Razgradnja polinoma na višestrukim. Način dodjele punog trga. Kombinacija metoda. Polinomi. Razgradnja multiplikatora: Metode, primjeri

Razgradnja polinoma na multiplikatorima je identična transformacija, kao posljedica kojih se polinomi transformira u proizvod nekoliko čimbenika - polinom ili jednokrili.

Postoji nekoliko načina za razgradnju polinoma na višestruke.

1. Postajanje uobičajenog faktora za nosač.

Ova transformacija temelji se na distribucijskom zakonu umnožavanja: AC + BC \u003d C (A + B). Suština pretvorbe je dodijeliti u dvije komponente koje se razmatraju opći faktor i "out" za zagrade.

Mi ćemo razgraditi polinom od polinoma 28x 3 - 35x 4.

Odluka.

1. Pronađite elemente 28x 3 i 35x 4 zajednički divisor. Za 28 i 35 bit će 7; Za x 3 i x 4 - x 3. Drugim riječima, naš ukupni multiplikator od 7x 3.

2. Svaki od elemenata predstavlja rad multiplikatora, od kojih je jedan
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Izvodimo opći množitelj za zagrade
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metodifikacija 2. korištenje formula skraćenog množenja. "Majstorstvo" po posjedovanju ove metode je primijetiti jednu od formula skraćenog množenja.

Širenje na množitelja polinoma x 6 - 1.

Odluka.

1. U ovom izrazu možemo primijeniti formulu za razliku u kvadratima. Da biste to učinili, zamislite X6 kao (X3) 2, i 1 kao 1 2, tj. 1. Izraz će se oblikovati:
(X3) 2 - 1 \u003d (X3 + 1) ∙ (X3-1).

2. Nastali izraz, možemo primijeniti formulu količine i razlike kocki:
(x 3 + 1) ∙ (X3 - 1) \u003d (X + 1) ∙ (X 2 - X + 1) ∙ (X - 1) ∙ (x 2 + X + 1).

Tako,
x6 - 1 \u003d (X3) 2 - 1 \u003d (X3 + 1) ∙ (X3 - 1) \u003d (X + 1) ∙ (X 2 - X + 1) ∙ (X - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

3. Grupiranje. Metoda grupiranja je kombinirati komponente polinoma na takav način da se lako izvode radnje (dodavanje, oduzimanje, ukupni multiplikator).

Razgradnja polinomi od x 3 - 3x 2 + 5x - 15 na množitelja.

Odluka.

1. fugiranje komponenti na ovaj način: 1. s 2. i 3. s četvrtom
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. U nastalom izrazu provest ćemo opće multiplikate za zagrade: x 2 u prvom slučaju i 5 - u drugom.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d X2 (X - 3) + 5 (X - 3).

3. Izvodimo opći faktor X - 3 za zagrade i dobiti:
x 2 (X - 3) + 5 (X - 3) \u003d (X - 3) (X2 + 5).

Tako,
x3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (X3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d X 2 (X - 3) + 5 (X - 3) \u003d (X - 3) ∙ (X2 + 5).

Pričvrstite materijal.

Poliranje polinoma a 2 - 7ab + 12b 2 na višestrukim.

Odluka.

1. Zamislite 7ab 7ab kao zbroj 3Ab + 4ab. Izraz će se oblikovati:
2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mi ćemo otkriti zagrade i dobiti:
2 - 3ab - 4Ab + 12b 2.

2 Dobivamo:
(2 - 3Ab) - (4ab - 12b 2).

3. Donijet ću opće množitelje za zagrade:
(2 - 3ab) - (4Ab - 12b2) \u003d a (a-3b) - 4b (a-3b).

4. Donijet ću opći multiplikator za zagrade (A - 3B):
a (a-3b) - 4b (a-3b) \u003d (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

Tako,
2 - 7ab + 12b 2 \u003d
\u003d 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 \u003d
\u003d 2 - 3Ab - 4Ab + 12b 2 \u003d
\u003d (2 - 3ab) - (4Ab - 12b 2) \u003d
\u003d A (a - 3b) - 4b (a - 3b) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (a - 4b).

potrebna je stranica, s punim ili djelomičnim kopiranjem materijala na izvornom izvoru.

Kako bi se razgradilo čimbenike, potrebno je pojednostaviti izraze. To je potrebno kako bi se nastavili smanjivati. Razgradnja polinoma ima smisla kada njegov stupanj nije niži od drugog. Polinomi s prvim stupnjem naziva se linearni.

Yandex.rtB r-a-339285-1

Članak će otkriti sve koncepte raspadanja, teorijskih zaklada i metoda ekspanzija polinoma na množitelja.

Teorija

Teorem 1.

Kada bilo koji polinom sa stupnjevanjem n, s oblikom p n x \u003d N x N x N - 1 x N - 1 +. , , + 1 x + A 0, predstavljaju proizvod s konstantnim faktorom sa starijim stupnjem i n linearnim multiplikatorima (X - XI), I \u003d 1, 2, ..., N, tada PN (X) \u003d (X - XN) (X - XN - 1) ·. , , · (X - x 1), gdje je x i, i \u003d 1, 2, ..., n je korijeni polinoma.

Teorem je namijenjen za korijenje složenog tipa X I, I \u003d 1, 2, ..., n i za složene koeficijente A K, K \u003d 0, 1, 2, ..., n. To je osnova svake raspadanja.

Kada su koeficijenti forme K, K \u003d 0, 1, 2, ..., n su valjani brojevi, zatim složeni korijeni koji će se sastati s parovima. Na primjer, korijeni X 1 i X2 koji pripadaju polinom oblika p n X \u003d A N X N + 1 X N - 1 +. , , + 1 x + a 0 se smatra sveobuhvatno konjugiranim, a zatim su drugi korijeni valjani, dobivamo odavde da polinomi uzima oblik p n (X) \u003d A N (X - X N) (X - X N - 1) ·. , , · (X - x 3) x 2 + p x + q, gdje x 2 + p x + q \u003d (X - x 1) (X - x 2).

Komentar

Korijeni polinom može se ponoviti. Razmotrite dokaz o teoremi algebre, učinak iz teorema Mant.

Glavni teorem algebre

Teorem 2.

Bilo koji polinom sa stupnjem n ima barem jedan korijen.

Teorem bezu

Nakon podjele polinoma oblika p n X \u003d A N X N + A n je 1 x N - 1 +. , , + 1 x + a 0 na (x - s), onda dobivamo ostatak koji je jednak polinom na točki, onda dobivamo

P N X \u003d A N X N + AN - 1 X N - 1 +. , , + 1 X + A 0 \u003d (X - S) · Q N - 1 (X) + P N (s), gdje je Q N - 1 (X) polinom sa stupnja n - 1.

Posljedica teorema

Kada se korijen polinomial p n (X) smatra, zatim p n X \u003d A N X N + 1 X N - 1 +. , , + 1 x + A 0 \u003d (X - S) · Q N - 1 (X). Ova istraga je dovoljna kada se koristi za opisivanje otopine.

Razgradnja za kvadratne multiplikatore s tri šoka

Trg tri puta obrasca A X2 + B X + C može se razgraditi na linearnim multiplikatorima. Tada dobivamo to X2 + B X + C \u003d A (X - X1) (X - X2), gdje su X1 i X2 korijeni (složeni ili važeći).

Može se vidjeti da se sama razgradnja smanjuje na rješavanje kvadratne jednadžbe naknadno.

Primjer 1.

Određivanje kvadratnih triju snimaka na množitelja.

Odluka

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 0. Da biste to učinili, potrebno je pronaći vrijednost diskriminatora prema formuli, a zatim dobivamo d \u003d (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 \u003d 9. Odavde to imamo

x 1 \u003d 5 - 9 2 · 4 \u003d 1 4 x 2 \u003d 5 + 9 2 · 4 \u003d 1

Odavde dobivamo taj 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 4 x - 1 4 x - 1.

Da biste izvršili čekove, morate otkriti zagrade. Onda dobivamo izraz obrasca:

4 X - 1 4 X - 1 \u003d 4 x 2 - X - 1 4 X + 1 4 \u003d 4 x 2 - 5 x + 1

Nakon provjere dolazimo do početnog izraza. To jest, može se zaključiti da je razgradnja ispravna.

Primjer 2.

Proširite na množitelja kvadrata tri odabrane vrste 3 x 2 - 7 x - 11.

Odluka

Dobivamo da je potrebno izračunati dobivenu kvadratnu jednadžbu obrasca 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0.

Da bi pronašli korijene, potrebno je odrediti vrijednost diskriminatora. Dobivamo to

3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0 d \u003d (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) \u003d 181 x 1 \u003d 7 + D 2 · 3 \u003d 7 + 181 6 x 2 \u003d 7 - d2 · 3 \u003d 7 - 181 6

Odavde dobivamo taj 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Primjer 3.

Određivanje polinoma 2 x 2 + 1 na višestrukim.

Odluka

Sada trebate riješiti kvadratnu jednadžbu 2 x 2 + 1 \u003d 0 i pronaći njegove korijene. Dobivamo to

2 x 2 + 1 \u003d 0 x 2 \u003d - 1 2 x 1 \u003d - 1 2 \u003d 1 2 · i x 2 \u003d - 1 2 \u003d - 1 2 · ja

Ovi korijeni se nazivaju sveobuhvatno konjugirani, to znači da se razgradnja može prikazati kao 2 x 2 + 1 \u003d 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · ja.

Primjer 4.

Određivanje kvadrata tri dekarija X 2 + 1 3 x + 1.

Odluka

Za početak, potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu oblika X 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 i pronaći njegove korijene.

x 2 + 1 3 X + 1 \u003d 0 D \u003d 1 3 2 - 4 · 1 \u003d - 35 9 x 1 \u003d - 1 3 + D 2 · 1 \u003d - 1 3 + 35 3 · I 2 \u003d - 1 + 35 · I 6 \u003d - 1 6 + 35 6 · IX 2 \u003d - 1 3 - D 2 · 1 \u003d - 1 3 - 35 3 · I 2 \u003d - 1 - 35 · I 6 \u003d - 1 6 - 35 6 · ja

Nakon što ste primili korijene, napišite

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d X - - 1 6 + 35 6 · I X - - 1 6 - 35 6 · I \u003d X + 1 6 - 35 6 · I X + 1 6 + 35 6 · I

Komentar

Ako je vrijednost diskriminacije negativna, polinomi će ostati polinomi drugog reda. Slijedi da ih nećemo staviti na linearni multiplikatori.

Metode razgradnje polinom stupnjeva viša od sekunde

U raspadanju se pretpostavlja univerzalna metoda. Većina svih slučajeva temelji se na posljedicu teorema Mant. Da biste to učinili, potrebno je odabrati vrijednost korijena X 1 i smanjiti stupanj dijeljenjem na polinom na 1 podjelu pomoću (X - x 1). Dobiveni polinomi trebaju pronaći korijen x 2, a proces pretraživanja je ciklički dok ne primimo potpunu raspadanje.

Ako se korijen ne pronađe, primjenjuju se drugi načini razgradnje multiplikatora: grupiranje, dodatni uvjeti. Ova tema vjeruje u rješavanje jednadžbi s višim stupnjevima i cijelim koeficijentima.

Multiplikator za zagrade

Razmislite o slučaju kada je slobodan član nula, tada vrsta polinom postaje kao P N (X) \u003d N X N + N - 1 X N - 1 +. , , + A 1 x.

Može se vidjeti da će korijen takvog polinoma biti X 1 \u003d 0, a zatim se polinom može podnijeti kao ekspresijski p n (X) \u003d N XS N - 1 x N - 1 x 1 +. , , + 1 x \u003d X (N x N - 1 + A N - 1 X N - 2 + ... + A 1)

Ova metoda se smatra da povuče zajednički faktor za zagrade.

Primjer 5.

Izvršite razgradnju polinoma od trećeg stupnja 4 x 3 + 8 x 2 - X na višestrukima.

Odluka

Vidimo da je X 1 \u003d 0 korijen danog polinoma, onda je moguće napraviti X za nosače cijelog izraza. Dobivamo:

4 x 3 + 8 x 2 - X \u003d X (4 x 2 + 8 x - 1)

Idite na pronalaženje korijena kvadrata tri isjeckane 4 x 2 + 8 x - 1. Nalazimo diskriminantne i korijene:

D \u003d 8 2 - 4 · 4 · 4 · (- 1) \u003d 80 x 1 \u003d - 8 + d2 · 4 \u003d - 1 + 5 2 x 2 \u003d - 8 - D2 · 4 \u003d - 1 - 5 2

Onda slijedi to

4 x 3 + 8 x 2 - X \u003d X 4 X 2 + 8 X - 1 \u003d 4 XX - - 1 + 5 2 X - - 1 - 5 2 \u003d 4 XX + 1 - 5 2 X + 1 + 5 2.

Za početak, mi ćemo uzeti za razmatranje metodom raspadanja koja sadrži cjelovite koeficijente obrasca p n (X) \u003d X N + 1 x N - 1 +. , , + 1 x + a 0, gdje je koeficijent jedan od viših stupnjeva jednak 1.

Kada polinom ima cijele korijene, onda se smatraju slobodnim članovima.

Primjer 6.

Određivanje ekspresije f (X) \u003d X 4 + 3 x 3 - X 2 - 9 X - 18.

Odluka

Razmotrite postoje li cijeli korijeni. Potrebno je zapisati razdjelnike broja - 18. Dobivamo taj ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Slijedi da ovaj polinomi ima cijele korijene. Možete provjeriti shemu plamenika. Vrlo je zgodan i omogućuje vam da brzo dobijete stope tužitelja polinoma:

Slijedi da su X \u003d 2 i X \u003d - 3 korijeni izvornog polinoma, koji se mogu prikazati kao proizvod oblika:

f (X) \u003d x 4 + 3 x 3 x 2 - 9 x - 18 \u003d (X - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) \u003d \u003d (X - 2) (X + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Okrećemo se razgradnji kvadrata s tri odabranom obliku x 2 + 2 x + 3.

Od diskriminacije dobivamo negativan, to znači da nema valjanih korijena.

Odgovor: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 x 2 - 9 x - 18 \u003d (X - 2) (X + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentar

Dopušteno je koristiti izbor korijena i podjele polinoma na polinom umjesto sheme topnika. Obratimo se razmatranju razgradnje polinoma koji sadrži cijeli koeficijenti oblika p n (X) \u003d X N + 1 X N - 1 +. , , + 1 x + A 0, čija je najstarija jednaka.

Ovaj se slučaj odvija za frakcijske racionalne frakcije.

Primjer 7.

Proširite faktore F (x) \u003d 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.

Odluka

Potrebno je zamijeniti varijablu y \u003d 2 x, trebali biste se preseliti na polinom s koeficijentima jednakim 1 s visokim stupnjem. Potrebno je početi s množenjem izraza na 4. Dobivamo to

4 F (X) \u003d 2 3 · X 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · X + 60 \u003d \u003d Y 3 + 19 Y 2 + 82 Y + 60 \u003d G (Y)

Kada je rezultirajuća funkcija obrasca G (Y) \u003d Y 3 + 19 Y 2 + 82 Y + 60 ima cijele korijene, a zatim nalaz među slobodnim članicama divisors. Rekord će se obrazac:

B

Okrenimo se izračunu funkcije g (y) u ovoj točki kako bi se dobilo kao rezultat nule. Dobivamo to

g (l) \u003d 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 \u003d 162 g (- 1) \u003d (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 \u003d - - 4 g (2) \u003d 2 3 + 19 · 2 + 82 · 2 + 60 \u003d 308 g (- 2) \u003d (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 \u003d - 36 g (3) \u003d 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 \u003d 504 g (- 3) \u003d (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 \u003d - 42 g (4) \u003d 4 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 \u003d 756 g (- 4) \u003d (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 \u003d - 28 g (5) \u003d 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 \u003d 1070 g (- 5) \u003d (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60.

Dobivamo da je y \u003d - 5 je korijen jednadžbe forme Y3 + 19 y 2 + 82 y + 60, to znači da je X \u003d Y 2 \u003d - 5 2 je korijen izvorne funkcije.

Primjer 8.

Potrebno je podijeliti stupac 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 do X + 5 2.

Odluka

Pišemo i dobijemo:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d X + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) \u003d \u003d 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Provjera divisora \u200b\u200bće potrajati mnogo vremena, tako da je profitabilnije uzeti razgradnju o čimbenicima rezultirajućeg kvadratnog oblika X 2 + 7 X + 3. Izjednačujući na nulu i pronašla diskriminaciju.

x 2 + 7 X + 3 \u003d 0 D \u003d 7 2 - 4 · 3 \u003d 37 x 1 \u003d - 7 + 37 2 x 2 \u003d - 7 - 37 2 ⇒ X 2 + 7 x + 3 \u003d X + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Stoga slijedi to

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d 2 x + 5 2 + 7 x + 3 \u003d 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umjetne tehnike za razgradnju polinoma

Racionalni korijeni nisu svojstveni svim polinomnima. Da biste to učinili, koristite posebne načine pronalaženja množitelja. Ali ne mogu se svi polinomi razgraditi ili prisutni u obliku rada.

Metoda grupiranja

Postoje slučajevi kada je moguće grupirati komponente polinoma da pronađe zajednički faktor i stavite ga na zagrade.

Primjer 9.

Određivanje polinoma X 4 + 4 x 3 - X 2 - 8 X - 2 na višestrukima.

Odluka

Budući da su koeficijenti cijeli brojevi, onda korijeni vjerojatno također mogu biti cijeli broj. Da biste provjerili, uzmite vrijednost 1, 1, 2 i - 2 kako biste izračunali vrijednost polinoma na tim točkama. Dobivamo to

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 \u003d - 6 \u003d 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 \u003d 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 - 8 · 2 - 2 \u003d 26, 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 \u003d - 6 ≠ 0

Odavde se može vidjeti da nema korijena, potrebno je koristiti drugi način razgradnje i rješenja.

Potrebno je izvršiti grupiranje:

x 4 + 4 x 3 - 8 X - 2 \u003d X 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + X 2 - 8 X - 2 \u003d \u003d (X 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 X) + X 2 - 2 \u003d \u003d X 2 (x 2 - 2) + 4 X (x 2 - 2) + X 2 - 2 \u003d \u003d (X2-2) (X2 + 4 x + 1)

Nakon grupiranja izvornog polinoma, potrebno ga je poslati kao proizvod od dva kvadratna tri slanja. Da bismo to učinili, moramo razgraditi čimbenike. Dobivamo to

x 2 - 2 \u003d 0 x 2 \u003d 2 x 1 \u003d 2 x 2 \u003d 2 \u003d 2 ⇒ X 2 - 2 \u003d X - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 12 x 1 \u003d - 4 - D2 · 1 \u003d - 2 - 3 x 2 \u003d 4 - 4 - D 2 · l \u003d - 2 - 3 ⇒ X 2 + 4 x + 1 \u003d X + 2 - 3 x + 2 + 3.

x 4 + 4 X 3 - X 2 - 8 X - 2 \u003d X 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d X - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3 + 3

Komentar

Jednostavnost grupe ne znači da je lako odabrati crijep. Na određeni način rješavanja ne postoji, tako da je potrebno koristiti posebne teoreme i pravila.

Primjer 10.

Određivanje multiplikatora polinomalne X 4 + 3 x 3 - X 2 - 4 x + 2.

Odluka

Navedeni polinomi nema cijeli korijen. Treba izvršiti grupiranje komponenti. Dobivamo to

x 4 + 3 x 3 - X 2 - 4 x + 2 \u003d (x 4 + X 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 \u003d x 2 (x 2 + X) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d \u003d (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Nakon raspadanja na umnožavanje, dobivamo to

x 4 + 3 x 3 - 4 x + 2 \u003d X 2 + X - 1 x 2 + 2 x - 2 \u003d X + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Koristeći formule skraćenog množenja i binom Newtona za razgradnju polinoma na množitelja

Izgled često ne čini ne čist kako je potrebno iskoristiti razgradnju. Nakon što su napravljene transformacije, možete izgraditi liniju koja se sastoji od trokuta Pascala, inače se nazivaju Newtonov binom.

Primjer 11.

Razgradnja polinoma X 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 na množitelja.

Odluka

Potrebno je izvršiti konverziju izraza u obliku

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + + 1 - 3

Slijed koeficijenata količine u zagradama ukazuje na ekspresiju X + 1 4.

Dakle, imamo X 4 + 4 x 3 + 6 x 2 x 4 x 4 x 4 x 3 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3.

Nakon primjene razlike u kvadratima, dobivamo

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 X - 2 \u003d X 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + + 1 - 3 \u003d X + 1 4 - 3 \u003d X + 1 4 - 3 \u003d X + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Razmotrite izraz koji je u drugom nosaču. Jasno je da tamo nema konja, tako da je potrebno primijeniti formulu za razliku kvadrata ponovno. Dobivamo izraz mišljenja

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 X - 2 \u003d X 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + + 1 - 3 \u003d X + 1 4 - 3 \u003d X + 1 4 - 3 \u003d X + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 \u003d X + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Primjer 12.

Određivanje multiplikatora X 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.

Odluka

Mi ćemo se baviti transformacijom izraza. Dobivamo to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 \u003d (x + 2) 3 - 2

Potrebno je primijeniti formulu za smanjeno umnožavanje razlike kocki. Dobivamo:

x 3 + 6 x 2 + 12 X + 6 \u003d \u003d (X + 2) 3 - 2 \u003d X + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 \u003d X + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metoda zamjene varijable prilikom raspadanja polinoma na množitelja

Prilikom zamjene varijable, smanjenje stupnja i razgradnje polinoma na množitelja.

Primjer 13.

Određivanje polinomalnog multiplikatora forme X 6 + 5 x 3 + 6.

Odluka

Po uvjetima, može se vidjeti da je potrebno zamijeniti y \u003d x 3. Dobivamo:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6

Korijeni dobivene kvadratne jednadžbe jednake su Y \u003d - 2 i Y \u003d - 3, zatim

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d Y \u003d X 3 \u003d Y 2 + 5 Y + 6 \u003d Y + 2 Y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3

Potrebno je primijeniti formulu za skraćeno umnožavanje količine kockica. Dobivamo izraz obrasca:

x 6 + 5 X 3 + 6 \u003d Y \u003d X 3 \u003d Y 2 + 5 Y + 6 \u003d Y + 2 Y + 3 \u003d X 3 + 2 x 3 + 3 \u003d X + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3 3

To jest, dobili su željenu raspadanje.

Gore o kojima se raspravlja o slučajevima pomoći će u razmatranju i razgradnji polinoma u višestruke na različite načine.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

Razgradnja polinoma za dobivanje proizvoda ponekad izgleda zbunjujuće. Ali to nije tako teško ako ga shvatite u procesu korak po korak. U članku se detaljno opiše kako razgraditi kvadrat tri komadića na množiteljima.

Mnogi su nerazumljivi kako razgraditi kvadrat tri komadića na množiteljima i za koje se radi. Isprva se može činiti da je to beskorisno zanimanje. Ali u matematici ništa se ne radi takvo. Transformacija je potrebna za pojednostavljenje izraza i praktičnosti izračuna.

Polinom koji ima pogled - AX² + BX + C, nazvan kvadratni throestyle. Pojam "a" mora biti negativan ili pozitivan. U praksi se ovaj izraz naziva kvadratna jednadžba. Stoga ponekad govore drugačije: kako razgraditi kvadratnu jednadžbu.

Zanimljiv!Kvadratni polinom naziva se zbog najvećeg stupnjeva. I tri zaglavljena - zbog 3 sastanaka.

Neke druge vrste polinoma:

• linearni izbacivač (6x + 8);
• kubični četverostran (X³ + 4x²-2x + 9).

Raspadanje kvadrata s tri melana

Prvo, izraz je jednak nuli, onda morate pronaći vrijednosti korijena X1 i X2. Korijeni ne mogu biti, možda jedan ili dva korijena. Prisutnost korijena određena je diskriminatorom. Njegova formula mora biti poznata po srcu: D \u003d B²-4AC.

Ako je rezultat D negativan, nema korijena. Ako je pozitivan dva korijena. Ako je rezultat bio nula - jedan korijen. Korijeni se također izračunavaju formulom.

Ako, prilikom izračunavanja diskriminacije, može se primijeniti bilo kakva formula. U praksi se formula jednostavno smanjuje: -B / 2a.

Formule za različite diskriminalne vrijednosti razlikuju se.

Ako je d pozitivan:

Ako d je nula:

Online kalkulatori

Na internetu postoji online kalkulator. Uz to, možete razgraditi čimbenike. Neki resursi imaju priliku vidjeti korak po korak. Takve usluge pomažu bolje razumjeti temu, ali morate pokušati prodrijeti dobro.

Korisni video: Razgradnja kvadratnog triglena

Primjeri

Predlažemo da pogledamo jednostavne primjere, kako razgraditi kvadratnu jednadžbu za množitelje.

Primjer 1.

To jasno pokazuje da je rezultat dva X, jer je D pozitivan. Oni moraju biti zamijenjeni u formulu. Ako se korijeni ispostavilo negativno, znak u formuli se mijenja na suprotno.

Znamo formulu za razgradnju kvadrata tri melana za množitelje: a (X-X1) (X-X2). Stavljamo vrijednosti u zagrade: (x + 3) (X + 2/3). Ne postoji broj do termina. To znači da postoji jedinica, ide dolje.

Primjer 2.

Ovaj primjer jasno pokazuje kako riješiti jednadžbu koja ima jedan korijen.

Zamijenimo rezultirajuću vrijednost:

Primjer 3.

Danar: 5x² + 3x + 7

Prvo izračunajte diskriminaciju, kao u prethodnim slučajevima.

D \u003d 9-4 x 5 x 7 \u003d 9-140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, to znači da nema korijena.

Nakon primitka rezultata, vrijedi otvoriti nosače i provjeriti rezultat. Trebalo bi postojati početna makela.

Alternativno rješenje otopine

Neki ljudi nisu mogli sprijateljiti s diskriminacijom. Još uvijek možete razgraditi kvadrat tri razgradnje na množitelja. Za praktičnost, metoda je prikazana u primjeru.

Danar: X² + 3x-10

Znamo da se treba dobiti 2 nosača: (_) (_). Kada izraz ima takve vrste: X² + BX + C, na početku svakog nosača, stavljamo X: (x _) (x_). Preostala dva broja su rad koji daje "c", tj. U ovom slučaju -10. Saznajte koje brojeve je moguće samo metodom odabira. Supstituirani brojevi moraju biti u skladu s preostalim navodom.

Na primjer, množenje sljedećih brojeva daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (X - 1) (X + 10) \u003d X2 + 10x-X-10 \u003d X2 + 9x-10. Ne.
2. (X-10) (X + 1) \u003d X2 + X - 10x-10 \u003d X2-9X-10. Ne.
3. (X-5) (X + 2) \u003d X2 + 2x-5x-10 \u003d X2-3X-10. Ne.
4. (X - 2) (X + 5) \u003d X2 + 5x-2X-10 \u003d X2 + 3X-10. Prikladan.

Dakle, transformacija ekspresije X2 + 3x-10 izgleda ovako: (X-2) (X + 5).

Važno! Pažljivo je praćenje da ne zbunjuje znakove.

Raspadanje složenih triju snimaka

Ako je "A" više jedinica, poteškoće počinju. Ali sve nije tako teško kao što se čini.

Da biste razmotrili množitelje, najprije morate vidjeti ako nešto napravi nešto iza nosača.

Na primjer, izraz je dan: 3x² + 9x-30. Ovdje je broj 3 za nosač:

3 (x² + 3x-10). Kao rezultat toga, dobiveno je već poznate tri ustajale. Odgovor izgleda ovako: 3 (X-2) (X + 5)

Kako postaviti ako je pojam koji je na negativnom trgu? U ovom slučaju, broj -1 se podnosi za nosač. Na primjer: -x²-10x-8. Nakon izraza izgledat će ovako:

Shema se malo razlikuje od prethodnog. Postoji samo nekoliko novih trenutaka. Pretpostavimo izraz: 2x² + 7x + 3. Odgovor je također zabilježen u 2 zagrade koje treba ispuniti (_) (_). U 2. razredu, X, i u 1. ono što ostaje. Izgleda ovako: (2x _) (x_). Ostatak ponavlja prethodnu shemu.

Broj 3 daje brojeve:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Mi rješavamo jednadžbu, zamjenjujući podatke o broju. Posljednja opcija je prikladna. Dakle, transformacija ekspresije 2x² + 7x + 3 izgleda ovako: (2x + 1) (x + 3).

Drugi slučajevi

Transformirati izraz ne uvijek. S drugom metodom, otopina jednadžbe neće biti potrebna. No, sposobnost transformiranja komponenti u rad se provjerava samo kroz diskriminaciju.

Potrebno je protezati se za rješavanje kvadratnih jednadžbi, tako da kada koristite formule nema poteškoća.

Korisni video: Razgradnja tročada

Izlaz

Možete koristiti na bilo koji način. Ali bolje je raditi prije automatizma. Također naučite riješiti kvadratne jednadžbe i postaviti polinomi na množitelje, morate onima koji će povezati svoje živote s matematikom. Na tome su izgrađene sve sljedeće matematičke teme.

Pojmovi "polinoma" i "ekspanzije polinoma za množe" na algebru se nalaze vrlo često, jer se moraju znati da lako čine izračune s velikim višestrukim cijenama. Ovaj će članak opisati nekoliko metoda raspadanja. Svi su vrlo jednostavni u upotrebi, vrijedi samo odabrati pravu stvar u svakom pojedinom slučaju.

Koncept polinoma

Polinomi je zbroj jednog krila, odnosno izrazi koji sadrže samo rad množenja.

Na primjer, 2 x x * y je jednokratna, ali 2 x x * Y + 25 je polinom, koji se sastoji od 2 jednokratne: 2 x x * y i 25. Takvi polinomski pozivi iskrivljeni.

Ponekad radi lakšeg rješavanja primjera s više vrijednosti, izraz se mora pretvoriti, na primjer, razgraditi na određeni broj multiplikatora, odnosno brojeva ili izraza između kojih se izvodi množenja. Postoji niz metoda za razgradnju polinoma na množitelje. Vrijedi razmotriti ih od najprimitnijih, koji se koristi u primarnim razredima.

Grupiranje (unos općenito)

Formula razgradnje polinoma na množenje postupka grupiranja općenito izgleda na ovaj način:

aC + BD + BC + Ad \u003d (AC + BC) + (Ad + BD)

Potrebno je grupirati dijeljenje tako da se u svakoj skupini pojavi zajednički faktor. U prvom zagradi, to je multiplikator s, i u drugom - d. Mora biti učinjeno kako bi ga onda izvadio iz nosača, čime se pojednostavljuje izračun.

Algoritam razgradnje na određeni primjer

Najjednostavniji primjer raspadanja polinoma na množenje metode grupiranja daje se u nastavku:

10AS + 14bC - 25a - 35b \u003d (10AS - 25a) + (14bc - 35b)

U prvom nosaču morate preuzeti uvjete s množiteljem A, koji će biti općenito, au drugoj - s multiplikatorom b. Obratite pozornost na znakove + i - u gotovom izrazu. Stavili smo ispred istog znaka koji je bio u primarnim uvjetima. To jest, morate raditi ne s izrazom 25a, ali s izrazom -25. Minus znak je "držati" na izraz stoji iza njega i uvijek uzeti u obzir pri izračunavanju.

U sljedećem koraku morate snositi množitelj, koji je čest, za nosač. To je za to da je grupa gotova. Izvadite nosač - to znači napisati prije nosača (spuštanje znaka umnožavanja) svih onih multiplikatora koji se točno ponavljaju u svim uvjetima koji su u nosaču. Ako ne 2 u nosaču i 3 termina i više, opći faktor mora biti sadržan u svakoj od njih, inače se ne može izvaditi iz nosača.

U našem slučaju, samo 2 uvjeta u zagradama. Opći faktor je odmah vidljiv. U prvom nosaču je, u drugom - b. Ovdje morate obratiti pozornost na digitalne koeficijente. U prvom nosaču, i koeficijenti (10 i 25) su višestruki 5. to znači da je moguće napraviti nosač ne samo a, već i 5a. Ispred nosača za pisanje 5a, a zatim svaku komponente u zagradama u uglatim zagradama, koji je proveden, a također napisati privatni u uglatim zagradama, ne zaboravljajući na znakove + i - s drugim nosačem iznosi 7b, jer i 14 i 35.

10AS + 14bC - 25a - 35b \u003d (10AS - 25a) + (14bC - 35b) \u003d 5a (2C - 5) + 7b (2C - 5).

Pokazalo se da je 2 termina: 5a (2c - 5) i 7b (2C - 5). Svaki od njih sadrži opći multiplikator (svi izrazi u uglatim zagradama se ovdje podudaraju, to znači da je uobičajeni čimbenik): 2c - 5. Također treba uzeti za nosač, tj. Uvjeti 3a i 7b ostaju u Drugi nosač:

5a (2C - 5) + 7b (2C - 5) \u003d (2C - 5) * (5a + 7b).

Dakle, puni izraz:

10AS + 14bC - 25a - 35b \u003d (10AS - 25a) + (14bC - 35b) \u003d 5a (2C - 5) + 7b (2C - 5) \u003d (2C - 5) * (5a + 7b).

Prema tome, polinom 10AS + 14bC - 25a - 35b je presavijen u 2 multiplikatora: (2C - 5) i (5a + 7b). Prijava množenja između njih kada snimanja može biti izostavljena

Ponekad postoje izrazi ovog tipa: 5a 2 + 50a 3, ovdje možete izvaditi nosač ne samo ili 5a, već čak 5a 2. Uvijek biste trebali pokušati izdržati maksimalni veliki opći faktor iza nosača. U našem slučaju, ako podijelite svaki izraz za opći faktor, ispada:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50A 3 / 5A 2 \u003d 10A (Prilikom izračunavanja privatnih nekoliko stupnjeva s jednakim bazama, baza je sačuvana, a pokazatelj stupnja se oduzima). Dakle, jedinica ostaje u nosaču (ni u kojem slučaju ne zaboravite napisati jedinicu ako uzmemo jedan od uvjeta i privatnih od podjele: 10a za nosač. Ispada da:

5A2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

Formule kvadrati

Za praktičnost računanja izvedeno je nekoliko formula. Oni se nazivaju skraćene formule umnožavanja i često se koriste. Ove formule pomažu razgraditi polinome koji sadrže stupnjeve. Ovo je još jedan učinkovit način razgradnje multiplikatora. Dakle, ovdje su:

• 2 + 2ab + b2 \u003d (a + b) 2 - Formula koja se zove formula "Square Sum", jer je kao posljedica razgradnje na trgu, količina brojeva zatvorenih u zagradama se uzimaju, to jest, vrijednost tog iznosa množi se sama 2 puta, i stoga je a multiplikator.
• 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - Formula kvadrata razlike, slična je prethodnom. Kao rezultat toga, razlika zatvorena u zagradama sadržavala je u kvadratnom stupnju.
• 2 - B2 \u003d (A + B) (A - B) - To je formula za razliku u kvadratima, budući da se polinomi u početku sastoji od 2 kvadrata brojeva ili izraza, između kojih oduzima. Možda se od tri nazvana najčešće se koristi.

Primjeri za izračune pomoću kvadratnih formula

Izračuni na njima su vrlo jednostavni. Na primjer:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - Koristimo formulu "kvadratna količina".
2. 25x 2 je kvadrat ekspresije 5x. 20HU - Dvostruki rad 2 * (5x * 2y), a 4Y 2 je kvadrat razini.
3. Tako, 25x2 + 20xy + 4Y 2 \u003d (5x + 2Y) 2 \u003d (5x + 2Y) (5x + 2Y). Ovaj polinom je odbijen na 2 multiplikatora (čimbenici su isti, tako da je napisan u obliku izraza s kvadratnim stupnjem).

Djelovanje na formuli kvadrata razlike su slično ovim. Formula ostaje razlika kvadrata. Primjeri na ovoj formuli vrlo su jednostavni za određivanje i pronalaženje među ostalim izrazima. Na primjer:

• 25A 2-400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Od 25a 2 \u003d (5a) 2, 400 \u003d 20 2
• 36X 2 - 25U 2 \u003d (6x - 5Y) (6x + 5Y). Od 36x 2 \u003d (6x) 2 i 25U 2 \u003d (5U 2)
• c2 - 169b 2 \u003d (C - 13b) (C + 13b). Od 169b 2 \u003d (13b) 2

Važno je da je svaka od komponenti kvadrat bilo kojeg izraza. Tada se ovaj polinomi podliježe razgradnji multiplikatora formulom kvadratne razlike. Za to nije potrebno da drugi stupanj stoji preko broja. Postoje polinomi koji imaju velike mjere, ali još uvijek prikladne za ove formule.

8 + 10a 4 + 25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 x 5 + 5 2 \u003d (a 4 + 5) 2

U ovom primjeru, 8 može biti predstavljen kao (4) 2, to jest, kvadrat nekog izražavanja. 25 je 5 2 i 10A 4 - to je udvostručeno proizvedeno stavke2 * a 4 * 5. To jest, ovaj izraz, unatoč prisutnosti stupnjeva s velikim pokazateljima, može se razgraditi na 2 multiplikatora kako bi nastavio raditi s njima.

Formula kocke

Iste formule postoje za razgradnju polinoma koji sadrže kubu. Oni su malo složeniji od strane onih s trgovima:

• 3 + B3 \u003d (A + B) (2 - ab + B2) - Ova formula se naziva količina kocki, budući da je u početnom obliku polinom je zbroj dvaju izraza ili brojeva zatvorenih u kocki.
• 3-b3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b2) - Formula koja je identična prethodnom naznačena kao razlika kocki.
• 3 + 3a 2 B + 3ab 2 + B3 \u003d (A + B) 3 - Iznos kocka, kao rezultat izračuna, ispada količinu brojeva ili izraza zatvorenih u zagradama i pomnoženo sama po sebi 3 puta, to jest, koji se nalazi na Kubi
• 3 - 3A2B + 3ab 2-b3 \u003d (a-b) 3 -formula koja se sastavlja analogijom prethodnog s promjenom samo nekih znakova matematičkih operacija (plus i minus) naziva se "kocke razlike".

Posljednje dvije formule praktično se ne koriste za razgradnju polinoma multiplikatora, jer su složene, a vrlo rijetko pronađeni polinom, u potpunosti odgovara takvoj zgradi tako da se mogu razgraditi na tim formulama. Ali još uvijek moraju znati, jer će biti potrebni pod radnji u suprotnom smjeru - pri otkrivanju nosača.

Primjeri kocki formula

Razmotrite primjer: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4A * 2b + (2b) 2) \u003d (4a-2b) (16a2 + 8ab + 4b 2 ).

Ovdje postoje vrlo jednostavni brojevi, tako da možete odmah vidjeti da je 64a 3 (4a) 3, a 8b 3 je (2b) 3. Dakle, ovaj polinomi smanjuje razliku u razlici kocki na 2 multiplikatora. Akcije formule kocki se proizvode analogije.

Važno je shvatiti da svi polinomi nisu podložni razgradnji barem jedan od načina. Ali postoje takvi izrazi koji sadrže visoke stupnjeve od kvadrata ili kocke, ali se također mogu razgraditi prema obliku skraćenog umnožavanja. Na primjer: X 12 + 125Y 3 \u003d (X4) 3 + (5Y) 3 \u003d (x 4 + 5Y) * ((x 4) 2 - x 4 x 5Y + (5Y) 2) \u003d (x 4 + 5y ) (X 8 - 5x 4 Y + 25Y 2).

Ovaj primjer sadrži čak 12 stupnjeva. Ali čak i moguće se razgraditi na množiteljima formule kocki. Da biste to učinili, potrebno je predstaviti X 12 kao (x 4) 3, to jest, kao kocka bilo kojeg izraza. Umjesto toga, umjesto toga, potrebno je zamijeniti. Pa, izraz 125u 3 je kocka 5y. Dalje, rad treba napraviti pomoću formule i napraviti izračune.

U početku ili u slučaju sumnje, uvijek možete provjeriti u obrnutom množenju. Vi samo trebate otkriti nosače u nastalom izrazu i obavljati akcije sa sličnim uvjetima. Ova metoda se odnosi na sve navedene načine za smanjenje: oba rade s uobičajenim faktorom i grupiranjem i djelovanjem na formulama kocki i kvadratnih stupnjeva.

Proširenje čimbenika jednadžbe je proces pronalaženja takvih članova ili izraza koji se pomnoženi, dovode do početne jednadžbe. Prikazuje se za čimbenike korisna je vještina za rješavanje osnovnih algebarskih zadataka i postaje praktično potrebna pri radu s kvadratnim jednadžbama i drugim polinomima. Razgradnja multiplikatora koristi se za pojednostavljenje algebarskih jednadžbi kako bi se olakšalo njihovo rješenje. Razgradnja multiplikatora može vam pomoći eliminirati određene moguće odgovore brže nego što to učiniti, ručno rješavanju jednadžbe.

Koraci

Razgradnja množitelja brojeva i glavnih algebarskih izraza

1. Raspadanje množitelja brojeva. Koncept raspadanja na množitelja je jednostavan, ali u praksi, širenje multiplikatora može biti težak zadatak (ako se daje složena jednadžba). Stoga, za početak, razmotriti koncept raspadanja na množiteljima na primjeru brojeva, nastavljamo s jednostavnim jednadžbama, a zatim se okrećemo složenim jednadžbama. Multiplepteri ovog broja su brojevi koji se daju u množenju. Na primjer, množitelji broja 12 su brojevi: 1, 12, 2, 6, 3, 4, kao 1 x 12 \u003d 12, 2 x 6 \u003d 12, 3 x 4 \u003d 12.

   • Slično tome, možete vidjeti množitelja broja kao njegovih razdjelnika, to jest, brojevi koji ovaj broj dijeli.
   • Pronađite sve broj 60 čimbenika. Često koristimo broj 60 (na primjer, 60 minuta u sat, 60 sekundi u minuti, itd.) I ovaj broj ima prilično velik broj multiplikatora.
     • Multiplers 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Zapamtiti: Članovi izraza koji sadrže koeficijent (broj) i varijablu također se mogu razgraditi na multiplikatorima. Da biste to učinili, pronađite faktore koeficijenta s varijablom. Znajući kako razgraditi članove jednadžbi na čimbenicima, ova jednadžba se može lako pojednostaviti.

   • Na primjer, član 12x može se zabilježiti kao proizvod od 12 i x. Također možete napisati 12x kao 3 (4x), 2 (6x), itd., Namjestite broj 12 do najprikladnijih multiplikatora.
     • Možete položiti 12x nekoliko puta u nizu. Drugim riječima, ne biste trebali zaustaviti u 3 (4x) ili 2 (6x); Nastavite razgradnju: 3 (2 (2x)) ili 2 (3 (2x)) (očito je da je 3 (4x) \u003d 3 (2 (2x)), itd.)

3. Primijenite raspodjelu svojstava umnožavanja na raspadanje o čimbenicima algebarskih jednadžbi. Znajući kako se razgraditi na čimbenike broja i člana izraza (koeficijenti s varijablama), možete pojednostaviti jednostavne algebarske jednadžbe, pronalaženje općeg faktora broja i člana izraza. Obično će pojednostaviti jednadžbu potrebno je pronaći najveći zajednički razdjelnik (čvor). Takvo pojednostavljenje je moguće zbog distribucijskog vlasništva umnožavanja: za bilo koji brojevi A, B, s jednakošću A (B + C) \u003d AB + AC.

   • Primjer. Proširite jednadžbu 10x + 6 na množitelja. Prvo, pronađite čvor 12x i 6. 6 je najveći broj koji dijeli i 12x, i 6, tako da možete razgraditi ovu jednadžbu za: 6 (2x + 1).
   • Ovaj proces je također vjeran za jednadžbe u kojima postoje negativni i djelomični članovi. Na primjer, X / 2 + 4 može se razgraditi na 1/2 (X + 8); Na primjer, -7x + (- 21) može se razgraditi na -7 (X + 3).

   Razgradnja množitelja kvadratnih jednadžbi

   1. Provjerite je li jednadžba dana u kvadratnom obliku (AX 2 + BX + C \u003d 0). Kvadratne jednadžbe imaju oblik: AX 2 + BX + C \u003d 0, gdje se A, B, C-numerički koeficijenti razlikuju od 0. Ako dobijete jednadžbu iz jedne varijable (x) iu ovoj jednadžbi postoji jedan ili više Članovi iz varijable drugog naloga možete prenijeti sve članove jednadžbe na jednoj strani jednadžbe i izjednačiti ga na nulu.

      • Na primjer, daje se jednadžba: 5x 2 + 7x - 9 \u003d 4x 2 + x - 18. Može se pretvoriti u jednadžbu x 2 + 6x + 9 \u003d 0, što je kvadratna jednadžba.
      • Jednadžbe s varijabilnim X velikim narudžbama, na primjer, x 3, x 4, itd. Nisu kvadratne jednadžbe. To su kubne jednadžbe, jednadžba četvrtog reda i tako dalje (samo ako se takve jednadžbe ne mogu pojednostaviti na kvadratne jednadžbe iz varijable X do stupnja 2).

   2. Kvadratne jednadžbe, gdje je A \u003d 1, odvija se pomoću (X + D) (X + E), gdje D * E \u003d C i D + E \u003d B. Ako kvadratna jednadžba ima oblik: X2 + BX + C \u003d 0 (tj. Koeficijent na X2 je 1), tada se tada može (ali ne zajamčiti) razgraditi na gore navedenim čimbenicima. Da biste to učinili, morate pronaći dva broja koja se daju množenjem "C" i prilikom dodavanja - "B". Čim pronađete takve dvije brojeve (D i E), zamijenite ih u sljedeći izraz: (x + d) (X + E), koji, kada otkrivanje, dovodi do početne jednadžbe.

      • Na primjer, kvadratna jednadžba x 2 + 5x + 6 \u003d 0. 3 * 2 \u003d 6 i 3 + 2 \u003d 5 je dana, tako da možete razgraditi ovu jednadžbu na (x + 3) (x + 2).
      • U slučaju negativnih članova unesite sljedeće manje izmjene u procesu razgradnje multiplikatora:
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik X 2 -BX + C, odbijen je na: (x -_) (x-_).
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik X 2 -BX-C, presavija se na: (x + _) (X-_).
      • Napomena: Prostori se mogu zamijeniti frakcijama ili decimalnim brojevima. Na primjer, jednadžba x 2 + (21/2) X + 5 \u003d 0 je presavijena u (X + 10) (X + 1/2).

   3. Razgradnja multiplikatora po pokušaju i pogrešci. Nekomplicirane kvadratne jednadžbe mogu se razgraditi na multiplikatorima, jednostavno zamijeniti brojeve u mogućim rješenjima dok ne pronađete pravo rješenje. Ako jednadžba ima oblik AX 2 + BX + C, gdje su\u003e 1, moguća otopina napisan u obliku (DX +/- _) (ex +/- _), gdje su D i E numerički koeficijenti različiti od nula, koja prilikom množenja daje. D ili E (ili oba koeficijenta) mogu biti jednaki 1. ako su oba koeficijenta 1, zatim upotrijebite gore opisanu metodu.

      • Na primjer, jednadžba 3x 2 - 8x + 4. ovdje 3 ima samo dvije greške (3 i 1), tako da se u obliku napišu moguća otopina (3x +/- _) (x +/- _). U tom slučaju, zamjena umjesto prostora -2, naći ćete točan odgovor: -2 * 3x \u003d -6x i -2 * x \u003d -2x; - 6x + (- 2x) \u003d - 8x i -2 * -2 \u003d 4, to jest, takva raspadanje u otkrivanju nosača će dovesti do članova izvorne jednadžbe.