Graf primitivne funkcije za pronalaženje vrijednosti funkcije. Funkcija slično. Glavno vlasništvo je primitivno

Vrsta zadatka: 7
Predmet: Pred-nalik funkciji

Stanje

Slika prikazuje grafikon funkcije Y \u003d F (X) (koji je slomljena linija sastavljena od tri ravna linijska segmenta). Koristeći uzorak izračunati f (9) -f (5), gdje je F (x) jedna od primitivnih funkcija F (x).

Pokazati odluku

Odluka

Prema Newton formuli, razlika F (9) -F (5), gdje je F (x) jedna od primitivnih funkcija F (x), jednaka je području curvilinear trapeziona, ograničena grafikonom Funkcija Y \u003d F (X), ravna y \u003d 0, X \u003d 9 i X \u003d 5. Prema grafikonu definiramo da je navedeni curvilinear trapez trapez s bazama jednakim 4 i 3 i visinu od 3.

Njezino područje je jednako Frac (4 + 3) (2) CDot 3 \u003d 10.5.

Odgovor

Vrsta zadatka: 7
Predmet: Pred-nalik funkciji

Stanje

Slika prikazuje grafikon funkcije Y \u003d F (X) - jedan od primitivnih nekih funkcija F (x) definiranih na intervalu (-5; 5). Uzimanje ove slike definirajte broj otopina jednadžbe f (x) \u003d 0 na segmentu [-3; četiri].

Pokazati odluku

Odluka

Prema definiciji primitivnog, jednakost se izvodi: f "(x) \u003d f (x). Stoga je jednadžba F (x) \u003d 0 može se napisati kao F" \u200b\u200b(x) \u003d 0. Budući da slika prikazuje grafikon funkcije Y \u003d F (X), onda morate pronaći te točke intervala [-3; 4], u kojoj je derivat funkcija f (x) nula. Iz slike je jasno da će to biti bijetine ekstremnih točaka (maksimalno ili minimalno) grafikona F (X). Oni su na određenom prazninu točno 7 (četiri minimalne i tri maksimalne točke).

Odgovor

Izvor: "Matematika. Priprema za EEG-2017. Razina profila"" Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta zadatka: 7
Predmet: Pred-nalik funkciji

Stanje

Slika prikazuje grafikon funkcije Y \u003d F (X) (koji je slomljena linija sastavljena od tri ravna linijska segmenta). Koristeći uzorak izračunati f (5) -f (0), gdje je F (x) jedna od primitivnih funkcija F (x).

Pokazati odluku

Odluka

Prema Newton formuli, razlika f (5) -f (0), gdje je F (x) jedna od primitivnih funkcija F (x), jednaka površinu curvilinear trapeziona, ograničena grafikonom Funkcija Y \u003d F (x), izravna y \u003d 0, x \u003d 5 i x \u003d 0. Prema grafikonu, utvrđujemo da je navedeni curvilinear trapez trapezium s bazama jednakim 5 i 3 i visinu od 3.

Njezino područje je jednako Frac (5 + 3) (2) CDot 3 \u003d 12.

Odgovor

Izvor: "Matematika. Priprema za EEG-2017. Razina profila. " Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta zadatka: 7
Predmet: Pred-nalik funkciji

Stanje

Slika prikazuje grafikon funkcije Y \u003d F (X) - jedan od primarnih nekih funkcija F (x) definiranih na intervalu (-5; 4). Uzimajući ovu sliku, odredite broj otopina jednadžbe F (x) \u003d 0 na segmentu (-3; 3].

Pokazati odluku

Odluka

Iz slike je jasno da će to biti bijetine ekstremnih točaka (maksimalno ili minimalno) grafikona F (X). Oni su na određenom prazninu točno 5 (dvije minimalne točke i tri maksimalne točke).

Odgovor

Izvor: "Matematika. Priprema za EEG-2017. Razina profila. " Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta zadatka: 7
Predmet: Pred-nalik funkciji

Stanje

Slika prikazuje grafikon neke funkcije Y \u003d F (X). Funkcija F (X) \u003d - X ^ 3 + 4.5x ^ 2-7 je jedna od primitivnih funkcija F (x).

Pronađite područje zasjenjene lik.

Pokazati odluku

Odluka

Zasjenjena slika je curvilinear trapez, ograničen s vrha grafikona funkcije y \u003d f (X), ravan y \u003d 0, X \u003d 1 i X \u003d 3. Prema Newton formuli, njezino područje s je jednako razlikama F (3) -F (1), gdje je F (X) primitivna funkcija F (X) navedena u stanju. stoga S \u003d. F (3) -f (1) \u003d -3 ^ 3 + (4.5) CDot 3 ^ 2 -7 - (- 1 ^ 3 + (4.5) CDot 1 ^ 2 -7) \u003d 6,5-(-3,5)= 10.

Odgovor

Izvor: "Matematika. Priprema za EEG-2017. Razina profila. " Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta zadatka: 7
Predmet: Pred-nalik funkciji

Stanje

Slika prikazuje grafikon neke funkcije Y \u003d F (X). Funkcija F (X) \u003d X ^ 3 + 6x ^ 2 + 13x-5 je jedna od primitivnih funkcija F (x). Pronađite područje zasjenjene lik.

Funkcija F (x. ) nazvan u obliku predo Za funkciju f (x.) U određenom intervalu, ako za sve x. jednakost se izvodi iz ovog jaza

F "(x. ) = f.(x. ) .

Na primjer, funkcija F (x) \u003d x 2 f (x. ) = 2h. kao

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Glavno vlasništvo je primitivno

Ako a F (x) - Savršeno za funkciju f (x) Na određenom prazninu, onda funkcija f (x) Ima beskrajno mnogo primitivnih, a sve te primitivne mogu biti napisane kao F (x) + sgdje IZ - proizvoljna konstanta.

Na primjer.

Funkcija F (x) \u003d x 2 + 1 je primarna za funkciju

f (x. ) = 2h. kao F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x);

funkcija F (x) \u003d x 2 - 1 je primarna za funkciju

f (x. ) = 2h. kao F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ;

funkcija F (x) \u003d x 2 - 3 je primarna za funkciju

f (x.) = 2h. kao F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x);

bilo koja značajka F (x) \u003d x 2 + IZ gdje IZ - proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je primitivna za funkciju f (x.) = 2h. . ◄

Pravila za izračunavanje primarnog

Ako a F (x) - prednje za f (x) , ali G (x) - prednje za g (x) T. F (x) + g (x) - prednje za f (x) + g (x) , Drugim riječima, prvi iznos je jednak zbroju Primordijalnog .
Ako a F (x) - prednje za f (x) , I. k. - konstantno, zatim k. · F (x) - prednje za k. · f (x) , Drugim riječima, trajni multiplikator može se izvršiti za derivatnu oznaku .
Ako a F (x) - prednje za f (x) , I. k., B.- Konstanta, i k ≠ 0 T. 1 / K. · F (k. x +.b. ) - prednje za f.(k. x +. b.) .

Nesiguran integral

Ne definiran integral iz funkcije f (x) nazvan izraz F (x) + s, to jest, ukupnost svih primarne ove značajke f (x) , Označava neodređeni integral pa:

∫ f (x) dx \u003d f (x) + s ,

f (x)- Poziv integrirana funkcija ;

f (x) dx - Poziv konkretan izraz ;

x. - Poziv integracija s promjenjivom ;

F (x) - Jedna od primitivnih funkcija f (x) ;

IZ - proizvoljna konstanta.

Na primjer, ∫ 2 x dx \u003d.h. 2 + IZ , ∫ cos.x dx \u003d.grijeh. h. + IZ itd ◄

Riječ "integralna" dolazi od latinske riječi cijeli broj Što znači "obnovljeni". S obzirom na neodređeni integralni od 2 x. , Mi ćemo vratiti funkciju h. 2 izvedeni koji je jednak 2 x. , Restauracija funkcije njegov derivat, ili da je to isto, nazvan je i pronalaženje neodređenog integrala na ovoj integralnoj funkciji integracija Ova značajka. Integracija je operacija, inverzna diferencijacija. Kako bi se provjerilo je li integracija ispravno izvršena, dovoljno je da ne informirate rezultat i dobiti funkciju izvora.

Glavna svojstva neodrežnog integrala

Derivat neodrežnog integrala jednak je funkciji integracije:

(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .

Stalni multiplikator integriranog izraza može se napraviti za integralni znak:

∫ k. · f (x) dx = k. · ∫ f (x) dx .

Sastavni dio iz iznosa (razlika) funkcija jednaka sumu (razlike) integrala iz tih funkcija:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (X. ) dx .

Ako a k., B.- Konstanta, i k ≠ 0 T.

∫ f ( k. x +. b.) dx = 1 / K. · F (k. x +.b. ) + S. .

Tablica primarnih i neodređenih integrala

	f (x)	F (x) + c	∫ f (x) dx \u003d f (x) + s
I.	$$0$$	$$ c $ $.	$$ int 0dx \u003d c $ $
Ii.	$$ K $$	$$ KX + C $ $	$$ INT KDX \u003d KX + C $ $
Iii.	$$ x ^ n ~ (n neq-1) $$	$$ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $ $	$$ in int x ^ ndx \u003d frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $ $
Iv.	$$ frac (1) (x) $$	$$ LN \| X \| + C $$	$$ in int \\ int \\ t (DX) (x) \u003d ln \| x \| + c $ $
Vlan	$$ grijeh x $ $	$$ - cos x + c $ $	COS X + C $ $
Vi.	$$ cos x $ $	$$ grijeh x + c $ $	$$ int cos x ~ dx \u003d grijeh x + c $ $
VII.	$$ frac (1) (cos ^ 2x) $$	$$ Textrm (tg) ~ x + c $ $	$$ int \\ int \\ incrac (dx) (cos ^ 2x) \u003d Textrm (tg) ~ x + c $ $
Viii.	$$ frac (1) (grijeh ^ 2x) $$	$$ - Textrm (CTG) ~ X + C $$	$$ in int \\ in int \\ t (DX) (grijeh b
Ix.	$$ e ^ x $$	$$ e ^ x + c $ $	$$ in int e ^ xdx \u003d e ^ x + c $ $
X.	$$ A ^ x $$	$$ frac (^ x) (ln a) + c $ $	$$ in int a ^ xdx \u003d frac (^ x) (ln a) + c $ $
Xi.	$$ frac (1) (sqrt (1-x ^ 2)) $$	$$ Arcsin X + C $ $	$$ in int \\ incrac (DX) (sqrt (1-x ^ 2)) \u003d arcsin x + c $ $
XII.	$$ frac (1) (sqrt (^ 2-x ^ 2)) $$	$$ Arcsin frac (x) (a) + c $ $	$$ in int \\ incrac (DX) (sqrt (^ 2-x ^ 2) \u003d arcsin
XIII.	$$ frac (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ TEXTRM (ARCTG) ~ X + C $ $	$$ in int \\ int \\ in int \\ t
XIV.	$$ frac (1) (^ 2 + x ^ 2) $$	$$ frac (1) (a) Textrm (ARCTG) ~ Frac (x) (a) + c $ $	$$ in int \\ int \\ in int \\ t (DX) (^ 2 + x ^ 2) \u003d frac (1) (a) Textrm (ARCTG)
Xv	$$ frac (1) (sqrt (^ 2 + x ^ 2)) $$	$$ LN \| X + SQRT (^ 2 + x ^ 2) \| + C $ $	$$ int \\ int \\ int \\ int \\ t
XVI.	$$ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (neq0) $$	$$ frac (1) (2a) početi (vmatrix) frac (x-a) (x + a) kraj (vmatrix) + c $ $	$$ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ t C $ $.
XVII.	$$ Textrm (tg) ~ x $$	$$ - cos X \| + c $ $	$$ in int \\ thtrm (tg) ~ x ~ dx \u003d - ln \| cos x \| + c $ $
XVIII.	$$ Textrm (CTG) ~ x $$	$$ LN \| SIN X \| + C $$	$$ in int \\ tAxtram (CTG) ~ x ~ dx \u003d \\ _ £ \| grijeh x \| + c $ $
XIX.	$$ frac (1) (grijeh x) $$	$$ ln Početak (vmatrix) Textrm (X) (x) (2) \\ t	$$ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ t
XX.	$$ frac (1) (cos x) $$	$$ ln \\ t	$$ int \\ int \\ in int \\ t ) Kraju (vmatrix) + c $ $
Prvi i neodređeni integrali dani u ovoj tablici su uobičajeni. stolovi su primitivni i integrali stolova .

Određeni integralni

Dopustiti biti na intervalu [a.; B.] namjestiti kontinuirana funkcija y \u003d f (x) onda definiran integral od a do b Funkcije f (x) Primetak je primitivan F (x) ova funkcija, to jest

$$ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ f (a) -f (b). $$

Brojevi a.i b. pod nazivom nizhina i gornji granice integracije.

Osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala

1. (int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\ t

2. (int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - int_ (b) ^ (a) f (x) dx);

3. \\ t k. - konstantno;

4. \\ T g (x) dx);

5. \\ t ;

6. (int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 int_ (0) ^ (a) f (x) dx), gdje f (x) - čak i funkcija;

7. (int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\ t f (x) - Neparna značajka.

Komentar , U svim slučajevima pretpostavlja se da su integrirane funkcije integrirane u numeričkim intervalima čije granice su granice integracije.

Geometrijsko i fizičko značenje određenog integralnog

Geometrijsko značenje definiran integral	Fizičko značenje definiran integral

Područje S. curvilinear trapezium (slika ograničena na kontinuirani pozitivan raspored u intervalu [a.; B.] Funkcije f (x) , os VOL. I ravno x \u003d A. , x \u003d B. ) izračunava se formulom $$ s \u003d int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Put s.koji prevladavaju materijalnu točku pomicanjem ravno brzinom koja se mijenja po zakonu v (t) , s vremenom a ; B.], zatim područje slike, ograničeno grafikonima tih funkcija i izravno x \u003d A. , x \u003d B. , izračunate formulom $$ s \u003d int_ (a) ^ (b) (f (x) -G (x)) dx. $$
	Na primjer. Izračunajte područje slici ograničenih linija y \u003d X. 2 i y \u003d.2 - X. . Pokazat ću shematski grafiku ovih funkcija i istaknuti brojku kojih želite pronaći područje. Da biste pronašli granice integracije rješavanjem jednadžbe: x. 2 = 2 - X. ; x. 2 + x -2 = 0 ; x. 1 = -2, X. 2 = 1 . $$ s \u003d int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d lijevo (2x- frac (x ^ 2) (2) - frac (x ^ 3) (2) \\ t Desno) bigm \| (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 frac (1) (2). $$. ◄

Opseg rotacije

Ako se tijelo dobije kao rezultat rotacije u blizini osi VOL. curvilinear trapezium ograničen grafikonom kontinuiranog i ne-negativnog u intervalu [a.; B.] funkcije y \u003d f (x) I ravno x \u003d A.i x \u003d B. onda se zove tijelo rotacije .

Opseg rotacije izračunava se formulom

$$ v \u003d PI_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$

Ako se dobije tijelo rotacije kao rezultat rotacije slike, ograničeno odozgo i ispod grafikona funkcija y \u003d f (x) i y \u003d g (x) , u skladu s tim, onda

$$ v \u003d PI in int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -G ^ 2 (x)) dx. $$

Na primjer. Izračunati volumen konusa s radijusom r. i visina h. .

Stavite konus u pravokutni koordinatni sustav tako da se njegova os podudara s osi VOL. I središte baze bio je smješten na početku koordinata. Rotacija formiranja Ab Određuje konus. Od jednadžbe Ab

$$ frac (x) (h) + frac (y) (r) \u003d 1, $$

$$ y \u003d r- frac (rx) (h) $$

i za volumen konusa imamo

$$ v \u003d PI in int_ (0) ^ (h) (r- frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d pi r ^ 2 int_ (0) ^ (h) (1- frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - pi r ^ 2h cDot frac ((1- frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - pi r ^ 2h lijevo (0- frac (1) (3) desno) \u003d frac (pi r ^ 2h) (3). $$

◄

Svrha:

Formiranje koncepta primitivnog.
Priprema za percepciju integrala.
Stvaranje računalnih vještina.
Obrazovanje osjećaja lijepe (sposobnost da vidi ljepotu u neobičnom).

Matematička analiza je skup dijelova matematike posvećene proučavanju funkcija i njihovim generalizacijama metodama diferencijalnog i integralnog računa.

Ako smo do sada studirali dio matematičke analize nazvane diferencijalni račun, čija je bit proučavanja funkcije u "malom".

Oni. Funkcija istraživanja u dovoljno malom okruženju svake točke definicije. Jedna od raste diferencijacije je temelj derivata (diferencijala) i primjene funkcija na studiju.

Nije manje važno suprotan zadatak. Ako je ponašanje funkcije poznato u blizini svake točke određivanja, onda kako vratiti funkciju kao cjelinu, tj. U cijelom području njegove definicije. Ovaj zadatak je predmet proučavanja takozvanog cjelokupnog izračuna.

Integracija je učinak obrnutog diferencijacije. Ili obnavljanje funkcije F (X) za ovaj derivat F` (X). Latinska riječ "Integro" znači oporavak.

Primjer №1.

Neka (x) `\u003d 3x 2.
Pronađite F (x).

Odluka:

Oslanjajući se na pravilu diferencijacije, nije teško pogoditi da f (x) \u003d x 3, za (x 3) `\u003d 3x 2
Međutim, može se lako primijetiti da je F (x) dvosmislen.
Kao f (x) možete uzeti
F (x) \u003d x 3 +1
F (x) \u003d x 3 + 2
F (x) \u003d x 3 -3, itd.

Jer izveden je svaki od njih 3x 2. (Derivatna konstanta je 0). Sve te funkcije razlikuju se od drugih konstantnih uvjeta. Stoga se opće rješenje problema može napisati u obliku F (X) \u003d X3 + C, gdje C je bilo koji konstantan važeći broj.

Bilo koja od pronađenih funkcija F (x) se zove U obliku predo Za funkciju F` (x) \u003d 3x 2

Definicija. Funkcija F (X) naziva se primitivna za funkciju F (X) na specificiranom Gap J, ako za sve X iz ovog jaza F` (X) \u003d F (X). Tako je funkcija F (x) \u003d x 3 primitivna za F (X) \u003d 3x 2 na (- ∞; ∞).
Budući da je za sve x ~ r, jednakost je istinita: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Kao što smo već primijetili, ova funkcija ima beskonačan skup primitivnih (vidi primjer br. 1).

Primjer broj 2. Funkcija F (x) \u003d X je primitivna za sve f (x) \u003d 1 / x na intervalu (0; +), jer Za sve X iz ovog jaza se izvodi jednakost.
F` (x) \u003d (x 1/2) `\u003d 1 / 2x -1/2 \u003d 1 / 2x

Primjer broj 3. Funkcija F (x) \u003d TG3X je primitivna za F (X) \u003d 3 / COS3X na intervalu (-P / 2; P / 2),
jer F` (x) \u003d (tg3x) `\u003d 3 / cos 2 3x

Primjer broj 4. Funkcija F (X) \u003d 3Sin4x + 1 / X-2 Vrijedi za F (X) \u003d 12COS4X-1 / X 2 u intervalu (0; ∞)
Jer F` (X) \u003d (3Sin4x) + 1 / X-2) `\u003d 4Cos4x-1 / x 2

Predavanje 2.

Tema: Pred-nalik. Glavno vlasništvo primitivne funkcije.

Prilikom studija, mi ćemo se osloniti na sljedeću tvrdnju. Znak postojane funkcije: Ako je na GAP J derivat ψ (x) funkcije je 0, tada je funkcija ψ (x) konstantna na ovom prazninu.

Ova se izjava može prikazati geometrijski.

Poznato je da je ψ (X) \u003d TGA, γDe α kut nagiba tangenta na grafikonu funkcije ψ (x) u točki s apscisa X 0. Ako je ψ '(υ) \u003d 0 u bilo kojem trenutku jaza J, tada je TGα \u003d 0 Δhill bilo koji tangent na grafikonu funkcije ψ (x). To znači da je tangenta na grafiku funkcije u bilo kojoj točki paralelno s Abscisa osi. Stoga, u navedenom intervalu, grafikon funkcije ψ (X) podudara se s duljinom izravnog Y \u003d S.

Dakle, funkcija F (x) \u003d C je konstantna na GAP J, ako je F` (x) \u003d 0 na ovom prazninu.

Doista, za proizvoljne X 1 i X 2 intervala J po prosječnom funkcijskom teoremu, možete pisati:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), jer F` (c) \u003d 0, zatim f (x 2) \u003d f (x 1)

Teorem: (Glavno vlasništvo primitivne funkcije)

Ako je F (X) jedna od primitivnih funkcija F (x) na GAP J, skup svih primarnih funkcija je: f (X) + C, gdje je C bilo koji važeći broj.

Dokaz:

Neka F` (x) \u003d f (X), zatim (F (x) + c) `\u003d f` (x) + s` \u003d f (x), za X є j.
Pretpostavimo da postoji φ (x) je još jedan primitivan za F (x) na Gap J, tj. `(X) \u003d f (x),
Zatim (φ (X) - F (X)) `\u003d f (X) - F (X) \u003d 0, za X j.
To znači da je φ (x) - F (x) konstantna na prazninu J.
Prema tome, φ (x) - f (x) \u003d S.
Gdje φ (x) \u003d f (x) + s.
To znači da ako je F (x) primitivni za funkciju F (x) na GAP J, tada se skup svih primarnih funkcija je: f (X) + C, gdje je C bilo koji važeći broj.
Slijedom toga, svaka dva primarna ova značajka razlikuju se od drugih stalnih uvjeta.

Primjer: Pronađite mnoge osnovne funkcije f (x) \u003d cos x. Slika grafike prva tri.

Odluka: Sin X je jedan od prvih koji funkcionira f (x) \u003d cos x
F (x) \u003d grijeh X + s mnogo primitivnih.

F 1 (x) \u003d sin x-1
F 2 (x) \u003d grijeh x
F 3 (x) \u003d sin x + 1

Geometrijska ilustracija: Graf bilo kojeg primitivnog F (X) + C može se dobiti iz grafikona primitivnog F (X) uz pomoć paralelnog prijenosa R (0; C).

Primjer: Za funkciju f (x) \u003d 2x, pronađite primitivni, čiji grafikon prolazi kroz TM (1; 4)

Odluka: F (x) \u003d x 2 + c - skup svih primordijalnih, f (1) \u003d 4 - po stanju problema.
Dakle, 4 \u003d 1 2 + s
C \u003d 3.
F (x) \u003d x 2 +3

Funkcija slično f (x) U intervalu (a; b) Ova se značajka zove F (x)da se jednakost izvodi za bilo koji h. Od navedenog jaza.

Ako uzmete u obzir činjenicu da je derivat konstante IZ jednaka nuli, onda je jednakost u pravu. Dakle, funkcija f (x) Ima mnogo primitivnih F (x) + cza proizvoljnu konstantu IZ, Štoviše, ova primitivna se razlikuju od drugih u proizvoljnu konstantnu vrijednost.

Definicija nesiguran integral.

Sve mnoge primitivne funkcije f (x) nazvao je neizvjestan sastavni dio ove funkcije i naznačeno je .

Izraz se zove konkretan izraz, ali f (x) – integrirana funkcija, Integrand je diferencijalna funkcija f (x).

Akcija pronalaženja nepoznate funkcije prema njegovom definiranom diferencijalu nesiguran integracija jer rezultat integracije nije jedna funkcija F (x)i mnogi njezini primitivni F (x) + c.

Geometrijsko značenje nedefiniranog integrala. Graf primarnog D (X) naziva se integralna krivulja. U koordinatnom sustavu X0U, grafika svih primitivnih iz ove funkcije predstavlja obitelj krivulja, ovisno o vrijednosti konstantnog C i dobivenom jednom od drugog paralelnom pomicanjem duž osi 0-. Na primjer, gore, imamo gore, imamo:

J 2 x ^ x \u003d X2 + C.

Obitelj primitivnog (X + C) geometrijski interpretira kombinacijom parabole.

Ako je jedan od obitelji prvi put pronaći jedan, dodatni uvjeti su postavljeni za određivanje stalne C. obično, u tu svrhu, na određeni su početni uvjeti: s vrijednošću argumenta x \u003d X0 funkcija ima vrijednost d (x0) \u003d y0.

Primjer. Potrebno je pronaći jednu od primitivnih funkcija Y \u003d 2 x, koja uzima vrijednost od 3 na X0 \u003d 1.

Željeni primitivni: D (X) \u003d X2 + 2.

Odluka. ^ 2x ^ x \u003d X2 + C; 12 + c \u003d 3; C \u003d 2.

2. Osnovna svojstva nesigurnog integrala

1. Derivat neodrežnog integrala jednak je funkciji smjernica:

2. Diferencijal neodređenog integrala jednaka je animatskom izrazu:

3. Na neodrezni integralni diferencijal neke funkcije jednak je zbroj ove funkcije i proizvoljna konstanta:

4. Stalni multiplikator može se izvršiti za integralni znak:

5. Integnt u iznosu (razlika) je jednak količini (razlika) integrala:

6. Imovina je kombinacija svojstava 4 i 5:

7. imovina invarijanta nerefinitskog integrala:

Ako a T.

8. imovina:

Ako a T.

U stvari, ova nekretnina je posebna predmeta integracije pomoću metode zamjene, koja je detaljnije opisana u sljedećem odjeljku.

Razmotrite primjer:

3. Metoda integracije U kojoj je ovaj integralni integrirane transformacije integrirane funkcije (ili izraze), a upotreba svojstava neodređenog integrala daje se jednom ili više tabularnih integrala, nazvan neposredna integracija, Kada se često koristi ovaj integral, često se koriste sljedeće diferencijalne transformacije (operacija " spremanje znaka diferencijala»):

Uopće, f '(u) du \u003d d (f (u)). Ova (formula se vrlo često koristi pri izračunavanju integrala.

Pronaći sastavni dio

Odluka. Koristimo integralne nekretnine kako bismo ovaj sastavni dio dali nekoliko tabličnih.

4. Integraciju supstitucijom.

Suština metode je u tome što uvozimo novu varijablu, izrazimo izvornu funkciju kroz ovu varijablu, kao rezultat stižemo do stola (ili jednostavnijeg) integralnog tipa.

Vrlo često metoda zamjene pomaže integrirati trigonometrijske funkcije i funkcije s radikalima.

Primjer.

Pronaći neodređeni integralni .

Odluka.

Uvodimo novu varijablu. Izraziti h. kroz z:

Izvodimo zamjenu primljenih izraza u izvorni integralni:

Iz tablice primitivnog .

Ostaje da se vrati na izvornu varijablu h.:

Odgovor:

Jedna od raste diferencijacije je temelj derivata (diferencijala) i primjene funkcija na studiju.

Integracija je učinak obrnutog diferencijacije. Ili obnavljanje funkcije F (X) za ovaj derivat F` (X). Latinska riječ "Integro" znači oporavak.

Primjer №1.

Neka (f (x)) "\u003d 3x 2. Pronađite F (x).

Odluka:

Oslanjajući se na pravilo diferencijacije, nije teško pogoditi da f (x) \u003d x 3, za

(x 3) '\u003d 3x 2 Međutim, može se lako primijetiti da je F (x) dvosmislen. Kao f (x) možete uzeti f (x) \u003d x 3 + 1 f (x) \u003d x 3 + 2 f (x) \u003d x 3 -3 itd.

Jer Derivat svakog od njih je 3x 2. (Derivatna konstanta je 0). Sve te funkcije razlikuju se od drugih konstantnih uvjeta. Stoga se opće rješenje problema može napisati u obliku F (X) \u003d X3 + C, gdje C je bilo koji konstantan valjani broj.

Bilo koja od pronađenih funkcija F (x) se zove U obliku predo Za funkciju F` (x) \u003d 3x 2

Definicija.

Funkcija F (X) naziva se primitivna za funkciju F (X) na specificiranom Gap J, ako za sve X iz ovog jaza F` (X) \u003d F (X). Tako je funkcija F (x) \u003d x 3 primitivna za F (X) \u003d 3x 2 na (- ∞; ∞). Budući da je za sve X ~ r, jednakost je istinita: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Kao što smo već primijetili, ova funkcija ima beskonačan skup primitivnih.

Primjer broj 2.

Funkcija je primitivna za sve na intervalu (0; + ∞), jer Za sve H iz ovog jaza se izvodi jednakost.

Zadatak integracije je pronaći sve njegove primitivne funkcije za određenu funkciju. U rješavanju ovog zadatka, sljedeća izjava ima važnu ulogu:

Znak postojane funkcije. Ako f "(x) \u003d 0 na nekom prazninu i, onda je funkcija f trajna u ovom intervalu.

Dokaz.

Popravite nešto x 0 jaza I. Zatim za bilo koji broj takvog razmaka zbog formule Lagrange, možete odrediti takav broj C priložen između X i X 0 koji

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (X - x 0).

Pod uvjetom f '(c) \u003d 0, budući da je, stoga,

F (x) - F (x 0) \u003d 0.

Tako za sve x iz intervala i

t e. Funkcija f zadržava konstantnu vrijednost.

Sve primitivne funkcije F mogu biti napisane jedinstvenom formulom zajednički pogled na prvi za funkcioniranje f. Pošteno sljedeće teorema ( osnovna nekretnina je primitivna):

Teorema. Bilo koji prvi za funkciju f na intervalu mogu se zabilježiti kao

F (X) + C, (1) gdje je F (X) jedna od primitivnih funkcija F (X) u intervalu I, i C je proizvoljna konstanta.

Objasnimo ovu izjavu u kojoj su kratko formulirane dvije svojstva:

bez obzira na broj koji želite staviti u izraz (1) umjesto da koristite, dobivamo primitivni za F u intervalu I;
bez obzira na primitivni f for f na intervalu i ne uzimam, možete pokupiti takav broj C da za sve X iz intervala ću biti napravio jednakost

Dokaz.

Stanje, Funkcija F je primitivna za f na intervalu I. Stoga F "(X) \u003d F (X) za bilo koji X∈1, dakle (F (X) + C)" \u003d F "(X) + C "\u003d F (X) + 0 \u003d F (X), tj. F (X) + C je primitivni za funkciju f.
Neka F (X) bude jedna od primitivnih funkcija za funkciju F na istom razmaku I, tj. F "(X) \u003d F (X) za sve XI.

Zatim (F (x) - F (x)) "\u003d F" (X) -F "(X) \u003d F (X) -F (X) \u003d 0.

Odavde slijedi. Sila znaka postojanosti funkcija da razlika F (x) - F (x) je funkcija koja uzima neku konstantnu vrijednost iz intervala I.

Tako, za sve X iz praznine I, jednakost F (x) - F (X) \u003d C, koji je bio potreban za dokazivanje. Može se dati glavno vlasništvo primarne imovine geometrijsko značenje: grafovi bilo koje dvije primitivne funkcije dobivaju jedni drugima paralelnim prijenosom duž OU osi.

Pitanja sažetku

Funkcija F (x) je primitivna za funkciju F (x). Pronađite F (1) ako f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 i F (-1) \u003d 2.

Pronađite sve što je funkcioniranje

Za funkciju (X) \u003d COS2 * SIN2X, pronađite primitivni f (x) ako je f (0) \u003d 0.

Za funkciju pronađite primitivni, čiji grafikon prolazi kroz točku