom po stanovniku u prosjeku mjesečno, rubalja
Da biste izračunali prvi kvartil niza varijacija intervala, možete upotrijebiti formulu:
gdje je Q1 vrijednost prvog kvartila, hQ1 je donja granica intervala koji sadrži prvi kvartil (interval je određen kumulativnom učestalošću, prva veća od 25%); i je veličina intervala; Σf je zbroj frekvencija cijelog uzorka; vjerojatno uvijek jednako 100%; SQ1-1 je kumulativna učestalost intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji kvartil; fQ1 je frekvencija intervala koji sadrži donji kvartil. Formula za treći kvartil razlikuje se po tome što na svim mjestima umjesto Q1 treba koristiti Q3, a ¾ treba zamijeniti ¼.
U našem primjeru (slika 12.), donji je kvartil u rasponu 7000,1 - 10 000, čija kumulativna učestalost iznosi 26,4%. Donja granica ovog intervala je 7000 rubalja, vrijednost intervala je 3000 rubalja, akumulirana učestalost intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji kvartil iznosi 13,4%, učestalost intervala koji sadrži donji kvartil 13,0%. Dakle: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 rubalja.
Zamke s opisnom statistikom
U ovom smo postu pogledali kako opisati skup podataka koristeći različite statistike koje procjenjuju njegovu srednju vrijednost, širenje i distribuciju. Sljedeći je korak analiza i interpretacija podataka. Do sada smo proučavali objektivna svojstva podataka, a sada se okrećemo njihovoj subjektivnoj interpretaciji. Dvije pogreške čekaju istraživača: pogrešno odabrani predmet analize i pogrešno tumačenje rezultata.
Analiza uspješnosti 15 uzajamnih fondova s \u200b\u200bvrlo visokim rizikom prilično je nepristrana. Dovelo je do potpuno objektivnih zaključaka: svi uzajamni fondovi imaju različite prinose, raspon prinosa fondova kreće se od –6,1 do 18,5, a prosječni prinos je 6,08. Objektivnost analize podataka osigurava se pravilnim odabirom ukupnih kvantitativnih pokazatelja raspodjele. Razmotreno je nekoliko metoda procjene srednje vrijednosti i širenja podataka, naznačene su njihove prednosti i nedostaci. Kako odabrati pravu statistiku koja pruža objektivnu i nepristranu analizu? Ako je raspodjela vaših podataka malo iskrivljena, biste li trebali odabrati medijan umjesto aritmetičke sredine? Koji pokazatelj točnije karakterizira širenje podataka: standardno odstupanje ili raspon? Treba li ukazivati \u200b\u200bna pozitivnu raspodjelu?
S druge strane, interpretacija podataka je subjektivan proces. Različiti ljudi dolaze do različitih zaključaka kada tumače iste rezultate. Svatko ima svoje stajalište. Netko ukupne pokazatelje prosječnog godišnjeg prinosa od 15 fondova s \u200b\u200bvrlo visokom razinom rizika smatra dobrima i prilično je zadovoljan primljenim dohotkom. Drugi mogu misliti da ti fondovi imaju prenizak povrat. Dakle, subjektivnost treba nadoknaditi iskrenošću, neutralnošću i jasnoćom zaključaka.
Etički problemi
Analiza podataka neraskidivo je povezana s etičkim pitanjima. Treba biti kritičan prema informacijama koje šire novine, radio, televizija i Internet. S vremenom ćete naučiti biti skeptični ne samo prema rezultatima, već i prema ciljevima, temi i objektivnosti istraživanja. Poznati britanski političar Benjamin Disraeli rekao je to najbolje od svega: "Postoje tri vrste laži: laži, eklatantne laži i statistika."
Kao što je navedeno u bilješci, etička pitanja pojavljuju se pri odabiru rezultata koji će se prijaviti. Treba objaviti i pozitivne i negativne rezultate. Osim toga, prilikom izrade izvješća ili pisanog izvještaja, rezultati moraju biti predstavljeni na iskren, neutralan i objektivan način. Razlikovati neuspješno i nepošteno izlaganje. Da biste to učinili, potrebno je utvrditi kakve su namjere imali govornici. Ponekad voditelj ignorira važne informacije, a ponekad ih namjerno (na primjer, ako koristi aritmetičku sredinu za procjenu srednje vrijednosti jasno asimetričnih podataka kako bi dobio željeni rezultat). Također je nepravedno previdjeti rezultate koji ne odgovaraju stajalištu istraživača.
Korišteni materijali knjige Levin i druge statistike za menadžere. - M.: Williams, 2004. - str. 178-209
Funkcija KVARTILNA zadržana je da bude kompatibilna s ranijim verzijama Excela
