Da shvatim što je to temeljni sustav odlučivanja možete pogledati video tutorial za isti primjer klikom. Sada prijeđimo na stvarni opis svih potrebnih radova. To će vam pomoći da detaljnije shvatite bit ovog pitanja.
Kako pronaći temeljni sustav rješenja linearne jednadžbe?
Uzmimo ovaj sustav kao primjer linearne jednadžbe:
Pronađimo rješenje za ovo linearni sustav jednadžbe Za početak, mi trebate napisati matricu koeficijenata sustava.
Pretvorimo ovu matricu u trokutastu. Prepisujemo prvi redak bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nule. Da biste umjesto elementa $a_(21)$ napravili nulu, morate od drugog retka oduzeti prvi, a u drugi redak napisati razliku. Da biste umjesto elementa $a_(31)$ napravili nulu, morate od trećeg retka oduzeti prvi i upisati razliku u treći red. Da biste umjesto elementa $a_(41)$ napravili nulu, morate od četvrtog retka oduzeti prvi pomnožen s 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste umjesto elementa $a_(31)$ napravili nulu, trebate od petog retka oduzeti prvi pomnožen s 2, a razliku napisati u peti redak. 
Prepisujemo prvi i drugi redak bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nule. Da biste umjesto elementa $a_(32)$ napravili nulu, potrebno je od trećeg retka oduzeti drugi pomnožen s 2 i razliku napisati u treći red. Da biste umjesto elementa $a_(42)$ napravili nulu, trebate od četvrtog retka oduzeti sekundu pomnoženu s 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste umjesto elementa $a_(52)$ napravili nulu, potrebno je od petog retka oduzeti sekundu pomnoženu s 3 i upisati razliku u peti redak. 
Vidimo to zadnja tri retka su ista, pa ako trećinu oduzmete od četvrte i pete, oni će postati nula. 
Prema ovoj matrici Zapiši novi sustav jednadžbe.
Vidimo da imamo samo tri linearno neovisne jednadžbe i pet nepoznanica, pa će se temeljni sustav rješenja sastojati od dva vektora. Pa mi zadnje dvije nepoznanice trebamo pomaknuti udesno.
Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo s posljednjom jednadžbom, prvo izražavamo $x_3$, zatim supstituiramo dobiveni rezultat u drugu jednadžbu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednadžbu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje se nalaze na lijevoj strani izrazile kroz nepoznanice koje su na desnoj strani. 
Zatim, umjesto $x_4$ i $x_5$, možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijen našeg izvornog sustava jednadžbi. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, a zatim obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.
Homogeni sustav je uvijek konzistentan i ima trivijalno rješenje 
. Da bi postojalo netrivijalno rješenje, potrebno je da rang matrice 
bio je manji broj nepoznato:
.
Temeljni sustav rješenja
homogeni sustav 
zovemo sustav rješenja u obliku vektora stupaca 
, koji odgovaraju kanonskoj osnovi, t j . baza u kojoj proizvoljne konstante 
naizmjenično se postavljaju jednake jedan, dok su ostale postavljene na nulu.
Tada opće rješenje homogenog sustava ima oblik:
Gdje 
- proizvoljne konstante. Drugim riječima, ukupno rješenje je linearna kombinacija temeljnog sustava rješenja.
Dakle, osnovna rješenja mogu se dobiti iz općeg rješenja ako se slobodnim nepoznanicama zauzvrat daju vrijednosti jedan, postavljajući sve ostale jednake nuli.
Primjer. Pronađimo rješenje za sustav
Prihvatimo , tada dobivamo rješenje u obliku:
Konstruirajmo sada temeljni sustav rješenja:
.
Opće rješenje bit će napisano kao:
Rješenja sustava homogenih linearnih jednadžbi imaju sljedeća svojstva:
Drugim riječima, svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sustava opet je rješenje.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi zanimalo je matematičare nekoliko stoljeća. Prvi rezultati dobiveni su u 18. stoljeću. Godine 1750. G. Kramer (1704–1752) objavio je svoje radove o determinantama kvadratnih matrica i predložio algoritam za pronalaženje inverzne matrice. Godine 1809. Gauss je zacrtao novu metodu rješenja poznatu kao metoda eliminacije.
Gaussova metoda, odnosno metoda sekvencijalnog uklanjanja nepoznanica, sastoji se u tome da se pomoću elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav stupnjevitog (ili trokutastog) oblika. Takvi sustavi omogućuju sekvencijalno pronalaženje svih nepoznanica određenim redoslijedom.
Pretpostavimo da je u sustavu (1) 
(što je uvijek moguće).
(1)
Množenje prve jednadžbe jednu po jednu tzv odgovarajući brojevi
a zbrajanjem rezultata množenja s pripadajućim jednadžbama sustava dobivamo ekvivalentni sustav u kojem u svim jednadžbama osim prve neće biti nepoznanica x 1
(2)
Pomnožimo sada drugu jednadžbu sustava (2) odgovarajućim brojevima, pod pretpostavkom da 
,
a zbrajajući ga s nižima, eliminiramo varijablu 
iz svih jednadžbi, počevši od treće.
Nastavljajući ovaj proces, nakon 
korak dobivamo:
(3)
Ako je barem jedan od brojeva 
nije jednak nuli, tada je odgovarajuća jednakost kontradiktorna i sustav (1) je nekonzistentan. Obrnuto, za svaki zajednički brojevni sustav 
jednaki su nuli. Broj 
nije ništa više od ranga matrice sustava (1).
Prijelaz iz sustava (1) u (3) naziva se ravno naprijed Gaussova metoda i pronalaženje nepoznanica iz (3) – obrnuto .
Komentar : Pogodnije je provoditi transformacije ne sa samim jednadžbama, već s proširenom matricom sustava (1).
Primjer. Pronađimo rješenje za sustav
.
Napišimo proširenu matricu sustava:
.
Dodajmo prvi redovima 2,3,4, pomnožen s (-2), (-3), (-2) redom:
.
Zamijenimo retke 2 i 3, a zatim u dobivenoj matrici zbrojimo redak 2 retku 4, pomnoženo s 
:
.
Dodajte retku 4 redak 3 pomnožen s 
:
.
Očito je da 
, dakle, sustav je dosljedan. Iz dobivenog sustava jednadžbi
rješenje nalazimo obrnutom zamjenom:
,
,
,
.
Primjer 2. Pronađite rješenje za sustav:
.
Očito je da je sustav nedosljedan, jer 
, A 
.
Prednosti Gaussove metode :
Manje radno intenzivna od Cramerove metode.
Nedvosmisleno utvrđuje kompatibilnost sustava i omogućuje pronalazak rješenja.
Omogućuje određivanje ranga bilo koje matrice.
Homogeni sustav linearnih jednadžbi nad poljem
DEFINICIJA. Fundamentalni sustav rješenja sustava jednadžbi (1) naziva se neprazni linear neovisni sustav njegova rješenja, čiji se linearni raspon podudara sa skupom svih rješenja sustava (1).
Imajte na umu da homogeni sustav linearnih jednadžbi koji ima samo nulto rješenje nema temeljni sustav rješenja.
PRIJEDLOG 3.11. Bilo koja dva temeljna sustava rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi sastoje se od istog broja rješenja.
Dokaz. Zapravo, svaka dva temeljna sustava rješenja homogenog sustava jednadžbi (1) su ekvivalentna i linearno neovisna. Stoga su prema propoziciji 1.12 njihovi rangovi jednaki. Posljedično, broj rješenja uključenih u jedan temeljni sustav jednak je broju rješenja uključenih u bilo koji drugi temeljni sustav rješenja.
Ako je glavna matrica A homogenog sustava jednadžbi (1) nula, tada je bilo koji vektor iz rješenje sustava (1); u ovom slučaju svaka zbirka je linearna nezavisni vektori je temeljni sustav rješenja. Ako je rang stupca matrice A jednak , tada sustav (1) ima samo jedno rješenje - nulu; stoga u ovom slučaju sustav jednadžbi (1) nema temeljni sustav rješenja.
TEOREM 3.12. Ako je rang glavne matrice homogenog sustava linearnih jednadžbi (1) manji od broja varijabli, tada sustav (1) ima temeljni sustav rješenja koji se sastoji od rješenja.
Dokaz. Ako je rang glavne matrice A homogenog sustava (1) jednak nuli ili , tada je gore pokazano da je teorem točan. Stoga se u nastavku pretpostavlja da Uz pretpostavku , pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice A linearno neovisni. U ovom slučaju, matrica A je po redu ekvivalentna reduciranoj postupnoj matrici, a sustav (1) je ekvivalentan sljedećem reduciranom postupnom sustavu jednadžbi:
Lako je provjeriti da svaki sustav slobodnih vrijednosti varijable sustava(2) odgovara jednom i samo jednom rješenju sustava (2), a time i sustava (1). Konkretno, samo nulto rješenje sustava (2) i sustava (1) odgovara sustavu nultih vrijednosti.
U sustavu (2) jednoj od slobodnih varijabli ćemo dodijeliti vrijednost jednaku 1, a preostalim varijablama - nulte vrijednosti. Kao rezultat toga dobivamo rješenja sustava jednadžbi (2) koje pišemo u obliku redaka sljedeće matrice C:
Sustav redova ove matrice je linearno neovisan. Doista, za sve skalare iz jednakosti
slijedi jednakost
a samim tim i jednakost
Dokažimo da se linearni raspon sustava redaka matrice C podudara sa skupom svih rješenja sustava (1).
Proizvoljno rješenje sustava (1). Zatim vektor
također je rješenje sustava (1), i
U školi je svatko od nas proučavao jednadžbe i, najvjerojatnije, sustave jednadžbi. Ali malo ljudi zna da postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje. Danas ćemo detaljno analizirati sve metode za rješavanje linearnog sustava algebarske jednadžbe, koji se sastoje od više od dvije jednakosti.
Priča
Danas je poznato da umijeće rješavanja jednadžbi i njihovih sustava potječe iz starog Babilona i Egipta. Međutim, jednakosti u poznatom obliku pojavile su se nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je 1556. godine uveo engleski matematičar Record. Usput, ovaj znak je odabran s razlogom: označava dva paralelna jednaka segmenta. I istina je najbolji primjer jednakost se ne može izmisliti.
Utemeljitelj suvremenih slovnih oznaka za nepoznanice i znakove stupnjeva je francuski matematičar, ali su se njegove oznake bitno razlikovale od današnjih. Na primjer, kvadrat nepoznatog broja označio je slovom Q (lat. “quadratus”), a kocku slovom C (lat. “cubus”). Taj se zapis sada čini nezgrapnim, ali u to je vrijeme bio najrazumljiviji način zapisivanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
Međutim, mana tadašnjih metoda rješavanja bila je ta što su matematičari uzimali u obzir samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da negativne vrijednosti nije imao praktična aplikacija. Na ovaj ili onaj način, talijanski matematičari Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Raphael Bombelli prvi su izbrojali negativne korijene u 16. stoljeću. A moderan izgled, glavna metoda rješenja (preko diskriminante) nastala je tek u 17. stoljeću zahvaljujući radu Descartesa i Newtona.
Sredinom 18. stoljeća švicarski matematičar Gabriel Cramer pronašao je novi put kako bi se olakšalo rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ova metoda je kasnije nazvana po njemu i koristimo je do danas. Ali o Cramerovoj metodi ćemo govoriti malo kasnije, ali za sada raspravimo o linearnim jednadžbama i metodama za njihovo rješavanje odvojeno od sustava.
Linearne jednadžbe
Linearne jednadžbe su najjednostavnije jednadžbe s varijablom (varijablama). Klasificiraju se kao algebarski. pisati opći pogled dakle: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Morat ćemo ih predstaviti u ovom obliku kada ćemo kasnije sastavljati sustave i matrice.
Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi
Definicija ovog pojma je: to je skup jednadžbi koje imaju zajedničke nepoznate veličine i zajedničko rješenje. U pravilu su u školi svi rješavali sustave s dvije ili čak tri jednadžbe. Ali postoje sustavi s četiri ili više komponenti. Hajde prvo smisliti kako ih zapisati tako da će biti zgodno riješiti u budućnosti. Prvo, sustavi linearnih algebarskih jednadžbi izgledat će bolje ako su sve varijable napisane kao x s odgovarajućim indeksom: 1,2,3, i tako dalje. Drugo, sve jednadžbe treba dovesti u kanonski oblik: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
Nakon svih ovih koraka, možemo početi govoriti o tome kako pronaći rješenja sustava linearnih jednadžbi. Matrice će biti vrlo korisne za ovo.
Matrice
Matrica je tablica koja se sastoji od redaka i stupaca, a na njihovom sjecištu nalaze se njeni elementi. To mogu biti specifične vrijednosti ili varijable. Najčešće se za označavanje elemenata ispod njih stavljaju indeksi (na primjer, 11 ili 23). Prvi indeks označava broj retka, a drugi - broj stupca. Na matricama se mogu izvoditi razne operacije, kao i na svakom drugom matematičkom elementu. Dakle, možete:
2) Pomnožite matricu bilo kojim brojem ili vektorom.
3) Transponiranje: pretvorite retke matrice u stupce, a stupce u retke.
4) Množenje matrica ako je broj redaka jedne od njih jednak broju stupaca druge.
Raspravljajmo o svim ovim tehnikama detaljnije jer će nam biti korisne u budućnosti. Oduzimanje i zbrajanje matrica vrlo je jednostavno. Budući da uzimamo matrice iste veličine, svaki element jedne tablice korelira sa svakim elementom druge. Dakle, zbrajamo (oduzimamo) ova dva elementa (važno je da stoje na istim mjestima u svojim matricama). Kada množite matricu s brojem ili vektorom, jednostavno množite svaki element matrice s tim brojem (ili vektorom). Transpozicija je vrlo zanimljiv proces. Vrlo ga je zanimljivo ponekad vidjeti stvaran život, na primjer, kada mijenjate orijentaciju tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini predstavljaju matricu, a pri promjeni položaja ona se transponira i širi, ali se smanjuje u visinu.
Pogledajmo još jedan proces poput: Iako nam neće trebati, ipak će biti korisno znati ga. Dvije matrice možete pomnožiti samo ako je broj stupaca u jednoj tablici jednak broju redaka u drugoj. Uzmimo sada elemente retka jedne matrice i elemente odgovarajućeg stupca druge. Pomnožimo ih jedne s drugima i zatim ih zbrojimo (to jest, na primjer, umnožak elemenata a 11 i a 12 s b 12 i b 22 bit će jednak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako se dobije jedan element tablice koji se dalje popunjava na sličan način.
Sada možemo početi razmatrati kako se rješava sustav linearnih jednadžbi.
Gaussova metoda
Ova se tema počinje obrađivati u školi. Dobro poznajemo koncept “sustava dviju linearnih jednadžbi” i znamo kako ih riješiti. Ali što ako je broj jednadžbi veći od dvije? Ovo će nam pomoći
Naravno, ova metoda je prikladna za korištenje ako napravite matricu iz sustava. Ali ne morate ga transformirati i riješiti u čistom obliku.
Dakle, kako ova metoda rješava sustav linearnih Gaussovih jednadžbi? Inače, iako je ova metoda nazvana po njemu, otkrivena je još u antičko doba. Gauss predlaže sljedeće: izvršiti operacije s jednadžbama kako bi se u konačnici cijeli skup sveo na oblik koraka. Odnosno, potrebno je da se od vrha prema dolje (ako je pravilno posloženo) od prve jednadžbe do zadnje smanjuje nepoznata. Drugim riječima, moramo paziti da dobijemo, recimo, tri jednadžbe: u prvoj su tri nepoznanice, u drugoj dvije, u trećoj jedna. Zatim iz posljednje jednadžbe pronađemo prvu nepoznanicu, zamijenimo njenu vrijednost u drugu ili prvu jednadžbu, a zatim pronađemo preostale dvije varijable.
Cramer metoda
Za svladavanje ove metode bitno je posjedovati vještine zbrajanja i oduzimanja matrica, a također morate znati pronaći determinante. Stoga, ako sve ovo radite loše ili uopće ne znate kako, morat ćete učiti i vježbati.
Što je bit ove metode i kako postići da se dobije sustav linearnih Cramerovih jednadžbi? Sve je vrlo jednostavno. Moramo konstruirati matricu numeričkih (gotovo uvijek) koeficijenata sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Da bismo to učinili, jednostavno uzmemo brojeve ispred nepoznanica i posložimo ih u tablicu redoslijedom kojim su zapisani u sustavu. Ako ispred broja stoji znak “-”, tada zapisujemo negativan koeficijent. Dakle, sastavili smo prvu matricu koeficijenata za nepoznanice, ne uključujući brojeve iza znakova jednakosti (naravno, jednadžbu treba svesti na kanonski oblik, kada je samo broj s desne strane, a sve nepoznanice s koeficijentima na lijevo). Zatim morate izraditi još nekoliko matrica - po jednu za svaku varijablu. Da bismo to učinili, zamijenimo svaki stupac s koeficijentima u prvoj matrici redom sa stupcem brojeva iza znaka jednakosti. Dakle, dobivamo nekoliko matrica i zatim nalazimo njihove determinante.
Nakon što smo pronašli odrednice, to je mala stvar. Imamo početnu matricu, a postoji nekoliko rezultirajućih matrica koje odgovaraju različitim varijablama. Da bismo dobili rješenja sustava, determinantu dobivene tablice podijelimo s determinantom početne tablice. Dobiveni broj je vrijednost jedne od varijabli. Slično, nalazimo sve nepoznanice.
Ostale metode
Postoji nekoliko drugih metoda za dobivanje rješenja sustava linearnih jednadžbi. Na primjer, takozvana Gauss-Jordanova metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja sustava kvadratne jednadžbe a povezuje se i s upotrebom matrica. Postoji i Jacobijeva metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Najlakše se prilagođava računalu i koristi se u računarstvu.
Složeni slučajevi
Složenost obično nastaje kada je broj jednadžbi manji od broja varijabli. Tada sa sigurnošću možemo reći da je ili sustav nekonzistentan (tj. nema korijena) ili broj njegovih rješenja teži beskonačnosti. Ako imamo drugi slučaj, tada trebamo napisati opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Sadržat će najmanje jednu varijablu.
Zaključak
Evo dolazimo do kraja. Rezimirajmo: shvatili smo što su sustav i matrica i naučili kako pronaći opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Osim toga, razmotrili smo i druge mogućnosti. Saznali smo kako riješiti sustav linearnih jednadžbi: Gaussova metoda i razgovarali o tome teški slučajevi i druge načine pronalaženja rješenja.
Zapravo, ova je tema puno opsežnija, a ako je želite bolje razumjeti, preporučamo čitanje više specijalizirane literature.
Nastavit ćemo usavršavati našu tehnologiju elementarne transformacije na homogeni sustav linearnih jednadžbi.
Na temelju prvih odlomaka materijal može djelovati dosadno i osrednje, ali taj dojam je varljiv. Osim daljnjeg razvoja Tehnike Bit će puno novih informacija, stoga pokušajte ne zanemariti primjere u ovom članku.
Što je homogeni sustav linearnih jednadžbi?
Odgovor se nameće sam od sebe. Sustav linearnih jednadžbi je homogen ako slobodni član svatko jednadžba sustava je nula. Na primjer:
Apsolutno je jasno da homogeni sustav je uvijek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što upada u oči je tzv trivijalno riješenje 
. Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se dvoumiti, saznajmo ima li ovaj sustav još rješenja:
Primjer 1
Riješenje: za rješavanje homogenog sustava potrebno je pisati matrica sustava te ga uz pomoć elementarnih transformacija dovesti do stupnjevitog oblika. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati okomitu crtu i nulti stupac slobodnih izraza - uostalom, bez obzira što učinili s nulama, one će ostati nule: 
(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s –2. Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen s –3.
(2) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s –1.
Dijeljenje trećeg retka s 3 nema previše smisla.
Kao rezultat elementarnih transformacija dobiva se ekvivalentan homogeni sustav 
, i, primjenom obrnuti hod Gaussovom metodom, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.
Odgovor: 
Formulirajmo očigledan kriterij: homogeni sustav linearnih jednadžbi ima samo trivijalno rješenje, Ako rang matrice sustava(V u ovom slučaju 3) jednako broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).
Zagrijmo i ugodimo naš radio na val elementarnih transformacija:
Primjer 2
Riješite homogeni sustav linearnih jednadžbi 
Kako bismo konačno konsolidirali algoritam, analizirajmo završni zadatak:
Primjer 7
Riješite homogeni sustav, odgovor napišite u vektorskom obliku. 
Riješenje: zapišimo matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedimo u stupnjevit oblik: 
(1) Promijenjen je predznak prvog retka. Još jednom skrećem pozornost na tehniku koja se susrela mnogo puta, što vam omogućuje da značajno pojednostavite sljedeću radnju.
(1) Prvi red je dodan 2. i 3. retku. Prvi redak, pomnožen s 2, dodan je u 4. redak.
(3) Zadnja tri retka su proporcionalna, dva su uklonjena.
Kao rezultat toga, dobiva se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:
– osnovne varijable;
– slobodne varijable.
Izrazimo osnovne varijable u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednadžbe:
– zamijeniti u 1. jednadžbu:
Dakle, opće rješenje je:
Budući da u razmatranom primjeru postoje tri slobodne varijable, temeljni sustav sadrži tri vektora.
Zamijenimo trostruku vrijednost 
u opće rješenje i dobiti vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednadžbu homogenog sustava. I opet ponavljam da je vrlo preporučljivo provjeriti svaki primljeni vektor - neće vam trebati puno vremena, ali će vas u potpunosti zaštititi od pogrešaka.
Za trostruku vrijednost 
pronaći vektor
I na kraju za tri 
dobivamo treći vektor:
Odgovor: , Gdje
Oni koji žele izbjeći frakcijske vrijednosti mogu razmotriti trojke 
i dobiti odgovor u ekvivalentnom obliku:
Kad smo već kod razlomaka. Pogledajmo matricu dobivenu u zadatku 
i zapitajmo se: je li moguće pojednostaviti daljnje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo kroz razlomke izrazili osnovnu varijablu, zatim kroz razlomke osnovnu varijablu i, moram reći, taj proces nije bio najjednostavniji, a ni najugodniji.
Drugo rješenje:
Ideja je pokušati odabrati druge bazne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dvije jedinice u trećem stupcu. Pa zašto ne imati nulu na vrhu? Provedimo još jednu elementarnu transformaciju:
