Zove se sljedeća formula formula integracije integracije Na neodrežnom integralu:

Da biste koristili formulu integracije u dijelovima, integrand mora biti podijeljen u dva čimbenika. Jedan od njih je označen u., a ostatak se primjenjuje na drugi faktor i označen je putem dv, Tada se nalazi diferencijacija du i integracija - funkcija vlan, U isto vrijeme u. dv - Ovo je dio integriranog izraza koji se lako integrira.

Kada je to profitabilno primijeniti metodu integracije u dijelovima? Onda kada integrand sadrži :

1) - logaritamske funkcije, kao i inverzne trigonometrijske funkcije (s prefiksom "ARC"), zatim na temelju dugog iskustva integracije u dijelovima, te se funkcije određuju u.;

2), - sinus, kosinu i eksponent, pomnoženo P.(x.) - proizvoljni polinom iz ICA, tada se ove funkcije označavaju dvi polinom - kroz u.;

3) ,,, u ovom slučaju, integracija u dijelove se primjenjuje dva puta.

Objasnimo vrijednost metode integracije u dijelovima na primjeru prvog slučaja. Neka izraz pod integralnim znakom sadrži logaritamsku funkciju (takva će biti primjer 1). Korištenje integracije u dijelovima takav integralni se smanjuje izračunavanjem cjelokupnog samo algebarskih funkcija (najčešće polinomi), tj. Ne sadrži logaritamsku ili obrnutu trigonometrijsku funkciju. Primjena formule za integraciju na samom početku lekcije

dobivamo u prvom mandatu (bez integralne) logaritamske funkcije, au drugom roku (pod znakom integralnog) - funkcijom koja ne sadrži logaritam. Integral algebarske funkcije je mnogo lakše od strane integrala, pod znakom koji se nalaze odvojeno ili zajedno s faktor algebarskih Logaritamska ili reverzna trigonometrijska funkcija.

Dakle, uz pomoć formule integracije integracije Integracija se ne obavlja odmah: pronalaženje ovog integrala se smanjuje na pronalaženje drugog. Značenje integracijske formule u dijelovima je da je kao rezultat njegove primjene, ispostavilo se da je novi integralni stol ili barem postalo lakše.

Metoda integracije u dijelovima temelji se na korištenju formule diferencijacije proizvoda od dvije funkcije:

tada se može napisati u obliku

koji je prikazan na samom početku lekcije.

Kada funkcija integrira funkciju vlan Za nju ispostavilo je beskonačan skup valjane funkcije, Primijeniti formulu integracije u dijelovima, možete uzeti bilo koju od njih, što znači da to odgovara proizvoljnoj konstantu IZjednaka nuli. Stoga, pri pronalaženju funkcije vlan Proizvoljna konstanta IZ Ne smijete ući.

Postoji potpuno posebna uporaba u metodi integracije u dijelovima: s njom, moguće je izblizati formule recidive za pronalaženje primitivnih funkcija kada je potrebno smanjiti stupanj funkcija pod integralnim znakom. Smanjenje stupnja je potrebno kada nema tabličnih integrala za takve, na primjer, funkcionira kao sinusi i kosine u stupanj više od drugog i njihovog rada. Reakcionalna formula je formula za pronalaženje drugog člana sekvence kroz prethodni član. Za naznačene slučajeve, cilj se postiže sekvencijalnim smanjenjem stupnja. Dakle, ako je integrirana funkcija sinus u četvrtom stupnju iz IKSA, tada se metoda integracije u dijelovima može pronaći formula za sinusni integral u trećem stupnju i tako dalje. Posljednji odlomak ove lekcije posvećen je problemu.

Koristimo integraciju u dijelovima zajedno

Primjer 1. Pronađite nesigurno integralno integracijom po dijelovima:

Odluka. U integraju - logaritam, koji, kao što već znamo, razumno odrediti u., Vjerujemo u to.

Smatramo (kao što je već spomenuto u objašnjenju za teoretsku referencu, odmah dobivamo logaritamsku funkciju u prvom mandatu (bez integralnog), au drugom roku (pod brojem integralnog znaka) - funkciju koja ne sadrži logaritam):

I opet logarithm ...

Primjer 2.Pronađite neizvjesno integral:

Odluka. Dopustiti biti.

Logaritam je prisutan na trgu. To znači da se mora razlikovati kao složena funkcija. Pronaći
,
.

Drugi integral ponovno pronalazimo u dijelovima i dobiva već spomenutu prednost (u prvom mandatu (bez integralne) logaritamske funkcije, au drugom roku (pod brojem integralnog znaka) je funkcija koja ne sadrži logaritam).

Nalazimo početni integralni:

Primjer 3.

Odluka. Arctangent, kao logaritam, bolje označava u., Dakle, neka.

Zatim
.

Primjena formule integracije u dijelovima, dobivamo:

Drugi integralni nalazimo metodu promjenjive zamjene.

Povratak na varijablu x.Primati

.

Nalazimo početni integralni:

.

Primjer 4. Pronađite nesigurno integralno integracijom po dijelovima:

Odluka. Izlagač je bolje odrediti dv, Podijelimo integrand na dva čimbenika. Vjerujući u to

Primjer 5. Pronađite neodređeno integralno integracijom po dijelovima:

.

Odluka. Dopustiti biti. Zatim.

Koristeći formulu integracije u dijelovima (1), nalazimo:

Primjer 6.Pronađite neizvjesno integralno integracijom po dijelovima:

Odluka. Sinus, poput izlagača, prikladno je odrediti dv, Dopustiti biti.

Formulom za integraciju nalazimo:

Ponovno primijenimo integraciju u dijelove zajedno

Primjer 10.Pronađite neizvjesno integralno integracijom po dijelovima:

.

Odluka. Kao iu svim takvim slučajevima, kosine je prikladan za označavanje dv, Označavamo.

Zatim , .

Integracijskim formulom dobivamo:

Drugom roku također koristite integraciju u dijelovima. Označavamo.

Primjena tih oznaka, integriranje navedenog:

Sada pronalazimo željeni integral:

Među integralima koji se mogu riješiti integriranjem u dijelove, postoje i oni koji ne ulaze u bilo koju od triju skupina spomenutih u teoretskom dijelu skupina u odnosu na koje se od prakse zna da je bolje označeno u.i što dv, Stoga je u tim slučajevima potrebno koristiti razmatranje praktičnosti, također dano u stavku "Suština metode integracije u dijelovima": za u. Trebali biste uzeti ovaj dio integrirane funkcije, koja u diferencijaciji nije ugrožena, a za dv - Ovo je dio integriranog izraza koji se lako integrira. Posljednji primjer ove lekcije je rješenje ovog integrala.

Integracija u dijelovima. Primjeri otopina

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti integrirati u dijelove. Metoda integracije u dijelovima je jedan od temelja integralnog kamena. Na poretku, studentski ispit gotovo uvijek se nudi za rješavanje integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integralni (vidi članak) ili integralno zamijeniti varijablu (vidi članak)ili integral samo na metoda integracije u dijelovima.

Kao i uvijek, treba biti pri ruci: Integrali stolova i Derivati \u200b\u200btablice, Ako još uvijek nemate, posjetite spremište moje web-lokacije: Matematičke formule i stolovi, Ne počnem se ponavljati - bolje je ispisati sve. Svi materijali ću pokušati postaviti dosljedno, jednostavno i pristupačno, ne postoje posebne poteškoće u integraciji u dijelove.

Koji problem rješava metodu integracije u dijelovima? Metoda integracije u dijelovima rješava vrlo važan zadatak, omogućuje vam da integrirate neke funkcije koje nedostaju u tablici, sastav funkcije iu nekim slučajevima - i privatno. Kako se sjećamo, ne postoji prikladna formula: , Ali postoji takva: - Formula integracije u dijelovima vlastite osobe. Znam, znam, ti si jedan - mi ćemo raditi s njom cijelu lekciju (već je lakše).

I odmah popis u studiju. Integrali se uzimaju u dijelovima:

1) , - Logaritam, logaritam pomnožen s bilo kojom polinom.

2) , - eksponencijalna funkcija pomnožena s bilo kojom polinom. To uključuje integrale poput - eksponencijalna funkcijaPomnožen s polinom, ali u postotku prakse tako u 97, simpatičko pismo "E" je ludljivo pod integralom. ... nešto lirsko ispostavilo članak, oh da ... proljeće je došao.

3) , - trigonometrijske funkcije pomnožene s nekim polinom.

4) - inverzne trigonometrijske funkcije ("lukovi"), "lukovi", pomnoženi s bilo kojom polinom.

Također u dijelovima se uzimaju neke frakcije, također razmatramo odgovarajuće primjere detaljno.

Integrali iz logaritam

Primjer 1.

Klasik. S vremena na vrijeme, ovaj integralni može se naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da je učitelj proljetne avitaminoze i vrlo se pogoršava. Budući da je integralni razmotren nije tablica - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo odluku o srednjim objašnjenjima.

Koristite formulu integracije u dijelovima:

Formula se nanosi s lijeva na desno

Gledamo na lijevu stranu :. Očito, u našem primjeru (iu svim drugima koje smatramo) nešto mora biti označeno i nešto za.

U integralima razmatranog tipa za uvijek označava logaritam.

Tehnički, odlučujuća otopina se implementira kako slijedi, u stupcu Pišite:

To jest, jer smo označili logaritam i za - preostali dio Integrirani izraz.

Sljedeća faza: Pronađite diferencijale:

Diferencijal je gotovo isto kao i derivat, kako ga pronaći, već smo rastavili na prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Da biste pronašli značajku treba integrirati desni dio Niža jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule :.
Usput, i uzorak otopine klipa s malim oznakama:

Jedini trenutak, u radu sam odmah preuređen na mjestima i, budući da je množitelj prihvaćen za snimanje pred logaritmom.

Kao što možete vidjeti, korištenje integracijske formule u dijelovima, u stvari, smanjio naše rješenje na dva jednostavna integrala.

Imajte na umu da u nekim slučajevima odmah nakon Potrebna je uporaba formule, pod preostalim integralnim, pojednostavljivanjima - u primjeru koji se razmatra, smanjili smo integrand na "X".

Izvršite ček. Da biste to učinili, morate uzeti izvedeni od odgovora:

Dobiven je početni integrand, to znači da je integral ispravno riješen.

Tijekom inspekcije koristili smo vladavinu radova: , I nije slučajno.

Integracija formule u dijelovima i formulu - Ovo su dva međusobno obrnuta pravila.

Primjer 2.

Pronaći neodređeni integralni.

Integrand je proizvod logaritam na polinom.
Mi odlučujemo.

Detaljno ću napisati postupak za primjenu pravila za još jednom, u budućim primjerima će se nakratko izdati, a ako imate poteškoća u neovisnoj odluci, morate se vratiti na prva dva primjera lekcije.

Kao što je već spomenuto, potrebno je odrediti logaritam (činjenica da to nije važno do stupnja). Za označavanje preostali dio Integrirani izraz.

Pišite u stupcu:

Prvo nalazimo diferencijal:

Koristi pravilo diferencijacije složene funkcije. , Ne slučajno, na prvoj temi teme Nesiguran integral. Primjeri otopina Usredotočio sam se na činjenicu da je svladao integralima, potrebno je "napuniti ruku" na derivatima. S derivatima će se morati suočiti više puta.

Sada pronalazimo značajku za ovu integraciju desni dio Niža jednakost:

Za integraciju primijenili smo najjednostavniju formulu za tablicu

Sada je sve spremno za primjenu formule , Otvorite "zvjezdicu" i "konstruirati" odluku u skladu s desne strane:

Pod sastavnicom, ponovno imamo polinom na logaritam! Stoga se otopina ponovno prekida, a pravilo integracije u dijelovima se po drugi put koristi. Ne zaboravite da je iza sličnih situacija uvijek naznačeno logaritamom.

Bilo bi lijepo ako je do ovog trenutka najjednostavniji integralni i derivati \u200b\u200bznali kako pronaći usmeno.

(1) Nemojte se zbuniti u znakovima! Vrlo često gubi minus ovdje, također ima na umu da se minus odnosi svima zagrada I ovi nosači moraju biti ispravno objavljeni.

(2) Otkriti zagrade. Posljednji integralni je pojednostavljen.

(3) Poduzimamo posljednji integralni.

(4) "Kombinirajte" odgovor.

Potreba je dva puta (ili čak tri puta) za primjenu pravila integracije u dijelovima ne tako rijetko.

I sada nekoliko primjera za odlučiti:

Primjer 3.

Pronaći neodređeni integralni.

Ovaj primjer je riješen zamjenom varijable (ili zbrajanjem razlikovnog znaka)! I zašto ne - možete ga pokušati uzeti u dijelovima, ispada iz zabave.

Primjer 4.

Pronaći neodređeni integralni.

Ali ovaj integral je integriran u dijelove (obećana frakcija).

To su primjeri za samoodređenje, rješenja i odgovore na kraju lekcije.

Čini se da je slična u primjerima 3,4 izvornih funkcija, ali metode rješavanja su različite! To je glavna poteškoća svladavanja integrala - ako je netočna za odabir metode rješavanja integrala, onda možete povrijediti s njom satima, kao i kod najreslenijih zagonetka. Stoga, što više prepišete različite integrale - to bolje, lakše će to biti kredit i ispit. Osim toga, u drugoj godini će biti diferencijalne jednadžbeI bez iskustva rješavanja integrala i derivata ne postoji ništa.

Prema logaritima, možda više nego dovoljno. Za snack i dalje se mogu sjetiti da pozivaju studentski-TechNari logaritmi Ženske grudi \u003d). Usput, korisno je znati grafiku vožnje glavnih elementarnih funkcija: sinus, kosinus, arctangens, izlagače, polinom trećeg, četvrtog stupnja itd. Ne, naravno, kondom na globusu
Neću se povući, ali sada se puno sjećate od dijela Grafovi i funkcije =).

Integrali iz izlagača pomnoženi od polinoma

Opće pravilo:

Primjer 5.

Pronaći neodređeni integralni.

Koristeći poznati algoritam, integrirajte se u dijelove:

Ako postoje poteškoće s integralom, onda se trebate vratiti u članak Metoda zamjene varijable u neodređenom integralu.

Jedino što možete učiniti je "češljanje" odgovor:

Ali ako vaš tehnika računalstva nije jako dobro, onda je najprofitabilnija mogućnost ostavljanja odgovora ili čak

To je, primjer se smatra riješenim kada se uzima posljednji integralni. Neće biti pogreške, još jedna stvar je da učitelj može zatražiti da pojednostavi odgovor.

Primjer 6.

Pronaći neodređeni integralni.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Ovaj integralni je integriran dva puta u dijelovima. Posebna pažnja Trebali biste platiti znakove - lako je biti zbunjen ovdje, također zapamtite da - složena funkcija.

Ne postoji ništa više o izlagaču. Mogu samo dodati da je izlagač i prirodni logaritam Međusobno obrnute funkcije, to sam ja na temu zabavnih grafova veća matematika \u003d) Stop Stop, ne brinite, predavač trijezan.

Integrali iz trigonometrijskih funkcija pomnoženi od polinom

Opće pravilo: jer uvijek označava polinom

Primjer 7.

Pronaći neodređeni integralni.

Integrirali smo se u dijelove:

Hmmm, ... i ne postoji ništa za komentar.

Primjer 8.

Pronaći neodređeni integralni

Ovo je primjer za neovisno rješenje.

Primjer 9.

Pronaći neodređeni integralni

Drugi primjer s frakcijom. Kao u dva prethodna primjera, označava polinom.

Integrirali smo se u dijelove:

Ako su poteškoće nastale ili nesporazum s lokacijom integrala, onda preporučujem da posjetite lekciju Integrali iz trigonometrijskih funkcija.

Primjer 10.

Pronaći neodređeni integralni

Ovo je primjer za neovisno rješenje.

Savjet: Prije uporabe metode integracije, treba primijeniti određenu trigonometrijsku formulu koja uključuje produkt dvije trigonometrijske funkcije na jednu funkciju. Formula se također može koristiti tijekom primjene metode integracije u dijelovima, kao prikladnije.

To je možda sve u ovom paragrafu. Iz nekog razloga, linija iz himne Fizmatske "i sinus raspored vala za val duž Assissa osi traje" ....

Integrali iz inverznih trigonometrijskih funkcija.
Integrali iz inverzne trigonometrijske funkcije pomnožene po polinom

Opće pravilo: jer uvijek označava obrnutu trigonometrijsku funkciju.

Podsjećam vas da inverzne trigonometrijske funkcije uključuju Arkkinus, Arkkosinus, Arktanas i arkkotankenes. Za kratko snimanje, nazvat ću ih "lukovima"

Primjeri integralnih rješenja u dijelovima detaljno se razmatraju, od kojih integrand sadrži logaritam, arkkinus, arctangent, kao i logaritam na cjelokupni logaritam od polinoma.

Integracija formule u dijelovima

U nastavku, pri rješavanju primjera, u dijelovima se koristi formula za integraciju:
;
.

Primjeri integrala koji sadrže logaritam i inverzne trigonometrijske funkcije

Evo primjera integrala koji se integriraju u dijelove:
, , , , , , .

Kada se integrira taj dio integriranog izraza koji sadrži logaritam ili inverzne trigonometrijske funkcije označene su u, ostatak je putem DV.

U nastavku su primjeri s detaljnim otopinama tih integrala.

Jednostavan primjer s logaritamom

Izračunavamo integralni sadržaj proizvoda polinoma i logaritam:

Odluka

Ovdje je integracija logaritam. Izrada supstitucija
u \u003d. lN X., DV \u003d X 2 DX. Zatim
,
.

Integriramo u dijelove.
.

.
Zatim
.
Na kraju izračuna, dodajte konstantnu c.

Odgovor

Primjer logaritam do stupnja 2

Razmotrite primjer u kojem integrand uključuje logaritam u cijeli broj. Takvi integrali se također mogu integrirati u dijelove.

Odluka

Izrada supstitucija
u \u003d. (ln x) 2, DV \u003d X DX. Zatim
,
.

Preostali integralni također izračunaju dijelove:
.
Zamjena
.

Odgovor

Primjer u kojem je argument logaritam polinom

U dijelovima se mogu izračunati integralima, u ekspresiju integralnog u kojem uključuje logaritam, argument od kojih je polinom, racionalna ili iracionalna funkcija. Kao primjer, izračunavamo integral s logaritamom, od kojih je argument polinom.
.

Odluka

Izrada supstitucija
u \u003d. ln (x 2 - 1), DV \u003d X DX.
Zatim
,
.

Izračunajte preostali integralni:
.
Ovdje ne napisujemo znak modula. ln | x 2 - 1 |, budući da je integrand definiran s x 2 - 1 > 0 , Zamjena
.

Odgovor

Primjer s Arkkinusom

Razmotrite primjer integralnog, u integračnom izrazu koji je uključen Arkkinus.
.

Odluka

Izrada supstitucija
u \u003d. arcsin X.,
.
Zatim
,
.

Zatim primjećujemo da je integrand određen | X |< 1 , Otkriti znak modula pod logaritmom, s obzirom na to 1 - x\u003e 0 i 1 + x\u003e 0.

Odgovor

Primjer s ArcTANAns

Ja riješiti primjer s arctangent:
.

Odluka

Integriramo u dijelove.
.
Mi naglašavamo cijeli dio fracti:
x. 8 \u003d X 8 + X 6 - X 6 - X 4 + X 4 + X. 2 - x 2 - 1 + 1 \u003d (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integriramo:
.
Konačno, imamo:
.

Odgovor

Još jedan primjer s Arkkinusom

Rješavanje integrala:
.

Odluka

Integriramo u dijelove.
.

Izračunati preostali integralni. S X. > 0 Imamo:
.
.
.

S X. < 0 Napraviti zamjenu x \u003d - t, t > 0 :
.

Konačno, imamo.

Integracija u dijelovima. Primjeri otopina

Odluka.

Na primjer.

Izračunajte integral:

Primjena svojstava integralne (linesnosti), ᴛ.ᴇ. , Donosimo ctablih integral, dobivamo to

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti integrirati u dijelove. Metoda integracije u dijelovima - ϶ᴛᴏ jedan od kamen temeljaca integralnog kamenca. Na poretku, student pregleda gotovo samo predlaže samo rješavanju integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integralni (vidi članakNesiguran integral. Primjeri otopina ) ili integralno zamijeniti varijablu (vidi članakMetoda zamjene varijable u nedefiniranom integralu ) ili integral samo na metoda integracije u dijelovima.

Usljedno, treba biti pri ruci: Integrali stolova i Derivati \u200b\u200btablice, U slučaju da ih i dalje nemate, molim vas pokunite pohranu moje stranice: Matematičke formule i stolovi, Ne počnem se ponavljati - bolje je ispisati sve. Svi materijali ću pokušati postaviti dosljedno, jednostavno i pristupačno, ne postoje posebne poteškoće u integraciji u dijelove.

Koji problem rješava metodu integracije u dijelovima? Metoda integracije u dijelovima rješava vrlo važan zadatak, omogućuje vam da integrirate neke funkcije koje nedostaju u tablici, sastav funkcije iu nekim slučajevima - i privatno. Dok se sjećamo, ne postoji prikladna formula :. Ali postoji takva: - integracijska formula u dijelovima vlastite osobe. Znam, znam, ti si jedan - mi ćemo raditi s njom cijelu lekciju (već je lakše).

I odmah popis u studiju. Integrali se uzimaju u dijelovima:

1) - logaritam, logaritam, pomnožen s bilo kojom polinom.

2) - eksponencijalna funkcija pomnožena s bilo kojom polinom. To također može uključivati \u200b\u200bi integrale kao što je - indikativna funkcija pomnožena s polinom, ali u praksi postotak u 97, simpatičko pismo je lupljivo pod integralom. ... nešto lirsko ispostavilo članak, oh da ... proljeće je došao.

3), - trigonometrijske funkcije pomnožene s bilo kojom polinom.

4) - inverzne trigonometrijske funkcije ('' Arka '' '' '),' 'Arts', pomnoženi s bilo kojom polinom.

Također u dijelovima se uzimaju neke frakcije, također razmatramo odgovarajuće primjere detaljno.

Primjer 1.

Pronaći neizvjestan sastavni dio.

Klasik. S vremena na vrijeme, ovaj integralni može se naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da je učitelj proljetne avitaminoze i vrlo se pogoršava. Budući da je integralni razmotren nije tablica - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo odluku o srednjim objašnjenjima.

Koristite formulu integracije u dijelovima:

Integrali logaritam - koncept i vrste. Klasifikacija i značajke kategorije "Integrali iz Logarovmov" 2017, 2018.