Nasledujúci vzorec je tzv vzorec integrácie podľa častí v neurčitom integráli:

Ak chcete použiť vzorec integrácie podľa častí, integrand sa musí rozdeliť na dva faktory. Jeden z nich je označený u a zvyšok sa vzťahuje na druhý faktor a je označený dv. Potom diferenciáciou nájdeme du a integrácia – funkcia v. Zároveň za u dv- taká časť integrandu, ktorú možno ľahko integrovať.

Kedy je výhodné použiť metódu integrácie po častiach? Potom, keď integrand obsahuje :

1) - logaritmické funkcie, ako aj inverzné funkcie goniometrické funkcie(s predponou „oblúk“), potom na základe dlhodobých skúseností s integráciou po častiach sa tieto funkcie označujú ako u;

2) , , - sínus, kosínus a exponent násobené P(X) je ľubovoľný polynóm v x, potom tieto funkcie označíme dv, a polynóm je cez u;

3) , , , , v tomto prípade sa integrácia po častiach aplikuje dvakrát.

Vysvetlime hodnotu metódy integrácie po častiach na príklade prvého prípadu. Nech výraz pod znamienkom integrálu obsahuje logaritmickú funkciu (toto bude príklad 1). Použitím integrácie po častiach sa takýto integrál redukuje na výpočet integrálu iba algebraických funkcií (najčastejšie polynómu), to znamená, že neobsahuje logaritmickú alebo inverznú goniometrickú funkciu. Použitie vzorca integrácie podľa častí uvedeného na samom začiatku hodiny

získame v prvom člene (bez integrálu) logaritmickú funkciu a v druhom člene (pod znakom integrálu) funkciu, ktorá logaritmus neobsahuje. Integrál algebraickej funkcie je oveľa jednoduchší ako integrál, pod ktorého znamienkom sa nachádza samostatne alebo spolu s algebraický faktor logaritmická alebo inverzná goniometrická funkcia.

Teda pomocou integrácia podľa vzorcov častí integrácia sa nevykoná okamžite: nájdenie daného integrálu sa redukuje na nájdenie iného. Význam vzorca integrácie podľa častí je, že v dôsledku jeho aplikácie sa nový integrál ukáže ako tabuľkový alebo sa aspoň stane jednoduchším ako pôvodný.

Metóda integrácie po častiach je založená na použití vzorca na rozlíšenie súčinu dvoch funkcií:

potom to môže byť napísané vo forme

ktorý bol daný na samom začiatku hodiny.

Pri hľadaní integrovaním funkcie v na to existuje nekonečná množina primitívne funkcie. Ak chcete použiť vzorec integrácie podľa častí, môžete použiť ktorýkoľvek z nich, a teda ten, ktorý zodpovedá ľubovoľnej konštante S, rovná nule. Preto pri hľadaní funkcie vľubovoľná konštanta S by sa nemalo zadávať.

Metóda integrácie po častiach má veľmi špeciálne uplatnenie: možno ju použiť na odvodenie opakujúcich sa vzorcov na hľadanie primitívnych funkcií, keď je potrebné znížiť stupeň funkcií pod znamienkom integrálu. Zníženie stupňa je nevyhnutné, keď neexistujú žiadne tabuľkové integrály napríklad pre funkcie, ako sú sínusy a kosínusy, na mocniny väčšie ako druhá a ich súčin. Opakujúci sa vzorec je vzorec na nájdenie ďalšieho člena postupnosti cez predchádzajúci člen. V indikovaných prípadoch sa cieľ dosiahne postupným znižovaním stupňa. Takže, ak je integrand sínus ku štvrtej mocnine x, potom integráciou po častiach môžete nájsť vzorec pre integrál sínus ku tretej mocnine atď. Posledný odsek tejto lekcie je venovaný opísanej úlohe.

Použitie integrácie po častiach spolu

Príklad 1. Nájdite neurčitý integrál pomocou metódy integrácie po častiach:

Riešenie. Vo výraze integrand - logaritmus, ktorý, ako už vieme, možno rozumne označiť u. Veríme, že,.

Nájdeme (ako už bolo uvedené vo vysvetlení k teoretickému odkazu, okamžite získame logaritmickú funkciu v prvom člene (bez integrálu) a funkciu, ktorá neobsahuje logaritmus v druhom člene (pod znakom integrálu):

A opäť logaritmus...

Príklad 2 Nájdite neurčitý integrál:

Riešenie. Nechajte,.

Logaritmus je prítomný v štvorci. To znamená, že je potrebné ju diferencovať ako komplexnú funkciu. nachádzame
,
.

Opäť nájdeme druhý integrál po častiach a získame už spomínanú výhodu (v prvom člene (bez integrálu) je logaritmická funkcia a v druhom člene (pod znamienkom integrálu) je funkcia, ktorá neobsahuje logaritmus).

Nájdeme pôvodný integrál:

Príklad 3

Riešenie. Arkustangens, podobne ako logaritmus, je lepšie označovať u. Tak nech,.

potom ,
.

Použitím vzorca integrácie podľa častí dostaneme:

Druhý integrál nájdeme zmenou premennej.

Návrat k premennej X, dostaneme

.

Nájdeme pôvodný integrál:

.

Príklad 4. Nájdite neurčitý integrál pomocou metódy integrácie po častiach:

Riešenie. Je lepšie označovať exponent podľa dv. Integrand sme rozdelili na dva faktory. Veriť tomu

Príklad 5. Nájdite neurčitý integrál pomocou metódy integrácie po častiach:

.

Riešenie. Nechajte,. Potom, .

Pomocou vzorca integrácie podľa častí (1) nájdeme:

Príklad 6. Nájdite neurčitý integrál integráciou po častiach:

Riešenie. Sínus, podobne ako exponenciálu, možno vhodne označiť dv. Nechajte,.

Pomocou vzorca integrácie podľa častí nájdeme:

Opäť aplikujeme integráciu po častiach spolu

Príklad 10. Nájdite neurčitý integrál integráciou po častiach:

.

Riešenie. Ako vo všetkých podobných prípadoch je vhodné označovať kosínus podľa dv. Označujeme,.

Potom , .

Pomocou vzorca integrácie podľa častí získame:

Integráciu po častiach aplikujeme aj na druhý termín. Označujeme,.

Pomocou týchto zápisov integrujeme uvedený výraz:

Teraz nájdeme požadovaný integrál:

Medzi integrály, ktoré je možné riešiť metódou integrácie po častiach, patria aj také, ktoré nie sú zaradené do žiadnej z troch skupín uvedených v teoretickej časti, pre ktoré je z praxe známe, že je lepšie označovať u, a čo cez dv. Preto v týchto prípadoch musíte vziať do úvahy pohodlie, ktoré je tiež uvedené v odseku „Podstata metódy integrácie po častiach“: napr. u treba zobrať časť integrandu, ktorá sa pri diferenciácii veľmi neskomplikuje, ale dv- taká časť integrandu, ktorú možno ľahko integrovať. Posledným príkladom tejto lekcie je riešenie práve takéhoto integrálu.

Integrácia po častiach. Príklady riešení

Ahoj zas. Dnes sa v lekcii naučíme, ako integrovať po častiach. Metóda integrácie po častiach je jedným zo základných kameňov integrálneho počtu. Počas testov alebo skúšok sú študenti takmer vždy požiadaní, aby vyriešili nasledujúce typy integrálov: najjednoduchší integrál (pozri článok) alebo integrál nahradením premennej (pozri článok) alebo je integrál práve zapnutý integrácia metódou častí.

Ako vždy, mali by ste mať po ruke: Tabuľka integrálov A Tabuľka derivátov. Ak ich ešte nemáte, navštívte prosím úschovňu mojej webovej stránky: Matematické vzorce a tabuľky. Nebudem sa unavovať opakovaním – je lepšie si všetko vytlačiť. Pokúsim sa prezentovať všetok materiál dôsledne, jednoducho a jasne, pri integrácii častí nie sú žiadne zvláštne ťažkosti.

Aký problém rieši metóda integrácie po častiach? Metóda integrácie po častiach rieši veľmi dôležitý problém, umožňuje integrovať niektoré funkcie, ktoré nie sú v tabuľke, práca funkcie av niektorých prípadoch dokonca aj kvocienty. Ako si pamätáme, neexistuje žiadny vhodný vzorec: . Ale je tu tento: – vzorec pre integráciu po častiach osobne. Viem, viem, si jediný – budeme s ňou pracovať počas celej hodiny (teraz je to jednoduchšie).

A hneď zoznam do štúdia. Integrály nasledujúcich typov sú prevzaté časťami:

1) , , – logaritmus, logaritmus vynásobený nejakým polynómom.

2) ,je exponenciálna funkcia vynásobená nejakým polynómom. Patria sem aj integrály ako - exponenciálna funkcia, násobené polynómom, ale v praxi je percento 97, pod integrálom je pekné písmeno „e“. ... článok je trochu lyrický, ach áno ... prišla jar.

3) , , sú goniometrické funkcie vynásobené nejakým polynómom.

4) , – inverzné goniometrické funkcie („oblúky“), „oblúky“ vynásobené nejakým polynómom.

Niektoré zlomky sa berú aj po častiach, podrobne zvážime aj zodpovedajúce príklady.

Integrály logaritmov

Príklad 1

klasické. Z času na čas sa tento integrál nájde v tabuľkách, ale nie je vhodné použiť hotovú odpoveď, pretože učiteľ má jarný nedostatok vitamínov a bude ťažko nadávať. Pretože uvažovaný integrál nie je v žiadnom prípade tabuľkový - berie sa po častiach. Rozhodujeme sa:

Pre medziľahlé vysvetlenia prerušujeme riešenie.

Používame vzorec integrácie podľa častí:

Vzorec sa aplikuje zľava doprava

Pozeráme sa na ľavú stranu: . Je zrejmé, že v našom príklade (a vo všetkých ostatných, ktoré budeme zvažovať) musí byť niečo označené ako , a niečo ako .

V integráloch uvažovaného typu sa vždy označuje logaritmus.

Technicky je návrh riešenia realizovaný nasledovne, do stĺpca zapíšeme:

To znamená, že sme označili logaritmus a - zvyšná časť integrandový výraz.

Ďalšia fáza: nájdite rozdiel:

Diferenciál je takmer to isté ako derivácia; o tom, ako ho nájsť, sme už diskutovali v predchádzajúcich lekciách.

Teraz nájdeme funkciu. Aby ste našli funkciu, ktorú potrebujete integrovať pravá strana nižšia rovnosť:

Teraz otvoríme naše riešenie a zostrojíme pravú stranu vzorca: .
Mimochodom, tu je ukážka konečného riešenia s niekoľkými poznámkami:

Jediným bodom v práci je, že som okamžite prehodil a , keďže je zvykom písať faktor pred logaritmus.

Ako vidíte, použitie vzorca integrácie podľa častí v podstate zredukovalo naše riešenie na dva jednoduché integrály.

Upozorňujeme, že v niektorých prípadoch hneď po pri použití vzorca sa zjednodušenie nevyhnutne vykoná pod zvyšným integrálom - v uvažovanom príklade sme integrand zredukovali na „x“.

Skontrolujme to. Aby ste to dosiahli, musíte použiť derivát odpovede:

Pôvodná funkcia integrandu bola získaná, čo znamená, že integrál bol vyriešený správne.

Počas testu sme použili pravidlo diferenciácie produktov: . A to nie je náhoda.

Vzorec na integráciu podľa častí a vzorec – sú to dve vzájomne inverzné pravidlá.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál.

Integrand je súčinom logaritmu a polynómu.
Rozhodnime sa.

Ešte raz podrobne opíšem postup uplatňovania pravidla, v budúcnosti budú príklady uvedené stručnejšie a ak máte problémy s riešením sami, musíte sa vrátiť k prvým dvom príkladom lekcie .

Ako už bolo spomenuté, je potrebné označiť logaritmus (na tom, že ide o mocninu nezáleží). Označujeme podľa zvyšná časť integrandový výraz.

Do stĺpca píšeme:

Najprv nájdeme diferenciál:

Tu používame pravidlo diferenciácie komplexná funkcia . Nie je náhoda, že hneď na prvej lekcii témy Neurčitý integrál. Príklady riešení Zameral som sa na to, že na zvládnutie integrálov je potrebné „dostať do rúk“ derivácie. S derivátmi sa budete musieť vysporiadať viackrát.

Teraz nájdeme funkciu, na ktorú sa integrujeme pravá strana nižšia rovnosť:

Na integráciu sme použili najjednoduchší tabuľkový vzorec

Teraz je všetko pripravené na aplikáciu vzorca . Otvorte hviezdičkou a „zostavte“ riešenie v súlade s pravou stranou:

Pod integrálom máme opäť polynóm pre logaritmus! Preto sa riešenie opäť preruší a druhýkrát sa použije pravidlo integrácie po častiach. Nezabudnite, že v podobných situáciách sa vždy označuje logaritmus.

Bolo by dobré, keby v tejto chvíli Najjednoduchšie integrály a derivácie ste dokázali nájsť ústne.

(1) Nenechajte sa zmiasť znameniami! Veľmi často sa tu stráca mínus, tiež si všimnite, že mínus sa týka všetkým držiak a tieto zátvorky je potrebné správne rozbaliť.

(2) Otvorte držiaky. Posledný integrál zjednodušíme.

(3) Vezmeme posledný integrál.

(4) „Prečesanie“ odpovede.

Potreba aplikovať pravidlo integrácie po častiach dvakrát (alebo dokonca trikrát) nevzniká veľmi zriedkavo.

A teraz pár príkladov nezávislé rozhodnutie:

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál.

Tento príklad je vyriešený zmenou premennej (alebo jej dosadením pod diferenciálne znamienko)! Prečo nie - môžete to skúsiť po častiach, ukáže sa to ako vtipná vec.

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál.

Ale tento integrál je integrovaný po častiach (sľúbený zlomok).

Toto sú príklady, ktoré môžete vyriešiť sami, riešenia a odpovede na konci hodiny.

Zdá sa, že v príkladoch 3 a 4 sú integrandy podobné, ale metódy riešenia sú odlišné! Toto je hlavná náročnosť zvládnutia integrálov – ak zvolíte nesprávnu metódu riešenia integrálu, môžete sa v ňom hrabať celé hodiny ako v skutočnej hádanke. Preto čím viac budete riešiť rôzne integrály, tým lepšie, tým ľahšie bude test a skúška. Okrem toho v druhom ročníku bude diferenciálne rovnice a bez skúseností s riešením integrálov a derivácií tam nie je čo robiť.

Z hľadiska logaritmu je to pravdepodobne viac než dosť. Na začiatok si tiež pamätám, že študenti inžinierstva nazývajú logaritmy ženské prsia=). Mimochodom, je užitočné poznať naspamäť grafy hlavných elementárnych funkcií: sínus, kosínus, arkustangens, exponent, polynómy tretieho, štvrtého stupňa atď. Nie, samozrejme, kondóm na svete
Nebudem to naťahovať, ale teraz si budete veľa pamätať z tejto sekcie Grafy a funkcie =).

Integrály exponenciály násobené polynómom

Všeobecné pravidlo:

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál.

Pomocou známeho algoritmu integrujeme po častiach:

Ak máte problémy s integrálom, mali by ste sa vrátiť k článku Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli.

Jediná ďalšia vec, ktorú môžete urobiť, je upraviť odpoveď:

Ak však vaša technika výpočtu nie je príliš dobrá, potom najziskovejšou možnosťou je nechať ju ako odpoveď alebo dokonca

To znamená, že príklad sa považuje za vyriešený, keď sa vezme posledný integrál. Nebude to chyba, iná vec je, že vás učiteľ môže požiadať o zjednodušenie odpovede.

Príklad 6

Nájdite neurčitý integrál.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Tento integrál je integrovaný dvakrát po častiach. Osobitná pozornosť mali by ste venovať pozornosť znakom - je ľahké sa v nich zmiasť, pamätáme si tiež, že ide o komplexnú funkciu.

Viac k vystavovateľovi niet čo povedať. Len dodám, že vystavovateľ a prirodzený logaritmus recipročné funkcie, toto som ja k téme zábavných grafov vyššia matematika=) Stop, stop, neboj sa, lektor je triezvy.

Integrály goniometrických funkcií násobené polynómom

Všeobecné pravidlo: lebo vždy označuje polynóm

Príklad 7

Nájdite neurčitý integrál.

Poďme integrovať po častiach:

Hmmm...a nie je čo komentovať.

Príklad 8

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad, aby ste si sami vyriešili

Príklad 9

Nájdite neurčitý integrál

Ďalší príklad so zlomkom. Rovnako ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch, for označuje polynóm.

Poďme integrovať po častiach:

Ak máte nejaké ťažkosti alebo nedorozumenia s hľadaním integrálu, odporúčam lekciu navštíviť Integrály goniometrických funkcií.

Príklad 10

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Tip: Pred použitím metódy integrácie podľa častí by ste mali použiť nejaký trigonometrický vzorec, ktorý premení súčin dvoch goniometrických funkcií na jednu funkciu. Vzorec možno použiť aj pri aplikácii metódy integrácie po častiach, podľa toho, čo je pre vás výhodnejšie.

To je v tomto odseku asi všetko. Z nejakého dôvodu som si spomenul na vetu z fyzikálnej a matematickej hymny „A sínusový graf prebieha vlnu po vlne pozdĺž osi x“.

Integrály inverzných goniometrických funkcií.
Integrály inverzných goniometrických funkcií násobené polynómom

Všeobecné pravidlo: vždy označuje inverznú goniometrickú funkciu.

Dovoľte mi pripomenúť, že inverzné goniometrické funkcie zahŕňajú arkussínus, arkussínus, arkustangens a arkkotangens. Pre stručnosť záznamu ich budem nazývať „oblúky“

Podrobne sú posúdené príklady riešení integrálov po častiach, ktorých integrand obsahuje logaritmus, arkussínus, arkustangens, ako aj logaritmus s mocninou celého čísla a logaritmus polynómu.

Vzorec na integráciu podľa častí

Nižšie sa pri riešení príkladov používa vzorec integrácie podľa častí:
;
.

Príklady integrálov obsahujúcich logaritmy a inverzné goniometrické funkcie

Tu sú príklady integrálov, ktoré sú integrované po častiach:
, , , , , , .

Pri integrácii sa tá časť integrandu, ktorá obsahuje logaritmus alebo inverzné goniometrické funkcie, označí u, zvyšok dv.

Nižšie sú uvedené príklady s podrobnými riešeniami týchto integrálov.

Jednoduchý príklad s logaritmom

Vypočítajme integrál obsahujúci súčin polynómu a logaritmu:

Riešenie

Tu integrand obsahuje logaritmus. Vykonávanie suplovania
u = ln x, dv = x 2 dx . Potom
,
.

Poďme integrovať po častiach.
.

.
Potom
.
Na konci výpočtov pridajte konštantu C.

Odpoveď

Príklad logaritmu na mocninu 2

Zoberme si príklad, v ktorom integrand obsahuje logaritmus na celé číslo. Takéto integrály môžu byť tiež integrované po častiach.

Riešenie

Vykonávanie suplovania
u = (ln x) 2, dv = x dx . Potom
,
.

Zostávajúci integrál vypočítame aj po častiach:
.
Poďme nahradiť
.

Odpoveď

Príklad, v ktorom je argument logaritmu polynóm

Integrály možno vypočítať po častiach, ktorých integrand zahŕňa logaritmus, ktorého argumentom je polynóm, racionálna alebo iracionálna funkcia. Ako príklad vypočítajme integrál s logaritmom, ktorého argument je polynóm.
.

Riešenie

Vykonávanie suplovania
u = ln( x 2 – 1), dv = x dx .
Potom
,
.

Vypočítame zostávajúci integrál:
.
Znak modulu tu nepíšeme ln | x 2 - 1|, keďže integrand je definovaný v x 2 - 1 > 0 . Poďme nahradiť
.

Odpoveď

Príklad Arcsine

Uvažujme príklad integrálu, ktorého integrand obsahuje arcsínus.
.

Riešenie

Vykonávanie suplovania
u = arcsin x,
.
Potom
,
.

Ďalej si všimneme, že integrand je definovaný pre |x|< 1 . Rozšírme znamienko modulu pod logaritmus, berúc do úvahy to 1 - x > 0 A 1 + x > 0.

Odpoveď

Príklad oblúkovej tangenty

Vyriešme príklad s arkustangens:
.

Riešenie

Poďme integrovať po častiach.
.
Vyberieme celú časť zlomku:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Poďme integrovať:
.
Nakoniec tu máme:
.

Odpoveď

Ďalší príklad s arcsínusom

Vyriešte integrál:
.

Riešenie

Poďme integrovať po častiach.
.

Vypočítame zostávajúci integrál. Pri x > 0 máme:
.
.
.

Pri x < 0 urobme substitúciu x = - t, t > 0 :
.

Nakoniec máme.

Integrácia po častiach. Príklady riešení

Riešenie.

Napr.

Vypočítajte integrál:

Pomocou vlastností integrálu (linearita), ᴛ.ᴇ. , zredukujeme to na tabuľkový integrál, dostaneme to

Ahoj zas. Dnes sa v lekcii naučíme, ako integrovať po častiach. Metóda integrácie po častiach je jedným zo základných kameňov výpočtu integrálu. Počas testov alebo skúšok sú študenti takmer vždy požiadaní, aby vyriešili nasledujúce typy integrálov: najjednoduchší integrál (pozri článokNeurčitý integrál. Príklady riešení ) alebo integrál nahradením premennej (pozri článokMetóda premennej zmeny v neurčitom integráli ) alebo je integrál práve zapnutý integrácia metódou častí.

Ako vždy by ste mali mať po ruke: Tabuľka integrálov A Tabuľka derivátov. Ak ich ešte nemáte, navštívte prosím sklad môjho webu: Matematické vzorce a tabuľky. Nebudem sa unavovať opakovaním – je lepšie si všetko vytlačiť. Pokúsim sa prezentovať všetok materiál dôsledne, jednoducho a jasne, pri integrácii častí nie sú žiadne zvláštne ťažkosti.

Aký problém rieši metóda integrácie po častiach? Metóda integrácie po častiach rieši veľmi dôležitý problém, umožňuje integrovať niektoré funkcie, ktoré nie sú v tabuľke, práca funkcie av niektorých prípadoch dokonca aj kvocienty. Ako si pamätáme, neexistuje žiadny vhodný vzorec: . Ale je tu toto: - vzorec pre integráciu po častiach osobne. Viem, viem, si jediný – budeme s ňou pracovať počas celej hodiny (teraz je to jednoduchšie).

A hneď zoznam do štúdia. Integrály nasledujúcich typov sú prevzaté časťami:

1) , – logaritmus, logaritmus vynásobený nejakým polynómom.

2) , je exponenciálna funkcia vynásobená nejakým polynómom. Patria sem aj integrály ako - exponenciálna funkcia vynásobená polynómom, ale v praxi je to 97 percent, pod integrálom je pekné písmeno ʼʼеʼʼ. ... článok je trochu lyrický, ach áno ... prišla jar.

3) , – goniometrické funkcie vynásobené nejakým polynómom.

4) - inverzné goniometrické funkcie ("oblúky"), "oblúky", vynásobené nejakým polynómom.

Niektoré zlomky sa berú aj po častiach, podrobne zvážime aj zodpovedajúce príklady.

Príklad 1

Nájdite neurčitý integrál.

klasické. Z času na čas sa tento integrál nájde v tabuľkách, ale nie je vhodné použiť hotovú odpoveď, pretože učiteľ má jarný nedostatok vitamínov a bude ťažko nadávať. Pretože uvažovaný integrál nie je v žiadnom prípade tabuľkový - berie sa po častiach. Rozhodujeme sa:

Pre medziľahlé vysvetlenia prerušujeme riešenie.

Používame vzorec integrácie podľa častí:

Integrály logaritmov - pojem a typy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Logaritmové integrály" 2017, 2018.