Kesirler sıradan sayılar, ayrıca eklenebilir ve çıkarılabilirler. Ancak bir payda içerdikleri için daha fazlası karmaşık kurallar tam sayılara göre.
İki kesirin olduğu en basit durumu ele alalım. aynı paydalar. Daha sonra:
Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikincinin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı tekrar değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Her ifadede kesirlerin paydaları eşittir. Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılmasının tanımı gereği şunu elde ederiz:
Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey değil: sadece payları topluyoruz veya çıkarıyoruz, hepsi bu.
Ancak bu kadar basit eylemlerde bile insanlar hata yapmayı başarırlar. Çoğu zaman unutulan şey ise paydanın değişmediğidir. Örneğin, onları eklerken onlar da toplanmaya başlar ve bu temelde yanlıştır.
Kurtulmak Kötü alışkanlık Paydaları eklemek oldukça basittir. Çıkarırken de aynı şeyi deneyin. Sonuç olarak payda sıfır olacak ve kesir (birdenbire!) anlamını yitirecektir.
Bu nedenle, bir kez daha şunu unutmayın: toplama ve çıkarma sırasında payda değişmez!
Pek çok kişi birkaç negatif kesri toplarken de hata yapar. İşaretlerle ilgili bir kafa karışıklığı var: eksi nereye koyulmalı ve artı nereye koyulmalı.
Bu sorunun çözümü de oldukça kolaydır. Kesir işaretinden önceki eksi her zaman paya aktarılabilir - ve bunun tersi de geçerlidir. Ve elbette iki basit kuralı da unutmayın:
- Artı eksi eksi verir;
- İki olumsuz bir olumlu yapar.
Tüm bunlara belirli örneklerle bakalım:
Görev. İfadenin anlamını bulun:
İlk durumda her şey basit ama ikincisinde kesirlerin paylarına eksileri ekleyelim:
Paydalar farklıysa ne yapmalı
Kesirleri doğrudan ekleme farklı paydalar yasaktır. En azından bu yöntem benim için bilinmiyor. Ancak orijinal kesirler her zaman paydaları aynı olacak şekilde yeniden yazılabilir.
Kesirleri dönüştürmenin birçok yolu vardır. Bunlardan üçü “Kesirleri ortak paydaya indirgemek” dersinde tartışıldığı için burada bunlar üzerinde durmayacağız. Bazı örneklere bakalım:
Görev. İfadenin anlamını bulun:
İlk durumda, "çapraz-çapraz" yöntemini kullanarak kesirleri ortak bir paydaya indiriyoruz. İkincisinde NOC'yi arayacağız. 6 = 2 · 3 olduğuna dikkat edin; 9 = 3 · 3. Bu açılımlardaki son çarpanlar eşittir ve ilk çarpanlar göreceli olarak asaldır. Dolayısıyla LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Bir kesrin tamsayı kısmı varsa ne yapmalı
Sizi memnun edebilirim: Kesirlerdeki farklı paydalar en büyük kötülük değildir. Toplama kesirlerinde parçanın tamamı vurgulandığında çok daha fazla hata ortaya çıkar.
Elbette bu tür kesirler için kendi toplama ve çıkarma algoritmaları vardır ancak bunlar oldukça karmaşıktır ve uzun bir çalışma gerektirir. Daha iyi kullanım basit diyagram, aşağıda verilen:
- Tamsayı kısmı içeren tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Yukarıda tartışılan kurallara göre hesaplanan normal terimleri (farklı paydalarla bile) elde ederiz;
- Aslında, ortaya çıkan kesirlerin toplamını veya farkını hesaplayın. Sonuç olarak cevabı pratik olarak bulacağız;
- Eğer problemde gerekli olan tek şey buysa, ters dönüşümü gerçekleştiririz, yani. kurtulmak uygunsuz kesir, içindeki bütün bir kısmı vurguluyor.
Uygunsuz kesirlere geçme ve tüm parçayı vurgulama kuralları “Sayısal kesir nedir” dersinde ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Eğer hatırlamıyorsanız mutlaka tekrarlayınız. Örnekler:
Görev. İfadenin anlamını bulun:
Burada her şey basit. Her ifadenin içindeki paydalar eşittir, dolayısıyla geriye kalan tek şey tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek ve saymaktır. Sahibiz:
Hesaplamaları basitleştirmek için son örneklerde bazı belirgin adımları atladım.
Tamsayı kısmı vurgulanan kesirlerin çıkarıldığı son iki örnek hakkında küçük bir not. İkinci kesirden önceki eksi, kesrin yalnızca tamamının değil tamamının çıkarıldığı anlamına gelir.
Bu cümleyi tekrar okuyun, örneklere bakın ve üzerinde düşünün. Yeni başlayanların çok sayıda hata yaptığı yer burasıdır. Bu tür görevleri vermeyi severler testler. Yakında yayınlanacak olan bu dersin testlerinde de bunlarla birkaç kez karşılaşacaksınız.
Özet: genel hesaplama şeması
Sonuç olarak, iki veya daha fazla kesrin toplamını veya farkını bulmanıza yardımcı olacak genel bir algoritma vereceğim:
- Bir veya daha fazla kesirin tam sayı kısmı varsa, bu kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün;
- Tüm kesirleri sizin için uygun olan herhangi bir şekilde ortak bir paydaya getirin (tabii ki sorunların yazarları bunu yapmadıkça);
- Ortaya çıkan sayıları, benzer paydalara sahip kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması kurallarına göre ekleyin veya çıkarın;
- Mümkünse sonucu kısaltın. Kesir yanlışsa tüm kısmı seçin.
Cevabı yazmadan hemen önce, görevin en sonunda tüm kısmı vurgulamanın daha iyi olacağını unutmayın.
Bu yazıda ele alacağız ile sayıların eklenmesi farklı işaretler . Burada pozitif ve negatif sayıların toplanmasına ilişkin bir kural vereceğiz ve farklı işaretli sayıları toplarken bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Farklı işaretli sayıları toplama kuralı
Farklı işaretli sayıların eklenmesine örnekler
Hadi düşünelim farklı işaretli sayıların toplanmasına örneklerönceki paragrafta tartışılan kurala göre. Basit bir örnekle başlayalım.
Örnek.
−5 ve 2 sayılarını ekleyin.
Çözüm.
Farklı işaretli sayıları eklememiz gerekiyor. Pozitif ve negatif sayıları toplama kuralının öngördüğü tüm adımları izleyelim.
Öncelikle terimlerin sırasıyla 5 ve 2'ye eşit olan modüllerini buluyoruz.
−5 sayısının modülü 2 sayısının modülünden daha büyüktür, bu nedenle eksi işaretini unutmayın.
Hatırlanan eksi işaretini ortaya çıkan sayının önüne koymaya devam ediyoruz, −3 elde ediyoruz. Bu, farklı işaretlere sahip sayıların eklenmesini tamamlar.
Cevap:
(−5)+2=−3 .
Tam sayı olmayan farklı işaretlere sahip rasyonel sayıları toplamak için, bunların sıradan kesirler olarak temsil edilmesi gerekir (eğer uygunsa ondalık sayılarla da çalışabilirsiniz). Bir sonraki örneği çözerken bu noktaya bakalım.
Örnek.
Pozitif bir sayı ve negatif bir sayı olan -1,25'i ekleyin.
Çözüm.
Sayıları formda temsil edelim sıradan kesirler Bunu yapmak için, karışık bir sayıdan uygunsuz bir kesire geçiş yapacağız: ve ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştüreceğiz: 
.
Artık farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını kullanabilirsiniz.
Eklenen sayıların modülleri 17/8 ve 5/4'tür. Daha fazla işlem kolaylığı için kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz, sonuç olarak 17/8 ve 10/8 elde ediyoruz.
Şimdi 17/8 ve 10/8 ortak kesirlerini karşılaştırmamız gerekiyor. 17>10 olduğundan, o zaman . Dolayısıyla artı işaretli terimin modülü daha büyük olduğundan artı işaretini unutmayın.
Şimdi büyük modülden küçük olanı çıkarıyoruz, yani paydaları aynı olan kesirleri çıkarıyoruz: 
.
Geriye kalan tek şey, hatırlanan artı işaretini ortaya çıkan sayının önüne koymaktır, elde ederiz, ancak bu 7/8 sayısıdır.
Bu dersimizde negatif sayının ne olduğunu ve hangi sayılara karşıt denildiğini öğreneceğiz. Ayrıca negatif ve pozitif sayıların (farklı işaretli sayılar) nasıl toplandığını öğreneceğiz ve farklı işaretli sayıların toplanmasıyla ilgili çeşitli örneklere bakacağız.
Şu dişliye bakın (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 1. Saat dişlisi
Bu doğrudan zamanı gösteren bir ibre veya bir kadran değildir (bkz. Şekil 2). Ancak bu kısım olmadan saat çalışmaz.
Pirinç. 2. Saatin içindeki vites
Y harfi ne anlama geliyor? Y sesinden başka bir şey yok. Ancak o olmadan birçok kelime "işe yaramaz". Örneğin "fare" kelimesi. Negatif sayılar da öyle: herhangi bir miktar göstermezler, ancak onlar olmasaydı hesaplama mekanizması çok daha zor olurdu.
Toplama ve çıkarma işlemlerinin eşdeğer işlemler olduğunu ve herhangi bir sırayla yapılabileceğini biliyoruz. Doğrudan sırayla şunları hesaplayabiliriz: ancak henüz ne olduğu konusunda anlaşmaya varamadığımız için çıkarma işlemine başlayamayız.
Sayıyı bir kat arttırıp sonra azaltmanın, sonuçta üçe kadar azalması anlamına geldiği açıktır. Neden bu nesneyi belirleyip şu şekilde saymıyorsunuz: eklemek, çıkarmak demektir. Daha sonra .
Sayı örneğin bir elma anlamına gelebilir. Yeni sayı herhangi bir gerçek miktarı temsil etmiyor. Tek başına Y harfi gibi bir anlam taşımaz. Hesaplamaları kolaylaştıran yeni bir araçtır.
Yeni sayıları adlandıralım olumsuz. Artık büyük sayıyı küçük sayıdan çıkarabiliriz. Teknik olarak hâlâ çıkarmanız gerekiyor Daha daha az, ancak cevaba bir eksi işareti koyun: .
Başka bir örneğe bakalım: 
. Tüm eylemleri arka arkaya yapabilirsiniz: .
Ancak üçüncü sayıyı birinci sayıdan çıkarıp ardından ikinci sayıyı eklemek daha kolaydır:
Negatif sayılar başka bir şekilde tanımlanabilir.
Örneğin her doğal sayı için, belirttiğimiz yeni bir sayıyı tanıtıyoruz ve bu sayının şu özelliğe sahip olduğunu belirliyoruz: sayının toplamı ve eşittir : .
Sayıya negatif, sayılara ve - zıt diyeceğiz. Böylece sonsuz sayıda yeni sayı elde ettik, örneğin:
Sayının tersi;
Sayının tersi;
Sayının tersi; 
Sayının tersi;
Büyük sayıyı küçük sayıdan çıkarın: . Bu ifadeye şunu ekleyelim: . Sıfır aldık. Ancak özelliğine göre beşe sıfır ekleyen sayı eksi beş ile gösterilir: . Bu nedenle ifade şu şekilde gösterilebilir.
Her pozitif sayının, yalnızca önünde bir eksi işareti bulunması nedeniyle farklılık gösteren bir ikiz sayısı vardır. Bu tür sayılara denir. zıt(bkz. Şekil 3).
Pirinç. 3. Zıt sayılara örnekler
Zıt sayıların özellikleri
1. Zıt sayıların toplamı sıfırdır: .
2. Sıfırdan pozitif bir sayı çıkarırsanız, sonuç tam tersi negatif sayı olacaktır: .
1. Her iki sayı da pozitif olabilir ve bunları nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz: .
2. Her iki sayı da negatif olabilir.
Önceki derste bunun gibi sayıların eklenmesini zaten ele almıştık, ancak onlarla ne yapacağımızı anladığımızdan emin olalım. Örneğin: .
Bu toplamı bulmak için zıt pozitif sayıları toplayın ve eksi işareti koyun.
3. Bir sayı pozitif, diğeri negatif olabilir.
Bizim için uygunsa, negatif bir sayının toplamasını pozitif bir sayının çıkarılmasıyla değiştirebiliriz: .
Bir örnek daha: . Yine tutarı fark olarak yazıyoruz. Daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayıyı çıkararak, ancak eksi işaretini kullanarak, daha büyük bir sayıyı daha küçük bir sayıdan çıkarabilirsiniz.
Şartları değiştirebiliriz: .
Benzer bir örnek daha: .
Her durumda sonuç bir çıkarmadır.
Bu kuralları kısaca formüle etmek için bir terimi daha hatırlayalım. Zıt sayılar elbette birbirine eşit değildir. Ancak ortak noktalarının farkına varmamak tuhaf olurdu. Buna ortak adını verdik modül numarası. Zıt sayıların modülü aynıdır: pozitif bir sayı için sayının kendisine eşittir ve negatif bir sayı için tersi pozitiftir. Örneğin: , .
İki negatif sayıyı eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve bir eksi işareti koymanız gerekir:
Negatif ve pozitif bir sayı eklemek için, küçük modülü büyük modülden çıkarmanız ve sayının işaretini büyük modülün yanına koymanız gerekir:
Her iki sayı da negatiftir, bu nedenle modüllerini ekler ve eksi işareti koyarız:
Bu nedenle, farklı işaretli iki sayı, sayının modülünden (daha büyük modül), sayının modülünü çıkarırız ve bir eksi işareti (daha büyük modüle sahip sayının işareti) koyarız:
Bu nedenle, farklı işaretli iki sayı, sayının modülünden (daha büyük modül), sayının modülünü çıkarırız ve bir eksi işareti koyarız (daha büyük modüle sahip sayının işareti): .
Bu nedenle, farklı işaretli iki sayı, sayının modülünden (daha büyük modül), sayının modülünü çıkarırız ve bir artı işareti koyarız (daha büyük modüle sahip sayının işareti): .
Pozitif ve negatif sayıların tarihsel olarak farklı rolleri olmuştur.
İlk biz girdik tamsayılaröğeleri saymak için:
Daha sonra, tamsayı olmayan miktarları, parçaları saymak için diğer pozitif sayıları - kesirleri - tanıttık: .
Negatif sayılar hesaplamaları basitleştirecek bir araç olarak ortaya çıktı. Hayatta sayamayacağımız nicelikler yoktu ve negatif sayıları icat ettik.
Yani negatif sayılar gerçek dünyadan kaynaklanmadı. O kadar kullanışlı oldukları ortaya çıktı ki bazı yerlerde hayatta uygulama alanı buldular. Örneğin negatif sıcaklıkları sıklıkla duyarız. Ancak hiçbir zaman negatif sayıda elmayla karşılaşmıyoruz. Fark ne?
Aradaki fark, hayatta negatif niceliklerin yalnızca karşılaştırma için kullanılması, nicelik olarak kullanılmamasıdır. Otelin bodrum katı varsa ve oraya bir asansör kurulmuşsa, normal kat numaralandırmasını korumak için eksi birinci kat görünebilir. Bu ilk eksi, zemin seviyesinin yalnızca bir kat altında olduğu anlamına gelir (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 4. Eksi birinci kat ve eksi ikinci kat
Negatif bir sıcaklık, yalnızca ölçeğin yazarı Anders Celsius tarafından seçilen sıfıra kıyasla negatiftir. Başka ölçekler de var ve orada aynı sıcaklık artık negatif olmayabilir.
Aynı zamanda başlangıç noktasını beş değil altı elma olacak şekilde değiştirmenin imkansız olduğunu anlıyoruz. Bu nedenle hayatta miktarları (elma, kek) belirlemek için pozitif sayılar kullanılır.
İsim yerine bunları da kullanırız. Her telefona kendi adı verilebilir, ancak adların sayısı sınırlıdır ve numara yoktur. Bu yüzden telefon numaralarını kullanıyoruz. Ayrıca sipariş vermek için (yüzyıl yüzyılı takip eder).
Hayattaki negatif sayılar ikinci anlamda kullanılır (eksi sıfırın altındaki birinci kat ve birinci katlar)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. M .: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. "Spor Salonu", 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. M.: Eğitim, 1989.
- Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: 5-6. Sınıflar için ders kitabı-muhatap lise. M.: Eğitim, Matematik Öğretmeni Kitaplığı, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube().
- Okul asistanı.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Ev ödevi
Bu derste öğreneceğiz tam sayılarda toplama ve çıkarma ve bunların eklenmesi ve çıkarılmasıyla ilgili kurallar.
Tam sayıların yanı sıra 0 sayısının da pozitif ve negatif sayılar olduğunu hatırlayın. Örneğin, aşağıdaki sayılar tam sayılardır:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Pozitif sayılar kolaydır ve. Ne yazık ki aynı şey, yeni başlayanların çoğunu her sayının önündeki eksileriyle karıştıran negatif sayılar için söylenemez. Uygulamada görüldüğü gibi, negatif sayılar nedeniyle yapılan hatalar öğrencileri en çok hayal kırıklığına uğratır.
Ders içeriğiTam sayılarda toplama ve çıkarma örnekleri
Öğrenmeniz gereken ilk şey, bir koordinat çizgisi kullanarak tamsayıları toplamak ve çıkarmaktır. Koordinat çizgisi çizmeye hiç gerek yok. Düşüncelerinizde hayal etmeniz ve negatif sayıların nerede, pozitif sayıların nerede olduğunu görmeniz yeterlidir.
En basit ifadeyi ele alalım: 1 + 3. Bu ifadenin değeri 4'tür:
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan itibaren sağa doğru üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız, şekilde bunun nasıl gerçekleştiğini görebilirsiniz:
1+3 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini anlatır.
Örnek 2. 1 − 3 ifadesinin değerini bulalım.
Bu ifadenin değeri -2
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan sola üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi negatif −2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız. Resimde bunun nasıl olduğunu görebilirsiniz:
1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Genel olarak, ekleme yapılırsa artış yönünde sağa doğru hareket etmeniz gerektiğini hatırlamanız gerekir. Çıkarma yapılırsa, azalma yönünde sola doğru hareket etmeniz gerekir.
Örnek 3.−2 + 4 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 2'dir
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa doğru dört adım ilerlemeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi pozitif 2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif −2 sayısının bulunduğu noktadan hareket ettiğimiz görülüyor. Sağ Taraf dört adım attı ve pozitif sayı 2'nin bulunduğu noktaya geldi.
−2 + 4 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 4.−1 − 3 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri -4
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -1 negatif sayısının bulunduğu noktadan itibaren üç adım sola gitmeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi negatif 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif -1 sayısının bulunduğu noktadan hareket ettiğimiz görülüyor. Sol Tarafüç adım attı ve negatif sayı −4'ün bulunduğu noktaya geldi.
−1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola gitmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 5.−2 + 2 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 0'dır
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa doğru iki adım ilerlemeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi 0 sayısının bulunduğu noktada bulacağız
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa doğru iki adım ilerleyerek 0 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 2 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Tam sayılarda toplama ve çıkarma kuralları
Tam sayıları toplamak veya çıkarmak için, her seferinde bir koordinat çizgisi hayal etmek, hatta çizmek bile gerekli değildir. Hazır kuralları kullanmak daha uygundur.
Kuralları uygularken işlemin işaretine ve toplanması veya çıkarılması gereken sayıların işaretlerine dikkat etmeniz gerekir. Bu hangi kuralın uygulanacağını belirleyecektir.
Örnek 1.−2 + 5 ifadesinin değerini bulun
Burada negatif bir sayıya pozitif bir sayı eklenir. Yani farklı işaretli sayılar toplanır. −2 negatif bir sayıdır ve 5 pozitif bir sayıdır. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Farklı işaretlere sahip sayıları toplamak için, daha küçük modülü daha büyük modülden çıkarmanız ve ortaya çıkan cevaptan önce, modülü daha büyük olan sayının işaretini koymanız gerekir.
Şimdi hangi modülün daha büyük olduğunu görelim:
5 sayısının modülü −2 sayısının modülünden daha büyüktür. Kural, küçük olanın büyük modülden çıkarılmasını gerektirir. Bu nedenle, 5'ten 2'yi çıkarmalıyız ve ortaya çıkan cevaptan önce modülü daha büyük olan sayının işaretini koymalıyız.
5 sayısının modülü daha büyük olduğundan bu sayının işareti cevapta olacaktır. Yani cevap olumlu olacaktır:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Genellikle daha kısa yazılır: −2 + 5 = 3
Örnek 2. 3 + (−2) ifadesinin değerini bulun
Burada önceki örnekte olduğu gibi farklı işaretli sayılar toplanmıştır. 3 pozitif bir sayıdır ve −2 negatif bir sayıdır. İfadeyi daha açık hale getirmek için -2'nin parantez içine alındığına dikkat edin. Bu ifadenin anlaşılması 3+−2 ifadesinden çok daha kolaydır.
Öyleyse farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını uygulayalım. Önceki örnekte olduğu gibi büyük modülden küçük modülü çıkarıyoruz ve cevabın önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyuyoruz:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
3 sayısının modülü -2 sayısının modülünden büyük olduğundan 3'ten 2'yi çıkardık ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü daha büyük olan sayının işaretini koyduk. 3 sayısı daha büyük bir modüle sahiptir, bu nedenle bu sayının işareti cevaba dahil edilmiştir. Yani cevap olumludur.
Genellikle daha kısa yazılır 3 + (−2) = 1
Örnek 3. 3 − 7 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadede küçük sayıdan büyük sayı çıkarılır. Böyle bir durumda aşağıdaki kural geçerlidir:
Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmak için, daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıdan çıkarmanız ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
Bu ifadede hafif bir yakalama var. Büyüklükler ve ifadeler birbirine eşit olduğunda arasına eşittir işaretinin (=) konulduğunu hatırlayalım.
3 − 7 ifadesinin değeri öğrendiğimiz gibi -4'tür. Bu, bu ifadede yapacağımız herhangi bir dönüşümün -4'e eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Ancak ikinci aşamada −4'e eşit olmayan 7 − 3 ifadesinin olduğunu görüyoruz.
Bu durumu düzeltmek için 7 − 3 ifadesini parantez içine alıp bu parantezin önüne bir eksi koymanız gerekir:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
Bu durumda her aşamada eşitlik gözetilecektir:
İfade hesaplandıktan sonra parantezleri kaldırabiliriz, biz de öyle yaptık.
Yani daha kesin olmak gerekirse çözüm şöyle görünmeli:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Bu kural değişkenler kullanılarak yazılabilir. Bunun gibi görünecek:
a − b = − (b − a)
Çok sayıda parantez ve işlem işareti, görünüşte basit bir problemin çözümünü karmaşık hale getirebilir, bu nedenle bu tür örneklerin nasıl kısaca yazılacağını öğrenmek daha tavsiye edilir, örneğin 3 − 7 = − 4.
Aslında tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemi, toplama işleminden başka bir anlama gelmez. Bu, sayıları çıkarmanız gerekiyorsa, bu işlemin toplama işlemiyle değiştirilebileceği anlamına gelir.
O halde yeni kuralı tanıyalım:
Bir sayıdan diğerinden çıkarmak, çıkarılan sayının karşısındaki sayının eksilen sayıya eklenmesi anlamına gelir.
Örneğin en basit ifade olan 5 − 3'ü düşünün. Ilk aşamalar Matematik çalışırken eşittir işareti koyduk ve cevabı yazdık:
Ancak artık çalışmamızda ilerleme kaydediyoruz, dolayısıyla yeni kurallara uyum sağlamamız gerekiyor. Yeni kural, bir sayıyı diğerinden çıkarmanın, çıkan sayının aynısını eksilen sayıya eklemek anlamına geldiğini söylüyor.
Bu kuralı 5 − 3 ifadesi örneğini kullanarak anlamaya çalışalım. Bu ifadede eksi 5, çıkan ise 3'tür. Kural diyor ki, 5'ten 3 çıkarmak için 5'e 3'ün tersi bir sayı eklemek gerekir. 3 sayısının tersi -3'tür. . Yeni bir ifade yazalım:
Ve bu tür ifadelere nasıl anlam bulacağımızı zaten biliyoruz. Bu, daha önce incelediğimiz farklı işaretli sayıların toplamıdır. Farklı işaretli sayıları toplamak için, küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve ortaya çıkan cevabın önüne, modülü büyük olan sayının işaretini koyarız:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
5 sayısının modülü −3 sayısının modülünden daha büyüktür. Dolayısıyla 5'ten 3'ü çıkardık ve 2 elde ettik. 5 sayısının modülü daha büyük olduğundan cevaba bu sayının işaretini koyduk. Yani cevap olumludur.
İlk başta herkes çıkarma işlemini hızlı bir şekilde toplama işlemiyle değiştiremez. Bunun nedeni pozitif sayıların artı işareti olmadan yazılmasıdır.
Örneğin 3 − 1 ifadesinde çıkarma işlemini gösteren eksi işareti bir işlem işaretidir ve bir işlemi ifade etmez. Birim girişi bu durumda pozitif bir sayıdır ve kendine ait artı işareti vardır ancak pozitif sayıların önüne artı yazılmadığı için onu göremiyoruz.
Bu nedenle, açıklık sağlamak için bu ifade şu şekilde yazılabilir:
(+3) − (+1)
Kolaylık sağlamak için, kendi işaretlerine sahip sayılar parantez içine alınmıştır. Bu durumda çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmek çok daha kolaydır.
(+3) − (+1) ifadesinde çıkarılacak sayı (+1), karşıt sayı ise (−1) olur.
Çıkarmanın yerine toplama koyalım ve çıkan (+1) yerine karşıt sayıyı (−1) yazalım.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Daha fazla hesaplama zor olmayacak.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
İlk bakışta, eğer eski güzel yöntemi kullanarak eşittir işareti koyup hemen cevabı 2 yazabiliyorsanız, bu ekstra hareketlerin ne anlamı var gibi görünebilir. Aslında bu kural bize birden fazla kez yardımcı olacaktır.
Önceki örnek 3 − 7'yi çıkarma kuralını kullanarak çözelim. Öncelikle her sayıya kendi işaretini atayarak ifadeyi net bir forma getirelim.
Üç, pozitif bir sayı olduğu için artı işaretine sahiptir. Çıkarmayı gösteren eksi işareti yediye uygulanmaz. Yedinin artı işareti vardır çünkü pozitif bir sayıdır:
Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Daha fazla hesaplama zor değildir:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Örnek 7.−4 − 5 ifadesinin değerini bulun
Yine bir çıkarma işlemimiz var. Bu işlemin ekleme ile değiştirilmesi gerekir. Eksilene (-4), çıkanın karşısındaki sayıyı (+5) ekliyoruz. Çıkarılan sayının (+5) karşısındaki sayı (-5) sayısıdır.
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Negatif sayıları toplamamız gereken bir duruma geldik. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
O halde kuralın gerektirdiği şekilde sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Modül girişi parantez içine alınmalı ve bu parantezlerin önüne eksi işareti konulmalıdır. Bu şekilde cevaptan önce görünmesi gereken bir eksiyi sağlayacağız:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Bu örneğin çözümü kısaca şöyle yazılabilir:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
veya daha da kısası:
−4 − 5 = −9
Örnek 8.−3 − 5 − 7 − 9 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir forma getirelim. Burada -3 dışındaki tüm sayılar pozitiftir, dolayısıyla artı işaretlerine sahip olacaklardır:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Çıkarma işlemlerini eklemelerle değiştirelim. Üçün önündeki eksi hariç tüm eksiler artıya dönüşecek ve tüm pozitif sayılar tam tersi yönde değişecek:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Şimdi negatif sayıları toplama kuralını uygulayalım. Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Bu örneğin çözümü kısaca şöyle yazılabilir:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
veya daha da kısası:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Örnek 9.−10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir şekle getirelim:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Burada iki işlem var: toplama ve çıkarma. Toplamayı değiştirmeden bırakıyoruz ve çıkarma işlemini toplama ile değiştiriyoruz:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Gözlemleyerek, önceden öğrenilen kurallara göre her eylemi sırayla gerçekleştireceğiz. Modül içeren girişler atlanabilir:
İlk eylem:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
İkinci eylem:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Üçüncü eylem:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Dördüncü eylem:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Dolayısıyla −10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değeri −15'tir
Not. Rakamları parantez içerisine alarak ifadeyi anlaşılır bir hale getirmek hiç de gerekli değildir. Negatif sayılara alışkanlık oluştuğunda bu adım atlanabilir çünkü zaman alıcıdır ve kafa karıştırıcı olabilir.
Bu nedenle, tam sayıları toplamak ve çıkarmak için aşağıdaki kuralları hatırlamanız gerekir:
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın
