Rješenje proširene matrice Gaussovom metodom. Obrnuti Gaussovu metodu

Gaussova metoda je jednostavna! Zašto? Slavni njemački matematičar Johann Karl Friedrich Gauss za života je bio priznat kao najveći matematičar svih vremena, genij, pa čak i nadimak "kralj matematike". A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, za novac se ne plaćaju samo jebači, nego i genijalci - Gaussov portret bio je na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se i dalje zagonetno smiješi Nijemcima s običnih poštanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome što je znanje učenika 5. razreda DOVOLJNO da se njime svlada. Morate znati zbrajati i množiti! Nije slučajno da učitelji na školskim izbornim predmetima matematike često razmatraju metodu sukcesivnog otklanjanja nepoznanica. Paradoksalno, Gaussova metoda je najteža za studente. Nije ni čudo - cijela stvar je u metodologiji, a ja ću vam pokušati reći o algoritmu metode u pristupačnom obliku.

Prvo, malo sistematiziramo znanje o sustavima. linearne jednadžbe... Sustav linearnih jednadžbi može:

1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nedosljedan).

Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sustavi linearnih jednadžbi. Kako se sjećamo Cramerovo pravilo i metoda matrice neprikladan u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekompatibilan. I metoda uzastopnog uklanjanja nepoznanica svejedno dovest će nas do odgovora! Na ovu lekciju ponovno ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sustava), članak je rezerviran za situaciju stavki br. 2-3. Imajte na umu da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.

Natrag na najjednostavniji sustav iz lekcije Kako riješiti sustav linearnih jednadžbi?
i riješi ga Gaussovom metodom.

U prvoj fazi morate pisati proširena matrica sustava:
... Po kojem principu se pišu koeficijenti, mislim da svi mogu vidjeti. Okomita traka unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo podcrtavanje radi lakšeg dizajna.

referenca :Preporučujem da zapamtite Pojmovi Linearna algebra. Matrica sustava Je li matrica sastavljena samo od koeficijenata s nepoznanicama, u ovom primjeru matrica sustava:. Proširena matrica sustava Je li ista matrica sustava plus stupac slobodnih članova, u u ovom slučaju:. Bilo koja od matrica se zbog kratkoće može nazvati jednostavno matricom.

Nakon što je proširena matrica sustava zapisana, potrebno je s njom izvršiti neke radnje koje se također nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće osnovne transformacije:

1) Žice matrice limenka preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako matrica sadrži (ili se pojavljuje) proporcionalne (kao poseban slučaj - iste) retke, onda slijedi izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu ... U ovoj matrici zadnja tri retka su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavio u matrici tijekom transformacija, onda i on slijedi izbrisati... Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem, različit od nule... Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti s –3, a drugi redak pomnožiti s 2: ... Ova je radnja vrlo korisna jer pojednostavljuje daljnje transformacije matrice.

5) Ova transformacija je najteža, ali zapravo, ni nema ništa komplicirano. Na red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem različit od nule. Razmotrimo našu matricu iz praktičnog primjera:. Najprije ću vrlo detaljno opisati pretvorbu. Pomnožite prvi redak sa –2: , i drugom retku dodajte prvi red pomnožen s –2: ... Sada se prvi redak može podijeliti "nazad" za –2:. Kao što možete vidjeti, linija koja ADD LEE – nije se promijenilo. Je uvijek mijenja liniju DO KOJE SE POVEĆAVA UT.

U praksi, naravno, ne opisuju tako detaljno, nego pišu kraće:

Još jednom: do drugog reda dodao prvi red pomnožen s –2... Niz se obično umnožava usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tijek računanja otprilike ovakav:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi redak: »

“Prva prva kolona. Na dnu, moram dobiti nulu. Stoga jedinicu na vrhu pomnožim s –2:, a prvom dodam u drugi redak: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi redak: »

“A sada za drugu kolonu. Iznad –1 pomnoženo s –2:. Prvo dodajem drugom retku: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: »

“I treći stupac. Iznad –5 pomnoženo s –2:. U drugi red dodajem prvi: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: »

Molimo, pažljivo shvatite ovaj primjer i razumite sekvencijalni algoritam izračuna, ako to razumijete, onda je Gaussova metoda praktički "u vašem džepu". Ali, naravno, radit ćemo na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak gdje su matrice zadane "sama po sebi". Na primjer, s "klasičnim" radnje s matricama Ni u kojem slučaju ne smijete preuređivati nešto unutar matrica!

Vratimo se našem sustavu. Ona je praktički rastavljena na komadiće.

Zapisujemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je reduciramo na stepenasti pogled:

(1) Prvi redak pomnožen s –2 dodan je drugom retku. I opet: zašto se prvi redak množi točno s –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom retku.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Cilj elementarnih transformacija – dovesti matricu u stepenasti oblik: ... U dizajnu zadatka "ljestve" su označene jednostavnom olovkom, a zaokruženi su brojevi koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz "vrsta koraka" nije u potpunosti teorijski, u znanstvenoj i obrazovnoj literaturi često se naziva trapezoidni pogled ili trokutasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalent izvorni sustav jednadžbi:

Sada sustav treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove unatrag Gaussova metoda.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:.

Razmotrite prvu jednadžbu sustava i već je zamijenite poznato značenje"Igra":

Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.

Primjer 1

Riješite sustav jednadžbi Gaussovom metodom:

Zapišimo proširenu matricu sustava:

Sada ću odmah izvući rezultat do kojeg ćemo doći tijekom rješenja:

I opet, naš cilj je dovesti matricu u stepenasti oblik pomoću elementarnih transformacija. Gdje započeti akciju?

Prvo gledamo gornji lijevi broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica... Općenito govoreći, –1 će biti u redu (a ponekad i drugi brojevi), ali nekako se tako tradicionalno dogodilo da se jedinica obično nalazi tamo. Kako organizirati jedinicu? Gledamo prvi stupac - imamo gotovu jedinicu! Prva transformacija: zamijenite prvi i treći redak:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja.... Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule dobivamo samo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Što treba učiniti da se na prvoj poziciji dobije nula? Neophodan drugom retku dodajte prvi red pomnožen s –2... Mentalno ili na nacrtu, pomnožite prvi redak s –2: (–2, –4, 2, –18). I dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom retku dodajemo prvi redak, već pomnožen s –2:

Rezultat zapisujemo u drugi redak:

Na isti način postupamo s trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate trećem retku dodajte prvi red pomnožen s –3... Mentalno ili na nacrtu, pomnožite prvi redak s –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem retku dodajte prvi red pomnožen s –3:

Rezultat pišemo u trećem retku:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i bilježe u jednom koraku:

Ne trebate sve brojati odjednom i u isto vrijeme... Redoslijed izračunavanja i "pisanja" rezultata dosljedan i obično ovako: prvo prepišemo prvi red, pa se potajno napuhavamo - SEKVENCIJALNO i PAŽLJIVO:

I već sam gore ispitao mentalni tijek samih izračuna.

U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi redak je podijeljen s –5 (budući da su svi brojevi djeljivi s 5 bez ostatka). Istodobno, treći redak dijelimo s –2, jer što manji broj, dakle lakše rješenje:

Na završna faza elementarne transformacije trebate ovdje dobiti još jednu nulu:

Za ovo trećem retku dodajte drugi red pomnožen s –2:

Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi redak s –2 i dodajte.

Posljednja izvedena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju s 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobiven je ekvivalentni početni sustav linearnih jednadžbi:

Cool.

Obrnuto od Gaussove metode sada dolazi u obzir. Jednadžbe se "odmotaju" odozdo prema gore.

U trećoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:

Gledamo drugu jednadžbu:. Značenje "z" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba:. "Y" i "z" su poznati, stvar je mala:

Odgovor:

Kao što je već više puta napomenuto, za bilo koji sustav jednadžbi moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, lako je i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za neovisna odluka, uzorak dorade i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da vaš tečaj odluke možda se ne podudara s mojim tijekom odluke, a to je značajka Gaussove metode... Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Zapišimo proširenu matricu sustava i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji lijevi "stupak". Trebali bismo tamo imati jedinicu. Problem je što ih u prvom stupcu uopće nema, pa preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica treba biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Ja sam ovo učinio:
(1) Prvom retku dodajte drugi red pomnožen s -1... Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi redak s –1 i zbrali prvi i drugi redak, dok se drugi redak nije promijenio.

Sad je gore lijevo "minus jedan", što nam je u redu. Svatko tko želi dobiti +1 može izvesti dodatni pokret tijela: pomnožiti prvi redak s –1 (promijeniti njegov predznak).

(2) Prvi redak pomnožen s 5 dodan je drugom retku, a prvi red pomnožen s 3 dodan je trećem retku.

(3) Prvi red je pomnožen s -1, u principu, ovo je za ljepotu. Također smo promijenili predznak trećeg retka i premjestili ga na drugo mjesto, tako da na drugom “korak” imamo traženu jedinicu.

(4) Drugi red, pomnožen s 2, dodan je trećem redu.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Loš znak koji ukazuje na pogrešku u izračunima (rjeđe - tipkarska greška) je "loša" početna crta. To jest, ako na dnu imamo nešto poput, i, sukladno tome, , onda se s velikim stupnjem vjerojatnosti može tvrditi da je u tijeku elementarnih transformacija napravljena pogreška.

Naplaćujemo obrnuti hod, u dizajnu primjera sam sustav se često ne prepisuje, a jednadžbe se „preuzimaju izravno iz zadane matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, ovdje je ispao dar:

Odgovor: .

Primjer 4

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer za neovisno rješenje, nešto je kompliciranije. U redu je ako se netko zbuni. Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.

U posljednjem dijelu razmotrit ćemo neke od značajki Gaussovog algoritma.
Prva značajka je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sustava, na primjer:

Kako ispravno napisati proširenu matricu sustava? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda... U proširenu matricu sustava stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, budući da u prvom stupcu već postoji jedna nula, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga značajka je sljedeća. U svim razmatranim primjerima na “stepenice” smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li biti tu i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sustav: .

Ovdje na lijevoj gornjoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2 bez ostatka - a druga dva i šest. I dvojka u gornjem lijevom kutu će nam odgovarati! U prvom koraku trebate izvesti sljedeće transformacije: drugom retku dodajte prvi redak pomnožen s –1; trećem retku dodajte prvi red pomnožen s –3. To će nam dati željene nule u prvom stupcu.

Ili drugi uvjetni primjer: ... Ovdje nam odgovara i trojka na drugom "koraku", budući da je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo s 3 bez ostatka. Potrebno je provesti sljedeću transformaciju: u treći redak dodati drugi redak pomnožen s –4, kao rezultat toga će se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete pouzdano naučiti rješavati sustave drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - postoji vrlo krut algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste "napuniti ruku" i riješiti barem 5-10 sustava. Stoga su u početku moguća zbrka, pogreške u izračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesensko vrijeme ispred prozora.... Stoga, za sve više složen primjer za samostalno rješenje:

Primjer 5

Riješite sustav od četiri linearne jednadžbe s četiri nepoznanice Gaussovom metodom.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da je čak i čajniku koji je temeljito proučio ovu stranicu algoritam za rješavanje takvog sustava intuitivno jasan. Uglavnom, sve je isto – samo je još akcija.

Slučajevi kada sustav nema rješenja (nedosljedan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sustavi i sustavi sa zajedničkim rješenjem. Tu se također može fiksirati razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Riješenje : Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je u postupni oblik.

Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi redak pomnožen s –2 dodan je drugom retku. Prvi red pomnožen s -1 dodan je trećem retku. Pažnja! Ovdje bi moglo biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg retka, jako ne preporučujem oduzimanje - rizik od pogreške je znatno povećan. Samo zbrojite!
(2) Predznak drugog retka je promijenjen (pomnožen s –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka da smo na "stepenicama" zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodan trećem redu, pomnožen s 5.
(4) Predznak drugog retka je promijenjen (pomnožen s –1). Treći red je podijeljen na 14.

Naličje:

Odgovor: .

Primjer 4: Riješenje : Zapišimo proširenu matricu sustava i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Izvršene konverzije:
(1) Drugi je dodan prvom retku. Tako se željena jedinica organizira na gornjoj lijevoj "prečagi".
(2) Prvi redak pomnožen sa 7 dodan je drugom retku, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem retku.

Drugi korak je sve gori , "Kandidati" za to su brojevi 17 i 23, a trebamo ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će biti usmjerene na dobivanje željene jedinice

(3) Drugi redak je dodan trećem retku, pomnožen s –1.
(4) Treći redak je dodan drugom retku, pomnožen s –3.
(3) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s 4. Drugi redak je dodan četvrtom retku, pomnožen s –1.
(4) Promijenjen je predznak drugog retka. Četvrti red je podijeljen za 3 i postavljen na mjesto trećeg reda.
(5) Treći redak pomnožen s –5 dodan je četvrtom retku.

Naličje:

Za dva sustava linearnih jednadžbi kažemo da su ekvivalentna ako se skup svih njihovih rješenja podudara.

Elementarne transformacije sustava jednadžbi su:

Eliminiranje trivijalnih jednadžbi iz sustava, t.j. oni kod kojih su svi koeficijenti jednaki nuli;

Množenje bilo koje jednadžbe drugim brojem osim nule;

Dodavanje bilo kojoj i -toj jednadžbi bilo koje j -te jednadžbe pomnožene s bilo kojim brojem.

Varijabla x i naziva se slobodnom ako ta varijabla nije dopuštena, a dopušten je cijeli sustav jednadžbi.

Teorema. Elementarne transformacije transformiraju sustav jednadžbi u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformirati izvorni sustav jednadžbi i dobiti ekvivalentni razriješeni ili ekvivalentni nekonzistentni sustav.

Dakle, Gaussova metoda se sastoji od sljedećih koraka:

Razmotrimo prvu jednadžbu. Odaberimo prvi koeficijent različit od nule i s njim podijelimo cijelu jednadžbu. Dobijmo jednadžbu u koju ulazi neka varijabla x i s koeficijentom 1;
Oduzmimo ovu jednadžbu od svih ostalih, pomnožimo je s takvim brojevima tako da koeficijenti varijable x i u preostalim jednadžbama postanu nula. Dobivamo sustav koji je razriješen s obzirom na varijablu x i, a ekvivalentan je izvornom;
Ako se pojave trivijalne jednadžbe (rijetko, ali se događa; na primjer, 0 = 0), brišemo ih iz sustava. Kao rezultat, jednadžbe postaju jedna manje;
Prethodne korake ponavljamo ne više od n puta, gdje je n broj jednadžbi u sustavu. Svaki put odabiremo novu varijablu za "obradu". Ako se pojave proturječne jednadžbe (na primjer, 0 = 8), sustav je nedosljedan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobivamo ili dopušteni sustav (moguće sa slobodnim varijablama) ili nekompatibilan. Dopušteni sustavi dijele se u dva slučaja:

Broj varijabli jednak je broju jednadžbi. To znači da je sustav definiran;
Broj varijabli veći je od broja jednadžbi. Sakupljamo sve slobodne varijable s desne strane - dobivamo formule za dopuštene varijable. Ove formule su zapisane u odgovoru.

To je sve! Sustav linearnih jednadžbi je riješen! Ovo je prilično jednostavan algoritam, a da biste ga svladali, ne morate kontaktirati srednjoškolskog učitelja matematike. Razmotrimo primjer:

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Opis koraka:

Prvu jednadžbu oduzmite od druge i treće – dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
Drugu jednadžbu pomnožimo s (−1), a treću podijelimo s (−3) - dobivamo dvije jednadžbe u kojima se javlja varijabla x 2 s koeficijentom 1;
Prvoj dodajemo drugu jednadžbu, a trećoj oduzimamo. Uzmimo dopuštenu varijablu x 2;
Konačno, od prve oduzimamo treću jednadžbu - dobivamo dopuštenu varijablu x 3;
Dobili smo ovlašteni sustav, zapisujemo odgovor.

Opće rješenje zajedničkog sustava linearnih jednadžbi je novi sustav, ekvivalentan izvornom, u kojem su sve dopuštene varijable izražene u terminima slobodnih.

Kada bi moglo biti potrebno opće rješenje? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jednadžbi ima). Međutim, razlozi zašto se proces završava u nekom koraku l< k , может быть две:

Nakon l -tog koraka dobili smo sustav koji ne sadrži jednadžbu s brojem (l + 1). Ovo je zapravo dobro jer dopušteni sustav je ipak primljen – čak i nekoliko koraka ranije.
Nakon l -tog koraka dobivena je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti za varijable jednaki nuli, a slobodni koeficijent različit od nule. Ovo je kontradiktorna jednadžba i stoga je sustav nedosljedan.

Važno je razumjeti da je pojava kontradiktorne Gaussove jednadžbe dovoljan razlog za nedosljednost. Istodobno, napominjemo da kao rezultat l -tog koraka ne može ostati trivijalnih jednadžbi - sve se brišu upravo u procesu.

Opis koraka:

Oduzmite prvu jednadžbu pomnoženu s 4 od druge. I također dodajemo prvu jednadžbu trećoj - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
Oduzimanjem treće jednadžbe, pomnožene s 2, od druge, dobivamo kontradiktornu jednadžbu 0 = −5.

Dakle, sustav je nedosljedan jer je pronađena kontradiktorna jednadžba.

Zadatak. Istražite kompatibilnost i pronađite zajedničko rješenje za sustav:

Opis koraka:

Oduzmite prvu jednadžbu od druge (prethodno pomnožene s dva) i treće - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
Oduzmite drugu jednadžbu od treće. Budući da su svi koeficijenti u ovim jednadžbama isti, treća jednadžba postaje trivijalna. Istodobno množimo drugu jednadžbu s (−1);
Oduzimanjem druge od prve jednadžbe - dobivamo dopuštenu varijablu x 2. Sada je također razriješen cijeli sustav jednadžbi;
Budući da su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomičemo ih udesno kako bismo izrazili dopuštene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sustav je kompatibilan i neodređen, budući da postoje dvije dopuštene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).

1. Linearni sustav algebarske jednadžbe

1.1 Pojam sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav jednadžbi je uvjet koji se sastoji u istovremenom izvršavanju nekoliko jednadžbi u nekoliko varijabli. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi (u daljnjem tekstu - SLAE) koji sadrži m jednadžbi i n nepoznanica je sustav oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sustava, brojevi b i su slobodni pojmovi, a ij i b i(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) su neki poznati brojevi, a x 1, ..., x n- nepoznato. U oznaci koeficijenata a ij prvi indeks i označava broj jednadžbe, a drugi j - broj nepoznanice na kojoj ovaj koeficijent stoji. Da bismo pronašli broj x n. Prikladno je napisati takav sustav u obliku kompaktne matrice: AX = B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, koja se naziva glavna matrica;

Je li vektor stupac nepoznanica xj.
Je li vektor stupaca slobodnih pojmova bi.

Umnožak matrica A * X je definiran, budući da u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redaka u matrici X (n komada).

Proširena matrica sustava je matrica A sustava, dopunjena stupcem slobodnih pojmova

1.2 Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Rješenje sustava jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada se umjesto varijabli zamijene, svaka od jednadžbi sustava pretvara se u pravu jednakost.

Rješenje sustava naziva se n vrijednosti nepoznanica h1 = c1, x2 = c2,..., xn = cn, kada se zamijene, sve jednadžbe sustava pretvaraju se u prave jednakosti. Bilo koje rješenje sustava može se zapisati u obliku matrice stupaca

Sustav jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nespojiv ako nema rješenja.

Zajednički sustav naziva se definitivnim ako ima jedno rješenje, a neodređenim ako ima više rješenja. U potonjem slučaju, svako njegovo rješenje naziva se posebnim rješenjem sustava. Skup svih posebnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Riješiti sustav znači otkriti je li kompatibilan ili nedosljedan. Ako je sustav kompatibilan, pronađite njegovo opće rješenje.

Dva se sustava nazivaju ekvivalentna (ekvivalentna) ako imaju isto opće rješenje. Drugim riječima, sustavi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog, i obrnuto.

Transformacija, čija primjena pretvara sustav u novi sustav ekvivalentan izvornom, naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Primjeri ekvivalentnih transformacija su sljedeće transformacije: permutacija dviju jednadžbi sustava, permutacija dviju nepoznanica zajedno s koeficijentima svih jednadžbi, množenje oba dijela bilo koje jednadžbe sustava brojem koji nije nula.

Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sustav je uvijek kompatibilan, budući da je x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 rješenje sustava. Ovo rješenje naziva se nultom ili trivijalnom.

2. Gaussova metoda eliminacije

2.1 Bit Gaussove metode eliminacije

Klasična metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi je metoda uzastopnog eliminacije nepoznanica - Gaussova metoda(također se naziva Gaussova metoda eliminacije). Ovo je metoda uzastopnog eliminiranja varijabli, kada se pomoću elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav stupnjevitog (ili trokutastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze uzastopno, počevši od posljednje (po broj) varijable.

Proces Gaussovog rješenja sastoji se od dvije faze: pomicanja naprijed i nazad.

1. Izravni tečaj.

U prvoj fazi provodi se tzv. izravno kretanje, kada se elementarnim transformacijama preko linija sustav dovodi u stepenasti ili trokutasti oblik ili se utvrdi da je sustav nespojiv. Naime, među elementima prvog stupca matrice odaberite jedan različit od nule, pomaknite ga na najgornju poziciju permutiranjem redaka i od preostalih redaka oduzmite prvi red dobiven nakon permutacije, množeći ga s vrijednošću jednakom omjer prvog elementa svakog od ovih redaka prema prvom elementu prvog retka, čime se stupac ispod njega nula.

Nakon izvršenih navedenih transformacija, prvi redak i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok matrica ne ostane nula veličina... Ako se u nekoj od iteracija ne nađe nenula među elementima prvog stupca, idite na sljedeći stupac i izvedite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (izravni rad) sustav se svodi na stepenasti (posebno trokutasti) oblik.

Sustav u nastavku je postupno:

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sustava.

(ako je a11 = 0, preuređujemo retke matrice tako da a 11 nije bio jednak 0. To je uvijek moguće, jer inače matrica sadrži nulti stupac, njezina determinanta je nula, a sustav je nedosljedan).

Transformiramo sustav eliminacijom nepoznatog x1 u svim jednadžbama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sustava). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe sa

te ga zbrojiti pojam po član s drugom jednadžbom sustava (ili ćemo od druge jednadžbe oduzeti prvi član pomnožen). Zatim pomnožimo obje strane prve jednadžbe sa i dodamo ih trećoj jednadžbi sustava (ili od treće oduzmemo prvu pomnoženu). Dakle, prvi red uzastopno množimo brojem i dodajemo i th linija, za i = 2, 3, …,n.

Nastavljajući ovaj proces, dobivamo ekvivalentni sustav:

- nove vrijednosti koeficijenata za nepoznanice i slobodne članove u zadnjim m-1 jednadžbama sustava, koje su određene formulama:

Dakle, u prvom koraku svi koeficijenti koji leže ispod prvog stožernog elementa a 11

0, drugi korak uništava elemente koji leže ispod drugog zakretnog elementa a 22 (1) (ako je a 22 (1) 0), itd. Nastavljajući ovaj proces dalje, konačno, u (m-1) koraku, reduciramo izvorni sustav na trokutasti sustav.

Ako se u procesu svođenja sustava na postupni oblik pojave nulte jednadžbe, t.j. jednakosti oblika 0 = 0, one se odbacuju. Ako se pojavi jednadžba oblika

onda to ukazuje na nekompatibilnost sustava.

Tu završava izravni tijek Gaussove metode.

2. Obrnuto.

U drugoj fazi provodi se tzv. obrnuti pomak, čija je bit izraziti sve rezultirajuće osnovne varijable u terminima nebaznih i konstruirati temeljni sustav rješenja, ili, ako su sve varijable osnovne, zatim u brojčanom obliku izraziti jedino rješenje sustava linearnih jednadžbi.

Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednadžbe, i tako dalje, idući uz "stepenice".

Svaki redak odgovara točno jednoj osnovnoj varijabli, dakle, na svakom koraku, osim zadnjeg (najgornjeg), situacija točno ponavlja slučaj zadnjeg retka.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sustavom, već s njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njegovim redovima. Zgodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (presložite jednadžbe, ili podijelite obje strane jednadžbe s a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE Gaussovom metodom

U ovom odjeljku, koristeći tri različita primjera, pokazujemo kako se Gaussova metoda može koristiti za rješavanje SLAE-ova.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Postavimo na nulu koeficijente na

u drugom i trećem redu. Da biste to učinili, pomnožite ih s 2/3 odnosno 1 i dodajte ih u prvi redak:

U ovom se članku metoda razmatra kao način rješavanja sustava linearnih jednadžbi (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućuje vam da upišete algoritam rješenja opći pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom možete raditi s onima koji imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopće nemate.

Što znači riješiti Gaussovom metodom?

Prvo, trebate napisati naš sustav jednadžbi u To izgleda ovako. Sustav se uzima:

Koeficijenti su upisani u obliku tablice, a desno, u posebnom stupcu, slobodni pojmovi. Stupac sa slobodnim članovima odvojen je radi praktičnosti.Matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.

Nadalje, glavna matrica s koeficijentima mora se svesti na gornji trokutasti oblik. To je glavna točka rješavanja sustava Gaussovom metodom. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovno zapišete kao sustav jednadžbi, primijetit ćete da zadnji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednadžbu, postoji još jedan korijen i tako na.

Ovo je opis rješenja Gaussovom metodom u većini opći nacrt... Što se događa ako sustav odjednom nema rješenja? Ili ih ima beskonačno mnogo? Za odgovor na ova i mnoga druga pitanja potrebno je zasebno razmotriti sve elemente korištene u rješavanju Gaussove metode.

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog značenja. To je samo prikladan način za snimanje podataka za kasniju manipulaciju. Čak ih se i školarci ne trebaju bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je tako prikladnije. Čak i kod Gaussove metode, gdje se sve svodi na konstruiranje trokutaste matrice, u zapisu se pojavljuje pravokutnik, samo s nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule ne moraju biti zapisane, ali se podrazumijevaju.

Matrica je veličine. Njegova "širina" je broj redaka (m), njegova "duljina" je broj stupaca (n). Zatim veličina matrice A (obično se označavaju velikim slovima slova) označit će se kao A m × n. Ako je m = n, tada je ova matrica kvadratna, a m = n je njezin redoslijed. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog retka i stupca: a xy; x - broj reda, mijenja se, y - broj stupca, mijenja se.

B nije glavna točka odluke. U principu, sve se operacije mogu izvesti izravno sa samim jednadžbama, ali zapis će se pokazati mnogo glomaznijim i bit će puno lakše zabuniti se u njemu.

Determinanta

Matrica također ima determinantu. Ovo je vrlo važna karakteristika. Ne vrijedi sada saznati njegovo značenje, možete samo pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice definira. Odrednicu je najlakše pronaći kroz dijagonale. U matrici su nacrtane imaginarne dijagonale; elementi na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom plus, s nagibom ulijevo - sa znakom minus.

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravokutnu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redaka i broja stupaca (neka bude k), a zatim označiti k stupaca i k redaka u matrici na proizvoljan način. Elementi na sjecištu odabranih stupaca i redaka formirat će novi kvadratna matrica... Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, nazvat će se bazni minor izvorne pravokutne matrice.

Prije nastavka rješavanja sustava jednadžbi Gaussovom metodom, ono ne ometa izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, tada možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U tako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sustava

Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njezine determinante različit od nule (ako se prisjetimo osnovnog minora, možemo reći da je rang matrice red osnovnog minora).

Kako stvari stoje s rangom, SLAE se može podijeliti na:

Zglobni. Imati kompatibilnih sustava, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se s rangom proširene (sa stupcem slobodnih članova). Takvi sustavi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se zglobni sustavi dodatno dijele na:
- izvjesni- imati jedinstveno rješenje. U određenim sustavima, rang matrice i broj nepoznanica (ili broj stupaca koji su isti) su jednaki;
- nedefiniran - s beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica za takve sustave manji je od broja nepoznanica.
Nespojivo. Imati takvih sustava, redovi glavne i proširene matrice se ne podudaraju. Nekompatibilni sustavi nemaju rješenja.

Gaussova metoda je dobra jer omogućuje da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekompatibilnosti sustava (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili opće rješenje za sustav s beskonačnim brojem rješenja.

Elementarne transformacije

Prije nego što prijeđete izravno na rješenje sustava, možete ga učiniti manje glomaznim i prikladnijim za izračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova provedba ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice, čiji je izvor bio upravo SLAE. Evo popisa ovih transformacija:

Permutacija linija. Očito, ako promijenite redoslijed jednadžbi u zapisu sustava, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, u matrici ovog sustava također možete mijenjati retke, ne zaboravljajući, naravno, na stupac slobodnih članova.
Množenje svih elemenata linije nekim faktorom. Vrlo korisno! Može se koristiti za skraćivanje veliki brojevi u matrici ili ukloniti nule. Mnoga rješenja, kao i obično, neće se promijeniti, a daljnje operacije postat će prikladnije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Izbrišite retke s proporcionalnim koeficijentima. To dijelom proizlazi iz prethodne točke. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od redaka s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako je tijekom transformacija negdje ispao niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni termin, jednaki nuli, onda se takav niz može nazvati nula i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (prema odgovarajućim stupcima), pomnoženo određenim koeficijentom. Najneočigledniji i naj važna transformacija od svega. Vrijedi se detaljnije zadržati.

Dodavanje retka pomnoženog faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je poduzeti ovaj proces korak po korak. Dva retka su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da trebate dodati prvo drugom, pomnoženo s koeficijentom "-2".

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Zatim se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Treba napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat zbrajanja dvaju retka, jedan od elemenata novog reda bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednadžbu u sustavu u kojem će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednadžbu koja će već sadržavati dvije nepoznanice manje. A ako svaki put okrenete na nulu jedan koeficijent za sve retke koji su niži od originala, onda se možete, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. To se zove rješavanje sustava Gaussovom metodom.

Općenito

Neka postoji sustav. Ima m jednadžbi i n nepoznatih korijena. Može se napisati na sljedeći način:

Glavna matrica se sastoji od koeficijenata sustava. Stupac slobodnih članova dodaje se proširenoj matrici i odvaja se linijom radi praktičnosti.

prvi red matrice se množi s koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
dodaju se prvi modificirani red i drugi red matrice;
umjesto drugog retka u matricu se umeće rezultat zbrajanja iz prethodnog stavka;
sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi isti niz transformacija, samo su uključeni prvi i treći redak. Prema tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 zamjenjuje se s 31. Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u recima jednak nuli. Sada moramo zaboraviti na red broj jedan i izvesti isti algoritam, počevši od drugog retka:

koeficijent k = (-a 32 / a 22);
drugi modificirani redak dodaje se "trenutnom" redu;
rezultat zbrajanja zamjenjuje se u treći, četvrti i tako dalje redak, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice prva dva elementa su već jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m, m-1 / a mm). To znači da je zadnji put algoritam izvršen samo za nižu jednadžbu. Matrica sada izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. Donja linija sadrži jednakost a mn × x n = b m. Koeficijent i odsječak su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x n = b m / a mn. Dobiveni korijen zamjenjuje se u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem retku nalazi se novi korijen, a kada dođete do "vrha" sustava, možete pronaći mnoga rješenja. Bit će to jedino.

Kad nema rješenja

Ako su u jednom od redova matrice svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki nuli, tada jednadžba koja odgovara ovom retku izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A budući da je takva jednadžba zatvorena u sustav, onda je skup rješenja cijelog sustava prazan, odnosno degeneriran.

Kad su rješenja beskrajna

Može se pokazati da u reduciranoj trokutastoj matrici nema redaka s jednim elementom-koeficijentom jednadžbe i jednim slobodnim članom. Postoje samo takvi redovi koji bi, kada bi se prepisali, imali oblik jednadžbe s dvije ili više varijabli. To znači da sustav ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku općeg rješenja. Kako to učiniti?

Sve varijable u matrici se dijele na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji su "na rubu" redaka u stepenastoj matrici. Ostali su besplatni. U općem rješenju osnovne varijable zapisuju se u terminima slobodnih.

Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje natrag u sustav jednadžbi. Zatim, u posljednjoj od njih, gdje ostaje samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. To se radi za svaku jednadžbu s jednom baznom varijablom. Zatim se, gdje je to moguće, dobiveni izraz za njega zamjenjuje u ostale jednadžbe, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable. Ako se kao rezultat ponovno pojavi izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovno izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapiše kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je opće rješenje SLAE.

Također možete pronaći osnovno rješenje za sustav - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim, za ovaj konkretni slučaj, izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačno mnogo privatnih rješenja.

Rješenje na temelju konkretnih primjera

Ovdje je sustav jednadžbi.

Radi praktičnosti, bolje je odmah sastaviti njegovu matricu

Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednadžba koja odgovara prvom retku na kraju transformacija ostati nepromijenjena. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će prvi elementi preostalih redaka nakon operacija nestati. To znači da će u sastavljenoj matrici biti korisno prvi red zamijeniti drugim.

drugi redak: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

treći redak: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Sada, da ne bi došlo do zabune, potrebno je napisati matricu s međurezultatima transformacija.

Očito je da se ovakva matrica može učiniti čitljivijom uz pomoć nekih operacija. Na primjer, iz drugog retka možete ukloniti sve "minuse" množenjem svakog elementa s "-1".

Također je vrijedno napomenuti da su u trećem retku svi elementi višestruki od tri. Zatim možete skratiti niz za ovaj broj, množeći svaki element s "-1/3" (minus - u isto vrijeme za uklanjanje negativne vrijednosti).

Izgleda puno ljepše. Sada moramo ostaviti prvu liniju na miru i raditi s drugom i trećom. Zadatak je trećem retku dodati drugi, pomnožen s takvim koeficijentom tako da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3 / 7 obični razlomak, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučite vrijedi li zaokružiti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica se ponovno upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao što vidite, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne daljnje transformacije sustava Gaussovom metodom. Ono što ovdje možete učiniti je ukloniti ukupni koeficijent "-1/7" iz trećeg retka.

Sada je sve lijepo. Stvar je mala - ponovno napisati matricu u obliku sustava jednadžbi i izračunati korijene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam po kojem će se sada pronaći korijeni naziva se obrnutim potezom u Gaussovoj metodi. Jednadžba (3) sadrži vrijednost z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

I prva jednadžba vam omogućuje da pronađete x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Takav sustav imamo pravo nazvati zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno jedinstvenim rješenjem. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer nedefiniranog sustava

Analizirana je varijanta rješavanja određenog sustava Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sustav nesiguran, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam oblik sustava već je alarmantan, jer je broj nepoznanica n = 5, a rang matrice sustava već je točno manji od ovog broja, jer je broj redaka m = 4, tj. najveći red determinante-kvadrata je 4. Dakle, rješenja ima beskonačno mnogo i potrebno je tražiti njegov opći izgled. Gaussova metoda za linearne jednadžbe vam to omogućuje.

Prvo, kao i obično, sastavlja se proširena matrica.

Drugi redak: koeficijent k = (-a 21 / a 11) = -3. U trećem retku prvi element je čak i prije transformacija, tako da ne trebate ništa dirati, morate ostaviti kako jest. Četvrti redak: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Množenjem elemenata prvog retka sa svakim od njihovih koeficijenata naizmjence i dodavanjem traženih redaka, dobivamo matricu sljedećeg oblika:

Kao što vidite, drugi, treći i četvrti redak sastavljeni su od elemenata proporcionalnih jedan drugome. Drugi i četvrti su općenito isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a preostali se može pomnožiti s koeficijentom "-1" i dobiti redak broj 3. I opet, ostavite jedan od dva identična reda.

Rezultat je takva matrica. Sustav još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stojeće s koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, a slobodno - sve ostale.

U drugoj jednadžbi postoji samo jedna bazna varijabla - x 2. Dakle, odatle se može izraziti pisanjem u terminima varijabli x 3, x 4, x 5, koje su slobodne.

Zamijenite rezultirajući izraz u prvu jednadžbu.

Rezultat je jednadžba u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Učinimo s njim isto kao i s x 2.

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne, sada možete napisati odgovor u općem obliku.

Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sustava. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada bi odgovor bio:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekonzistentnog sustava

Najbrže je rješenje nekonzistentnih sustava jednadžbi Gaussovom metodom. Završava odmah, čim se u jednoj od faza dobije jednadžba koja nema rješenje. Odnosno, faza s izračunom korijena, koja je prilično duga i turobna, nestaje. Razmatra se sljedeći sustav:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, sastavlja se matrica:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti prikaz:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći redak sadrži jednadžbu oblika

bez rješenja. Dakle, sustav je nedosljedan, a odgovor je prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu rješavanja SLAE-ova na papiru olovkom, tada metoda o kojoj se govori u ovom članku izgleda najatraktivnije. Elementarne transformacije mnogo je teže zbuniti nego kada morate ručno tražiti determinantu ili neku pametnu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, ispada da takvi programi već imaju algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i tako dalje. A ako možete biti sigurni da će stroj sam izračunati te vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava izračunom determinanti i inverzne matrice.

Primjena

Budući da je Gaussovo rješenje algoritam, a matrica je, zapravo, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. No budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da su najjednostavnije mjesto gdje se metoda može ugurati proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE uneseni u tablicu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoje mnoge zgodne naredbe: zbrajanje (mogu se dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrice (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponirane matrice i većina što je važno, izračunavanje determinante. Ako se ovaj naporan zadatak zamijeni jednom naredbom, moguće je puno brže odrediti rang matrice i, stoga, utvrditi njezinu kompatibilnost ili nedosljednost.

U ovom se članku metoda razmatra kao način rješavanja sustava linearnih jednadžbi (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućuje vam da napišete algoritam rješenja u općem obliku, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom možete raditi s onima koji imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopće nemate.

Što znači riješiti Gaussovom metodom?

Prvo, trebate napisati naš sustav jednadžbi u To izgleda ovako. Sustav se uzima:

Ovo je vrlo opći opis Gaussovog rješenja. Što se događa ako sustav odjednom nema rješenja? Ili ih ima beskonačno mnogo? Za odgovor na ova i mnoga druga pitanja potrebno je zasebno razmotriti sve elemente korištene u rješavanju Gaussove metode.

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog značenja. To je samo prikladan način za snimanje podataka za kasniju manipulaciju. Čak ih se i školarci ne trebaju bojati.

Matrica je veličine. Njegova "širina" je broj redaka (m), njegova "duljina" je broj stupaca (n). Tada će veličina matrice A (za njihovo označavanje obično se koriste velika latinična slova) biti označena kao A m × n. Ako je m = n, tada je ova matrica kvadratna, a m = n je njezin redoslijed. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog retka i stupca: a xy; x - broj reda, mijenja se, y - broj stupca, mijenja se.

B nije glavna točka odluke. U principu, sve se operacije mogu izvesti izravno sa samim jednadžbama, ali zapis će se pokazati mnogo glomaznijim i bit će puno lakše zabuniti se u njemu.

Determinanta

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravokutnu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redaka i broja stupaca (neka bude k), a zatim označiti k stupaca i k redaka u matrici na proizvoljan način. Elementi na sjecištu odabranih stupaca i redaka formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, nazvat će se bazni minor izvorne pravokutne matrice.

Klasifikacija sustava

Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njezine determinante različit od nule (ako se prisjetimo osnovnog minora, možemo reći da je rang matrice red osnovnog minora).

Kako stvari stoje s rangom, SLAE se može podijeliti na:

Zglobni. Imati kompatibilnih sustava, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se s rangom proširene (sa stupcem slobodnih članova). Takvi sustavi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se zglobni sustavi dodatno dijele na:
- izvjesni- imati jedinstveno rješenje. U određenim sustavima, rang matrice i broj nepoznanica (ili broj stupaca koji su isti) su jednaki;
- nedefiniran - s beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica za takve sustave manji je od broja nepoznanica.
Nespojivo. Imati takvih sustava, redovi glavne i proširene matrice se ne podudaraju. Nekompatibilni sustavi nemaju rješenja.

Elementarne transformacije

Permutacija linija. Očito, ako promijenite redoslijed jednadžbi u zapisu sustava, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, u matrici ovog sustava također možete mijenjati retke, ne zaboravljajući, naravno, na stupac slobodnih članova.
Množenje svih elemenata linije nekim faktorom. Vrlo korisno! Može se koristiti za smanjenje velikih brojeva u matrici ili uklanjanje nula. Mnoga rješenja, kao i obično, neće se promijeniti, a daljnje operacije postat će prikladnije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Izbrišite retke s proporcionalnim koeficijentima. To dijelom proizlazi iz prethodne točke. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od redaka s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako je tijekom transformacija negdje ispao niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni termin, jednaki nuli, onda se takav niz može nazvati nula i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (prema odgovarajućim stupcima), pomnoženo određenim koeficijentom. Najsuptilnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati.

Dodavanje retka pomnoženog faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je poduzeti ovaj proces korak po korak. Dva retka su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da trebate dodati prvo drugom, pomnoženo s koeficijentom "-2".

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Zatim se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Općenito

Neka postoji sustav. Ima m jednadžbi i n nepoznatih korijena. Može se napisati na sljedeći način:

Glavna matrica se sastoji od koeficijenata sustava. Stupac slobodnih članova dodaje se proširenoj matrici i odvaja se linijom radi praktičnosti.

prvi red matrice se množi s koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
dodaju se prvi modificirani red i drugi red matrice;
umjesto drugog retka u matricu se umeće rezultat zbrajanja iz prethodnog stavka;
sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeficijent k = (-a 32 / a 22);
drugi modificirani redak dodaje se "trenutnom" redu;
rezultat zbrajanja zamjenjuje se u treći, četvrti i tako dalje redak, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice prva dva elementa su već jednaka nuli.

Kad nema rješenja

Kad su rješenja beskrajna

Rješenje na temelju konkretnih primjera

Ovdje je sustav jednadžbi.

Radi praktičnosti, bolje je odmah sastaviti njegovu matricu

drugi redak: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

treći redak: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Sada, da ne bi došlo do zabune, potrebno je napisati matricu s međurezultatima transformacija.

Očito je da se ovakva matrica može učiniti čitljivijom uz pomoć nekih operacija. Na primjer, iz drugog retka možete ukloniti sve "minuse" množenjem svakog elementa s "-1".

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 razlomaka, a tek kasnije, kada se dobiju odgovori, odlučite isplati li se zaokružiti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica se ponovno upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Sada je sve lijepo. Stvar je mala - ponovno napisati matricu u obliku sustava jednadžbi i izračunati korijene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam po kojem će se sada pronaći korijeni naziva se obrnutim potezom u Gaussovoj metodi. Jednadžba (3) sadrži vrijednost z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

I prva jednadžba vam omogućuje da pronađete x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Takav sustav imamo pravo nazvati zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno jedinstvenim rješenjem. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer nedefiniranog sustava

Analizirana je varijanta rješavanja određenog sustava Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sustav nesiguran, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Prvo, kao i obično, sastavlja se proširena matrica.

Množenjem elemenata prvog retka sa svakim od njihovih koeficijenata naizmjence i dodavanjem traženih redaka, dobivamo matricu sljedećeg oblika:

Rezultat je takva matrica. Sustav još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stojeće s koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, a slobodno - sve ostale.

U drugoj jednadžbi postoji samo jedna bazna varijabla - x 2. Dakle, odatle se može izraziti pisanjem u terminima varijabli x 3, x 4, x 5, koje su slobodne.

Zamijenite rezultirajući izraz u prvu jednadžbu.

Rezultat je jednadžba u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Učinimo s njim isto kao i s x 2.

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne, sada možete napisati odgovor u općem obliku.

Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sustava. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada bi odgovor bio:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekonzistentnog sustava

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, sastavlja se matrica:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti prikaz:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći redak sadrži jednadžbu oblika

bez rješenja. Dakle, sustav je nedosljedan, a odgovor je prazan skup.