Vieta teoremine geçmeden önce bir tanım verelim. formun ikinci dereceden denklemi X² + piksel + Q= 0 indirgenmiş olarak adlandırılır. Bu denklemde, önde gelen katsayı bire eşittir. Örneğin, denklem X² - 3 X- 4 = 0 azaltılır. Formun herhangi bir ikinci dereceden denklemi balta² + b X + C= 0 indirgenmiş yapılabilir, bunun için denklemin her iki tarafını da şuna böleriz: A≠ 0. Örneğin Denklem 4 X² + 4 X- 3 \u003d 0 bölü 4 şu forma indirgenir: X² + X- 3/4 = 0. İndirgenmişin kökleri için formül türetiyoruz ikinci dereceden denklem, bunun için genel bir ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü kullanıyoruz: balta² + bx + C = 0
İndirgenmiş Denklem X² + piksel + Q= 0, genel bir denklemle çakışır, burada A = 1, B = P, C = Q. Bu nedenle, verilen ikinci dereceden denklem için formül şu şekli alır: 
son ifadeye indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü denir, bu formülü ne zaman kullanmak özellikle uygundur R — çift sayı. Örneğin, denklemi çözelim X² - 14 X — 15 = 0
Yanıt olarak, denklemin iki kökü olduğunu yazıyoruz.
Pozitif olan indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem için aşağıdaki teorem geçerlidir.
Vieta teoremi
Eğer X 1 ve X 2 - denklemin kökleri X² + piksel + Q= 0, o zaman formüller geçerlidir:
X 1 + X 2 = — R
x 1 * x 2 \u003d q, yani, verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretle alınan ikinci katsayıya ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir.
Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin formülüne dayanarak, şunu elde ederiz:
Bu eşitlikleri toplayarak şunu elde ederiz: X 1 + X 2 = —R.
Bu eşitlikleri kareler farkı formülünü kullanarak çarparak şunu elde ederiz:
Bu durumda ikinci dereceden denklemin iki özdeş köke sahip olduğunu varsayarsak, Vieta teoreminin ayırıcı sıfır olduğunda da geçerli olduğuna dikkat edin: X 1 = X 2 = — R/2.
Denklem çözmemek X² - 13 X+ 30 = 0 köklerinin toplamını ve çarpımını bulun X 1 ve X 2. bu denklem D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, böylece Vieta teoremini uygulayabilirsiniz: X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Birkaç örnek daha düşünün. Denklemin köklerinden biri X² — piksel- 12 = 0 X 1 = 4. katsayı bul R ve ikinci kök X Bu denklemin 2. Vieta teoremine göre x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — R.Çünkü X 1 = 4 sonra 4 X 2 = - 12, nereden X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Yanıt olarak ikinci kökü yazıyoruz X 2 = - 3, katsayı p = - 1.
Denklem çözmemek X² + 2 X- 4 = 0 köklerinin karelerinin toplamını bulunuz. İzin vermek X 1 ve X 2 denklemin kökleridir. Vieta teoremine göre X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Çünkü X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2 , sonra X 1²+ X 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
Denklem 3'ün köklerinin toplamını ve çarpımını bulun X² + 4 X- 5 \u003d 0. Diskriminant olduğundan bu denklemin iki farklı kökü vardır. D= 16 + 4*3*5 > 0. Denklemi çözmek için Vieta teoremini kullanırız. Bu teorem, indirgenmiş ikinci dereceden denklem için kanıtlanmıştır. Bu denklemi 3'e bölelim.
Bu nedenle, köklerin toplamı -4/3 ve çarpımı -5/3'tür.
Genel olarak, denklemin kökleri balta² + b X + C= 0, aşağıdaki eşitliklerle ilişkilidir: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Bu formülleri elde etmek için, bu ikinci dereceden denklemin her iki tarafını şuna bölmek yeterlidir: A ≠ 0 ve elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme Vieta teoremini uygulayın. Bir örnek düşünün, kökleri olan belirli bir ikinci dereceden denklem oluşturmanız gerekir. X 1 = 3, X 2 = 4. Çünkü X 1 = 3, X 2 = 4 ikinci dereceden denklemin kökleridir X² + piksel + Q= 0, o zaman Vieta teoremi ile R = — (X 1 + X 2) = — 7, Q = X 1 X 2 = 12. Yanıt olarak yazıyoruz X² - 7 X+ 12 = 0. Bazı problemlerin çözümünde aşağıdaki teorem kullanılmaktadır.
Vieta teoreminin tersi teoremi
eğer sayılar R, Q, X 1 , X 2 öyle ki X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, O x 1 Ve x2 denklemin kökleri X² + piksel + Q= 0. Sol tarafta yerine koy X² + piksel + Q yerine R ifade - ( X 1 + X 2), ancak bunun yerine Q- iş x 1 * x 2 . Biz: X² + piksel + Q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Böylece, eğer sayılar R, Q, X 1 ve X 2 bu ilişkilerle ilişkilidir, o zaman hepsi için X eşitlik X² + piksel + Q = (x - x 1) (x - x 2), bundan şu sonuç çıkıyor X 1 ve X 2 - denklemin kökleri X² + piksel + Q= 0. Vieta teoreminin tersi olan teoremi kullanarak, ikinci dereceden bir denklemin köklerini seçim yoluyla bulmak bazen mümkündür. Bir örnek düşünün, X² - 5 X+ 6 = 0. Burada R = — 5, Q= 6. İki sayı seçin X 1 ve X 2 yani X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. 6 = 2 * 3 ve 2 + 3 = 5 olduğuna dikkat ederek, Vieta teoreminin tersi teoremi ile şunu elde ederiz: X 1 = 2, X 2 = 3 - denklemin kökleri X² - 5 X + 6 = 0.
İkinci dereceden denklemler için Vieta teoreminin formülasyonu ve ispatı. Ters Vieta teoremi. Kübik denklemler ve rastgele sıralı denklemler için Vieta teoremi.
İçerikAyrıca bakınız: İkinci dereceden bir denklemin kökleri
ikinci dereceden denklemler
Vieta teoremi
İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerini gösterelim ve gösterelim
(1)
.
O zaman köklerin toplamı katsayıya eşittir. Köklerin çarpımı serbest terime eşittir:
;
.
Çoklu kökler hakkında bir not
Denklemin (1) diskriminantı sıfır ise, bu denklemin bir kökü vardır. Ancak, hantal formülasyonlardan kaçınmak için, bu durumda denklem (1)'in iki çoklu veya eşit köke sahip olduğu genel olarak kabul edilir:
.
kanıt bir
(1) denkleminin köklerini bulalım. Bunu yapmak için, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülü uygulayın:
;
;
.
Köklerin toplamını bulma:
.
Ürünü bulmak için şu formülü uyguluyoruz:
.
Daha sonra
.
Teorem kanıtlanmıştır.
Kanıt iki
Sayılar ve sayıları ikinci dereceden denklemin (1) kökleriyse, o zaman
.
Parantezleri açıyoruz.
.
Böylece, denklem (1) şu şekli alacaktır:
.
(1) ile karşılaştırıldığında şunu buluruz:
;
.
Teorem kanıtlanmıştır.
Ters Vieta teoremi
Keyfi sayılar olsun. O zaman ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
,
Nerede
(2)
;
(3)
.
Vieta'nın sohbet teoreminin kanıtı
İkinci dereceden denklemi düşünün
(1)
.
Eğer ve , o zaman ve denkleminin (1) kökleri olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
(2) ve (3) yerine (1) yazın:
.
Denklemin sol tarafındaki terimleri gruplandırıyoruz:
;
;
(4)
.
(4)'te değiştirin :
;
.
(4)'te değiştirin :
;
.
Denklem yerine getirildi. Yani, sayı (1) denkleminin köküdür.
Teorem kanıtlanmıştır.
Tam ikinci dereceden denklem için Vieta teoremi
Şimdi tam ikinci dereceden denklemi düşünün
(5)
,
nerede ve bazı sayılardır. Ve .
Denklemi (5) şuna böleriz:
.
Yani, yukarıdaki denklemi elde ettik
,
Nerede ; .
Daha sonra tam ikinci dereceden denklem için Vieta teoremi aşağıdaki forma sahiptir.
Tam ikinci dereceden denklemin köklerini gösterelim ve gösterelim
.
Daha sonra köklerin toplamı ve ürünü aşağıdaki formüllerle belirlenir:
;
.
Kübik bir denklem için Vieta teoremi
Benzer şekilde, bir kübik denklemin kökleri arasında bağlantılar kurabiliriz. Kübik denklemi düşünün
(6)
,
, , , bazı sayılardır. Ve .
Bu denklemi şuna bölelim:
(7)
,
Nerede , , .
, , denklem (7)'nin (ve (6) denkleminin) kökleri olsun. Daha sonra
.
Denklem (7) ile karşılaştırıldığında şunu buluruz:
;
;
.
n'inci derece denklem için Vieta teoremi
Aynı şekilde, , , ... , , kökleri arasındaki bağlantılar da bulunabilir. n'inci denklem derece
.
Denklem için Vieta teoremi n'inci derece aşağıdaki forma sahiptir:
;
;
;
.
Bu formülleri elde etmek için denklemi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:
.
Sonra , , , ... noktasındaki katsayıları eşitliyoruz ve serbest terimi karşılaştırıyoruz.
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Eğitim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
SANTİMETRE. Nikolsky, M.K. Potapov ve diğerleri, Cebir: 8. sınıf ders kitabı Eğitim Kurumları, Moskova, Eğitim, 2006.
Bir okul cebir dersinde ikinci dereceden denklemleri çözmenin yollarını incelerken, elde edilen köklerin özelliklerini göz önünde bulundurun. Artık Vieta teoremleri olarak biliniyorlar. Kullanım örnekleri bu makalede verilmiştir.
İkinci dereceden denklem
İkinci dereceden denklem, aşağıdaki fotoğrafta gösterilen bir eşitliktir.
Burada a, b, c sembolleri, söz konusu denklemin katsayıları olarak adlandırılan bazı sayılardır. Bir eşitliği çözmek için onu doğru yapan x değerlerini bulmanız gerekir.
Şuna dikkat edin: maksimum değer x'in yükseltildiği kuvvet ikiye eşittir, o zaman genel durumdaki kök sayısı da ikiye eşittir.
Bu tür eşitliği çözmenin birkaç yolu vardır. Bu yazıda, sözde Vieta teoreminin kullanımını içeren bunlardan birini ele alacağız.
Vieta teoreminin ifadesi
16. yüzyılın sonunda, ünlü matematikçi Francois Viet (Fransız), çeşitli ikinci dereceden denklemlerin köklerinin özelliklerini analiz ederek, bunların belirli kombinasyonlarının belirli ilişkileri karşıladığını fark etti. Özellikle, bu kombinasyonlar onların çarpımı ve toplamıdır.
Vieta teoremi aşağıdakileri kurar: ikinci dereceden bir denklemin kökleri toplandığında, doğrusal ile ikinci dereceden katsayıların ters işaretle oranını verir ve çarpıldıklarında, serbest terimin ikinci dereceden katsayıya oranını verirler. .
Eğer Genel form Denklem, makalenin önceki bölümünde fotoğrafta gösterildiği gibi yazılır, ardından matematiksel olarak bu teorem iki eşitlik şeklinde yazılabilir:
- r2 + r1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
nerede r 1 , r 2 dikkate alınan denklemin köklerinin değeridir.
Bu iki eşitlik çok sayıda farklı matematik problemini çözmek için kullanılabilir. Vieta teoreminin çözümlü örneklerde kullanımı makalenin ilerleyen bölümlerinde verilmiştir.
İkinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında, kök formüllere ek olarak, tarafından verilen başka yararlı ilişkiler de vardır. Vieta teoremi. Bu yazıda, ikinci dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir formülasyonunu ve kanıtını vereceğiz. Sonra, Vieta teoremine zıt bir teoremi ele alacağız. Daha sonra en karakteristik örneklerin çözümlerini inceleyeceğiz. Son olarak, gerçek kökler arasındaki bağlantıyı tanımlayan Vieta formüllerini yazıyoruz. cebirsel denklem derece n ve katsayıları.
Sayfa gezintisi.
Vieta teoremi, formülasyonu, ispatı
İkinci dereceden denklemin köklerinin formüllerinden a x 2 +b x+c=0 , burada D=b 2 −4 a c , ilişkiler x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = CA . Bu sonuçlar doğrulandı Vieta teoremi:
teorem
Eğer x 1 ve x 2, a x 2 +b x+c=0 ikinci dereceden denklemin kökleridir, o zaman köklerin toplamı, b ve a katsayılarının ters işaretle alınan oranına ve çarpımına eşittir kökler c ve a katsayılarının oranına eşittir, yani .
Kanıt.
Vieta teoremini aşağıdaki şemaya göre ispatlayacağız: bilinen kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını oluşturacağız, sonra ortaya çıkan ifadeleri dönüştüreceğiz ve −b'ye eşit olduklarından emin olacağız. /a ve c/a sırasıyla.
Köklerin toplamı ile başlayalım, oluşturalım. Şimdi kesirleri ortak paydaya getirdik, bulduk. Ortaya çıkan kesrin payında, bundan sonra:. Sonunda, 2'den sonra, elde ederiz. Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı için Vieta teoreminin ilk ilişkisini kanıtlar. İkinciye geçelim.
İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını oluşturuyoruz: Kesirlerde çarpma kuralına göre son çarpım olarak yazılabilir. Şimdi paydadaki parantez ile parantezi çarpma işlemini gerçekleştiriyoruz, ancak bu çarpımı şu şekilde daraltmak daha hızlıdır: kareler farkı formülü, Bu yüzden . Ardından, hatırlayarak bir sonraki geçişi gerçekleştiriyoruz. Ve D=b 2 −4 a·c formülü ikinci dereceden denklemin ayırıcısına karşılık geldiğinden, son kesirde D yerine b 2 −4·a·c ikame edilebilir, elde ederiz. Köşeli parantezleri açıp benzer terimleri indirgedikten sonra kesre varıyoruz ve 4·a ile indirgenmesi . Bu, Vieta teoreminin köklerin çarpımı için ikinci bağıntısını kanıtlar.
Açıklamaları atlarsak, Vieta teoreminin kanıtı özlü bir biçim alacaktır:
,
.
Sadece diskriminant sıfıra eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemin bir kökü olduğunu belirtmek için kalır. Bununla birlikte, bu durumda denklemin iki özdeş kökü olduğunu varsayarsak, o zaman Vieta teoremindeki eşitlikler de geçerlidir. Aslında, D=0 için ikinci dereceden denklemin kökü , o zaman ve , ve D=0 olduğundan, yani b 2 −4·a·c=0 , dolayısıyla b 2 =4·a·c , o zaman .
Uygulamada, Vieta teoremi çoğunlukla x 2 +p·x+q=0 şeklindeki indirgenmiş ikinci dereceden denklemle (en yüksek katsayı a'nın 1'e eşit olduğu) ilişkili olarak kullanılır. Bazen, genelliği sınırlamayan bu türden ikinci dereceden denklemler için formüle edilir, çünkü herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki parçasını da sıfır olmayan bir sayı a'ya bölerek eşdeğer bir denklemle değiştirilebilir. İşte Vieta teoreminin karşılık gelen formülasyonu:
teorem
İndirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 + p x + q \u003d 0'ın köklerinin toplamı, x'teki katsayıya eşittir, ters işaretle alınır ve köklerin ürünü serbest bir terimdir, yani x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Vieta teoreminin tersi teoremi
Önceki paragrafta verilen Vieta teoreminin ikinci formülasyonu, x 1 ve x 2'nin indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +p x+q=0'ın kökleri olması durumunda x 1 +x 2 = − ilişkilerinin olduğunu gösterir. p, x 1 x 2=q. Öte yandan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q bağıntılarından, x 1 ve x 2'nin x 2 +p x+q=0 ikinci dereceden denkleminin kökleri olduğu sonucu çıkar. Başka bir deyişle, Vieta teoreminin tersi iddiası doğrudur. Bunu bir teorem şeklinde formüle ediyoruz ve kanıtlıyoruz.
teorem
x 1 ve x 2 sayıları x 1 +x 2 =−p ve x 1 x 2 =q olacak şekilde ise, o zaman x 1 ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +p x+q=0'ın kökleridir .
Kanıt.
x 2 +p x+q=0 denklemindeki p ve q katsayılarını ifadelerinin x 1 ve x 2 ile değiştirdikten sonra eşdeğer bir denkleme dönüştürülür.
Ortaya çıkan denklemde x yerine x 1 sayısını yerine koyarsak, eşitliği elde ederiz. x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0 herhangi bir x 1 ve x 2 için doğru sayısal eşitlik 0=0'dır, çünkü x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Bu nedenle, x 1 denklemin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu, x 1'in x 2 +p x+q=0 eşdeğer denkleminin kökü olduğu anlamına gelir.
denklemde ise x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x yerine x 2 sayısını yazarsak eşitliği elde ederiz x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu doğru denklem çünkü x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Bu nedenle, x 2 aynı zamanda denklemin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 ve dolayısıyla x 2 +p x+q=0 denklemleri.
Bu, teoremin kanıtını Vieta teoreminin tersi ile tamamlar.
Vieta teoremini kullanma örnekleri
Vieta teoreminin ve onun ters teoreminin pratik uygulaması hakkında konuşmanın zamanı geldi. Bu alt bölümde, en tipik örneklerden birkaçının çözümlerini analiz edeceğiz.
Vieta teoremine karşı bir teorem uygulayarak başlıyoruz. Verilen iki sayının belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek için kullanmak uygundur. Bu durumda, toplamları ve farkları hesaplanır ve ardından ilişkilerin geçerliliği kontrol edilir. Bu bağıntıların her ikisi de sağlanırsa, o zaman Vieta teoremine dönüşen teorem sayesinde bu sayıların denklemin kökleri olduğu sonucuna varılır. İlişkilerden en az biri sağlanmazsa, bu sayılar ikinci dereceden denklemin kökleri değildir. Bu yaklaşım, bulunan kökleri kontrol etmek için ikinci dereceden denklemleri çözerken kullanılabilir.
Örnek.
1) x 1 =−5, x 2 =3 veya 2) veya 3) sayı çiftlerinden hangisi 4 x 2 −16 x+9=0 ikinci dereceden denklemin kök çiftidir?
Çözüm.
Verilen ikinci dereceden denklemin 4 x 2 −16 x+9=0 katsayıları a=4 , b=−16 , c=9 . Vieta teoremine göre, ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı −b/a'ya, yani 16/4=4'e ve köklerin çarpımı c/a'ya, yani 9'a eşit olmalıdır. /4.
Şimdi verilen üç çiftin her birindeki sayıların toplamını ve çarpımını hesaplayalım ve bunları yeni elde edilen değerlerle karşılaştıralım.
İlk durumda, x 1 +x 2 =−5+3=−2'ye sahibiz. Ortaya çıkan değer 4'ten farklıdır, bu nedenle daha fazla doğrulama yapılamaz, ancak teorem tarafından, yani Vieta teoreminin tersi, ilk sayı çiftinin verilen bir ikinci dereceden denklemin bir kök çifti olmadığı sonucuna varabiliriz.
İkinci duruma geçelim. Burada, yani birinci koşul yerine getirilmiştir. İkinci koşulu kontrol ediyoruz: , elde edilen değer 9/4'ten farklı. Bu nedenle, ikinci sayı çifti, ikinci dereceden bir denklemin kök çifti değildir.
Son durum kaldı. Burada ve . Her iki koşul da karşılanır, dolayısıyla bu x 1 ve x 2 sayıları verilen ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Cevap:
Vieta teoreminin tersi olan teorem, ikinci dereceden bir denklemin köklerini seçmek için pratikte kullanılabilir. Genellikle, verilen ikinci dereceden denklemlerin tamsayı katsayılı tamsayı kökleri seçilir, çünkü diğer durumlarda bunu yapmak oldukça zordur. Aynı zamanda, iki sayının toplamı ikinci dereceden denklemin eksi işaretiyle alınan ikinci katsayısına eşitse ve bu sayıların çarpımı serbest terime eşitse, o zaman bu sayıların bu ikinci dereceden denklemin kökleri. Bunu bir örnekle ele alalım.
x 2 −5 x+6=0 ikinci dereceden denklemi alalım. x 1 ve x 2 sayılarının bu denklemin kökleri olması için x 1 +x 2 \u003d 5 ve x 1 x 2 \u003d 6 olmak üzere iki eşitlik sağlanmalıdır. Bu tür sayıları seçmek için kalır. İÇİNDE bu durum bunu yapmak oldukça kolaydır: 2+3=5 ve 2 3=6 olduğundan 2 ve 3 böyle sayılardır. Böylece, 2 ve 3 bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Vieta teoreminin tersi olan teorem, özellikle indirgenmiş ikinci dereceden denklemin ikinci kökünü bulmak için, köklerden biri zaten biliniyorsa veya aşikarsa, uygulamak için uygundur. Bu durumda bağıntıların herhangi birinden ikinci kök bulunur.
Örneğin, 512 x 2 −509 x−3=0 ikinci dereceden denklemi ele alalım. Bu ikinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfır olduğundan, birimin denklemin kökü olduğunu görmek kolaydır. Yani x 1 = 1 . İkinci kök x 2, örneğin x 1 x 2 =c/a ilişkisinden bulunabilir. 1 x 2 =−3/512'ye sahibiz, dolayısıyla x 2 =−3/512 . Böylece ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de tanımlamış olduk: 1 ve -3/512.
Kök seçiminin yalnızca en basit durumlarda uygun olduğu açıktır. Diğer durumlarda, kökleri bulmak için ikinci dereceden denklemin köklerinin formüllerini diskriminant aracılığıyla uygulayabilirsiniz.
Bir diğer pratik kullanım Vieta teoreminin tersi olan teorem, verilen x 1 ve x 2 kökleri için ikinci dereceden denklemler çizmekten ibarettir. Bunu yapmak için, verilen ikinci dereceden denklemin ters işaretli x katsayısını veren köklerin toplamı ile serbest terimi veren köklerin çarpımını hesaplamak yeterlidir.
Örnek.
Kökleri -11 ve 23 sayıları olan ikinci dereceden bir denklem yazın.
Çözüm.
x 1 =−11 ve x 2 =23'ü belirtin. Bu sayıların toplamını ve çarpımını hesaplıyoruz: x 1 + x 2 \u003d 12 ve x 1 x 2 \u003d −253. Bu nedenle, bu sayılar, ikinci katsayı -12 ve serbest terim -253 ile verilen ikinci dereceden denklemin kökleridir. Yani x 2 −12·x−253=0 istenen denklemdir.
Cevap:
x 2 −12 x−253=0 .
Vieta teoremi, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin işaretleri ile ilgili görevleri çözmede çok sık kullanılır. Vieta teoremi x 2 +p x+q=0 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin işaretleriyle nasıl ilişkilidir? İşte konuyla ilgili iki açıklama:
- q kesişimi pozitif bir sayıysa ve ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri varsa, o zaman ya ikisi de pozitiftir ya da her ikisi de negatiftir.
- Serbest terim q negatif bir sayı ise ve ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri varsa, işaretleri farklıdır, yani bir kök pozitif, diğeri negatiftir.
Bu ifadeler, x 1 x 2 = q formülünden ve ayrıca pozitif, negatif sayıları ve farklı işaretlere sahip sayıları çarpma kurallarını takip eder. Uygulamalarının örneklerini düşünün.
Örnek.
R pozitiftir. Diskriminant formülüne göre D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 ifadesinin değerini buluyoruz +8, herhangi bir gerçek r için pozitiftir, dolayısıyla herhangi bir gerçek r için D>0'dır. Bu nedenle, orijinal ikinci dereceden denklemin r parametresinin herhangi bir gerçek değeri için iki kökü vardır.
Şimdi köklerin ne zaman olduğunu öğrenelim farklı işaretler. Köklerin işaretleri farklıysa, çarpımları negatiftir ve Vieta teoremine göre, verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Bu nedenle, r−1 serbest teriminin negatif olduğu r değerleriyle ilgileniyoruz. Bu nedenle, bizi ilgilendiren r değerlerini bulmak için, karar vermek doğrusal eşitsizlik r-1<0 , откуда находим r<1 .
Cevap:
r'de<1 .
Vieta formülleri
Yukarıda, ikinci dereceden bir denklem için Vieta'nın teoreminden bahsettik ve öne sürdüğü ilişkileri analiz ettik. Ancak, yalnızca ikinci dereceden denklemlerin değil, aynı zamanda kübik denklemlerin, dörtlü denklemlerin ve genel olarak gerçek kökleri ve katsayıları birleştiren formüller vardır. cebirsel denklemler derece Arandılar Vieta formülleri.
Vieta formüllerini formun n dereceli bir cebirsel denklemi için yazıyoruz, bunun n gerçek kökü x 1, x 2, ..., x n olduğunu varsayıyoruz (aralarında aynı olabilir): 
Get Vieta formülleri sağlar polinom çarpanlara ayırma teoremi, ayrıca karşılık gelen tüm katsayılarının eşitliği yoluyla eşit polinomların tanımı. Böylece polinom ve formun lineer çarpanlarına açılımı eşittir. Son çarpımdaki parantezleri açıp karşılık gelen katsayıları eşitleyerek Vieta formüllerini elde ediyoruz.
Özellikle, n=2 için ikinci dereceden denklem için zaten bildiğimiz Vieta formüllerine sahibiz.
Kübik bir denklem için, Vieta formülleri şu şekildedir: 
Geriye kalan tek şey, Vieta formüllerinin sol tarafında sözde temel formüllerin bulunduğunu belirtmektir. simetrik polinomlar.
Kaynakça.
- Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı - M. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Cebir. 8. sınıf. 14.00'te Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı - M.: Aydınlanma, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
